Calculo Elementar

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Universidade Veiga de Almeida 
Engenharia de Produção EAD 
Curso de CÁLCULO ELEMENTAR (IL10009) 
Aluna: Fernanda Pinto Torres Tavares – Matrícula: 20211303650 
 
Trabalho da Disciplina [AVA 1] 
O problema da Dieta – programação linear 
A programação linear é uma parte da pesquisa operacional, área que trata da otimização de 
recursos. O problema da dieta é um dos problemas clássicos da PO, o qual pode ser tratado por 
meio de programação linear, ou seja, por meio da modelagem usando equações e/ou 
inequações, buscando produzir mais com menos recursos. 
O gestor de uma fazenda quer alimentar o gado com a dieta que implique em menor custo. Tal 
dieta deve conter quatro tipos de nutrientes identificados como: A, B, C e D. Estes componentes 
encontram-se em dois tipos de ração: M e N. A quantidade, em gramas, de cada componente 
por quilo destes alimentos para animais é dada na tabela a seguir: 
 A B C D 
M 100 - 100 200 
N - 100 200 100 
 A dieta diária de um animal deve ser composta por pelo menos 0,4 Kg do componente A, 0,6 Kg 
do componente B, 2 Kg do componente C, e 1,7 Kg do componente D. O composto M custa 0,2 
reais/Kg e o composto N custa 0,08 reais/Kg. Qual é a quantidade que deve ser adquirida de 
ração M e N para que o gasto em alimentos seja o menor possível? 
Pretende-se misturar os tipos de rações para obter uma dieta equilibrada contendo as 
quantidades diárias recomendadas de cada nutriente para os animais. 
Modele este problema por meio de equações e/ou inequações e represente-o 
graficamente. 
 Procedimentos para elaboração do TD 
Determinar as variáveis de decisão e expressá-las algebricamente. Neste caso: 
X1: quantidade de ração M em Kg 
X2: quantidade de ração N em Kg 
● Determine as restrições e expressando-as como equações ou inequações dependentes das 
variáveis de decisão. Tais restrições são deduzidas da composição necessária para a dieta 
diária (em Kg): 
A) 0,1 x1 + 0 x2 >= 0,4 
B) 0 x1 + 0,1 x2 >= 0,6 
https://uva.instructure.com/courses/16811
C) 0,1 x1 + 0,2 x2 >= 2 
D) 0,2 x1 + 0,1 x2 >= 1,7 
● Expressar todas as condições estabelecidas implicitamente pela natureza das variáveis: que 
não possam ser negativas, que sejam inteiras, que somente possam ter determinados 
valores, ... Neste caso, a única restrição é que as quantidades de ração que fazem parte da 
dieta não podem ser negativas: 
 X1 >= 0 
 X2 >=0 
● Determinar a função objetivo 
Minimizar Z = 0,2 x1 + 0,08x2 
● Resolver utilizando o APPSimplex, ou outro aplicativo a sua escolha, que resolva problemas 
de programação linear. 
Resolução via Simplex: 
● Como a restrição 1 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X3 e a variável artificial X7. 
● Como a restrição 2 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X4 e a variável artificial X8. 
● Como a restrição 3 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X5 e a variável artificial X9. 
● Como a restrição 4 é do tipo '≥' é necessária a variável de excesso X6 e a variável artificial X10. 
MINIMIZAR: Z = 0.2 
X1 + 0.08 X2 
 
MAXIMIZAR: Z = -0.2 X1 -0.08 X2 + 0 X3 + 0 
X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 + 0 X9 + 0 X10 
sujeito a 
0.1 X1 + 0 X2 ≥ 0.4 
0 X1 + 0.1 X2 ≥ 0.6 
0.1 X1 + 0.2 X2 ≥ 2 
0.2 X1 + 0.1 X2 ≥ 1.7 
sujeito a 
0.1 X1 -1 X3 + 1 X7 = 0.4 
0 X1 + 0.1 X2 -1 X4 + 1 X8 = 0.6 
0.1 X1 + 0.2 X2 -1 X5 + 1 X9 = 2 
0.2 X1 + 0.1 X2 -1 X6 + 1 X10 = 1.7 
X1, X2 ≥ 0 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira tabela da Fase I do método das Duas Fases: 
 
A variável que vai sair da base é P7 e a que entra P1. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 1): 
0.4 / 0.1 = 4 
0.1 / 0.1 = 1 
0 / 0.1 = 0 
-1 / 0.1 = -10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
1 / 0.1 = 10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 4) = 0.6 
0 - (0 * 1) = 0 
0.1 - (0 * 0) = 0.1 
0 - (0 * -10) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 10) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
 
Linha 3: 
2 - (0.1 * 4) = 1.6 
0.1 - (0.1 * 1) = 0 
0.2 - (0.1 * 0) = 0.2 
0 - (0.1 * -10) = 1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
-1 - (0.1 * 0) = -1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
0 - (0.1 * 10) = -1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
1 - (0.1 * 0) = 1 
0 - (0.1 * 0) = 0 
 
Linha 4: 
1.7 - (0.2 * 4) = 0.9 
0.2 - (0.2 * 1) = 0 
0.1 - (0.2 * 0) = 0.1 
0 - (0.2 * -10) = 2 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0 - (0.2 * 0) = 0 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2 * 10) = -2 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0 - (0.2 * 0) = 0 
1 - (0.2 * 0) = 1 
 
Linha Z: 
-4.7 - (-0.4 * 4) = -3.1 
-0.4 - (-0.4 * 1) = 0 
-0.4 - (-0.4 * 0) = -0.4 
1 - (-0.4 * -10) = -3 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
1 - (-0.4 * 0) = 1 
0 - (-0.4 * 10) = 4 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
0 - (-0.4 * 0) = 0 
 
 
A variável que vai sair da base é P10 e a que entra P3. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 4): 
0.9 / 2 = 0.45 
0 / 2 = 0 
0.1 / 2 = 0.05 
2 / 2 = 1 
0 / 2 = 0 
0 / 2 = 0 
-1 / 2 = -0.5 
-2 / 2 = -1 
0 / 2 = 0 
0 / 2 = 0 
1 / 2 = 0.5 
 
Linha 1: 
4 - (-10 * 0.45) = 8.5 
1 - (-10 * 0) = 1 
0 - (-10 * 0.05) = 0.5 
-10 - (-10 * 1) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * -0.5) = -5 
10 - (-10 * -1) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0) = 0 
0 - (-10 * 0.5) = 5 
 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 0.45) = 0.6 
0 - (0 * 0) = 0 
0.1 - (0 * 0.05) = 0.1 
0 - (0 * 1) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * -0.5) = 0 
0 - (0 * -1) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 0) = 0 
0 - (0 * 0.5) = 0 
 
Linha 3: 
1.6 - (1 * 0.45) = 1.15 
0 - (1 * 0) = 0 
0.2 - (1 * 0.05) = 0.15 
1 - (1 * 1) = 0 
0 - (1 * 0) = 0 
-1 - (1 * 0) = -1 
0 - (1 * -0.5) = 0.5 
-1 - (1 * -1) = 0 
0 - (1 * 0) = 0 
1 - (1 * 0) = 1 
0 - (1 * 0.5) = -0.5 
 
Linha Z: 
-3.1 - (-3 * 0.45) = -1.75 
0 - (-3 * 0) = 0 
-0.4 - (-3 * 0.05) = -0.25 
-3 - (-3 * 1) = 0 
1 - (-3 * 0) = 1 
1 - (-3 * 0) = 1 
1 - (-3 * -0.5) = -0.5 
4 - (-3 * -1) = 1 
0 - (-3 * 0) = 0 
0 - (-3 * 0) = 0 
0 - (-3 * 0.5) = 1.5 
 
A variável que vai sair da base é P9 e a que entra P6. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 3): 
1.15 / 0.5 = 2.3 
0 / 0.5 = 0 
0.15 / 0.5 = 0.3 
0 / 0.5 = 0 
0 / 0.5 = 0 
-1 / 0.5 = -2 
0.5 / 0.5 = 1 
0 / 0.5 = 0 
0 / 0.5 = 0 
1 / 0.5 = 2 
-0.5 / 0.5 = -1 
 
Linha 1: 
8.5 - (-5 * 2.3) = 20 
1 - (-5 * 0) = 1 
0.5 - (-5 * 0.3) = 2 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * -2) = -10 
-5 - (-5 * 1) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 0) = 0 
0 - (-5 * 2) = 10 
5 - (-5 * -1) = 0 
 
Linha 2: 
0.6 - (0 * 2.3) = 0.6 
0 - (0 * 0) = 0 
0.1 - (0 * 0.3) = 0.1 
0 - (0 * 0) = 0 
-1 - (0 * 0) = -1 
0 - (0 * -2) = 0 
0 - (0 * 1) = 0 
0 - (0 * 0) = 0 
1 - (0 * 0) = 1 
0 - (0 * 2) = 0 
0 - (0 * -1) = 0 
 
Linha 4: 
0.45 - (-0.5 * 2.3) = 1.6 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0.05 - (-0.5 * 0.3) = 0.2 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * -2) = -1 
-0.5 - (-0.5 * 1) = 0 
-1 - (-0.5 * 0) = -1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * 2) = 1 
0.5 - (-0.5 * -1) = 0 
 
Linha Z: 
-1.75 - (-0.5 * 2.3) = -0.6 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
-0.25 - (-0.5 * 0.3) = -0.1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
1 - (-0.5 * -2) = 0 
-0.5 - (-0.5 * 1) = 0 
1 - (-0.5 * 0) = 1 
0 - (-0.5 * 0) = 0 
0 - (-0.5 * 2) = 1 
1.5 - (-0.5 * -1) = 1 
 
 
A variável que vai sair da base é P8 e a que entra P2. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 2): 
0.6 / 0.1 = 6 
0 / 0.1 = 0 
0.1 / 0.1 = 1 
0 / 0.1 = 0 
-1 / 0.1 = -10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
1 / 0.1 = 10 
0 / 0.1 = 0 
0 / 0.1 = 0 
 
Linha 1: 
20 - (2 * 6) = 8 
1 - (2 * 0) = 1 
2 - (2 * 1) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * -10) = 20 
-10 - (2 * 0) = -10 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 10) = -20 
10 - (2 * 0) = 10 
0 - (2 * 0) = 0 
 
Linha 3: 
2.3 - (0.3 * 6) = 0.5 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0.3 - (0.3 * 1) = 0 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0 - (0.3 * -10) = 3 
-2 - (0.3 * 0) = -2 
1 - (0.3 * 0) = 1 
0 - (0.3 * 0) = 0 
0 - (0.3 * 10) = -3 
2 - (0.3 * 0) = 2 
-1 - (0.3 * 0) = -1 
 
Linha 4: 
1.6 - (0.2 * 6) = 0.4 
0 - (0.2 * 0) = 0 
0.2 - (0.2 * 1) = 0 
1 - (0.2 * 0) = 1 
0 - (0.2 * -10) = 2 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2 * 0) = 0 
-1 - (0.2 * 0) = -1 
0 - (0.2* 10) = -2 
1 - (0.2 * 0) = 1 
0 - (0.2 * 0) = 0 
 
Linha Z: 
-0.6 - (-0.1 * 6) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
-0.1 - (-0.1 * 1) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
1 - (-0.1 * -10) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
0 - (-0.1 * 0) = 0 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
0 - (-0.1 * 10) = 1 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
1 - (-0.1 * 0) = 1 
 
Existe alguma solução possível para o problema, assim nós podemos passar para a Fase II para cálcular-
a. 
Fase II 
Operações intermédias 
Remover as colunas correspondentes às variáveis artificiais. 
 
Modificar a linha da função objetivo do problema original. 
 
Calcular a linha Z: 
-(0) + (-0.2 * 8) + (-0.08 * 6) + (0 * 0.5) + (0 * 0.4) = -2.08 
-(-0.2) + (-0.2 * 1) + (-0.08 * 0) + (0 * 0) + (0 * 0) = 0 
-(-0.08) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 1) + (0 * 0) + (0 * 0) = 0 
-(0) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 0) + (0 * 0) + (0 * 1) = 0 
-(0) + (-0.2 * 20) + (-0.08 * -10) + (0 * 3) + (0 * 2) = -3.2 
-(0) + (-0.2 * -10) + (-0.08 * 0) + (0 * -2) + (0 * -1) = 2 
-(0) + (-0.2 * 0) + (-0.08 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0) = 0 
 
 
 
A variável que vai sair da base é P6 e a que entra P4. 
 
 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 3): 
0.5 / 3 = 0.16666666666667 
0 / 3 = 0 
0 / 3 = 0 
0 / 3 = 0 
3 / 3 = 1 
-2 / 3 = -0.66666666666667 
1 / 3 = 0.33333333333333 
 
Linha 1: 
8 - (20 * 0.16666666666667) = 4.6666666666667 
1 - (20 * 0) = 1 
0 - (20 * 0) = 0 
0 - (20 * 0) = 0 
20 - (20 * 1) = 0 
-10 - (20 * -0.66666666666667) = 3.3333333333333 
0 - (20 * 0.33333333333333) = -6.6666666666667 
 
Linha 2: 
6 - (-10 * 0.16666666666667) = 7.6666666666667 
0 - (-10 * 0) = 0 
1 - (-10 * 0) = 1 
0 - (-10 * 0) = 0 
-10 - (-10 * 1) = 0 
0 - (-10 * -0.66666666666667) = -6.6666666666667 
0 - (-10 * 0.33333333333333) = 3.3333333333333 
 
Linha 4: 
0.4 - (2 * 0.16666666666667) = 0.066666666666667 
0 - (2 * 0) = 0 
0 - (2 * 0) = 0 
1 - (2 * 0) = 1 
2 - (2 * 1) = 0 
-1 - (2 * -0.66666666666667) = 0.33333333333333 
0 - (2 * 0.33333333333333) = -0.66666666666667 
 
Linha Z: 
-2.08 - (-3.2 * 0.16666666666667) = -1.5466666666667 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
0 - (-3.2 * 0) = 0 
-3.2 - (-3.2 * 1) = 0 
2 - (-3.2 * -0.66666666666667) = -0.13333333333333 
0 - (-3.2 * 0.33333333333333) = 1.0666666666667 
 
 
 
A variável que vai sair da base é P3 e a que entra P5. 
Operações intermédias 
Linha pivô (Linha 4): 
0.066666666666667 / 0.33333333333333 = 0.2 
0 / 0.33333333333333 = 0 
0 / 0.33333333333333 = 0 
1 / 0.33333333333333 = 3 
0 / 0.33333333333333 = 0 
0.33333333333333 / 0.33333333333333 = 1 
-0.66666666666667 / 0.33333333333333 = -2 
 
Linha 1: 
4.6666666666667 - (3.3333333333333 * 0.2) = 4 
1 - (3.3333333333333 * 0) = 1 
0 - (3.3333333333333 * 0) = 0 
0 - (3.3333333333333 * 3) = -10 
0 - (3.3333333333333 * 0) = 0 
3.3333333333333 - (3.3333333333333 * 1) = 0 
-6.6666666666667 - (3.3333333333333 * -2) = 0 
 
Linha 2: 
7.6666666666667 - (-6.6666666666667 * 0.2) = 9 
0 - (-6.6666666666667 * 0) = 0 
1 - (-6.6666666666667 * 0) = 1 
0 - (-6.6666666666667 * 3) = 20 
0 - (-6.6666666666667 * 0) = 0 
-6.6666666666667 - (-6.6666666666667 * 1) = 0 
3.3333333333333 - (-6.6666666666667 * -2) = -10 
 
Linha 3: 
0.16666666666667 - (-0.66666666666667 * 0.2) = 0.3 
0 - (-0.66666666666667 * 0) = 0 
0 - (-0.66666666666667 * 0) = 0 
0 - (-0.66666666666667 * 3) = 2 
1 - (-0.66666666666667 * 0) = 1 
-0.66666666666667 - (-0.66666666666667 * 1) = 0 
0.33333333333333 - (-0.66666666666667 * -2) = -1 
 
Linha Z: 
-1.5466666666667 - (-0.13333333333333 * 0.2) = -1.52 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
0 - (-0.13333333333333 * 3) = 0.4 
0 - (-0.13333333333333 * 0) = 0 
-0.13333333333333 - (-0.13333333333333 * 1) = 0 
1.0666666666667 - (-0.13333333333333 * -2) = 0.8 
 
 
A solução ótima é Z = 1.52 
X1 = 4 
X2 = 9 
 
Gráfico 
 
 
 
NOTA: 
Verde são os pontos em que a solução seja encontrada. 
Vermelho são os pontos fora da região viável. 
 
Cálculos, Tabelas e Gráfico feitos via Simplex: 
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