Ex.9.7)
Seja B a bola fechada e ponha
h :int(B)→ Rn T : Rn → Rn
x 7→ x
1− ||x||
x 7→ x+ a
Temos que h é homeomorfismo entre int(B) e Rn, com h−1(x) = x
1 + ||x||
, e T é homeomorfismo entre Rn e Rn,
T−1(x) = x− a. Assim:
φ = h−1 ◦ T ◦ h :int(B)→ int(B)
x 7→ (1− ||x||)a+ x
(1− ||x||) + ||(1− ||x||)a+ x||
é homeomorfismo. Além disso, dado b ∈ ∂B, ||b|| = 1, logo:
lim
x→b
φ(x) = lim
x→b
b
||b||
= b
Logo, podemos estender continuamente φ para φ̄ : B → B pondo φ̄(x) = limy→x φ(y) e temos que φ̄ é homeomor-
fismo entre B e B tal que φ̄(x) = x, ∀x ∈ ∂B. Além disso, φ̄(0) =
1
1 + ||a||
∈ int(B). Assim, de modo análogo, to-
mando a1, a2 tal que
1
1 + ||a1||
= c,
1
1 + ||a2|| = d
, obtemos os homeomorfismos φ̄1, φ̄2 tais que φ̄1(0) = c, φ̄2(0) = d.
Assim γ = φ̄2 ◦ φ̄−11 é homeo que preserva a fronteira e γ(c) = d