De fato, X ∼= X =⇒ X limitado. Então ∃x̄ ∈ X, x̄ ∉ X, ou seja, ∃(xn)n ⊂ X, xn → x̄ ∉ X. Defina: f :X → Rn x 7→ x− x̄ ||x− x̄||2 Então é claro que f...

De fato, X ∼= X =⇒ X limitado. Então ∃x̄ ∈ X, x̄ ∉ X, ou seja, ∃(xn)n ⊂ X, xn → x̄ ∉ X. Defina: f :X → Rn x 7→ x− x̄ ||x− x̄||2 Então é claro que f é contínua. Além disso, f−1 :f(X)→ X y 7→ y ||y||2 + x̄ É inversa de f, também claramente contínua. Logo f é homeomorfismo e X ∼= f(X). Mas note que f(X) é ilimitado: De fato: ||f(xn)|| = ||xn − x̄|| ||xn − x̄|| = 1 ||xn − x̄|| → +∞ Contradição. Logo X é fechado. Portanto X ⊂ Rn é fechado e limitado, logo, compacto.

Cálculo III

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Praticando Para Aprender

24/05/2024

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Solucionário Curso de Análise Volume 2

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Analise no Rn • Universidade Federal do PiauíUniversidade Federal do Piauí

Pablo Rêgo Matos

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