6° ano _caderno 02

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

2
caderno
ano
6
Ensino 
Fundamental
MATEMÁTICA
PROFESSOR
549922_Capa_SER_Fund2_2015_PR_MAT_6.2.indd 1 12/23/15 11:35 AM
Potenciação e 
divisibilidade
 Ponto de partida, 3
Capítulo 1 • Potenciação,
raiz quadrada e expressões numéricas, 4
1. Introdução, 4
2. Potenciação, 6
3. Raiz quadrada, 17
4. Expressões numéricas envolvendo 
as operações estudadas, 20
Capítulo 2 • Divisores e múltiplos de números 
naturais, 33
1. Introdução, 33
2. Múltiplos de um número natural, 34
3. Divisores de um número natural, 36
4. Múltiplo e divisor de um número natural, 39
5. Número primo, 50
6. Máximo divisor comum (mdc), 58
7. Mínimo múltiplo comum (mmc), 61
8. Problemas envolvendo mdc e mmc, 66
 Ponto de chegada, 74
Matemática
Luiz Roberto Dante
2132596 (PR)
1
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 1 12/21/15 4:52 PM
Pessoa digitando 
em notebook.
D
u
d
a
re
v
 M
ik
h
a
il
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
2
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 2 12/21/15 5:19 PM
 Ponto de partida
1. Suponha que, no próximo domingo, você enviará uma mensagem por 
e-mail a dois amigos. Cada um deles vai reenviá-la a mais duas 
pessoas, que farão o mesmo na terça-feira, e assim por diante. 
Quantas pessoas receberão a mensagem no domingo seguinte? 
2. Você tem ou teve um pai e uma mãe biológicos, quatro avós 
biológicos e oito bisavós biológicos. Agora, pense nos bisavós dos 
seus bisavós, que podem ser chamados de seus pentavós. 
Quantos pentavós você teve? 
256 pessoas
64 pentavós
MÓDULO
Potenciação e
divisibilidade
Na internet, as informações se disseminam muito rapidamente. 
Sabe por quê? Imagine que alguém tenha recebido em seu 
correio eletrônico (e-mail) uma mensagem divulgando o 
desaparecimento de uma pessoa e solicitando que o 
comunicado fosse transmitido a mais duas pessoas, que 
também deveriam repassar a mais duas e assim por diante... 
Portanto, de receptor em receptor, a quantidade de mensagens 
dobraria.
Neste módulo, você vai ampliar os conhecimentos sobre 
operações envolvidas nesse tipo de situação e desenvolver 
habilidades de cálculo.
Introduza informalmente o conceito de possibilidades, o que será facilitado se os alunos derem 
respostas diferentes.
3
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 3 12/21/15 5:19 PM
1
 Capítulo Potenciação, 
raiz quadrada 
e expressões 
numéricas1
 Capítulo
1 Introdução
Um grupo de adolescentes resolveu doar roupas para uma campanha do agasa-
lho. O organizador doou duas sacolas de roupas e cobertores e convidou outras duas 
pessoas para fazer o mesmo. Em seguida, cada uma delas convidou mais duas pes-
soas. Veja como podemos calcular quantas sacolas foram arrecadadas.
1a etapa
2a etapa
3a etapa
2
sacolas
2
sacolas
2
sacolas
2
sacolas
2
sacolas
2
sacolas
2
sacolas
Pelo esquema, podemos notar que o total de sacolas 
arrecadadas em cada etapa é o dobro do total da etapa 
anterior, ou seja:
• 1a etapa: 2 sacolas
• 2a etapa: 4 sacolas (2 3 2)
• 3a etapa: 8 sacolas (2 3 2 3 2)
Somando a arrecadação das três etapas, temos: 2 1 4 1 
1 8 5 14, que corresponde ao total de sacolas arrecadadas.
As multiplicações que aparecem nessa situação são 
multiplicações de fatores iguais. Multiplicações desse tipo 
caracterizam uma nova operação: a potenciação.
Neste capítulo, vamos conhecer a operação potencia-
ção. Estudaremos a raiz quadrada de um número natural e 
resolveremos expressões numéricas envolvendo todas as 
operações já estudadas.
Pessoas separando doações no Ginásio 
Poliesportivo Presidente João Goulart 
(Tartarugão) para atender as vítimas 
atingidas pelas fortes chuvas da região, 
em Vila Velha (ES), 2013.
 A
le
x
 G
o
u
v
ê
a
/F
u
tu
r
a
 P
r
e
s
s
4
 Objetivos:
• Reconhecer e estudar a 
operação de potenciação. 
• Identificar o significado e a 
notação de raiz quadrada.
• Calcular o valor de 
expressões numéricas 
envolvendo as operações 
estudadas em números 
naturais.
Potenciação e divisibilidade
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 4 12/21/15 5:19 PM
Exercícios 
 1. Maria teve 4 filhos. Cada um deles lhe deu 4 netos. Cada um dos seus netos lhe deu 4 bisnetos, que tiveram, cada um, 4 filhos. 
Quantos s‹o os descendentes de Maria? 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Filhos
Netos
 2. Em uma sala, h‡ 3 gaveteiros com 3 gavetas em cada um. Cada gaveta contŽm 3 pastas e em cada pasta h‡ 3 cadernos. Qual Ž 
o nœmero total de cadernos? 
 3. Bete brincava com os nœmeros. Primeiro ela encontrou o dobro de 2, em seguida o dobro do dobro de 2, e assim por diante.
2 2 3 2 5 4 2 3 2 3 2 5 8
Depois, determinou o triplo de 3, em seguida o triplo do triplo de 3, etc.
3 3 3 3 5 9 3 3 3 3 3 5 27
Fez o mesmo com os nœmeros 4 e 5 usando as ideias de qu‡druplo e qu’ntuplo. Colocou todos os resultados em um quadro. Com-
plete o quadro abaixo como Bete fez. Se necess‡rio, use calculadora.
2 4 8 16 32 64
3 9 27 81 243 729
4 16 64 256 1 024 4 096
5 25 125 625 3 125 15 625
340 descendentes
(filhos: 4; netos: 4 3 4 5 16; 
bisnetos: 4 3 4 3 4 5 64; 
filhos dos bisnetos: 
4 3 4 3 4 3 4 5 256; 
4 1 16 1 64 1 256 5 340)
81 cadernos (3 ? 3 ? 3 ? 3).
 Para construir:
 Exerc’cios 1 a 3 (abaixo)
Potenciação e divisibilidade 5
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 5 12/21/15 5:19 PM
2 Potenciação
Para resolver as situações anteriores, você usou multiplicações em que todos os 
fatores são iguais. Por exemplo:
4 3 4 3 4 3 4 5 256 e 3 3 3 3 3 3 3 5 81
Você se lembra de que, para indicar uma adição de parcelas iguais, usávamos a 
multiplicação? Por exemplo:
8 8 8 8 8 5 8
5 vezes
1 1 1 1 5 3
1 2444 3444
Agora, para indicar uma multiplicação de fatores iguais, usaremos a potenciação. 
Por exemplo:
 
5 5 5 5 125
3 fatores
3
3 3 5 5
 
7 7 7 49
2 f
2
atores
2
3 5 5
{
 
3 3 3 3 3 814
4 fatores
5 3 3 3 5
 
2 2 2 2 2 2 325
5 fatores
5 3 3 3 3 5
Os termos de uma potenciação também recebem nomes especiais. Veja: 
54 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 625
5: base (é o fator que se repete)
4: expoente (é o número de vezes que repetimos a base)
625: potência (resultado)
Operação: potenciação
 expoente
2
3
 5 2 ? 2 ? 2 5 8
 base potência
Observe o tamanho e a posição do 
algarismo chamado de expoente. 
Exercícios 
 4. Indique a potenciação correspondente a cada item.
 a ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 35 b ) 9 3 9 5 92 c ) 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 5 47
 5. Calcule o resultado de cada potenciação.
 a ) 43 5 4 ? 4 ? 4 5 64 b ) 62 5 6 3 6 5 36 c ) 15 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 5 1 d ) 102 5 10 3 10 5 100 
 6. Indique as potenciações e calcule a potência em cada uma delas.
 a ) Base 6 e expoente 3. 63 5 6 ? 6 ? 6 5 216
 b ) Base 11 e expoente 2. 112 5 11 ? 11 5 121
 c ) Expoente 4 e base 1. 14 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 5 1
 d ) Base 3 e expoente 5. 35 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243
 7. Escreva a única potenciação que tem, na base e no expoente, números naturais iguais e, como resultado, um número natural de 
dois algarismos. 
 8. Qual é a potenciação que indica o sêxtuplo do sêxtuplo do sêxtuplo de 6? Nela, indique a base, o expoente e a potência. 
33 5 3 ? 3 ? 3 5 27
64 5 6 3 6 3 6 3 6 5 1 296; base: 6; expoente: 4; potência: 1 296.
 Para construir:
 Exercícios 4 a 10 (p. 6 e 7)
Potenciação e divisibilidade6
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 6 12/21/15 5:19 PM
 9. Regularidade
Em cada coluna, observe a regularidade e complete.
a ) 26 5 64
; 2
25 5 32
; 2
24 5 16
; 2
23 5 8
?
22 5 4
?
21 5 2
?
20 5 1
b) 56 5 15 625
?
55 5 3 125
?
54 5 625
?
53 5 125
?
52 5 25
?
51 5 5
?
50 5 1
; 2
; 2
; 2
; 5
; 5
; 5
; 5
; 5
; 5
Converse com os colegas sobre:
¥ o que acontece nas potências quando o expoente é 1: O resultado é igual à base.
¥ o que acontece nas potências de expoente 0 e base diferente de 0: O resultado é 1.
 10. Investigue e descubra
 a ) A potência de base 3 e expoente 4 é igual à potência de base 4 e expoente 3? Não.
 b ) Troque a base com o expoente em outros exemplos. O que você observa? Converse com um colega. 
A potenciação não é comutativa.
 c ) Só existe um exemplo de dois números naturais distintos que, colocados na base e no expoente e depois trocados de posição, 
 dão o mesmo resultado. Descubra quais são eles. 
 
(34 5 81; 43 5 64).
 2 e 4, pois 24 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 16 e 42 5 4 ? 4 5 16.
 1. Descubra quantos são os bisavós de seus bisavós. Indique esse número na forma de potência de base 2. 
 2. O resultado de uma potenciação é 64. Aumentando uma unidade na base e diminuindo uma unidade no expoente, a potên-
cia diminui 39 unidades. Qual é a potenciação inicial? 
 3. Qual é o número natural que deve ser a base de uma potenciação de expoente 2 e potência 900? 
Desafios
 Para aprimorar:
 Desafios (abaixo)
26 (cada pessoa tem 2 pais, 22 5 4 avós e 23 5 8 bisavós; então, fazemos 8 3 8 5 64 5 26).
43 5 64 (64 2 39 5 25 e 52 5 25)
30 (302 5 30 3 30 5 900)
64
Potenciação e divisibilidade 7
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 7 12/21/15 5:19 PM
 Voc• sabia?
Foi o matem‡tico e fil—sofo franc•s 
RenŽ Descartes (1596-1650) que 
come•ou a escrever 42, 43, em vez 
de 4 ? 4 e 4 ? 4 ? 4.
T
h
e
 B
ri
d
g
e
m
a
n
 A
rt
 L
ib
ra
ry
/K
e
y
s
to
n
e
Frans Hals. Retrato de René 
Descartes. Óleo sobre tela,
77,5 cm 3 68,5 cm.
Museu do Louvre, Paris, França.
Leitura da potenciação
A forma de uma potência ser lida depende do expoente.
Expoente 2
Por volta de 530 a.C., em Samos, uma ilha do mar Mediterr‰neo, o filósofo e ma-
temático grego Pitágoras e seus disc’pulos, os chamados pitagóricos, formaram uma 
espŽcie de sociedade secreta que estudava Filosofia, Mœsica e Matemática. Eles re-
presentavam os nœmeros naturais com pedrinhas (ou pontos), dispondo -as em de-
terminados padr›es geomŽtricos. Descobriram, por exemplo, que alguns nœmeros 
podem ser obtidos arrumando as pedrinhas igualmente espaçadas de modo que a 
configuração lembre um quadrado. Batizaram esses 
nœmeros de números quadrados. ƒ por isso que 
atualmente os chamamos de quadrados perfeitos 
(porque formam perfeita-
mente um quadrado).
 11. Você já conheceu a sequência dos nœmeros quadrados perfeitos. Reproduza os quatro primeiros termos dessa sequência usan-
do tampinhas de garrafa ou bolinhas de papel. Registre a sequência abaixo, representando cada tampinha ou bolinha de papel 
por um pontinho.
 Depois, observe seus registros e complete as frases abaixo.
 a ) 1 Ž o primeiro nœmero da sequência. Nessa construção há 1 linha(s) com 1 bolinha(s) em cada linha. Então, 
1 5 1 3 1 5 1 .
 b ) 4 Ž o segundo nœmero da sequência. Nessa construção há 2 linha(s) com 2 bolinha(s) em cada linha. Então, 
4 5 2 3 2 5 2 .
 c ) Para os próximos termos da sequência, temos:
 9 5 3 3 3 5 3 16 5 4 3 4 5 4 25 5 5 3 5 5 5
Exerc’cio 
Peça aos alunos que façam o registro da regularidade numŽrica abaixo 
do registro da construção do nœmero quadrado correspondente.
12 22 32 42 52
2
2
2 2 2
 Para construir:
 Exerc’cio 11 (abaixo)
1 4 9
F
o
to
s
: 
A
p
o
ll
o
fo
to
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Potenciação e divisibilidade8
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 8 12/21/15 5:19 PM
Por ter o nome de quadrados perfeitos, podemos ler as potenciações de 
expoente 2 assim:
• 1
2: 1 elevado ao quadrado ou 1 ao quadrado.
• 2
2: 2 elevado ao quadrado ou 2 ao quadrado.
• 3
2: 3 elevado ao quadrado ou 3 ao quadrado.
• 4
2: 4 elevado ao quadrado ou 4 ao quadrado.
Expoente 3 
Por esse motivo, lemos as potenciações de expoente 3 assim:
• 1
3: 1 elevado ao cubo ou 1 ao cubo.
• 2
3: 2 elevado ao cubo ou 2 ao cubo.
• 3
3: 3 elevado ao cubo ou 3 ao cubo.
• 4
3: 4 elevado ao cubo ou 4 ao cubo.
Expoente 1 e expoente zero
Você já estudou que:
Todo número natural elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio.
Exemplos:
 a ) 21 5 2, que lemos: 2 elevado à primeira potência é igual a 2.
 b ) 51 5 5, que lemos: 5 elevado à primeira potência é igual a 5.
Todo número natural, diferente de zero, elevado ao expoente zero é igual a 1.
Exemplos:
 a ) 40 5 1, que lemos: 4 elevado a zero é igual a 1.
 b ) 100 5 1, que lemos: 10 elevado a zero é igual a 1.
Demais expoentes
 a ) Expoente 4 → 54 5 625 (lê-se: 5 elevado à quarta potência é igual a 625).
 b ) Expoente 5 → 25 5 32 (lê-se: 2 elevado à quinta potência é igual a 32). E assim 
por diante.
1 ? 1 ? 1 13
1 cubinho
1
1
1
2 ? 2 ? 2 23
8 cubinhos
2
2
2
3 ? 3 ? 3 33
27 cubinhos
3
3
3
4 ? 4 ? 4 43
64 cubinhos
4
4
4
Veja agora como podemos 
construir cubos usando cubinhos como este: 
Observe o número de cubinhos usados em 
cada construção abaixo e como esse 
número pode ser calculado.
Os números
1, 8, 27, 64, ... formam
a sequência dos
números cúbicos.
Potenciação e divisibilidade 9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 9 12/21/15 5:19 PM
Outros cálculos com potenciação
Vejamos agora outras situaç›es que envolvem potenciação.
Observando regularidades, conseguimos formas diretas de obter pot•ncias de 
bases ou expoentes espec’ficos.
Potências de base 10 ou potências de 10
Em uma potenciação em que a base Ž 10, dizemos que temos uma potência de 
base 10 ou simplesmente uma potência de 10.
O que voc• descobriu vale sempre, e podemos escrever:
Em toda potenciação de base 10 e nœmero natural no expoente, o resultado tem o 1 
como primeiro algarismo, seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente.
Uma aplicação das potências de 10
Como nosso sistema de numeração Ž de base 10 (decimal), podemos escrever a 
decomposição dos nœmeros naturais usando pot•ncias de 10. Observe os exemplos:
 a ) 125 5 100 1 20 1 5 5 1 3 100 1 2 3 10 1 5 5 1 3 102 1 2 3 10 1 5
 b ) 2 348 5 2 000 1 300 1 40 1 8 5 2 3 1 000 1 3 3 100 1 4 3 10 1 8 5
5 2 3 103 1 3 3 102 1 4 3 10 1 8
Exerc’cio 
 12. Veja o c‡lculo de algumas dessas pot•ncias e relacione o expoente com o nœmero de zeros no resultado:
• 100 5 1 
• 101 5 10 
• 102 5 10 3 10 5 100
• 103 5 10 3 10 3 10 5 1 000
• 104 5 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000
• 105 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 100 000
 O que voc• concluiu?
Espera-se que os alunos concluam que o expoente Ž igual ao nœmero de zeros que vão em seguida ao 1 no resultado.
 Qual Ž o resultado de 109? 
1 000 000 000
 Para construir:
 Exerc’cio 12 (abaixo)
641 5 64; 82 5 8 ? 8 5 64; 
43 5 4 ? 4 ? 4 5 64; 26 5 64
Sugestão de Desafio: 
Escreva quatro 
potenciaç›es diferentes, 
todas com resultado 64. 
Potenciação e divisibilidade10
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 10 12/21/15 5:19 PM
 Para construir:
 Exerc’cios 13 a 17 (abaixo)
Exercícios 
 13. Calcule o resultado e escreva como se l• cada potencia•‹o.
 a ) 83 5 512; 8 elevado ao cubo Ž igual a 512.
 b ) 90 5 1; 9 elevado a zero Ž igual a 1.
 c ) 36 5 729; 3 elevado ˆ sexta pot•ncia Ž igual a 729.
d ) 112 5 121; 11 elevado ao quadrado Ž igual a 121.
 e ) 61 5 6; 6 elevado ˆ primeira pot•ncia Ž igual a 6.
 f ) 27 5 128; 2 elevado ˆ sŽtima pot•ncia Ž igual a 128.
 14. Calcule mentalmente. Cuidado com a posi•‹o do 0 e do 1.
 a ) 15 5 1
 b ) 51 5 5
 c ) 03 5 0
 d ) 30 5 1
 e ) 230 5 1
 f ) 163 5 1
 15. Escreva os seguintes nœmeros na forma de potencia•‹o (n‹o vale com expoente 1).
 a ) 16 5 24 ou 42
 b ) 49 5 72
 c ) 1 5 14 ou 17, ou 50, etc.
 d ) 400 5 202
 e ) 8 5 23
 f ) 81 5 34 ou 92
 16. Se 29 5 512, qual Ž o valor de 210? E de 28?
 17. Escreva a decomposi•‹o dos nœmeros abaixo usando pot•ncias de 10.
 a ) 149
 b ) 1 325
 c ) 2 937
 d ) 15 146
1 024 (2 ? 512); 256 (512 ; 2)
100 1 40 1 9 5 1 3 100 1 4 3 10 1 9 5 
5 1 3 102 1 4 3 10 1 9
 1 000 1 300 1 20 1 5 5 1 3 1 000 1 3 3 100 1 
1 2 3 10 1 5 5 1 3 103 1 3 3 102 1 2 3 10 1 5
2 000 1 900 1 30 1 7 5 2 3 1 000 1 9 3 100 1 
1 3 3 10 1 7 5 2 3 103 1 9 3 102 1 3 3 10 1 7
10 000 1 5 000 1 100 1 40 1 6 5 1 3 10 000 1
1 5 3 1 000 1 1 3 100 1 4 3 10 1 6 5 
5 1 3 104 1 5 3 103 1 1 3 102 1 4 3 10 1 6
Potencia•‹o e divisibilidade 11
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 11 12/21/15 5:19 PM
Diferença entre produto e potência 
com os mesmos números
Observe que o valor da potência de base 2 aumenta mais rapidamente do que o 
valor do produto que tem um dos fatores igual a 2 à medida que vamos aumentando 
igualmente o outro fator e o expoente.
1
2 2
6
8
10
32
4 4
8
16
2 3 4 5
12
64
6
2 3 1
2 3 2
2 3 3 2 3 4
2 3 5 2 3 6
25
26
23
24
21
22
Produto Pot•ncia
2 3 1 5 2 21 5 2
2 3 2 5 4 22 5 4
2 3 3 5 6 23 5 8
2 3 4 5 8 24 5 16
2 3 5 5 10 25 5 32
2 3 6 5 12 26 5 64
Fator 2 e base 2
 Para aprimorar:
 Conexões (p. 15 e 16)
Exerc’cios 
 18. Para constatar o que foi explicado, coloque o 3 como um dos fatores da multiplicação e como base da potenciação.
 19. Calcule estas potências de base 10:
 a ) 106 5 1 000 000
 b ) 108 5 100 000 000
 c ) 1010 5 10 000 000 000
 d ) 107 5 10 000 000
 20. Escreva os números dados na forma indicada.
 a ) 1 000 000 000 como potência de base 10:
 b ) Uma dezena de milhar como potência de base 10: 
 c ) 32 como potência de base 2:
 d ) 81 como potência de expoente 2:
 Para construir:
 Exercícios 18 a 24 (p. 12 a 14)
3 3 1 5 3 31 5 3
3 3 2 5 6 32 5 9
3 3 3 5 9 33 5 27
3 3 4 5 12 34 5 81
3 3 5 5 15 35 5 243
3 3 6 5 18 36 5 729
109
104 (10 000)
25
92
Potencia•‹o e divisibilidade12
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 12 12/21/15 5:19 PM
 21. Expresse os números multiplicando um número natural por uma potência de base 10.
 a ) A distância aproximada do planeta Marte ao Sol é de 228 000 000 km. 
228 ? 106 km
 b ) A área do Brasil é de aproximadamente 8 500 000 km2. 
85 ? 105 km2
 c ) A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000 km/s. 
3 ? 105 km/s
 22. Regularidade
Vamos descobrir um padrão? Observe os primeiros quadros e complete os demais com o mesmo padrão. 
81 72 63 54 45 36 27 18 09
8 49 216 625 1 024 729 128 1 0
 23. Dobre uma folha de papel sulfite de modo a obter duas regiões retan-
gulares de mesmo tamanho. Dobre -a outra vez, formando quatro 
regiões retangulares de mesmo tamanho.
Vá dobrando ao meio pela terceira, quarta, quinta e sexta vez. A cada 
dobra feita, conte apenas as regiões retangulares e anote quantas são.
Complete a tabela abaixo levando em consideração as observações que 
você fez ao dobrar a folha de papel sulfite. Converse com os colegas.
As bases diminuem de 1 em 1 e os expoentes aumentam de 1 em 1.
Resposta possível:
Relação entre o nœmero de dobras e o nœmero 
de regi›es retangulares obtidas
Nœmero de vezes em 
que a folha foi dobrada
Nœmero de regi›es 
retangulares obtidas
1 2 (21)
2 4 (22)
3 8 (23)
4 16 (24)
5 32 (25)
6 64 (26)
Dados experimentais.
Agora, responda às questões.
 a ) O que os números da segunda coluna têm em comum? 
São potências de base 2.
 b ) Sem fazer a dobradura, quantas regiões retangulares haveria após a 
nona dobradura? 
512 regiões (29 5 512)
 c ) Caso fosse possível, quantas dobraduras seriam necessárias para 
obter 128 regiões retangulares? 
7 dobraduras (27 5 128)
Potenciação e divisibilidade 13
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 13 12/21/15 5:19 PM
 24. Ao lançarmos uma moeda, temos duas possibilidades de resultado: cara (Ca) ou coroa (Co). 
J‡ ao lançarmos duas moedas diferentes, temos 4 possibilidades: 
(Ca, Ca); (Ca, Co); (Co, Ca) e (Co, Co).
Observe:
 21 5 2;
 22 5 4;
 e 23 5 8.
 a ) Quais e quantas são as possibilidades ao lançarmos 3 moedas diferentes? 
 b ) Quantas são as possibilidades ao lançarmos 4 moedas diferentes? 
 c ) E ao lançarmos 10 moedas diferentes? 
Esta atividade explora o racioc’nio combinat—rio.
(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co), 
(Co, Co, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Ca, Ca); 
8 possibilidades.
16 possibilidades (24)
1 024 possibilidades (210)
Ca Co
F
o
to
s
: 
C
a
s
a
 d
a
 M
o
e
d
a
 
d
o
 B
r
a
s
il
/M
in
is
tŽ
r
io
 
d
a
 F
a
z
e
n
d
a
Examine estas adiç›es dos primeiros nœmeros naturais ’mpares e responda.
1 5 1
1 3 4 2
2 parcelas
2
1 5 5
123
1 3 5 9 3
3 parcelas
2
1 1 5 5
1 24 34
1 3 5 7 16 4
4 parcelas
2
1 1 1 5 5
1 244 344
1 3 5 7 9 25
5 parcelas
1 1 1 1 5 5
1 2444 3444
52
 a ) Qual Ž o valor desta soma: 
 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 19? 
 b ) Qual Ž o valor da soma dos 8 primeiros nœmeros naturais ’mpares? 
 c ) Qual Ž o valor da soma dos 20 primeiros nœmeros naturais ’mpares? 
Desafio
100 (temos 10 parcelas, então 102 5 100)
64 (82 5 8 ? 8 5 64)
400 (202 5 20 ? 20 5 400)
Curiosidade matemática
Para elevar ao quadrado qualquer nœmero de dois algarismos terminado em 5, basta multiplicar o algarismo da dezena pelo 
sucessor dele e acrescentar 25 ao lado direito do produto. Veja os exemplos:
152 5 ? (1 3 2 5 2)
152 5 225
252 5 ? (2 3 3 5 6)
252 5 625
352 5 ? (3 3 4 5 12)
352 5 1 225
Use esse procedimento e encontre o valor de:
 a ) 452 5 2 025
 b ) 752 5 5 625
 c ) 852 5 7 225
 d ) 952 5 9 025
 e ) 552 5 3 025
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
 Curiosidade matem‡tica (abaixo)
Potencia•‹o e divisibilidade14
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 14 12/21/15 5:19 PM
Anos e anos-luz
[...] Apesar da palavra ano, o ano-luz Ž uma unidade de dist‰ncia, e n‹o de 
tempo. Um ano-luz Ž, simplesmente, a dist‰ncia que a luz viaja em um ano. E que 
dist‰ncia Ž essa? Isso n‹o Ž realmente importante, mas voc• pode descobrir 
aproximadamente, se quiser, multiplicando 300 mil km/s pelo nœmero de se-
gundos em um ano (cerca de 30 milh›es). O 
resultado Ž cerca de 9 trilh›es de quil™me-
tros. Faz mais sentido comparar o ano-luz 
com dist‰ncias reais. [...] O ano-luz Ž uma 
unidade conveniente quando estamos falan-
do de dist‰ncias interestelares ou interga-
l‡cticas. Mas Ž grande demais para ser œtil 
dentro do nosso pr—prio Sistema Solar; o Sol, 
por exemplo, est‡ apenas 8 minutos-luz da 
Terra, e a Lua est‡ a pouco mais de um se-
gundo-luz de dist‰ncia. Essas duas dist‰n-
cias representam apenas uma pequenina 
fra•‹o de um ano-luz. [...]
WOLFSON, Richard. Simplesmente Einstein: 
a relatividade desmistificada. Tradu•‹o de çlvaro 
Hattnher. S‹o Paulo: Globo, 2005. p. 143-144.
 1. Localize no texto palavras que voc• n‹o conhece e, com a ajuda de um dicion‡rio, encontre
o significado delas.
Pe•a aos alunos que consultem o dicion‡rio para localizar as palavras selecionadas ou proponha uma pesquisa na internet.
 2. De acordo com o texto, quanto vale, aproximadamente, 1 ano-luz em quil™metros? Escreva esse nœmero utilizando uma 
pot•ncia de base 10. 
9 3 1012 km
 3. O que voc• sabe sobre o Sistema Solar? Quais planetas fazem parte dele?
Verifique os conhecimentos prŽvios dos alunos e explique que o Sistema Solar Ž composto de v‡rios corpos celestes (cometas, planetas, asteroides, 
planetas-an›es, etc.) que orbitam em torno do Sol (que Ž uma estrela); entre eles, est‹o, alŽm da Terra, os seguintes planetas: Mercœrio, V•nus, Marte, 
Jœpiter, Saturno, Urano e Netuno.
 Ci•ncias Humanas e suas Tecnologias
 Ci•ncias da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, C—digos e suas Tecnologias
 Matem‡tica e suas Tecnologias
Conex›es
M
ik
k
e
l 
J
u
u
l 
J
e
n
s
e
n
/S
P
L
/L
a
ti
n
s
to
c
k
Representa•‹o fora de escala e em cores-
-fantasia mostrando a Terra, a Lua e o Sol e 
os demais planetas do Sistema Solar.
Potencia•‹o e divisibilidade 15
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 15 12/21/15 5:19 PM
 ÒO Sol est‡ no centro do Sistema Solar e todos os planetas 
giram a seu redor, cada um com um per’odo diferente. Ele Ž o res-
pons‡vel pelo suprimento da luz e da energia necess‡rias para a 
exist•ncia de vida na Terra.
Ele Ž uma estrela, como todas as outras que vemos no cŽu ˆ noi-
te. S— que as outras est‹o a muitos anos-luz e, por isso, que parecem 
pontinhos no cŽu. [...]
A dist‰ncia entre a Terra e o Sol Ž um fator fundamental, pois 
permite criar um ambiente de temperatura e luminosidade adequado 
para a manuten•‹o da vida. Nenhum outro planeta do Sistema Solar 
[...] possui as condi•›es ideais de vida semelhante ˆ s da Terra; uns s‹o 
muito quentes, outros muito frios. [...]Ó
Portal da Revista Recreio. Disponível em: <http://planetasustentavel.abril.com.br/planetinha/fique-ligado/curiosidades-sol-sistema-solar-fonte-luz-energia-683562.shtml>. 
Acesso em: 23 fev. 2015.
 4. Observe a figura com informações aproximadas sobre a distância, em quilômetros, dos planetas ao Sol e em seguida res-
ponda às questões. 
 
B
lu
e
R
in
g
M
e
d
ia
/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Mercœrio
V•nus
Terra
Marte
Jœpiter
Saturno
Urano
Netuno
Mercúrio 5,8 3 107 Vênus 1,1 3 108 Terra 1,5 3 108 Marte 2,3 3 108
Júpiter 7,8 3 108 Saturno 1,4 3 109 Urano 2,9 3 109 Netuno 4,5 3 109
 a ) Qual é o planeta mais próximo do Sol? 
Mercúrio
 b ) Qual é o planeta mais distante do Sol? 
Netuno
 5. Pesquise os benefícios que o Sol traz à vida na Terra.
Espera-se que os alunos percebam que o Sol é fundamental para a vida na Terra. Alguns exemplos de benefícios: a energia solar é uma fonte de energia 
renovável, limpa e de baixo impacto ambiental que pode ser convertida em energia elétrica e térmica; a fotossíntese só pode ser realizada na presença 
de luz; etc.
 6. Você considera importante estudar Astronomia? Por quê? Converse com os colegas.
Representa•‹o art’stica dos 
planetas do Sistema Solar 
(Esta ilustra•‹o n‹o obedece 
ˆ escala real. Cores-fantasia.)
Converse com os alunos sobre Astronomia. Informe a eles que, além de ciência, é uma carreira acadêmica, e sua exploração gera avanços no conhecimento e 
na tecnologia. A Astronomia é uma importante conexão entre o ser humano e o Universo. No link 
<http://educarparacrescer.abril.com.br/aprendizagem/estudos-astronomia-623930.shtml> (acesso em: 24 nov. 2014) 
é apresentado um texto muito interessante, que traz oito motivos para o estudo da Astronomia. Essa leitura o auxiliará na 
condução do diálogo com a turma. 
Fotografia do Sol pelo satŽlite da Nasa.
T
ri
ff
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Potencia•‹o e divisibilidade16
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 16 12/21/15 5:19 PM
3 Raiz quadrada
Examine esta situação-problema:
JosŽ quer cercar um terreno de forma quadrada cuja 
‡rea Ž 169 m2. Ele pretende colocar 4 fios de arame em 
cada lado do terreno e deixar um portão de 2 metros de 
comprimento em um dos lados. Quantos metros de ara-
me, no m’nimo, ele precisar‡ comprar?
Na resolução dessa situação est‡ envolvida a ideia 
de raiz quadrada, que ser‡ estudada a seguir.
A ideia de raiz quadrada
• Quando temos uma região quadrada com lados de 3 cm e queremos saber a medida 
de sua superf’cie (‡rea), podemos:
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
a) ÒquadricularÓ a figura em quadradinhos de 1 cm de lado e verificar que a ‡rea Ž 
9 cm2; ou
b) efetuar a multiplicação 3 3 3 5 9 e, com isso, chegar ˆ ‡rea de 9 cm2.
• Quando temos uma região quadrada cuja ‡rea Ž 36 cm2 e queremos saber o 
comprimento de cada lado, devemos procurar o nœmero que, multiplicado por ele 
mesmo, resulte 36. Como 6 3 6 5 36, conclu’mos que cada lado dessa região 
quadrada mede 6 cm.
Observe que a medida do lado de uma região quadrada representa o valor da raiz 
quadrada da ‡rea dessa figura. 
Quando procuramos o número
natural que, multiplicado por ele mesmo, resulta 36,
 estamos calculando o valor da raiz quadrada de 36, que é 6,
pois 6 3 6 5 36. Indicamos assim:
36 56 , pois 6 3 6 5 36,
ou seja, 62 5 36.
36 65 l•-se: raiz quadrada de trinta e seis Ž igual a seis.
M
au
ro
 S
ou
za
/A
rq
ui
vo
 d
a 
ed
ito
ra
 Você sabia?
¥ O s’mbolo foi usado pela 
primeira vez em 1525 num livro do 
matem‡tico alem‹o Christoph 
Rudolff (1499-1545).
¥ ƒ prov‡vel que a primeira letra (r) 
da palavra radix, que em latim 
significa ÒraizÓ, Ž que deu origem a 
esse s’mbolo.
¥ Em 1637, RenŽ Descartes 
(1596-1650) introduziu nesse 
s’mbolo o tra•o que usamos 
atŽ hoje.
¥ Os hindus foram os primeiros a 
usar regras para extrair ra’zes 
quadradas.
Potenciação e divisibilidade 17
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 17 12/21/15 5:19 PM
Interpretação geométrica 
da raiz quadrada
Observe como usar as regi›es planas ao lado para formar 
regi›es quadradas e descobrir o valor de ra’zes quadradas.
Vejamos, por exemplo, a interpreta•‹o geomŽtrica de 
169 .
Devemos obter uma regi‹o quadrada cuja ‡rea Ž 169 qua-
dradinhos. O comprimento do lado vai determinar a 169 .
Acompanhe.
A ‡rea da regi‹o quadrada deve ser 169 quadradinhos.
• ‡rea azul total: 100 quadradinhos
• ‡rea laranja total: 60 quadradinhos (6 ? 10)
• ‡rea rosa total: 9 quadradinhos (32)
• ‡rea total: 100 1 60 1 9 5 169
Cada lado dessa regi‹o quadrada tem comprimento 
13 (10 1 3). Logo, 169 13.5
Por isso, dizemos que os nœmeros quadrados perfeitos 
s‹o os nœmeros naturais que t•m a raiz quadrada exata, como 
Ž o caso do 169.
10
10
103
10 3
2 5
 3
 ?
 3
 5
 9
10010
10 10
100 quadradinhos (10 por 10) 10 quadradinhos 
(1 por 10)
1 quadradinho
(1 por 1)
Exercícios 
 25. Represente e calcule a raiz quadrada indicada em cada item.
 a ) 9 5 3, pois 3 ? 3 5 9.
 b ) 25 5 5, pois 5 ? 5 5 25.
 c ) 196 5 14, pois 14 ? 14 5 196.
 d ) 484 5 22, pois 22 ? 22 5 484.
 e ) Raiz quadrada de 1 5 1 5 1, pois 1 ? 1 5 1.
 26. Uma regi‹o quadrada tem ‡rea igual a 64 m2. Qual Ž a medida do seu lado?
 27. Assinale apenas as alternativas corretas.
 a ) X 51 681 41 
 b ) 625 155 
 c ) X 51089 33 
 d ) 54000 200 
 e ) X 590000 300 
 f ) X 324 185 
9 5 3 e n‹o 23. O s’mbolo 9 indica o nœmero positivo que elevado ao quadrado d‡ 9.
8 m 64 85( )
 Para construir:
 Exerc’cios 25 a 30 (p. 18 e 19)
Potenciação e divisibilidade18
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 18 12/21/15 5:19 PM
 28. Volte ˆ situa•‹o do terreno de JosŽ (in’cio da p‡gina 17) e fa•a a sua resolu•‹o. 
 29. Analise a figura abaixo e escreva que raiz quadrada ela indica. 
 30. Complete a sequ•ncia dos dez primeiros nœmeros quadrados perfeitos. Extraia a raiz quadrada de cada um deles.
1, 4, 9, 16, 25, 36 , 49 , 64 , 81 , 100 
çrea: 169 m2
Lado: 5169 13m
Per’metro: 4 ? 13 5 52 m
Descontando o port‹o: 52 2 2 5 50 m
4 fios: 4 ? 50 5 200 m
JosŽ dever‡ comprar, no m’nimo, 200 metros de arame.
10
10
100
10
10
10
10
10 10 10 10
5
2 5
 25
Temos uma regi‹o quadrada com ‡rea de: 
100 1 10 ? 10 1 52 5 100 1 100 1 25 5 225
Cada lado: 10 1 5 5 15.
Ent‹o, 225 155 .
5 5 5 5
5 5 5
5 5 5
1 1 4 2 9 3 16 4
25 5 36 6 49 7
64 8 81 9 100 10
, , , ,
, , ,
, ,
Uso da calculadora para determinar 
potências e raiz quadrada 
É muito fácil: basta seguir as 
orientações abaixo!
Modelo de calculadora simples
V
it
a
ly
 K
o
ro
v
in
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Veja se você entendeu. 
Para isso, faça os exercícios 
ao lado.
152 5 ?
Voc• tecla:
15 3 15 5 
ou
15 3 5 
Assim, 152 5 225.
529 ?9 ?59 ?
Voc• tecla:
529 dXX 
Assim, 529 23.9 259 2
54 5 ?
Voc• tecla:
5 3 5 5 5
Assim, 54 5 625.
Potencia•‹o e divisibilidade 19
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 19 12/21/15 5:19 PM
Exerc’cios 
 31. Use uma calculadora para determinar o valor de:
 a ) 1725 289
 b ) 4925 2 401
 c ) 455 1 024
 d ) 675 279 936
 e ) 12525 15 625
 f ) 10325 10 609
 g ) 3105 59 049
 h ) 2155 32 768
 i ) 841 5 29
 j ) 15 876 5 126
 k ) 278 784 5 528
 l ) 11 236 5 106
 32. Você sabe o valor de 9 e de 16 . E 10 está entre quais números naturais? Explique seu raciocínio. 
Resposta pessoal.
Espera -se que os alunos respondam que 10 é maior do que 3 (pois 32 5 9) e menor do que 4 (pois 42 5 16), ou seja, 10 está entre 3 e 4.
Peça aos alunos que calculem 10 com uma calculadora. Eles perceberão que seu valor está entre 3 e 4: 3,162...
 33. Cristina mora num quarteirão quadrado de área igual a 9 216 m2. Qual é a medida do lado desse quarteirão? 
 34. Determine a raiz quadrada da diferença entre o cubo de 4 e o triplo de 13. 
 Para construir:
 Exercícios 31 a 34 (abaixo)
96 m 9 216 965( )
5 (43 5 64; 3 3 13 5 39; 64 2 39 5 25; 25 55 )
4 Expressões numéricas envolvendo 
as operações estudadas
Para determinar o valor de uma expressão numérica que contenha adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada, devemos obedecer à seguinte ordem:
¥ efetuar as potenciações e raízes quadradas, na ordem em que aparecem;
¥ depois, as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;
¥ finalmente, as adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Exemplos:
 a ) h52 2 f(5 1 3) 3 2g 2 12 j 3 5 5
5 h25 2 f8 3 2g 2 1j 3 5 5
5 h25 2 16 2 1j 3 5 5
5 8 3 5 5 40
 valor da expressão numérica 
 b ) h3 3 f8 2 ( 25 1 1) ; 2g ; 5j2 5
5 h3 3 f8 2 (5 1 1) ; 2g ; 5j2 5
5 h3 3 f8 2 6 ; 2g ; 5j2 5
5 h3 3 f8 2 3g ; 5j2 5
5 h3 3 5 ; 5j2 5
5 h15 ; 5j2 5
5 h3j2 5 9
 valor da expressão numérica 
Devemos 
recordar também que começamos 
efetuando as operações que estão entre 
parênteses, depois as que estão entre 
colchetes e, finalmente, as que estão 
entre chaves.
Potencia•‹o e divisibilidade20
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 20 12/21/15 5:19 PM
Exerc’cios 
 35. Determine os valores de cada uma das expressões numéricas.
 a ) 7 2 2 3 3 5
 b ) (7 2 2) 3 3 5 
 c ) 8 2 7 1 1 5 
 d ) 8 2 (7 1 1) 5 
 e ) 62 2 36 5 
 f ) 100 ; (2 3 5) 5 
 36. Calcule o valor da express‹o 10 1 (8 2 6 ; 3).
 37. As expressões numéricas 36 641 e 36 641 t•m o mesmo valor? Calcule o valor de cada uma. 
 Para construir:
 Exerc’cios 35 a 46 (p. 21 a 23)
7 2 2 3 3 5 7 2 6 5 1
(7 2 2) 3 3 5 5 3 3 5 15
8 2 7 1 1 5 1 1 1 5 2
8 2 (7 1 1) 5 8 2 8 5 0
62 2 36 5 36 2 6 5 30
100 ; (2 3 5) 5 10 ; 10 5 1
101(8 2 6 ; 3) 5 10 1 (8 2 2) 5 10 1 6 5 16
N‹o; 36 64 70 e 36 64 10.1 5 1 5
 c ) h2 1 (3 2 1) 3 (3 1 3) ; 4} 5
5 h2 1 2 3 6 ; 4} 5
5 {2 1 12 ; 4} 5
5 {2 1 3} 5 5
 valor da express‹o numérica 
d ) h2 3 f7 2 ( 16 1 1) ; 5g ; 3j2 5
5 h2 3 f7 2 (4 1 1) ; 5g ; 3j2 5
5 h2 3 f7 2 5 ; 5g ; 3j2 5
5 h2 3 f7 2 1g ; 3j2 5
5 h2 3 6 ; 3j2 5
5 h12 ; 3j2 5
5 h4j2 5 16
 valor da express‹o numérica 
Potencia•‹o e divisibilidade 21
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 21 12/21/15 5:19 PM
 38. Considere a expressão 2 ? n2, na qual n indica um número natural. Complete a tabela relacionando o valor de n com o valor da 
expressão. Veja a coluna já preenchida. Ela indica que para n 5 5 a expressão 2 ? n2 vale 50. 
Valor de n 5 3 10 4 6 0 11 2
Valor de 2 á n2 50 18 200 32 72 0 242 8
 39. Mário comprou para o filho um livro e dois cadernos e indicou a quan-
tia total que gastou pela expressão 10 1 2 3 3. Escreva a quantia 
que ele gastou. 
 40. Calcule o valor de cada expressão numérica.
 a ) 12 ; (3 3 4) 5 e ) 4 1 2 3 3 2 5 5 
 b ) 12 ; 3 3 4 5 f ) (4 1 6) ; (32 2 7) 5 
 c ) 2 3 49 5 g ) 2 1 9 53 5 
 d ) 32 1 23 5 h ) 14 2 5 1 24 5 
 41. Observe os cubos nos quadros.
 
Assinale a expressão que indica o total de cubos e calcule seu valor:
 a ) (5 1 3) 3 2 5
 b ) X 5 1 3 3 2 5
 c ) 5 3 2 1 3 5
 d ) 2 1 5 3 3 5
 e ) 5 3 (3 1 2) 5
 f ) 3 3 (5 1 2) 5
16 reais (10 1 6)
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1 5
16 5
14 17
17 25
16
11
 13
 17
 25
21
Potencia•‹o e divisibilidade22
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 22 12/21/15 5:19 PM
 42. Indique as expressões que estão com os valores corretos. Nas que estão com os valores errados, coloque parênteses na posi-
ção adequada para que os valores fiquem certos.
 a ) 3 1 2 3 6 5 15
 b ) 3 1 2 3 6 5 30
 c ) 10 2 7 1 1 5 2
 d ) 3 1 42 5 19
 e ) 6 1 8 ; 2 5 10
 f ) 14 2 2 3 49 05
 43. João Pessoa, capital da Paraíba, é uma das cidades mais antigas de nosso país. 
O valor da expressão 102 3 25 3 3 1 82 1 21 indica o ano em que essa cidade foi fundada. Qual é esse ano? 
 44. Na quitanda de Júlia, havia 60 peras no início do dia, e foram vendidas 28 peras de manhã e 20 à tarde. Quantas peras sobraram? 
Escreva as duas expressões numéricas que traduzem essa situação e calcule seus valores. 
 45. Determine o valor de cada expressão numérica.
 a ) 32 ; 3 1 52 3 10 5 253
 b ) (92 1 2) 3 (36 2 62) 1 23 5 8
 c ) [(33 224240) ; (42 2 11)]2 5 4
 d ) [22 1 (22 1 5 3 6)] ; (25 1 2) 1 1 5
 46. Resolva as seguintes expressões numéricas:
 a ) 4 1 h8 1 2 3 f3 1 (10 1 2 3 7) ; 8gj 5 
 b ) hf(20 ; 10 3 2) 1 5g ; 3j 1 23 5 
 c ) (32 2 23) ? 33 2 23 1 22 ? 42 5 
 d ) 5 54 2
3
2( ) ; (6 1 12 ? 2) 5 
Correta.
Errada; (3 1 2) 3 6 5 30.
Errada; 10 2 (7 1 1) 5 2.
Correta.
Correta.
Correta.
1585
60 2 28 2 20 5 32 2 20 5 12 ou
60 2 (28 1 20) 5 60 2 48 5 12
Sobraram 12 peras.
16
24
11
 83
0
Potencia•‹o e divisibilidade 23
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 23 12/21/15 5:19 PM
Expressões numéricas e calculadoras
Para calcular o valor de uma express‹o numŽrica usando calculadora, devemos 
estar atentos ˆ ordem em que vamos efetuar as opera•›es e ˆ ordem em que elas 
aparecem. S‹o duas as situa•›es que devemos analisar. Veja os exemplos:
 a ) 336 ; 56 1 28
 A posi•‹o das opera•›es coincide
com a ordem na qual elas devem ser efetuadas.
Nesse caso, basta digitar e teclar na ordem mostrada abaixo.
2856336
digita digita digitatecla tecla tecla o valor da express‹o
aparece no visor
514
 b ) 336 ; (56 1 28)
 Aqui a situa•‹o Ž diferente. A adi•‹o deve ser efetuada primeiro (pois est‡ entre 
par•nteses) e depois a divis‹o, envolvendo a soma obtida. Em casos como este, 
devemos utilizar as teclas de mem—ria.
Veja o significado de algumas teclas:
M1 : coloca um nœmero na mem—ria.
MR : busca um nœmero na mem—ria.
M2 : retira um nœmero da mem—ria.
MC : apaga a mem—ria.
 Na express‹o do exemplo, fazemos primeiro 56 1 28, ÒguardamosÓ a soma na 
mem—ria e depois, ao fazermos a divis‹o, ÒbuscamosÓ essa soma.
84
aparece
28
digita
56
digita
84
aparece
336
digita teclatecla valor da express‹o
5
tecla
5
tecla
1
tecla
4
tecla
M1 MR
 c ) (2 496 ; 32) 2 (6 298 ; 94)
 
6 298 2 49694 67 67325 2785 54 4M1 MR
 Para praticar:
 Tratamento da informa•‹o
(p. 25 e 26)
 Outros contextos (p. 27 a 29)
 Praticando um pouco mais 
 (p. 30)
 Revis‹o cumulativa (p. 31 e 32)
Exercício 
 47. Calcule o valor das express›es seguintes.
 a ) Sem calculadora:
• 8 1 10 : 2 5 • 25 2 10 2 5 5 • (12 1 6) 3 (5 2 3) 5
 b ) Agora, s— usando calculadora.
• 28 823 : 41 : 375 19
• 4 637 2 87 3 345 1 679
• (712 3 34) 1 (3 455 2 219)5 27 444
 Para construir:
 Exerc’cio 47 (abaixo)
13 (8 1 5) 10 (15 2 5) 36 (18 3 2)
 Para aprimorar:
 Racioc’nio l—gico (abaixo)
Tr•s gatos pegam 3 ratos em 3 minutos. Em quantos minutos 100 gatos pegam 100 ratos? Em 3 minutos
Raciocínio lógico
Potencia•‹o e divisibilidade24
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 24 12/21/15 5:19 PM
Tratamento da informação
Constru•‹o de tabelas e gr‡fico de barras
 48. Taxa de natalidade infantil no Brasil
A taxa de natalidade infantil corresponde ao nœmero de crian•as que nascem vivas anualmente, a cada mil habitantes, em
determinada ‡rea.
A tabela a seguir mostra a taxa bruta de natalidade no Brasil de 2010 a 2014. Analise os dados da tabela e construa, no quadri-
culado, o gr‡fico de barras correspondente.
2010 2011 2012 2013 2014
14,00
13,50
14,50
15,00
15,50
16,00
Taxa bruta de natalidade no Brasil por mil habitantes
Ano Natalidade por mil habitantes
2010 15,88
2011 15,50
2012 15,13
2013 14,79
2014 14,47
Fonte: BRASIL em s’ntese. Dispon’vel em: <brasilemsintese.ibge.gov.br/
popula•‹o/taxas-brutas-de-natalidade>. Acesso em: 3 fev. 2015.
Taxa bruta de natalidade no Brasil por mil habitantes
25
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Potencia•‹o e divisibilidade
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 25 12/21/15 5:19 PM
 49. Leia o texto.
Um pouco da hist—ria das Copas do Mundo de Futebol
A Copa do Mundo de Futebol masculino Ž um tor-
neio rea lizado a cada quatro anos pela Federa•‹o Inter-
nacional de Futebol (Fifa).
A primeira edi•‹o desse campeonato aconteceu em 
1930, no Uruguai, com a vit—ria da sele•‹o anfitri‹. Desde 
ent‹o, apenas nos anos de 1942 e 1946 n‹o foi disputada 
a competi•‹o, por causa da Segunda Guerra Mundial.
O Brasil Ž o pa’s que mais venceu Copas; cinco, no 
total (1958, 1962, 1970, 1994 e 2002). ƒ tambŽm o œnico 
pa’s a ter participado de todas as edi•›es desse evento 
esportivo.
Em segundo lugar, v•m as tetracampe‹s It‡lia (1934, 
1938, 1982 e 2006) e Alemanha (1954, 1974, 1990 e 2014). 
Seguem-se os bicampe›es Argentina (vencedora em 
1978 e 1986) e Uruguai (vencedor em 1930 e em 1950) e, 
por fim, com um œnico t’tulo, as sele•›es da Inglaterra 
(1966), da Fran•a (1998) e da Espanha (2010). Em 2014, a 
Copa do Mundo de Futebol masculino foi realizada no 
Brasil pela segunda vez (a primeira foi em 1950).
Fonte: COPA do Mundo da Fifa Ð Brasil 2014. 
Dispon’vel em: <http://pt.fifa.com/worldcup/index.html>. Acesso em: 22 out. 2014.
Ap—s a leitura do texto, construa uma tabela relacionando os pa’ses campe›es em Copas do Mundo e o nœmero de conquistas. 
Em seguida, utilize os dados dessa tabela e construa um gr‡fico de barras.
Comente com os alunos que a Segunda Guerra Mundial foi 
um dos maiores conflitos da hist—ria. Ocorreu de 1939 a 1945 
e envolveu as principais na•›es do mundo na Žpoca.
Pa’ses campe›es em copas do mundo
Pa’s Nœmero de conquistas
Brasil 5
It‡lia 4
Alemanha 4
Argentina 2
Uruguai 2
Espanha 1
Fran•a 1
Inglaterra 1
Fonte: FIFA.
B
ra
s
il
It
‡
lia
A
le
m
a
n
h
a
1
2
3
4
5
A
rg
e
n
ti
n
a
U
ru
g
u
a
i
E
s
p
a
n
h
a
F
ra
n
•
a
In
g
la
te
rr
a
País
Número de conquistas
Fonte: FIFA.
Pa’ses campe›es em copas do mundo
A sele•‹o brasileira comemora a conquista do t’tulo mundial na SuŽcia, em 1958.
Hulton Archive/Getty Images
Potencia•‹o e divisibilidade26
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 26 12/21/15 5:19 PM
Outros contextos
 50. Descoberta de algumas propriedades das pot•ncias
O matemático grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) contribuiu para o estudo da potenciação formulando algumas 
propriedades das potências. Ele chegou a criar uma tabela, em que colocava duas séries de números, como se vê abaixo:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
Os números da série de cima (superior) são os expoentes, e os da série de baixo (inferior) são as potências que resultam da base 2 
elevada ao expoente correspondente. Quando o número de cima é 5, o de baixo é o resultado de 25, isto é, 32.
A partir desse quadro, Arquimedes enunciou a seguinte propriedade:
Se quisermos multiplicar dois números quaisquer da série inferior, adicionamos os números corres-
pondentes da série superior e procuramos o número correspondente a essa soma na série inferior.
Por exemplo: para multiplicar 4 por 32, basta tomar os expoentes correspondentes (2 e 5), somá-los (2 1 5 5 7) e procurar o 
resultado correspondente na série inferior (27 5 128).
Adaptado de: UOL Educa•‹o. Potência – História da descoberta do conceito. Disponível em: 
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/potencia-2-historia-da-descoberta-do-conceito.htm>. Acesso em: 25 nov. 2014.
Depois de ler o texto com bastante atenção, faça as atividades a seguir.
I. Observando o quadro de Arquimedes, calcule os resultados das multiplicações abaixo.
 a ) 8 3 64 5 
 b ) 8 3 32 5 256 (3 1 5 5 8)
 c ) 4 3 64 5 256 (2 1 6 5 8)
 d ) 4 3 128 5 512 (2 1 7 5 9)
II. Complete a tabela semelhante à de Arquimedes tendo o número 3 na base.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3n 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
III. Elabore questões semelhantes às do item I utilizando o quadro que você construiu. 
Resposta pessoal.
IV. Após trabalhar com esses dois quadros, podemos perceber regularidades nos produtos de potências. Considerando esse 
fato, complete os itens abaixo.
 a ) 8 3 64 5 23 ? 26 5 23 1 6 5 29 5 512
 b ) 81 3 243 5 34 ? 35 5 39 5 19 683
 c ) 3m ? 3n 5 3m 1 n , com m e n naturais.
512 (3 1 6 5 9)
27
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
Potencia•‹o e divisibilidade
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 27 12/21/15 5:19 PM
 51. Nœmeros secretos
 a ) As letras da palavra pomar representam cinco algarismos diferentes. Descubra qual Ž o nœmero correspondente a essa pa-
lavra, considerando as informa•›es a seguir:
POM 5 (AR)2 e PO 5 M 1 AR 1 10
Se necess‡rio, use calculadora. 
 b ) SŽrgio escreveu um nœmero de seis algarismos, come•ando pelo nœmero 1, e percebeu que, se o 1 fosse para o final do nœ-
mero, esse nœmero ficaria tr•s vezes maior. Que nœmero SŽrgio escreveu? 142 857
1ABCDE ABCDE1
De acordo com o problema, temos:
1ABCDE
3
3 
ABCDE1
¥ Ò3 3 EÓ deve resultar em um 
nœmero terminado em 1.
S— pode ser 3 3 7 5 21. Logo, E 5 7.
Se E 5 7, o algoritmo fica assim:
1ABCD7
3 3 
ABCD71
¥ Ò3 3 D 1 2Ó deve resultar em um 
nœmero terminado em 7.
S— pode ser 3 3 5 1 2 5 17. Logo, 
D 5 5.
Se D 5 5, o algoritmo fica assim:
1ABC5 7
3 3 
ABC571
Ò3 3 C 1 1Ó deve resultar em um 
nœmero terminado em 5.
S— pode ser 3 3 8 1 1 5 25. Logo, 
C 5 8.
Se C 5 8, o algoritmo fica assim:
1AB857
3 3 
AB8571
Seguindo o mesmo racioc’nio, temos:
¥ 3 3 B 1 2 5 8 ⇒ B 5 2
1A2857
3 3 
A28571
¥ 3 3 A 5 12 ⇒ A 5 4
142857
3 3 
428571
Assim, SŽrgio escreveu 142 857.
2
21
22 1
22 1
22 1
 52. Enchentes no Pantanal
No in’cio do ano de 2011, o Pantanal registrou uma das maiores cheias das œltimas dŽcadas, por conta do enorme volume de 
chuvas no Centro -Oeste brasileiro. V‡rios rios da regi‹o transbordaram e a ‡gua chegou atŽ as ‡reas mais altas, que geralmen-
te ficariam livres das inunda•›es.
As enchentes invadiram resid•ncias, destru’ram lavouras e causaram a morte de rebanhos de gado. 
Leia o trecho de uma not’cia de mar•o de 2011, extra’da de um jornal sul -ma to-grossense, relatando a situa•‹o das cheias no 
munic’pio de Corumb‡.
Pecuaristas solicitaram ao governo do estado a inclusão do Pantanal no decreto de emergência publicado na semana passada por 
conta das cheias no estado. 
Segundo o Sindicato Rural, “o transbordamento dos rios Taquari e Aquidauana e o grande volume de chuvas em toda a planície 
desde janeiro deixam o município de Corumbá em alerta máximo”.
Os fazendeiros preveem uma grande cheia este ano por conta também da alta precipitação pluviométrica que ocorre no municí-
pio. Só em uma propriedade, os pecuaristas dizem que choveu 730 milímetros em dois meses.
Fonte: CAMPO GRANDE NEWS. 13. mar. 2011. Dispon’vel em: 
<www.campograndenews.com.br/rural/produtores-querem-inclusao-do-pantanal-em-decreto-de-emergencia-do-estado>. 
Acesso em: 23 fev. 2015.
Possibilidades para a 1a condi•‹o:
172 5 289; 182 5 324; 242 5 576; 292 5 841
Testando a 2a condi•‹o, temos:
28 Þ 9 1 17 1 10; 32 5 4 1 18 1 10;
57 Þ 6 1 24 1 10; 84 Þ 1 1 29 1 10
Assim, o nœmero correspondente Ž 32 418.
Explore a leitura do texto com os alunos antes de partir para as atividades. Pe•a a eles que pesquisem sobre a regi‹o Centro-Oeste, o 
Pantanal, as cheias da regi‹o, o significado de precipita•‹o pluviomŽtrica, o que significa dizer Òchoveu 730 mil’metros em dois mesesÓ.
Potencia•‹o e divisibilidade28
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 28 12/21/15 5:19 PM
 a ) Suponha que choveu 730 mm em dois meses (janeiro e fevereiro de 2011), 175 mm em cada um dos meses de dezembro, 
novembro e outubro de 2010 e 37 mm em cada um dos meses de setembro e agosto de 2010 em determinada região 
do Pantanal. Represente seus cálculos com uma expressão numérica e calcule o volume de chuvas (em mm) na região 
durante esse período. 
 b ) Calcule a média aritmética aproximada do volume de chuvas para essa região do Pantanal nos meses citados no item a. 
 53. Pedro, responsável financeiro de uma creche, foi à loja fazer compras para as crianças. Ele comprou 3 bolas de futebol, 12 cami-
setas e 9 bermudas. 
Observe os preços dos produtos e faça as atividades propostas.
Camiseta
Bermuda
Bola
As imagens desta página não estão 
representadas em proporção.
F
o
to
s
: 
F
a
b
io
 Y
o
s
h
ih
it
o
 M
a
ts
u
u
ra
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 a ) Escreva a expressão numérica que representa o custo da compra. 
3 3 29 1 12 3 18 1 9 3 16
 b ) Se Pedro pagar com 5 cédulas de 100 reais, qual será seu troco?
 c ) Antes de passar no caixa, Pedro lembrou que precisaria levar também pares de meias para 10 crianças. Considerando que o 
preço de cada par de meias é R$ 7,00, escreva a expressão que representa o novo custo da compra. 
447 1 10 3 7
730 1 (175 3 3) 1 (37 3 2) 5
5 730 1 525 1 74 5 1 329
O volume de chuvas foi de 1 329 mm.
(730 1 175 1 175 1 175 1 37 1 37) ; 7 5 189 (resto 6).
Aproximadamente 190 mm.
3 3 29 1 12 3 18 1 9 3 16 5 447
500 2 447 5 53
O troco será de R$ 53,00.
R$ 18,00
R$ 29,00
R$ 16,00
Potencia•‹o e divisibilidade 29
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 29 12/21/15 5:19 PM
Praticando um pouco mais
 1. (Obmep) Partindo do número 2 na figura e fazendo as quatro contas no sentido da flecha, o resul-
tado Ž 12, porque 2 3 24 5 48, 48 ; 12 5 4, 4 3 6 5 24 e 24 ; 2 5 12. Se fizermos a mesma coisa 
partindo do maior número que aparece na figura, qual ser‡ o resultado?
 a ) 18
 b ) 32
 c ) 64
 d ) 72
 e ) 144 
 2. (CMB-DF) Um feirante comprou 15 ÒquilosÓ (kg) de alho para vender em pacotes de 150 gramas (g). Ao final do dia, ele tinha 
vendido a metade dos pacotes. Entre as opç›es abaixo, a única que apresenta a sequência de operaç›es que determina a quan-
tidade de pacotes que restaram ao final do dia Ž:
 a ) [(15 3 100) ; 150] ; 2.
 b ) [(15 ; 100) ; 150] 3 2.
 c ) [(15 ; 1 000) 3 150] ; 2.
 d ) [(15 ; 100) ; 150] 3 2.
 e ) [(15 3 1 000) ; 150] ; 2.
 3. (Obmep) Podemos colocar de v‡rias maneiras um par de parênteses na express‹o 20 ; 2 1 3 3 6, como, por exemplo, 
20 ; (2 1 3 3 6) e 20 ; (2 1 3) 3 6. Qual Ž o maior valor que se pode obter desse modo?
 a ) 24 
 b ) 28
 c ) 30
 d ) 78 
 e ) 138
 4. Qual Ž a metade de (23 1 32 2 14)?
 a ) 6
 b ) 7
 c ) 8
 d ) 9
 e ) 10
 5. Qual das adiç›es a seguir resulta em um quadrado perfeito?
 a ) 36 251
 b ) 49 161
 c ) 100 251
 d ) 64 361
 e ) 81 491 
 6. (PUC-RJ) A indústria de computaç‹o cada vez mais utiliza a denominaç‹o 1K como substituto para o número mil (por exem-
plo, ÒY2KÓ como o ano dois mil). H‡ um erro de aproximaç‹o nesse uso, j‡ que o valor tŽcnico com que se trabalha, 1K 5 210, 
n‹o Ž 1 000. Assim, rigorosamente falando, uma not’cia como Òo ’ndice Dow-Jones pode atingir 3KÓ significaria que o ’ndice 
pode atingir:
 a ) 3 000.
 b ) 2 960.
 c ) 3 012.
 d ) 2 948.
 e ) 3 072. 
12
2
624
3
43
4
(24 ; 12 5 2; 2 3 6 5 12; 12 ; 2 5 6; 6 3 24 5 144)X
X
X (20 ; 2 1 3) 3 6 5 78
(23 5 8; 32 5 9; 14 5 1; 8 1 9 2 1 5 16; 16 ; 2 5 8)X
5 5 1 5( )81 9; 49 7; 9 7 16X
(210 5 1 024; 3K 5 3 ? 1 024 5 3 072)X
30 Potencia•‹o e divisibilidade
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 30 12/21/15 5:19 PM
Revis‹o cumulativa
 1. Se Laura gastar a metade do que tem, ela poder‡ comprar 3 DVDs de 18 reais cada um. A quantia que Laura tem Ž:
 a ) 27 reais.
 b ) 108 reais.
 c ) 54 reais.
 d ) 91 reais.
 2. A soma do dobro de um nœmero natural com o triplo de seu sucessor d‡ 93. Esse nœmero Ž:
 a ) 17.
 b ) 21.
 c ) 18.
 d ) 20.
 3. Regina tinha 40 reais. Gastou 10 reais no cinema, e a metade do que restou gastou na lanchonete. A express‹o que indica a 
quantia que ela gastou na lanchonete Ž:
 a ) 40 2 10 2 5.
 b ) 40 2 10 ; 2.
 c ) (40 2 10) ; 2.
 d ) 40 2 10 2 15.
 4. Assinale a afirma•‹o verdadeira.
No quadril‡tero da figura ao lado:
 a ) n‹o h‡ ‰ngulo agudo.
 b ) n‹o h‡ ‰ngulo reto.
 c ) n‹o h‡ ‰ngulo obtuso.
 d ) h‡ ‰ngulo reto, agudo e obtuso.
 5. Complete com ., , ou 5.
 a ) 16 91 . 16 91 
 b ) 4 9? 5 4 9?
 c ) 103 ; 53 5 (10 ; 5)3
 d ) 102 3 103 , 102 × 3 
 6. Responda fazendo as rela•›es entre as medidas.
 a ) Em 2 horas e 15 minutos h‡ quantos minutos?
 b ) Em 12 metros h‡ quantos centímetros? 
 c ) Em 329 dias h‡ quantas semanas? 
 d ) Em 25 toneladas h‡ quantos quilogramas? 
X
X
X
X
(7 . 5)
(6 5 6)
(8 5 8)
(100 000 , 1 000 000)
2 3 60 1 15 5 135
H‡ 135 minutos.
12 3 100 5 1 200
H‡ 1 200 centímetros.
329 ; 7 5 47
H‡ 47 semanas.
25 ? 1 000 5 25 000
H‡ 25 000 quilogramas.
31
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
Potenciação e divisibilidade
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 31 12/21/15 5:19 PM
 7. Calcule o valor das express›es:
 a ) {3 1 2 3 [40 2 (32 2 7) 2 10]}2 5 b ) ;10 2 16 2 4 331 1 2 3( ){ }  5 
 8. Em um jogo de basquete, Marcelo fez o dobro dos pontos de Raul. Os dois juntos fizeram 54 pontos. Quantos pontos fez 
Marcelo? 
 9. Jairo tem 12 anos e Marta tem 29. Daqui a quantos anos a idade de Marta ser‡ o dobro da idade de Jairo? 
 10. Represente com todos os algarismos o nœmero correspondente a cada item.
 a ) 5 ? 103 1 3 ? 102 1 8 ? 10 1 6 5 
 b ) 4 bilh›es e 320 milh›es 5 
 c ) 6 milh›es 1 15 mil 1 9 5 
 d ) setecentos e quatro milh›es e dezoito 5 
 11. Coloque em ordem crescente os resultados de 42; 81 ; 49 ; 250; 23. 
 12. Calcule:
 a ) a soma do quadrado de 11 com a raiz quadrada de 81. 
 b ) a metade do cubo de 6. 
 c ) o cubo da metade de 6. 
 3 481 3
36 pontos (Raul → 54 ; 3 5 18; Marcelo → 2 3 18 5 36)
5 anos (12 1 5 5 17; 29 1 5 5 34; 2 ? 17 5 34)
5 386
4 320 000 000
6 015 009
704 000 018
42 5 16; 81 5 9; 49 5 7; 250 5 1; 23 5 8
Ordem crescente: 1, 7, 8, 9 e 16. 
112 5 121
81 5 9
121 1 9 5 130
63 5 216
216 ; 2 5 108
6 ; 2 5 3
33 5 27
Potencia•‹o e divisibilidade32
SER_EF2_Matematica6_M2_C1_001_032.indd 32 12/21/15 5:19 PM
Divisores e 
mœltiplos de 
nœmeros naturais
1 Introdu•‹o
As ideias de mœltiplo e de divisor podem ajudar a resolver situa•›es do nosso 
cotidiano, como as duas apresentadas a seguir.
1a) Para a realiza•‹o da festa junina de uma escola, os alunos dos 6os e dos 7os anos v‹o 
se organizar em grupos para arrecadar prendas. Nos 6os anos, h‡ 198 alunos e, nos 
7os anos, 189. Os grupos ter‹o o mesmo nœmero de alunos e ser‹o formados sem 
que se misturem alunos de anos diferentes e sem que sobre ninguŽm.
 a ) Cada grupo pode ter 7 alunos?
 b ) Cada grupo pode ter 3 alunos?
 c ) Qual Ž o nœmero m‡ximo de alunos que pode haver em cada grupo?
 d ) Nesse caso, quantos grupos ser‹o formados em cada ano?
2a) Em um centro comunit‡rio, Ž poss’vel realizar diversas atividades esportivas e 
culturais gratuitas. Bruno decidiu fazer capoeira, cujas aulas ocorrem de 4 em 4 dias, 
e inform‡tica, cujas aulas s‹o sempre de 5 em 5 dias. 
Se Bruno fizer capoeira e inform‡tica no domingo, depois de quanto tempo ele 
voltar‡ a realizar as duas aulas em um mesmo dia?
Neste cap’tulo, voc• vai estudar como resolver essas duas situa•›es e muitas 
outras, trabalhando com as ideias de mœltiplo e de divisor de nœmeros naturais.
Adolfo Santos Sonteria/D.A PressEduardo Zappia/Pulsar Imagens
Alunos em aula 
de capoeira.
Alunos em aula 
de inform‡tica.
2
 Cap’tulo
33
 Objetivos:
• Reconhecer os critŽrios de 
divisibilidade. 
• Identificar o que s‹o e como 
encontrar os divisores e 
mœltiplos de um nœmero 
natural.
• Calcular o mdc e o mmc de 
nœmeros naturais.
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 33 12/21/15 5:26 PM
2 Mœltiplos de um nœmero natural
Paulo coleciona miniaturas de carros. Para saber quantas tem, ele está contando 
de 3 em 3, a partir do zero.
...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3
Dizemos que a sequência 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... que Paulo utilizou para contar é a 
sequ•ncia dos nœmeros naturais mœltiplos de 3.
Indicamos essa sequência assim:
m(3): 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
Se contasse de 4 em 4, Paulo obteria os mœltiplos de 4. Veja a sequência dos 
múltiplos de 4:
m(4): 0, 4, 8, 12, 16, 20, ...
Observa•‹o: A sequência dos múltiplos de um número natural, diferente de zero, não 
tem fim, é infinita. Esse fato é indicado pelas reticências, colocadas no final. O primei-
ro elemento da sequência é sempre o zero.
S
Ž
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Exerc’cios 
 1. Depois do 18, na sequência dos múltiplos de 3, quais são os três próximos múltiplos de 3? 
21, 24 e 27.
 2. Os números 108 e 124 pertencem à sequência dos múltiplos de 3? Justifique. 
108 sim, pois 1 1 0 1 8 5 9, logo 108 é múltiplo de 3.
124 não, pois 1 1 2 1 4 5 7.
 3. Se contasse as miniaturas de carros de 5 em 5, Paulo obteria os múltiplos de 5. Como é indicada essa sequência? 
m(5): 0, 5, 10, 15, 20, ...
 4. Escreva as seguintes sequências:
 a ) Múltiplos de 14 5 m(14): 0, 14, 28, ...
 b ) m(23) 5 m(23): 0, 23, 46, ...
 c ) Múltiplos de 35 5 m(35): 0, 35, 70, ...
Paulo com sua cole•‹o de miniaturas de carros.
 Para construir:
 Exercícios 1 a 9 (p. 34 a 36)
Potencia•‹o e divisibilidade34
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 34 12/21/15 5:26 PM
 5. Responda ao que se pede.
 a ) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 16? 
N‹o.
 b ) O número 154 pertence à sequência dos múltiplos de 22? 
Sim.
 c ) 154 é um múltiplo comum de 16 e 22? Justifique. 
N‹o, pois é múltiplo de 22, mas n‹o é múltiplo de 16.
 6. O número 696 pertence à sequência dos múltiplos de 12, m(12): 0, 12, 24, ...
Quais s‹o os números vizinhos de 696 nessa sequência (o que vem imediatamente antes e o que vem imediatamente depois)?
684 (696 2 12) e 708 (696 1 12).
 
 7. Generaliza•›es
Os múltiplos de 5 s‹o obtidos fazendo-se: 5 ? 0,
0
 5 ? 1,
5
 5 ? 2,
10
 5 ? 3,
15
 ... e assim por diante.
Se n representa um número natural qualquer, podemos indicar os múltiplos de 5 por 5 ? n, que é uma generaliza•‹o ou uma 
forma geral de indicar os múltiplos de 5.
Como podemos indicar:
 a ) os múltiplos de 6? 6 ? n
 b ) os múltiplos de 8? 8 ? n 
 c ) os múltiplos de 11? 11 ? n 
 d ) os múltiplos de 15? 15 ? n 
 8. Uma exposiç‹o vai ser aberta ao meio -
-dia. Para evitar excesso de lotaç‹o, a 
entrada do público será controlada, e os 
grupos ser‹o renovados a cada 15 mi-
nutos. Pedro está no nono grupo da fila, 
mas n‹o poderá entrar na sala depois 
das 14 horas e 20 minutos, pois tem um 
compromisso inadiável. Verifique se ele 
conseguirá ver a exposiç‹o nesse dia. 
E
v
a
ri
s
to
 S
A
/A
g
ê
n
c
ia
 F
ra
n
c
e
-P
re
s
s
e
Crian•as visitando a exposi•‹o Rios Voadores. Goi‰nia (GO), 2012.
O 9o grupo entrará após 8 grupos; 
8 ? 15 5 120 min 5 2 h. Ent‹o, o 9o grupo 
entrará às 14 horas (12 1 2).
Logo, Pedro conseguirá ver a exposiç‹o nesse 
dia.
Sim.
Potencia•‹o e divisibilidade 35
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 35 12/21/15 5:26 PM
 9. Quando escrevemos a sequ•ncia dos mœltiplos de um nœmero natural diferente de zero, em ordem crescente:
 a ) qual Ž o 1o termo? 
 b ) qual Ž o 2o termo? 
 c ) qual Ž o 3o termo? 
 d ) qual Ž o œltimo termo? 
O zero.
O pr—prio nœmero.
O dobro do nœmero.
N‹o existe o œltimo termo (a sequ•ncia Ž infinita).
3 Divisores de um nœmero natural
Ondina fez 12 p‹es e pretende distribu’-los em caixas nas seguintes condi•›es: todas as caixas devem conter a 
mesma quantidade de p‹es e nenhum p‹o pode sobrar fora delas. Veja a seguir todas as possibilidades que ela tem para 
fazer o que pretende.
¥ Usar 1 caixa contendo os 12 p‹es. Observe que 12 ; 1 5 12 
Ž uma divis‹o exata (resto 0).
¥ Usar 3 caixas contendo 4 p‹es, pois 12 ; 3 5 4 (resto 0).
¥ Usar 2 caixas contendo 6 p‹es, pois 12 ; 2 5 6 (divis‹o exata). ¥ Usar 4 caixas contendo 3 p‹es, pois 12 ; 4 5 3 (divis‹o exata).
¥ Usar 6 caixas contendo 2 p‹es, pois 12 ; 6 5 2 (divis‹o 
exata).
¥ Usar 12 caixas contendo 1 p‹o, pois 12 ; 12 5 1 
(resto 0).
Caixa com 12 p‹es. Caixas com 4 p‹es em cada
uma.
Caixas com 6 p‹es em cada uma. Caixas com 3 p‹es em cada uma.
Caixas com 2 p‹es em cada uma.
F
o
to
s
: 
F
a
b
io
 Y
o
s
h
ih
it
o
 M
a
ts
u
u
r
a
Caixas com 1 p‹o em cada uma.
As imagens n‹o est‹o representadas 
em propor•‹o.Ondina n‹o pode usar 5, 7, 8, 9, 10 ou 11 caixas, pois sobrariam p‹es.
Dizemos que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 s‹o os divisores de 12, pois a divis‹o de 12 por qual-
quer um desses nœmeros Ž sempre exata (resto 0).
Podemos indicar os divisores de 12 assim: d(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12 .
Potencia•‹o e divisibilidade36
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 36 12/21/15 5:26 PM
Acompanhe agora esta outra situa•‹o. 
M‡rcia e Fl‡vio obtiveram os divisores de 18. M‡rcia escreveu todas as multiplica•›es 
de dois nœmeros naturais com produto 18 (colocando 3 3 6 n‹o foi preciso colocar 6 3 3):
1 3 18 5 18
2 3 9 5 18
3 3 6 5 18
Fl‡vio percebeu que os nœmeros que aparecem nos fatores s‹o os divisores de 18. 
Colocados em ordem crescente, ficam assim: d(18): 1, 2, 3, 6, 9, 18 .
Por isso Ž comum dizer que 1, 2, 3, 6, 9 e 18 s‹o os divisores de 18 ou s‹o os 
fatores de 18.
Obten•‹o dos divisores 
pelo processo geomŽtrico
Vamos achar os divisores de 16 ou fatores de 16 pelo processo geomŽtrico.
Desenhamos todas as regi›es retangulares cuja ‡rea seja 16 e cujas medidas dos 
lados sejam nœmeros naturais. Essas medidas s‹o os divisores de 16 ou os fatores de 16.
1
16
4
2
8 4
Assim, d(16): 1, 2, 4, 8, 16.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Aten•‹o! 
O quadrado Ž um caso 
particular de ret‰ngulo.
Exerc’cios 
 10. Determine:
 a ) d(14) 5 1, 2, 7, 14
 b ) d(13) 5 1, 13 
 c ) d(15) 5 1, 3, 5, 15
 d ) d(16) 5 1, 2, 4, 8, 16 
 11. Escreva:
 a ) o nœmero natural que s— tem um divisor 5 1
 b ) um nœmero natural que fica entre 20 e 30 e tem exatamente dois divisores 5 23 ou 29 
 c ) o nœmero natural que tem infinitos divisores 5 0 
 12. Determine:
 a ) os divisores comuns de 12 e 20, isto Ž, os nœmeros que s‹o divisores de 12 e tambŽm s‹o divisores de 20 5 
1, 2 e 4.
 b ) os divisores comuns de 14 e 9 5 S— o 1. 
 Para construir:
 Exerc’cios 10 a 16 (p. 37 a 39)
Potenciação e divisibilidade 37
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 37 12/21/15 5:26 PM
 13. Em uma folha de papel quadriculado, descubra e registre todos os divisores abaixo usando o processo geométrico. 
 a ) d(12) 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 (1 por 12, 2 por 6, 3 por 4)
 b ) d(20) 5 1, 2, 4, 5, 10, 20 (1 por 20, 2 por 10, 4 por 5) 
 c ) d(9) 5 1, 3, 9 (1 por 9, 3 por 3) 
 d ) d(5) 5 1, 5 (1 por 5) 
 e ) d(14) 5 1, 2, 7, 14 (1 por 14, 2 por 7) 
 f ) d(18) 5 1, 2, 3, 6, 9, 18 (1 por 18, 2 por 9, 3 por 6) 
 14. Regularidade nos divisores de um nœmero natural
Descubra a regularidade nos exemplos dados (divisores de 36 e divisores de 32). 
Depois faça o mesmo com os divisores de 20, os divisores de 9 e os divisores de 35.
Divisores de 36
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
6 3 6 5 36
4 3 9 5 36
3 3 12 5 36
2 3 18 5 36
1 3 365 36
Divisores de 32
1, 2, 4, 8, 16, 32
4 3 8 532
2 3 16 532
1 3 325 32
d(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20
 4 3 5 5 20
 2 3 10 5 20
 1 3 20 5 20
d(9): 1, 3, 9
 3 3 3 5 9
 1 3 9 5 9
d(35): 1, 5, 7, 35
 5 3 7 5 35
 1 3 35 5 35
Potencia•‹o e divisibilidade38
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 38 12/21/15 5:26 PM
 15. Pela figura ao lado, podemos descobrir dois dos divisores de um nœmero natu-
ral. Escreva qual Ž esse nœmero natural e quais s‹o os dois divisores. Depois 
descubra os demais divisores e escreva todos em ordem crescente. 
O nœmero Ž 48 . 
Os divisores s‹o 6 e 8 (6 3 8 5 48) ; 
d( 48 ): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. .
 16. Clodoaldo escreveu a sequ•ncia dos divisores de um nœmero em ordem crescente. 
Descubra qual Ž esse nœmero e complete a sequ•ncia com os nœmeros naturais que faltam.
d( 56 ): 1 , 2 , 4, 7 , 8, 14, 28 , 56
4 3 14 5 56
56 ; 8 5 7
56 ; 2 5 28
Uma dica: 
s‹o dez divisores no total.
4 Mœltiplo e divisor de 
um nœmero natural
Em uma escola ser‡ realizada uma gincana para a qual est‹o inscritos 108 alunos. 
Se forem formadas equipes de 6 alunos cada uma, algum aluno ficar‡ de fora? 
Para responder a essa quest‹o, precisamos saber se 108 ; 6 Ž uma divis‹o exa-
ta (resto 5 0) ou uma divis‹o n‹o exata (resto Þ 0).
Veja:
1 0 8 6
2 6 18
4 8
24 8
0
Como a divis‹o Ž exata, podemos afirmar que:
¥ 108 Ž divis’vel por 6 ¥ 6 Ž divisor de 108
¥ 108 Ž mœltiplo de 6 ¥ 6 divide 108
 ¥ 6 Ž fator de 108
Ent‹o, se forem formadas equipes de 6 alunos, n‹o sobrar‡ aluno.
Observe que o mesmo n‹o acontece se cada equipe tiver 5 alunos.
1 0 8 5
2 1 0 21
0 8
2 5
 3
resto 5 0 (divis‹o exata)
resto Þ 0 (divis‹o n‹o exata)
Potencia•‹o e divisibilidade 39
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 39 12/21/15 5:26 PM
Como 108 ; 5 n‹o Ž divis‹o exata, dizemos que:
• 108 n‹o Ž divis’vel por 5 ¥ 5 n‹o Ž divisor de 108
• 108 n‹o Ž mœltiplo de 5 ¥ 5 n‹o divide 108
 ¥ 5 n‹o Ž fator de 108
Assim, se forem formadas equipes de 5 alunos, 
sobrar‹o 3 alunos.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Exercícios 
 17. Se, para uma atividade de Arte, forem repartidas igualmente 224 
folhas de papel coloridas entre os 32 alunos de uma classe, 
sobrar‡ alguma folha?
 a ) Efetue a divis‹o que permite resolver esse problema. 
 b ) Verifique se essa divis‹o Ž exata ou n‹o e escreva as afirma-
•›es que podem ser feitas usando os termos divisível por, 
múltiplo de e divisor de.
224 Ž divis’vel por 32; 224 Ž mœltiplo de 32; 32 Ž divisor de 224.
 c ) Responda ˆ quest‹o do enunciado.
N‹o sobrar‡ nenhuma folha.
 Para construir:
 Exerc’cios 17 a 22 (p. 40 a 42)
G
e
ti
d
e
a
k
a
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/G
lo
w
 I
m
a
g
e
s
Folhas de papel coloridas.
224 4 32 5 7
Potenciação e divisibilidade40
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 40 12/21/15 5:26 PM
 18. Clotilde quer colocar 255 pirulitos em saquinhos, todos com a mes-
ma quantidade, mas de modo que n‹o sobre nenhum. Quantos 
pirulitos ela pode colocar em cada saquinho: 8, 12 ou 15? Fa•a os 
c‡lculos e responda ˆ quest‹o. 
Ela pode colocar 15 pirulitos em cada saquinho.
 19. De acordo com o exerc’cio anterior, assinale apenas as afirma•›es verdadeiras.
 a ) 255 Ž mœltiplo de 8.
 b ) 255 Ž divis’vel por 12.
 c ) X 255 Ž divis’vel por 15. 
 d ) X 15 Ž divisor de 255.
 e ) 12 Ž divisor de 255.
 f ) X 255 Ž mœltiplo de 15.
 g ) X 255 n‹o Ž divis’vel por 8.
 h ) 255 Ž mœltiplo de 12.
 i ) X 12 n‹o Ž divisor de 255.
 20. Observe estas duas possibilidades de divis›es exatas com nœmeros naturais em que o nœmero indicado com a seta Ž o dividen-
do ou o divisor:
8
0
mœltiplos de 8 ou 
nœmeros naturais 
divis’veis por 8
8
0
divisores de 8
Responda ˆs quest›es, mas antes verifique se a divis‹o Ž ou n‹o exata.
 a ) 6 Ž divisor de 8? 
 b ) 24 Ž mœltiplo de 8?
 c ) 264 Ž divis’vel por 8?
 d ) 4 117 Ž divis’vel por 8?
2 5 5 8
2 2 4 3 1
1 5
2 8
7
2 5 5 1 2
2 2 4 2 1
1 5
2 1 2
3
2 5 5 1 5
2 1 5 1 7
1 0 5
2 1 0 5
0
Pirulitos.
P
e
te
r 
D
a
ze
le
y
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
N‹o.
Sim.
Sim.
N‹o.
Potencia•‹o e divisibilidade 41
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 41 12/21/15 5:26 PM
 21. Responda.
 a ) Que nœmero natural Ž divisor de todos
os nœmeros naturais?
O nœmero 1.
 b ) Um nœmero natural diferente de zero Ž divisor ou Ž mœltiplo dele mesmo?
Divisor e mœltiplo.
 c ) Que nœmero natural Ž divis’vel por todos os nœmeros naturais diferentes de zero?
O zero.
 22. Uma das regras de um jogo estabelece que o nœmero 
m’nimo de participantes Ž 5 e o nœmero m‡ximo Ž 10.
Outra regra estabelece que 120 cart›es devem ser re-
partidos igualmente entre os participantes, de modo 
que todos sejam usados.
De acordo com essas duas regras, qual pode ser o nœ-
mero de participantes?
O jogo pode ter 5, 6, 8 ou 10 participantes.
 
Jovens jogando com cart›es.
S
Ž
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
CritŽrios de divisibilidade
No in’cio do ano, uma papelaria vai realizar uma grande promo•‹o para vender 
3 180 cadernos que est‹o no estoque. O gerente pretende fazer pacotes com a mes-
ma quantidade de cadernos sem que eles sobrem.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Potencia•‹o e divisibilidade42
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 42 12/21/15 5:26 PM
Exercícios 
 23. Observe a divis‹o ao lado. Como o resto Ž zero, ela Ž exata. 
¥ Os nœmeros que podem substituir o j s‹o os nœmeros naturais divis’veis por 2. Quais s‹o eles? 
0, 2, 4, 6, 8, ... ou os nœmeros pares.
¥ Como Ž o resto na divis‹o de um nœmero natural ’mpar por 2? 
Resto 1.
 24. Sem efetuar divis›es, identifique os nœmeros divis’veis por 2.
 a ) X 86 
 b ) 527 
 c ) X 400
 d ) X 664
 e ) 2 345
 f ) X 12 678
 g ) X 9 994
 h ) 4 999
 i ) X 70 000
 j ) 3 801
 k ) 727
 l ) X 272
 Para construir:
 Exerc’cios 23 e 24 (abaixo)
j 2
0
Um nœmero natural Ž divis’vel por 2 quando ele Ž nœmero par, ou seja, quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Vamos verificar se Ž poss’vel que cada pacote contenha 2, 5 e 7 cadernos. Para 
isso, faremos as divis›es:
¥ 2 cadernos
3 1 8 0 2
22 1 590
1 1
2 1 0
1 8
2 1 8
0 0
Como a divis‹o Ž exata, Ž poss’vel 
distribuir os cadernos em pacotes 
com 2 unidades.
¥ 5 cadernos
3 1 8 0 5
23 0 636
1 8
2 1 5
3 0
23 0
0
Como a divis‹o Ž exata, Ž poss’vel 
distribuir os cadernos em pacotes 
com 5 unidades.
¥ 7 cadernos
3 1 8 0 7
22 8 454
3 8
23 5
3 0
22 8
2
Como a divis‹o n‹o Ž exata, n‹o Ž 
poss’vel distribuir em pacotes com 
7 cadernos em cada um.
Em situa•›es como essa, precisamos saber se um nœmero Ž divis’vel por outro. 
Vamos ver agora que, em alguns casos, n‹o h‡ necessidade de efetuar a divis‹o. Bas-
ta usar os chamados critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Podemos escrever o critério de divisibilidade por 2 da seguinte forma:
Potencia•‹o e divisibilidade 43
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 43 12/21/15 5:26 PM
Divisibilidade por 3
Uma f‡brica de acess—rios produziu 2 541 pe•as que precisam ser distribu’das 
em caixas com 3 pe•as cada, sem sobrar nenhuma. Isso Ž poss’vel?
Para responder a essa quest‹o Ž preciso saber se 2 541 Ž divis’vel por 3. Para isso, 
uma das estratŽgias Ž efetuar a divis‹o e verificar se ela Ž exata. 
Como a divis‹o Ž exata, podemos afirmar 
que Ž poss’vel colocar as 2 541 pe•as em caixas 
com 3 pe•as cada, sem sobrar nenhuma.
Se conhecermos o critŽrio de divisibilidade por 3, n‹o precisaremos realizar essa 
divis‹o. Acompanhe o racioc’nio:
2 541 5 2 3 1 000 1 5 3 100 1 4 3 10 1 1 5
 5 2 3 (999 1 1) 1 5 3 (99 1 1) 1 4 3 (9 1 1) 1 1 5
 5 2 3 999 1 2 1 5 3 99 1 5 1 4 3 9 1 4 1 1 5
 5 2 3 999 1 5 3 99 1 4 3 9 1 21 5 1 4 1 1 
Como 2 1 5 1 4 1 1 5 12 e 12 Ž divis’vel por 3, ent‹o 2 541 tambŽm Ž divis’vel por 3.
Podemos fazer essa decomposi•‹o com qualquer nœmero natural. Temos ent‹o 
o critŽrio de divisibilidade por 3:
Um nœmero natural Ž divis’vel por 3 quando a soma de seus algarismos Ž 
divis’vel por 3.
Exemplos:
 a ) 57 402 Ž divis’vel por 3, porque 5 1 7 1 4 1 0 1 2 5 18, e 18 Ž divis’vel por 3.
 b ) 121 132 n‹o Ž divis’vel por 3, porque 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 5 10, e 10 n‹o Ž divis’vel 
por 3.
2 5 4 1 3
22 4 847
1 4
2 1 2
2 1
22 1
0
Soma dos algarismos do nœmero 2 541.
Agora, basta verificar se esta soma Ž mœltiplo de 3.ƒ divis’vel por 3, pois 9, 99 e 999
s‹o divis’veis por 3.
Exerc’cio 
 25. Use o critŽrio de divisibilidade por 3 e identifique os nœmeros divis’veis por 3.
 a ) X 45 c ) 401 e ) 1 348 
 b ) X 312 d ) X 741 f ) X 12 567 
(4 1 5 5 9) (4 1 0 1 1 5 5) (1 1 3 1 4 1 8 5 16)
(3 1 1 1 2 5 6) (7 1 4 1 1 5 12) (1 1 2 1 5 1 6 1 7 5 21)
 Para construir:
 Exerc’cio 25 (abaixo)
Potencia•‹o e divisibilidade44
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 44 12/21/15 5:26 PM
Divisibilidade por 4
Examine os números e suas decomposições: 
49312 40000 9000 300 10 2
Basta verif icar
se esta soma Ž
mœlt iplode 4.
5 1 1 1 1
mœltiplo
de 4
mœltiplo
de 4
mœltiplo
de 4
 
Daí o critério de divisibilidade por 4:
Um número natural é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois 
algarismos da direita é divisível por 4.
Exemplos:
 a ) 49 312: é divisível por 4, porque 12 é divisível por 4.
 b ) 5 305: não é divisível por 4, pois 05 ou 5 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Podemos escrever o critério de divisibilidade por 5 da seguinte forma:
Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplos:
 a ) 395 é divisível por 5, pois termina em 5.
 b ) 46 730 é divisível por 5, pois termina em 0.
 c ) 8 054 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
5305 5000 300 0 55 1 1 1
mœltiplo
de 4
mœltiplo
de 4
Basta verif icar
se esta soma Ž
mœlt iplode 4.
Isto ocorre sempre: as centenas, os 
milhares, as dezenas de milhares, 
etc. s‹o mœltiplos de 4 em qualquer 
nœmero. Basta verificar ent‹o a 
soma das dezenas e unidades.
Exercício 
 26. A divisão indicada ao lado é exata, pois o resto é zero. 
¥ Os números que podem aparecer no lugar do m são os números divisíveis por 5. Quais são eles? Escreva-os em ordem 
crescente: 
¥ Observe os números 426, 720, 871, 1 875 e 2 904. Identifique quais desses números são divisíveis por 5 e quais não são 
divisíveis por 5:
m 5
0
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...
Divisíveis por 5: 720 e 1 875; não divisíveis por 5: 426, 871 e 2 904.
 Para construir:
 Exercício 26 (abaixo)
Divisibilidade por 6
Conhecidos os critérios de divisibilidade por 2 e por 3, podemos enunciar o 
critério de divisibilidade por 6:
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao 
mesmo tempo.
Exemplos:
 a ) 246 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e por 3 (2 1 4 1 6 5 12).
 b ) 4 712 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2 (é par), não é divisível 
por 3 (4 1 7 1 1 1 2 5 14).
Potencia•‹o e divisibilidade 45
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica6_M2_C2_035_078.indd 45 12/21/15 5:26 PM
Divisibilidade por 9
Podemos determinar o critério de divisibilidade por 9 de modo semelhante ao 
que fizemos na divisibilidade por 3.
Examine o nœmero 7 425 e sua decomposição:
7425 7 1000 4 100 2 10 5
7 (999 1) 4 (99 1) 2 (9 1) 5
7 999 7 4 99 4 2 9 2 5
7 999 4 99 2 9 7 4 2 5
múltiplo de 9 Basta verificar se esta
soma é múltiplo de 9.
5 3 1 3 1 3 1 5
5 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5
5 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5
5 3 1 3 1 3 1 1 1 1
Daí o critŽrio de divisibilidade por 9:
Um nœmero natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 9.
Exemplos:
 a ) 37 512 é divisível por 9, porque 3 1 7 1 5 1 1 1 2 5 18, e 18