Prova 1 Resolvida de Geometria Analítica

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1. Responda verdadeiro (V) ou falso (F), sendo que cada ı́tem correto vale 25% da questão e
cada ı́tem incorreto vale −12, 5% da questão. Itens em branco não serão penalizados. (Obs.:
~0 representa o vetor nulo)
a. ( V ) Seja E = {~v1, ~v2, ~v3} um conjunto de vetores. Se ~v1 = ~0, então E é L.D.
Se ~v1 = ~0 então 1 · ~v1 + 0 · ~v2 + 0 · ~v3 = ~0, logo E = {~v1, ~v2, ~v3} é L.D.
b. ( F ) Seja E = {~v1, ~v2, ~v3} um conjunto de vetores. Se ~v1 6= ~0 6= ~v2 e ~v3 6= ~0, então E é L.I.
Sejam A e B pontos distintos no espaço E3. Então uma posśıvel escolha para E = {~v1, ~v2, ~v3}
é ~v1 =
−→
AB 6= ~0, ~v2 = 2 · ~v1 6= ~0 e ~v3 =
−→
BA 6= ~0. Temos que, com essa escolha nenhum dos
vetores ~v1, ~v2, ~v3 é vetor nulo, no entanto E = {~v1, ~v2, ~v3} não é L.I.
c. ( V ) Sejam ~u,~v e ~w vetores tais que ~u = 3 · ~v + (−5) · ~w, então {~u,~v, ~w} é L.D.
Temos que 1 · ~u+ (−3) · ~v + 5 · ~w = ~0, portanto {~u,~v, ~w} é L.D.
d. ( F ) Se {~u,~v, ~w} é L.D. então existem α, β ∈ R tais que ~u = α · ~v + β · ~w.
Sejam A,B e C três pontos não colineares e sejam ~u =
−→
AB, ~v =
−−→
BC e ~w = 2 · ~v. Então,
{~u,~v, ~w} é L.D. (0 ·~u−2 ·~v+ ~w = ~0), no entanto se existissem α, β ∈ R tais que ~u = α ·~v+β · ~w,
então
−→
AB = (α + 2β) ·
−−→
BC, mas isso implicaria que os pontos A,B e C são colineares. Logo
NÃO existem α, β ∈ R tais que ~u = α · ~v + β · ~w.
2. Considere o hexágono regular ABCDEF , inscrito na circunferência de centro O, mostrado
na figura abaixo. Prove que
−→
AB +
−→
AC +
−→
AD +
−→
AE +
−→
AF= 6·
−→
AO.
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........
........
........
........
......A
BC
D
E F
•O
Observamos que
−→
AB=
−→
AO +
−→
OB
−→
AC=
−→
AO +
−→
OC
−→
AD=
−→
AO +
−→
OD=
−→
AO +
−→
AO= 2·
−→
AO
−→
AE=
−→
AO +
−→
OE=
−→
AO +
−→
BO=
−→
AO −
−→
OB
−→
AF=
−→
AO +
−→
OF=
−→
AO +
−→
CO=
−→
AO −
−→
OC
Logo,
−→
AB +
−→
AC +
−→
AD +
−→
AE +
−→
AF= 6·
−→
AO
1
Primeira Prova de Geometria Analítica
3. Sejam A,B,C e D pontos quaisquer. Seja M o ponto médio do segmento AC. Seja N o ponto
médio do segmento BD. Mostre que o vetor ~x =
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD é paralelo ao vetor−−→
MN , expressando ~x em função de
−−→
MN .
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.............................
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•
•
•
•
•
•
A
C
M
B
D
N
Temos que
−−→
MN =
−−→
MC +
−−→
CN e
−−→
CN =
−−→
CD +
−−→
DN =
−−→
CB +
−−→
BN
Logo, 2 ·
−−→
CN =
−−→
CD +
−−→
DN +
−−→
CB +
−−→
BN =
−−→
CD −
−−→
BN +
−−→
CB +
−−→
BN =
−−→
CB +
−−→
CD.
Portanto,
−−→
MN =
−−→
MC + 1
2
· (
−−→
CB +
−−→
CD) (∗)
Por outro lado,
−−→
MN =
−−→
MA+
−−→
AN e
−−→
AN =
−→
AB +
−−→
BN =
−−→
AD +
−−→
DN
Logo, 2 ·
−−→
AN =
−→
AB +
−−→
BN +
−−→
AD +
−−→
DN =
−→
AB −
−−→
DN +
−−→
AD +
−−→
DN =
−→
AB +
−−→
AD.
Portanto,
−−→
MN =
−−→
MA+ 1
2
· (
−→
AB +
−−→
AD) (∗∗)
De (∗) e (∗∗) segue que
2 ·
−−→
MN =
−−→
MC + 1
2
· (
−−→
CB +
−−→
CD) +
−−→
MA+ 1
2
· (
−→
AB +
−−→
AD) = 1
2
· (
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD)
de onde segue que ~x =
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD = 4 ·
−−→
MN e portanto ~x e
−−→
MN são paralelos.
RESOLUÇÃO ALTERNATIVA (mais curta)
Como M é ponto médio de AC e N é ponto médio de BD, segue que
−−→
CM = −
−−→
AM e−−→
ND = −
−−→
NB. Desta forma, temos que
~x =
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD =
= (
−−→
AM +
−−→
MN +
−−→
NB) + (
−−→
AM +
−−→
MN +
−−→
ND) + (
−−→
CM +
−−→
MN +
−−→
NB) + (
−−→
CM +
−−→
MN +
−−→
ND) =
= 4 ·
−−→
MN + 2 · (
−−→
AM +
−−→
CM) + 2 · (
−−→
NB +
−−→
ND) =
= 4 ·
−−→
MN + 2 · (
−−→
AM −
−−→
AM) + 2 · (
−−→
NB −
−−→
NB) =
= 4 ·
−−→
MN + 2 · −→0 + 2 · −→0 = 4 ·
−−→
MN +~0 +~0 = 4 ·
−−→
MN
de onde segue que ~x é paralelo ao vetor
−−→
MN e ~x = 4 ·
−−→
MN .
4. Seja E = {~i,~j,~k} uma base do espaço de vetores V3 e sejam ~v1 =~i+~j, ~v2 = ~j+~k, ~v3 =~i+~k.
Mostre que {~v1, ~v2, ~v3} é linearmente independente e escreva ~w = (2, 1, 0)E como combinação
linear desses vetores.
Temos que ~v1 = (1, 1, 0)E, ~v2 = (0, 1, 1)E e ~v3 = (1, 0, 1)E. Assim,
det
1 1 00 1 1
1 0 1
 = 2 6= 0
Portanto, {~v1, ~v2, ~v3} é linearmente independente.
2
Determinemos agora os números x, y, z tais que ~w = x~v1 + y ~v2 + z ~v3, ou seja,
(2, 1, 0)E = x(1, 1, 0)E + y(0, 1, 1)E + z(1, 0, 1)E
Devemos ter que x + z = 2, x + y = 1 e y + z = 0, ou seja, x =
3
2
, y = −1
2
e z =
1
2
. Desta
forma, segue que:
~w =
3
2
~v1 −
1
2
~v2 +
1
2
~v3
3