Física Moderna - Relatividade restrita

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RELATIVIADADE RESTRITA
Efeitos Dinâmicos das Transformações de Lorentz
➢ Momento Linear 
Relativístico
➢ Energia Relativística
Momento Linear Relativístico
➢ Na mecânica relativística o momento é da mesma forma 
proporcional a velocidade do corpo e a sua massa: 
ρ = m Ԧ𝜈
➢ O momento relativístico deve ser conservado em sistemas
isolados, assim como na mecânica Newtoniana;
ρ = cte
➢ A expressão obtida deve se reduzir a forma 
newtoniana Τ𝑣 𝑐 0 
➢ No entanto, é possível mostrar que se adotarmos essa expressão e
consideramos um processo de colisão, a conservação do momento
linear verificada num referencial inercial não será verificada num
outro.
➢ Figura: Colisão das partículas a e b, de mesma massa
𝑚𝑣′𝑎
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
+ 𝑚𝑣′𝑏
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
= 𝑚𝑣′𝑎
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
+𝑚𝑣′𝑏
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
➢ Se ρ = cte,
Componentes da velocidade
➢ A figura mostra que as velocidades das partículas no eixo x não mudam antes e
depois da colisão, o sentido da coordenada de x para a partícula a é para a direita
antes e depois e o sentido da coordenada de x para a partícula b é para a esquerda
antes e depois. No entanto quando analisamos a coordenada y verificamos uma
inversão de sentidos, a partícula a possuía sentido para cima antes da colisão e após
sentido para baixo e o oposto ocorre com a partícula b.
➢ Velocidades antes e depois do choque
➢ Componentes em relação ao referencial S
➢ Aplicando as relações acima na equação, nota-se que em x o momento se conserva,
mas em y não. Isso se considerarmos a massa como constante.
𝑚𝑣′𝑎,𝑥
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
+ 𝑚𝑣′𝑏,𝑥
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
= 𝑚𝑣′𝑎,𝑥
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
+𝑚𝑣′𝑏,𝑥
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
𝑚𝑣′𝑎,𝑦
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
+ 𝑚𝑣′𝑏,𝑦
(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)
≠ 𝑚𝑣′𝑎,𝑦
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
+𝑚𝑣′𝑏,𝑦
(𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠)
➢ O momento relativístico não fornece uma expressão tal que o momento linear seja 
conservado na colisão.
➢ Entretanto, sabendo que quando um corpo chega a velocidades próximas a da Luz, 
a massa não pode ser constante e sim uma massa relativística. Portanto, pode-se 
mostrar que o momento total será conservado se,
ρ = 𝛾𝑚0 Ԧ𝑣 = 
𝑚0𝑣
1 −
𝑣2
𝑐2
➢ 𝛾 sendo o fator de Lorentz e 𝑚0 a massa relativística (variável) 
➢ A massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável,
e pode depender da velocidade do corpo:
ρ(𝑣) = 𝛾𝑚 𝑣 ∙ Ԧ𝑣
➢ Assim pode-se definir a massa relativística, dada por: 𝑚 𝑣 = 𝛾𝑚0 = 
𝑚0
1 −
𝑣2
𝑐2
➢ Assim, nos limites de baixa velocidade Τ𝑣2 𝑐2 tende a 0, logo tende a uma
mecânica não relativística onde a minha massa ela tenderia a ser constante, mas no
caso de velocidades próxima a da Luz, essa massa vai ter um crescimento como
mostra figura acima, de tal forma que se minha velocidade tende a velocidade da
Luz a massa do objeto tende ao infinito. Entretanto, sabemos que é impossível um
objeto com uma massa infinita ter uma velocidade igual a velocidade da Luz.
Portanto, podemos afirmar que é impossível um corpo de uma massa m ter uma
velocidade igual a velocidade da Luz.
Energia Relativística
➢ Essa teoria mostra que massa e energia são grandezas equivalentes, sendo que qualquer
massa possui energia associada a ela e vice-versa. Matematicamente, essa relação é
definida pela famosa equação de Einstein:
➢ Para melhor entendimento é necessário entender o comportamento da força na mecânica 
relativística. Assim com segunda lei de Newton :
Ԧ𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 
𝑑(𝛾𝑚0𝑣)
𝑑𝑡
➢ Conhecendo a força, pode-se falar do teorema Trabalho-Energia: O trabalho que uma
força realiza para mover um determinado corpo ou partícula de uma posição até a outra
ela é igual a variação da energia cinética dessa partícula.
𝑑𝑘
𝑑𝑡
= Ԧ𝐹 ∙ Ԧ𝑣 = 𝑣 ∙
𝑑𝑝
𝑑𝑡
E = 𝑚𝑐2 = 𝑚0 𝑐
2 + K
𝐸2 = 𝑚02𝑐
4 + 𝑝2𝑐2
➢ Sendo: E – energia de uma partícula; m – massa da partícula.
𝐸 = 𝑚 𝑐2
➢ Relação entre momento linear e energia
𝐸 = 𝑚02𝑐
4 + 𝑝2𝑐2
➢ No caso dessa anergia cinética K(𝑝2𝑐2) tender a 0, vai implicar que a energia será
associada a energia de repouso,
𝐸 = 𝑚0𝑐
2
➢ No caso de ter só a energia cinética K, mas esse corpo não ter a massa de repouso, 
este termo 𝑚02𝑐
4zera, como é o caso do fóton (Luz), quando m = 0, tem-se que, a 
energia para um corpo que não tem massa será, 
𝐸 = 𝑝𝑐
➢ Assim, a energia está associada somente a energia cinética