Probabilidade e estatistica

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Para um experimento que consiste na realização de ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostral
pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).
A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos primeiros ensaios e falhas nos ensaios seguintes
é 
Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com sucessos e falhas. O número de pontos do espaço
amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher ensaios para a
ocorrência de sucesso dentre o total de ensaios, pois nos restantes deverão ocorrer falhas. Este número é
igual ao número de combinações de elementos tomados a , ou seja,
 
Ou seja, para :
 
Definição 5.1.1:
Seja o número de sucessos obtidos na realização de ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que tem
distribuição binomial com parâmetros e , em que é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função
de probabilidade for dada por
 
Usaremos a notação .
Exemplo 5.1.1:
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é . Toma-
se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter: 
1. Uma peça defeituosa? 
2. Nenhuma peça defeituosa?
3. Duas peças defeituosas?
4. No mínimo duas peças defeituosas?
5. No máximo duas peças defeituosas?
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Solução:
1. .
2. .
3. .
4. .
ou seja, .
5. .
Exemplo 5.1.2:
Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por
questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3
questões?
Como cada questão apresenta cinco alternativas e o aluno pretende respondê-las ao acaso temos que a
probabilidade de sucesso em cada questão, ou seja, probabilidade dele escolher a alternativa correta é de 1/5.
Desta forma, podemos de�nir as seguintes variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli
 
Temos que, para todo , a probabilidade de sucesso é (já que temos 5 alternativas disponíveis). Desta
forma, . Se de�nirmos como sendo a variável aleatória que assume o número total de acertos
na prova, temos que
 
isto é, tem distribuição binomial com parâmetros e . Como queremos saber a probabilidade do
aluno acertar no máximo 3 questões, queremos encontrar o valor de . Assim
 
Portanto
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Logo, a probabilidade de que o aluno acerte no máximo 3 questões é de aproximadamente 0,879.
Exemplo 5.1.3:
Uma moeda não viciada é lançada várias vezes. Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes de obtermos
3 coroas?
Vamos considerar como sucesso a obtenção de cara em cada lançamento da moeda. Desta forma queremos obter
5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos. Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5 vezes e no
máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadas não é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, já temos
que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamos ter obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.
Considere as variáveis aleatórias , de�nidas como sendo o número de sucessos obtidos em 
lançamentos da moeda com . Sendo assim precisamos calcular para cada .
Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3 coroas é:
 
Exemplo 5.1.4:
(Problema da caixa de fosforo de Banach) Suponha que um homem ande sempre com duas caixas de fósforos com 
 palitos cada uma. Suponha também que cada vez que ele necessite usar um fósforo ele pegue de forma aleatória
em qualquer uma das caixas. Como ele é uma pessoa distraída quando ele pega o último palito da caixa de
fósforos ele não se lembra de joga-la fora. Qual a probabilidade de que quando ele perceba que uma das caixas
está vazia a outra contenha exatamente fósforos?
Para facilitar a resolução do problema vamos numerar as caixas de fósforo. Vamos calcular inicialmente a
probabilidade de que, quando o homem percebe que a caixa de fósforo número 1 está vazia, a caixa de fósforo
número 2 contém exatamente palitos. Consideremos como sucesso a retirada de um palito da caixa número 1.
Seja o evento "Retirar um fósforo da caixa número 1, mas a caixa 1 está vazia e a caixa de número 2 contém
exatamente fósforos. O evento ocorre se, e somente se, o -ésimo sucesso, ocorre na retirada de número 
. 
Em outras palavras para que o evento ocorra é necessário que nas vezes que obtemos sucesso, ou seja,
que retiramos fósforo da caixa 1, já tenhamos realizado experimentos. Com isso em mente,
concluímos que deve haver n sucessos nos 2n-k primeiros experimentos, e deve haver sucesso na vez seguinte.
Assim
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Como a probabilidade de que quando o homem constate de que a caixa de número 2 está vazia e a caixa de
número 1 contém exatamente fósforos também é igual a , a probabilidade que procuramos é .
Portanto a probabilidade de que quando ele perceba que uma das caixas está vazia a outra contenha exatamente 
 fósforos é de
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
Seja uma variável aleatória com distribuição Binomial . Então a função geradora de momentos de , 
 é dada por
 
em que, na última igualdade, utilizamos a fórmula do binômio de Newton.  Podemos encontrar a média e a
variância de através da função geradora de momentos. Assim
 
 
e, como , segue que .
Para encontrarmos a variância basta derivarmos mais uma vez a função . 
Assim temos que:
 
E, portanto, obtemos que . Desta forma, pode ser calculada por
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‹ 5 - Modelos probabilísticos discretos
(/probabilidades/modelos-probabilisticos-discretos)
acima
(/probabilidades/modelos-
probabilisticos-
discretos)
5.2 - Distribuição de Poisson › (/probabilidades/52-
distribuicao-de-poisson)
 
Portanto o valor esperado representa o número médio de sucessos. Por de�nição, temos que
 
A variância é dada por
PROBABILIDADES (/PROBABILIDADES)
1 - Introdução a teoria das probabilidades (/probabilidades/introducao-teoria-das-probabilidades)
2 - Variáveis Aleatórias (/probabilidades/variaveis-aleatorias)
3 - Valor esperado (/probabilidades/valor-esperado)
4 - Variância de variáveis aleatórias (/probabilidades/variancia-de-variaveis-aleatorias)
5 - Modelos probabilísticos discretos (/probabilidades/modelos-probabilisticos-discretos)
5 - Modelos probabilísticos discretos (/probabilidades/modelos-probabilisticos-discretos)
5.1 - Distribuição binomial (/probabilidades/51-distribuicao-binomial)
5.2 - Distribuição de Poisson (/probabilidades/52-distribuicao-de-poisson)
5.3 - Distribuição geométrica (/probabilidades/53-distribuicao-geometrica)
5.4 - Distribuição hipergeométrica (/probabilidades/54-distribuicao-hipergeometrica)
5.5 - Distribuição multinomial (/probabilidades/55-distribuicao-multinomial)
5.6 - Binomial negativa (/probabilidades/56-binomial-negativa)
6 - Modelos probabilísticos contínuos (/probabilidades/modelos-probabilisticos-continuos)
7 - Convergência de variáveis aleatórias (/probabilidades/convergencia-de-variaveis-aleatorias)
8 - Esperança de variáveis aleatórias (/probabilidades/esperanca-de-variaveis-aleatorias)
9. Fundamentos da Teoria da Probabilidade (/probabilidades/fundamentos-da-teoria-da-probabilidade)
10 - Exercícios (/probabilidades/10-exercicios)
Referências (/probabilidades/referencias)
  http://www.portalaction.com.br/probabilidades/modelos-probabilisticos-discretos
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http://www.portalaction.com.br/probabilidades/52-distribuicao-de-poisson
http://www.portalaction.com.br/probabilidades
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/introducao-teoria-das-probabilidades
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http://www.portalaction.com.br/probabilidades/valor-esperado
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