U4_RESMAT

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APÊNDICE
UNIDADE 4
Resistência 
dos Materiais 
Avançado
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 2
UNIDADE 4: Critérios de resistência e teoremas energéticos 
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 4.1
1. Alternativa A.
Resposta comentada: inicialmente, vamos calcular a área da seção 
transversal dos dois trechos da barra:
 
A
A
AB
BC
= ( ) = ×
= ( ) = ×
−
−
p
p
4
( )0 0( )4 1( )4 1( ) = ×4 1= ×26= ×26= ×10
4
( )0 0( )2 3( )2 3( ) = ×2 3= ×14= ×14= ×10
24 124 1 3 2
22 322 3 4 2
, ,( ), ,( ) = ×, ,= ×( )0 0( ), ,( )0 0( )4 1, ,4 1( )4 1( ), ,( )4 1( ) = ×4 1= ×, ,= ×4 1= ×
, ,( ), ,( ) = ×, ,= ×( )0 0( ), ,( )0 0( )2 3, ,2 3( )2 3( ), ,( )2 3( ) = ×2 3= ×, ,= ×2 3= ×
 m3 2 m3 2
 m4 2 m4 2 (1)
Para o trecho AB, utilizando a Equação 4.18:
 
U P L
EA
U
U
i
AB
AB
i
AB
i
AB
=
=
( )×( )× ⋅
⋅ × ⋅ ×
=
2P L2P L
( )3( )2
9 3⋅ ×9 3⋅ × −9 3−
2
( )50( )( )10( ) 1 6
2 200⋅ ×200⋅ ×10 1 2⋅ ×1 2⋅ ×9 31 29 3⋅ ×9 3⋅ ×1 2⋅ ×9 3⋅ ×6 1⋅ ×6 1⋅ ×9 36 19 3⋅ ×9 3⋅ ×6 1⋅ ×9 3⋅ × 09 309 3
7 9
,1 6,1 6
,1 2,1 2⋅ ×1 2⋅ ×,⋅ ×1 2⋅ ×
, 67 9, 67 96 , 66 , 6 N m⋅ =N m⋅ =N m 7,96 J96 J96 (2)
Para o trecho BC, de forma análoga:
 
U P L
EA
U
U
i
BC
BC
i
BC
i
BC
=
=
( )×( )× ⋅
⋅ × ⋅ ×
=
2P L2P L
( )3( )2
9 4⋅ ×9 4⋅ × −9 4−
2
( )50( )( )10( ) 1 2
2 200⋅ ×200⋅ ×10 3 1⋅ ×3 1⋅ ×9 43 19 4⋅ ×9 4⋅ ×3 1⋅ ×9 4⋅ ×4 1⋅ ×4 1⋅ ×9 44 19 4⋅ ×9 4⋅ ×4 1⋅ ×9 4⋅ × 09 409 4
23
,1 2,1 2
,3 1,3 1⋅ ×3 1⋅ ×,⋅ ×3 1⋅ ×
,887,887,8 N m⋅ =m⋅ =m 23,87 J (3)
2. Alternativa A.
Resposta comentada: fazendo o somatório dos momentos da viga 
no ponto A, temos:
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 3
 
M M x
M pM px
AM MAM M= ∴M M= ∴M M− −M M− −M M ( )px( )px






=
M p=M p
∑ 0M M0M M= ∴0= ∴M M= ∴M M0M M= ∴M M 2 0
1M p1M p
2
M p
2
M p 2
M M= ∴M M M M= ∴M MM M M M
 (1) 
Aplicando a Equação 4.21:
 
U M
EI
dx
U p
EI
x dxx dxx d
U p x
i
L
i
L LL L
i
=
= =
= ⋅= ⋅
∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫dx∫ ∫dx
p
∫ ∫
p
EI∫ ∫EI= =∫ ∫= == =∫ ∫= =dx= =dx∫ ∫dx= =dx
2
0
2 2L L2 2L L
0
2L L2L L
4x d4x d
0
2 5x2 5x
0
2
1L L1L L
∫ ∫2∫ ∫2 8EI2 8EI∫ ∫2 8∫ ∫EI∫ ∫EI2 8EI∫ ∫EI
8 5EI8 5EI
( )( )px( )pxL L( )L LL L( )L LpxL Lpx( )pxL Lpx
∫ ∫
( )
∫ ∫
px
∫ ∫
px( )px
∫ ∫
px
∫ ∫
( )
∫ ∫∫ ∫
( )
∫ ∫
L L2 2L L( )L L2 2L L1( )1L L1L L( )L L1L L2( )2∫ ∫2∫ ∫
( )
∫ ∫2∫ ∫
LLL
U = p L
40EIi
U =iU =
2 5p L2 5p L
 (2) 
3. Alternativa D.
Resposta comentada: inicialmente, vamos calcular as propriedades 
da seção transversal da viga. O momento de inércia da seção é:
 I
b
= == = = × −
4 4
4 4
12
0 34 40 34 4
12
6 7= ×6 7= ×5 1= ×5 1= × 0,0 3,0 3 , = ×, = ×6 7, 6 7= ×6 7= ×, = ×6 7= ×5 1, 5 1= ×5 1= ×, = ×5 1= × 0, 0 m4 4m4 4 (1)
Agora vamos calcular o peso do vagão:
 W mg= =W m= =W mg= =g ⋅ = ×20 000 9 8⋅ =9 8⋅ =1 1⋅ =1 1⋅ = 92 106. ,000. ,000 9 8. ,9 8 , ×, ×92, 92 10, 10 N (2)
Vamos iniciar nossa solução verificando qual é a deflexão no ponto 
central da viga caso o carregamento fosse estático, aplicando 
a equação dada no enunciado com os dados fornecidos e as 
Equações 1 e 2, temos:
 
∆est
PL
EI
= == =
× ⋅
⋅ × ⋅ ×
3 6PL3 6PL × ⋅3 6× ⋅ 3
9 4⋅ ×9 4⋅ × −9 4−48
193 61 93 62 1× ⋅2 1× ⋅3 62 13 6× ⋅3 6× ⋅2 1× ⋅3 6× ⋅0 2× ⋅0 2× ⋅3 60 23 6× ⋅3 6× ⋅0 2× ⋅3 6× ⋅ 5
48 200⋅ ×200⋅ ×10 6 7⋅ ×6 7⋅ ×9 46 79 4⋅ ×9 4⋅ ×6 7⋅ ×9 4⋅ ×5 1⋅ ×5 1⋅ ×9 45 19 4⋅ ×9 4⋅ ×5 1⋅ ×9 4⋅ × 09 409 4
, ,× ⋅, ,× ⋅19, ,1 92 1, ,2 1× ⋅2 1× ⋅, ,× ⋅2 1× ⋅0 2, ,0 2× ⋅0 2× ⋅, ,× ⋅0 2× ⋅
,6 7,6 7⋅ ×6 7⋅ ×,⋅ ×6 7⋅ ×
” = 0,0046est mmm (3)
Agora, para um movimento horizontal, podemos obter o deslocamento 
máximo no ponto central com o uso da Equação 4.40:
 
∆
∆
∆
máx
est
máx
v
g
=
=
⋅
2
20 0046 2
9 81
,
,9 8,9 8
” = 0,044 m044 m044máx (5)
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 4
Portanto, o deslocamento estático correspondente é de 0,0046 m 
e o deslocamento máximo é 0,044 m. 
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 4.2
1. Alternativa C.
Resposta comentada: da Figura 4.23 temos que as tensões atuantes 
no elemento são: sx =120 MPa, sy =−100 MPa e txy = 80 MPa . Da 
resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais podem 
ser encontradas através da seguinte equação:
 
σ
σ σ σ σ
τ12
2
2
2 22 2,12,1 2
=
+σ σ+σ σ
±
σ σ−σ σ
2 22 2
2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2



+x y
σ σx yσ σ+x y+σ σ+σ σx yσ σ+σ σ x yσ σx yσ σ
xy
 (1)
Substituindo os termos:
 
s12
2
2120
2
120
2
80,12,1 2 =
+ −( )100( )100+ −( )+ −
±
− −( )100( )100− −( )− −





+
 (2)
 s1 146 01= , 01, 01 MPa e s2 126 01=− , 01, 01 MPa (3)
Teoria da tensão normal máxima: vamos utilizar as Equações 4.41 
e 4.42:
 σ σγ1 ³ e σ σγ2 ³ (Eq. 4.41 e 4.42)
 146 01 250, < =< =σ< =γ< =γ< = MPa e 126 01 250, < =< =σ< =γ< =γ< = MPa (4)
Portanto, pela teoria da tensão normal máxima o material não irá 
falhar.
Teoria da tensão cisalhante máxima: por ter sinais opostos, vamos 
utilizar a Equação 4.47:
 σ σ σγ1 2σ σ1 2σ σ− ≥− ≥σ σ− ≥σ σ1 2− ≥1 2σ σ1 2σ σ− ≥σ σ1 2σ σ Eq. 4.47
 
146 01 250
272 03 250
, ,01, ,01
,
− −( )126( )126 01( )01, ,( ), ,126, ,126( )126, ,126− −( )− − > =
> =
> =σ> =
> =σ> =
γ> =γ> =
γ> =γ> =
 MPa
 MPa (5)
Portanto, pela teoria da tensão cisalhante máxima o material irá 
falhar.
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 5
Teoria da máxima energia de distorção: vamos utilizar a Equação 56:
 σ σ σ σ σγ
2
1
2
1 2 2
2= − ⋅ + (Eq. 4.56)
 σγ = − ⋅ −( )+ −( )146 01 146 01 126 01 126 01
2 2, , , , (6)
σγ = >250 235 80 MPa MPa,
Portanto, pela teoria da máxima energia de distorção, o material 
não irá falhar.
Por fim, a resposta é: não falha; falha; não falha. 
2. Alternativa B.
Resposta comentada: da figura 4.24 temos que as tensões atuantes 
no elemento são: sx =100 MPa , sy = 75 MPa e txy =−50 MPa . Da 
resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais podem 
ser encontradas através da seguinte equação:
 
σ
σ σ σ σ
τ12
2
2
2 22 2,12,1 2
=
+σ σ+σ σ
±
σ σ−σ σ
2 22 2
2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2



+x y
σ σx yσ σ+x y+σ σ+σ σx yσ σ+σ σ x yσ σx yσ σ
xy
 (1)
Substituindo os termos:
 
s12
2
2100 75
2
100 75
2,12,1 2
=
+
±
−





+ −( )50( )50+ −( )+ −
 (2)
 s1 139 04= , 04, 04 MPa e s2 35 96= , 96, 96 MPa (3)
Teoria da tensão normal máxima: 
 
FS
máx
= == = =
σ
σ
γ= =γ= =
250
139 04
180
,
,1 8,1 8
 (4)
Teoria da tensão cisalhante máxima: a tensão máxima é dada pela 
Equaçao 4.45:
 
τ
σ σ
τ
máx
abs
máx
abs
=
σ σ−σ σ
=
−
=
1 2σ σ1 2σ σ
2
139 04 35 96
2
51 54
, ,04, ,04 35, ,35
, 54, 54 MPa (5)
 
FS
máx
abs= == =
( )( )
=
τ
τ
γ= =γ= =
( )250( )( )2( )
5154
2 43
,
,2 4,2 4
 (6)
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 6
Teoria da máxima energia de distorção: vamos utilizar a Equação 56:
 σ σ σ σ σγ
2
1
2
1 2σ σ1 2σ σ 2
2= −σ σ= −σ σ1= −1 ⋅ +σ σ⋅ +σ σ1 2⋅ +1 2σ σ1 2σ σ⋅ +σ σ1 2σ σ Eq. 4.56
 
s
s
e
e
= −= − ⋅ +
=
139= −139= −04= −04= −139 04 ⋅ +35⋅ +⋅ +96⋅ +35 96
125
2 2⋅ +2 2⋅ +1392 2139 042 204 352 235⋅ +35⋅ +2 2⋅ +35⋅ +962 296⋅ +96⋅ +2 2⋅ +96⋅ +352 235 962 296, ,04, ,04 139, ,139 , ,⋅ +, ,⋅ +⋅ +96⋅ +, ,⋅ +96⋅ +35, ,35
 MPa (7)
 
FS
e
= == = =
σ
σ
γ= =γ= =
250
125
2 00,2 0,2 0
 (8)
Portanto, os fatores de segurança são 1,80; 2,43; 2,00. 
3. Alternativa A.
Resposta comentada: inicialmente, vamos definir a tensão 
cisalhante máxima através da tensão de escoamento e do fator de 
segurança do enunciado:τ
σγ
máx FS
=






= =
1
2
250
2 1⋅2 1⋅ 4
89 29
.
, 29, 29 MPa
 (1)
Vamos agora definir a tensão atuante no tubo utilizando a conhecida 
equação da tensão de cisalhamento de um tubo:
 
txy
Tr
J J J
= == = =
50 0 1 5000. (⋅. (⋅000. (000 , )0 1, )0 1
 (2)
Vamos agora igualar ambas as tensões (1) e (2):
 
t tmát tmát tx xt tx xt t yx xyx x
J
J
t t=t t
× =
= × −
89 29 10× =10× = 5000
5 6= ×5 6= ×10
6× =6× =
5
,
,5 6,5 6= ×5 6= ×,= ×5 6= × (3)
Vamos agora calcular o momento de inércia polar para um tubo, 
igualando com (3):
 
J =
( )d d( )d de i( )e id de id d( )d de id dd d−d d( )d d−d d
× =
( )d( )di( )i−( )−−
p
p
( )4 4( )d d( )d d4 4d d( )d d
5× =5× =
( )4 4( )d( )d4 4d( )d
32
5 6 10× =10× =
( )0 2( )
32
,5 6,5 6
( ),( )( )0 2( ),( )0 2( )
 (4)
Resolvendo (4) para di , temos:
 di = =0= =0= =1791= =1791= =179 1, ,1791, ,1791 179, ,179 m= = m= =, , m, , mm (5) 
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 7
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 4.3
1. Alternativa A.
Resposta comentada: da Figura 4.38 temos que as tensões atuantes 
no elemento são: sx = 65 MPa , sy =−110 MPa e txy = 45 MPa . Da 
resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais podem 
ser encontradas através da seguinte equação:
 σ
σ σ σ σ
τ12
2
2
2 22 2,12,1 2
=
+σ σ+σ σ
±
σ σ−σ σ
2 22 2
2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2



+x y
σ σx yσ σ+x y+σ σ+σ σx yσ σ+σ σ x yσ σx yσ σ
xy (1)
Substituindo os termos:
 s12
2
265
2
65
2
45,12,1 2 =
+ −( )110( )110+ −( )+ −
±
− −( )110( )110− −( )− −





+ (2)
 s1 75 89= , 89, 89 MPa e s2 120 89=− , 89, 89 MPa (3)
Como as tensões principais tem sinais opostos, podemos aplicar a 
Equação 4.58:
 
s
s
s
s
1 2s1 2s 1
últ
T
últ
C− =− = (Eq. 4.58)
 
75 89
160
120 89
320
0 85 1, ,89, ,89 120, ,120 ,−− = <0 8= <0 85 1= <5 1,= <,0 8,0 8= <0 8,0 8 (4)
Portanto, o coeficiente pelo critério de Coulomb-Mohr é 0,85 e o 
material não falha. 
2. Alternativa B.
Resposta comentada: aplicando o fator e segurança na resistência 
última temos:
 FS últ⋅ =úl⋅ =últ⋅ =t⋅ = ⋅ =s⋅ =s⋅ = 1 45 150⋅ =150⋅ =103 45, ,1 4, ,1 45, ,5 150, ,150 103, ,103 MPa (1)
Vamos definir a tensão atuante na barra:
 τ πxy
Tr
J
= == =
( )
=
1 5 0 2
2
( )0 2( )( )5( )
6112
4
. (⋅. (⋅1 5. (1 5 , )0 2, )0 25, )5
( ),( )( )0 2( ),( )0 2( )
, 12, 12 MPa (2)
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais 
para um caso de cisalhamento puro podem ser encontradas através 
da seguinte equação:
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 8
 σ τσ τ12σ τ12σ τ
2
,1 2,1 2σ τ=σ τxy (3)
Substituindo os termos:
 s12
26112,12,1 2 ,= (4)
 s1 6112= , 12, 12 MPa e s2 6112=− , 12, 12 MPa (5)
Pela teoria da tensão normal máxima, utilizando a Equação 4.57:
 s ss s12s s12s s,1 2,1 2s s=s súlt Eq. 4.57
 6112 103 45, ,, ,12, ,12 103, ,103<, ,<, , (6)
Portanto, pela teoria da tensão normal máxima, o material não 
falha. Pela teoria de Coulomb-Mohr, como as tensões principais 
tem sinais opostos, podemos aplicar a Equação 4.58:
 
s
s
s
s
1 2s1 2s 1
últ
T
últ
C− =− = (Eq. 4.58)
 6112
103 45
6112
103 45
118 1,
,
,
,
,−− = >11= >118 1= >8 1,= >,11,11= >11,11 (7)
Portanto, pela teoria de Coulomb-Mohr, o material falha. Pela 
teoria da maior deformação linear, como as tensões principais são 
iguais em módulo, podemos aplicar a Equação 4.67:
 s
s
12 1,12,1 2
=
+
últ
v
 (Eq. 4.67)
 
6112 103 45
1 0 3
6112 79 59
, ,
,
, ,12, ,12 79, ,79
=
+1 0+1 0
<, ,<, , MPa, , MPa, , MPa (7)
Portanto, pela teoria da maior deformação linear, o material não 
falha. Dessa forma, a resposta final é: não falha, falha, não falha. 
3. Alternativa E.
Resposta comentada: da Figura 4.40 temos que as tensões atuantes 
no elemento são: sx =120 MPa , sy =−80 MPa e txy = 50 MPa
. Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais 
podem ser encontradas através da seguinte equação:
 
σ
σ σ σ σ
τ12
2
2
2 22 2,12,1 2
=
+σ σ+σ σ
±
σ σ−σ σ
2 22 2
2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2



+x y
σ σx yσ σ+x y+σ σ+σ σx yσ σ+σ σ x yσ σx yσ σ
xy
 (1)
U4 - Critérios de resistência e teoremas energéticos 9
Substituindo os termos:
 s12
2
2120
2
120
2
50,12,1 2 =
+ −( )80( )80+ −( )+ −
±
− −( )80( )80− −( )− −





+ (2)
 s1 131 80= , 80, 80 MPa e s2 91 80=− , 80, 80 MPa (3)
Teoria da tensão normal máxima: podemos adicionar a Equação 
4.57 o fator de segurança. Assim, temos:
 
s
s
12,1 2,1 2 =
últ
FS (Eq. 4.57)
 
FS = == =250
13180
190
,
,1 9,1 9
 (4)
Portanto, pela teoria da tensão normal máxima, o fator de segurança 
é 1,90.
Teoria de Coulomb-Mohr: como as tensões principais tem sinais 
opostos, podemos adicionar o fator de segurança a Equação 4.58:
 
s
s
s
s
1 2s1 2s 1
últ
T
últ
C FS
− =− = (Eq. 4.58)
 
FS =
−
−





=
1
13180
250
9180
650
150
, ,80, ,80 91, ,91
,1 5,1 5
 (7)
Portanto, pela teoria de Coulomb-Mohr, o fator de segurança é 1,50.