Técnicas de Instrumentação

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Licenciatura em Engenharia Electrónica e Telecomunicações 
 3ºano, 2º semestre 
2011/2012 
 
Técnicas de Medida e Instrumentação 
 
 
 
Exercícios propostos pelo 
docente da cadeira resolvidos 
 
 
 
 
 
Discente: Jorge Rodrigues Valente, 2087406 
Docente: Prof. Luís Armando de Aguiar Oliveira Gomes 
 
Junho de 2012 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 01-01-2013 1/142 
Sugestões: jrvalente@netmadeira.com Técnicas de Medida e Instrumentação – Teórico-prática 
 
Índice 
 
Resolução da folha de Exercícios propostos 1 ..................................................................................................... 2 
Resolução da folha de Exercícios propostos 2 ................................................................................................... 21 
Resolução da folha de Exercícios propostos 3 ................................................................................................... 29 
Resolução da folha de Exercícios propostos 4 ................................................................................................... 37 
Resolução da folha de Exercícios propostos 5 ................................................................................................... 49 
Resolução da folha de Exercícios propostos 6 ................................................................................................... 63 
Resolução da folha de Exercícios propostos 7 ................................................................................................... 69 
Resolução da folha de Exercícios propostos 8 ................................................................................................... 84 
Resolução da folha de Exercícios propostos 9 ................................................................................................... 93 
Resolução da folha de Exercícios propostos 10 ............................................................................................... 108 
Osciloscópio (continuação) .......................................................................................................................... 108 
Contadores ................................................................................................................................................... 115 
Resolução da folha de Exercícios propostos 11 ............................................................................................... 126 
 
 
Nota prévia - Ao longo deste documento são mencionados, para o aprofundamento da teoria, a 
palavra “slide”. Tal facto visa o leitor a consultar tais documentos de forma a compreender melhor 
a resolução dos exercícios aqui expostos. Os respectivos documentos foram elaborados pelo Prof. 
Luís Armando de Aguiar Oliveira Gomes, docente da respectiva cadeira na universidade da 
Madeira (UMa). A consulta de tais documentos foi realizada no segundo semestre de 2012 
(fevereiro à junho). Os meus agradecimento ao meu amigo Carlos Miguel Encarnação Gonçalves 
pela constantes proposta de coreção que me foi fornecedendo, que sem essa precisosa ajuda não 
teria atingido a qualidade que este documento chegou. A todos, bons estudos, e sucesso nas vossas 
carreiras estudantis e profissionais. 
 
Site que resolve cálculos: http://www.wolframalpha.com/ 
 
Bibliográfia: 
 
Aurélio Campilho, Instrumentação Electrónica. Métodos e Técnicas de Medição, FEUP Edições, 
2000. 
 
http://paginas.fe.up.pt/~campilho/IM/2003-2004/notes2003.html 
 
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Resolução da folha de Exercícios propostos 1 
 
Consultar o capítulo 1e 2 da cadeira TMI - Medição e erro de medição. 
Exercício 01 (1.4) - Uma resistência R foi medido com uma ponte de Wheatstone. Sabendo que 
2 3 4. /R R R R= e 3 1 000 0,05%R = Ω ± , 4 100 0,05%R Ω ±= e que 2R é uma caixa de quatro 
décadas com: 
- Década A: 10 resistências de 1 000 0,5 Ω ± Ω 
- Década B: 10 resistências de 100 0,1 Ω ± Ω 
- Década C: 10 resistências de 10 0,05 Ω ± Ω 
- Década D: 10 resistências de 1 0,05 Ω ± Ω 
 
Determine R e o erro correspondente sabendo que, no equilíbrio, 2R foi ajustada para 5 436 Ω . 
 
 
 
Resolução 01) Sei que 2 3
4
.
R
RR
R
= , assim sendo fica que 
( )5 436 . 1 0 00
R
Ω
=
( ) 
100 
Ω
54 360 =
Ω
Ω . 
 
Agora que determinei o R , vou determinar o erro correspondente. Lendo o slide 21 do capítulo 1, o 
majorante do erro relativo de y, yε , é dado pela expressão: 
 
1
.
i
n
i
y x
i i
xf
x f
ε ε
=
∂
≤
∂
∑ , que é a expressão geral dos erros. 
 
Assim sendo fica 
4
2
.
i
i
R
i
R
iR
R R
R
ε ε
=
∂
=
∂
∑ , em que iR é cada uma das resistências existentes. 
 
Para 2i = , fica que é a resistência 2R , e sabendo de que 
2
4
3.R
RR
R
= , fica: 
 
2
2 2
4
4
3
3
.R
R R
R
RR R
R
 
 

∂

∂
∂
= =
∂
, logo para 2i = , 
2 2
2
4
3
2
2
2
. .R RiR
R
R
R R
R
R
R R
ε ε ε
=
∂
= =
∂ 
 
{
2 2 2
2
2 2
4
3. 1 1. .R R RR iR
R
i
R
R
R R
R R
ε ε ε ε ε
=
= =
= = ⇔ = 
 
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Para 3i = , fica que é a resistência 3R , e sabendo de que 
2
4
3.R
RR
R
= , fica: 
 
2 3
3 3
4
4
2
.R
R R
R R
R
R
R
 
 

∂

∂
∂
= =
∂
, logo para 3i = , 
3 3
3
4
23
3
3
. .R RiR
R
R
R R
R
R
R R
ε ε ε
=
∂
= =
∂ 
 
{
3 3 3
3
3 3
4
2. 1 1. .R R RR iR
R
i
R
R
R R
R R
ε ε ε ε ε
= =
=
= = ⇔ = 
 
 
 
Para 4i = , fica que é a resistência 4R , e sabendo de que 
2
4
3.R
RR
R
= , fica: 
3
4
4 4 4
2
4
3
2.
. 1R
R
RR
R R
R
R
R R
 
∂
∂
 
 −
∂
= =
∂
, logo para 4i = , 
4 4
4 4
4
4
3
4 4
2. 1. .R RiR
R R
R
R
R
RR
R RR
ε ε ε
=
∂
= = −
∂ 
 
4 4 4
2
4 4
3
4
. 1 1
. .R R RiR iRRR R
R
R
R
ε ε ε ε ε
= =
= − = − ⇔ = 
 
 
 
Como o Rε é o somatório dos erros relativos de cada resistência, e sabendo apenas os valores para 
3R e 4R , ambos de 0,05% , vou necessitar de efetuar um cálculo auxiliar para saber o valor relativo 
da resistência 2R . 
 
 
 
 
 
Cálculo auxiliar 1, calculo do 2Rδ . Como se trata de uma caixa de quatro décadas, e utilizando os 
dados do enunciado: 
 
 - década A: 10 resistências de ( )1000 0 ,5± Ω 
- década B: 10 resistências de ( )100 0 ,1± Ω 
- década C: 10 resistências de ( )10 0, 05± Ω 
- década D: 10 resistências de ( )1 0,05± Ω 
 
 
 
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Fica que 
 
2 4 5 63R = Ω 2Rδ 2Rδ 
( )
( )
( )
( )
4 B 100 0
 da década A 
 da década 
3 C da década 10 0,0 
6 D 1 0, d 05a 
,
d
5
é
5
c
1000
ad 
,5
1
a 
0
 
± Ω
±
± Ω
± Ω
Ω
 
( )
( )
( )
( )
 x 
 x 
 3 0,05x 
4 0,
6
5 0
 x
,5
 
1
0 0, 5
Ω
Ω
Ω
Ω
 
2,5 
0,4 
0,15 
0,3 
Ω
Ω
Ω
Ω 
 = 3,35 Ω 
 
Fim do cálculo auxiliar 1. 
 
 
 
O erro relativo da resistência 2R é definido por 2
2
2
.100R
R
R
ε
δ
= , sendo assim o seu valor: 
 
2
0,0616 %
5 436 
.100
3,35 
Rε
Ω
= =
Ω
 
 
 
 
Assim sendo, 
2
432
4
.
iR R i
i
R R i
i i
R iR
R
R
R
ε ε ε ε ε
= ==
=
∂
= = + +
∂
∑ 
 
 
432
4
2 
. 0, 0,050,0616 05 %
i
i
R R
i i dados d
R
o enu o
R
c d
R
n ia
R RRR
ε ε ε ε ε
=
 ∂
= = + + = + +  ∂  
∑ 14243 
 
 
 
0,16 %Rε = 
 
 
( ) ( )0,16 % 54 360 86,98 . .RR Rεδ Ω= = = Ω . 
 
 
Assim sendo, fica que ( )54 360 8 86,9R = ± Ω . 
 
 
 
Quando nada é dito quanto a incerteza associada, esta é metade do menor algarismo significativo. 
Exemplo se tivermos 10,0 V, o menor algarismo significativo é um décimo (0,1), e metade é 0,05. 
Assim seria 10,0 ± 0,05 V. 
 
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Exercício 02 (1.8) - Um voltímetro digital de 3½ dígitos apresenta um valor de fim de escala de 
1,999 V. Desenhe a curva limite de erro para este voltímetro na gama 0,100 V a 1,999 V (Por 
exemplo, calcule o erro para 0,100 V; 0,200 V; 1,000 V e 1,999 V). A especificação do erro é ± 
[0,05% da leitura + 1 LSD]. 
 
 
Resolução 02) Para as diferentes gamas utilizadas vou utilizar a simbologia eV . 
 
 ( ) eV V 0,05% eV 1 LSD eVδ .100
e
e
V
e
V
V
ε
δ
= 
 0,100 0,00005 V + 0,001 V 0,00105 V= 1,05 % 
 0,200 0,0001 V + 0,001 V 0,0011 V= 0,55 % 
 1,000 0,0005 V + 0,001 V 0,0015 V= 0,15 % 
 1,999 0,001 V + 0,001 V 0,002 V= 0,10 % 
 
 
Curva limite de erro para o voltímetro 
eV
ε 
 
( ) eV V 
 
 
 
 
Exercício 03 (1.12) - Para a medição da potência na resistência R utilizou-se a montagem 
representada na figura. 
 
 
Os voltímetros apresentam as seguintes características: 
Voltímetro 1 2, V V com valor fim de escala, FE , de 10 , 5 ,V V Classe 1, Leitura 8,0 , 4,0 V V com 
320 10%R = Ω ± . Determine o valor da potência dissipada em R (a partir das leituras de 1V e 2V ) e 
calcule o erro relativo máximo respetivo. 
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00