Lista de Exercícios 5

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GAAL Exerćıcios 5: Umas soluções
1. Se det(A) = −3, encontre
(a) det(A2),
(b) det(A3),
(c) det(A−1),
(d) det(At).
R:
(a) det(A2) = det(A ·A) = det(A)det(A) = (−3) · (−3) = 9.
(b) det(A3) = det(A)3 = (−3)3 = −27.
(c) det(A−1) = 1/det(A) = −1/3.
(d) det(At) = det(A) = −3.
2. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações
elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores. De-
pois calcule os determinantes diretamente e confirmar que os valores são
iguais.
(a)

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1

(b)

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
.
R:
(a) Podemos reduzir a matriz pra seguinte matriz por usando só o terceiro
tipo de operação elementar:
1 −2 3 1
0 1 −9 −2
0 0 −3 −1
0 0 0 −13

Já que o terceiro tipo de operação elementar não muda o determi-
nante e o determinante de uma matriz com 0 abaixo do diagonal
1
principal está dado pelo produtos dos elementos do diagonal, temos
det

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 = det

1 −2 3 1
0 1 −9 −2
0 0 −3 −1
0 0 0 −13
 = 1·1·(−3)·(−13) = 39.
(b) Um jeito para reduzir esta matriz é para primeiro trocar as primei-
ras duas linhas (que troca o sinal do determinante) e depois reduzir
usando só operações elementares do terceiro tipo (que não muda o
determinante), para obter a matriz
1 0 1 1
0 1 1 −1
0 0 −1 2
0 0 0 6
 .
Logo
det

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
 = −det

1 0 1 1
0 1 1 −1
0 0 −1 2
0 0 0 6
 = −(−6) = 6.
Cálculos direitos dos determinantes dão a mesma resposta.
3. Determine todos os valores de λ para os quais det(A− λIn) = 0, em que
(a) A =
0 1 20 0 3
0 0 0

(b) A =
 1 0 0−1 3 0
3 2 −1

(c) A =
2 2 31 2 1
2 −2 2

R:
(a) Temos
A− λIn =
0 1 20 0 3
0 0 0
−
λ 0 00 λ 0
0 0 λ
 =
−λ 1 20 −λ 3
0 0 −λ
 .
Logo det(A−λIn) = −λ3. Segue que det(A−λIn) = 0 se, e somente
se, λ = 0.
(b) Temos
A− λIn =
1− λ 0 0−1 3− λ 0
3 2 −1− λ
 ,
logo det(A−λIn) = (1−λ)(3−λ)(−1−λ). Segue que det(A−λIn) = 0
se, e somente se, λ = 1, 3 ou −1.
2
(c) Temos
A− λIn =
2− λ 2 31 2− λ 1
2 −2 2− λ

que tem determinante (precisa fazer cálculo mesmo!)
det(A− λIn) = −λ3 + 6λ2 − 6λ− 6.
Este polinômio possui uma raiz real (pois ele é cúbico), mas não é
fácil achar ela.
4. O determinante de AB é igual ao determinante de BA? Justifique.
R: Sim, pois
det(AB) = det(A)det(B) = det(B)det(A) = det(BA).
5. Mostre que se An = 0 para algum n ∈ N, então det(A) = 0.
R: Temos det(An) = det(A)n. Se An = 0, então
det(A)n = det(An) = det(0) = 0.
Logo det(A) é um número real tal que det(A)n = 0. Segue que det(A) = 0.
6. Mostre que se α ∈ R é escalar e A é uma matriz n× n, então
det(αA) = αndet(A).
R: Podemos obter αA de A por multiplicando toda linha (uma por uma)
de A por α. Sabemos que quando B está obtida de A por multiplicando
uma linha de A por α, então det(B) = αdet(A). So repitimos este processo
3
para cada linha:
det(αA) = det

αa11 αa12 αa1n
αa21 αa22 αa2n
. . .
αan1 αan2 αann

= αdet

a11 a12 a1n
αa21 αa22 αa2n
. . .
αan1 αan2 αann

= α2det

a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
. . .
αan1 αan2 αann

= . . .
= αndet

a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
. . .
an1 an2 ann

= αndet(A).
7. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de u = (5,−3, 1), v =
(0, 4, 3), w = (−10, 18, 7)?
(a) (10,−2, 5)
(b) (10, 2, 8)
(c) (−2− 1, 1)
(d) (−1, 2, 3).
O conjunto {u, v, w} é L.I ou L.D.? Caso que seja L.D., escreve um deles
como combinação linear dos outros.
R: Vamos fazer a última parte primeiro. Para achar as soluções da equação
x1u + x2v + x3w = 0, queremos achar as soluções do sistema homogêneo
AX = 0, onde A é a matrix com colunas os vetores u, v, w. A matriz
aumentada de A é
[A|0] =
 5 0 −10 0−3 4 18 0
1 3 7 0

que tem forma escalonada reduzida1 0 −2 00 1 3 0
0 0 0 0
 .
4
O conjunto solução (colocando a variável livre x3 = α) é 2α−3α
α
 .
Já que o sistema possui soluções não triviais, os vetores u, v, w são linear-
mente independentes. A solução com α = 1 nos permite escrever
w = 3u− 2v.
Segue deste fato que um vetor é uma combinação linear de u, v, w se, e
somente se, ele é combinação linear de u, v.
Olhando pra primeira parte agora. Dado o vetor (a, b, c) (da questão),
queremos saber se existem x1, x2 tais que
(a, b, c) = x1(5,−3, 1) + x2(0, 4, 3) = (5x1,−3x1 + 4x2, x1 + 3x2).
Já que temos x1 = a/5, segue que x2 = (c − x1)/3, conseguimos resolver
as questões facilmente:
(a) x1 = 2, x2 = (5− 2)/3 = 1. Temos
(5x1,−3x1 + 4x2, x1 + 3x2) = (5 · 2,−6 + 4, 2 + 3) = (10,−2, 5)
logo (10,−2, 5) é combinação linear dos vetores.
(b) x1 = 2, x2 = (8 − 2)/3 = 2. Obtemos 2u + 2v = (10, 2, 8), logo
(10, 2, 8) é combinação linear dos vetores.
(c) x1 = 2/5, x2 = 1/5. Obtemos (2/5)u + (1/5)v = (2,−2/5, 1) 6=
(−2,−1, 1), logo (−2,−1, 1) não é combinação linear dos vetores.
(d) x1 = −1/5, x2 = 16/15. Não dá o vetor procurado.
Com partes (a)− (d), também pode reduzir a matrix 5 0 −10 a−3 4 18 b
1 3 7 c

onde (a, b, c) é o vetor dado na questão.
8. Quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes?
(a) {(1,1,2), (1,0,0), (4,6,12)},
(b) {(1,-2,3), (-2,4,-6)},
(c) {(1,-2,3), (-2,4,6)},
(d) {(1,3,6), (2,1,2), (3,4,5), (0,0,1)},
(e) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}.
R:
5
(a) Já que temos 3 vetores em R3, podemos calcular o determinante
da matriz A com colunas os vetores dados. Calculando, obtemos
det(A) = 0, logo os vetores são L.D.
(b) Temos (−2, 4,−6) = −2(1,−2, 3), logo o segundo é multiplo escalar
do primeiro. Ou seja, o conjunto é L.D.
(c) As únicas combinações lineares de um vetor são os múltiplos escalares
deles. Já que o segundo vetor não é múltiplo escalar do primeiro, nem
o primeiro múltiplo escalar do segundo, o conjunto é L.E.
(d) Quatro vetores em R3 são sempre L.D.
(e) Colocando os três vetores numa matriz 3 × 3, obtemos que o deter-
minante dela é 0. Logo os vetores são L.D.
9. Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é L.D.?
R: Para resolver a equação x1(3, 1, 0) + x2(λ
2 + 2, 2, 0), vamos reduzir a
matrix aumentada 3 λ2 + 2 01 2 0
0 0 0

Trocando as primeiras duas linhas e depois fazendo L2 → L2− 3L1, obte-
mos 1 2 00 λ2 − 4 0
0 0 0
 .
Logo o sistema possui solução não trivial se, e somente se, λ2− 4 = 0. Ou
seja, o conjunto é L.D se, e somente se, λ = ±2.
10. Suponha que o conjunto {v1, v2, v3} é L.I. Decida se o conjunto {u1, u2, u3}
é L.I. ou L.D., onde
(a) u1 = v1 + v2, u2 = v1 + v3, u3 = v2 + v3.
(b) u1 = v1, u2 = v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3.
R:
(a) Considere a equação
0 = x1u1 + x2u2 + x3u3
= x1(v1 + v2) + x2(v1 + v3) + x3(v2 + v3)
= (x1 + x2)v1 + (x1 + x3)v2 + (x2 + x3)v3.
Já que {v1, v1, v3} é L.I., a única solução desta última equação é
x1 + x2 = 0, x1 + x3 = 0, x2 + x3 = 0.
Logo x1 = −x2 da primeira igualdade, e das segundas duas obtemos
x2 + x3 = 0 = x1 + x3 = −x2 + x3,
logo x2 = −x2, mostrando que x2 = 0. Daqui segue que x1 = 0, x3 =
0. Logo a única solução da primeira equação é x1 = x2 = x3 = 0,
mostrando que {u1, u2, u3} é L.I.
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(b) Similar. De novo, mexendo com 0 = x1u1 + x2u2 + x3u3 para deixar
os vi em evidência, obtemos
(x1 + x2 + x3)v1 + (x2 + x3)v2 + x3v3,
logo (pois {v1, v2, v3} é L.I.), obtemos que x3 = 0, logo x2 = 0, logo
x1 = 0. Ou seja, {u1, u2, u3} é L.I.
11. Seja A uma matriz n×n. Mostre que as colunas de A são L.I. se, e somente
se, as linhas de A são L.I.
R: As colunas de A são L.I. se, e somente se, det(A) 6= 0. Mas det(A) =
det(At), logo as colunas de A são L.I. se, e somente se, as colunas de At
são L.I. Mas as colunas de At são as linhas de A.
12. Seja {v1, v2, . . . , vn} um conjunto L.I. de vetores em Rn. Seja A uma
matriz invert́ıvel. Mostre que o conjunto {Av1, Av2, . . . , Avn} é L.I.
R: Seja B a matrix n× n com colunas os vetores {v1, v2, . . . , vn}. Já que
esteconjunto é L.I., temos que det(B) 6= 0. Mas agora a matriz
[Av1Av2 . . . Avn] = A[v1v2 . . . vn] = AB.
Já que AB é o produto de duas matrizes invert́ıveis, obtemos que AB é
invert́ıvel. Logo as colunas de AB são L.I. Mas as colunas de AB são os
vetores {Av1, Av2, . . . , Avn}.
13. Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0,
em que
(a) A =
1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
,
(b) A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2
.
Quais são as dimensões dos espaços de partes (a) e (b)?
R:
(a) A forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] é1 0 1 0 00 1 1 0 0
0 0 0 1 0
 .
Logo a variável x3 é livre. A solução geral (colocando x3 = α) é
−α
−α
α
0
 .
7
Este espaço tem dimensão 1. Uma base do espaço é qualquer vetor
não nulo do espaço. Escolhendo α = 1 por exemplo, uma base do
espaço é 

−1
−1
1
0

 .
(b) A forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] é1 0 0 −1 00 1 2 0 0
0 0 0 0 0
 .
logo as variáveis x3, x4 são livres e (colocando x3 = α, x4 = β), a
solução geral é 
β
−2α
α
β
 .
Este espaço tem dimensão 2. Para achar uma base nós podemos
(sempre) colocar uma variável ser 1 e o resto 0 para cada variável.
Neste caso:
α = 1, β = 0 :

0
−2
1
0
 ,
α = 0, β = 1 :

1
0
0
1
 .
Logo nossa base é: 

0
−2
1
0
 ,

1
0
0
1

 .
Pode confirmar que este conjunto é L.I. e gera o espaço solução, se
quiser.
14. Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A − λIn)X = 0
possui solução não trivial para as matrizes A seguintes. Para estes valores
de λ, ache uma base para os espaços solução correspondentes:
(a) A =
0 0 11 0 −3
0 1 3
,
(b) A =

2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
,
8
(c) A =
 1 1 −2−1 2 1
0 1 −1
,
(d) A =

−1 2 2 0
−1 2 1 0
−1 1 2 0
0 0 0 1
,
(e) A =
2 3 00 1 0
0 0 2
.
R:
(a) O sistema homogêneo (A− λIn)X = 0 possui solução não trivial se,
e somente se, det(A− λIn) = 0. Temos
det(A− λI) = det
−λ 0 11 −λ −3
0 1 3− λ
 = −λ3 + 3λ2 − 3λ+ 1.
Então estamos procurando λ tal que 0 = −λ3 + 3λ2 − 3λ + 1. Esta
equação possui a solução óbvia λ = 1, e dáı conseguimos escrever o
polinômio como −(λ− 1)3. Segue que (A− λI)X = 0 possui solução
não trivial se, e somente se, λ = 1. Vamos calcular o espaço solução
correspondente. A forma escalonada reduzida da matrix aumentada
[A− 1I|0] é 1 0 −10 1 2
0 0 0

Logo a variável x3 é livre, e o espaço solução tem dimensão 1. A
solução geral é  α−2α
α

e uma base (colocando α = 1) é:
 1−2
1
 .
(b) Similar de (a). Temos det(A − λI) = (2 − λ)2(1 − λ)2. Logo temos
soluções não triviais se, e somente se, λ = 1 ou λ = 2.
Quando λ = 2, o espaço solução tem dimensão 1 e uma base é

α
0
0
0

 .
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Quando λ = 1, o espaço solução tem dimensão 1 e uma base é

3α
−3α
α
0

 .
(c) - (e) Omitidas.
15. Dados v1 = (2, 1, 3), v2 = (−2, 1, 3)
(a) Por que {v1, v2} é claramente não uma base de R3?
(b) {v1, v2} é L.I ou L.D.?
(c) Quais são as condições sobre um vetor v3 ∈ R3 para que {v1, v2, v3}
seja uma base de R3?
(d) Encontre um vetor v3 tal que {v1, v2, v3} é base de R3.
R:
(a) R3 tem dimensão 3, logo qualquer base de R3 tem três elementos.
(b) L.I.
(c) Seja v3 = (x, y, z). Estamos procurando valores de x, y, z tais que
det
2 −2 x1 1 y
3 3 z
 6= 0.
Chama esta matrix por A. Calculando o determinante (achei mais
fácil usar a terceira coluna), obtemos det(A) = −2y + 4z. Logo
det(A) 6= 0 se, e somente se, z 6= 3y.
(d) Então um exemplo de um vetor v3 = (x, y, z) tal que z 6= 3y é (0, 1, 1).
Pode confirmar que estes três vetores são L.I. logo (já que R3) tem
dimensão 3, {v1, v2, v3} é uma base de R3.
16. Seja r uma reta em R3. Mostre que r é subespaço de R3 se, e somente se,
0 ∈ r.
R: Tem vários jeitos mostrar este fato. Seja W um subespaço qualquer de
Rn (n qualquer). Vamos mostrar que 0 ∈ W : já que subespaços são não
vazios, seja w ∈W um elemento qualquer. Já queW é subespaço e w ∈W ,
então (−1) · w = −w ∈ W (segunda propriedade de subespaços). Mas
agora já que w,−w ∈ W , temos −w + w = 0 ∈ W (primeira propriedade
de subespaços). Em particular, caso nossa reta r for subespaço, ele vai
conter 0.
Noutra direção, uma reta
r = (a, b, c) + tw t ∈ R
onde (a, b, c) ∈ r é um ponto da reta qualquer e w é vetor diretor. Mas se
(0, 0, 0) ∈ r então a reta é
{tw | t ∈ R}
que é um subespaço de R3.
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17. (a) Sejam W1,W2 subespaços de Rn. Mostre que
W1 ∩W2 := {v ∈ Rn | v ∈W1 e v ∈W2}
é subespaço de Rn.
(b) Mostre que os conjuntos
W1 = {(x, 0) |x ∈ R}
W2 = {(0, y) | y ∈ R}
são subespaços de R2 mas que
W1 ∪W2 := {v ∈ R2 | v ∈W1 ou v ∈W2}
não é subespaço de R2.
R:
(a) Sejam u, v ∈W1 ∩W2. Então u, v ∈W1 e u, v ∈W2. Agora
u+ v ∈W1
pois u, v ∈W1 e W1 é subespaço, e também
u+ v ∈W2
pois u, v ∈W2 e W2 é subespaço. Segue que u+ v ∈W1 +W2.
Similarmente, dado v ∈ W1 ∩ W2 e α ∈ R, então αv ∈ W1 pois
v ∈ W1 e W1 é subespaço, e também αv ∈ W2 pois v ∈ W2 e W2 é
subespaço. Logo αv ∈ W1 ∩W2, mostrando que W1 ∩W2 satisfaz a
segunda condição de subespaço. Logo W1 ∩W2 é subespaço de Rn.
(b) O elemento (1, 0) ∈ W1, logo (1, 0) ∈ W1 ∪W2. O elemento (0, 1) ∈
W2, logo (0, 1) ∈W1 ∪W2. Mas o elemento
(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)
e (1, 1) 6∈W1 e (1, 1) 6∈W2, logo (1, 1) 6∈W1∪W2. Já que W1∪W2 não
satisfaz a primeira condição de ser subespaço, ele não é um subespaço
de R2.
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