Lista de Exercicios 5

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Licenciatura em Computação e Robótica Educativa 
Álgebra Linear 
Profa. Dra. Bianca Neves Machado 
Lista de Exercícios 5 
 
Questão 1. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ2. 
(a) {(1, 2), (−1, 3)} 
(b) {(3, −6), (−4, 8)} 
(c) {(0, 0), (2, 3)} 
(d) {(3, −1), (2, 3)} 
 
Questão 2. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ3. 
(a) {(1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)} 
(b) {(1, 0,1), (0, −1, 2), (−2, 1, −4)} 
(c) {(2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)} 
(d) {(1, 2,3), (4,1, 2)} 
 
Questão 3. Dado o subespaço do ℝ4, 𝑆 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)/ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0}, determine a 
dim (𝑆) e uma base de 𝑆. 
 
Questão 4. Seja 𝑆 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)/𝑎 − 2𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 3𝑑} um subespaço do ℝ4, 
determine a dim (𝑆) e uma base de 𝑆. 
 
Questão 5. Considerando os vetores �⃗�1 = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗�2 = (𝑥2, 𝑦2) do espaço vetorial 
𝑉 = ℝ2, verificar quais das relações �⃗�1. �⃗�2 abaixo são produto interno: 
(a) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 + 2𝑦1𝑦2 
(b) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 
(c) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1
2𝑥2 + 𝑦1𝑦2
2 
(d) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 1 
 
Questão 6. Considerando os vetores �⃗�1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗�2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) do espaço 
vetorial 𝑉 = ℝ2, verificar quais das relações �⃗�1. �⃗�2 abaixo são produto interno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Licenciatura em Computação e Robótica Educativa 
Álgebra Linear 
Profa. Dra. Bianca Neves Machado 
(a) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1𝑥2 + 3𝑦1𝑦2 
(b) �⃗�1. �⃗�2 = 3𝑥1𝑥2 + 5𝑦1𝑦2 + 2𝑧1𝑧2 
(c) �⃗�1. �⃗�2 = 2𝑥1
2𝑦1
2 + 3𝑥2
2𝑦2
2 + 𝑧1
2𝑧2 
(d) �⃗�1. �⃗�2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 − 𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2 
 
Questão 7. Considerando os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2), calcule os produtos 
internos: 
(a) �⃗⃗�. �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 para �⃗⃗� = (1, −1) e �⃗� = (−7, 4) 
(b) �⃗⃗�. �⃗� = 3𝑥1𝑥2 + 4𝑦1𝑦2 para �⃗⃗� = (2, 3) e �⃗� = (−5, 3) 
 
Questão 8. Considerando os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), calcule os 
produtos internos: 
(a) �⃗⃗�. �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 para �⃗⃗� = (6, 4, −2) e �⃗� = (2, 3, −5) 
(b) �⃗⃗�. �⃗� = 4𝑥1𝑥2 + 2𝑦1𝑦2 + 6𝑧1𝑧2 para �⃗⃗� = (1, 1, 1) e �⃗� = (1, 0, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Licenciatura em Computação e Robótica Educativa 
Álgebra Linear 
Profa. Dra. Bianca Neves Machado 
Respostas: 
 
Questão 1: a e d formam uma base do ℝ2. 
Questão 2: a e c formam uma base do ℝ3. 
Questão 3: dim(𝑆) = 3 
Questão 4: dim(𝑆) = 2 
Questão 5: a é produto interno. 
Questão 6: b e d são produto interno. 
Questão 7: 
(a) -11 
(b) -6 
Questão 8: 
(a) 34 
(b) 10