Matemática Simulado 7

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SIMULADO 
1. (Unesp) O cálculo aproximado da área da super-
fície externa de uma pessoa pode ser necessário 
para a determinação da dosagem de algumas me-
dicações. A área A (em 2cm ) da superfície externa 
de uma criança pode ser estimada por meio do seu 
“peso” P (em kg) e da sua altura H (em cm) com 
a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 
10 : 
log A 0,425 logP 0,725 logH 1,84= + + 
 
Rafael, uma criança com 1 m de altura e 16 kg de 
“peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose 
adequada é de 1 mg para cada 2100 cm de área ex-
terna corporal. Determine a dose adequada dessa 
medicação para Rafael. 
Adote nos seus cálculos log 2 0,30= e a tabela a 
seguir. 
 
x x10 
3,3 1995 
3,4 2512 
3,5 3162 
3,6 3981 
3,7 5012 
3,8 6310 
3,9 7943 
 
 
2. (Ita) Determine as soluções reais da equação em 
x, 
( ) ( )3 4 104 4
100
log 16x
log x log x 3 0.
log 16
− − = 
 
3. (Ufg) A capacidade de produção de uma meta-
lúrgica tem aumentado 10% a cada mês em rela-
ção ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, 
em toneladas, tem sido de 
m 1
1800 1,1 .
−
 
Se a indústria mantiver este crescimento exponen-
cial, quantos meses, aproximadamente, serão ne-
cessários para atingir a meta de produzir, mensal-
mente, 12,1 vezes a produção do mês um? 
Dado: log1,1 0,04. 
4. (Fgv) Um sorvete de casquinha consiste de uma 
esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone 
circular reto (casquinha), também com 3 cm de 
raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha 
completa e exatamente. Suponha que o sorvete 
derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa 
quando está congelado. 
 
Calcule a altura da casquinha. 
 
5. (Ufpe) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o 
ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, 
é moldado em esferas com raio igual à metade do 
raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é 
quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são 
as esferas obtidas? 
 
6. (Ufjf-pism) No gráfico a seguir, representou-se 
a função 
𝑓: ℝ+
∗ → ℝ definida por 2f (x) log x.= 
Define-se ainda, conforme a figura, um triângulo re-
tângulo MNP, reto em N, com os vértices M e P 
pertencendo à curva definida por f. A partir das in-
formações apresentadas no gráfico de f, responda 
às questões a seguir detalhando os seus cálculos. 
 
 
a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do gráfico 
de f. 
b) Calcule a medida da área do triângulo MNP. 
c) Determine o(s) valor(es) de x tal que 
2
[f (x)] 5 [f (x)] 6.−  = − 
 
7. (Ufu) Com o objetivo de aumentar as vendas, 
uma fábrica de peças oferece preços promocionais 
aos clientes atacadistas que compram a partir de 
120 unidades. Durante esta promoção, a fábrica só 
aceitará dois tipos de encomendas: até 100 peças 
ou, pelo menos, 120 peças. 
 
 
O preço P(x), em reais, na venda de x unidades, é 
dado pelo gráfico seguinte, em que os dois trechos 
descritos correspondem a gráficos de funções 
afins. 
 
 
Nestas condições, qual o maior número de peças 
que se pode comprar com R$ 9.800,00 ? 
 
8. (Unesp) Leia a matéria publicada em junho de 
2016. 
Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próxi-
mos dias 
O dia mundial do vento, 15 de junho, terá um marco 
simbólico este ano. Antes do final do mês, a fonte 
de energia que começou a se tornar realidade no 
país há seis anos alcançará 10 GW, sendo que o 
potencial brasileiro é de 500 GW. A perspectiva é a 
de que, em metade deste tempo, o Brasil duplique 
os 10 GW. (www.portalabeeolica.org.br. Adaptado.) 
 
Considerando que a perspectiva de crescimento 
continue dobrando a cada três anos, calcule o ano 
em que o Brasil atingirá 64% da utilização do seu 
potencial eólico. Em seguida, calcule o ano aproxi-
mado em que o Brasil atingirá 100% da utilização 
do seu potencial eólico, empregando um modelo 
exponencial de base 2 e adotando log 2 0,3 no 
cálculo final. 
 
9. (G1 - cftrj) Em uma brincadeira, uma bola é ar-
remessada para o alto, e sua altura em relação ao 
solo, em função do tempo, é dada pela fórmula 
21
h(t) (t 2) 5,
2
= − − + 
com h em metros e t em segundos. A seguir temos 
o gráfico de h em função de t. 
 
Dessa forma, determine a altura máxima atingida 
pela bola, e em que instante (tempo) isso acontece. 
 
10. (Uerj) Em uma escola circulam dois jornais: 
Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à lei-
tura desses jornais, por parte dos 840 alunos da 
escola, sabe-se que: 
 
- 10% não leem esses jornais; 
- 520 leem o jornal O Estudante; 
- 440 leem o jornal Correio do Grêmio. 
 
Calcule o número total de alunos do colégio que 
leem os dois jornais. 
 
11. (Unifesp) A concentração C, em partes por mi-
lhão (ppm), de certo medicamento na corrente san-
guínea após t horas da sua ingestão é dada pela 
função polinomial 2C(t) 0,05t 2t 25.= − + + Nessa 
função, considera-se t 0= o instante em que o pa-
ciente ingere a primeira dose do medicamento. 
Álvaro é um paciente que está sendo tratado com 
esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 
horas da manhã de uma segunda-feira. 
a) A que horas a concentração do medicamento na 
corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm 
pela primeira vez? 
b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose 
quando a concentração do medicamento na cor-
rente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo 
valor, para que dia da semana e horário ele de-
verá prescrever a segunda dose? 
 
12. (Ufu) Os programas de edição de imagens pos-
suem a ferramenta RECORTAR, que permite deli-
mitar e recortar uma área retangular de uma ima-
gem digital (figura, foto etc.). Para delimitar a área 
a ser recortada, é construído um retângulo com la-
dos paralelos às laterais da imagem; em seguida, 
esse retângulo é rotacionado em torno de seu cen-
tro, transladado e redimensionado, de acordo com 
a necessidade. 
A figura a seguir ilustra a delimitação de uma área 
1R , a ser recortada de uma imagem retangular de-
limitada por 2R . Os retângulos 1R e 2R que delimi-
tam, respectivamente, essa área e a imagem são 
semelhantes, e dois vértices de 1R estão nos lados 
de 2R . 
 
 
 
Elabore e execute um plano de resolução de ma-
neira a determinar: 
a) As dimensões da figura recortada. 
b) O valor do percentual de aumento a ser aplicado 
na imagem recortada de modo a obter uma nova 
imagem no tamanho 10 cm 15 cm. 
 
13. (Ebmsp) Em um passado recente, a função pri-
oritária do pai era dar suporte material à família, 
mas, atualmente, os pais sabem que para cada fun-
ção ligada ao suporte material de um filho, estão 
vinculadas funções de suporte afetivo e emocional 
que no passado era delegado às mulheres. No sé-
culo passado o pai ouvia o filho chorar pela primeira 
vez de longe, hoje ele tem a oportunidade de acom-
panhar tudo de dentro da sala de parto. Hoje em 
dia, os pais descobrem a paternidade no ultrassom 
e, quando ouvem o coração de seu filho batendo 
pela primeira vez se permitem ficar emocionados, 
fazem planos de ensinar o filho a jogar bola, ficam 
imaginando as viagens e todas as alegrias que po-
derão ter juntos. 
 
A ultrassonografia é um método diagnóstico que 
lança mão de ecos produzidos pelo som e os trans-
forma em imagens com auxílio da computação grá-
fica. O som pode se propagar como uma onda pe-
riódica, caracterizada por seu comprimento e por 
sua frequência, sendo a forma senoidal conside-
rada a onda mais simples. 
 
Para uma onda de forma senoidal representada al-
gebricamente pela função 
f (x) 3 2 sen 5x ,
2
π 
= + − 
 
 
determine 
 
a) sua amplitude, 
b) seu comprimento, 
c) sua frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 Considerando P 16 kg= e H 100 cm,= temos a se-
guinte equação: 
 
4
3,8
2
log A 0,425 log16 0,725 log100 1,84
log A 0,425 log 2 0,725 2 1,84
log A 0,425 4 log 2 1,45 1,84
log A 1,7 0,3 3,29
log A 3,8
A 10
A 6.310 cm
=  +  +
=  +  +
=  + +
=  +
=
=
=Sabemos que Rafael deve tomar 1 mg para cada 
2
100 cm de seu corpo. Portanto, a dose diária de 
Rafael será dada por: 
6.310
63,1 mg.
100
= 
 
Resposta da questão 2: 
 Calculando, inicialmente, o valor de 
( )
4
10 4
4 4
4100
4
log 16x
log 16x log 10
log 16x 2 log x
log 16log 16
log 100
= = = + 
 
Substituindo o resultado acima na equação pedida, 
temos: 
( ) ( )
( )
( )
3 4
4 4 4
3
4 4 4
3
4 4
log x log x 3 2 log x 0
log x 4 log x 6 3 log x 0
log x 7 log x 6 0
− − + =
− − − =
− − =
 
 
Fazendo 4log x y,= temos: 
𝑦3 − 7𝑦 − 6 = 0 ⇒ 𝑦3 − 𝑦 − 6𝑦 − 6 = 0
⇒ 𝑦(𝑦2 − 1) − 6(𝑦 + 1) = 0
⇒ 𝑦(𝑦 − 1)(𝑦 + 1) − 6(𝑦 + 1) = 0 ⇒ 
⇒ (𝑦 + 1)(𝑦2 − 𝑦 − 6) = 0 ⇒ 𝑦 = −1𝑜𝑢𝑦 = −2𝑜𝑢𝑦
= 3. 
 
Logo: 
𝑙𝑜𝑔4 𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 =
1
4
 
𝑙𝑜𝑔4 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 =
1
16
 
𝑙𝑜𝑔4 𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 64 
 
𝑆 = {
1
16
,
1
4
, 64} 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 Seja a função 𝑝: ℝ+ → ℝ+
∗ , definida por 𝑝(𝑚) =
1800 × 1, 1𝑚−1, com p(m) sendo a capacidade de 
produção, em toneladas, no mês m. 
 
O valor de m para o qual p(m) 12,1 p(1)=  é tal que 
 
12,1 ⋅ 1800 = 1800 ⋅ 1, 1𝑚−1 ⇔ 1, 1𝑚−1 = 12,1 
   ⇔ 𝑙𝑜𝑔 1 , 1𝑚−1 = 𝑙𝑜𝑔 1 2,1 
   ⇔ (𝑚 − 1) ⋅ 𝑙𝑜𝑔 1 , 1
= 𝑙𝑜𝑔( 1,1)2 ⋅ 10 
   ⇔ (𝑚 − 1) ⋅ 𝑙𝑜𝑔 1 , 1
= 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 1 , 1 + 𝑙𝑜𝑔 1 0 
   ⇒ (𝑚 − 1) ⋅ 0,04 = 0,08 + 1 
   ⇔ 𝑚 = 27 + 1 
   ⇔ 𝑚 = 28. 
 
Resposta da questão 4: 
 Seja h a altura que o sorvete derretido atinge na 
casquinha. Tem-se que 
 
2 31 80 4
3 h 3 h 9,6 cm .
3 100 3
π
π   =    = 
 
Resposta da questão 5: 
 Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a 
altura do cilindro. 
Como =  =h 4 2r 8r, segue que o volume do cilindro 
é igual a 2 3r 8r 8 r .π π = 
Sabendo que o raio de cada esfera mede 
r
,
2
 po-
demos concluir que o volume de uma esfera é 
3 3
4 r r
.
3 2 6
π π 
 = 
 
 
Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 
3
3
8 r
48.
r
6
π
π
= 
 
Resposta da questão 6: 
a) Se f (a) 1,= então 2log a 1,= implicando em a 2.= 
Por outro lado, se f (16) b,= então 2b log 16,= ou 
seja, b 4.= 
 
b) A área do triângulo MNP é dada por 
1 1
MN NP (16 2) (4 1) 21 u.a.
2 2
  =  −  − = 
 
c) Tem-se que 
[𝑓(𝑥)]2 − 5 ⋅ [𝑓(𝑥)] = −6 ⇔ (𝑓(𝑥) − 2) ⋅ (𝑓(𝑥) − 3)
= 0 
 ⇔ |
𝑓(𝑥) = 2
 ou
𝑓(𝑥) = 3
 
 ⇔ |
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 2
 ou
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 3
 
 ⇔ |
𝑥 = 4
 ou
𝑥 = 8
 . 
 
Resposta da questão 7: 
 Do enunciado e do gráfico, temos: 
 
 
 
Os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois 
ˆ ˆBCA EDA 90= =  e α é ângulo comum dos triângu-
los ABC e AED. 
Então, 
AC BC
AD ED
x 120 200
80 3200
x 120 1
80 16
x 120 5
x 125
=
−
=
−
=
− =
=
 
 
Nas condições apresentadas, o maior número de 
peças que se pode comprar com R$ 9.800,00 é 
125. 
 
Resposta da questão 8: 
 Seja p o percentual do potencial eólico utilizado t 
anos após junho de 2016. Tem-se que 
t
3
10
p 2 ,
500
=  
com t 0. Logo, vem 
 
t t
53 3
10
2 0,64 2 2 t 15.
500
 =  =  = 
 
Donde podemos concluir que o Brasil atingirá 64% 
da utilização do seu potencial eólico em 
2016 15 2031.+ = 
Ademais, lembrando que ca alog b c log b,=  com 
𝑎,  𝑏 ∈ ℝ+
∗ e a 1, temos 
 
 
 
 
 
10
500
⋅ 2
𝑡
3 = 1 ⇔ 2
𝑡
3 = 50 
   ⇔ 𝑙𝑜𝑔 2
𝑡
3 = 𝑙𝑜𝑔
100
2
 
   ⇔
𝑡
3
⋅ 𝑙𝑜𝑔 2 = 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔 1 0 − 𝑙𝑜𝑔 2 
   ⇒
𝑡
3
⋅ 0,3 ≅ 2 − 0,3 
   ⇒ 𝑡 ≅ 17. 
 
Portanto, segue que o Brasil atingirá 100% da utili-
zação do seu potencial eólico em 2016 17 2033.+ = 
 
Observação: O GW é uma unidade de potência, e 
não de energia. 
 
Resposta da questão 9: 
 Calculando as coordenadas do vértice da pará-
bola, pode-se escrever: 
( )
2 2 2
v v
2
1 1 1
h(t) (t 2) 5 h(t) (t 4t 4) 5 h(t) t 2t 3
2 2 2
b 2
x x 2 segundos
2a 2 0,5
1
h(t) (2) 2 (2) 3 h(t) 5 metros
2
= − − + → = − − + + → = − + +
= − = − → =
 −
= − +  + → =
 
 
Resposta da questão 10: 
 10% de 840 84= (nenhum dos jornais) 
 
De acordo com as informações da questão, temos 
o seguinte diagrama: 
 
 
440 x x 520 x 840 84 x 204 x 204− + + − = −  − = −  = 
 
O número total de alunos do colégio que leem os 
dois jornais é 204. 
 
Resposta da questão 11: 
 a) Queremos calcular o menor valor de t para o 
qual se tem C(t) 40.= Assim, temos 
 
2 2
0,05t 2t 25 40 (t 20) 100
t 10 h ou t 30 h.
− + + =  − =
 = =
 
 
A concentração do medicamento na corrente 
sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela pri-
meira vez às 11 10 21h+ = da segunda-feira. 
 
b) A concentração do medicamento na corrente 
sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo 
após 
2
20
2 ( 0,05)
− =
 −
 horas. Portanto, o médico de-
verá prescrever a segunda dose para as 
20 (24 11) 7− − = horas da terça-feira. 
 
Resposta da questão 12: 
 Considerando que as dimensões de 2R sejam x e 
y, temos: 
 
a) 
4 1 4
sen 30 x 8 cm
x 2 x
= → =  = 
 
Como os retângulos são semelhantes, temos: 
cm
3
16
y
10
y
15
8
== 
 
As dimensões do retângulo são 8 cm e 
16
cm.
3
 
 
b) Teremos: 
%5,87
8
815
=
−
 (aumento linear) 
 
ou 
16
15 10 8
3 252%
16
8
3
 − 
=

 (aumento da área) 
 
Resposta da questão 13: 
 a) A partir da equação de f, temos A 2.= 
 
b) Sendo 2π o período fundamental da função 
seno, tem-se que o comprimento é dado por 
2 2
.
| 5 | 5
π π
= 
c) Sabendo que a frequência corresponde ao in-
verso multiplicativo do período, segue que a res-
posta é 
5
.
2π