VELOCIDADE TRANSVERSAL DA PARTÍCULA - notas de aula

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VELOCIDADE TRANSVERSAL DA PARTÍCULA 
O movimento de uma partícula de uma onda transversal como a da Figura 1 ocorre na direção y. A 
velocidade de uma onda descreve o movimento da onda ao longo da direção da propagação, isto é, direção 
x. 
Figura 1: Velocidade transversal da partícula 
 
A velocidade da onda não caracteriza o movimento transversal das partículas na corda. Para se determinar 
a velocidade transversal de uma partícula na corda é necessário conhecer a variação da sua coordenada 
y em relação ao tempo. Logo, para obtermos a expressão da velocidade transversal da partícula, realiza-
se uma derivação parcial de y em relação ao tempo na expressão da propagação da onda já vista. Então, 
deriva-se tanto a expressão quanto o termo constante no argumento e obtém-se a expressão uy = -
ymωcos(kx-ωt). Para o caso do cálculo da velocidade transversal máxima considera-se que o maior valor 
que a velocidade uy pode assumir é quando o cos(kx-ωt) é igual a 1. Portanto, substitui-se o termo cosseno 
por 1 obtendo-se o resultado umáx = -ymω. Já, para calcularmos a aceleração transversal da partícula 
calculamos a derivada parcial da velocidade em relação a y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já, para calcularmos a aceleração transversal da partícula calculamos a derivada parcial da velocidade em 
relação a y. 
 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 = 
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= 
𝜕
𝜕𝑡
 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
= -𝑦𝑚𝜔cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
𝑢𝑚á𝑥 = −𝑦𝑚𝜔 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
 
 
𝑢𝑚á𝑥 = −𝑦𝑚𝜔
2 
 
𝑎𝑦 𝑥, 𝑦 = 
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= 
𝜕
𝜕𝑡
 −𝑦𝑚𝜔cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
 
= -𝑦𝑚𝜔
2sen 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
 
Observe que a velocidade v representa a onda inteira, todos os pontos da fase da onda que se 
movimentam no mesmo sentido e tem a mesma velocidade v. Já a velocidade transversal uy, 
dependerá da localização da partícula e do instante de tempo observado. Em um instante de 
tempo, uma partícula pode ter uy = 0 enquanto outra pode se mover com velocidade transversal 
máxima, em outro instante essas condições podem se inverter. 
FASE E CONSTANTE DE FASE 
Para as ondas descritas pela equação de propagação de onda vista até agora, admitiu-se que o 
deslocamento y era igual a zero na posição x = 0 no instante de tempo = 0. Isto não precisa 
necessariamente ocorrer. A Figura 2 apresenta uma situação de duas ondas defasadas de 900. A expressão 
geral para uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x é 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − ω𝑡 − Φ 
a quantidade que aparece no argumento do seno é chamada de fase da onda. Por exemplo, duas ondas 
com a mesmo fase, ou que distam entre si de um valor múltiplo de 2π são ditas “em fase” e executam o 
mesmo movimento ao mesmo tempo. O ângulo Φ é chamado de constante de fase. Uma onda descrita 
pela expressão apresentada que apresente constante de fase positiva estará a frente de outra similar com 
𝛷 = 0. É por este motivo que a constante de fase foi introduzida com o sinal negativo na expressão. 
Figura 2: Ondas defasadas. 
 
Exercícios resolvidos: 
1) Uma onda senoidal transversal é gerada em uma das extremidades de uma longa corda 
horizontal através de uma barra, cuja extremidade é movimentada para cima e para 
 
baixo dentro de um percurso de 1.30 cm. O movimento é contínuo e repetido 
regularmente 125 vezes por segundo. 
(a) se a distância observada entre duas cristas de onda adjacentes é de 15.6 cm, 
encontre a amplitude, frequência, velocidade e o comprimento de onda do movimento 
ondulatório. 
(b) admitindo-se que onda se mova no sentido positivo de x, e que, em t = 0, o elemento 
da corda em x = 0 está na posição de equilíbrio y = 0 e se movendo para baixo encontre 
a equação da onda. 
 
Solução: 
a) A barra se move da posição de equilíbrio para cima (ou para baixo) de um valor de 
1,30
2
 = 0,65 cm. 
 
Portanto ym = 0,65 cm. 
f = 125 Hz. 
λ = 15,6 cm = 0,156 m. 
𝑣 = λf = 0,156 x 125 = 19,5 m/s 
 
b) 𝑘 = 
2𝜋
λ
 = 
2𝜋
0,156
= 40,3
𝑟𝑎𝑑
𝑚
. 
ω = 2𝜋f = 6.28 x 125 = 786 rad/s. 
Como 𝛷 = 0, 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 0,0065 𝑠𝑒𝑛 40,3𝑥 − 786𝑡 
 
2) A medida que a onda do exercício 1 passa ao longo da corda, cada partícula desta se 
move para cima ou para baixo formando ângulos retos em relação a direção de 
propagação da onda, 
(a) Obtenha as expressões para a velocidade e a aceleração da partícula P localizada 
em xp = 0,245 m. 
(b) Avalie o deslocamento, a velocidade e a aceleração transversais desta partícula para 
t = 15 ms. 
Solução: 
a) Foi visto que 
uy = -𝑦𝑚𝜔cos 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 , 
 
Portanto pode se obter a expressão da velocidade transversal, 
 
𝑢𝑦 = −0,0065 786 cos 40,3 0,245 − 786𝑡 
 
𝑢𝑦 = −5,109cos 9,87 − 786𝑡 
 
Em relação a expressão para a aceleração, foi visto que, 
 
𝑎𝑦= -𝑦𝑚𝜔
2sen 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 
 
𝑎𝑦 = −0,0065 786
2 𝑠𝑒𝑛 40,3 0,245 − 786𝑡 
 
𝑎𝑦 = −4015,67𝑠𝑒𝑛 9,87 − 786𝑡 
 
 
 
b) Em t = 15 ms, utilizam-se as expressões para y, uy, e ay para obter, 
 
y = 0,61cm, 
uy = 173 cm/s 
ay = 3,8 x 105 cm/s2 
 
3) Uma onda de frequência 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s. 
(a) Quão afastados estão dois pontos que tem uma diferença de fase de 
𝜋
3
 rad? 
(b) Qual a diferença de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em 
tempos separados de 1 ms? 
Solução: 
a) Seja y(x,t) uma onda transversal que progride no sentido positivo de x: 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − ω𝑡 − Φ 
 
Sendo conhecidas a frequência f e a velocidade de propagação v, podemos determinar 
k e ω, que serão usados adiante, 
𝜔 = 2π𝑓 
 
𝑘 = 
ω
𝑣
= 
2π𝑓
𝑣
 1 
Deseja-se determinar a distância, sobre o eixo x, que corresponda a uma diferença de 
fase Φ = 
π
3
 . Considere o seguinte esquema: 
 
 
 
Há pelo menos duas maneiras de calcular x, uma delas é por comparação: 
 
λ 
2π
= 
𝑥
𝜋
3⁄
 
 
𝑥 = 
π 
6
 
 
Como, 
 
λ = 
2π
𝑘
= 
2π
2π𝑓
𝑣⁄
= 
𝑣
𝑓
 
 
Na equação acima, k foi substituído por (1): 
 
𝑥 = 
𝑣
6𝑓
= 
350
6 500 
= 0,117 𝑚. 
 
b) Utilizemos o método do item (a) para o cálculo de ΔΦ, 
 
𝑇
2π
= 
𝛥𝑡
𝛥𝛷
 
 
1
𝑓⁄
2π
= 
𝛥𝑡
𝛥𝛷
 
 
𝛥𝛷 = 2π𝑓𝛥𝑡 = 2π 500 0,001 = 3,14 𝑟𝑎𝑑. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) A equação de uma onda transversal se propaganda na corda é dada por, 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 0,002𝑠𝑒𝑛 20𝑥 − 600𝑡 
(a) Ache a amplitude, frequência, velocidade e o comprimento de onda; 
(b) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula na corda. 
 
2) Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda, então 
a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual a razão entre a 
velocidade escalar da partícula e a velocidade escalar da onda naquele ponto. 
 
3) Uma onda de frequência 200 Hz tem uma velocidade de 220 m/s. 
(c) Quão afastados estão dois pontos que tem uma diferença de fase de 
𝜋
2
 rad? 
(d) Qual a diferença de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em 
tempos separados de 0,5 ms?