Curso de Bioestatística

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Introdução a Estatística 
JOELMIR FELICIANO 
O que é Estatística ? 
ESTATÍSTICA: conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, 
coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de 
estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento. 
? 
Algumas Atividades que Envolvem Estatística. 
• Área Social: O censo populacional. 
 
• Área Industrial: Confiabilidade de Sistemas, 
Controle Estatístico de Qualidade, etc. 
 
• Área Agropecuária: Identificação de melhores 
formas de manejo, etc. 
 
• Área Bancária: Concessão de Crédito, Atuária. 
 
• Marketing: Pesquisas de Mercado, Inferência, etc. 
 
Principais Áreas da Estatística 
• Estatística Descritiva: Utilizada na etapa inicial da análise, quando 
tomamos contato com os dados pela primeira vez. É o conjunto de 
técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que 
possamos tirar conclusões a respeito da característica de interesse. 
 
• Probabilidade: Teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza 
oriunda de fenômenos de caráter aleatório. 
 
• Inferência Estatística: Estudo de técnicas que possibilitam a 
extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e 
conclusões obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de 
dimensão muito menor. 
 
Exemplos de Aplicação 
• Comparação entre tratamentos ou processos: 
 
Produção 
Produção 
Tratamento Tipo 1 
x11 x12 x1n ... x21 x22 x2n ... 
Tratamento Tipo 2 
Tipo 1 
é mais 
produtivo 
do que o 
Tipo 2? 
Raciocínio Estatístico 
População Dados 
Amostragem 
Estatística 
Descritiva 
Inferência Estatística 
(Probabilidade) 
Com Suporte Computacional 
Técnicas de Amostragem 
JOELMIR FELICIANO 
Noções Básicas 
• Definição de População: Ao grande conjunto de 
elementos que contém determinada característica 
comum, que temos interesse recebe o nome de 
população. 
Ex1: Toda a população brasileira. 
População 1 População 2 
Ex2: Toda a população de sapos brasileiros. 
Noções Básicas 
Quando observamos todos os dados, procedemos ao 
Censo. 
Exemplo: Examinar todos os brasileiros quanto a condição 
de nutrição. 
População 
 = ? 
Qual é a proporção de 
brasileiros desnutridos? 
• Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica 
de uma população. Ex: 20% dos brasileiros estão desnutridos. 
 
Noções Básicas 
Quase não se trabalha com população. 
• Alto custo da pesquisa/experimento (material, pessoal, logística, etc); 
• Resultados demorados; 
• Razões Éticas (experimentos com animais); 
• Impossibilidade (Linha de produção, sangue, etc). 
Motivos Principais 
Noções Básicas: Amostra. 
População 
• Estatística: é uma medida numérica que descreve uma característica de uma 
amostra. Ex: média da altura da pop. Brasileira, proporção de desnutridos, etc. 
Amostra 
Definição: subconjunto da população, em geral com 
dimensão sensivelmente menor. 
x : Estatística. 
Noções Básicas: Amostra. 
Vantagens da Amostragem. 
•Baixo custo operacional. 
 
 
• Maior rapidez na execução da pesquisa ou estudo. 
 
 
• Maior segurança nos resultados 
 
Tipos de Amostragem 
Amostra casual simples: Existência de um “frame”. Todos os 
elementos da população devem ter chance igual de escolha. 
Procedimento baseado no sorteio aleatório.de escolha. 
Figura 1: Sorteio Aleatório 
Tipos de Amostragem 
Amostra Estratificada: Na amostra estratificada os elementos são 
provenientes de todos os estratos da população. 
Ex: Pesquisas em um cidade; pesquisas em florestas; etc. 
Em cada estrato é feito o sorteio aleatório. 
Tipos de Amostragem 
Amostra Sistemática: Na amostra sistemática os elementos são 
escolhidos não por acaso, mas por um sistema. 
No primeiro período o sorteio é aleatório. 
Exemplo: Linha de Produção; Pesquisas em formulários; etc. 
 
Tipos de Amostragem 
Amostra por conglomerado: Amostra feita em vários estágios. 
Maior economia. 
Ex: Em uma pesquisa feita no pais, primeiro sorteamos os estados, depois as 
cidades, depois os bairros, os setores censitários, os domicílios e os indivíduos. 
Tipos de Amostragem: Exercícios 
1. Obtém-se uma amostra de um produto extraindo-se cada 100º unidade da linha 
de produção; 
2. Um fabricante de automóveis faz um estudo de mercado compreendendo testes 
de direção feitos por uma amostra de 10 homens e 10 muheres em cada uma 
das quatro diferentes faixas etárias; 
3. Geram-se números aleatórios em um computador para selecionar números de 
séries de carros a serem escolhidos para uma amostra teste. 
A- Identifique o tipo de amostra: 
4. Em uma linha de produção são produzidos 1000 comprimidos por hora, 
sabendo que a linha funciona por 8 horas seguidas por dia e que deve ser 
extraída uma amostra de 400 comprimidos por dia, qual seria o processo de 
amostragem mais indicado e como seria a seleção dessa amostra? 
Análise Exploratória de Dados 
Estatística Descritiva 1 
Organização dos dados em 
Tabelas? 
O que é uma variável ? 
• Variável é uma característica, propriedade ou atributo de uma 
unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades 
da população. 
• Variáveis Qualitativas ou Categóricas: Quando os possíveis 
valores assumem atributos ou qualidades. Ex: sexo, cor, escolaridade, 
doença, condição do ar, condição da água, etc. 
 Tipos de Variáveis 
• Variáveis Quantitativas ou de Medidas: Quando seus valores são 
expressos em números. Ex: altura, peso, número de filhos, pH, 
concentração do reagente, etc . 
Especificando os tipos de variáveis 
As variáveis qualitativas podem ser classificadas ainda como: 
• Ordinais: quando o atributo tem uma ordenação natural, indicando 
intensidade crescente de realização. Ex: grau de escolaridade, classe 
social, condição do ar, condição da água, estado clínico, etc. 
 
• Nominais: quando o atributo não se estabelece ordem. Ex: sexo, cor, 
raça, doença, etc. 
 Já as variáveis quantitativas podem ser: 
 
• Discretas: resultantes de contagens, assumindo assim, em geral 
valores inteiros. Ex: número de filhos, número de peças defeituosas, 
nº de pessoas doentes na região, etc. 
 
• Contínuas: assumem valores em intervalos de números reais e 
geralmente, são provenientes de uma mensuração. Ex: peso, altura, 
pH, concentração do reagente, etc.. 
Resumo geral: tipo de variável 
Variável
Qualitativa
Quantitativa
ordinal
nominal
contínua
discreta
Exercícios 
Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa (nominal ou 
ordinal) ou quantitativa (discreta ou contínua)? 
 
a) Intenção de voto para presidente (possíveis respostas são os nomes dos 
candidatos, além de (“não sei”). 
 
b) Perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre, em quilos. 
 
c) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre 
(leve, moderada, forte). 
 
d) Grau de satisfação da população brasileira com relação ao trabalho de seu 
presidente (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 
totalmente satisfeito 
Apresentação dos dados em tabela 
Tabela 1.1: Número de Nascimentos segundo o sexo 
Fonte: E.W. 
Sexo Freqüência
Masculino 10
Feminino 8
Total 18
Para efeito de comparação: Tabela de 
freqüência relativa 
Tabela 1.2: Número de Nascimentos segundo sexo. 
Fonte: E.W. 
Sexo Freqüência Freqüência relativa(%)
Masculino 10 55,56%
Feminino 8 44,44%
Total 18 100,00%
Tabelas de distribuição de freqüência. 
Quando os dados são quantitativos contínuos, não conseguimos resumir a 
informação da mesma forma anterior. Neste caso precisamos organizar 
os dados em uma tabela de distribuição de frequências. Veja os dados 
abaixo, 
2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400
2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400
3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570
2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800
3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700
3,000 2,480 2,500 2,400 4,450 2,900
3,725 3,8003,600 3,120 2,900 3,700
2,890 2,500 2,500 3,400 2,920 2,120
3,110 3,550 2,300 3,200 2,720 3,150
3,520 3,000 2,950 2,700 2,900 2,400
3,100 4,100 3,000 3,150 2,000 3,450
3,200 3,200 3,750 2,800 2,720 3,120
2,780 3,450 3,150 2,700 2,480 2,120
3,155 3,100 3,200 3,300 3,900 2,450
2,150 3,150 2,500 3,200 2,500 2,700
3,300 2,800 2,900 3,200 2,480
3,250 2,900 3,200 2,800 2,450
Tabela 1.7: Peso ao nascer de nascidos vivos, em quilogramas 
Fonte: IBGE 
Exemplo de tabela de distribuição de 
freqüência. 
Classe Ponto médio Freqüência
1,5 |--- 2,0 1,750 3
2,0 |--- 2,5 2,250 16
2,5 |--- 3,0 2,750 31
3,0 |--- 3,5 3,250 34
3,5 |--- 4,0 3,750 11
4,0 |--- 4,5 4,250 4
4,5 |--- 5,0 4,75 1
Tabela 1.9: Peso de recém nascidos. 
 Numa tabela de distribuição de frequência também podem ser 
apresentados os pontos médios de classe. O ponto médio é dado pela soma dos 
extremos de uma classe, dividida por 2. Para a classe 1,5 |--- 2,0, o ponto médio 
é: (1,5+2)/2=1,75. 
Cálculo da amplitude de classes 
• Ordenar os dados 
 
•Intervalo da amostra= Maior valor – menor valor 
 
• Número de classes = raiz de n = Tamanho da amostra 
 
• Amplitude = 
Intervalo da amostra
Número de classes
 
 
• Construir os intervalos = limite inferior + amplitude 
Análise Exploratória de Dados 
Estatística Descritiva 2 
• Representação Gráfica de Dados 
Gráfico de Setores ou Pizza. 
 Usado para representar variáveis qualitativas, quando os 
dados apresentam poucas características. 
Figura1.1: Fonte de Emissão de CO na RMSP-2003. 
54%
15%
31%
Gasolina Alcool Diesel
Gráfico de Barras. 
Gráfico de barras bastante usado com variáveis qualitativas e quantitativas 
discretas. Ideal para quando temos várias classes de categorias. 
Figura 1.2: Distribuição das reclamações via 0800. 
13
8
7
25
0
5
10
15
20
25
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
Mau atendimento Troca de mercadoria Mercadoria com defeito Falta de variedade
Reclamações
Histograma 
O histograma é a representação gráfica para variáveis quantitativas 
contínuas. Este tipo de representação mostra a forma da distribuição 
da variável. É de fundamental importância na aplicação dos conceitos 
de inferência estatística 
Figura 1.3: 
Ponto médio 
Espalhamento 
dos dados 
Diagramas de Dispersão 
Quando temos dados emparelhados e desejamos verificar se existe uma 
associação entre esses dados, usamos como análise preliminar o diagrama 
de dispersão. 
Figura 1.4: Diagrama de dispersão: Temperatura X Rendimento de PQ. 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120
Temperatura
R
en
d
im
en
to
Exercícios 
1. Uma pesquisa com usuários de transporte coletivo na cidade de São Paulo indagou 
sobre os diferentes tipos usados nas suas locomoções diárias. Dentre ônibus, metro e 
trem, o número de diferentes meios de transportes utilizados foi o seguinte: 
 
2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2 e 3. 
 
a) Organize estes dados em uma tabela. 
b) Faça uma representação gráfica. 
c) Admitindo que esta amostra represente bem o comportamento do usuário 
paulistano, o que você escreveria sobre a percentagem de usuários que utilizam mais 
de um transporte. 
 
2. A idade dos 20 ingressantes num certo curso de pós-graduação foi o seguinte: 
 
22, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 35 e 40. 
 
a) Organize estes dados em uma tabela. 
b) Faça uma representação gráfica. 
 
Análise Exploratória de Dados 
Estatística Descritiva 3 
Medidas de Centralidade. 
Medidas de Posição. 
 
Cálculo de Médias 
  Brutos. Dados 
11
21
1
n
n
i
i xxx
n
x
n
x  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabelas. ...
1
 .
1
2211
1
kni
k
i
i nxnxnx
n
nx
n
x  


Tabelas. .... 2211
1
kni
k
i
i fxfxfxfxx 


classes. de número =k 
amostra. da tamanho=n 
.frequência da elemento ésimo-i = n
relativa. frequência da elemento ésimo-i = f
contínua. variávelda médio ponto oou amostra da elemento ésimo-i = x
:Onde
i
i
i
Medidas de Centralidade 
• Média Aritmética de um conjunto de valores é o valor 
obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo 
número de valores. 
Exemplo 1: Os valores em gramas referentes aos pesos de recém nascidos 
de uma pequena cidade em um dia específico foram: 2500, 2350, 3400, 
3280, 2650, 4010 e 2910. 
Assim o peso médio é calculado como: 
28,3014
7
21100
7
2910...23502500


x
Tabela 2.0 – Número de Filhos 
Medidas de Centralidade 
Número de 
Filhos 
Frequência Frequência 
Relativa 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada 
Proporção 
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑓𝑖 Fab. Fac. 𝑓𝑖 . 100% 
 0 2 0,2 2 0,2 20% 
 1 3 0,3 5 0,5 30% 
 2 3 0,3 8 0,8 30% 
 3 2 0,2 10 1,00 20% 
 Total 10 1,00 ----- ----- 100% 
Medidas de Centralidade 
Se os dados apresentam observações extremas, a média pode não ser a 
medida mais indicada para centralidade, pois sobre influência direta 
de observações extremas. Por exemplo: 
 
Em uma pesquisa sobre salário de um Tecnólogo em Química Fármaco 
Industrial observamos os seguintes valores: $1000,00; $1200,00; 
$1800,00; $2500,00; $2700,00 ; $3200,00 e $15000,00 
 
A média é: 3914,28. Essa medida é representativa para este conjunto de 
dados. 
Solução: O uso da mediana. 
Mediana (Me) é o valor que divide a amostra ou população em duas partes 
iguais. 
Para o exemplo, Me = $2500,00 
Medidas de Centralidade 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
1 2 3 4 5 6 7
Dados Média Mediana
Figura 2.1 : Salários dos Tecnólogos 
Medidas de Centralidade 
 Como calcular a mediana? 
 
 
 Se o número de observações na amostra ou população for 
ímpar, então a mediana será o elemento de ordem , ou seja : 
n





 

2
1n
xMe
2
1n
Se o número for de ordem par, então a mediana será a média entre os 
elementos centrais ou seja: 
2
1
22














nn
xx
Me
Exemplos para o cálculo da 
Mediana: 
Serie 1: 12, 124, 32, 10, 18, 29 e 100 n= 7; impar 
Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 100 e 124. 
29)4(
2
1






 
xxMe n
Serie 2: 12, 124, 32, 10, 18 e 29 n= 6; par. 
Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 124. 
5.23
2
2918
22
)4()3(
1
22



















xx
xx
Me
nn
Medidas de Posição 
Moda(mo): É o valor (ou atributo) que ocorre com maior frequência. 
Ex: 4,5,4,6,5,8,4,4 
Mo = 4 
Variável 
qualitativa 
Moda 
Medidas Separatrizes 
 As medidas de posição possibilitam um melhor 
entendimento dos dados, focalizando sua posição 
relativa em relação ao conjunto como um todo. 
Mediana: divide os dados ordenados em duas partes iguais. 
Quartis: Dividem os dados ordenados em 4 partes iguais. 
Decis: Dividem os dados ordenados em 10 partes iguais. 
Percentis: Dividem os dados ordenados em 100 partes iguais. 
Medidas Separatrizes 
Calculando o percentil (medida geral) 
Ordenar a série de n observações em ordem crescente de valores, definimos 
como 0% à posição de ordem 1 e 100% a observação de ordem n. Portanto 
uma observação com ordem x terá uma posição p. 
Ordem 
Posição 
n 
0% 
1 x 
100% 
P 
Medidas Separatrizes 
• Usando a semelhança de triângulos, vamos ter: 
0
1
0100
1





P
xn
.observação dessa percentil o é :
.observação adeterminad uma de ordem a é:
série. na sobservaçõe de totalnúmero :
P
x
n
%100*
1
1



n
x
P
1
100
*)1( 
P
nx
Medidas Separatrizes: Exemplo1. 
Série de 27 32 64 65 58 62 59 54 29 30 26 48 47
Dados 46 43 38 29 32 35 37 31 43 45 42 37 36
Calcular o valor da observação para o percentil P = 32%. 
Série 26 27 29 29 30 31 32 32 35 36 37 37 38
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Série 42 43 43 45 46 47 48 54 58 59 62 64 65
Ordem 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Primeiro Passo: Ordenar os dados. 
Medidas Separatrizes: Exemplo. 
Agora vamos encontrara ordem x correspondente: 
91
100
32
*)126(1
100
*)1( 
P
nx
Portanto o valor na série de ordem x=9 é 35. Ou seja, o valor que 
separa a série de dados entre os 32% menores valores é 35. 
O BOXPLOT representa os dados através de um retângulo construído com 
os quartis e fornece informação sobre valores extremos. Usado para todas 
as variáveis. (veja o esquema embaixo) 
Boxplot 
 d = Intervalo Interquartil = 𝑄3 − 𝑄1 
 𝑄1 = Primeiro Quartil = 25% do dados à esquerda e 75% à direita. 
 𝑄2 = Segundo Quartil = Md(X) = 50% dos dados à esquerda e 50% à direita 
 𝑄3 = Terceiro Quartil = 75% dos dados à esquerda e 25% à direita. 
Descritiva 4 
Medidas de dispersão. 
Medidas de dispersão 
Problema: 
 
 Uma empresa farmacêutica realiza um teste com dois 
medicamentos para a mesma finalidade em um grupo de 14 pessoas, 
sendo que 7 tomaram o medicamento A e as outras 7 o B.O tempo de 
reação foi anotado para cada individuo: 
Tabela 1: Tempo de reação dos medicamentos. 
Fonte: J. F. 
As médias para os dois grupos são iguais. Qual é o melhor medicamento? 
Média
Med.A 15 61 48 16 72 17 16 35
Med.B 35 35 36 34 33 35 37 35
Tempo de Reação
Medida de Dispersão 
 Só utilizando a média como medida resumo para um conjunto de 
dados, não vamos ter uma boa representação. Necessitamos de outras medidas 
para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão dos valores em torno da 
média. As medidas de dispersão medem a representatividade da média. 
Tempo de Reação dos Medicamentos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3 4 5 6 7
Pacientes
Te
m
po
 d
e
 R
e
aç
ão
Med.A
Med.B
Média
Medidas de Dispersão 
• Amplitude Total: Diferença entre o maior e menor valor da série de 
dados. No exemplo temos. 
43337 :MedB
571572 :MedA 


Temos uma ideia da dispersão. 
Problema: Depende dos valores extremos. 
Não é avaliada a dispersão dos valores internos. 
Medidas de Dispersão 
Os desvios de uma série de dados com relação a média são dados 
por : 
.,...,2,1 onde , nixxi 
 Portanto o desvio médio seria uma boa taxa de dispersão 
entre os dados. No entanto: 



n
i
i xx
1
0)(
Medidas de Dispersão. 
Confirmando o resultado. 
Med.A Med.B
ix )( xxi  ix )( xxi 
15 -20 35 0
61 26 35 0
48 13 36 1
16 -19 34 -1
72 37 33 -2
17 -18 35 0
16 -19 37 2
Soma 0 Soma 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      
      Tabelas. 
1
1
 
1
1
)(
Brutos. Dados 
1
1
1
1
)(
22
11
2
1
2
22
1
2
1
2
xxnxxn
n
xxn
n
XS
xxxx
n
xx
n
XS
nk
k
i
ii
n
n
i
i
















Medidas de Dispersão 
Variância Amostral: É dada quando trabalhamos com amostras. 
classes. de número =k 
amostra. da tamanho=n 
.frequência da elemento ésimo-i = n
relativa. frequência da elemento ésimo-i = f
contínua. variávelda médio ponto oou amostra da elemento ésimo-i = x
:Onde
i
i
i
Medidas de Dispersão. 
Calculando a variância amostral para o MedA, temos: 
610
6
3660
17
)3516(...)3561()3515(
)(
222
2 


XS
Calcular a variância para o MedB. 
666.1
6
10
17
)3537(...)3535()3535(
)(
222
2 


XS
Medidas de Dispersão. 
O valor da variância é sempre positivo. 
Algumas conclusões relacionadas com a variância. 
Quando todos os elementos da série são iguais, a variância é igual a 
zero. 
O valor da variância é uma medida em escala diferente dos dados. 
Medidas de Dispersão. 
Para resolver o problema da diferença de escala entre variância e os dados, 
utilizamos o desvio padrão. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
)()( 2 XSXS 
Med A: S(X) = 24,698. Med B : S(X) = 1,29. 
Para o exemplo anterior. 
Variância Populacional 
classes. de número =k 
amostra. da tamanho=n 
.frequência da elemento ésimo-i = n
relativa. frequência da elemento ésimo-i = f
contínua. variávelda médio ponto oou amostra da elemento ésimo-i = x
:Onde
i
i
i
      
      
      Tabelas. )(
Tabelas. 
1
 
1
)(
Brutos. Dados 
11
)(
22
11
2
1
22
11
2
1
22
1
2
1
xxfxxfxxfXVar
xxnxxn
n
xxn
n
XVar
xxxx
n
xx
n
XVar
nk
k
i
ii
nk
k
i
ii
n
n
i
i












Medidas de Dispersão. 
Coeficiente de variação: Mede a variabilidade em termos relativos, 
dividindo o desvio padrão pela média. 
%100
x
S
CVa
Baixa: menor que 10% 
Médio: de 10% a 20% 
Alto: de 20% a 30% 
Muito Alto: acima de 30% 
Índices para avaliar a variação dos dados. 
)()()( XVarXDPX 
Desvio Padrão Populacional. 
%100
x
CVa

Tabela 2.0 – Número de Filhos 
Medidas de Centralidade 
Número de 
Filhos 
Frequência Frequência 
Relativa 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada 
Proporção 
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑓𝑖 Fab. Fac. 𝑓𝑖 . 100% 
 0 2 0,2 2 0,2 20% 
 1 3 0,3 5 0,5 30% 
 2 3 0,3 8 0,8 30% 
 3 2 0,2 10 1,00 20% 
 Total 10 1,00 ----- ----- 100% 
Exercícios 
1. Responda certo ou errado, justificando. 
 
a) Suponha duas amostras colhidas de uma mesma população, sendo uma de tamanho 100 
e outra de tamanho 200. Então, não há dúvida de que a amostra de tamanho maior é mais 
representativa da população, certo? Justifique. 
 
b) Duas variáveis diferentes podem apresentar histogramas idênticos? 
 
2. Suponha que duas empresas desejam emprega-lo e após considerar às vantagens de 
cada uma você escolha aquela que lhe paga melhor. Após certa pesquisa, você consegue a 
distribuição de salário das empresas dadas segundo os gráficos abaixo. Com base nas 
informações de cada gráfico, qual seria a sua decisão? 
3. Quais medidas de posição são mais adequadas nos seguintes casos? 
Justifique. 
 
• Estão disponíveis dados mensais sobre a incidência de envenenamento por 
picada de cobra. Deseja-se planejar a compra mensal de antídoto. 
 
• O número diário de usuários, entre 17 e 19 horas, de determinada linha de 
ônibus foi anotado. Pretende-se utilizar essa informação para dimensionar a 
frota em circulação. 
 
• Um fabricante de baterias deseja divulgar a durabilidade do seu produto e 
coleta a informação sobre a duração de 100 de suas baterias. 
 
• Num voo internacional uma companhia serve dois tipos de pratos: peixe ou 
frango. Um banco de dados contém os pedidos feitos nos últimos 200 voos. 
Pretende-se planejar o número de cada tipo à ser colocado a disposição dos 
passageiros. 
Exercícios 
Exercícios 
4. Vinte e cinco residências de um bairro foram sorteadas e visitadas por um 
entrevistador que, entre outras questões, perguntou sobre o número de televisores. Os 
dados foram os seguintes: 
 
2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 0 e 2. 
 
Organize os dados em uma tabela de frequência e determine as diversas medidas de 
posição. 
 
5. Num experimento, 15 coelhos foram alimentados com uma nova ração e seu peso 
avaliado ao fim de um mês. Os dados referentes ao ganho de peso (em kg) foram os 
seguintes: 
1,5; 1,6; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 1,5; 1,8; 2,1; 2,1; 1,9; 1,8; 1,7; 2,5 e 2,2 
 
a) Utilizando os dados brutos acima, determine média, moda e mediana. 
b) Organize uma tabela de frequência com faixas de amplitude 0,2 a partir de 1,5. 
c) Calcule a partir da tabela de frequência e com o ponto médio representando cada 
faixa, a média, a moda e a mediana. Comente as diferenças em relação ao item a. 
d) Se ao invés de 15, fossem 500 coelhos, qual seria o procedimento mais conveniente 
(a) ou (c)? 
6. Você está indeciso em comprar uma televisão e decide avaliar algumas 
informações estatísticas, fornecidas pelo fabricante, sobre a duração(em horas) 
do tubo de imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
Justifique. 
 
7. A pulsação de 10 estudantes após exercícios físicos foram as seguintes (em 
batimentos por minuto): 80, 91, 84, 86, 93, 88, 80, 89, 85 e 86. Determine a 
média, a moda, a mediana e o desvio padrão. 
 
Marcade TV GA FB HW 
Média 8000 8200 8000 
Mediana 8000 9000 7000 
Desvio Padrão 600 1500 2500 
Exercícios 
8. Num estudo sobre consumo de combustível, 200 automóveis do mesmo ano 
e modelo tiveram seu consumo observado durante 1000 quilômetros. A 
informação obtida é apresentada na tabela abaixo em Km/litro. 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o desvio padrão do consumo. 
 
9. Num certo bairro da cidade de São Paulo, as companhias de seguro 
estabeleceram o seguinte modelo para o número de veículos roubados por 
semana. Calcule a média e a variância do número de furtos semanais. 
 
 
Exercícios 
Número de 
Filhos 
Frequência 
𝑛𝑖 
7├ 8 27 
8├ 9 29 
 9├ 10 46 
10├ 11 43 
11├ 12 55 
Furtos 0 1 2 3 4 
𝑓𝑖 1/4 1/2 1/8 1/16 1/16 
Exercícios 
10. Num jogo de dados, um jogador paga R$ 5 para lançar um dado equilibrado 
e ganha R$ 10 se der face 6, ganha R$ 5 se der face 5 e não ganha nada com as 
outras faces. Defina a variável lucro por jogada como sendo o saldo do que o 
jogador ganhou menos o pagamento inicial. Determine média, moda, mediana e 
variância, desvio padrão dessa variável. 
 
11. Um certo cruzamento tem alto índice de acidentes de trânsito, conforme 
pode ser constado em uma amostra dos últimos 12 meses: 5, 4, 7, 8, 5, 6, 4, 7, 9, 
7, 6 e 8. Determine a média e o desvio padrão do número de acidentes mensais. 
 
12. Estudando uma nova técnica de sutura, foram contados os dias necessários 
para a completa cicatrização de determinada cirurgia. 
Os resultados de 25 pacientes foram os seguintes: 6, 8, 9, 7, 8, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 
7, 8, 10, 9, 9, 9, 7, 6, 5, 7, 7, 8, 10 e 11. Organize os dados em uma tabela de 
frequência e calcule a média, mediana e a moda. 
 
Exercícios 
13. Uma amostra de vinte empresas, de porte médio, foi escolhida para um estudo 
sobre o nível educacional dos funcionários do setor de 
vendas. Os dados coletados, quanto ao número de empregados com curso superior 
completo, são apresentados abaixo: 
 
 
 
 
 
a. Organize em uma tabela de frequência e calcule a média, mediana e a moda. 
b. Determine o desvio padrão. 
 
c. As empresas pretendem incentivar o estudo dos seus funcionários oferecendo 
um adicional de 2 salários mínimos para cada funcionários com curso 
superior. Qual será a despesa média adicional nessas empresas? 
Empresas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Média 1 0 0 3 0 1 1 2 2 2 0 2 0 2 0 1 1 2 3 2 
14. As notas finais de um curso de Estatística foram as seguintes: 7, 5, 4, 5, 6, 1, 
8, 4, 5, 4, 6, 4, 5, 6, 4, 6, 6, 4, 8, 4, 5, 4, 5, 5, 6. 
a. Determine a mediana e a média. 
b. Separe o conjunto de dados em dois grupos denominados „‟aprovados‟‟ com 
nota igual ou maior que 5, e „‟reprovados‟‟. Compare a variabilidade desses 
dois grupos através de seus coeficientes de variação. 
 
15. Um hospital maternidade está planejando a ampliação dos leitos para recém-
nascidos. Para tal, fez um levantamento dos últimos 50 nascimentos obtendo a 
informação sobre o número de dias que os bebês permanecem no hospital antes 
de terem alta. Os dados já ordenados foram: 
1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,
5,5,6,7,7,8,15. 
a. organize os dados em uma tabela de frequências. 
b. calcule a média, moda, mediana e quartis. 
c. determine a variância e o desvio padrão. 
d. você identifica alguma valor excepcional (outlier) entre os dados? Caso sim 
retire-o da série e refaça os cálculos dos itens a, b e c. Comente as 
diferenças encontradas 
Exercícios 
16. O departamento de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos 
recebe, via telefone, as reclamações dos clientes. O número de chamadas dos últimos 30 
dias foram anotadas e os resultados foram: 3, 4, 5, 4, 4, 5, 6, 9, 4,4, 5, 6, 4, 3, 6, 7, 4,5, 4, 
5, 7, 8, 8, 5, 7, 5, 4, 5, 7, e 6. 
 
a. Construa uma distribuição de frequência, 
b. Calcule a média e o desvio padrão. 
c. Admitindo que cada telefonema acarreta serviços sob a garantia avaliados em R$ 
50,00 por chamada, calcule a média e o desvio padrão das despesas oriundas do 
atendimento ao consumidor. 
 
17. Um hospital maternidade está planejando a ampliação dos leitos para recém-nascidos. 
Para tal, fez um levantamento dos últimos 50 nascimentos obtendo a informação sobre o 
número de dias que os bebês permanecem no hospital antes de terem alta. Os dados já 
ordenados foram: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 
3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 15. 
 
a. Organize os dados em uma tabela de frequências. 
b. Calcule a média, moda, mediana e quartis. Depois calcule e o desvio padrão. 
c. Você identifica alguma valor excepcional (outlier) entre os dados? Caso sim retire-o 
da série e refaça os cálculos dos itens a, b e c. Comente as diferenças encontradas. 
Exercícios 
18. Foram anotados os níveis de colesterol (em mg/100ml) para uma amostra de 
trinta pacientes de uma clínica cardíaca. As medidas se referem a homens entre 
40 e 65 anos, que foram à clínica fazer um chek-up. 
Exercícios 
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
Colesterol 160 160 161 163 167 170 172 172 173 177 178 181 181 182 185 
Paciente 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Colesterol 186 194 197 199 203 203 205 206 206 208 209 211 214 218 225 
a. Calcule a média, moda, mediana e variância a partir da tabela de dados 
brutos. 
b. Organize os dados em uma tabela de frequências com faixa de amplitude 
(tamanho) 10 a partir de 160. 
c. Refaça o item (a) através da tabela obtida no item (b). 
d. Comente as diferenças encontradas entre os valores obtidos no item (a) e 
(c). 
 
 
19. O tempo, em horas, necessário para um certo medicamento fazer efeito ´e 
apresentado abaixo: 
 
 
 
 
a) Calcular a média e o desvio padrão para o conjunto de dados. 
b) Construir uma tabela de frequência para classes com amplitude de 0,5 hora, 
começando do zero. 
c) Suponha que o conjunto original de dados foi perdido e só se dispõe da 
tabela construída em (b). Construir o histograma a partir desta tabela e, 
utilizando alguma hipótese conveniente (e razoável), estimar a média e a 
variância. Comentar as possíveis diferenças encontradas 
 
20. Estudando-se o número de acertos em 100 lances-livres de bola ao cesto, 
uma amostra com 20 jogadores forneceu os seguintes resultados: 68, 73, 61, 66, 
96, 79, 65, 86, 84, 79, 65, 78, 78, 62, 80, 67, 75, 88, 75 e 82. Agrupar as 
observações em intervalos de comprimento 5 a partir de 60 e, usando alguma 
suposição adicional, estimar a média e a variância do número de acertos em 100 
arremessos. 
Exercícios 
0,21 2,71 2,12 2,81 3,30 0,15 0,54 3,12 0,80 1,76 
1,14 0,16 0,31 0,91 0,18 0,04 1,16 2,16 1,48 0,63 
Exercícios 
21. O sindicato dos Engenheiros do Estado de São Paulo está estudando o 
impacto do estágio na obtenção de bons empregos. Dentre os engenheiros 
recém formados e com empregos considerados bons, foi sorteada uma 
amostra e observado o número de anos de estágio anteriores à formatura, o 
resultado da pesquisa foi 
Anos de Estágio Frequência 
0 25 
1 58 
2 147 
3 105 
4 72 
5 45 
6 10 
Total 462 
a) Calcule a média e a 
variância. 
 
b) Para efeito de análise, 
decidiu-se desprezar os 
valores que se distanciassem 
de dois desvios-padrões, isto 
é, só serão considerados os 
valores no intervalo 𝑥 ± 2𝑠. 
Recalcule os resultados 
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/agncia-de-empregos.html
http://livred.info/danton-bastos.html
http://livred.info/danton-bastos.html
http://livred.info/danton-bastos.html
http://livred.info/danton-bastos.html
http://livred.info/danton-bastos.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.htmlhttp://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
http://livred.info/atividades-reviso-sobre-mdia-mediana-e-moda-questo-1.html
Exercícios 
22. Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso 
escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se o número de erros por 
página da tabela abaixo. 
a. Qual o número médio de erros por página? (R: 0.66) 
b. E o número mediano? (R:0,5) 
c. Qual é o desvio padrão? (R: 0.8393) 
d. Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperados no livro? 
(R: 330) 
Erros Frequência 
0 25 
1 20 
2 3 
3 1 
4 1 
Total 50 
Exercícios 
23. As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um certo período foram 
(medidas em porcentagens) 2,59; 2,64; 2,60; 2,62; 2,57; 2,55: 2,61; 2,50; 
2,63; 2,64. Calcule a média, a mediana e o desvio padrão. 
 
24. Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa 
região de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 
dos 270 quarteirões que compõem a região e foram encontrados os seguintes 
números de casas por quarteirão: 
a. Use cinco intervalos e construa um histograma. 
b. Calcule a média e o desvio padrão. 
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25 
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45 
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97 
Exercícios 
25. Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes 
informações: 
Número de Filhos 0 1 2 3 4 5 Mais que 5 
Famílias 17 20 28 19 7 4 5 
a) Qual a mediana do número de filhos? 
b) E a moda? 
c) Que problemas enfrentaríamos no cálculo da média de filhos? 
26. O que acontece com a mediana, média e desvio padrão de uma série de 
dados quando: 
 
a. Cada observação é multiplicada por 2? 
b. Soma-se 10 a cada observação? 
c. Subtrai-se a média geral x de cada observação? 
d. De cada observação subtrai-se x e divide-se pelo desvio padrão dp(x)? 
 
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/21-medidas-de-posicao
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/21-medidas-de-posicao
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/21-medidas-de-posicao
Exercícios 
27. Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classe de salários 
mínimos, de vendas de gêneros alimentícios: 
 a) Faça um histograma , 
calcule a média e o 
desvio padrão da 
amostra. 
b) Qual a porcentagem 
das observações 
compreendidas entre 
𝑥 ± 2𝑠. 
 
c) Calcule a mediana. 
Vendas Semanais Número de 
Vendedores 
30 ⊢ 35 2 
35 ⊢ 40 10 
40 ⊢ 45 18 
45 ⊢ 50 50 
50 ⊢ 55 70 
55 ⊢ 60 30 
60 ⊢ 65 18 
65 ⊢ 70 2 
Total 200 
Exercícios 
28. - O número de divórcios na cidade X, de acordo com a duração do 
casamento está representado na tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Qual a duração média dos casamentos? E a mediana? 
b. Encontre a variância e o desvio padrão dos casamentos. 
c. Construa o histograma da distribuição. 
d. Encontre o intervalo interquartil. 
Duração do 
Casamento 
Números de 
Divórcios 
0 ⊢ 6 2800 
6 ⊢ 12 1400 
12 ⊢ 18 600 
18 ⊢ 24 150 
24 ⊢ 30 50 
Total 5000 
29. O Departamento Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos 
salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados 
(em salários mínimos) 
a. Esboce o histograma correspondente. 
b. Calcule a média, a variância e o desvio padrão. 
c. Calcule a mediana. 
d. Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funcionários, 
haverá alteração na média? E na variância? Justifique sua resposta. 
e. Se for concedido um abono de dois salários mínimos para todos os 120 
funcionários, haverá alteração na média? 
Exercícios 
Faixa salarial Frequência relativa 
0 ⊢ 2 0,25 
2 ⊢ 4 0,40 
4 ⊢ 6 0,20 
6 ⊢ 10 0,15 
Total 1,00 
30. Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 3º quartil é 
5.000. 
a. Se você se apresentasse como candidato a essa firma e se o seu salário 
fosse escolhido ao acaso entre os possíveis salários, o que seria mais 
provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades? Justifique. 
b. Suponha que na companhia B a média dos salários é 7.000 unidades e a 
variância é praticamente zero, e l á o seu salário também seria escolhido ao 
acaso. Em qual companhia você se apresentaria para procurar emprego? 
Justifique. 
Exercícios 
31. Estamos interessados em estudar a idade dos 12.325 funcionários da Cia. 
Distribuidora de Leite Teco, e isso será feito por meio de uma amostra. Para 
determinar que tamanho deverá ter essa amostra, foi colhida uma amostra 
piloto. As idades observadas foram: 42, 35, 27, 21, 5, 18, 27, 30, 21 e 24. 
 
a. Determine as medidas descritivas dos dados que você conhece. 
b. Qual dessas medidas você acredita que será a mais importante para julgar 
o tamanho final da amostra? Porque? 
Introdução à Teoria das 
Probabilidades 
 
JOELMIR FELICIANO 
Conceitos Básicos 
Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório 
Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. 
Exemplos: 
• Condições climáticas do próximo domingo; 
• Taxa de inflação do próximo mês; 
• Resultado ao lançar um dado ou moeda; 
• Tempo de duração de uma lâmpada. 
 
Espaço Amostral ( ou S) 
Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou fenômeno 
aleatório. 
Exemplos: 
1. Lançamento de um dado.  ={1,2,3,4,5,6} 
2. Tipo sanguíneo de um individuo.  ={A, B, AB,0} 
3. Opinião de um eleitor sobre um projeto.  ={Favorável,Contrário} 
4. Tempo de duração de uma lâmpada  ={t; t>0) 
Evento subconjunto do espaço amostral  
Notação: A, B, C,... 
Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos: 
A: sair face par:  A={2,4,6}   
B: Sair face maior que 3  B={4,5,6}   
C: sair face 1  C={1}   
D: sair face 7  D={ } (evento impossível)=  (conjunto vazio)   
Operação com eventos 
Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral 
•AB: União dos eventos A e B. 
Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B 
•AB: Intersecção dos eventos A e B. 
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em 
comum, isto é, AB=  
• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço 
amostral, isto é. AB=  e AB= . 
• O complementar de um evento A é representado por AouAC
• A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} 
 
• A  C = {2, 4, 6}  {1} =  
 
• A  B: = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} 
 
• A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} 
 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} 
Exemplo: Lançamento de um dado 
• AC = {1, 3, 5} 
1. Descrever o espaço amostral (S) a cada um dos experimentos a seguir: 
 
(1) Lançam-se dois dados honestos e observam-se os números nas faces voltadas 
para cima; 
(2) Cada uma das três pecas usinadas é classificada como acima da especificação (a) e abaixo da 
especificação (b) padrão para a peça; 
(3) Chamadas são repetidamente feitas em uma linha telefônica ocupada ate que uma conexão 
seja alcançada. 
 
2. Descrever o espaço amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos a seguir: 
 
E1: Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a sequência de caras (c) e coroas (k). 
A1: Sair pelo menos duas caras. 
E2: Numa linha de produção conta-se o numero de pecas defeituosas numperíodo de 1 hora. 
A2: Obter menos de 3 defeituosas. 
E3: Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas ate queimarem. 
A3: O tempo de vida da lâmpada e inferior a 30 horas. 
E4: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 3 artigos e 
cada um é classificado como bom (b) ou defeituoso (d). 
A4: Pelo menos dois artigos são bons. 
Exercícios 
3. Quatro estudantes de Engenharia Civil da UFMS são selecionados aleatoriamente 
em uma aula de Probabilidade e Estatística. Liste os elementos do espaço amostral S1 
usando a letra m para representar estudantes do sexo masculino e f para feminino. 
Defina um segundo espaço amostral S2, onde os elementos representam o numero de 
estudantes do sexo feminino selecionados. 
 
4. Sejam A, B e C três eventos quaisquer. Estabeleça uma expressão para os eventos 
abaixo: 
 
(a) A e B ocorrem; 
(b) A ou B ocorrem; 
(c) B ocorre, mas A não ocorre; 
(d) A não ocorre; 
(e) não ocorre A e não ocorre B; 
(f) A e B ocorrem, mas C não corre; 
(g) somente A ocorre, mas B e C não ocorrem. 
Exercícios 
5. Três componentes estão conectados para formar um sistema conforme exibido na 
figura a seguir. Como os componentes no subsistema 2-3 estão conectados em 
paralelo, esse subsistema funcionara se ao menos um dos dois componentes 
individuais funcionar. Para que todo o sistema funcione, o componente 1 deve 
funcionar, bem como o sistema 2-3. 
 
Figura 1: Sistema dos componentes. 
 
 
 
 
O experimento consiste em determinar a condição de cada componente (sucesso [S] 
para um componente que funciona bem e falha [F] para o componente que não 
funciona). 
 
(a) Que resultados estão contidos no evento A para que exatamente dois dos três 
componentes funcionem? 
 
(b) Que resultados estão contidos no evento B para que ao menos dois componentes 
funcionem? 
Exercícios 
Probabilidade 
Pergunta: Como atribuir probabilidade 
aos elementos do espaço amostral? 
Definições de probabilidades 
Definição Clássica ou a priori 
Se um experimento aleatório tiver n() resultados mutuamente exclusivos e 
igualmente prováveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A 
probabilidade do evento A representado por P(A), é dado por: 
)(
)(
)(


n
An
AP
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a 
probabilidade de: 
a) Obter soma 7; 
b) Obter soma maior que 10; 
c) Que o resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo. 





















6,65,64,6
6,55,54,5
6,45,44,4
3,62,61,6
3,52,51,5
3,42,41,4
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
a) A={(1,6),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)}  P(A)=n(A)/n()=6/36=1/6 
b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36 = 1/12. 
c) P(C)= 15/36. 
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o 
evento A ocorre exatamente r<n vezes, então a frequência relativa de vezes que 
ocorreu o evento A, “r/n”, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, 
ou seja, 
n
r
AP )(
Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é 
próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito. 
Definição frequentista ou a posteriori 
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de 
A={ resultado obtido é cara}. 
 fr1 fr2 fr3 fr4 frA 
Cara 2/5 6/10 22/50 47/100 0,5 
Coroa 3/5 4/10 28/50 53/100 0,5 
n 5 10 50 100  
 
Definição axiomática 
A probabilidade de um evento A define-se com o número P(A), tal que satisfaz os 
seguintes axiomas: 
Propriedades 
)( 
)()()()()()()(
,,,.5
)()()()(,,.4
)()(,.3
)(1)(ou )(1)(,.2
0)(.1
CBAP
CAPCBPBAPCPBPAPCBAP
entãoCBASe
BAPBPAPBAPentãoBASe
BPAPentãoBASe
APAPAPAPentãoASe
P
cc






 Regra da adição de probabilidades 










n
i
i
n
AP
AASeiii
Pii
AAPi
1
n
1i
i
1
)(AP
então ,exclusivos mutuamente eventos são ,,)(
1)()(
,1)(0)(


Exemplo 1. Na tabela 1, apresenta-se a composição por raça e sexo de uma 
população de um país. 
 
Tabela 1: Distribuição da população por raça e sexo. 
 
Raça 
Sexo 
Total Masculino Feminino 
Branca 1726384 2110253 3836637 
Outra 628309 753125 1381434 
Total 2354693 2863378 5218071 
Suponha que selecionamos um habitante desse país e consideremos os 
eventos: 
 
H: "o habitante selecionado é do sexo masculino" 
H
c
:"o habitante selecionado é do sexo feminino" 
B: "o habitante selecionado é da raça branca" 
B
c
: "o habitante selecionado é de outra raça" 
H  B : "o habitante selecionado é de sexo masculino e da raça branca" 
H  B : "o habitante selecionado é de sexo masculino ou da raça branca" 
H
c
  B : "o habitante selecionado é de sexo feminino e da raça branca" 
H
c
  B : "o habitante selecionado é de sexo feminino ou da raça branca" 
H
c
  Bc :"o habitante selecionado é de sexo feminino e de outra raça " 
H
c
  Bc "o habitante selecionado é de sexo feminino ou de outra raça" 
 
 
As probabilidades de cada um destes eventos são: 
.6693,01443,02648,05488,0 
)()()()(
1443,0
5218071
753125
)(
.8796,04044,07352,05488,0 
)()()()(
;4044,0
5218071
2110253
)(
;8556,03308,07352,04512,0
)()()()(
3308,0
5218071
1726384
)(
2648,07352,01)(1)(
7352,0
5218071
3836637
)(
;5488,0451,01)(1)(
;4512,0
5218071
2354693
)(













cccccc
cc
ccc
c
c
c
BHPBPHPBHP
BHP
BHPBPHPBHP
BHP
BHPBPHPBHP
BHP
BPBP
BP
HPHP
HP
Exercícios 
3. Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B) = x e P(A∩B) = y. 
Determine em função de x e de y a probabilidade de: 
 
(a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos. 
(b) Que se realize um e só um dos dois acontecimentos. 
(c) Que se realize pelo menos um dos dois acontecimentos. 
(d) Que se realize no máximo um único acontecimento. 
. B) P(ABAP
BPBAP
BAPBAP
BAPBAPBAP
BAPBPAP
cc
cc
cccc
3,0 :Resposta ).( Calcule
.5,0)( e 4,0)/( que Suponha .5
0,25. e 0,375 0,875; 0,25; 0,75;:Respostas
 ).( e )(
),( ),( ),( Calcule
 .
8
1)( e 
8
3)( ,
2
1)( Dados .4





Exercícios 
6. Uma associação de industrias transformadoras de resinas plásticas e 
composta de 20 empresas que produzem sacos plásticos (S), 10 que produzem 
garrafas (G), 8 que produzem utensílios domésticos (U) e 2 que se encarregam 
de brinquedos (B). Ao escolhermos uma empresa ao acaso, achar a 
probabilidade de que: 
 
(a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utensílios domésticos; 
(b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos; 
(c) não seja uma indústria que produza garrafas. 
Respostas: (a) 28/40; (b) 22/40; (c) 30/40. 
 
7. Uma sala de aula de Engenharia consiste em 25 estudantes de Engenharia de 
Produção, 10 de Computação, 10 de Elétrica e 8 de Engenharia Civil. Se uma 
pessoa e selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma 
pergunta, determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja: 
 
(a)um estudante de Engenharia de Produção; 
(b)um estudante de Engenharia Civil ou Elétrica. 
Respostas: (a) 25/53; (b) 18/53. 
Exercícios 
Probabilidade Condicional e Independência 
Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo 
espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o 
evento B, é representado por P(A|B) é dado por: 
Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem reposição 
de uma sacola que contem 10 sementes de flores vermelhas e 5 de flores 
brancas. Qual é a probabilidade de que : 
(a) a primeira semente seja vermelha. ? 
(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha.? 
(1) .0)(,
)(
)(
)|( 

 BP
BP
BAP
BAP
branca" é semente 2 :"V
; vermelha"é semente 2A " :
branca" é semente 1A :"V
; vermelha"é semente 1A" :
ac
2
a
2
ac
a
1
1
A
V
V
Sejam os eventos: 
(a) 
3
2
15
10
)( 1 VP
(b) 
14
5
)|( 12 VVP
c
Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da árvore de 
probabilidades, a qual é mostrado na figura 1 
Probabilidade Condicional e Independência 
Figura 1: Diagrama de árvore de probabilidade 
Da expressão (1), pode-se deduzir uma relação bastante útil, 
),|()()( BAPBPBAP 
Que é conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da 
interseção 
• 1 • Total 
• V1
c V2
c 
V1
c V2 
• V1V2
c 
 
• V1V2 
• Probabilidade • Resultados 
2 1
2
1 4
4
1 5
5

Probabilidade Condicional e Independência 
Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em determinar a 
probabilidade que as duas sementes selecionadas sejam brancas. 
21
2
14
4
15
5
)|()()P(
brancas" são semente2 e 1 a " : é evento O
12121
aa
21


ccccc
cc
VVPVPVV
VV
Teorema 1: Se B é um evento em , tal que P(B)>0, então: 
).|()|()|()|(
:,,,.3
)|P(A1)|()|(1)|P(A:então ,BA, Se .2
0)|(.1
cc
BCAPBCPBAPBCAP
entãoCBASe
BBAPouBAPB
BP




Probabilidade Condicional e Independência 
Exemplo 3: Na Cidade de São Paulo, a probabilidade de chuva no primeiro dia de 
setembro é 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias de setembro é 
0,40. Se no primeiro de setembro choveu, qual é a probabilidade que no dia 
seguinte não chova ? 
Solução: Sejam os eventos: A:” chove no primeiro de setembro”, B:”chove no 
segundo dia de setembro”. 
Do enunciado do problema temos : P(A)=0,50 e P(AB)=0,40. A probabilidade 
pedida é: 
20,0
50,0
40,0
1
)(
)(
1)|(1)|(
*



AP
BAP
ABPABP c
* Pelo teorema 1.2. 
Probabilidade Condicional e Independência 
Definição[Independência de eventos] Dois eventos A e B são independentes se a 
informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência 
de A. Isto é, 
 P(A|B)=P(A), P(B)>0 
Consequentemente, temos que dois eventos A e B são independentes se somente 
se, 
 P(AB)=P(A)P(B). 
Exemplo 4: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8% problemas 
auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um aluno desta 
escola ao acaso: 
(a) os eventos de ter problemas visuais e auditivos são eventos independentes? 
(b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que 
tenha problemas auditivos? 
(c)qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter problemas auditivos ? 
Probabilidade Condicional e Independência 
V:” o aluno tem problemas visuais” 
A:” o aluno tem problemas auditivos”. 
Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(AV)=0,04. 
 
84,0
08,0
04,0
108,008,02,01
)(
)(
1)()()(1
)|(1)()()(1)|()()()(1
)()()()()(
.20,0
20,0
04,0
)(
)(
)|()(
.),()()( Como
.04,0)(
016,008,02,0)()()(












 









AP
AVP
APAPVP
AVPAPAPVPAVPAPAPVP
AVPAPVPAVPc
VP
AVP
VAPb
tesindependensãonãoVeAAPVPAVP
AVP
APVPa
c
ccc
Solução: sejam os eventos: 
Probabilidade Condicional e Independência 
Teorema 2: Se A , B eventos em  são eventos independentes, então: 
tesindependen são (iii)
tesindependen são )(
tes.independen são )(
cc
c
c
BeA
BeAii
BeAi
Exemplo 5: Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (na mesmas 
condições de tiro), 70%. Qual é a probabilidade de acertar se ambos atiradores 
disparam simultaneamente no alvo.? Considere que o alvo foi acertado quando 
pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo. 
Probabilidade Condicional e Independência 
   .94,0]7,01][8,01[1)P(B1)P(B11
)()(1)(1)(
:forma segunda uma de resolvidoser pode exemplo, este amenteAlternativ 
94,07,08,07,08,0
)(B)P(B)P(B)P(B
)()P(B)P(B)(
,.7,0)(
8,0)P(B 1,2.i ,alvo" o acerta atirador o:"B :eventos os Sejam
21
212121
2121
212121
2
1







cccc
i
BPBPBBPBBP
P
BBPBBP
LogoBP
ei
Probabilidade Condicional e Independência 
Teorema de Bayes 
Definição [Partição do espaço amostral]. Uma coleção de eventos 
kBB ,,1  formam uma partição do espaço amostral se eles não têm 
intersecção entre si e sua união é igual ao espaço amostral. 

k
1i
 e ji para 

 iji BBB  
 
Teorema da probabilidade total. Se kBB ,,1  , formam uma partição 
do espaço amostral , então qualquer evento A em , satifaz: 
 



k
i
iikk BAPBPBAPBPBAPBPAP
1
11 )|()()|()()|()()(  
 
 
 
 
 
Teorema Bayes. Se kBB ,,1  , formam uma partição do espaço amostral , e A é qualquer evento 
em , então: 
 



k
i
ii
ii
i
BAPBP
BAPBP
ABP
1
)|()(
)|()(
)|(
 
Exemplo 6: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma 
determinada peça. As chances de que uma peça proveniente dos 
fornecedores A e B esteja fora das especificações são 10% e 5% 
respectivamente. A montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e 70% 
de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao acaso: 
 
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações. 
(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a 
probabilidade que venha do fornecedor A ? 
Teorema de Bayes 
Solução: 
Sejam os eventos: 
A: “ peça selecionada seja do fornecedor A” 
B:” peça selecionada seja do fornecedor B” 
E:” peça selecionada esteja fora das especificações” 
Do enunciado do problemas temos: (A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e 
P(E|B)=0,05. 
Teorema de Bayes 
(a) P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=(0,30)(0,10)+(0,70)(0,05)=0,065 
(b) P(A|E)=? 
Pelo teorema de Bayes temos: 
0,46
065,0
03,0
05,070,010,030,0
10,030,0
)|()()|()(
)|()(
)|( 





BEPBPAEPAP
AEPAP
EAP
A solução do exemplo anterior é facilitada pelo diagrama de árvore de 
probabilidades. 
Pelo teorema da probabilidade total temos: 
Teorema de Bayes 
1. Um aluno vai se formar em Engenharia Civil no final do semestre. 
Depois de ser entrevistado por duas empresas de construção civil, ele 
avalia que a probabilidade de conseguir uma oferta da empresa A e de 0.8 
e da empresa B e de 0.6. Se, por outro lado, ele crê que a probabilidade 
de conseguir uma oferta das duas empresas e de 0.5, qual e a 
probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos uma das 
empresas? 
 
Resposta: 0.9. 
 
2. Certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: 
emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das 
escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do 
que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste 
das escovas. Qual será a probabilidade de que a falta seja devida a cada 
uma dessas circunstâncias? 
 
Respostas: 8/13, 4/13 e 1/13. 
Exercícios 
3. Certo motor de um Peneirador elétrico tem duas lâmpadas que podem 
estar acesas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes 
probabilidades apresentada no quadro adiante. O quadro mostra por 
exemplo, que ambas as lâmpadas estavam simultaneamente apagadas 
30% do tempo. 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
 
(a) O fato da lâmpada 1 acesa e independente da lâmpada 2 acesa? Justifique 
sua resposta. 
(b) O fato da lâmpada 2 apagada e independente da lâmpada 2 acesa? 
Justifique sua resposta. 
 
Respostas: (a)Sim; (b)Não. 
Exercícios 
Lâmpada 1 Lâmpada 2 
Acesa Apagada 
Acesa 0,15 0,45 
Apagada 0,10 0,30 
4. Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a 
satisfazer as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 
amostras são resumidos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o 
evento em que uma amostra atenda as especificações. Se uma amostra 
aleatória for selecionada ao acaso, determine as seguintes probabilidades: 
Exercícios 
Fornecedor Conforme 
Sim Não 
I 22 8 
II 25 5 
III 30 10 
.92,0 e 85,0 ;22,0 ;7,0 ;770 ;3,0 :Respostas).( e )( ),( , ),( ),(
,
BAPBAPBAP)P(ABPAP cC 
5. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, s~ao 
analisados com relação a resistência a arranhões e a choque. Os 
resultados de 100 discos estão resumidos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
(a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua 
resistência a arranhões ser alta e de sua resistência a choque ser alta? 
(b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual sera a probabilidade de sua 
resistência a arranhões ser alta ou de sua resistência a choque ser alta? 
(c) Considere o evento em que um disco tenha alta resistência a arranhões e o 
evento em que um disco tenha alta resistência a choque. Esses dois 
eventos são mutuamente excludentes (exclusivos)? 
 
Respostas: (a) 0.70; (b) 0.95 e (c) Não. 
Exercícios 
Resistência a 
Arranhões 
Resistência a Choque 
Alta Baixa 
Alta 70 9 
Baixa 16 5 
6. Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam Engenharia 
Civil. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante 
selecionado aleatoriamente esta estudando Engenharia Civil, qual a 
probabilidade de que este estudante seja mulher? Resposta: 0.3529. 
 
7. A probabilidade e 1% de que um conector elétrico, que seja mantido seco, 
falhe durante o período de garantia de um Compactador. Se o conector 
for molhado, a probabilidade de falha durante o período de garantia será 
de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% forem 
mantidos molhados, qual será a proporção de conectores que falhara 
durante o período de garantia? Resposta: 0.014. 
Exercícios 
Sim. :Resposta tes?independen
 são e eventos Os .3,0 e 8,0)( ,3,0)/( Se .8 BAP(A)BPBAP 
8. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta a medida que 
as laminas de uma faca vão sendo gastas. Somente 1% dos produtos 
cortados com novas laminas tem bordas ásperas, 3% dos produtos 
cortados com novas laminas mediante afiadas exibem rugosidade e 5% 
dos produtos cortados com novas laminas gastas exibem rugosidade. Se 
25% das laminas na fabricação de papel forem novas, 60% forem 
mediante afiadas e 15% forem gastas, qual será a proporção dos produtos 
que exibem uma aspereza nas bordas? Resposta: 0.028. 
 
9. Três alarmes est~ao dispostos de tal maneira que qualquer um deles 
funcionara independentemente, quando qualquer coisa indesejável 
ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0.9 de trabalhar 
eficientemente, qual e a probabilidade de se ouvir o alarme quando 
necessário? Resposta: 0.999. 
Exercícios 
Variáveis 
Aleatórias 
Contínuas. 
Distribuições 
Amostrais. 
Capítulo 8 
Estimativa do Intervalo 
de Confiança 
Objetivos: 
• Construir e interpretar estimativas 
de intervalos de confiança para a 
média aritmética e para a 
proporção 
• Determinar o tamanho da amostra 
necessário para desenvolver um 
intervalo de confiança para a média 
aritmética ou para a proporção 
• Utilizar estimativas de intervalos de 
confiança na análise de dados. 
Tópicos 
1. Intervalos de confiança para a 
média populacional, μ 
– Quando o desvio-padrão da 
população σ é conhecido 
– Quando o desvio-padrão da 
população σ é desconhecido 
2. Intervalos de confiança para a 
proporção populacional, p. 
3. Determinação do tamanho da 
amostra necessário 
Estimativa Pontual 
• Uma estimativa pontual é um número 
único. Para a média populacional (e desvio-
padrão populacional), a estimativa pontual é 
a média amostral (e o desvio-padrão 
amostral). 
• O intervalo de confiança traz informações 
adicionais sobre a variabilidade da 
estimativa. 
Estimativa Pontual 
Limite Inferior do 
Intervalo 
Limite Superior do 
Intervalo 
Largura (amplitude) do 
Intervalo de Confiança 
Estimativas do Intervalo de 
Confiança 
• Um intervalo de confiança dá um intervalo de 
valores possíveis: 
– Leva em consideração a variação na estatística 
amostral que ocorre de amostra para amostra 
– Dá informações sobre a proximidade do 
parâmetro populacional desconhecido 
– Estabelecido em termos do nível de confiança 
• Ex. 95% de confiança, 99% de confiança 
• Não pode ser nunca 100% de confiança 
Estimativas do Intervalo de 
Confiança 
• A fórmula geral de todos os 
intervalos de confiança é: 
Estimativa Pontual ± (Valor Crítico) (Desvio Padrão) 
Nível de Confiança 
• Nível de Confiança 
– Confiança de que o intervalo conterá o 
parâmetro populacional desconhecido 
• Um percentual (menor que 100%) 
Nível de Confiança 
• Suponha nível de confiança = 95% 
• Também escrito (1 - ) = .95 
• Uma interpretação da frequência 
relativa: 
– No longo prazo, 95% de todos os 
intervalos de confiança que poderão 
ser construídos conterão o parâmetro 
desconhecido 
• Um intervalo específico pode conter ou 
não o parâmetro verdadeiro 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ conhecido) 
Premissas 
– Desvio-Padrão da população σ é conhecido 
– População é normalmente distribuída 
– Se a população não é normal, use amostras 
grandes 
Estimativa do Intervalo de Confiança: 
 
 
 
 (onde Z é o valor crítico em uma distribuição normal 
padronizada para uma probabilidade α/2 em cada 
cauda) 
n
σ
ZX 
Encontrando o Valor Crítico, 
Z 
Considere um intervalo de confiança de 
95%: 
Z= -1.96 Z= 1.96 
.951 
.025
2
α
 .025
2
α

Limite 
Inferior do 
Intervalo 
Limite 
Superior do 
Intervalo 
Z unidades: 
X unidades: Estimativa 
Pontual 
0 
Encontrando o Valor Crítico, Z 
Intervalos de Confiança mais comuns: 
90%, 95%, e 99% 
Nível de 
Confiança 
Coeficiente 
de Confiança 
 
Valor Z 
1.28 
1.64 
1.96 
2.33 
2.58 
3.08 
3.27 
.80 
.90 
.95 
.98 
.99 
.998 
.999 
80% 
90% 
95% 
98% 
99% 
99.8% 
99.9% 
Intervalos e Nível de 
Confiança 
μμ
x

Intervalos de Confiança 
Intervalos se 
extendem de: 
 
 
 a 
 
 
(1-)x100% 
dos intervalos 
construídos 
contém μ; 
()x100% não. 
Distribuição Amostral 
da Média 
n
σ
ZX 
n
σ
ZX 
x 
x1 
x2 
/2 /21
Intervalo de Confiança para μ 
(σ conhecido) Exemplo 
• Uma amostra de 11 circuitos 
extraída de uma população normal 
tem resistência média de 2.20 
ohms. Sabemos de testes 
anteriores que a população tem 
desvio-padrão igual a .35 ohms. 
• Determine o intervalo de confiança 
a 95% para a verdadeira 
resistência média da população. 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ conhecido) Exemplo 
2.4068) , (1.9932
.2068 2.20
)11(.35/ 1.96 2.20
n
σ
 


 ZX
 Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo entre 1.9932 e 
2.4068 ohms contém a verdadeira média da população. 
 Apesar da verdadeira média poder ou não estar no intervalo, 
95% dos intervalos formados desta maneira conterão a 
verdadeira média da população 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ desconhecido) 
• Se o desvio-padrão da população σ é 
desconhecido, nós podemos adotar 
como aproximação o desvio-padrão 
da amostra, S 
• Isso introduz uma incerteza adicional, 
já que S varia de amostra para 
amostra 
• Então, se n < 30 usamos a 
distribuição t de Student ao invés da 
distribuição normal 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ desconhecido) 
Premissas: 
– Desvio-padrão da população é desconhecido 
– População é normalmente distribuída 
– Se a população não for normal, use amostras 
grandes 
 Se n < 30 Use Distribuição t de Student 
Estime o intervalo de confiança: 
 
 
 (onde t é o valor crítico da distribuição t com n-1 g.l. 
e uma área de α/2 em cada cauda) 
n
S
tX 1-n
Distribuição t de Student 
 
• O valor t depende dos graus de liberdade 
(g.l.) 
– Número de observações que estão livres 
para variar após a média da amostra ter sido 
calculada 
 g.l. = n - 1 
 
Graus de Liberdade 
Se a média dos valores é 8.0, 
então X3 deve ser 9 
(i.e., X3 nãoé livre para variar) 
Aqui, n = 3, então os graus de liberdade são = n – 1 = 3 – 1 = 2 
(2 valores podem ser qualquer número, mas o terceiro não é livre para 
variar uma vez que a média está dada) 
Ideia: Número de observações que estão 
livres para variar após a média da amostra 
ter sido calculada 
Exemplo: Suponha que a média de 3 números 
seja 8.0 
 
• Seja X1 = 7 
• Seja X2 = 8 
• Qual o valor de X3? 
 
Distribuição t de Student 
t 0 
t (gl = 5) 
 t (gl = 13) Distribuições t são em forma 
de sino e simétricas, mas têm 
caudas mais “gordas” que a 
normal 
Normal Padrão 
(t com gl = ∞) 
Observe: t Z à medida que n aumenta 
Tabela da t de Student 
Áreas da Cauda Superior 
gl 
 
.25 .10 .05 
1 1.000 3.078 6.314 
2 0.817 1.886 2.920 
3 0.765 1.638 2.353 
t 0 2.920 
O corpo da tabela contém os 
valores t, não as probabilidades 
Seja: n = 3 
gl = n - 1 = 2 
  = .10 
 /2 =.05 
/2 = .05 
Tabela da t de Student 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ desconhecido) Exemplo 
Uma amostra aleatória com n = 25 tem X = 50 e S = 8. 
Construa um intervalo de confiança a 95% para μ 
– g.l. = n – 1 = 24, então 
– O intervalo de confiança é: 
25
8
(2,064)50
n
S
1-n /2,  tX
(46,698 ; 53,302) 
Intervalos de Confiança para 
a Proporção Populacional, p 
• Uma estimativa intervalar para a 
proporção populacional ( p ) pode 
ser calculada acrescentando uma 
incerteza à proporção amostral ( ) 
 
p̂
Intervalos de Confiança para 
a Proporção Populacional, p 
Lembre-se que a distribuição da proporção amostral é 
aproximadamente normal se o tamanho da amostra é 
grande, com desvio-padrão 
 
Nós estimaremos este valor a partir dos dados 
amostrais: 
n
qp ˆ.ˆ
Intervalos de Confiança para 
a Proporção Populacional, p 
Os limites inferior e superior do intervalo de confiança da 
proporção populacional são calculados com a fórmula: 
 
 
 
 
Onde: 
– Z é o valor crítico na distribuição normal 
padronizada para o nível de confiança desejado 
– é proporção na amostra 
– n é o tamanho da amostra 
n
qp
Zp
ˆ.ˆ
.ˆ 
p̂
Intervalos de Confiança para a 
Proporção Populacional, Exemplo 
Em uma amostra aleatória de 100 pessoas, 25 são 
canhotas. Construa um intervalo de confiança para a 
verdadeira proporção de canhotos na população com 
95% de confiança. 
 00.25(.75)/196,125/100 
0,3349) ; (0,1651 
(.0433) 1,96 .25 
n
qp
Zp
ˆ.ˆ
.ˆ 
Intervalos de Confiança para a Proporção 
Populacional, Exemplo 
• Nós estamos 95% confiantes de que a 
proporção de canhotos da população 
esteja entre 16,51% e 33,49%. Apesar 
de o intervalo de .1651 a .3349 poder 
ou não conter a proporção populacional 
verdadeira, 95% dos intervalos 
construídos a partir de amostras de 
tamanho 100 conterão a verdadeira 
proporção de canhotos na população. 
Determinando o tamanho da 
amostra 
• O tamanho de amostra desejado pode ser 
definido de forma a obter uma 
determinada margem de erro (e) com um 
nível de confiança especificado (1 - ). 
• A margem de erro é também chamada de 
erro amostral. 
Determinando o tamanho da 
amostra σ conhecido 
• Para definir o tamanho da amostra para a 
estimativa da média, você precisa 
conhecer: 
– O nível de confiança desejado (1 - ), que 
determina o valor crítico Z 
– O erro amostral desejado (margem de erro), e 
– O desvio-padrão, σ 
n
σ
Ze 
2
22
e
σZ
n Agora, 
resolva para 
n 
Determinando o tamanho da 
amostra σ conhecido 
Se  = 45, que tamanho de amostra é necessário 
para estimar a média com uma margem de erro 
de ± 5 com 90% de confiança? 
217,85
5
(45)(1,64)σ
2
22
2
22

e
Z
n
Então, o tamanho de amostra necessário é 
n = 218 
Determinando o tamanho da 
amostra para σ desconhecido 
• Se σ desconhecido, n< 30 e a 
distribuição é normal então usa-se 
a distribuição t-student. 
• Selecione uma amostra piloto e estime σ 
a partir do desvio-padrão da amostra, S. 
 
• Se σ desconhecido e n> 30, usa-se 
a distribuição Normal 
 
Determinando o tamanho da 
amostra σ desconhecido 
• Para definir o tamanho da amostra para a 
estimativa da média com σ desconhecido, você 
precisa conhecer: 
– O nível de confiança desejado (1 - ), que 
determina o valor crítico t. 
– O erro amostral desejado (margem de erro), e 
– O desvio-padrão amostral, s. 
n
s
te  2
22 s
e
t
n Agora, 
resolva para 
n 
Determinando o tamanho da 
amostra para Proporção p 
Para determinar o tamanho da amostra necessário 
para a proporção, você precisa saber: 
– O nível desejado de confiança (1 - ), que 
determina o valor crítico Z 
– O erro amostral aceitável (margem de erro), e 
– A verdadeira proporção de “sucessos”, 
• pode ser estimado a partir de uma amostra 
piloto, se necessário (ou conservadoramente 
use p = .50) 
Resolvendo 
para n 2
2 ˆ.ˆ.
e
qpZ
n 
n
qp
Ze
ˆ.ˆ
.
p̂
p̂
Determinando o tamanho da 
amostra para Proporção p 
•Qual o tamanho da amostra 
necessário à estimativa da proporção 
de defeituosos em uma grande 
população, com uma margem de erro 
de ±3%, e 95% de confiança? 
• (Assuma que em uma amostra 
piloto foi obtida a proporção =0.12 
de defeituosos) 
p̂
Determinando o tamanho da 
amostra para Proporção p 
Solução: 
Para 95% confiança, use Z = 1.96 
e = 0.03 
 = .12, então use este para estimar o parâmetro p 
Então use n = 451 
450,74
(0.03)
.12)(.12)(1(1,96)ˆ.ˆ.
2
2
2
2



e
qpZ
n
p̂
Determinando o IC e o 
tamanho da amostra usando 
o Fator de Correção 
Até o presente momento vimos a construção do 
intervalo de Confiança para a média considerando a 
obtenção de amostra com reposição. 
Contudo existem várias situações onde isso não é 
possível, logo estamos tratando de amostras sem 
reposição ou amostras destrutivas. 
 Desta forma utilizaremos um fator de correção para 
que a probabilidade de amostra para amostra não se 
altere. 
Fator de Correção 
• Se o tamanho da amostra for menor que 5% do 
tamanho da população, a não reposição é 
desprezada. 
• Se o tamanho da amostra for maior ou igual que 
5% devemos então corrigir o intervalo, para 
compensar os efeitos da não reposição. 
1

N
nN
N é o tamanho da população 
n é o tamanho da amostra 
Intervalo de Confiança para μ 
(σ conhecido) 
• Determinando o tamanho da 
amostra σ conhecido 
1n
σ
ZX



N
nN
222
22
σ)1(
σ
ZNe
NZ
n


Intervalo de Confiança para a 
Proporção, p 
• Determinando o tamanho da 
amostra a proporção, p 
 
1
ˆ.ˆ
.ˆ



N
nN
n
qp
Zp
qpZNe
NqpZ
n
ˆ.ˆ)1(
ˆ.ˆ
22
2


Intervalo de Confiança para μ 
(σ desconhecido) 
• Determinando o tamanho da amostra σ 
desconhecido 
 
1
1-n



N
nN
n
S
tX
222
22
S)1(
S
tNe
Nt
n


TESTE DE HIPÓTESES 
Testes de Hipóteses: Realizamos um teste de hipóteses somente 
quando estamos tomando uma decisão em relação a um parâmetro 
da população com base no valor de uma estatística da amostra. 
H0 - Hipótese Nula: Corresponde a uma afirmação (ou declaração) 
em relação a um determinado parâmetro da população, que é 
presumida como verdadeira, até que seja declarada falsa. 
H1 - Hipótese Alternativa: é uma afirmação em relação a um 
determinado parâmetro da população, que será verdadeira se a 
hipótese nula for falsa. 
Caudas de um teste 
Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas 
as caudas. 
Um teste com cauda à esquerda possui região de rejeição na 
cauda da esquerda. 
Um teste com cauda à direita possui região de rejeição na 
cauda da direita. 
 Cauda à Direita: 
 Ho:  = 50 
 H1::  > 50 
 
 
 Cauda à Esquerda: 
 Ho: :  = 50 
 H1: :  <50 
 
 
 Bicaudal: 
 Ho: :  = 50 
 H1::   50 
 
Tabela de sinais em H0 e H1 e suas respectivas caudas 
Teste 
Bicaudal 
Teste com cauda à 
Esquerda 
Teste com cauda 
à Direita 
Sinal na hipótese 
nula H0   ou ≥  ou ≤ 
Sinal nahipótese 
alternativa H1 ≠   
Região de rejeição 
Em ambas as 
caudas 
Na cauda 
Esquerda 
Na cauda Direita 
Tabela de Erro 
H0 verdadeira H0 Falsa 
Aceita H0 Decisão Correta Erro do tipo II 
Rejeita H0 Erro do Tipo I Decisão Correta 
Erro do tipo I: Ocorre quando uma hipótese nula 
verdadeira é rejeitada. 
 
𝛂 = P(erro tipo I) = P(rejeitar ∣ verdadeira ) 
 
 
Erro do tipo II: Ocorre quando uma hipótese nula falsa é 
aceita. 
 
𝛃 = P(erro tipo II) = P(não rejeitar ∣ é falso ) 
 Teste de Hipóteses Para μ (σ conhecido) 
Premissas: 
 
Desvio-Padrão da população σ é conhecido 
População é normalmente distribuída 
Se a população não é normal, use amostras grandes 
Estimativa do Intervalo de Confiança: 
 
 
 
 
 
(onde Z é o valor crítico em uma distribuição normal 
padronizada para uma probabilidade α/2 em cada cauda) 
 
n
σ
ZX 
Teste de hipóteses em relação a média da população: 
Amostra Grande 
x
x
Z



x
S
x
Z


n
x

 
n
S
S
x

Para um desvio padrão populacional conhecido. 
Para um desvio padrão amostral. n>30. 
Etapas para realizar um teste de hipóteses 
1 – Declare as hipóteses nulas e alternativas; 
2 – Fixar o nível de significância (𝛂); 
3 – Calcular o valor da estatística do teste, que depende do 
parâmetro que se deseja testar e compare com o valor da 
estatística tabelada. 
4 – Tome uma decisão. 
Exemplo: Suspeita-se de que um medicamento 
vasodilatador (Nifedipina) para Hipertensão Arterial, 
amplamente receitado, esteja aumentando a freqüência 
cardíaca dos pacientes. Para verificar essa suspeita, 
colheu-se uma amostra aleatória de 50 pacientes que 
recebem Nifedipina, e mediu-se a freqüência cardíaca de 
cada um. É sabido que a freqüência cardíaca na 
população normal tem Distribuição Normal, com média 
69,8 bat/min e desvio-padrão de 1,86 bat/min. 
A amostra com 50 pacientes forneceu uma média de 70,5 
bat/min. Será que essa média amostral é diferente da 
esperada para a população normal, assumindo um nível 
de significância de 5%? 
  XHXH : e : 10
Como são conhecidos os parâmetros da população, é 
possível aplicar uma estatística z. Deseja-se, apenas, testar 
a diferença. Logo, o teste deve ser bicaudal. Para o nível 
de significância de 5%, consideramos o valor crítico 
0,025
1,96cz 
-1,96 0 
Não-Rejeitar 
H0 
Rejeitar H0 
/2 
Rejeitar H0 
/2 
+1,96 
n
X
Zcalc 


Retomando o exemplo temos: 
Parâmetros da população com frequência cardíaca normal: 
69,8 e 1,86  
Resultados da amostra com n = 50 pacientes que tomam o 
remédio: 
66,2
50
86,1
8,695,70




 calccalc Z
n
X
Z


0Rejeitar 96,166,2 HZZ tabcalc 
Logo 
Logo, temos fortes supeitas de que devemos rejeitar (Hipótese 
Nula), devido as evidências de que a freqüência cardíaca média no 
grupo de pacientes que tomam o remédio seja diferente da 
esperada para uma população normal, com um nível de 
significância de 5%, assim, aceitamos (Hipótese Alternativa). 
Ou seja, evidências indicam que a frequência cardíaca dos 
pacientes está aumentando devido ao uso da Nifedipina. 
Conclusão 
0H
1H
Teste de Hipóteses Para μ (σ desconhecido): 
Amostra Pequena 
x
S
x
t

 n
S
S
x

Condições nas quais a distribuição t é utilizada para 
realizar testes de hipóteses em relação a média µ 
1 – Se o tamanho da amostra for pequeno (n<30); 
2 – A população a partir da qual a amostra foi extraída for 
distribuída de maneira (aproximadamente) normal; 
3 – O desvio padrão da população  é desconhecido. 
Etapas para desenvolver o teste de hipóteses 
1 – Declare as hipóteses nulas e alternativas; 
2 – Selecione a distribuição a utilizar; 
3 – Determine a região de rejeição e a região de aceitação; 
4 – Calcule o valor da estatística do teste; 
5 – Tome uma decisão. 
Teste de hipóteses em relação a proporção de uma 
população 
p
pp
Z
ˆ
ˆ



n
pq
p ˆ
Exemplo: A ANVISA realiza inspeção em 142 lotes de 
medicamento de uma grande remessa, encontrando-se 8% dos 
medicamentos com a embalagem violada. O fornecedor garante 
que não haverá mais de 6% de medicamentos violados em 
cada remessa. 
O que devemos responder com o auxílio do teste de hipóteses é 
se a afirmação do fornecedor é verdadeira! 
0,1
02,0
06,008,0ˆ
ˆ





p
pp
Z

02,0
142
94,0.06,0
ˆ 
n
pq
p
H0: p ≤ 6% 
 
H1: p > 6% 
Supondo α= 1%, 3% e 5% construa o teste de hipóteses para 
saber se aceitamos ou rejeitamos a hipótese nula. 
Tópicos importantes 
• Para o teste de hipótese da média, o tamanho da amostra n sempre deve ser > que 
30; 
 
• Para o teste de hipótese da média de pequenas amostras, a distribuição t de 
student deve ser usada; 
 
• No teste bicaudal, o nível de significância (α) é dividido igualmente entre as duas 
caudas que constituem regiões críticas; 
 
• A interpretação do teste é muito importante na realização dos experimentos de teste 
de hipótese. Se mencionar igual trata-se de uma afirmação nula, se não mencionar, 
a afirmação será a hipótese alternativa; 
 
• Quando a hipótese alternativa (H1) é ≠ de algum valor, temos um teste bicaudal. 
Quando H1 tem sinal > temos um teste com cauda à direita e quando H1 recebe sinal 
< temos um teste com cauda à esquerda. 
 
 Regressão Linear 
 
 
“método estatístico que utiliza a 
relação entre duas ou mais variáveis de 
modo que uma variável pode ser 
estimada (ou predita) a partir da 
outra”. 
 
 
Prof. Joelmir Feliciano 
Objetivo 
Explicar uma variável quantitativa segundo uma outra 
variável quantitativa. 
 
Exemplos 
• Preço de um imóvel segundo a área construída 
• Consumo de combustível segundo o preço do 
combustível e a região 
• Valorização de uma ação segundo a valorização da 
bolsa 
• Taxa de criminalidade segundo a taxa de desemprego 
• Tempo de reação em um processo químico segundo a 
taxa de concentração do reagente. 
Algumas definições 
 
a) diagrama de dispersão: representação gráfica 
entre duas variáveis quantitativas 
 
b) correlação: quantifica a força da relação linear entre 
duas variáveis quantitativas 
 
c) regressão linear: explicita a forma da relação linear 
 
Exemplo 1: nota da prova e 
tempo de estudo 
X : tempo de estudo (em horas) 
Y : nota da prova 
 
Pares de observações (Xi , Yi) 
Tempo Nota 
 3,0 4,5 
 7,0 6,5 
 2,0 3,7 
 1,5 4,0 
 12,0 9,3 
Diagrama de Dispersão 
Coeficiente de correlação linear 
 
O coeficiente de correlação linear é 
definido como 
   


























n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
SS
S
r
yyxx
xy
2
2
2
2
Propriedades do coeficiente 
de correlação linear 
Propriedade 
-1  r  1 
 
Classificação da correlação 
r = 1, correlação linear positiva e perfeita 
r = -1, correlação linear negativa e perfeita 
r = 0, inexistência de correlação linear 
 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Exemplo para r = 1 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Exemplo para r = -1 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Exemplo para 0 < r < 1 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Exemplo para -1 < r < 0 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Exemplo para r = 0 
Gráficos - exemplos da 
classificação da correlação 
Outro exemplo para r = 0 
Exemplo do cálculo da correlação 
Tempo ( X ) Nota ( Y ) X
2 
Y
2 
XY 
3,0 4,5 9 20,25 13,5 
7,0 6,5 49 42,25 45,5 
2,0 3,7 4 13,69 7,4 
1,5 4,0 2,25 16 6 
12,0 9,3 144 86,49 111,6 
25,5 28 208,25 178,68 184 
 
   
9960,0
5
28
68,178
5
5,25
25,208
5
28*5,25
184
222
2
2
2


































































