Módulo_Matrizes (matemática)

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MATRIZES MATRIZES
bj 
etivos 
Ao 
final 
desta 
aula, 
voceˆ 
devera´ 
ser 
capaz 
de: 
reconhecer 
matrizes 
reais; 
identificar 
matrizes 
especiais 
e 
seus 
principais 
elementos; 
estabelecer 
a 
igualdade 
entre 
matrizes. 
123
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Matrizes 
MATRIZES 
Consideremos 
o 
conjunto 
de 
alunos 
do 
CEDERJ, 
ligados 
ao 
´
polo 
Lugar 
Lindo, 
cursando 
a 
disciplina 
Algebra 
Linear 
I. 
Digamos 
que 
sejam 
5 
alunos 
(claro 
que 
se 
espera 
muito 
mais!). 
Ao 
longo 
do 
semestre, 
eles 
far˜ao 
2 
avaliac˜ 
ancia 
e 
2 
presen
¸oes 
a 
distˆ 
ciais, 
num 
total 
de 
4 
notas 
parciais. 
Para 
representar 
esses 
dados 
de 
maneira 
organizada, 
podemos 
fazer 
uso 
de 
uma 
tabela: 
Aluno 
AD1 
AD2 
AP1 
AP2 
1. 
Ana 
4,5 
6,2 
7,0 
5,5 
2. 
Beatriz 
7,2 
6,8 
8,0 
10,0 
3. 
Carlos 
8,0 
7,5 
5,9 
7,2 
4. 
Daniela 
9,2 
8,5 
7,0 
8,0 
5. 
Edson 
6,8 
7,2 
6,8 
7,5 
Se 
quisermos 
ver 
as 
notas 
obtidas 
por 
um 
determinado 
aluno, 
digamos, 
o 
Carlos, 
para 
calcular 
sua 
nota 
final, 
basta 
atentarmos 
para 
a 
linha 
correspondente 
(8,0; 
7,5; 
5,9; 
7,2). 
Por 
outro 
lado, 
se 
estivermos 
interessados 
nas 
notas 
obtidas 
pelos 
alunos 
na 
segunda 
verificac¸ao˜ 
a 
distˆancia, 
para 
calcular 
a 
m´edia 
da 
turma, 
devemos 
olhar 
para 
a 
coluna 
correspondente 
(6,2; 
6,8; 
7,5; 
8,5; 
7,2). 
Tamb´em 
podemos 
ir 
diretamente 
ao 
local 
da 
tabela 
em 
que 
se 
encontra, 
por 
exemplo, 
a 
nota 
de 
Carlos 
na 
segunda 
avaliac¸ao˜ 
a 
distˆancia 
(7,5). 
´
E 
esse 
tipo 
de 
tratamento 
que 
as 
matrizes 
possibilitam 
(por 
linhas, 
por 
colunas, 
por 
elemento) 
que 
fazem 
desses 
objetos 
matem´aticos 
instrumentos 
valiosos 
na 
organizac¸ao˜ 
e 
manipulac
¸ao˜ 
de 
dados. 
Vamos, 
ent˜ao, 
a` 
definic¸ao˜ 
de 
matrizes. 
Definic¸ao˜ 
1.1. 
blablabla 
Uma 
matriz 
real 
A 
de 
ordem 
mn 
e´ 
uma 
tabela 
de 
mn 
n´umeros 
reais, 
dispostos 
em 
m 
linhas 
e 
n 
colunas, 
onde 
m 
e 
n 
s˜ao 
n´umeros 
inteiros 
positivos. 
Uma 
matriz 
real 
de 
m 
linhas 
e 
n 
colunas 
pode 
ser 
representada 
por 
Am 
n 
. 
Neste 
curso, 
como 
s´o 
trabalharemos 
com 
8 
CEDERJ 
�
matrizes 
reais, 
usaremos 
a 
notac¸ao˜ 
simplificada 
Am 
n, 
que 
se 
lˆe 
“A 
m 
por 
n”. 
Tamb´em 
podemos 
escrever 
A 
aij 
onde 
i 
1 
m 
e´ 
o 
´ındice 
de 
linha 
e 
j 
1 
n 
e´ 
o 
´ındice 
de 
coluna 
do 
termo 
gen´erico 
da 
matriz. 
Representamos 
o 
conjunto 
de 
todas 
as 
matrizes 
reais 
“m 
por 
n”por 
Mm 
n 
. 
Escrevemos 
os 
elementos 
de 
uma 
matriz 
limitados 
por 
parˆenteses, 
colchetes 
ou 
barras 
duplas. 
Exemplo 
1.1. 
blablabl 
23 
a. 
Uma 
matriz 
3 
2: 
1 
0 
2 
17 
53
b. 
Uma 
matriz 
2 
2: 
1 
12
4 
c. 
Uma 
matriz 
3 
1: 
0 
11 
De 
acordo 
com 
o 
n´umero 
de 
linhas 
e 
colunas 
de 
uma 
matriz, 
podemos 
destacar 
os 
seguintes 
casos 
particulares: 
m 
1: 
matriz 
linha 
n 
1: 
matriz 
mn: 
matriz 
quadrada. 
Neste 
caso, 
escrevemos 
apenas 
An 
e 
dizemos 
que 
“A 
e´ 
uma 
matriz 
quadrada 
de 
ordem 
n”. 
Representamos 
o 
conjunto 
das 
matrizes 
reais 
quadradas 
de 
ordem 
n 
por 
Mn 
(ou, 
simplesmente, 
por 
Mn). 
Exemplo 
1.2. 
blablabl 
a. 
Matriz 
linha 
1 
4: 
2 
3 
4 
15
4 
b. 
Matriz 
coluna 
3 
1: 
17 
0 
Os 
elementos 
de 
uma 
matriz 
podem 
ser 
outras 
entidades, 
que 
n˜ao 
n´umeros 
reais. 
Podem 
ser, 
por 
exemplo, 
n´umeros 
complexos, 
polinˆomios, 
outras 
matrizes 
etc. 
As 
barras 
simples 
s˜ao 
usadas 
para 
representar 
determinantes, 
como 
veremos 
na 
Aula 
5. 
11 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
9 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Matrizes 
12 
c. 
Matriz 
quadrada 
de 
ordem 
2: 
57 
Os 
elementos 
de 
uma 
matriz 
podem 
ser 
dados 
tamb´em 
por 
f´ormulas, 
como 
ilustra 
o 
pr´oximo 
exemplo. 
Exemplo 
1.3. 
blablabl 
Vamos 
construir 
a 
matriz 
AM24 
A 
aij 
tal 
que 
i2 
j 
se 
ijai 
j 
i 
2 
j 
se 
ij 
a11 
a12 
a13 
a14 
A 
matriz 
procurada 
e´ 
do 
tipo 
A 
a21 
a22 
a23 
a24 
Seguindo 
a 
regra 
de 
formac¸ao˜ 
dessa 
matriz, 
temos: 
a11 
121 
2 
a12 
122 
3 
a22 
222 
6 
a13 
123 
5 
a14 
124 
7 
a21 
221 
0 
a23 
223 
4 
a24 
224 
6 
2357
Logo, 
A 
06 
46 
IGUALDADE 
DE 
MATRIZES 
O 
pr´oximo 
passo 
e´ 
estabelecer 
um 
crit´erio 
que 
nos 
permita 
decidir 
se 
duas 
matrizes 
s˜ao 
ou 
n˜ao 
iguais. 
Temos 
a 
seguinte 
definic¸ao:
˜ 
Duas 
matrizes 
AB 
Mmn 
A 
aij 
B 
bij 
s˜ao 
iguais 
quando 
aij 
bij 
i 
1 
mj 
1 
n 
. 
Exemplo 
1.4. 
blablabl 
Vamos 
determinar 
abc 
e 
d 
para 
que 
as 
matrizes 
2a 
3b 
49 
e 
sejam 
iguais. 
Pela 
definic¸ao˜ 
de 
cd 
6 
12c 
igualdade 
de 
matrizes, 
podemos 
escrever: 
10 
CEDERJ 
�
2a 
4 
2a 
3b 
49 
3b 
9 
cd 
6 
12c 
cd 
1 
62c 
Da´ı, 
obtemos 
a 
2 
b 
3 
c 
3e 
d 
2. 
Numa 
matriz 
quadrada 
A 
aij 
ij 
1 
n 
, 
destacamos 
os 
seguintes 
elementos: 
diagonal 
principal: 
formada 
pelos 
termos 
aii 
(isto 
´
e, 
pelos 
termos 
com 
´ındices 
de 
linha 
e 
de 
coluna 
iguais). 
diagonal 
secund´
aria: 
formada 
pelos 
termos 
ai 
j 
tais 
que 
ijn 
1. 
Exemplo 
1.5. 
blablabl 
Seja 
3 
2 
01 
5 
3 
27
A 
12
3 
14 
5 
0 
16 
A 
diagonal 
principal 
de 
A 
e´ 
formada 
por: 
3 
3 
6 
A 
diagonal 
secund´aria 
de 
A 
e´ 
formada 
por: 
1 
2 
3 
5 
MATRIZES 
QUADRADAS 
ESPECIAIS 
No 
conjunto 
das 
matrizes 
quadradas 
de 
ordem 
n 
podemos 
destacar 
alguns 
tipos 
especiais. 
Seja 
A 
aij 
Mn 
. 
Dize
mos 
que 
A 
e´ 
uma 
matriz 
triangular 
superior, 
quando 
ai 
j 
0 
se 
ij 
(isto 
e,´ 
possui 
todos 
os 
elementos 
abaixo 
da 
diagonal 
principal 
nulos). 
triangular 
inferior, 
quando 
ai 
j 
0 
se 
ij 
(isto 
e,´ 
possui 
todos 
os 
elementos 
acima 
da 
diagonal 
principal 
nulos). 
diagonal, 
quando 
ai 
j 
0 
se 
ij 
(isto 
e,´ 
possui 
todos 
os 
elementos 
fora 
da 
diagonal 
principal 
nulos). 
Uma 
matriz 
CEDERJ 
11 
11 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Matrizes 
diagonal 
e,´ 
ao 
mesmo 
tempo, 
triangular 
superior 
e 
triangular 
inferior. 
No 
nosso 
curso 
nos 
referimos 
aos 
n´umeros 
reais 
como 
escalares. 
Essa 
denominac¸˜ao 
e´ 
espec´ıfica 
da 
´ 
Algebra 
Linear. 
0 
se 
ij
escalar, 
quando 
ai 
j 
, 
para 
algum 
k 
.
k 
se 
ij 
Isto 
e,´ 
uma 
matriz 
escalar 
e´ 
diagonal 
e 
possui 
todos 
os 
elementos 
da 
diagonal 
principal 
iguais 
a 
um 
certo 
escalar 
k. 
0 
se 
ij
identidade, 
quando 
ai 
j 
. 
Isto 
e,´ 
a 
iden1 
se 
ij 
tidade 
e´ 
uma 
matriz 
escalar 
e 
possui 
todos 
os 
elementos 
da 
diagonal 
principal 
iguais 
a 
1. 
Representamos 
a 
matriz 
identidade 
de 
ordem 
n 
por 
In. 
Exemplo 
1.6. 
blablabl 
matriz 
classificac¸ao˜ 
41 
06 
00 
20 
00
00 
10 
04 
00 
0 
3 
0 
0 
5 
0 
2 
3 
9 
0 
3 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
5 
triangular 
superior 
triangular 
superior 
triangular 
superior, 
triangular 
inferior, 
diagonal 
triangular 
inferior 
triangular 
superior, 
triangular 
inferior, 
diagonal, 
escalar 
triangular 
superior, 
triangular 
inferior, 
diagonal, 
escalar 
12 
CEDERJ 
�
Exemplo 
1.7. 
blablabl 
S˜ao 
matrizes 
identidade: 
1000
100
10 
0100
I1 
1; 
I2; 
I3 
010 
; 
I4
01 
0010
001 
0001 
De 
modo 
geral, 
sendo 
n 
um 
n´umero 
natural 
maior 
que 
1, 
a 
matriz 
identidade 
de 
ordem 
n 
e´ 
100 
00 
010 
00 
001 
00 
In 
.... 
.. 
.... 
.. 
.... 
.. 
000 
10 
000 
01 
Definic¸˜ao1.2.blablablaAmatriznulaemMmn´eamatrizdeordemmnquepossuitodososelementosiguaisazero.
Exemplo 
1.8. 
blablabl 
000
Matriz 
nula 
2 
3: 
000 
00 
00 
Matriz 
nula 
5 
2: 
00 
00 
00 
11 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
13 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Matrizes 
Definic¸ao˜ 
1.3. 
blablabla 
Dada 
A 
aij 
Mm 
n 
,a 
oposta 
de 
A 
e´ 
a 
matriz 
B 
bij 
Mm 
n 
tal 
que 
bij 
aij 
i 
1 
m 
j 
1 
n 
. 
Ou 
seja, 
os 
elementos 
da 
matriz 
oposta 
de 
A 
s˜ao 
os 
elementos 
opostos 
aos 
elementos 
de 
A. 
Representamos 
a 
oposta 
de 
A 
por 
A. 
Exemplo 
1.9. 
blablabl 
310 
234
A 
oposta 
da 
matriz 
A 
e´ 
a 
matriz 
108 
610 
2 
3 
10 
2 
34
A 
1 
08 
6 
10 
2 
Resumo 
Nesta 
aula, 
vimos 
o 
conceito 
de 
matriz 
e 
conhecemos 
seus 
tipos 
especiais. 
Aprendemos 
a 
comparar 
duas 
matrizes, 
a 
identificar 
a 
matriz 
nula 
e 
a 
obter 
a 
oposta 
de 
uma 
matriz. 
Tamb´em 
vimos 
algumas 
matrizes 
quadradas 
que 
se 
destacam 
por 
suas 
caracter´ısticas 
e 
que 
ser˜ao 
especialmente 
uteis 
no 
´ 
desenvolvimento 
da 
teoria. 
Exerc´ıcio1.1.
1. 
Escreva 
a 
matriz 
A 
aij 
em 
cada 
caso: 
3ij 
se 
ij
a. 
A 
e´do 
tipo 
2 
3, 
e 
ai 
j 
i 
2 
j 
se 
ij 
2i 
se 
ij 
b. 
A 
e´ 
quadrada 
de 
ordem 
4 
e 
aij 
ij 
se 
ij 
2 
j 
se 
ij 
14 
CEDERJ 
�
c. 
A 
´e 
do 
tipo 
4 
2, 
e 
ai 
j 
0 
3 
se 
i 
se 
i 
j 
j 
d. 
A 
´e 
quadrada 
terceira 
ordem 
e 
ai 
j 
3i 
j 
2. 
2. 
Determine 
x 
e 
y 
tais 
que 
a. 
2x 
2x 
y 
y 
11 
9 
x2 
y 
11
b. 
xy2 
11 
Autoavaliac¸ao˜ 
Vocˆe 
n˜ao 
deve 
ter 
sentido 
qualquer 
dificuldade 
para 
acompanhar 
esta 
primeira 
aula. 
S˜ao 
apenas 
definic˜
¸oes 
e 
exemplos. 
Se 
achar 
conveniente, 
antes 
de 
prosseguir, 
fac¸a 
uma 
segunda 
leitura, 
com 
calma, 
da 
teoria 
e 
dos 
exemplos. 
De 
qualquer 
maneira, 
vocˆe 
sabe 
que, 
sentindo 
necessidade, 
pode 
(e 
deve!) 
entrar 
em 
contato 
com 
o 
tutor 
da 
disciplina. 
At´e 
a 
pr´oxima 
aula!! 
RESPOSTAS 
DOS 
EXERC´ICIOS 
435
1. 
a. 
084 
0222 
2044
b. 
2406 
2460 
30 
03 
c. 
00 
00 
432 
d. 
765 
10 
9 
8 
2. 
a. 
x 
5; 
y 
1 
b. 
xy 
1 
11 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
15 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
16 
CEDERJ 
�
OPERAC¸˜OESCOMMATRIZES:TRANSPOSIC¸˜AO,
ADIC¸˜AOEMULTIPLICAC¸˜AOPORN´UMEROREALOPERAC¸˜OESCOMMATRIZES:TRANSPOSIC¸˜AO,
ADIC¸˜AOEMULTIPLICAC¸˜AOPORN´UMEROREAL
bj 
etivos 
Ao 
final 
desta 
aula, 
voceˆ 
devera´ 
ser 
capaz 
de: 
12345
obter 
a 
matriz 
transposta 
de 
uma 
matriz 
dada; 
identificar 
matrizes 
sim´ 
etricas; 
etricas 
e 
antissim´ 
obter 
a 
matriz 
soma 
de 
duas 
matrizes; 
obter 
o 
produto 
de 
uma 
matriz 
por 
um 
n´
umero 
real; 
aplicar 
as 
propriedades 
das 
operac¸oes 
nos 
c´
˜ 
alculos 
envolvendo 
matrizes. 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
˜
OPERAC¸OES 
COM 
MATRIZES 
Na 
aula 
passada, 
definimos 
matrizes 
e 
vimos 
como 
verificar 
se 
duas 
matrizes 
s˜ao 
ou 
n˜ao 
iguais. 
Nesta 
aula, 
iniciamos 
o 
es´ 
tudo 
das 
operac¸oes 
com 
matrizes. 
es 
de 
operac¸˜
˜ 
E 
atrav´ 
oes 
que 
podemos 
obter 
outras 
matrizes, 
a 
partir 
de 
matrizes 
dadas. 
A 
primeira 
operac¸ao˜ 
com 
matrizes 
que 
estudaremos 
-a 
transposic
¸ao 
´ 
aria, 
isto 
e, 
aplicada 
a 
uma 
unica 
matriz. 
˜ 
-e 
un´ 
´ 
´ 
A 
seguir, 
veremos 
a 
adic¸ao, 
que 
e 
uma 
operac˜ 
aria, 
ou 
seja, 
e 
apli
˜ 
´ 
¸ao 
bin´ 
´ 
cada 
a 
duas 
matrizes. 
Finalmente, 
veremos 
como 
multiplicar 
uma 
matriz 
por 
um 
n´umero 
real. 
Por 
envolver 
um 
elemento 
externo 
ao 
conjunto 
das 
matrizes, 
essa 
operac¸ao˜ 
e´ 
dita 
externa. 
˜
TRANSPOSIC¸ 
AO
Dada 
uma 
matriz 
A 
Mmn 
A 
aij 
,a 
transposta 
de 
A 
e´ 
a 
matriz 
B 
Mnm 
B 
bji 
tal 
que 
bji 
aij 
i 
1 
mj 
1 
n 
. 
Representamos 
a 
matriz 
transposta 
de 
A 
por 
AT 
. 
Note 
que 
para 
obter 
a 
transposta 
de 
uma 
matriz 
A, 
basta 
escrever 
as 
linhas 
de 
A 
como 
sendo 
as 
colunas 
da 
nova 
matriz 
(ou, 
equivalentemente, 
escrever 
as 
colunas 
de 
A 
como 
as 
linhas 
da 
nova 
matriz.) 
Exemplo 
2.1. 
blablabl 
3 
25
1. 
Seja 
A 
. 
A 
transposta 
de 
A 
e´ 
a 
matriz 
1 
70 
31 
AT 
27 
. 
50 
34 
34
2. 
Se 
M 
, 
ent˜ao 
MT 
M.
49 
49 
Comparando 
uma 
matriz 
com 
sua 
transposta, 
podemos 
definir 
matrizes 
sim´etricas 
e 
antissim´etricas, 
como 
segue: 
18 
CEDERJ 
�
Definic¸˜ao2.1.blablablaUmamatrizA´e:
sim´etrica,seATAantissim´etrica,seATADefinic¸˜ao2.1.blablablaUmamatrizA´e:
sim´etrica,seATAantissim´etrica,seATA
Segue 
da 
definic¸ao 
anterior 
que 
matrizes 
sim´
˜ 
etricas 
ou 
antissim
´etrica 
s˜ao, 
necessariamente, 
quadradas. 
Exemplo 
2.2. 
blablabl 
1. 
As 
matrizes 
323 
19 
251 
3232e
7
318 
1 
2150 
27 
91 
s˜ao 
sim´etricas. 
159 
08 
01 
84 
2. 
A 
matriz 
M, 
do 
Exemplo 
2.1, 
e´ 
sim´etrica. 
Note 
que, 
numa 
matriz 
sim´etrica, 
os 
elementos 
em 
posic˜
¸oes 
sim´etricas 
em 
relac¸ao˜ 
a` 
diagonal 
principal 
s˜ao 
iguais. 
Exemplo 
2.3. 
blablabl 
As 
matrizes 
02
01 
12
20 
5e
10 
12
50 
0 
2150 
20 
91 
15
s˜ao 
antissim´etricas. 
9 
08 
01 
80 
Note 
que 
uma 
matriz 
anti-sim´etrica 
tem, 
necessariamente, 
todos 
os 
elementos 
da 
diagonal 
principal 
iguais 
a 
zero. 
CEDERJ 
19 
21 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
˜
ADIC¸ 
AO
Vocˆe 
se 
lembra 
do 
exemplo 
que 
demos, 
na 
Aula 
1, 
com 
a 
relac¸ao˜ 
de 
nomes 
e 
notas 
da 
turma 
de 
Lugar 
Lindo? 
Cada 
aluno 
tem 
seu 
nome 
associado 
a 
um 
n´umero 
(o 
n´umero 
da 
linha). 
Assim, 
sem 
perder 
qualquer 
informac¸ao˜ 
sobre 
os 
alunos, 
podemos 
representar 
apenas 
as 
notas
das 
avaliac¸oes 
numa 
matriz 
5 
por 
4: 
˜ 
456270 
55 
7268 
8010 
0 
807559 
72 
928570 
80 
687268 
75 
A 
Vamos 
supor 
que 
as 
provas 
tenham 
sido 
submetidas 
a 
uma 
revis˜ao 
e 
que 
as 
seguintes 
alterac˜
¸oes 
sejam 
propostas 
para 
as 
notas: 
050000 
02 
020505 
00 
000206 
01 
000500 
02 
020000 
03 
R 
A 
matriz 
N, 
com 
as 
notas 
definitivas, 
e´ 
a 
matriz 
soma 
das 
matrizes 
A 
e 
R, 
formada 
pelas 
somas 
de 
cada 
nota 
com 
seu 
fator 
de 
correc¸ao, 
isto 
e, 
cada 
termo 
de 
A 
com 
seu 
elemento 
corres
˜´ 
pondente 
em 
R: 
45 
0562 
0070 
00 
55 
02 
72 
02 
68 
0580 
05 
10 
0 
00 
N 
AR 
80 
0075 
0259 
0672 
01 
92 
0085 
0570 
00 
80 
02 
68 
0272 
0068 
00 
75 
03 
506270 
57 
70 
738510 
0 
Logo, 
N 
807765 
71 
. 
929070 
82 
707268 
78 
20 
CEDERJ 
�
Definic¸˜ao2.2.blablablaDadasasmatrizesAaijBbijMmn,amatrizsomadeAeB´eamatrizCcijMmntalquecijaijbiji1mj1nDefinic¸˜ao2.2.blablablaDadasasmatrizesAaijBbijMmn,amatrizsomadeAeB´eamatrizCcijMmntalquecijaijbiji1mj1n
Representamos 
a 
matriz 
soma 
de 
A 
e 
B 
por 
AB. 
Em 
palavras, 
cada 
elemento 
de 
AB 
e´ 
a 
soma 
dos 
elementos 
correspondentes 
das 
matrizes 
A 
e 
B.A 
diferenc¸a 
de 
A 
e 
B, 
indicada 
por 
AB, 
e´ 
a 
soma 
de 
A 
com 
a 
oposta 
de 
B, 
isto 
e:´ 
ABA 
B 
. 
Exemplo 
2.4. 
blablabl 
5412 
42
1. 
2103 
24 
3821 
3821 
2. 
14 
72 
14 
72 
7236 
7236 
19 
82 
10 
4 
MULTIPLICAC¸AO 
POR 
UM 
N´
˜ 
UMERO 
REAL 
31
Seja 
A 
. 
Queremos 
obter 
2A:
24 
31 
31 
2321
2A 
AA 
24 
24 
2224 
Em 
palavras, 
o 
produto 
da 
matriz 
A 
pelo 
n´umero 
real 
2 
e´ 
a 
matriz 
obtida 
multiplicando-se 
cada 
elemento 
de 
A 
por 
2. 
Voltemos 
a` 
nossa 
tabela 
de 
notas 
dos 
alunos 
do 
CEDERJ. 
Suponhamos 
que, 
para 
facilitar 
o 
c´alculo 
das 
m´edias, 
queiramos 
CEDERJ 
21 
21 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
Vocˆe 
ver´a 
que, 
em 
´ 
Algebra 
Linear, 
lidamos 
com 
dois 
tipos 
de 
objeto 
matem´atico: 
os 
escalares 
(que, 
neste 
curso, 
ser˜ao 
os 
n´umeros 
reais) 
e 
os 
vetores. 
trabalhar 
numa 
escala 
de 
0 
a 
100 
(em 
vez 
de 
0 
a 
10, 
como 
agora). 
Para 
isso, 
cada 
nota 
dever´a 
ser 
multiplicada 
por 
10. 
Teremos, 
ent˜ao, 
a 
seguinte 
matriz: 
50 
62 
70 
57 
70 
73 
85 
100 
10N 
80 
77 
65 
71 
92 
90 
70 
82 
70 
72 
68 
78 
Podemos, 
ent˜ao, 
definir 
a 
multiplicac¸ao˜ 
de 
uma 
matriz 
por 
´ 
um 
n´umero 
real 
(ou, 
como 
e 
usual 
dizer 
no 
ˆ 
Algebra 
´ 
ambito 
da 
Linear, 
por 
um 
escalar). 
Definic¸˜ao2.3.blablablaDadaAaijMmne,amatrizprodutodeApor´eamatrizCcijMmntalquecijaiji1mj1n
Representamos 
a 
matriz 
produto 
de 
A 
por 
por 
Exemplo 
2.5. 
blablabl 
5 
2 
0 
6Dadas 
A 
, 
B 
e 
C1 
4 
3 
8 
temos: 
A. 
6 
3 
1 
5 
1. 
2A 
12. 
B3 
3. 
A 
2B 
23 
14 
10 
4 
2 
8 
0 
2 
1 
3C 
17 
5 
5 
1 
2 
4 
0 
6 
12 
16 
18 
9 
3 
15 
83
22 
CEDERJ 
�
˜
PROPRIEDADES 
DAS 
OPERAC¸OES 
COM 
MATRIZES 
Vocˆe 
talvez 
j´a 
tenha 
se 
questionado 
quanto 
a` 
necessidade 
ou 
utilidade 
de 
se 
listar 
e 
provar 
as 
propriedades 
de 
uma 
dada 
operac¸ao. 
aparentemente 
˜ 
Comutatividade, 
associatividade... 
sempre 
as 
mesmas 
palavras, 
propriedades 
sempre 
v´alidas... 
No 
entanto, 
s˜ao 
as 
propriedades 
que 
nos 
permitem 
estender 
uma 
operac¸ao˜ 
que 
foi 
definida 
para 
duas 
matrizes, 
para 
o 
caso 
de 
somar 
trˆes 
ou 
mais. 
Elas 
tamb´em 
flexibilizam 
e 
facilitam 
os 
c´alculos, 
de 
modo 
que 
quanto 
mais 
as 
dominamos, 
menos 
trabalho 
“mecˆanico” 
temos 
que 
desenvolver. 
Veremos 
agora 
as 
propriedades 
v´alidas 
para 
as 
operac˜ 
a 
estudadas. 
¸oes 
j´ 
˜
PROPRIEDADE 
DA 
TRANSPOSIC¸ 
AO 
DE 
MATRIZES 
(t1) 
Para 
toda 
matriz 
A 
Mmn 
, 
vale 
que 
ATT 
A. 
A 
validade 
dessa 
propriedade 
e´ 
clara, 
uma 
vez 
que 
escrevemos 
as 
linhas 
de 
A 
como 
colunas 
e, 
a 
seguir, 
tornamos 
a 
escrever 
essas 
colunas 
como 
linhas, 
retornando 
a` 
configurac¸ao˜ 
original. 
Segue 
abaixo 
a 
demonstrac¸ao˜ 
formal 
dessa 
propriedade: 
Seja 
A 
aij 
Mm 
n 
. 
Ent˜ao 
ATB 
bji 
Mnm 
tal 
que 
bji 
aij 
ou, 
equivalentemente, 
bij 
aji 
i 
1 
m 
j 
1 
n 
. 
Da´ı, 
ATT 
BT 
C 
cij 
Mmn 
tal 
que 
cij 
bji 
aij 
i 
1 
mj 
1 
n 
. 
Logo, 
C 
BT 
ATT 
A. 
˜
PROPRIEDADES 
DA 
ADIC¸ 
AO 
DE 
MATRIZES 
Para 
demonstrar 
as 
propriedades 
da 
adic¸ao˜ 
de 
matrizes, 
usaremos 
as 
propriedades 
correspondentes, 
v´alidas 
para 
a 
adic¸ao 
de
˜ 
n´umeros 
reais. 
Sejam 
A 
aij 
B 
bij 
e 
C 
cij 
matrizes 
quaisquer 
em 
Mm 
n 
. 
Valem 
as 
seguintes 
propriedades. 
(a1) 
Comutativa: 
AB 
BA 
De 
fato, 
sabemos 
que 
A 
B 
sij 
e´ 
tamb´em 
uma 
matriz 
mn 
cujo 
elemento 
gen´erico 
e´ 
dado 
por: 
sij 
aij 
bij, 
para 
21 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
23 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
O 
elemento 
oposto 
e´ 
tamb´em 
chamado 
elemento 
sim´
etrico 
ou 
inverso 
aditivo. 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Como 
a 
adic¸ao˜ 
de 
n´umeros 
reais 
e´ 
comutativa, 
podemos 
escrever 
sij 
bij 
aij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Isto 
e,´ 
AB 
BA. 
Em 
palavras: 
a 
ordem 
como 
consideramos 
as 
parcelas 
n˜ao 
altera 
a 
soma 
de 
duas 
matrizes. 
(a2) 
Associativa: 
ABCA 
BC 
De 
fato, 
o 
termo 
geral 
si 
j 
de 
AB 
C 
e´ 
dado 
por 
sij 
a 
bij 
cij 
aij 
bij 
cij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Como 
a 
adic¸ao˜ 
de 
n´umeros 
reais 
e´ 
associativa, 
podemos 
escrever 
sij 
aij 
bij 
cij 
aij 
b 
cij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Ou 
seja, 
si 
j 
´ 
em 
o 
termo
e 
tamb´ 
geral 
da 
matriz 
obtida 
de 
A 
BC 
. 
Isto 
e,´ 
AB 
C 
A 
BC 
. 
Em 
palavras: 
podemos 
estender 
a 
adic¸ao˜ 
de 
matrizes 
para 
o 
caso 
de 
trˆes 
parcelas, 
associando 
duas 
delas. 
A 
partir 
dessa 
propriedade, 
podemos 
agora 
somar 
trˆes 
ou 
mais 
matrizes. 
(a3) 
Existˆ 
Mm 
tal 
que 
encia 
do 
elemento 
neutro: 
Existe 
On 
AO 
A. 
De 
fato, 
seja 
O 
a 
matriz 
nula 
de 
Mm 
n 
, 
isto 
e,´ 
O 
oij 
, 
onde 
oi 
j 
0, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Sendo 
si 
j 
o 
termo 
geral 
de 
AO, 
temos 
sij 
aij 
oij 
aij 
0 
ai 
j, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Ou 
seja, 
AO 
A. 
Em 
palavras: 
na 
adic¸ao˜ 
de 
matrizes 
a 
matriz 
nula 
desempenha 
o 
mesmo 
papel 
que 
o 
zero 
desempenha 
na 
adic¸ao˜ 
de 
n´umeros 
reais. 
(a4) 
Da 
existˆ 
A 
n
encia 
do 
elemento 
oposto 
: 
Existe 
Mm 
tal 
que 
A 
AO. 
De 
fato, 
sabemos 
que 
cada 
elemento 
de 
A 
e´ 
o 
oposto
do 
elemento 
correspondente 
de 
A. 
Ent˜ao, 
sendo 
si 
j 
o 
termo 
geral 
de 
AA 
, 
temos 
sij 
aij 
aij 
0 
oi 
j, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Isto 
e,´ 
A 
AO. 
Em 
palavras: 
Cada 
matriz 
possui, 
em 
correspondˆencia, 
uma 
matriz 
de 
mesma 
ordem 
tal 
que 
a 
soma 
das 
duas 
e´ 
a 
matriz 
nula 
dessa 
ordem. 
(a5) 
Da 
soma 
de 
transpostas: 
AT 
BT 
ABT 
De 
fato, 
seja 
si 
j 
o 
termo 
geral 
de 
AT 
BT 
. 
Ent˜ao, 
para 
todo 
24 
CEDERJ 
�
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
nsij 
aji 
bji 
a 
bji, 
que 
e´ 
o 
termo 
geral 
de 
A 
BT 
. 
Ou 
seja, 
AT 
BT 
ABT 
. 
Em 
palavras: 
A 
soma 
das 
transpostas 
´
e 
a 
transposta 
da 
soma. 
Mas, 
vendo 
sob 
outro 
angulo:ˆ 
a 
transposic¸ao˜ 
de 
matrizes 
e´ 
dis
tributiva 
em 
relac¸ao 
` 
¸ao. 
˜ 
a 
adic˜ 
˜ 
MATRIZ 
POR 
UM 
ESCALAR 
PROPRIEDADES 
DA 
MULTIPLICAC¸ 
AO 
DE 
UMA 
Vocˆe 
ver´a 
que, 
tamb´em 
neste 
caso, 
provaremos 
a 
validade 
dessas 
propriedades 
usando 
as 
propriedades 
correspondentes 
da 
multiplicac¸ao˜ 
de 
n´umeros 
reais. 
Sejam 
A 
aij 
B 
bij 
Mmn 
. 
Valem 
as 
seguintes 
propriedades: 
(mn1) 
AA 
De 
fato, 
seja 
pi 
j 
o 
termo 
geral 
de 
A, 
isto 
e,´ 
pij 
aij 
aij 
aij 
a 
ij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Ou 
seja, 
pi 
j 
e´ 
tamb´em 
o 
termo 
geral 
de 
A 
. 
Logo, 
AA 
. 
Exemplo 
2.6. 
blablabl 
Dada 
A 
Mmn 
12A 
34A 
26A 
. 
(mn2) 
A 
AA 
De 
fato, 
seja 
pi 
j 
o 
termo 
geral 
de 
A, 
isto 
e,´ 
pi 
j 
aij 
aij 
aij 
aij 
aij 
aij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Ou 
seja, 
pi 
j 
e´ 
tamb´em 
o 
termo 
geral 
de 
AA. 
Logo, 
A 
AA. 
Exemplo 
2.7. 
blablabl 
Dada 
A 
Mmn 
12A 
7A 
5A 
8A 
4A. 
(mn3) 
AB 
AB 
De 
fato, 
seja 
pi 
j 
o 
termo 
geral 
de 
AB 
. 
Ent˜ao, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n, 
temos 
pij 
abij 
a 
bij 
aij 
bij 
aij 
bij 
aij 
bij. 
Ou 
CEDERJ 
25 
21 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
seja, 
pi 
j 
´ 
em 
o 
termo 
geral 
de 
AB. 
Logo, 
AB
e 
tamb´ 
AB. 
Exemplo 
2.8. 
blablabl 
Dadas 
AB 
Mmn 
5 
AB 
5A 
5B. 
(mn4) 
1AA 
De 
fato, 
sendo 
pi 
j 
o 
termo 
geral 
de 
1A, 
temos 
pi 
j 
1a 
ij 
1aij 
aij, 
para 
todo 
i 
1 
m 
e 
todo 
j 
1 
n. 
Isto 
e,´ 
1A 
A. 
(mn5) 
AT 
AT 
De 
fato, 
seja 
pi 
j 
o 
termo 
geral 
de 
AT 
. 
Ent˜ao 
pij 
aji 
a 
ji, 
ou 
seja, 
pi 
j 
e´ 
tamb´em 
o 
termo 
geral 
de 
AT 
. 
Exemplo 
2.9. 
blablabl 
21 
40
Dadas 
A 
e 
B 
, 
vamos 
deter
01 
26 
T
1
minar 
3 
2AT 
2 
B 
. 
Para 
isso, 
vamos 
usar 
as 
propriedades 
vistas 
nesta 
aula 
e 
detalhar 
cada 
passo, 
indicando 
qual 
a 
propriedade 
utilizada. 
Ta5 
TT
11
32AT 
2 
B 
32AT 
2 
B 
mn5 
AT 
T 
1
32 
2 
BT 
1
t1 
32A 
BT 
2 
mn3 
1
32A 
32 
BT 
mn1 
32 
A 
3 
12 
BT 
3
6A 
2 
BT 
21 
42
3
6 
2
01 
06 
12 
6 
63 
06 
09 
69 
0 
15 
´ 
E 
claro 
que 
vocˆe, 
ao 
efetuar 
operac˜ 
ao 
¸oes 
com 
matrizes, 
n˜ 
precisar´a 
explicitar 
cada 
propriedade 
utilizada 
(a 
n˜ao 
ser 
26 
CEDERJ 
�
que 
o 
enunciado 
da 
quest˜ao 
assim 
o 
exija!) 
nem 
resolver 
a 
quest˜ao 
passo-a-passo. 
O 
importante 
´ 
ao
e 
constatar 
que 
s˜ 
as 
propriedades 
das 
operac¸oes 
que 
nos 
possibilitam 
rees
˜ 
crever 
a 
matriz 
pedida 
numa 
forma 
que 
nos 
parec¸a 
mais 
“simp´atica”. 
Resumo 
Nesta 
aula, 
comec¸amos 
a 
operar 
com 
as 
matrizes. 
Vimos 
como 
obter 
a 
transposta 
de 
uma 
matriz 
e 
a 
reconhecer 
matrizes 
sim´etricas 
e 
antissim´etricas. 
A 
seguir, 
aprendemos 
a 
somar 
duas 
matrizes 
e 
a 
multiplicar 
uma 
matriz 
por 
um 
escalar. 
Finalizamos 
com 
o 
estudo 
das 
propriedades 
das 
operac¸oes 
vistas. 
A 
aula 
ficou 
um 
pouco 
longa, 
mas 
´
˜ 
e 
importante 
conhecer 
as 
propriedades 
v´alidas 
para 
cada 
operac¸ao˜ 
estudada. 
Exerc´ıcio2.1.
1. 
Obtenha 
a 
transposta 
da 
matriz 
AM24 
A 
aij 
, 
2ij 
se 
ij
tal 
que 
ai 
j 
i2 
j 
se 
ij 
242ab 
2. 
Determine 
a 
e 
b 
para 
que 
a 
matriz 
ab 
30 
10 
5 
seja 
sim´etrica. 
3. 
Mostre 
que 
a 
soma 
de 
duas 
matrizes 
sim´etricas 
´e 
uma 
matriz 
sim´etrica. 
4. 
Determine 
abcxyz 
para 
que 
a 
matriz 
2xa 
ba 
2b 
6 
y22c 
seja 
antissim´etrica. 
58 
z 
1 
21 
01 
5. 
Sendo 
A 
01 
e 
B 
7 
3 
, 
determine 
32 
45 
AB. 
21 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
27 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Transposic˜ 
¸ao 
e 
Multiplicac˜ 
umero 
Real 
¸˜ 
¸ao, 
Adic˜ 
¸ao 
por 
N´ 
6. 
Determine 
ab 
e 
c 
para 
que 
c 
02 
143 
341 
35
7. 
Dada 
A 
, 
determine 
a 
matriz 
B 
tal 
que 
42 
AB 
e´ 
a 
matriz 
nula 
de 
M2. 
51 
8. 
Considere 
as 
matrizes 
A 
1 
B 
2e 
23 
C 
0 
2 
1 
. 
Determine 
a 
matriz 
X 
em 
cada 
caso: 
a. 
X 
2A 
3B 
b. 
X 
A 
BCT 
2X 
BT 
3AT 
1
c. 
XC
2 
942 
879
9. 
Sendo 
A 
e 
B 
,
612 
11 
12 
19 
2 
2XY 
A
determine 
as 
matrizes 
X 
e 
Y 
tais 
que 
X 
2YB 
10. 
Sendo 
AB 
Mmn 
, 
use 
as 
propriedades 
vistas 
nesta 
aula 
para 
simplificar 
a 
express˜ao 
T 
T 
13
32AT 
B 
5 
BTAT 
B
55 
a 
32ab 
3 
1 
205 
Autoavaliac¸ao˜ 
Vocˆe 
deve 
se 
sentir 
a` 
vontade 
para 
operar 
com 
matrizes 
nas 
formas 
vistas 
nesta 
aula: 
transpor, 
somar 
e 
multiplicar 
por 
um 
escalar 
s˜ao 
operac˜ 
¸ao 
simples 
que 
seguem 
a 
¸oes 
de 
realizac˜ 
nossa 
intuic¸ao. 
Al´ 
e 
importante 
que 
vocˆe 
reconhec¸a 
˜ 
em 
disso, 
´ 
a 
utilidade 
das 
propriedades 
no 
sentido 
de 
nos 
dar 
mobilidade 
na 
hora 
de 
operarmos 
com 
matrizes. 
Propriedades 
de 
operac¸oes 
n˜ 
ao 
para 
serem 
decoradas, 
mas 
apreendidas, 
˜ 
ao 
s˜ 
assimiladas, 
utilizadas 
ao 
pˆor 
a 
teoria 
em 
pr´atica! 
Se 
vocˆe 
sentiu 
qualquer 
dificuldade 
ao 
acompanhar 
a 
aula 
ou 
ao 
resolver 
os 
exerc´ıcios 
propostos, 
pec¸a 
aux´ılio 
ao 
tutor 
da 
teoria. 
O 
importante 
´
e 
que 
caminhemos 
juntos 
nesta 
jornada! 
At´e 
a 
pr´oxima 
aula!! 
28 
CEDERJ 
�
RESPOSTAS 
DOS 
EXERC´ICIOS 
33 
16
1. 
21 
30 
2. 
a 
1; 
b 
3 
7 
11 
4. 
a 
3; 
b 
3; 
c 
4; 
x 
0; 
y 
0; 
z 
1 
22 
5. 
72 
17 
6. 
a 
3; 
b 
1; 
c 
2 
35
7. 
42 
4
7 
3 
57
8. 
a. 
8 
b. 
c. 
14 
6
32 
50 
231 
524
9. 
X 
; 
Y
01 
4 
610 
3 
10. 
AB 
21 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
29 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜
¸˜ 
¸ao 
30 
CEDERJ 
�
OPERAC¸ 
˜ 
MULTIPLICAC¸ 
AO
˜ 
OESCOMMATRIZES:
bj 
etivos 
Ao 
final 
desta 
aula, 
voceˆ 
devera´ 
ser 
capaz 
de: 
1234
reconhecer 
quando
e´ 
poss´ıvel 
multiplicar 
duas 
matrizes; 
obter 
a 
matriz 
produto 
de 
duas 
matrizes; 
aplicar 
as 
propriedades 
da 
multiplicac¸ao˜ 
de 
matrizes; 
identificar 
matrizes 
invers´ıveis. 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
O 
caso 
00 
e´ 
mais 
delicado 
do 
que 
parece. 
Se 
vocˆe 
tem 
interesse 
nesse 
problema, 
vai 
gostar 
de 
ler 
o 
artigo 
de 
Elon 
Lages 
Lima, 
na 
Revista 
do 
Professor 
de 
Matem´atica 
(RPM), 
n. 
7. 
Operac¸˜ 
¸ao 
oes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜ 
OPERAC¸OES 
COM 
MATRIZES:
˜ 
MULTIPLICAC
¸ 
AO
˜ 
Se 
vocˆe 
j´a 
foi 
“apresentado” 
a` 
multiplicac¸ao˜ 
de 
matrizes, 
pode 
ter 
se 
perguntado 
por 
que 
a 
definic¸ao˜ 
foge 
tanto 
daquilo 
que 
nos 
pareceria 
mais 
f´acil 
e 
“natural”: 
simplesmente 
multiplicar 
os 
termos 
correspondentes 
das 
duas 
matrizes 
(que, 
para 
isso, 
deveriam 
ser 
de 
mesma 
ordem). 
Poderia 
ser 
assim? 
Poderia! 
Ent˜ao, 
por 
que 
n˜ao 
e?´ 
Em 
Matem´atica, 
cada 
definic˜ 
e 
feita 
de 
modo 
a 
possibilitar 
¸ao 
´ 
´ 
o 
desenvolvimento 
da 
teoria 
de 
forma 
cont´ınua 
e 
coerente. 
E 
por 
essa 
raz˜ao 
que 
definimos, 
por 
exemplo, 
0! 
1 
e 
a01 
a 
0. 
N˜ao 
ir´ıamos 
muito 
longe, 
no 
estudo 
das 
matrizes, 
caso 
a 
multiplicac¸ao 
fosse 
definida 
“nos 
moldes” 
da 
adic˜ 
e 
ver´ 
˜ 
¸ao. 
Vocˆ 
a, 
nesta 
aula, 
o 
significado 
dessa 
operac¸ao, 
no 
modo 
como 
´
˜ 
e 
definida. 
Mais 
tarde, 
quando 
estudarmos 
transformac¸oes 
lineares 
(no 
˜ 
M´odulo 
2), 
ficar´a 
ainda 
mais 
evidente 
a 
importˆancia 
de 
multiplicarmos 
matrizes 
da 
maneira 
como 
veremos 
a 
seguir. 
Venha 
conosco! 
Vamos 
voltar 
aos 
nossos 
alunos 
de 
Lugar 
Lindo. 
J´a 
e´ 
tempo 
de 
calcular 
suas 
notas 
finais! 
A´
ultima 
matriz 
obtida 
(na 
Aula 
2) 
fornecia 
as 
notas 
numa 
escala 
de 
0 
a 
100: 
50 
62 
70 
57 
70 
73 
85 
100 
80 
77 
65 
71 
92 
90 
70 
82 
70 
72 
68 
78 
N 
Lembrando: 
as 
duas 
primeiras 
colunas 
indicam 
as 
notas 
das 
avaliac¸oes 
a 
distˆ 
´ 
¸oes 
˜ 
ancia 
e 
as 
duas 
ultimas, 
as 
notas 
das 
avaliac˜ 
presenciais 
dos 
alunos 
Ana, 
Beatriz, 
Carlos, 
Daniela 
e 
Edson, 
nessa 
ordem. 
Vamos 
supor 
que 
as 
avaliac¸oes 
a 
distˆ
˜ 
ancia 
tenham, 
cada 
uma, 
1
peso 
1, 
num 
total 
de 
10. 
Isto 
e,´ 
cada 
uma 
colabora 
com 
10 
(ou 
10%) 
da 
nota 
final. 
32 
CEDERJ 
�
Para 
completar, 
cada 
avaliac¸ao˜ 
presencial 
ter´a 
peso 
4, 
ou 
seja, 
representar´a 
4 
(ou 
40%) 
da 
nota 
final. 
10 
Ent˜ao, 
a 
nota 
final 
de 
cada 
aluno 
ser´a 
dada 
por: 
10 
10 
40 
40 
NF 
AD1 
AD2 
AP1 
AP2
100 
100 
100 
100 
Em 
vez 
de 
escrever 
uma 
express˜ao 
como 
essa 
para 
cada 
um 
dos 
5 
alunos, 
podemos 
construir 
uma 
matriz-coluna 
P 
contendo 
os 
pesos 
das 
notas, 
na 
ordem 
como 
aparecem 
no 
c´alculo 
de 
NF: 
10 
100 
10 
100 
P 
40 
100 
40 
100 
e 
efetuar 
a 
seguinte 
operac¸ao:
˜ 
50 
62 
70 
57 
10 
100 
70 
73 
85 
100 
10 
100 
NP 
80 
77 
65 
71 
40 
100 
92 
90 
70 
82 
40 
100 
70 
72 
68 
78 
10 
10 
40 
40 
50 
62 
70 
57 
62 
100 
100 
100 
100 
10 
10 
40 
40 
88 
100 
70 
100 
73 
100 
85 
100 
100 
10 
10 
40 
40 
70 
100 
80 
100 
77 
100 
65 
100 
71 
10 
10 
40 
40 
79 
92 
90 
70 
82 
100 
100 
100 
100 
10 
10 
40 
40 
100 
70 
100 
72 
100 
68 
100 
78 
73 
O 
que 
fizemos: 
tomamos 
duas 
matrizes 
tais 
que 
o 
n´umero 
de 
termos 
em 
cada 
linha 
da 
primeira 
e´ 
igual 
ao 
n´umero 
de 
termos 
de 
cada 
coluna 
da 
segunda. 
Ou 
seja, 
o 
n´umero 
de 
colunas 
da 
primeira 
coincide 
com 
o 
n´umero 
de 
linhas 
da 
segunda 
(4, 
no 
nosso 
exemplo). 
Dessa 
forma, 
podemos 
multiplicar 
os 
pares 
de 
elementos, 
“varrendo”, 
simultaneamente, 
uma 
linha 
da 
1a 
matriz 
e 
uma 
coluna 
da 
2a 
. 
Depois, 
somamos 
os 
produtos 
obtidos. 
Note 
que, 
ao 
considerarmos 
a 
i-´esima 
linha 
(da 
1a 
matriz) 
e 
a 
j-´esima 
coluna 
(da 
2a 
), 
geramos 
o 
elemento 
na 
posic¸ao˜ 
ij 
da 
matriz 
produto. 
31 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
33 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜
¸˜ 
¸ao 
Formalmente, 
temos 
a 
seguinte 
definic¸ao:
˜ 
Definic¸˜ao3.1.blablablaSejamAaikMmpeBbkjMpn.AmatrizprodutodeAporB´eamatrizABcijMmntalquecijpk1aikbkji1m;j1n
Exemplo 
3.1. 
blablabl 
1310 
2
32 
1
Sejam 
A 
e 
B 
150 
5.
40 
7 
264 
2 
Como 
A 
e´do 
tipo 
2 
3e 
B 
e´ 
do 
tipo 
3 
4, 
existe 
a 
matriz 
AB 
e 
e´ 
do 
tipo 
2 
4: 
1310 
2
32 
1
AB 
150 
5
40 
7 
264 
2 
322 
910 
6 
30 
04610 
2 
4 
0 
14 
12 
0 
42 
40 
0 
28 
8 
0 
14 
1 
13 
26 
18 
18 
54 
68 
6 
Observe 
que, 
neste 
caso, 
n˜ao 
e´ 
poss´ıvel 
efetuar 
BA. 
A 
seguir, 
veremos 
alguns 
exemplos 
e, 
a 
partir 
deles, 
tiraremos 
algumas 
conclus˜oes 
interessantes 
a 
respeito 
da 
multiplicac
¸ao˜ 
de 
matrizes. 
Exemplo 
3.2. 
blablabl 
24 
32
Sejam 
A 
e 
B 
. 
Ent˜ao 
31 
56 
34 
CEDERJ 
�
2 
4 
32 
620 
424 
26 
28 
AB 
3 
1 
56 
9566 
40 
e 
32 
2 
4 
6612 
2 
12 
10 
BA 
.
56 
3 
1 
10 
18 
20 
6 
28 
14 
Note 
que 
o 
produto 
de 
duas 
matrizes 
quadradas 
de 
mesma 
ordem 
n 
existe 
e 
e´ 
tamb´em 
uma 
matriz 
quadrada 
de 
ordem 
n. 
Assim, 
a 
multiplicac¸ao˜ 
pˆode 
ser 
efetuada 
nos 
dois 
casos, 
isto 
e,´ 
nas 
duas 
ordens 
poss´ıveis, 
mas 
as 
matrizes 
AB 
e 
BA 
s˜ao 
diferentes. 
Exemplo 
3.3. 
blablabl 
12 
14
Sejam 
A 
e 
B 
Temos 
que 
34 
67 
12 
14 
112 
414 
AB 
34 
67 
324 
12 
28 
13 
18 
27 
40 
e 
14 
12 
112 
216 
BA 
67 
34 
621 
12 
28 
13 
18 
27 
40 
Neste 
caso, 
AB 
BA. 
Quando 
isso 
ocorre, 
dizemos 
que 
as 
matrizes 
A 
e 
B 
comutam. 
Exemplo 
3.4. 
blablabl 
4
321
Consideremos 
as 
matrizes 
A 
e 
B 
19 
.
465 
26 
0
Efetuando 
AB, 
obtemos 
a 
matriz 
.
0 
Note 
que, 
diferentemente 
do 
que 
ocorre 
com 
os 
n´umeros 
reais, 
quando 
multiplicamos 
matrizes, 
o 
produto 
pode 
ser 
a 
matriz 
nula, 
sem 
que 
qualquer 
dos 
fatores 
seja 
a 
matriz 
nula. 
CEDERJ 
35 
31 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Matrizes 
invers´ıveis 
tamb´em 
s˜ao 
chamadas 
de 
invert´ıveis 
ou 
de 
n˜ao-singulares. 
Operac¸˜ 
¸ao 
oes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜ 
Exemplo 
3.5. 
blablabl 
12
Vamos 
calcular 
AB, 
sendo 
A 
e
34 
21
B 
3212.Temos 
que 
2311 
10
AB 
I2
6632 
01 
Quando 
isso 
ocorre, 
isto 
e,´ 
quando 
o 
produto 
de 
duas 
matrizes 
A 
e 
B 
quadradas, 
e´ 
a 
identidade 
(obviamente, 
de 
mesma 
ordem 
das 
matrizes), 
dizemos 
que 
A 
e´ 
invers´ıvel 
e 
que 
B 
e´ 
asua 
inversa. 
Uma 
matriz 
invers´ıvel
sempre 
comuta 
com 
sua 
inversa. 
Vocˆe 
pode 
verificar 
isso, 
calculando 
BA. 
Na 
pr´oxima 
aula, 
estudaremos 
um 
m´etodo 
bastante 
eficiente 
para 
determinar, 
caso 
exista, 
a 
matriz 
inversa 
de 
uma 
matriz 
dada. 
˜
PROPRIEDADES 
DA 
MULTIPLICAC¸ 
AO 
DE 
MATRIZES 
i. 
AB 
C 
ABC 
AMmn 
BMnp 
C 
Mpq 
. 
Isto 
e,´ 
a 
multiplicac¸ao˜ 
de 
matrizes 
e´ 
associativa. 
De 
fato, 
sejam 
A 
aij 
B 
bjk 
e 
C 
ckl 
. 
O 
termo 
de 
´ındices 
ik 
da 
matriz 
AB 
e´ 
dado 
pela 
express˜ao 
n 
1 
ai 
jb 
jk. 
Ent˜ao, 
o 
termo 
de 
´ındices 
il 
da 
matriz 
AB 
C
j 
pn 
np
e 
dado 
por 
1 
1 
b 
jkckl 
´ 
kj 
1 
aijbjk 
ckl 
j 
1 
aij 
k 
, 
que 
e´ 
o 
termo 
de 
´ındices 
il 
da 
matriz 
A 
BC 
, 
pois 
p 
k 
1 
b 
jkckl 
e´ 
o 
termo 
de 
´ındices 
jl 
da 
matriz 
BC. 
Logo, 
AB 
C 
ABC 
. 
ii. 
ABC 
AB 
AC 
AMmn 
BCMnp 
. 
Isto 
e,´ 
a 
multiplicac¸ao˜ 
de 
matrizes 
e´ 
distributiva 
em 
relac
¸ao˜ 
a` 
adic¸ao˜ 
de 
matrizes. 
De 
fato, 
sejam 
A 
aij 
B 
bjk 
e 
C 
cjk 
. 
O 
termo 
de 
´ındices 
jk 
de 
BC 
e´ 
dado 
por 
bjk 
cjk 
. 
Ent˜ao, 
o 
de 
´ındices 
ik 
da 
matriz 
AB 
C 
e´ 
nj 
1 
aij 
bjk 
cjk 
n 
nn 
j 
1 
aijbjk 
aijcjk 
j 
1 
aijbjk 
j 
1 
ai 
jc 
jk 
, 
36 
CEDERJ 
�
que 
´e 
o 
termo 
de 
´ındices 
ik 
da 
matriz 
dada 
por 
AB 
Isto 
´e, 
A 
B 
C 
AB 
AC. 
AC. 
De 
forma 
an´aloga, 
prova-se 
que 
A 
B 
C 
AC 
BC. 
iii. 
AB 
B 
Mn 
p 
A 
B 
. 
A 
B 
A 
Mm 
n 
De 
fato, 
sejam 
A 
ai 
j 
e 
B 
b 
jk 
. 
O 
termo 
de 
´ındices 
n 
nik 
de 
AB 
´e 
dado 
por 
j 
1 
ai 
jb 
jk 
j 
1 
ai 
jb 
jk 
n 
que 
´e 
o 
termo 
de 
´ındices 
ik 
de 
A 
B.j 
1 
ai 
j 
b 
jk, 
Isto 
´e, 
AB 
A 
B. 
De 
forma 
an´aloga, 
prova-se 
que 
AB 
A 
B 
. 
Logo, 
AB 
A 
B 
A 
B 
. 
iv. 
Dada 
A 
Mm 
n 
ImA 
AIn 
A. 
1 
se 
i 
jDe 
fato, 
sejam 
A 
ai 
j 
e 
Im 
i 
j 
onde 
i 
j 
0 
se 
i 
j 
nEnt˜ao, 
o 
termo 
de 
´ındices 
i 
j 
de 
ImA 
´e 
dado 
por 
k 
1 
ikak 
j 
i1a1 
j 
i2a2 
j 
iiai 
j 
inan 
j 
0 
a1 
j 
0 
a2 
j 
1 
ai 
j 
0an 
j 
ai 
j, 
que 
´e 
o 
termo 
de 
´ındices 
i 
j 
de 
A. 
Logo, 
ImA 
A. 
Analogamente, 
prova-se 
que 
AIn 
A. 
Isto 
´e, 
ImA 
AIn 
A. 
A 
func¸ 
˜ao 
i 
j 
assim 
. 
definida 
´e 
chamada 
delta 
de 
Kronecker 
nos 
´ındices 
i 
e 
j. 
v. 
Dadas 
A 
Mm 
n 
B 
Mn 
p 
AB 
T 
BT 
AT 
. 
De 
fato, 
sejam 
A 
ai 
j 
e 
B 
b 
jk 
. 
O 
termo 
de 
´ındices 
nik 
de 
AB 
´e 
dado 
por 
1 
ai 
jb 
jk, 
que 
´e, 
tamb´em, 
o 
termo 
j 
de 
´ındices 
ki 
da 
matriz 
AB 
T 
. 
Sendo 
BT 
e 
ATbk 
j 
, 
onde 
bk 
j 
i 
1 
m; 
j 
1 
n,a 
ji 
b 
jk 
e 
a 
ji 
ai 
j 
n 
npodemos 
escrever 
1 
bk 
ja 
ji, 
que 
´e 
o 
termo 
j 
1 
ai 
jb 
jk 
j 
de 
´ındices 
ki 
da 
matriz 
BT 
AT 
. 
Logo, 
AB 
T 
BT 
AT 
. 
POT 
ˆENCIAS 
DE 
MATRIZES 
Quando 
multiplicamos 
um 
n´umero 
real 
por 
ele 
mesmo, 
efetuamos 
uma 
potenciac¸ 
˜ao. 
Se 
a 
´e 
um 
n´umero 
real, 
indicamos 
por 
an 
o 
produto 
a 
a 
a, 
onde 
consideramos 
n 
fatores 
iguais 
a 
a. 
Analogamente, 
quando 
lidamos 
com 
matrizes, 
definimos 
a 
potˆencia 
de 
expoente 
n 
(ou 
a 
n-´esima 
potˆencia) 
de 
uma 
matriz 
quadrada 
A 
como 
sendo 
o 
produto 
A 
A 
A, 
onde 
h´a 
n 
fatores 
iguais 
a 
A. 
C 
E 
D 
E 
R 
J 
37 
31 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜
¸˜ 
¸ao 
Exemplo 
3.6. 
blablabl 
54
Dada 
A 
, 
temos 
31 
54 
54 
13 
24 
A2 
AA 
e
31 
31 
18 
11 
13 
24 
54 
776 
A3 
A2 
A 
18 
11 
31 
57 
83 
Quando 
calculamos 
sucessivas 
potˆencias 
de 
uma 
matriz, 
podem 
ocorrer 
os 
seguintes 
casos 
especiais: 
An 
A, 
para 
algum 
n 
natural. 
Nesse 
caso, 
dizemos 
que 
a 
matriz 
A 
´ 
odica.
e 
peri´ 
Se 
p 
e´ 
o 
menor 
natural 
para 
o 
qual 
Ap 
A, 
dizemos 
que 
A 
e´ 
peri´ 
ıodo 
p. 
2, 
a 
ma-
odica 
de 
per´ 
Particularmente, 
se 
p 
triz 
A 
e´ 
chamada 
idempotente. 
An 
O, 
para 
algum 
n 
natural. 
Lˆe-se 
nilpotente. 
A 
Nesse 
caso, 
dizemos 
que 
a 
matriz 
A 
e´ 
nihilpotente. 
Se 
p 
e´ 
palavra 
nihil 
significa 
o 
menor 
natural 
para 
o 
qual 
Ap 
O, 
a 
matriz 
A 
e´ 
dita 
ser 
nada, 
em 
latim. 
nihilpotente 
de 
´ındice 
p. 
Exemplo 
3.7. 
blablabl 
Efetuando 
a 
multiplicac¸ao˜ 
de 
A 
por 
ela 
mesma, 
vocˆe 
poder´a 
constatar 
que 
a 
matriz 
A, 
em 
cada 
caso, 
e´ 
idempotente: 
1212
A 
12 
12 
05
A 
.
01 
Exemplo 
3.8. 
blablabl 
Seja 
A 
5 
1 
. 
Calculando 
A2, 
temos 
25 
5 
5151 
00
AA 
. 
Ou 
seja, 
A 
e´ 
ni
25 
5 
25 
5 
00 
hilpotente 
de 
´ındice 
2. 
38 
CEDERJ 
�
Resumo 
Nesta 
aula, 
vimos 
como 
multiplicar 
duas 
matrizes. 
Trata-
se 
de 
uma 
operac¸ao˜ 
que 
se 
distingue 
das 
que 
vimos 
anteriormente, 
tanto 
pela 
maneira 
pouco 
intuitiva 
pela 
qual 
e´ 
definida, 
quanto 
pelo 
fato 
de 
n˜ao 
ser 
comutativa. 
Ela 
representa 
um 
papel 
muito 
importante 
no 
desenvolvimento 
de 
toda 
´ 
Algebra 
Linear, 
permitindo, 
por 
exemplo, 
uma 
representac¸ao˜ 
simples 
da 
composic¸ao 
de 
func˜
˜ 
¸oes 
especiais, 
que 
estudaremos 
no 
M´odulo 
2. 
Al´em 
disso, 
fomos 
apresentados 
as` 
matrizes 
invers´ıveis 
e 
vimos 
que 
estas 
sempre 
comutam 
com 
suas 
matrizes 
inversas. 
Exerc´ıcio3.1.
1. 
Calcule 
AB 
em 
cada 
caso 
abaixo: 
2
1 
24 
a. 
AB 
6
5 
01 
10 
46 
20
b. 
AB
23 
14 
3 
c. 
A 
1 
B 
65 
3 
2 
2. 
Determine 
ABT 
2C, 
dadas 
12 
42 
791 
A 
25 
B 
21 
C 
6 
42. 
03 
17 
810 
3 
3. 
Verifique, 
em 
caso, 
se 
B 
e´ 
a 
matriz 
inversa 
de 
A: 
23 
a. 
A 
e 
B
1 
6 
2319 
2139 
15 
65
b. 
A 
e 
B
32 
11 
4. 
Resolva 
a 
equac¸ao˜ 
matricial 
31 
ab 
5 
15 
25 
cd 
87 
CEDERJ 
39 
31 
M
AULA 
ODULO 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Multiplicac˜
¸˜ 
¸ao 
23
5. 
Determine 
a 
e 
b 
para 
que 
as 
matrizes 
A 
e
95 
a 
1
B 
comutem. 
3 
b 
6. 
Determine 
todas 
as 
matrizes 
que 
comutam 
com 
A, 
em 
cada 
caso: 
12 
a. 
A 
45 
01
b. 
A 
31 
7. 
Dadas 
as 
matrizes 
A 
1 
2 
3 
5 
e 
B 
1 
0 
4 
2 
, 
calcule: 
a. 
A2 
b. 
B3 
c. 
A2B3 
8. 
As 
matrizes 
A 
0 
0 
0 
1 
0 
0 
0 
1 
0 
e 
B 
3 
1 
9 
3 
s˜ao 
ni
hilpotentes. 
Determine 
o 
´ındice 
de 
cada 
uma. 
Autoavaliac¸ao˜ 
´
E 
muito 
importante 
que 
vocˆe 
se 
sinta 
bem 
`
a 
vontade 
diante 
de 
duas 
matrizes 
a 
multiplicar. 
Assimilada 
a 
definic¸ao, 
repita 
os 
˜ 
exemplos 
e 
os 
exerc´ıcios 
que 
tenham 
deixado 
alguma 
d´uvida. 
Caso 
haja 
alguma 
pendˆencia, 
n˜ao 
hesite 
em 
contactar 
o 
tutor 
´ 
da 
disciplina. 
E 
essencial 
que 
caminhemos 
juntos!! 
At´e 
a 
pr´oxima 
aula. 
40 
CEDERJ 
�
RESPOSTAS 
DOS 
EXERC´ICIOS 
30 
14 
24 
1. 
a. 
AB 
b. 
AB 
20 
712 
18 
15
9 
c. 
AB 
6 
5 
3. 
12 
10 
6 
6 
14 
11 
2. 
6129 
10 
17 
27 
3. 
a. 
sim 
(pois 
AB 
I2); 
b. 
n˜ao 
14
4. 
23 
5. 
ab 
1 
xz 
2 
xy
6. 
a. 
xz 
b. 
xy 
. 
zx 
z 
3yx 
y 
5 
18 
128 
5 
284 
7. 
a. 
b. 
c. 
12 
19 
08 
12 
488 
8. 
a. 
3;b. 
2 
31 
M
AULA 
ODULO 
CEDERJ 
41 
�
´ 
Algebra 
Linear 
I 
Operacoes 
com 
Matrizes: 
Invers˜ 
¸˜ 
ao 
42 
CEDERJ 
�