ALMEIDA_LIMA_negociacoes_rupturas e renegociacoes numa sala de aula com o saber equacao do segundo grau

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http://dx.doi.org/10.23925/1983-3156.2019v21i5p162-176 
Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.21, n.5, pp. 162-176, 2019 
Negociações, rupturas e renegociações numa sala de aula com o saber 
equação do segundo grau 
Negotiations, breaks and renegotiations in a classroom with the 
knowledge of the second-degree equation 
_____________________________________ 
FERNANDO EMÍLIO LEITE DE ALMEIDA1 
ANNA PAULA AVELAR DE BRITO LIMA2 
 
Resumo 
O objetivo do artigo é analisar as relações contratuais, que emergem da relação didática, 
numa sala de aula de matemática no 9º ano do ensino fundamental, quando o saber 
algébrico é a equação do segundo grau entra em cena no jogo didático. Para tornar 
possível a investigação, elegemos como campo teórico e metodológico a noção de 
Contrato Didático, um dos pilares da teoria das situações didáticas, esse fenômeno 
implica regras que emergem da relação didática e que são determinantes para o 
funcionamento do sistema didático. Na metodologia utilizamos uma filmagem e, 
posteriormente, a transcrição e análise. Os resultados apontam que o professor 
contempla, negociações, rupturas e renegociações na relação didática. No entanto, 
podemos observar em alguns momentos uma reorganização contratual e o 
estabelecimento de um núcleo duro do contrato. 
Palavras-chave: Relação Didática. Contrato Didático. Negociações. Rupturas. 
 
Abstract 
The purpose of this article is to analyze the contractual relationships that emerge from 
the didactic relationship in a mathematics classroom in the 9th grade of the elementary 
school, when algebraic knowledge is the equation of the second degree comes into play 
in the didactic game. In order to make possible the investigation, we chose as a theoretical 
and methodological field the notion of Didactic Contract, one of the pillars of the theory 
of didactic situations, this phenomenon implies rules that emerge from the didactic 
relationship and that are determinants for the functioning of the didactic system. In the 
methodology we used a filming and, later, the transcription and analysis. The results 
indicate that the teacher contemplates, negotiations, ruptures and renegotiations in the 
didactic relationship. However, we can observe at times a contractual reorganization and 
the establishment of a hard core contract. 
Key-words: Didactic Relationship. Contract Didactic. Negotiations. Ruptures. 
 
Résumé 
Le but de cet article est d'analyser les relations contractuelles qui émergent de la relation 
didactique dans une classe de mathématiques en 9e. année de l'école primaire, lorsque la 
 
1 Instituto Federal de Pernambuco, Brasil, fernandoemilioleite@yahoo.com.br 
2 Universidade Federal de Pernambuco, Brasil, apbrito@gmail.com 
 
 
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connaissance algébrique est l'équation du second degré qui entre en jeu dans le jeu 
didactique. Afin de rendre possible l'investigation, nous avons choisi comme champ 
théorique et méthodologique la notion de Contrat Didactique, l'un des piliers de la 
théorie des situations didactiques, ce phénomène implique des règles qui émergent de la 
relation didactique et déterminent le fonctionnement du système didactique. Dans la 
méthodologie nous avons utilisé un tournage et, plus tard, la transcription et l'analyse. 
Les résultats indiquent que l'enseignant envisage, des négociations, des ruptures et des 
renégociations dans la relation didactique. Cependant, nous pouvons observer parfois 
une réorganisation contractuelle et l'établissement d'un contrat dur. 
Palavras-chave: Relation didactique. Accord didactique. Négociations. Ruptures 
 
Resumen 
El objetivo del artículo es analizar las relaciones contractuales, que emergen de la 
relación didáctica, en un aula de matemáticas en el 9º año de la enseñanza fundamental, 
cuando el saber algebraico es la ecuación del segundo grado entra en escena en el juego 
didáctico. Para hacer posible la investigación, elegimos como campo teórico y 
metodológico la noción de Contrato Didáctico, uno de los pilares de la teoría de las 
situaciones didácticas, ese fenómeno implica reglas que emergen de la relación didáctica 
y que son determinantes para el funcionamiento del sistema didáctico. En la metodología 
utilizamos una filmación y posteriormente la transcripción y análisis. Los resultados 
apuntan que el profesor contempla, negociaciones, rupturas y renegociaciones en la 
relación didáctica. Sin embargo, podemos observar en algunos momentos una 
reorganización contractual y el establecimiento de un núcleo duro del contrato. 
Palabras clave: Relación Didáctica. Contrato Didáctico. Negociaciones. Interrupciones. 
 
 
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Introdução 
Este artigo3 procura analisar as relações contratuais, que emergem da relação didática 
(professor-aluno-saber), numa sala de aula de matemática do 9º ano do ensino 
fundamental, quando o saber algébrico equação do segundo grau a uma incógnita entra 
em cena. 
Para ser possível aprofundar na discussão e responder aos questionamentos, elegemos 
como campo teórica e metodológico a Didática da Matemática. Área de investigação que 
surgiu na França a partir dos Institutos de Pesquisa no Ensino da Matemática (IREM). 
Em especial, chamamos atenção para a noção de Contrato Didático. Tal noção é 
considerada por estudiosos um os pilares da Teoria das Situações Didáticas (TSD) 
(BROUSSEAU, 1986; JONNAERT; BORGHT, 2002; BESSOT, 2003; 
CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, dentre outros). 
Escolhemos investigar o Contrato Didático, por ser considerado um fenômeno 
intimamente ligado as questões de ensino e aprendizagem da matemática. Além disso, 
essa noção implica regras que emergem da relação didática e que são determinantes, no 
funcionamento da situação, na reconstrução dos saberes pelos alunos, na expectativa com 
relação às atividades, nas negociações dos saberes em sala de aula, na divisão de papéis 
entre o professor e os alunos com relação ao saber, dentre outros elementos. 
Sobre as investigações relacionadas a esse fenômeno e sua importância, Chevallard, 
Bosch e Gascón (2001) consideram que o contrato didático é a pedra de toque de toda a 
organização didática. Ele se estabelece quando a relação entre dois (professor e aluno) se 
transforma numa relação entre três (professor, os alunos e o saber). Acrescentamos ainda 
que a entrada do saber na relação é a primeira condição para que possa existir uma relação 
didática e, consequentemente, com a sua dinâmica interna, o contrato didático. 
Na escolha do contrato didático, se faz necessário determinar um campo de investigação. 
Particularmente, destacamos o campo algébrico e mais especificamente as equações do 
segundo grau. Tal escolha foi motivada, dentre outras questões, por alunos apresentarem 
dificuldades com equações do segundo grau. A esse respeito o Sistema de Avaliação da 
Educação Básica de Pernambuco (SAEPE), aponta que apenas 21,4% dos alunos do 9º ano do 
ensino fundamental, conseguem, por exemplo, identificar uma equação do 2º grau expressa em 
um problema (CÂMARA DOS SANTOS; RAMOS DE ALMEIDA, 2014). 
 
3 Este artigo diz respeito a um recorte de Tese, defendida no programa de Ensino das Ciências e Matemática 
da Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. 
 
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Outro dado importante, que motivou a escolha pelo objeto matemático, pode ser 
encontrada nas informações publicadas pelo Sistema de Avaliação do Ensino Básico 
(2011), no descritor que trata da resolução de equações do segundo grau, aponta que 55% 
dos alunos não obtiveram êxito. 
O contrato didático 
A noção de Contrato Didático (CD) foi estudada e teorizada, inicialmente, por Brousseau 
(1986) e retomada em inúmeros outros estudos e reflexões teóricas, por pesquisadorescomo Chevallard, Bosch e Gascón (2001), Bessot (2003), Jonnaert (2004), entre outros, 
que compreenderam a sua relevância, bem como sua densidade teórica. 
As primeiras questões sobre o CD foram apontadas por Brousseau e Péres (1981) e 
surgiram, a partir de observações, contexto empírico (SARRAZY, 1995). Esses 
pesquisadores observaram que crianças que alcançavam sucesso em outras disciplinas 
apresentavam problemas de aquisição conceitual, dificuldades de aprendizagem ou falta 
de “gosto” pela matemática. 
Algum tempo depois, essas, observações tornou-se um estudo de caso, que ficou famoso 
na didática da matemática, como o caso Gael. Resumidamente, podemos dizer, que os 
pesquisadores constataram que a incapacidade de Gael de envolver-se no processo de 
aprendizagem, em que o conhecimento matemático era o produto de uma construção 
advinda da interação com o “meio4” didático. Esse meio, diz respeito a um sistema 
antagônico no qual o sujeito age, a ação do sujeito acontece sem o controle do professor. 
Com isso, Brousseau (2008) avança com as discussões da Teoria das Situações Didáticas 
(TSD) e, acrescenta um novo componente na relação triangular (professor, aluno e saber), 
o meio. A figura abaixo, considerada pela didática da matemática como triângulo das 
situações, propõe uma tentativa de sistematizar o que estamos falando. 
A dinâmica principal que pode ser entendida pela figura, diz respeito a um processo de 
“negociação” em que as regras do jogo são estabelecidas para que os alunos e o professor 
mantenham uma relação com o meio, em algum momento na relação o professor deixa 
de ser ativo na relação com o saber. O produto dessa dinâmica permite a evolução da 
relação didática na direção do aprendizado. 
 
 
4 O meio que em francês é chamado de “mileu”. 
 
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Figura 1: Triângulo da Situação e o Mileu 
 
Fonte: Adaptado de Brousseau (2008, p. 54) 
Por outro lado, a tensão didática, que é considerada natural numa relação triangular, 
promovem, além das negociações, rupturas e, consequentemente, renegociação. Vale 
destacar que as rupturas são necessárias para permitirem que os parceiros (professor e 
alunos) modifiquem permanentemente as suas relações ao saber. São as rupturas que nos 
permitem também ter acesso, pelo menos em parte, às regras implícitas, anteriormente 
negociadas em uma relação didática. Sobre as “rupturas” e as “obrigações” na relação, 
Brousseau (1996b, p. 51) defende que “não podemos pormenorizar aqui estas obrigações 
recíprocas; aliás, são as rupturas do contrato didático que são realmente importantes”. 
Ainda sobre a figura, podemos observar que o contrato didático se localiza no “coração” 
do triângulo e é indispensável ao funcionamento da relação didática. É, de fato, o que lhe 
“permite a interação entre uma personalidade singular (um professor e seu implícito) e 
uma personalidade plural (uma aula com seu costume) a propósito de um objeto de ensino 
e aprendizagem, respeitando as particularidades de cada um dos parceiros” (JONNAERT; 
BORGHT, 2002, p. 188). 
Para Brousseau (1986), um momento de destaque que contribui para a compreensão das 
possíveis razões de determinadas interpretações sobre o contrato didático é marcado por 
uma espécie de “culturalismo didático”. Esse aspecto, aparece como um mecanismo 
gerador de contrato, diz respeito às repetições de hábitos específicos do professor, que os 
“reproduz, conscientemente ou não, de forma repetitiva na sua prática de ensino” 
(SARRAZY, 1995). 
Esses hábitos que fazem parte da prática do professor permitem ao aluno decodificar a 
atividade didática. O resultado das atividades que lhes são oferecidas depende em grande 
 
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medida das ações repetidas pelo professor. Assim, o contrato didático se apresenta “como 
um traço das exigências habituais do professor sobre uma situação particular” (BESSOT, 
2003, p.128). 
Brousseau (1986, p. 50) propõe que o contrato didático é a “regra do jogo e a estratégia 
da situação didática”. Acrescenta que a evolução das situações didáticas modifica o 
contrato, possibilitando, assim, a criação de novas situações. Em outro momento o autor 
introduz a ideia de que há “expectativas” e papéis a serem cumpridos por um e outro 
parceiro, no que chamou “jogo didático” (BROUSSEAU, 1986). 
Nesse contexto, Jonnaert (1994) comentam que o contrato didático apenas pode ter 
existência no contexto de uma relação didática. Isto porque, a relação didática é 
constituída de uma série de relações sociais, organizadas pelo contrato didático em um 
quadro socioespacial específico, entre um professor, alunos e um objeto determinado de 
ensino e aprendizagem. A relação didática é constituída pelo conjunto de trocas entre os 
alunos, o saber e o professor. 
Assim, o contrato didático gerencia essas relações, não as cristalizando em regras 
definitivas, mas, ao contrário, colocando-as em tensão, por meio de uma série de rupturas. 
Tais rupturas são necessárias para permitir que os parceiros (professor e alunos) 
modifiquem permanentemente as suas relações com o saber. 
Nessa dimensão complexa e dinâmica que envolve o conceito de contrato didático, 
Jonnaert (1994, p. 209) propõe três elementos essenciais: 
• A idéia de divisão de responsabilidades, onde a relação didática não aparece 
mais sob o controle exclusivo do professor, pois, o aluno deve cumprir o seu papel 
na mesma, ou seja, seu oficio de aluno. Assim, o contrato didático ensejaria 
“definir uma divisão de poder”. 
• A consideração do implícito: a relação funciona mais a partir do não-dito, do 
que das regras enunciadas (sem desconsiderar o que é explicitado). Muito embora, 
o contrato se inquieta mais com esses “não-ditos”. 
• A relação com o saber: o que é especifico do contrato didático é levar em conta 
a relação que cada um dos parceiros mantém com o saber, considera a assimétrica 
do professor e do aluno ao saber, discutida anteriormente. 
Ainda segundo o autor, o jogo do contrato didático é um jogo paradoxal, entre opostos: 
implícito versus explícito; unilateral versus negociável; espontâneo versus imposto; 
interno à sala de aula versus externo à aula. Esse jogo didático tem a intenção de criar e 
 
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ampliar os espaços de diálogo na sala de aula, estabelecendo um equilíbrio entre esses 
polos contraditórios. 
Pelo fato de existir um grande número de elementos implícitos, o contrato didático pode 
torna-se difícil de ser capturado. Contudo, autores que se dedicam em investigar esse 
fenômeno apontam que embora exista essa dificuldade em observá-lo, ele pode ser 
identificado mais claramente quando há uma ruptura do mesmo. A ruptura pode acontecer 
por ambos os pares da relação, ou individualmente (BESSOT, 2003; JONNAERT, 1994). 
Em geral, quando o contrato é rompido torna-se em parte explicitado e deve ser 
renegociado. Pelo discurso do professor e dos alunos em uma situação de ruptura do 
contrato, podemos identificar os elementos que o compõem e as responsabilidades que 
cabiam a cada um dos parceiros da relação (JONNAERT, 1994). 
Ao pensarmos no contrato didático como objeto de análise, é fundamental a definição do 
campo de saber em que ele será investigado. O campo que nos interessou em nosso 
cenário de pesquisa, foi a álgebra escolar, que será contemplado a seguir. 
O Ensino e Aprendizagem em Álgebra 
As pesquisas relacionadas ao ensino e aprendizagem da álgebra têm ocupado, no cenário 
das pesquisas em Didática da Matemática, um lugar de destaque. Muitos pesquisadores 
demonstram interesse nesse campo de investigação; no Brasil podemos citar Almeida e 
Brito Menezes (2013), Bessa de Menezes (2010), Araújo (2009)entre outros. Em outros 
países, destacamos Kieran (1995), Usiskin (1995), Filoy e Rojano (2004), entre outros. 
Embora os debates tenham avançado bastante em relação à álgebra na educação básica, 
boa parte da literatura que apresentam esses estudos não aprofundam alguns fatores 
importantes. 
Podemos acrescentar que o sucesso da formação do aluno está condicionado à relação 
que ele mantém com o saber algébrico. Assim, a relação não sendo adequada, o aluno tem 
possibilidade de fracassar na disciplina matemática; por outro lado, quando a relação se 
torna adequada, surge o sucesso (CÂMARA DOS SANTOS, 2010; BOOTH, 1995). 
Nesse contexto, os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), alertam que é consenso 
entre os pesquisadores que a álgebra é um campo de estudo importante para formação 
crítica dos estudantes, constitui-se como um espaço bastante significativo para o 
desenvolvimento e o exercício da capacidade de abstração e generalização, além de lhe 
possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. 
 
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No que diz respeito ao papel do professor, os documentos oficiais orientam que a ênfase 
que é dada em sala de aula ao ensino, especificamente da álgebra, não está sendo 
suficiente para combater e sanar algumas dificuldades dos alunos em matemática. Embora 
as pesquisas apontem para uma mudança e, mesmo que existam professores que desejam 
tornar a aprendizagem mais significativa, a realidade mostra o contrário: dados do SAEB 
(2011) indicam que 55% dos alunos não obtiveram êxito no descritor que trata da 
resolução de equações do segundo grau. 
Por outro lado, as atividades propostas pelos educadores seguem em caminhos contrários: 
nas orientações para o trabalho com problemas algébricos é dada ênfase puramente ao 
processo de resolução. Fazer o aluno pensar, questionar, fica em segundo plano, tornando 
estas atividades puramente mecânicas, rotineiras e muitas vezes desinteressantes para o 
mesmo. 
Esse fato que estamos discutindo, para Câmara dos Santos (2010) diz respeito ao 
“fracasso” na aprendizagem do aluno e pode estar relacionado com a falta de 
desenvolvimento do pensamento algébrico. 
O PCN (BRASIL, 1998, p. 64) orienta com relação ao ensino da álgebra, que esse deve 
visar ao desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, por meio da exploração 
de situações de aprendizagem que levem o aluno a: 
• reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações 
sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problemas e 
favorecer as possíveis soluções; 
• traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e 
vice-versa, generalizando regularidades e identificando os significados das 
letras; 
• utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades 
para construir estratégias de cálculo algébrico. 
Ainda sobre o ensino e aprendizagem em álgebra, Lins e Gimenez (1997) apresentam 
uma discussão sobre tendências letristas. 
Alguém que acredite que a atividade algébrica se resumo a um “calculo com 
letras”, pode propor o que para sala de aula? Talvez adote, seguindo algumas 
péssimas ideias encontradas em propostas para educação aritmética, a prática 
de utilizar a “sequência” técnica (algoritmo)/prática (exercícios) (LINS; 
GIMENEZ, 1997, p. 105). 
 
 
170 Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.21, n.5, 162-176, 2019 
No tocante a essa discussão, os autores afirmam: “com toda franqueza, isso é praticamente 
tudo que encontramos na quase total maioria dos livros didáticos que estão disponíveis 
no mercado brasileiro” (LINS E GIMENEZ, 1997, p.105). 
Para as equações do segundo grau, Pernambuco (2012, p.103) apontam que utilizar 
apenas a aplicação direta da fórmula de Bhaskara, termina provocando, nos estudantes, 
dificuldades posteriores. Assim, os alunos acabam tomando o método de resolução de 
Bhaskara como um único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver 
o problema. 
No que concerne a resolução das equações do segundo grau, as recomendações dos 
documentos aos estudantes passam pela ação didática do professor, que deve incentivar 
os estudantes a resolverem as equações utilizando a fatoração e o processo de completar 
quadrados, os quais, além de serem métodos eficazes, podem dar significados à fórmula 
de Bhaskara, que somente deverá ser apresentada aos estudantes no ensino médio 
(PERNAMBUCO, 2012, p. 103). 
Procuramos a seguir apresentar a abordagem metodológica e, na sequência, a análise dos 
dados. 
Abordagem Metodológica 
Para auxiliar a nossa pesquisa e responder o objetivo, optamos por uma abordagem 
qualitativa de cunho etnográfico. Para Ludke e André (1986), a pesquisa qualitativa tem 
o ambiente natural como fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal 
instrumento. Acrescentam ainda que a pesquisa qualitativa supõe o contato direto e 
prolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que está sendo investigada. 
Participaram do nosso estudo um professor de matemática e seus respectivos alunos do 
9º ano do ensino fundamental de uma escola pertencente à rede pública da cidade de 
Pesqueira, interior de Pernambuco (ALMEIDA, 2016). 
A investigação foi desenvolvida em três momentos, o primeiro momento, a filmagem de 
nove aulas e no segundo a transcrição, posteriormente, a análise dos dados. Quanto aos 
critérios de análise, construímos em função da literatura (ALMEIDA; BRITO LIMA, 
2013). 
 
Critérios de Análise do Contrato Didático 
 
Expectativa 
O que o professor espera do aluno e o aluno espera do professor, 
em relação ao trabalho na sala de aula (relativo ao saber específico 
que está em cena). 
Quadro 1: Critérios de Análise 
 
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Negociação 
 
É a convenção de uma ou mais pessoas, a qual implica na aceitação 
de certos papéis e obrigações a cumprir por cada uma das partes 
envolvidas, acordo entre parceiros. 
 
Ruptura de contrato 
A ruptura do contrato didático pode ser percebida, por exemplo, 
quando os alunos não atuam da forma esperada pelo professor – 
frente ao saber – ou quando o professor não atua da forma esperada 
pelos alunos. De forma que pode existir uma reclamação por 
algumas das partes. 
 
Renegociação do 
contrato 
Quando há alguma ruptura no contrato didático e, em seguida, uma 
nova regra (explícita ou implícita) é negociada. Quando, embora 
não havendo claramente uma ruptura, é estabelecido um 
redirecionamento do jogo didático. 
 
 
Regras Explícitas e 
Implícitas 
As regras explícitas são claras, expressas sem ambiguidade pelas 
partes em questão no jogo didático. 
As regras implícitas, são aquelas que não são explicitamente 
formuladas por um dos parceiros (quase sempre, o professor), mas 
que são construídas de forma mais subliminar e, embora implícitas, 
são fundamentais para a condução da relação didática e faz valer o 
contrato didático negociado. 
Fonte: Almeida (2016). 
Análise dos Dados 
Uma primeira questão que apontamos para a análise, diz respeito a negociação do 
professor com os alunos sobre a necessidade de retomar a discussão sobre equação do 
primeiro grau para depois apresentar a equação do segundo grau. Essa negociação, sugere 
a necessidade de uma espécie de passagem entre a equação do primeiro grau para a 
equação do segundo grau. Observe o quadro abaixo e na sequência a análise. 
Quadro 2: Transcrição da aula 
 
Fonte: Os autores 
É possível perceber, que o professor procura negociar com os alunos, mais 
explicitamente, a importância de retomar alguns conceitos de equação do primeiro grau 
para poder na sequência apresentar a equação do segundo grau. Por outro lado, 
implicitamente, ele passa a impressão que existe relação entre os conceitos das duas 
equações,ou seja, pode existir conceitos que são comuns. Na sua fala podemos perceber: 
(P): A gente vai tentar trazer o conceito, apresentar ele (...). Para poder falar de 
equação e equação do segundo grau, eu vou propor o seguinte para gente. Vamos 
relembrar um pouquinho do que vimos no ano passado. Não é? Sobre equações (...) 
Por exemplo, equação do primeiro grau, como é que aparece a definição de equação 
do primeiro grau, toda equação que se pode escrever na forma, aí aparece aquela 
estrutura algébrica ax + b = 0, aí vem com a e b pertencentes aos reais. Então foi a 
partir desse momento que vocês começaram a estudar a equação, a estrutura dela. A 
estrutura algébrica. Então, a gente tem que voltar um pouquinho para falar de equação 
do segundo grau. Volto um pouquinho para lembrar a definição de alguns conceitos 
desses... 
 
172 Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.21, n.5, 162-176, 2019 
“vamos relembrar um pouquinho do que a gente viu o ano passado (...), a gente tem que 
voltar um pouquinho para depois falar de equação do segundo grau. Volto um pouquinho 
para lembrar a definição de alguns conceitos desses (...)”. É possível inferir que procura 
iniciar com a equação do primeiro grau, para depois introduzir a equação do segundo 
grau, aponta para uma regra implícita de contrato: o ensino das equações do segundo grau 
deve acontecer não a partir de uma ruptura com os conceitos da equação do primeiro grau, 
mas através de uma continuidade desses conceitos. De forma semelhante, é necessário 
primeiro ter acesso aos tipos de tarefas das equações do primeiro grau para depois avançar 
na direção das equações do segundo grau. 
O quadro 3, trata da negociação do conceito de equação. 
O professor procura negociar, explicitamente, com seus alunos o conceito de equação, 
observe sua fala “o que é uma equação?”, no entanto, o aluno aponta para outro caminho, 
fala “Ah eu só lembro o que é incógnita...” e faz surgir um elemento conceitual que o 
professor não esperava, associado ao conceito de equação. Esse posicionamento do aluno, 
que sugere uma ruptura, obriga o professor a “reorganizar a situação didática”, com 
intuito, em fazer os alunos continuarem no jogo didático. Assim, com a reorganização, 
vão aparecendo outros conceitos sobre equação. 
Quadro 3: Transcrição da aula 
 
Fonte. Os autores. 
 
Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.21, n.5, pp. 162-176, 2019 173 
Para chegar ao conceito de equação, o professor promove um diálogo sobre expressão 
algébrica, expressão literal, coeficientes, incógnita e a igualdade. Por fim, de forma 
explícita, fala que “a gente começa por aí para chegar a equação do segundo grau, o 
caminho é o mesmo, a gente tem que relembrar o que é uma expressão, nesse caso aqui 
seria uma sentença. Mas o que está faltando para isso aqui ser uma equação?”. Diante 
do questionamento o aluno responde: “a igualdade dos termos”. Essa negociação 
dialogada com os alunos mostra claramente uma tentativa de divisão de responsabilidade, 
bem como colocar os alunos no jogo didático. 
A aula vai seguindo e outras negociações vão emergindo na relação didática. Então, o 
professor apresenta uma equação x² + 49 = 0 e convida um aluno para resolver. Observe 
abaixo o diálogo do professor com os alunos. 
Quadro 4: Transcrição da aula 
 
Fonte: Dados da pesquisa. 
Encontramos na resolução das equações estratégias que foram utilizadas de forma 
repetitiva, e parece estar sendo cristalizada, gradativamente, durante as aulas. Essa forma 
costumeira da resolução está ligada ao hábito que o professor tem de resolver as equações. 
Assim, defendemos que a cristalização das estratégias de resolução, o hábito do professor 
constrói uma ideia de núcleo duro do contrato didático, observamos que em resolução 
(P): Alguém quer arriscar? 
(A1): Passa o “c” para o outro lado... 
(P): O “c” que você fala seria igual a menos quarenta e nove... 
(A1): E tira a raiz quadrada... 
(P): Tira a raiz quadrada? Então ficaria no caso x ao quadrado igual a 49... 
(A1): x é igual à raiz quadrada de 49, e x é igual 7... 
(P): Pronto? Terminou? 
(A1): Não, tem que colocar o conjunto solução... 
(P): Por que eu vou colocar o conjunto solução aqui nesse caso, alguém sabe? 
(A2): Por que se você fizer menos sete ao quadrado vai dar positivo, porque menos com menos... 
(P): Ah vai dar quarenta e nove também. 
(P): Eu não expliquei a diferença de quando a gente está resolvendo uma situação problema e de quando 
você está resolvendo apenas a equação? Lembram disso? Nesse caso você observa que aqui tá pedindo 
só pra resolver a equação. Não tem um contexto, não tem um problema envolvido, então nesses casos 
você segue direitinho o que pede pra ser feito. Resolver a equação e coloca o conjunto solução... 
Conjunto solução, opa! Qual é o problema aqui? Conjunto solução geralmente nós temos o quê? 
(Als): Zero... 
(P): Nós tínhamos zero na outra não é? A gente até viu porque dava sempre zero. Essa aqui vai dá 
zero também? 
(A2): Não... É o simétrico. 
(P): De onde foi que você tirou isso, que é o simétrico? Agora fiquei curioso. (...) De repente apareceu 
aqui esse comentário de que vai ser o simétrico, será que vai ser o simétrico mesmo? Se for, mas por 
que o simétrico aparece? De onde? Por que a gente fez uma conta aqui e apareceu o sete, de onde vem 
o menos sete? Se for, eu ainda não estou dizendo que é... 
(A2): Por que se você fizer menos sete ao quadrado vai dar positivo, porque menos com menos... 
(P): Ah vai dar quarenta e nove também. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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semelhantes e em momentos diferentes o professor utiliza o mesmo procedimento de 
forma exaustiva. Esse núcleo duro é semelhante à cristalização do contrato, que diz 
respeito, a forma costumeira, o hábito do professor de resolver a equação pelo mesmo 
procedimento matemático. 
No início da transcrição o professor negocia, implicitamente, com os alunos caminhos 
necessários para resolver a equação ax² + c = 0. Essas regras negociadas tratam da 
transposição de termos ou coeficientes, invertendo operações e desenvolver ou reduzir 
expressões. 
Na resolução, em que o aluno fala “x é igual à raiz quadrada de 49, e x é igual 7” e o 
professor pergunta “Pronto? Terminou?”, com intuito de fazer algumas considerações. 
No entanto, os alunos reclamam que ainda falta o conjunto solução, regra de contrato 
instituída em todas as resoluções. Essa atitude dos alunos faz o professor procurar uma 
reorganização contratual, em forma de questionamentos. Os questionamentos seguem 
na direção de comparações sobre situações problemas e resoluções de equações 
descontextualizadas. Esse direcionamento enfoca, em especial, as soluções. 
O professor continua o diálogo com os alunos e surge indícios de uma ruptura de 
contrato no momento em que aponta o conjunto solução com apenas o valor sete. O 
esquecimento do professor coloca em desequilíbrio a relação didática. Observe: 
“Conjunto solução, opa! Qual é o problema aqui? Conjunto solução geralmente nós 
temos o quê? (Als): Zero... (P): Nós tínhamos zero na outra, não é? A gente até viu 
porque dava sempre zero. Essa aqui vai dá zero também?”. Após a possível ruptura, o 
professor procura renegociar a situação didática. Por outro lado, a atitude dos alunos foi 
motivada pelo contrato anterior, em virtude da resolução da equação ax² + bx = 0, em 
que a resolução da equação, encontra sempre um dos valores, o zero como resposta. 
Considerações Finais 
Este artigo procurou analisar as relações contratuais, que emergem da relação didática 
(professor-aluno-saber), numa sala de aula de matemática do 9º ano do ensino 
fundamental, quando o saber algébrico equação do segundo grau a uma incógnita entra 
em cena. 
Os resultados apontam negociações, rupturase renegociações em vários momentos da 
relação didática. No entanto, em alguns momentos é perceptível que existe na relação 
didática algo próximo a uma ruptura, que entendemos como uma ruptura branda, essa 
 
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ruptura não precisaria uma renegociação clássica e, sim, uma reorganização do contrato 
didático. Por outro lado, encontramos também, algo que a literatura não apresenta, e que 
está relacionado a resolução da equação propriamente dita, uma espécie de núcleo duro 
de contrato. Defendemos a ideia de núcleo duro, porque em resolução semelhantes e em 
momentos diferentes é utilizado o mesmo procedimento de forma exaustiva. Esse núcleo 
duro é semelhante à cristalização do contrato, que diz respeito, a forma costumeira, o 
hábito do professor de resolver a equação pelo mesmo procedimento matemático. 
Alertamos a necessidade de aprofundar estudo nessa perspectiva. 
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