Funções Matemáticas

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FUNÇÕES
Função Afim
Exemplos
y = 2x
linear
y = 2x+4
y = 2
constante
y = ax + b
Coeficiente angular "a"
a = tg α
O que é
isso?
Também chamada de
função do 1º grau, é uma
função f : ℝ→ℝ, definida
como f(x) = ax + b, sendo
a e b números reais
Para que
serve
Para analisar
variações lineares
Raiz x = -b/a
EXPONENCIAL
funcão de R em R, que é
obtida pela lei de formação
f(x) = a^x, em que “a” é um
número real dado, a > 0 a ≠
1.
LOGARÍTMICA
Toda função definida
pela lei de formação f(x)
= logax
com a ≠ 1 e a
> 0
Onde é a base e o
logaritmando
a x
Bijetora
PROPRIEDADES
IM=r
D=R
Gráficoscrescente
F
decrescente
F
Nesse tipo de função o domínio
é representado pelo conjunto
dos números reais maiores que
zero e o contradomínio, o
conjunto dos reais.
então
y = x
identidade
Gráfico Crescente
Decrescente
A função bijetora, também chamada de bijetiva, é um
tipo de função matemática que relaciona elementos de
duas funções.
Desse modo, os elementos de uma função A possuem
correspondentes em uma função B. Importante notar
que elas apresentam o mesmo número de elementos
em seus conjuntos.
Vale notar que a
função bijetora
sempre admite uma
função inversa (f -1).
Ou seja, é possível
inverter e relacionar
os elementos de
ambas:
A função bijetora recebe
esse nome pois ela é
injetora e sobrejetora ao
mesmo tempo. Em outras
palavras, uma função f: A
→ B é bijetora quando f é
injetora e sobrejetora
O domínio da função exponencial
são os números reais, e o
contradomínio são os números
reais positivos diferentes de zero.
A sua lei de formação pode ser
descrita por f(x) =ax, em que a é
um número real positivo diferente
de 1.
imagem em R*+ que o
conjunto dos números
reais positivos e sem
o zero.
Logaritmo de um
produto
Logaritmo de
um quociente Logaritmo de uma
potência
Em qualquer base, o
logaritmo do produto de
dois ou mais números
positivos é igual à soma
dos logaritmos de cada
um desses números.
Exemplos
Considerando log 2 = 0,3
e log 3 = 0,48, determine
o valor do log 60.
log 60 = log 2 + log 3 + log 10
log 60 = 0,3 + 0,48 + 1
= 1,78
Em qualquer base, o
logaritmo do quociente de
dois números reais e
positivos é igual à diferença
entre os logaritmos desses
números.
exemplos
Considerando log 5 =
0,70, determine o valor
do log 0,5.
Em qualquer base, o
logaritmo de uma potência
de base real e positiva é
igual ao produto do expoente
pelo logaritmo da base da
potência.
exemplos
Considerando log 3
= 0,48, determine o
valor do log 81.
log 81 = log 34
log 81 = 4 . log 3
log 81 = 4 . 0,48
log 81 = 1,92
log 60 = log (2.3.10)
Funções
Trigonométricas
Função Seno
Função
Tangente
Função
Cosseno
f(x) = sen(x)
A função seno é uma
função periódica que
possui imagem dentro
do intervalo [-1, 1], isto
é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde
x é um número real.
f(x) = cos(x)
A função cosseno
também é uma função
periódica que possui
imagem no intervalo [-
1, 1], isto é, para um x
real -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
f(x) = tan(x)
A função tangente para um
número real x é a razão
entre o seno e o cosseno
desse número. É uma
função ilimitada, ou seja,
não é limitada por um
intervalo como as funções
seno e cosseno, mas é
periódica.
Gráficos das
Funções
Seno 
Cosseno 
Tangente 
O período é a curva
do gráfico no intervalo
0 a 2π, e é chamado
de senoide. Então, o
período do seno é 2π.
O período é a
curva do gráfico no
intervalo 0 a 2π, e
é chamado de
cossenoide. Então,
o período da
função é 2π.
O período da função
é π.
No círculo trigonométrico a função seno tem
sinal positivo nos quadrantes I e II e sinal
negativo nos quadrantes III e IV.
Considerando uma volta completa no ciclo. 
No círculo trigonométrico a função cosseno
tem sinal positivo nos quadrantes I e IV e
negativo nos quadrantes II e III.
Considerando uma volta completa no ciclo. 
No círculo trigonométricoa função
tangente tem sinal positivo nos
quadrantes I e III e negativo nos
quadrantes II e IV. Considerando
uma volta completa no ciclo.
As funções
trigonométricas são
funções angulares
obtidas através do
auxílio do círculo
trigonométrico.
Função
Quadrática:raízes e vertices
O 
 é representado por uma
gráfico de uma função do 2º
grau
Parábola.
Se , então a
concavidade é
para cima
a > 0
Se , então a
concavidade é
para baixo
a < 0
Raízes: é onde o
grafico intercepta
o eixo x.
Vértices: é o ponto
máximo ou minimo
da função.
. Como ela “comanda” o resultado
encontrado na variável y, então o
conjunto A é “dominante” e é
chamado de Domínio
As funções do 2º grau, assim como
qualquer função, possui domínio,
contradomínio e imagem. A variável
independente pode assumir
qualquer valor entre os elementos do
conjunto A.
x
Domínio, contradomínio e
imagem
Por sua vez, 
 pode assumir
qualquer valor entre os elementos
do conjunto B; assim, esse
conjunto recebe o nome de
a variável
independente
Contradomínio.
Por fim, todos os elementos do
conjunto B que são imagem de
algum elemento do conjunto A
são chamados de Imagem.
Ou 
 é expressa
como f(x) = ax² + bx + c
ou y = ax² + bx + c.
Lembrando que: os
coeficientes a, b e c são
numeros reais e o 'a'
deve ser diferente de
zero.
função polinomial
do 2ª grau,
Definição
Uma função do 2º grau pode ser classificada como
completa se todos os seus coeficientes (a, b e c )
forem diferentes de 0. Exemplos: f(x) = 2x² + 2y+ 1 ,
onde a = 2, b = 2 e c = 1
Mas também, ela pode ser classificada como
incompleta: se um dos coeficientes b ou c,
forem iguais zero. Exemplos: f(x) = 2x² + 2 ,
onde a = 2, b = 0 e c = 2
Cálculo da função do 2º
grau
Para resolver uma equação do segundo grau
utilizando a fórmula de Bhaskara; sua
fórmula: .Δ = b2 – 4. ac
Assim, se a função terá
duas raízes reais e distintas; se 
, a função não terá uma raiz
real ; se , a função terá duas
raízes reais e iguais .
Δ > 0
Δ
< 0
Δ = 0
Passo a passo de como
calcular: 1º - separar os
coeficientes.
2º - calcular o
discriminante
3º - calcular as raízes,
valores de x.
Função
Incompleta e
Completa
Gráfico
Cálculo do
vértice
Para , usamos a
seguinte formula: 
De acordo com ( ) é possível
prever em quantos pontos o eixo x
será interceptado:
calcular o vertice
Δ delta
Modular-módulo
de um número
real não
negativo.É
representado
pela letra k;onde
k>=0. Se o valor
de k for
negativo, a
solução será
invalida.
A função exponencial é injetora. Dados x1
e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens
também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠
f(x2), o que significa que, para cada valor
da imagem, existe um único valor no
domínio que corresponde a essa imagem.
Ser injetiva significa que, para valores
diferentes de y, existirá um único valor de x
que faz com que f(x) seja igual a y.
As propriedades
1ª propriedade: todo
número elevado a 0 é
igual a 1
Como a função
exponencial também
abrange o conceito de
potenciação, é
necessário seguir
suas propriedades.
Essa primeira citada,
que diz que todo
número elevado a 0 é
igual a 1, é uma das
principais bases da
potenciação, sendo de
extrema importância o
conhecimento dela.
2ª propriedade: uma
função é considerada
crescente se a > 1
Considere ax . Todas
as vezes que “a” for
maior do que 1,
independentemente
do valor de “x”, essa
propriedade diz que a
função exponencial é
crescente.
3ª propriedade: se a < 1,
então temos uma função
decrescente
A explicação para as
funções exponenciais
decrescentes é parecida
com aquela das
crescentes; o que muda
é o intervalo do qual “a”
faz parte. Para as
funções decrescentes,
avalia-se 0 < a < 1, ou
seja, “a” fica entre o
número 0 e o número 1.
Nas próximas
propriedades você verá
que uma função desse
tipo não pode ser menor
que 0.
4ª propriedade: se
uma função é
apresentada como
ax1 = ax2, então x1 =
x2
Sempre que houver
um sinal de igual
entre as potências é
porque os expoentes
possuem o mesmo
resultado. Essa
propriedade acontece
quando o “a”, ou seja,
a base da função, é: a
> 0 ou a ? 1.
5ª propriedade:
independentemente de
serem crescentes ou
decrescentes, as
funções nuncaencostam
no eixo x do gráfico, ou
seja, na linha horizontal
Na função exponencial,
é definido que toda base
da potência, ou seja, o
número que antecede o
expoente, é maior do
que 0. Com base nessa
definição, pode-se
concluir que no plano
cartesiano os valores
nunca serão negativos
Conceito
Função composta
A função composta é a
relação de mais de duas
grandezas através de uma
mesma função.
Função Inversa
Só ocorre com
função bijetora
Uma função é dita inversa
quando, e somente quando,
f(m) = n equivaler a g(n) = m
Raiz ou zero de uma
função
São todos os elementos do
primeiro conjunto cuja
imagem é zero
É uma correspondência entre dois
conjuntos, de forma que todos os
elementos do primeiro tenha um único
correspondente no segundo
Domínio
Conjunto de partida
De acordo com a
posição da variáve
Variável no radicando de
um radical de índice par:
x maior ou igual a zero
Variável no denominador:
x diferente de zero
Variável no radicando de um
radical de índice par no
denominador:
x maior que zero
Imagem
Conjunto dos
elementos que
obteve
correspondência
com os elementos
do domínio.
Contradomínio Conjunto dechegada
Qualidade de
uma função
Sobrejetora
O conjunto
imagem é igual
ao conjunto
contradomínio
Bijetora
A função é
injetora e
sobrejetora ao
mesmo tempo
Injetora
Para quaisquer
elementos diferentes do
primeiro conjunto
correspondem
elementos distintos do
segundo conjunto
A concavidade dessa
parábola pode ser para cima
ou para baixo, dependendo
do valor de a
 Se , a função tem duas
raízes reais distintas e a parábola
intercepta o eixo x em dois pontos
diferentes; Se , a função tem
duas raízes reais iguais e a parábola
é tangente ao eixo x; Se , a
função não tem raízes reais e a
parábola não intercepta o eixo x;
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
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