RESOLUÇÃO Atividade Pratica - GEOMETRIA ANALITICA

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RESOLUÇÃO:
Nesse caso temos um caso onde vamos usar a soma de um produto por um escalar. Nosso produto é;
U= 4i – 2j = (4,-2)
V= -3i + 5J = (-3,5)
Os escalares vão ser o 3 e 2 da formula.
|3u + 2v|
Agora basta usarmos os dados que a equação nos da e fazer a resolução da soma do vetor por um escalar que será da seguinte forma.
U= 4i – 2j = (4,-2)
V= -3i + 5J = (-3,5)
3u + 2v = 3. (4,-2) + 2. (-3,5)
3u + 2v = (12, - 6) + (-6,10)
3u + 2v = (6, 4) 
Chegamos no valor de um produto por um escalar que é; 3u + 2v = (6, 4). Porém o exercício pede o modulo | | da soma do |3u + 2v|, como já obtivemos o valor de produto por escalar 3u + 2v. Vamos apenas descobri o modulo através dos valores obtidos da soma desses produtos (6, 4). Que ficara da seguinte forma:
Então chegamos ao final da equação.
Quando se trata da equação da reta geralmente o que eles desejam é que identificamos quais os respectivos valores de a e b.
Talvez você se pergunte mas ele já me deu os valores de A e de B. provavelmente você não está errado, porém não são valores sim coordenadas do eixo (x,y). E através dessas coordenadas que você vai conseguir descobrir os valores correspondente e achar a equação da reta.
Como fazer? Muito simples!
Mãos à obra...
Passo 1
Substituir na equação reduzida da reta as respectivas coordenadas do eixo (x,y). Lembrando que devemos fazer isso tanto para o ponto A como para o ponto B.
O ponto A nos da as seguintes coordenadas;
A= (8, 12) 
Ou seja aqui temos.
A= (x, y)
Agora pegamos a equação reduzida da reta e substituímos os repectivos valores de x, y. Vamos lá?
A= (8, 12) 
y = ax + b
12 = a.8 + b
Temos uma regra básica em que letras sempre ficara no lado esquerdo de qualquer equação então vamos deixa-la dessa forma.
8.a + b = 12
Aqui chegamos a substituição da coordenadas do ponto A, agora so fazer o mesmo para as coordenadas do ponto B. 
Então temos o ponto B.
B = (6, 0)
y = ax + b 
0 = a.6 + b
6.a + b = 0 
Então agora temos as coordenadas estabelecidas do ponto A e B.
A= 8.a + b = 12
B= 6.a + b = 0 
Para descobrir o valor de a na equação basta fazermos uma subtração de uma pela outra.
Como fazer? Pegamos o ponto que apresenta os menores valores e multiplicamos por -1, para fazer essa conta ficar negativa. Como assim? 
Nesse caso pegamos o ponto B.
6.a + b = 0 x (-1).
-6.a – b = 0
Agora fazemos a subtração.
8.a + b = 12
-6.a – b = 0
_____________
2.a = 12
a = 6
Achamos os valores de a. Para encontrar b podemos escolher qualquer uma das substituição do ponto A ou B. feito no inicio.
A= 8.a + b = 12
B= 6.a + b = 0 
Tanto faz. Mas vamos usar essa; B= 6.a + b = 0 
6.a + b = 0 como já sabemos o valor de a vamos apenas substituir.
6.a + b = 0
6.6 + b = 0
36 + b = 0 
(-36) + 36 + b = 0 (- 36)
 b = -36
A equação ficaria da seguinte forma
y = ax + b 
y = 6.x -36
Porem nesse caso o que a questão sugere que descobrimos a soma de a e b. 
Sabemos que a = 6 e b= -36. Temos 
a + b = 6 +(-36)
a + b = 6 -36
a + b = 30
 
É isso ai galera
Galera muito fácil não tem nem o que fazer direito, mas vamos lá vocês podem achar que estou louco...
Temos duas retas:
r = (3, -1,t)
s = ( t, t -3, 3-2t )
E ai o que fazer?
1º passo.
Vamos encontrar os vetores diretores de r e de s.
Bem simples vamos pegar as coordenadas de cada reta, identificar os números que acompanha (t) caso não tenha t ele assume o valor de zero. Então fica assim.
r = ( 3, -1, t) vetor diretor é r = ( 0, 0, 1).
s = (t, t -3, 3 -2t) vetor diretor s = (1, 1, -2).
Observações;
No primeiro caso não tínhamos t nas coordenadas x, y, então ficaram zero e em z tinha t porem nenhum número acompanha então assume o valor de 1.
No segundo caso temos t em x, z, y, por isso nenhum número assume o valor zero. Ai você pergunta mas tanto para y e z temos o 3, sim porem eles não acompanham t, sim subtrai o adiciona então nesse caso é desprezível.
2º passo 
Como se trata de 2 retas temos que fazer o produto interno entre as retas através do vetor diretor obtidos. Ou seja usar a matriz.
 0i + 1j + 0k – 0j – 1i – 0k = (-1,1,0)
3º passo
Basta usarmos a equação de uma reta vetorial.
(x,y,z) = Ponto + t (vetor) 
O enunciado nos dá o ponto; P = ( 1, 5, -1)
E descobrimos que o nosso vetor é v = (-1, 1, 0)
basta substituir os valores agora.
(x, y, z) = (1, 5, -1) + t.(-1, 1, 0)
(x, y, z) = (1, 5, -1) + ( -t, t, 0)
(x, y, z) =(1-t, 5+t, -1)
Temos: 
 
Chegamos ao fim dessa.
Galera essa ainda mais fácil do que a anterior, basta substituir os valores na equação geral.
ax + by + cz + d = 0 
o vetor n será nossas variáveis (a, b, c) então onde tiver essas variáveis vamos substituir pelas variáveis do vetor n. ou seja;
n= (-2, 2, 5)
ax + by + cz + d = 0 
-2x + 2y + 5z + d = 0 
O ponto P, porta as coordenadas do nossos eixos (x,y,z), já fizemos a primeira substituição agora basta fazer outra do ponto p agora.
P= (1, 2, 3)
-2.1 + 2.2 + 5.3 + d = 0 
-2 + 4 + 15 + d = 0
17 + d = 0 
d = -17
o que nos faltava era o d então no equação fica.
-2x + 2y + 5z -17 = 0 
Chegamos ao fim 
Essa é um pouco complicada pela falta de dados do enunciado, mas é fácil também. 
Para a temos:
a = 2x + y –z -10 = 0
b = -x + y + 2z + 55 = 0
mais uma vez precisamos encontrar os vetores diretores de a e b, mas dessa vez pegaremos os números que acompanha (x, y, z)
a = u = (2, 1, -1)
b = v = ( -1, 1, 2)
onde nosso a será no vetor u e b será nosso vetor v.
para descobrir o ângulo vamos usar a formula do cosº 
cosº = 0,5
arc cosº = 0,5 = 60 º
ângulo de 60º essa é a resposta 
Questão 6/10
Qual alternativa apresenta a equação geral da circunferência de centro em (3, 5) e raio 2 ?
Para essa basta usar a equação geral da circunferência que é:
 (x – x0)² + (y – y0)² = R² 
O enunciado nos da alguns dados como o x0, y0 e o raio 
X0 = 3
Y0 = 5
R = 2
Agora é só substituir 
(x – 3)² + (y – 5)² = 2² 
Agora é só resolver o sistema 
(x – 3)² + (y – 5)² = 2² 
(x – 3). (x – 3) + (y – 5). (y – 5) = 2²
x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 = 4
x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 – 4 = 0
x² + y² - 6x – 10y + 30 = 0
 E chegamos ao final de mais uma fácil não?
Questão 7/10
Qual das alternativas a seguir representa uma equação de uma esfera de centro na origem e raio 9?
Essa é bem parecido com a outra não vou explicar a única diferença que a esfera tem a variável z.
Mas ficaria dessa forma, mas esta simplificada.
Equação geral da esfera: 
(x - x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = R² 
A origem é no centro, então coordenadas (0,0,0) 
Só trocar os valores 
(x - 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = 9² 
(x - 0). (x - 0)² + (y – 0). (y – 0) + (z – 0). (z – 0)= 9²
x² + y² + z² - 81 = 0
chegamos ao fim de mais uma 
Essa é delica exige mais observação do que calculo mas vamos la?
Vamos analisar o desenho que se obtém nos cortes yz e xz.
 Se queremos o corte yz ( x = 0 ) 
z = √x² + by² 
z = √0² + by² 
z = ± by² 
 Duas retas formando o desenho de um X, mas como o enunciado diz, somente pegaremos a parte positiva, formando o desenho de um V Se queremos o corte 
xz ( y = 0 ) 
z = √x² + by² 
z = √x² + b0² 
z = ± x² 
 Duas retas formando o desenho de um X, mas como o enunciado diz, somente pegaremos a parte positiva, formando o desenho de um V Portanto o desenho formado é um cone.
Essa é complexa e necessário um raciocínio logico para conseguir responder.
Mais uma que necessita de raciocínio logico, basta observar as coordenadas dos eixos (x, y, Z), podemos analisar que todas as suas coordenadas têm início na origem, e nos dá na equação o 16, para descobrir basta fazer a operação inversa da potência que é a raiz, em termos teria então chegado ao fim do nosso problema.
Todos têm início na origem (0, 0, 0) e a raiz de 16 é 4 então teríamos o raio como 4.
Algebricamente teríamos 
Equação geral da esfera:
 (x - x0)² + (y – y0)² + (z – z0)² = R²
 (x – 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = 2²
 É uma esfera com origem no centro (0, 0, 0) e tem raio 4.
So falta mais uma 
Essa é tranquila basta pegar a equação do plano e substituir os valores 
Equação geral de um plano (x,y,z) = Ponto + t1 (vetor 1) + t2 ( vetor2)
 Portanto é só mudar os valores 
(x,y,z) = (0,0,0) + t1 (1,2,4) + t2 (0,5,2) 
(x,y,z) = (0,0,0) + (t1, 2t1, 4t1) + (0, 5t2, 2t2)
(x,y,z) = (t1, 2t2 + 5t2, 4t1 + 2t2)
Então teremos como resposta 
(x,y,z) = (0,0,0) + t1 (1,2,4) + t2 (0,5,2) 
Importante galera tanto t1 e t2 são números reais.