AULA 5 FLUXO E LEI DE GAUSS E EXERCICIOS

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LEI DE GAUSS
Prof. Evandro Giuseppe Betini
Lei de Gauss 
• Linhas de campo
• O Fluxo de um Campo
• Fluxo Elétrico
• A Lei de Gauss 
• Exemplos da aplicação das simetrias na Lei de Gauss
• Exercícios
• Resolução de alguns exercícios
• Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força.
• Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em
cada ponto do espaço.
Linhas de força
Convenção: as linhas de força são mais próximas
nas regiões nas quais o módulo do campo
elétrico é maior.
Exemplos de linhas de força
Cargas isoladas
Dipolo
Fluxo de um fluido
V Av t
Av
t t
 
 = = =
 
Em um fluido:
O fluxo de um fluído por uma superfície é o volume de 
fluído que atravessa esta superfície por unidade de 
tempo.
Fluxo de um campo
Fluxo Elétrico
Fluxo Elétrico
Lei de Gauss e Equações de Maxwell
Lei de Gauss 
Condutores e Isolantes
Lei de Gauss: 
Exemplos 
A Lei de Gauss é útil em situações em que a
simetria permite o uso de superfícies
gaussianas convenientes, que facilitam a
determinação do campo elétrico. A seguir,
alguns exemplos simples.
Exemplo 1: Carga Pontual - Lei de Coulomb
Considere uma carga pontual e uma superfície Gaussiana esférica ao seu redor.
Exemplo 2: Linha de Carga Infinita
Considere uma linha de carga infinita, como na Fig
2.10. Nesse caso, o problema tem simetria cilíndrica,
já que todos os pontos a uma distância r da linha de
carga são equivalentes. Considerando a superfície
gaussiana mostrada na figura e aplicando a Lei de
Gauss, temos:
q = λ.h 
Exemplo 3: Superfície Condutora
q = σ . A
Exemplo 4: Placa Isolante
EXERCÍCIOS
1) A Figura mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cilindro de
raio R imersa em um campo elétrico uniforme Ê, com o eixo do cilindro
paralelo ao campo. Qual é o fluxo φ do campo elétrico através dessa
superfície fechada?
2) A Figura mostra cinco pedaços de plástico eletricamente carregados e uma
moeda neutra. A figura mostra também uma superfície gaussiana S vista de
perfil. Qual é o fluxo elétrico que atravessa a superfície S se q1 = q4 =+3,1 nC,
q2 = q5 = -5,9 nC e q3 = -3,1 nC?
EXERCÍCIOS
3) O cubo gaussiano que aparece na Fig. está submetido a um campo elétrico
não uniforme dado por Ê = 3,0x i + 4,0j , com E em newtons por coulomb e x
em metros. Qual é o fluxo elétrico na face direita, na face esquerda e na face
superior do cubo?
Solução:
Ê = 3,0x i + 4,0j
• Para o fluxo elétrico na face direita:
Sendo que o 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴𝑖
𝜑 = න𝐸 . 𝑑𝐴 = න(3,0x i + 4,0j) . 𝑑𝐴𝑖
𝜑 = ׬ (3,0x i + 4,0j) . 𝑑𝐴𝑖= ׬ 3,0x 𝑖 . 𝑑𝐴𝑖 + ׬ 4,0j . 𝑑𝐴𝑖
𝜑 = න 3,0x 𝑑𝐴 + 0 → 𝜑 = 3,0𝑥 න𝑑𝐴 = 3,0. (3,0)න𝑑𝐴
A . B = |A|.|B|. Cos θ
i.(-i) = 1. 1 . Cos 180 = -1
i.J = 1.1 .cos 90° = 0
𝜑 = න 3,0x 𝑑𝐴 + 0 → 𝜑 = 3,0𝑥න𝑑𝐴 = 3,0. 3,0 න𝑑𝐴
Sendo ׬𝑑𝐴= Área da face do cubo. Se aresta vale 2 então A=4 m²
𝜑 = න 3,0x 𝑑𝐴 + 0 → 𝜑 = 3,0𝑥න𝑑𝐴 = 3,0. 3,0 𝐴 = 9
𝑁
𝐶
. 4 𝑚2
𝜑𝑑 = 36 𝑁.
𝑚2
𝐶
• Para o fluxo elétrico na face esquerda: Sendo que o 𝑑𝐴 = −𝑑𝐴𝑖
𝜑 = න𝐸 . 𝑑𝐴 = න(3,0x i + 4,0j) . −𝑑𝐴𝑖
𝜑 = ׬ (3,0x i + 4,0j) . 𝑑𝐴𝑖= ׬ -3,0x 𝑖 . 𝑑𝐴𝑖 + −׬ 4,0j . 𝑑𝐴𝑖
𝜑 = න -3,0x 𝑑𝐴 + 0 → 𝜑 = −3,0𝑥න𝑑𝐴 = −3,0. (1,0)න𝑑𝐴
𝜑 = −3,0 . 𝐴 = −3,0. (4) = -12 𝑁.
𝑚2
𝐶
→𝜑 = 12 𝑁.
𝑚2
𝐶
Para o fluxo elétrico na face superior:
Sendo que o 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴𝑗 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑦
𝜑 = 𝐸׬ . 𝑑𝐴 = ׬ (3,0x i + 4,0j) . 𝑑𝐴𝑗=
׬ (3,0x i + 4,0j) . 𝑑𝐴𝑗= ׬ 3,0x 𝑖 . 𝑑𝐴𝑗 + ׬ 4,0j . 𝑑𝐴𝑗 =
׬+0 4,0j . 𝑑𝐴𝑗 = ׬ 4,0𝑑𝐴 = 4,0 ׬ 𝑑𝐴= 4,0. A = 4,0 . 4,0 
𝜑 =16 𝑁.
𝑚2
𝐶
4) 
Solução:
a) Simetria esférica usaremos a superfície 
gaussiana. Para p1 e r1:
𝐸׬ . 𝑑𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
𝜀0
Lei de Gauss
𝜀0 𝐸ׯ . 𝑑𝐴 = 𝜀0 𝐸ׯ 𝑑𝐴 cos 0° = 𝜀0𝐸 𝑑𝐴ׯ
Sendo a área da casca esférica é dada por 
A=4πr², então ׯ𝑑𝐴= 4πr²
Portanto, 𝜀0𝐸4πr² = 𝑞𝑒𝑛𝑣
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
4πr²𝜀0
= 
𝑞
4π𝑟1²𝜀0
=
5.𝑒
4π(6 cm)²𝜀0
=
Substituindo
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
4πr²𝜀0
= 
𝑞
4π𝑟1²𝜀0
=
5.𝑒
4π(6 cm)²𝜀0
=
5.(1,6.10−19 𝐶)
4π(0,06 m)²(8,85 .10−12 𝐶
2
𝑁𝑚2
)
𝐸 = 2,00. 10−6𝑁/𝐶
b) Simetria esférica usaremos a superfície gaussiana. Para p2 e r2:
𝐸׬ . 𝑑𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
𝜀0
Lei de Gauss
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑞 + 𝑄 = 5𝑒 + −16𝑒 = −11𝑒
𝜀0 𝐸ׯ . 𝑑𝐴 = 𝜀0 𝐸ׯ 𝑑𝐴 cos 180° = 𝜀0𝐸 𝑑𝐴−ׯ sendo ׯ𝑑𝐴= 4πr²
𝜀0𝐸(−4πr²)= 𝑞𝑒𝑛𝑣 então, 𝐸 =
−𝑞𝑒𝑛𝑣
4πr²𝜀0
𝐸 =
−𝑞𝑒𝑛𝑣
4πr²𝜀0
= 
−(−11𝑒)
4π𝑟2²𝜀0
=
11.1,6.10−19 𝐶
4π(12 cm)²𝜀0
=
E=
11.1,6.10−19 𝐶
4π(0,12 m)²(8,85 .10−12 𝐶
2
𝑁𝑚2
)
= 1,10. 10−6 𝑁/𝐶
5) 
λ = 𝑄/𝐿
𝐸 =
λ
2π𝜀0𝑅
𝐸 =
𝑄/𝐿
2π𝜀0𝑅
Q= 2π𝜀0RL 𝐸
𝐸 =
𝑄/𝐿
2π𝜀0𝑅
Q= 2π𝜀0RL 𝐸