Vetores no Plano: Caracterização e Operações

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1 
 y 
 P (x1, y1) 
 
 
 u 
 
 
 
 x 
 O (0,0) 
5 - VETORES 
 
5.1- Caracterização 
 Um vetor pode ser entendido como uma estrutura de dados formada por um conjunto 
de valores ou outros elementos de um mesmo tipo ou uma mesma estrutura. 
Simbolicamente, denotamos vetores por letras minúsculas em negrito (por exemplo, a, v), 
ou sobrescritos por uma seta (por exemplo, a , v ). 
Usamos a notação de matriz-coluna 











z
y
x
 v ou a identificação v = (x, y, z), para 
denotar os elementos de um vetor qualquer v. 
Um vetor pode ter uma ou mais dimensões. Uma matriz linha (1 x n) ou uma matriz 
coluna (n x 1) é um vetor de dimensão n. 
Exemplo 1: 
u = [ 1 2 -1 0] é um vetor de dimensão 4 com 4 elementos. 
v = 











2
5
1
 é um vetor de dimensão 3 com 3 elementos. 
w = 
















na
a
a
a
...
3
2
1
 é um vetor de dimensão n com n elementos. 
 
5.2 - Representação Geométrica: Vetores no Plano 
Geometricamente, os vetores são grandezas com direção, sentido e intensidade, 
podendo ser representados como segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaços bi 
e tridimensionais. Onde a ponta da flecha é a extremidade do vetor e indica a direção e o 
sentido deste. A intensidade é medida pelo comprimento da flecha. 
Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B, então escrevemos AB v  . 
 
 
Considere o vetor bidimensional 






1
1
y
x
 u , em que 1x e 1y são números reais. 
Ao vetor u = OP associamos o segmento de reta orientado com o ponto inicial na 
origem O (0, 0) e o ponto final em P (x1, y1). 
 
 
 
 
 
representar o vetor 






5
4
 u no Exemplo 2: Podemos 
 2 
 y 
 
 
 5 P 
 
 u 
 
 
 x 
 O 4 
 u 
 v 
 
 
 
w 
 
 w 
 
 v v + w 
 w + v v 
 
 
 w 
plano pelo segmento de reta orientado OP com ponto final em P (4, 5). Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores com mesmo comprimento, direção e sentido são ditos equivalentes, mesmo 
quando localizados em posições diferentes. Se v e w são vetores equivalentes, escrevemos: 
 
w v  
 
Os vetores u, v e w representados a seguir são equivalentes. 
 
 
 
 
 
5.3 – Operações 
As operações com vetores são realizadas de maneira análoga as operações com 
matrizes. 
 
Observe na ilustração a seguir que v + w = w + v e que esta soma coincide com a 
diagonal do paralelogramo determinado por v e w quando estes vetores são posicionados com 
o mesmo ponto inicial. 
 
 
 
 
 
 
Na prática, para realizar a soma de dois vetores procedemos de maneira idêntica à 
soma de matrizes, ou seja, somamos os elementos correspondentes de cada vetor. 
Exemplo 3: 
Sejam v =










 2
4
0
 e w = 










2
3
1
. 
 
Vamos determinar o vetor u = v + w : 
 
Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o vetor v + w 
determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal maneira que seu ponto 
inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor v + w é representado pela flecha 
do ponto inicial de v ao ponto final de w. 
 
 3 
 
 v 
 
 
 -v 
Definição: Se v e w são dois vetores quaisquer então a diferença de w por v é definida 
por v – w = v + (-w). Para obter a diferença, posicione v e w de tal modo que seus 
pontos iniciais coincidam. O vetor v – w, então, é o vetor do ponto final de w ao ponto 
final de v. 
 
 
 v 
 v – w 
 
 w 
 
 
 v 
 v - w 
 
 w 
 - w 
u =










 2
4
0
+










2
3
1
=













22
34
10
=










0
7
1
 
 
Podemos caracterizar vetor nulo, denotado por 0, como sendo o vetor de comprimento 
zero. Definimos, para cada vetor v: 
 
0 + v = v + 0 = v 
 
 Se v é um vetor não-nulo qualquer, então –v, o negativo de v, é definido como o vetor 
de mesmo comprimento e direção de v, mas de sentido oposto. Este vetor tem a propriedade: 
v + (-v) = 0 
 
Geometricamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Seja o vetor v (2, -1). O vetor oposto a v é w = -v = (-2, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A diferença entre dois vetores é calculada subtraindo os elementos do segundo vetor 
dos elementos correspondentes no primeiro vetor. 
 
Exemplo 5: 
Sejam v =










 2
4
0
 e w = 










2
3
1
. 
 
Vamos determinar o vetor u = v - w : 
 
u =










 2
4
0
-










2
3
1
=













22
34
)1(0
=










 4
1
1
 
 
 4 
Definição: Se v é um vetor não-nulo e k é um número real (escalar) não-nulo, então o 
produto kv é definido como o vetor de mesma direção de v cujo comprimento é |k| 
vezes o comprimento de v e cujo sentido é o mesmo de v se k > 0, e oposto ao de v se 
k < 0. Denotamos kv = 0 se k = 0 ou se v = 0. 
 
 v 
 ½ v 
 (-1)v 
 
 
 2v (-3)v 
 
 Observe a seguir a relação entre um vetor v e os vetores ½ v, (-1)v, 2v e (-3)v. Note 
que o vetor (-1)v tem o mesmo comprimento que v, mas sentido oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um vetor da forma kv é chamado múltiplo escalar de v. Como é possível observar na 
figura anterior, vetores que são múltiplos escalares um do outro são paralelos. 
 Ao realizar o produto kv, todos os elementos de v são multiplicados por k. 
 
Exemplo 6: 
 Sejam v =










 2
4
0
 e k = 5. 
 
 Vamos determinar o vetor u = kv: 
 
u = 5.










 2
4
0
= 










 )2.(5
4.5
0.5
=










10
20
0
 
 
4.4.1 – Propriedades 
 
i) (u + v) + w = u + (v + w) ; 
ii) u + v = v + u ; 
iii) Existe 0  V tal que u + 0 = u, onde 0 é o vetor nulo; 
iv) Existe -u  V tal que u + (-u) = 0 ; 
v) a(u + v) =au + av ; 
vi) (a + b)v = av + bv ; 
vii) (ab)v = a(bv) ; 
viii) 1u = u. 
 
 
5.4 – Vetores e Equações Lineares 
 
Dois importantes conceitos envolvendo vetores, combinações lineares e dependência 
linear, estão estreitamente relacionados com os sistemas de equações lineares. 
 
 
 5 
4.5.1 – Combinações lineares 
 Seja um sistema não homogêneo de m equações com n incógnitas: 
 
bmxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nmnmm
nn
nn



...
...
...
2211
22222121
11212111
 
 
 
 Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial: 
 



























































mmn
n
n
n
mm b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x

2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1 ... 
 
isto é, à equação vetorial 
vuxuxux nn  ...2211 
 
onde u1, u2, ..., un e v são os vetores coluna acima, respectivamente. 
 Se o sistema tem solução, então diz-se que v é uma combinação linear dos vetores ui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Suponhamos 












4
3
2
v , 











1
1
1
1u , 











0
1
1
2u e 











0
0
1
3u . 
 
Então v é uma combinação linear de u1, u2, u3 pois a equação vetorial (ou sistema) 
 











































 0
0
1
0
1
1
1
1
1
4
3
2
zyx  








x
yx
zyx
4
3
2
 
 
tem a solução x = 4, y = 7, z = -1. Em outras palavras 
 
v = -4u1 +7u2 –u3 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Um vetor v é uma combinação linear de vetores u1, u2, ..., un se existem 
escalares k1, k2, ..., kn tais que 
vukukuk nn  ...2211 
isto é, se a equação vetorial 
vuxuxux nn  ...2211 
tem solução, para os xi escalares. 
 6 
4.5.2 – Dependência Linear 
Consideremos um sistema homogêneo de m equações e n incógnitas: 
 










0...
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

 
 
 Este sistema é equivalente à seguinte equação vetorial: 
 



























































0
0
0
...
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1

mn
n
n
n
mm a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x 
 
ou seja, à equação vetorial 
 
0...2211  nnuxuxux 
 
onde u1, u2, ..., un são os vetores coluna acima, respectivamente. 
 
 Se o sistema homogêneo acima tem solução não-trivial, os vetores u1, u2, ..., un dizem-
se linearmente dependentes; por outro lado, se a equação tem somente a solução trivial, os 
vetores dizem-se linearmente independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Verifique se os vetores dados são LI ou LD: 
(a) 











1
1
1
1u , 











0
1
1
2u e 











0
0
1
3u 
Escrevendo a equação vetorial, temos: 
 
0332211  uxuxux  











































0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
321 xxx  








0
0
0
1
21
321
x
xx
xxx
 
 
A única solução desse sistema é x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0. Logo, os três vetores são linearmente 
independentes. 
 
 
Definição: Os vetores u1, u2, ..., um de Rn são linearmente dependentes se existem 
escalares k1, k2, ..., kn, não simultaneamente nulos, tais que 
0...2211  nnukukuk 
isto é, se a equação vetorial 
0...2211  nnuxuxux 
 
tem solução não trivial,onde os xi são escalares não conhecidos. Caso contrário, os 
vetores classificam-se como linearmente independentes. 
 
 7 
(b) 











1
1
1
1u , 











3
1
2
2u e 











3
5
1
3u 
Escrevendo a equação vetorial, temos: 
 
0332211  uxuxux  











































0
0
0
3
5
1
3
1
2
1
1
1
321 xxx  








033
05
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Esse sistema possui solução não trivial (3, -2, 1), isto é, x1 = 3, x2 = -2, x3 = 1. Assim, os três 
vetores são linearmente dependentes. 
 
 
5.5 – Produto Escalar 
 
 
Os vetores u e v são ditos ortogonais (ou perpendiculares) se seu produto escalar é 
zero, isto é, se 0vu . 
 
Exemplo 9: Sejam u = (1, -2, 3, -4), v = (6, 7, 1, -2) e w = (5, -4, 5, 7). Então: 
 
383146)2).(4(1.37).2(6.1  vu 
02815857).4(5.3)4).(2(5.1 wu 
Assim, u e w são ortogonais. 
 
4.6.1 - Propriedades básicas do produto escalar 
 
Para quaisquer vetores u,v, w em Rn e qualquer escalar real k, temos: 
i) wvwuwvu ..).(  
ii) ).().( vukvku  
iii) uvvu ..  
iv) 00.,0.  uuuuu se somente e se e 
 O espaço Rn com as operações de adição vetorial, multiplicação escalar e produto 
escalar é usualmente chamado espaço Euclidiano de dimensão n. 
 
 
 
 
Definição: Sejam u e v vetores de Rn: 
 
),...,,( 21 nuuuu  e ),...,,( 21 nvvvv  
 
O produto escalar, ou produto interno, de u e v, denotado por vu  , é o escalar obtido 
pela multiplicação das componentes correspondentes, somando-se os produtos resultantes: 
 
nnvuvuvuvu  ...2211 
 8 
5.6 – Norma de um Vetor 
 
A definição da norma de um vetor está conforme à de comprimento de um vetor (seta) 
na geometria Euclidiana. 
 
Exemplo 10: Sejam u = (2, 5) e v = ( 3, -12, -4). Vamos determinar a norma de u e v: 
 
2925452 22 u 
13169161449)4()12(3 222 v 
 
 Um vetor é unitário se ||u|| = 1, ou, equivalentemente, se u.u = 1. Se v é qualquer 
vetor não-nulo, então 
||||||||
1^
v
v
v
v
v  
é um vetor unitário de mesma direção que v. ( O processo de determinação de 
^
v é chamado 
normalização de v). 
 
Exemplo 11: Considere o vetor v = ( 3, -12, -4). 
 





 

13
4
,
13
12
,
13
3
||||
^
v
v
v 
 
O vetor 
^
v é o vetor unitário na direção do vetor v. 
 
 
5.7 – Distância, Ângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa definição corresponde à noção usual de distância Euclidiana no plano R2. 
 
Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1, -2, 3) e v = (3, -5, -7). 
 A distância d(u, v) é: 
 
11310094)73()52()31(),( 222 vud 
 
Definição: Seja ),...,,( 21 nuuuu  um vetor de R
n. A norma (ou comprimento) do vetor u, 
||u||, é definida como a raiz quadrada não negativa de u.u: 
 
22
2
2
1 ... nuuuuuu  
 
Como u.u  0, a raiz quadrada existe. Outrossim, se u  0, então ||u|| > 0; e ||0|| = 0. 
 
Definição: Sejam ),...,,( 21 nuuuu  e ),...,,( 21 nvvvv  vetores de R
n. A distância entre u e v, 
denotada por d(u,v), é definida como 
22
22
2
11 )(...)()(||||),( nn vuvuvuvuvud  
 
 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se u e v são vetores não-nulos, é possível determinar o ângulo  entre eles fazendo: 
||||||||
cos
vu
vu 
 
 
Exemplo 13: Considere os vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 1, 2). Determine o ângulo  entre u 
e v. 
 
Primeiramente devemos calcular u.v: 
32.11).1(1.2 vu 
 
Agora vamos determinar a norma de u e v: 
61)1(2|||| 222 u 
6211|||| 222 v 
 
Então, 5,0
6
3
6.6
3
cos  
 
Assim,  = 60º 
 
 
 
 
5.8 – Aplicações 
 
É muito comum em linguagens de programação, trabalhar com vetores representados 
como várias variáveis agrupadas de maneira a facilitar a sua utilização. 
Digamos, por exemplo, que queiramos saber todos os nicks que conectaram em 
determinado canal em um determinado intervalo de tempo, e queiramos deixar isso 
Teorema: Sejam u e v vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional e  o ângulo 
entre eles. Então: 
 é agudo se, e somente se, u.v > 0 
 é obtuso se, e somente se, u.v < 0 
 = π/2 se, e somente se, u.v = 0 
 
 
Definição: Sejam u e v dois vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional e suponha 
que estes vetores foram posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. 
O ângulo entre u e v é o ângulo  determinado por u e v que satisfaz 0 ≤  ≤ π. 
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armazenado em variáveis, uma maneira de simular o uso de vetores em scripting, seria criar 
variáveis com o mesmo prefixo, diferindo somente um sufixo numérico no final, como 
mostrado abaixo: 
%nick.1 
%nick.2 
%nick.3 
%nick.4 
: 
: 
%nick.n 
Então teríamos o primeiro nick salvo na variável %nick.1, o segundo em %nick.2 e 
assim por diante, até o último em %nick.n. 
Outro exemplo de utilização de vetores pode ser um sistema de usuário e senha 
(password) para entrada numa conta de correio eletrônico, onde cada usuário pode ser salvo 
em algo como %user.1, %user.2 e %user.n e os passwords de cada um deles em %pass.1, 
%pass.2 e %pass.n, então para saber o password do usuário 1, basta ver %pass.1 e o nome de 
conexão do usuário 1 %user.1. 
 
 
5.9 - Referências Bibliográficas 
 
ANTON, H. & RORRES, C.. Álgebra Linear com Aplicações – 8ª ed. Bookman, 2001. 
BOLDRINI, José L. [et al.]. Álgebra Linear - 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 
1980. 
KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações – 8ª ed. LTC, 2006. 
LAY, David C.. Álgebra Linear e Suas Aplicações – 2ª ed. LTC, 1999. 
LIPSCHUTZ, S.. Álgebra Linear – 3ª ed. Coleção Schaum, Makron Books, 1994.