a Álgebra Vetorial

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MATEMÁTICA IV 
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1 – DEFINIÇÃO 
 
• Vetores são segmentos de reta orientados que 
são caracterizados por uma determinada direção, 
sentido e comprimento. Exemplos: 
 
1) 𝒗 = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
onde A é a origem do vetor e B é a extremidade. 
 
2) 𝒗 = 𝑫𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
• Vetores equivalentes são vetores que apresen-
tam o mesmo sentido, direção e comprimento. Ex.: 
 
 
u e v são vetores equivalentes 
 
Vetores são matrizes com apenas uma coluna ou 
uma linha: 
 
𝑋 = [
2
5
3
] → 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑛 × 1 
 
 𝑊 = [1 3 4] → 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1 × 𝑛 
 
Um vetor também pode ser representado num sis-
tema de coordenadas. 
Exemplo: 
 
1) vetor v = (1,1) 
 
 
2) vetor v = (-2,4,3) 
 
 
 
 
2– OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 
• Adição de vetores: 
 
Seja 𝑢 = [𝑢1, 𝑢2] 𝑒 𝑣 = [𝑣1, 𝑣2]. Temos que 𝑢 +
𝑣 = [𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2] 
 
Ex.: 
𝑢 = [1,2] 𝑒 𝑣 = [−1,3] → 𝑢 + 𝑣 = [0,5] 
 
Obs.: 
O Paralelogramo pode ser usado para visualizar a 
soma de dois vetores: 
 
 
 
 
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• Subtração de vetores: 
 
Seja 𝑢 = [𝑢1, 𝑢2] 𝑒 𝑣 = [𝑣1, 𝑣2]. Temos que: 
 
 𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + (−𝑣) = [𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2] 
 
• Multiplicação de um vetor por escalar (cons-
tante): 
 
Seja 𝑢 = [𝑢1, 𝑢2] 𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑘. Temos que 
𝑘𝑢 = [𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2]. Ex.: 
 
𝑢 = [7,3] 𝑒 𝑘 = 2 → 𝑘𝑢 = [14,6] 
 
Representação Gráfica: 
 
 
 
Propriedades válidas para adição e multiplicação 
de escalar 
 
Sejam U,V e W vetores e a e b escalares. 
 
(a) U + V = V + U; 
(b) (U + V) +W = U + (V +W); 
(c) U + ¯0 = U; 
(d) U + (−U) = ¯0; 
(e) a(bU) = (ab)U; 
(f) a(U + V) = aU + aV; 
(g) (a + b)U = aU + bU; 
(h) 1U = U. 
 
• Componentes de um vetor 
Algumas vezes o ponto inicial de um vetor não 
está posicionado na origem. Os componentes 
desse vetor são obtidos subtraindo o ponto final do 
ponto inicial: 
 
𝑣 = 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑦1 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑥2) 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃1 = (𝑥1, 𝑥2) 𝑒 𝑃2 = (𝑦1, 𝑦2) 
 
 
 
Ex.: As componentes do vetor V que tem um re-
presentante com ponto inicial P = (5/2, 1, 2) e 
ponto final Q = (0, 5/2, 5/2) são dadas por: 
 
𝑉 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0 − 5 2⁄ ,
5
2⁄ − 1,
5
2⁄ − 2)
= (−5 2⁄ ,
3
2⁄ ,
1
2⁄ ) 
 
Graficamente: 
 
 
• Espaço Vetorial: 
Espaço Vetorial (V) é um conjunto de vetores não 
vazio, na qual estão definidas as operações ele-
mentares: 
o Soma: ∀ 𝑢 𝑒 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉; 
o Multiplicação: ∀ 𝛼 ∈ 𝑉, 𝑢 ∈ 𝑉 , 𝛼𝑢 ∈ 𝑉 
Obs.: Um espaço vetorial deve atender todas as 
propriedades de adição e multiplicação listadas an-
teriormente. 
 Em alguns livros, são usadas as notações de 
⊗ 𝑒 ⊙ para representar, respectivamente, as ope-
rações de soma e multiplicação. 
 
Exemplos: 
1) O nº 5 pertence ao espaço vetorial ℝ de dimen-
são 1. 
2) 𝑣 = [−1,3] pertence ao espaço vetorial ℝ2 de 
dimensão 2. 
 
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3) 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛] pertence ao espaço veto-
rial ℝ𝑛 de dimensão n 
4) ℝ+
2 não é um espaço vetorial. Ex.: 
 S𝑒𝑗𝑎 𝑣 = (1,1) ∈ ℝ+
2 𝑒 𝑘 = −1 ∈ ℝ+
2 ⟹
𝑘𝑣 = (−1,−1)𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 ℝ+
2 
5) 𝐹(−∞,∞) é um espaço vetorial. Esse espaço 
representa o conjunto de funções reais defini-
das na retal real (−∞,∞). Assim se f(x) e g(x) 
são dois exemplos de tais funções temos: 
 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑒 (𝑘𝑓)(𝑥) =
𝑘𝑓(𝑥) 
 
• Subespaço Vetorial: 
 
Subespaço Vetorial é um subconjunto do espaço 
vetorial V, na qual também estão definidas as ope-
rações elementares. Ex.: 
 
1) Seja W o conjunto de pontos (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2, tais 
que 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0. Estes são os pontos do pri-
meiro quadrante. Esse conjunto não é um su-
bespaço do ℝ2. Ex.: 𝑣(1,1) ∈
𝑊, 𝑝𝑜𝑟é𝑚 (−1)𝑣(1,1)𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 𝑊. 
 
Graficamente: 
 
 
 
2) Seja 𝐶1(−∞,∞) o conjunto de todas as fun-
ções contínuas derivadas de primeira ordem. 
Esse conjunto é um subespaço vetorial de 
𝐹(−∞,∞). Da mesma maneira que os conjun-
tos 𝐶2, 𝐶3, … , 𝐶𝑚 também pertencem ao es-
paço. 
 
3) Seja W o conjunto solução do Sistema Ax=b. 
Esse conjunto é um subespaço do ℝ𝑛. 
 
Obs.: 
- Qualquer espaço vetorial não nulo possui pelo 
menos dois subespaços: o próprio V e o vetor nulo 
(0); 
 
- O plano ℝ2 possui pelo menos três subespaços: 
vetor nulo, retas pela origem e o próprio ℝ2; 
 
- O plano ℝ2 possui pelo menos quatro subespa-
ços: vetor nulo, retas pela origem, planos pela ori-
gem e o próprio ℝ3. 
 
• Norma de um Vetor 
O comprimento de um vetor é chamado de norma: 
 
• 𝑆𝑒 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ⟹ ‖𝑢‖ = √𝑢1
2 + 𝑢2
2 
 
• 𝑆𝑒 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) ⟹ ‖𝑢‖ =
√𝑢1
2 + 𝑢2
2 + 𝑢3
2 
A distância entre os pontos 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 
𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) é a norma do vetor 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 
 
Como 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1) ⇒ 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
 
Dessa forma, a distância dos pontos P1 e P2 é a 
norma do vetor 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
Exemplos: 
 
1) Seja o vetor 𝑢 = (−3, 2 ,1): 
 
‖𝑢‖ = √(−3)2 + (2)2 + (1)2 = √14 
 
2) Seja os pontos 𝑃1 = (2,−1 , 5) e 𝑃2 =
(4 , −3 , 1). A distância entre os pontos é: 
 
𝑑 = √(4 − 2)2 + (−3 + 1)2 + (1 − 5)2 = √44
= 2√11 
 
• Produto Interno Euclidiano (Produto Escalar) 
 
 
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Definição: Sejam 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) 𝑒 𝑣 =
(𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) dois vetores em ℝ
𝑛 . O produto in-
terno denotado por 𝑢 ∙ 𝑣 é o número: 
 
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 + 𝒖𝟐𝒗𝟐 + 𝒖𝟑𝒗𝟑 + ⋯+ 𝒖𝒏𝒗𝒏 
 
Ex.: Seja 𝑢 = (4,−1,2) 𝑒 𝑣 = (6, 3 , −4) 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 4 ∙ 6 + (−1) ∙ 3 + 2 ∙ (−4) = 24 − 3 − 8 
 = 13 
O produto escalar também pode ser definido de 
maneira alternativa: 
 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = {
‖𝑢‖ ∙ ‖𝑣‖𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒 𝑢 ≠ 0 𝑒 𝑣 ≠ 0
0, 𝑠𝑒 𝑢 = 0 𝑜𝑢 𝑣 = 0 
 
 
Ex.: Seja 𝑢 = (0, 0, 1) 𝑒 𝑣 = (0 , 2 , 2). Consi-
dere que o ângulo entre os dois vetores seja de 45º 
e calcule o produto interno. 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (√02 + 02 + 12) (√02 + 22 + 22) (
1
√2
) 
 = 2 
 
Obs.: Vetores ortogonais são aqueles que formam 
um ângulo de 90º (cos90º=0), ou de outra maneira, 
são aqueles onde 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 
 
 
• Combinação Linear de Vetores 
 
Um vetor w é uma combinação linear dos vetores 
𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 se: 
 
𝒘 = 𝒌𝟏𝒗𝟏 + 𝒌𝟐𝒗𝟐 + 𝒌𝟑𝒗𝟑 + ⋯+ 𝒌𝒏𝒗𝒏 
 
Ex.: Considere os vetores 𝑢 = (1,2, −1) e 𝑣 =
(6,4,2). Mostre que 𝑤 = (9,2,7) é uma combina-
ção linear de u e v. Mostre também que 𝑥 =
(4,−1,8) não é uma combinação linear de u e v. 
 
1) (9,2,7) = 𝑘1(1,2, −1) + 𝑘2(6,4,2) 
 
⟹ (9,2,7) = (𝑘1 + 6𝑘2, 2𝑘1 + 4𝑘2, −𝑘1 + 2𝑘2) 
 
Que pode ser escrito como: 
𝑘1 + 6𝑘2 = 9 2𝑘1 + 4𝑘2 = 2 − 𝑘1 + 2𝑘2 = 7 
Resolvendo o sistema temos: 𝑘1 = −3 𝑒 𝑘2 = 2. 
Dessa forma temos 𝑤 = −3𝑢 + 2𝑣. 
 
2) (4, −1,8) = 𝑘1(1,2, −1) + 𝑘2(6,4,2) 
 
⟹ (4,−1,8) = (𝑘1 + 6𝑘2, 2𝑘1 + 4𝑘2, −𝑘1 + 2𝑘2) 
 
Que pode ser escrito como: 
 
𝑘1 + 6𝑘2 = 4 2𝑘1 + 4𝑘2 = −1 − 𝑘1 + 2𝑘2 = 8 
 
Observe que a primeira e a terceira equações são 
inconsistentes: 
𝑘1 = 4 − 6𝑘2 𝑘1 = −8 + 2𝑘2 
 
Dessa forma, (𝟒,−𝟏, 𝟖) não é uma combinação li-
near de u e v. 
 
3 – EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
1) Considere os vetores abaixo e indique quais vetores 
são ortogonais: 
 
a) 𝑢 = (1,−2, 3, − 4) , 𝑣 = (6, 7 ,1, − 2) 𝑒 𝑤 =
(5,−4, 5, 7) 
 
2)Sejam os vetores abaixo. Calcule: 
 
𝑢 = (−3,1, 2, 4, 4) , 𝑣 = (4, 0 , −8, 1, 2) 𝑒 
𝑤 = (6,−1,−4, 3, −5) 
 
a) 𝑣 − 𝑤 b) 6𝑢 + 2𝑣 
 
c) (2𝑢 − 7𝑤) − (8𝑣 + 𝑢) 
 
3) Calcule 𝑐𝑜𝑠𝜃, sendo 𝜃 o ângulo entre os vetores 
abaixo: 
 
𝑢 = (1, 2, −5) 𝑒 𝑣 = (2, 4, 3) 
 
4) Calcule a distância entre os vetores abaixo:𝑎) 𝑢 = (1, 7) 𝑒 𝑣 = (6,−5) 
 
b) 𝑢 = (3, −5, 4) 𝑒 𝑣 = (6, 2, −1) 
 
5) Determine x e y, considerando: 
 
a) 𝑥(3,2) = 2(𝑦,−1) 
 
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b) 𝑥(2, 𝑦) = 𝑦(1,−2) 
 
06) Quais vetores abaixo são paralelos ao vetor 
𝑢 = (−2,1,0,3,5,1)? Justifique a sua respota. 
 
a) (4,2,0,6,10,2) 𝑏) (4, −2,0, −6,−10,−2) 
 
07) Sejam 𝑃 = (2, 3, −2) 𝑒 𝑄 = (7,−4, 1). 
Calcule o ponto médio do segmento de reta que 
liga P a Q. 
 
08) Determine k de modo que 𝑑(𝑢, 𝑣) = 6, sendo 
𝑢 = (2, 𝑘, 1, −4) 𝑒 𝑣 = (3,−1, 6, −3) 
 
 
RESPOTAS 
 
1) u e w são ortogonais 
 
2) a) (−2, 1, −4,−2, 7) 
 
b) (−10, 6, −4, 26, 28) 
 
c) (−77, 8, 94, −25, 23) 
 
3) 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
−5
√30∙√29
 
 
4) 𝑎) 13 𝑏) √83 
 
5) a) 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 =
−3
2
 
 
𝑏) 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −2 , 𝑦 = −4 
 
6) Vetor b 
 
7) (
9
2
,
−1
2
,
−1
2
) 
 
8) 𝑘 = 2 𝑜𝑢 𝑘 = −4