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cos 0 -sen 0 sen 0 cos 0 o o SUMÁRIO Prefácio da 2~ edição Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 VETORES Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vetores no JR 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5 Igualdade e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Vetor definido por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ângulo de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Vetores no R 3 • . . • . • • . • • • • • • • • . . • • • • • . . • . . . • • • • • • • • • • • 13 ESPAÇOS VETORIAIS ln tradução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . Espaços vetoriais .. . .. . . . . . ................... .... ..... . Propriedades dos espaços vetoriais . . .... .. . . . ... .... . ..... . . . Su be.spaços vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . Espaços vetoriais finitamente gerados . . . . . . . . . . . . ........ .... . Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaços vetoriais isomorfos ............ . .. . ..... : ......... . Problemas ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais ............ . .. . ........ . 15 18 24 25 39 53 53 66 86 106 y VI Á/Kebra lineor Espaço vetorial euclidiano .. · .... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Módulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Ângulo de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Vetores ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Conjunto ortogonal de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Conjuntos ortogonais entre si. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 132 Problemas Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Trarufonnações lineares ......... . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Núcleo de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Matriz de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 181 Operações com transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Transformações lineares planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Transformações lineares no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Problemas Capítulo 5 OPERADORES LINEARES Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 230 Operadores inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Mudança de bue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Matrizes semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 244 Operador ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Operador simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Problemas . Capítulo 6 VETORES PRÕPRIOS E VALORES PRÕPRIOS Vetor próprio e valor próprio de um operador linear . . . . . . . . . . . . . . . 276 Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios . . . . . . . . . . . . 278 Propriedades dos vetores próprios e valores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Diagonização de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Diagonização de matrizes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Problemas Capítulo 7 'FORMAS QUADRÁTICAS Forma quadrática no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Cônicas .. ........ . ... . ..... .. .... - ·· . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Notas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Forma quadrática no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Quádricas. . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 8 Problemas Apêndice A MATRIZES/DETERMINANTES/SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES MATRIZES Definição de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz quadrada . . . .. .. ... . : . . .. : ·. . . . . . . . . . . . .. ..... . . . 369 371 S!'máriO Matriz zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . Igualdade de matrizes .. ... ................................. . Adição de matrizes ..... . .............. . .. . .. ............ ... . Produto de uma matriz por um escalar .......................... . Produto de uma matriz por outra .............................. . Matriz transposta .......................................... . Matriz simétrica ..... ................ . ......... .. .... ...... . Matriz anti-simétrica ........................................ . Matriz ortogonal ..................... . . .. .... . . .. ... ....... . Mtriz. tº l . a nangu ar supenor ................................... . Matriz triangular inferior .................................... . Potência de uma matriz ........ . ............................. . DETERMJNANTES VII 374 374 374 375 376 398 400 401 402 403 403 404 Classe de uma permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 Termo principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Termo secundário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Determinante de uma matriz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Ordem de um determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Representação de um determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2ª e de 3ª ordem.. . . 422 Cálculo do determinante de 2ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Cálculo do determinante de 3ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Cálculo de um determinante de qualquer ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 INVERSÃO DE MATRIZES Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Ma triz singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Matriz não-singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ·. . . . . . . . 467 Propriedades da matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Equivalência de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 71 Inversão de urna matriz por meio de operações elementares . . . . . . . . . 476 SISTEMASDE EQUAÇÕES LINEARES Equação linear ........ ... . .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Sistemas de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Sistema compatível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 Operações elementares e sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 508 Sistema linear homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 O Estudo e solução dos sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . 51 O .. ,.,,~lcu•-nc- CAPÍTULO VETORES 1.1 VETORES Este capítulo tem por finalidade precipua revisar resumidamente a noção de vetor no R 1 e no R 3 e suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento do leitor1 • Sabe-se que os vetores do plano ou do espaço sã"o representados por s,gmentos orientados. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo com- primento são representantes de wn mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.1 a, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, e escreve-se - -v = AB = CD A e Fipra l. t O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geome tria Analltú:a, dos autores desta Álgebra Linear, Editora McGraw-Hill. 1 2 À/gebra linear -Quando escrevemos v = AB, estamos afumando que o vetor é determina.do pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo com- primento, mesma direção e mesmo sentido de AD representa também o mesmo vetor v. Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v. O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v por I v 1. Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ( ou vetor nulo), que é indicado por O. A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto -v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção, porém sentido contrário ao de v (Figura 1.1 b ). Figura 1.lb Um Yetor v é unitário se I v 1 = 1. Dois vetores u e v são colineares se tiwrem a mesma direç!'o. Em outras palavras: u e v são colineares se tiwrem representantes AB e CD pertencentes a wna mesma reta ou a retas paralelas (Figura l.lc). Figura 1.lc Se os vetores não-nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem represen- tantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano 1T (Figura l .ld). diz-se que eles são coplamres. Vetores J V Fsua l.ld 1.2 OPERAÇÕES COM VETORES ·1.2.1 Adição de Vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectiva- mente (Figura 1.2a). B A e Figura 1.2a -Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = u + v. 1.2.1.1 Propriedades da adição I) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w). II) Comutativa: u + v = v + u. Ili) Existe um só vetor nulo O tal que, para todo vetor v, se tem: v+0=O+v=v IV) Qualquer que seja o vetor v, existe wn só vetor -v (vetor oposto de v) ta) que: V+ (-v) = -V+ V= 0 4 Álgebra linear Observações 1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + (-v ). Sejam os vetores u e v representados pelos segmentoit orientadoii AB e AC, reitpectivamente_ Construído o paralelogramo ABCD (Fígura 1.2b), verifica-se que a soma u + v é representada pelo segmento oríentado AD (uma das diagonais) e que a diferença u - v é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal). D. V V Figura 1.lb 2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que; a) a soma u + v (ou v + u) tem origem no referido ponto; b) a diferença u - v tem origem na extremidade de v (e, por conseguinte, a diferença v - u tem origem na extremidade deu). 1.2.2 Muttiplicaçfo de um Número Real por um Vetor Dado um vetor v * O e um número real k * O, chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que: a) módulo: 1 PI= lkvj = I kll vi; b) direção: a mesma de v; e) sentido: o mesmo de v se k > O; e contrário ao de v se k < O. A Figura 1.2.2 mostra o vetor v e os correspondentes 2v e -3v. Obser11tJções: 1) Se k = O ou v = O, o vetor kv é o vetor O; 2) Se k=-J, o vetor (-l)v éoopostode v, isto é, (-l}v=-v. Figura 1.2.2 1.2.2.1 Propriedades da Multiplicação por um Número Real Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos: I) a(bu) = (ab) u II) ( a + b) u = au + bu III) a(u + v) = au + av IV)Iu=u 1.3 VETORES NO R 2 O conjunto R2 = IR x IR= { (x. y) / x, y E IR} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. Vetores 5 -Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento orientado OP) cuja origem é a origem do sistema (Figura 1.3a). Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orien• · tados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado -pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) indivíduaHza o vetor v = OP (Figura 1.3b) e escreve-se: v= (x, y) identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. 6 Àlgebro linear. y A o y y o X Fwwa 1.3b A origem do sistema 0(0, O) representa o vetor nulo. Ovetoropostode v:(.x,y) éovetot -v=(-x,-y). 1.4 IGUALDADE E OPERAÇÕES 1.4. 1 Igualdade B p X p X Dois vetores u=(x1 ,yi) e v=(x:2,Y:2) sãoiguaisse,esornentese, x1 =x2 e Y1 =y2 , e escreve-se u = v. Vetores 7 Exemplos: l) Os vetores u = (3, 5) e v = (3, S) são iguais. 2) Se o vetor u = (x + l, 4) é igual ao vetor v = (S, 2y - 6), de acordo com a definição de igual- dade de vetores, x + I = 5 e 2y - 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim, se u = v, então x = 4 e y = 5. 1.4.2 Operações Sejam os vetores u = (x1 , yi) e v = (x2 , Y2) e a E lt Define-se: a) u+v=(x1 +x2,Y1 +y2) b) au=(ax1,aY1) Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes correspondentes e, para multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número. Porexemplo,se u=(4,l) e v=(2,6), aFigural.4.2amostraque: U +V= ( 4, I) + (2, 6) = ( 4 + 2, J + 6) = ( 6, 7) e a Figura l .4.2b mostra que: -• 2u = 2(4, 1) = (2(4), 2(1)) = (8, 2) y y X ó Figura 1.4.2a Pígu,a 1.4.lb 2u X 8 Àlgebra linear 1.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não -parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto Alx 1 • y1 ) e extremi- dade B(x2 , y 2 ) (Figura 1.5). y A B o X Figma l.S -De acordo~ o~e foi visto no item J .2.1. 1 - (Observação 2), o vetor AB é a diferença entre os vetores 0B e OA: - - -AB =0B -OA e, portanto : ou: -isto é, as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremi- dade B e as da origem A. -Por exemplo, se A ( -1 , 3) e B (2 , -2 ), o vetor AB será: -+ AB = B - A= (2, -2) - (-1, 3) = (3 , -5) Vetores 9 1.6 PRODUTO ESCALAR 1.6.1 Definiçã'o Chama-se produto esca"lar (ou produto interno usual) de dois vetores u = (x1 , yi) e v = (x2 , y2 ), e se representa por u . v, ao número real : O produto escalar de u por v também ,é indicado por < u, v > e se lê "u escalar v~•. Por exemplo, se u = (2, 3) e v = (4, -1), tem-se : U .V= 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 = 5 1.6.2 M6dulo de um Vetor Módulo de um vetor v = (x, y), representado pOI I vi, é o número real não-negativo: l vl= ..../v.v ou, em coordenadas: 1 vi= v' (x, y) . (x, y) ou, ainda: Por exemplo, se. v = (3, -4), então : lvl=v'32 +(-4)2 =.J9+16='12s = 5 V A partir de cada vetOI v * O é possfvt=I obt,er um vetor unitário u fazendo u = 1 v 1 . Por exemplo, é unitárioo vetor: u= (3, -4) _ (3, -4) 1(3, -4)1- ✓ 3" + (-4)2 -Observação: Dado um vetor AB com extremidades nos pontos A(x1 , yi) e B(x2 , Y1), o módulo desse wtor será: Assinale-se que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula. J O Ãlgebra linear 1.6. 3 Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores u, v e w quaisquer e k E: R, tem-se: I)u . u;;..o e u.u=0 se, esornentese, u=0 =(0, 0) II) u . v = v . u (comutativa) III) u . (v + w) = u. v + u . w (distributiva em relação à adição de vetores) lV) (mu) . v = m(u. v) = u. (mv) V)u . u=lul 2 Observações: Como conseqüência das propriedades do produto escalar, vem: 1) lu+vi 2 = 1ul 2 + 2 u.v+lvl 2 Com efeito: lu+ vl 1 =(u + v). (u + v) = u . (u+ v) + v.(ut v) l u + V 12 = u. u + u. V+ V. u +V. V l u + v 12 = 1 u 12 + 2u . v + l v 12 2) De modo análogo, mostra-se que: 1.7 ÂNGULO DE DOIS VETORES O ângulo de dois vetores u = OA e v = OB , não-nulos (Figura 1.7a), é o ângulo 0 for- mado pelas semi-retas OA e OB (Figura 1.7b) e tal que O~ 8 ~ rr. o Fipm 1.7• Figun 1.7b Vetores li 1.7.1 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Sejam os vetores u '# O e v '# O. O ângulo 8 formado por u e v pode ser calculado pela fórmula: .o U. V oosu=-- lul lvl e V F~ura l.7.1 Com efeito, aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 1.7.l. vem: 1 U - V I' = 1 U [ 2 + [ V 12 - 2 1 U 1 1 V 1 COS 8 (1) Mas, de acordo com o item 1.6.3 (Observação 2), pode-se escrever: (2) Comparando as ígualdades (2) e (1 ): logo: u.v=lul [vi cos0 e: 8 U. V cos = lul lvl (l.7.1) Uma vez calculado o cos 8, o ângulo (J é encontrado numa tabela de co-senos. 12 Á lgebra linear Por exemplo, se u = (-2, -2) e v = (O, -1), o ângulo 0 pode ser calculado por intermédio . da Fórmula(l.7.1): cos 8 = u. v (-2, -2) . (O, - 2) 1 ll 1 1 V 1 ✓ (-2)2 + (-2)2 X ✓ 02 + (-2)2 0+4 4 cos8; =---- J4+-1 X .jõ+4 v'8 X v'4 1 .,/2" cos8=-=-- vf 2 ../2 8 = are cos -- 2 fJ =- 45° 4 2y'2 X 2 1.8 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES a) Se dois vetores u = (x1, yi) e v = (x2, y2) são paralelos(ou colineares), existe wn número k tal que: u=kv ou; o que ímplica: X y _1 __ 1=k X:2 Yi isto é, doís vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Representa- se por u / / v dois vetores u e v paralelos. Por exemplo, os vetores u = (-2, 3) e v = (-4, 6) são p~--alelos, pol~: -2 3 -=- -4 6 ou seja: Vetores JJ b) Se dois vetores u = (x1 , yi) e v = (x2 , y2 ) são ortogonais, o ângulo 8 por eles formado é de 90º, e, portanto, cos fJ = cos 90° = O, o que implica, pela Fórmula (l .7.l): U .V: Ü ou: isto é, dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo. Representa-se por u l v dois vetores u e v ortogonais. Por exemplo, os vetores u = (2, 3) e v = (-3, 2) são ortogonais, pois: U. V= 2(-3) + 3(2) =-ó t 6: 0 1.9 VETORES NO IR3 O conjunto IR3 = R x IR x IR= { (x, y, z) / x, y, z E IR} é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. Da mesma forma como fizemos para o plano, consideraremos gerahnente vetores repre- sentados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, z) -individualiza o vetor v = OP (Figura 1.9) e escreve-se: v-(x,y,z) identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. , Figura 1.9 14 Álgebra linear A origem do sistema 0(0, O, O) representa o vetor nulo. O vetor oposto de v = (x, y, z) é o vetor -v = (-x,-y, -z). De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espaço: I) Dois vetores u=(x1 ,Y1 ,zi) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) sãoiguaisse,esomentese, x1 =x2 , Y 1 :::: Y 2 e Z1 = ½ . li) Dados os vetores u=(x 1,y1,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) e aE IR, define-se: Ili) Se A(x1 ,y1 ,zi) e B(x2 ,y2 ,z2 ) slio dois pontos quaisquer no espaço, então: IV) O produto escalar dos vetores u = (x1 , y 1 , z1) e v = (x2 , y2 , z2 ) é o número real: V) O módulo do vetor v = (x, y, z) é dado por: 1 v 1 = J x2 + y2 + z2 VI) se u e v são vetores não-nulos e 0 é o ângulo formado por eles, então: ll U,V cosu =--- ! uJ lv 1 a) u // v se, e somente se,~ = ~ 2·1 X2 Y2 - z2 ' CAPÍTULO ESPACOS • VETORIAIS 2.1 INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto: JR2 = { (x, y) / X, y E IR} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser encarado como wn ponto (Figura 2.la) e, nesse caso, x e y são coordenadas, ou pode ser encarado como umvetor(Figura2.lb) e, nesse caso, x e y são componentes(oucoordenadas). Essa mesma idéia, em relação ao plano, estende.se para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto JR3 • Embora se perca a visão geométrica de espaços com dimensão acima de 3, é possível estender essa idéia a espaços como JR4 , JR.5 , •.• , mn. Assim, y y • (x, y) (x,y) o X o X Fi.gun 2.la F@ura2.lb /5 16 Álgebra linear quádruplas de números (x1 , x2 , x 3 , x4 ) podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço IR.4 de quarta dimensão. A quíntupla (2, -1, 3, 5, 4) será interpretada como um ponto ou wn vetor no espaço IR.s de dimensão cinco. Então, o espaço de dimensão n (ou espaço n-dimcnsional) será constituído pelo conjunto de todas as n-uplas 1.>Tdcnadas e representado por 1Rn, isto é: IRº = { (x1 , x1 , ••• , x0 ); Xj E IR} A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em IR.2 e em IR3 • Por exemplo, se: u=(x1,x2, ... ,xn) e v=(y1,Y2, ... ,Yn) são vetores no IRº e a um escalar, define-se: b) u+v=(x1 +y1,X2 +yz, ... ,Xil +yn)- d) u.v = X1Y1 +X2Y2 + ... +¾Yn· e) 1 U 1 =yu.u = ✓Xi+ .Jq + ... +X~. Desde já é bom observar que o vetor u = (x1 , x2 , ... , x0 ) aparecerá, às vezes, com a notação matricial (matriz-coluna n x I): u= e é fácil ver que u + v e au na notação matricial são os vetores: X1 Y1 X1 +y1 Xz Y2 X2 + Y2 u+v= + = Espaços vetoriais 17 au = a .::: Vamos agora transmitir uma idéia nova. Para tanto, consideremos dois conjuntos: o JR.0 e o conjunto das matrizes reais de ordem m x n, representado por M (m, n). Como nesses conjuntos estão definidas as operações de adição e multiplicação por escaJar, constata-se a exis- tência de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas. Se u, v, w E JR.º, se o:,~ E IR e se A, B, C E M (m, n), podemos verificar que: a) Em relação à adição valem as propriedades: }) (u+v)+w=u+(v+w) e (A+ B) + C =A+ (B + C) 2) u + v= v + u e A+B=B+A 3) Existe um só elemento em JR.n e um só em M (m, n) indicado por O e tal que: u+O=u e A+O=A ( associatividade da adição) ( comutatividade da adição) ( existência do elemento neutro) O elemento O, nesse caso, será o vetor O= (O, O, ... , O) E JR.0 , na primeira igualdade, e a matriz nula: O= o o o o na segunda igua:dade. o o o E M(m, n) J 8 Àlgebra linear 4) Para cada vetor u E 1Rn e para cada matriz A E M (m, n) existe um só vetor -u E IR.n e uma só matriz -A E M (m, n) tais que u + (-u) = O e A +(-A)= O ( existência do elemento simétrico) Por exemplo, se tivermos u = (x1, x2 , ... , Xn), então o vetor simétrico é -u = ( -x1 , -x2 , ... , -xn), e, caso semelhante, para a matriz A e sua correspondente simétrica -A. b) Em relação à multiplicação por esealar valem as propriedades: 1) (ai-3) u = a (J3u) e (ai,3) A=~ (/jA) 2) (a: + j3) u = au + Pu e (a+ j3)A = aA + 6A 3) a: (u + v) = o:u + a:v e a(A+B)=aA+a:B 4) Iu = u e IA=A Conforme acabam.os de ver, os conjuntos JRº e M (m, n), munidos desse par de operações, apresentam uma "estrutura" comum em relação a essas operações. Esse fato não só vale para esses dois conjuntos com essas operações mas para muitos outros, razão porque vamos estudá-los simultaneamente. Esses conjuntos serão chamados espaços vetoriais. 2.2 ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V. não-vazio,sobre o qual estão definidas as operações adição e multi- plicação por escalar, isto é: Vu, v E V, u + v E V VOI. E IR, Vu E V, crn E V O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre IR) se forem verificados os seguintes axiomas: Espaços vetoriais ! 9 A) Em relaça-o à adição: A1 ) (u + v) + w = u + (_v + w), Yu, v, w E V A2 ) u + v = v + u, Yu, v E V A3) 3.0 E V, Vu E V, u + O = u M) Em relação à mu1tiplicaçá"o por escalar : Mi) (aJ3) u = a (/3u) M2) (a+ /3) u ~ au + /3u M3) cx(u+v)=au+av M4 ) lu = u para Vu, V E V e Ya, J3 E JR. Observações I) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente de sua natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar de vetores os polinômios (quando V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for constituído por matrizes) os números (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante. A justificativa está no fato de as operações de adição e mui tiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distinta se comportarem de fonna idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do R 2 ou do R 3 . Assim, a familiaridade que temos com os vetores do R 2 e do IR3 terá continuidade nesses conjuntos. chamando seus elementos também de vetores. 2) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referência expressa em contrário, serão considerados somente espaços vetoriais reais. Assim, quando se disser que V é um espaço vetorial, deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o conjunto 1R, do~ números reais. 20 Ãlgebra linear Exemplos 1) O conjunto V= IR2 = {(x,y)/x,yE IR} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas: a (x, y) = (o:x, ay) Essas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para verificarmos os oito axiomas de espaço vetorial, consideremos u = (x1 , y 1 ), v-== (x2 , Y2) e w = (x3 , y3 ). Tem-se: A1) (u+ v) +w=((x1, Y1) + (x2, Y2)) + (x3, y3) (u+v)+w=((x1 +x2,Y1 +y2))+(x3,y3) (u+v)+w=((x1 +x2)+x3,(Y1 +y2)+y3) (u + v) + w = (x1 + (x2 + X3), Y1 + (Y2 + Y3)) (u+v)+w=(x1,Y1)+(x2 +x3,y2 +y3) (u + v) + W = (x1, Y1) +((xi, Y2) + (X3, y3)) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u+ v=(x1, Y1) + (x2, Y2) u+v=(x1 +x2,Y1 +y2) u + v = (x2 + X1, Y2 + Yt) u + v = (x,, Y2) + (xi, yi) u+v=v+u A3 ) 30 = (O, O) E IR.2 , Vu E JR.2, u +O= (x1 , y 1) + (O, O) u +O= (x1 + O, Y1 + O) u + O= (x1, Y 1) u+ O= u A4) Vu=(x1,Y1)E IR2 , 3:(-u)=(-x1,-Y1)E IF..2, U + (-v) = (x1, Y1) +(-Xi, -Y1) u+(-u)=(x1 -x1,Y1 -Y1) u+ (-u) = (O, O)= O M1) (o:{I) u = (aj3) (X1, Yt) = ((o:JJ) XJ, (a'1>y1) = (o:0Jx1 ), o: 03Y1 )) (o:'3) u"' o: (Px1, 13Y1) = a 03(x1, ys)) (o:P) u = o:(Pu) Eq,aços vetoriais 21 M2 ) (a+~)u=(a:+/3)(x1,Yi>=((o:+t1)x1,(a+/3)y1)=(0:x1 +'3x1,flY1 +.t3Y1) (o:+ 13)u= (ax1 ,O:Y1) + (Px1 ,llY1) = o: (x1, Y1) + IJ(x1, Y1) (a +'3)u=õ:u+ Pu M3 ) a(u+v)=a((x1,y1)+(x2,Y2))=a(x1 +x2,Y1 +y:2)=(0:(x1 +x2),a(y1 +y2)) o:(u+v) = (o:x1 +o:x2, o:y1 +o:y2) = (o:x1, o:y1) +(ax2,0:Y2) o:( u + v) = o:( x 1 , y i) + a( x 2 , y 2 ) = o: u + e,. v M4) lu= l(x1,Y1)=(Ix1, lyi)=(x1,Y1) Iu= u 2) Os conjuntos R 3 , R 4 , ..• , Rn são espaços vetoríais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Depois de verificados os oito axiomas de espaço vetorial para o IR.2, os mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados. 3) O conjunto IR em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Os vetores, nesse caso, são números reais, e sabe-se que a adição de números reais verifica as proprie- dades A 1 , A 2 , A3 e A4 da definição de espaço vetorial. Assim, também, o produto de reais é um número real, e a operação multiplicação satisfaz os axiomas M1 , M2 , M3 e M4. 4) O conjunto M (m, n) das matrizes m x n com as operações adição e multiplicação por escalar usuais. Em particular, o conjunto M(n, n) das matrizes quadradas, de ordem n, é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações. S} O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau ~ n, mais o polinômio nulo, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. Em particular, o conjunto é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações. 22 Álgebra linear 6) O conjunto V= {f: IR_.., R} das funções reais definidas em toda reta. Se f, g E V e a E R, define-se; x ~ (f + g) (x) = f(x) + g(x) e: 0: f: IR - IR x- (at) (x) = af(x) 7) O conjunto V= {(x,x2 )/xE IR} com as operações definidas por: (x1, xi) 0 (x2, Xi)= (x1 + x2, (x1 t x2 )2) o:Q (x,x2 )=(0'.x,o: 2 x2 ) é um espaço vetorial sobre IR. Os símbolos G) e 0 são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por escalar não são as usuais. 8) O conjunto V= {(x,y)/x,y>O} é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar defuúdas assim: a 0 (x, y) = (x'\ yª) Espaços vetoriais 23 O trabalho de testar os oito axiomas de espaço vetorial é um ótimo exercício para o leitor, o qual observará, por exemplo, que o elemento neutro da adição © (axioma A3 ) é o vetor (l, I) e que o elemento simétrico (axioma A4 ) de cada vetor (x, y)E V é o vetor (_l 2---)E V. X ' y 9) Seja o conjunto: R2 = { (a, b)/a, b E ~} Vamos mostrar que o conjunto R 2 não é um espaço vetorial em relação às operações assim definidas: (a, b) + ( e, d)= (a+ c, b + d) k(a, b) = (ka, b) Ora, como a adição aqui definida é a usual, verificam-se os axiomas A1 , A2 , A3 e A4 de espaço vetorial, conforme vimos no exemplo 1. Logo, devem falhar algum ou alguns dos axiomas relativos à multiplicação. Vamos testá-los. Consideremos: e o:, (3 E .IR Temos, então: M1) (a(j) u= (cx./3) (x1, yi) = ((o:/3) x1, y 1)= (o: (13xi). yi)= o:(/Jx1, y 1 ) (a{3) u = O! ({3 (x1 , y 1 )) = o: ({3u) (Este axioma se verifica.) ~2) (a+ /3) u =(o:+ 11) (x1, Y1) =((o:+ 13) x,, yi) = (ax1 + Px1, Y1) QU + (3u = O'.(X1, Y1) t /3(x,, Yt) = (O'.X1, Y1) + (/JX1, Y1) = (O'.X1 + /3x1, 2yi) Como se vê: e, portanto, nào se verifica o axioma M2 , o que comprova não ser um espaço vetorial o conjunto de que trata esse exemplo. 24 Álgebra linear 2.3 PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades: I) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição). II) Cada vetor u E V admite apenas um símé'tríco (-u) E V. UI) Para quaisquer u, v, w E V, se u + w = v + w, então u = v. IV) Qualque1 que seja v E V, tem-se: -{-v) =v isto é, o oposto de -v é v. V) Quaisquer que sejam u, v E V, existe um e somente um x E V tal que: u+x=v Esse vetor x será representado por: x=v-u VI) Qualquer que seja v E V, tem-se: Ov= O Natural.mente, o primeiro zero é o número real zero, e o segundo é o vetor O E V. VII) Qualquer que seja À E R, tem-se: ÃO=O VIII) Àv = O implica À= O ou v = O. IX) Qualquer que seja v E V, tem-se: (-1) v= -v Espaços vetoriais 25 X) Quaísquer que sejam v E V e À E R, tem-se: (-X) v = À(-v) = -(Àv) 2.4 SUBESPAÇOS VETORIAIS Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é . um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V, deveríamos testar os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar. No entanto, como S é parte de V, que já se sabe ser um espaço vetorial, não há necessidade da verificação de certos axiomas em S, Por exemplo, o axioma A2 diz que u + v = v + u, Vu, v E V. Ora, se a comutatividade da adição é válida para todos os vetores de V, ela valerá, conseqüentemente, Pll!ªtodos os vetores de S. Existem outros axiomas de espaço vetorial merecedores de comen- tário idêntico. O teorema seguinte estabelece as condições para que um subconjunto S de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V. 2.4.1 Teorema Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições: I) Para quaisquer u, v E S, tem-se: u+vE S II) Para quaisquer o E IR, u E S, tem-se : .0-U E S Vamos mostrar que sendo válidas essas duas condições em S, os oito axiomas de espaço vetorial também se verificam em S. De fato: Seja u um vetor qualquer de S. Pela condição lI, a:u E S para todo a E R. Fazendo a=O, vem OuE S, ou seja, OE S (axioma A3 ). Fazendo o=-1,segue (-L)u=-uE S ( axioma A4 ). 26 Ãlgebra linear Os demais axiomas A1 , A2 , M,, M2 , M3 e M4 de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de ser S um subconjunto não-vazio de V. Observaçaõ Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {O} , chamado subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços trivúzis de V. Os demais subespaços são denominados subespaços própriDs de V. Por exemplo, os subespaços triviais de V= .IR3 são { (O, O, O)} (verificar as condições I e II do teorema 2.4.1) e o próprio R 3 . Os subespaços próprios do R 3 são as retas e os planos que passam pela origem. Para V= IR.2, os subespaços triviais são: { (O, O)} e R 2 , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem. Exemplos 1) Sejam V=.IR2 e S= {(x,y) E R2 /y=2x} ou S= {(x,2x);x E IR}, isto é, Sé o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Evidentemente, S * (/), pois (O, O) E S. Verifiquemos as condições l e II. Para u=(x1 ,2x1 )E Se v=(x2 ,2x2 )E S, tem-se: I) u + v = (x, + x2, 2x1 + 2x2 ) = (x1 + x 2 , 2 (x1 + x2 )) E S, pois a segunda componente de u + v é igual ao dobro da primeira. II) am = a (x,, 2x,) = (ax1 , 2 (Cl'.xi)) E S, pois a segunda componente de o:u é igual ao dobro da primeira. Portanto, S é um subespaço vetorial de R 2 . Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem (Figura 2.4.Ia). Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta, o vetor soma u + v ainda é da reta. E se multíplícarmos um vetor u da reta por um número real o:, o vetor o:u aínda estará na reta. Espaços 11etoriais 27 s X Figura 2.4. la O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta: não~ um subespaço vetorial do R2 • Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, O) de S, temos u + v = (3, 2) fÍ. S (Figura 2.4.lb). y Figma2.4.lb 28 Álgebra linear Observemos ainda que o:u (f. S, para a =I= 1 . Os exemplos destas duas últimas retas sugerem, para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, que: sempre que O ff. S. S não é subespaço de V. Aliás. esse fato é sempre útil para detectar, muitas vezes de imediato, que um subconjunto S não é subespaço vetorial. No entanto, não nos enganemos pensando que, se O E S, S é subespaço, pois podemos ter O E S sem que S seja subespaço. É o caso do subconjunto S= {(x;I xi); xE R}C Rz Observemos que (O, O) E S e que, se tomarmos os vetores u = (3, 3) e v - (-2, 2) de S, teremos u + v = (1, 5) ~ S (Figura 2.4 .l e). Observação -2 y 5 U + V /. ' ,, ,, 1 ' 3 - 2 o ' ' ' -r---- 1 Figura 2.4.lc Observemos ainda que o:u (l S, a < O. ' 3 X Nos exemplos trabalharemos ~mente com conjuntos não-vazios, ficando dispensada a necessidade de mostrar que o conjunto é não-va.z io. 2) Sejam V= IR.3 e s= {(x,y,z)/E IR3 /ax+by+cz=O} Espaços vetoriais 29 Nesse caso: v = ( x 2 , y 2 , z2 ) E S implica ax2 + by 2 + CZz = O l) Somando essas igualdades, resulta: e essa ígualdade mostra que: pois as coordenadas de u + v satisfazem a equação ax+by+cz=O II) Por outro lado, pois, se: então: ou: a{axl) + b (Qyi) + e (Qzi) = O o que vem mostrar que as coordenadas de au satisfazem a equação ax + by + cz = O. Logo, S é um subespaço vetorial de R 3 . Esse subespaço S representa um plano qualquer passando pela origem no JR3 • ; 30 Âlgeb,a linear 3) Sejam V = JR4 e S = {(x,y,z,O); x , y,zE IR} isto é, S é o conjunto dos vetores de R 4 que têm a quarta componente nula. Verifiquemos as condições l e II de subespaço. Para u= (x1, Y1, Z1,0) E Se v= (x.2 , Y2 ,Z2 ,0) E S, tem-se: I) u + v = (x 1 + x2 , y 1 + y2 , z1 + z2 , O) E S, pois a quarta componente de u + v é nula. II) c:tu = (o: x1 , <l'.y1 , o:z1 , O) E S, pois a quarta componente de o:u é nula. Logo, S é um subespaço vetorial de R 4 • 4) Sejam V • M(2 , 2) a [: 1 a, b, c, dE IR e S= isto é, S é o conjunto das matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos da segunda linha são nulos. Para quaisquer ªz b2 v = E S e o:E IR. o o Espaços vetoriais 31 tem-se: I) u+vE S II) au E S Logo, S é um subespaço vetorial de M{2, 2). Observação É interessante observar que se tivéssemos considerado V = IR.4 e S = {( a, b, O, O); a, b E IR 1, o raciocínio seria idêntico ao que foi fei to para as matrizes acima. 5) Sejam V= M (n, n), B urna mat1iz fixa de V e S = { A E M (n, n)/ AB = O} isto é , S é o conjunto das matrizes que, multiplicadas à esquerda por B, têm como resultado a matriz nula. Então: A1 E S implica A1 B = O A2 E S implica A2B = O I) Somando essas igualdades, vem: ou: e, portanto: 32 Ãlgebra linear II) Multiplicando por ~ real a primeua igualdade, vem: ou: e, portanto: Logo, S é um subespaço vetorial de M(2, 2). 6) Sejam V= M(3, 1) e S ·o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. Consideremos o sistema homogêneo Faz.endo: 3x + 4y- 2z = O 2x+ y- z=O X• y + 3z = 0 4 -2 X 3 A= 2 1 -1 , X = y l -1 3 z o e O = O o o sistema, em notação matricial, será dado por AX-= O, sendo X elemento do conjunto- solução S. Se Y:2 espaços vetoriais 33 são soluções do sistema, então: 1) Somando essas igualdades, vem: ou: o que implica X1 + X, E S isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema. II) Multiplicando por o: real a primeira igualdade, vem: ou: o que implica isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução. Logo, o conjwtto-solução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de M(3,l). Observações 1) Esse conjunto-solução S pode também ser considerado subespaço de R 3 , pois um vetor (x, y, z) E IR.3 tem notação matricial: X y z 34 Álgebra Ji11ear 2) Esse subespaço S é também chamado espaço-solução do sistema AX"' O. 3) Se tivermos um sistema homogêneo de m equações lineares com n variáveis, o - espaço-solução será um subespaço de R n. 4) Se um sistema linear é não-homogêneo, o seu conjunto-solução S não é um subespaço vetorial (verificação a cargo do leitor). 7) Sejam V == IR2 2.4.2 e S:: { (x, Y); X> 0 } isto é, S é o conjunto dos vetores de R 2 cuja primeira componente é positiva. Sendo vetores quaisquer do S, temos: I) u + v = (x, + x 2 , Y1 + y2 ) E S pois x 1 + X2 > O, isto é, a soma de dois vetores com a primeira componente positiva e um vetor cuja primeira componente é também positiva. li) au = (ax 1 , o:y 1 ) ~ S quando ex ~ O, isto é, nem sempre o produto de um vetor com a primeira componente positiva por um número real CI' resulta um vetor cuja primeira componente é positiva. Por exemplo, u == (3, -4) E S e -2 (3, -4) = (-6, 8) tj S. logo, S não é subespaço de R2 . Para chegar a essa conclusão PQder íamos ter usado o fato de que (O, O) €j S (imediata). Interseção de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S de S1 e S2 , que se representa por S = S1 n S2 , é o conjunto de todos os vetores v E V tais que v E S1 e v E S2 . Espaços ~etoriais ) 5 2.4.2.1 Teorema A interseção S de dois subespaçosvetoríais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato: I) se u, v E S1 , então u + v E S1 ; se u, v E ~ , então u + v E S2 . Logo: li) Para qual quer À E R : se v E S1 , então À v E S1 ; Logo: Exemplos: J) Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 1: V= [: :] ; , , h , c, dE R Sejam S1 e ~ subespaços \-etoriais de V: [: 36 Álgebra linear A interseção S = S1 n S2 é um subespaço vetorial de V: S= [º ª 2) Seja o espaço vetorial JR.3 = { (a, b, e); a, b, e E R } e os subespaços vetoriais S, ={ (a, b,O) ; a, b E R} e S2 = {(0, O, c); c E R} . A interseção S1nS1 éo subespaço vetorial S = { (O, O, O) } = {O} . 2.4.3 Soma de dois Subespaços Vetoriais Sejam $1 e S2 doí$ subespaços vetoriais de V. A soma S de S1 e 8-i , que se repre- senta por S = S 1 + S2 , é o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u E S1 e v E S2 . 2.4.3. 1 Teorema A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. De fato: Por outro lado : logo : Espaços vetoritl is 37 II) Para qualquer À E IR : se u1 E S1 , então Ãu1 E S1 ; Por outro lado: logo: Exemplos 1) A soma S dos subespaços vttoriais S1 e Si referidos no exemplo l de 2.4.2 .1 é um subespaço vetorial de V: 2) Sejam os subespaços vetoriais S1 = ((a, b , O); a, b E R } e S2 : { (O, O, e); e E 1R ) do espaço vetorial IR3 = { (a, b, e); a, b, e E IR } . 2.4.4 A soma S1 + S2 é o subespaço vetorial S = { (a, b, e); a, b, e E R}, que, no caso, é o próprio R 3 • Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S1 e S2 , ese representapor V=S1 (±)S2 , se V =S1 +S2 e S1 ns2 ={O} . 38 Álgebra linear 2. 4. 4. 1 Teorema Se V é a soma direta de S1 e S2 , todo vetor v E V se escreve, de modo único, na forma: v= u+w onde: De fato, de V= S1 G) ~, vem, para qualquer v E V: v = u + w, or.de u E S1 e v E S2 (2.4.4.l•I) Suponhamos que v pudesse exprimir-se também pela forma: ' ' d 's 's V"'U+w, one uE 1 e wE 2 (2.4.4.1-II) As igualdades 2.4.4.I-I e 2.4.4 .l ·11 permitem escrever: u + w"' u' + w' ou: ' - , u-u -w -w onde: u - u' E S1 e w' - w E S2 Tendo em vista que S1 n S2 "' {O}: , J U•u=w-w=O isto é: u = u' e w= w' Espaços vetori/Jis 39 Exemplo: O espaço vetorial R3 = { (a, b, e); a, b, e E R} é a soma direta dos subespaços vetoriais: S1 = { (a, b, O); a, b E IR} e S2 = { (O, O, e); e E R} pois qualquer vetor (a, b, e) E R 3 pode ser escrito como sorna de um vetor de S1 e um vetor de S2 de modo único: (a, b, e)= (a, b, O)+ (O, O, e) e, portanto: lR3 = S1 G)s2 2.5 COMBINAÇÃO LINEAR Sejam os vetores v 1 • v 2 , .•. , v n do espaço vetorial V e os escalares a 1 , a2 , ... , a n. Qualquer vetor v E V da forma: é uma combinação linear dos vetores v1 , v2 , •.. , v n· Exemplo No espaço vetorial P 2 dos polinônúos de grau ,;;;; 2, o polinômio v = 7x2 + 11 x - 26 é uma combinação linear dos polinômios: v1 = 5x2 - 3x + 2 e v2 = -2x.2 + Sx - 8 De fato: v = 3v1 + 4v2 isto é: 7x2 + llx-26~3(5x2 -3x+2)+4(-2x2 +Sx-8) 7x2 +Ilx-26=I5x2 -9x+6-8x2 +20x-32 7x2 + llx - 26 = 7x2 + Ilx - 26 40 Álgebra lineQr 2.5.1 Problemas Resolvidos Para os problemas de 1 a 4, consideremos, no R3 , os seguintes vetores: v1 = (l, -3, 2) e V2 = (2, 4, -1). 1) Escrever o vetor v = ( .4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2 • Solução Pretende-se que: sendo a1 e a2 escalares a determinar. Então, devemos ter: ou: ou: Pela condiçfo de igualdade de dois vetores, resulta o sistema: a1 + 2a2 = -4 -3a1 + 4a2 = -18 2a1 - a2 = 7 cuja soJução é a1 = 2 e a2 = -3. Portanto, Espaço/{ vetoriais 41 Observação Esse sistema e outros deste Capítulo estão resolvidos no Apêndice. 2) Mostrar que o vetor v = ( 4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2 • Solução Deve-se mostrar que não existem escalares a1 e a2 tais que: Com procedimento análogo ao do problema anterior, temos: de onde resulta o sistema: a1 + 2a2 = 4 -3a1 + 4a2 = 3 2a1 - a2 = -6 Observemos que esse sistema difere do anterior pelos tennos independentes. Como é incompatível, o vetor v não pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2 • 3) Determinar o valor de k para que o vetor u = ( -1, k, - 7) seja combinação linear de v1 e v2 • Solução Devemos ter: ou: 42 Álgebra linear de onde vem o sistema: a1 + 2a1 = -1 · -3ai + 4a1 = k 2ai - a2 = -7 do qual resulta, como solução do problema proposto, k = 13 (ai = -3 e 32 = l). De fato: (-1, 13,-7} = -3(1,-3, 2)+ 1(2,4,-1) (-1, 13, -7} = (-3, 9, -6) + (2, 4, -1) (-1, 13,-7} =(-1, 13,-7). 4) Determinar a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores vi e v1 . Solução Devemos ter: de onde vem o sistema: 31 + 2a2 = X -3ai + 4a1 = Y 2a1 • ª2 = z O vetor (x, y, z) somente será combinação linear de vi e v1 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se: X -y- 2z = 0 ou: x=y+2z Ef(Jaços 11etoriais 4J Assim, todos os vetores (x, y, z) E m.3, que são combinações lineares de v1 e v2 , têm a forma: (y + 2z, y, z) com y, z E R. Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 não são oolineares. O vetor a1 v I tem a direção de v 1 , e o vetor a2 v2 , a direção de v2 . Logo, todos os vetores (x, y, z) E R 3 do tipo formam um plano 1r que passa pela origem conforme sugere a figura 2.5.l. Esse plano tem equação x - y -2z == O, que estabelece a condição solicitada entre os componentes x, y e z. z v, X Figura 2 .S • l 3 1 v1 + a2 V1 \ \ ir: x-y-2z=0 '··~----► T" .. y 5) Mostrar que o vetor v = (3, 4) E JR.2 pode ser escrito de infinitas maneiras corno combi- nação linear dos vetores v1 =(l,O), v2 =(0,1) e v3 =(2,-1). Solução Tem-se: (3, 4) = a(l, O)+ b(O, l) + c(2, -1) 44 Ãlxebra li11ea, donde: a+ 2c = 3 b- c =4 ou: a= 3- 2c b = 4+ e e, portanto, para cada valor de e obtém-se wn valor para a e outro para b. 2.5.2 Subespaços Gerados Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A= { vi, v2, ... , v n} e V, A.;.ip, O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. De fato, se: e são dois vetores quaisquer de S, pode.,se escrever: Tendo em vista que u + v E S e que ou E S, por serem combinações lineares de v1 , Vz, .•• , v n' concluí-se que S é um subespaço vetorial de V. Simbolicamente, o subespaço S é: Espaços vetoriais 45 Observ&ções 1) O subespaço S diz-se gerado pelos vetores v1 , v2 , ••• , v n' ou gerado pelo conjunto A, e representa-se por: Os vetores v1 , v2 , ... , vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de S. 2) Para o caso particular de A= q,, define-se: [ti>] = {O} . 4) Todo conjunto AC V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse caso, A é um conjunto gerador de V. Exemplos 1) Os vetores i =(l, O) e j = (O, 1) geram o espaço vetoríal R 2 , poís qualquer (x, y) E R 2 é combinação linear de i e j: (x, y) =xi+ yj = x(l, O)+ y(0, 1) = (x, O)+ (O, y) = (x, y) Então: [i,jJ = R 2 2) Os vetores i = (1, O, O) e j = (O, 1, O) do 1R.3 geram o subespaço S= {(x,y,0)E IR3 /x,y E IR} pois: (x, y, O)= x(l, O, O)+ y(O, 1, O) Então: {i,j} = S é um subespaço próprio do R 3 e representa, geometricamente o plano xOy. 46 Àlgebra linur z X 3) Os vetores e1 = (1, O, O), e2 = (O, l, O) e e3 ~ (O, O, 1) geram o espaço vetorial R 3 , pois qualquer v = (x, y, z) E R3 é oombinação linear de e1 , e2 e e3 : (x, y, z) = x(I, O, O)+ y(O, l, O)+ z(O, O, 1) ou: Então: ObSNVaçtio Antes de resolvennos alguns problemas e fornecermos certas interpretações geométricas, atentemos para um fato importante. Dados n vetores v1 , •.• , vn de um espaço vetorial V, se w E. V é tal que entiio: pois todo vetorv que é combinação linear de v., ... , vn, w é também combinação linear de Espaços vetoriais 47 Supondo que: v E [v 1 , ... , vn, w], então existem números reais b1, ••• , bn, b tais que mas: logo: ou e, portanto, v é combinação linear de Vi, ••. , vn, isto é, A recíproca, ou seja, sev E [v 1, .. . , Vn], então v E [v1, ... , Vn, w] é trivial, pois Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentannos vetores de S a esse conjooto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S. Esse fato faz entender que um determinado subespaço S pode ser geraáo por uma infinúiade de vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gerá-lo. 2.5.2.1 Problemas Resotvidos 6) Seja V = JR 3 • Determinar o subespaço gerado pelo vetor v - ( 1 2 3) 1 - , • . Solução Temos: [v1 J = { (x, y, z) E IR.:. /(X. y, z) = a(l, 2, 3), a E JR} 48 Álgebra linear vem: Da igualdade: (x, y, z)-= a(l, 2, 3) X= a y= 2a z = 3a donde ou y =2x z = 3x Logo, [vi]= {(x,y,z) E IR.3/y=2x e z=3x} [vd = {(x, 2x, 3x); x E IR} O subespaço gerado por wn vetor v1 E Il<3 , v1 * O, é uma reta que passa pelo ori8em (Figura 2.S.2a). Se a esse vetor acrescentarmos v2 , v3 , ... , todos rolineares entre si, o subespaço gerado por 2, 3, ... vetores continuará sendo a mesma reta: z z X Fi8ura 2.S,2a X Figura 2.S.2b Espaço,t vetoriais 4<i 7) Seja V = JR.3 • Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = {v1, v2 }, sendo vi = (1, -2, -l) e v 2 = (2, l , 1). Solução Temos: Da igualdade acima, vem: a1 + 2a2 = X -231 + 32 = y O vetor (x, y, z) E [v1 , v:.J se, e somente se, o sistema tem solução. e isto somente ocorre quando x + 3y - 5z = O (exercício a cargo do leitor). Logo: O subespaço gerado pelos vetores vi, v1 E R 3 , não-colineares, é um plano 11 que passa pela origem (Figura 2.S.2c). Se a esses dois vetores acrescentarmos v3 , v4 , •.• , todos copla1111Tes, o subespaço gerado por 3 , 4, ... vetores continuará sendo o mesmo plano 1r: z .... .. y .. y X X Figura. 2.5.2c Figura 2.S.2d 50 Álgebra linear 8) Seja V= .IR.3. Determinar o subespaço gerado pelo conjwito A = { v1 , v2, V3}, sendo vi= (1, 1, 1), v2 = (1, l, O) e V3 = (1, O, O). Solução Paratodovetor (x,y,z) E [vi,v2,v3], tem-se: Desta igualdade, vem: ou: Portanto: (x, y, z) = z(l, 1, l) + (y-z)(l, 1, O)+ (x -y)(l, O, O) e, por conseguinte, os vetores Vi, v2 e v3 geram o R 3 , pois cada vetor do R 3 é combinação linear dos vetores dados. Logo: O subespaço gerado por três vetores não-coplanares é o próprio R" (Figura 2.5.2e). Se a esses três vetores acrescentarmos v4 , v5 , ••. quaisquer, o subespaço gerado pelos 4, 5, ... vetores continuará sendo o próprio :R3 : X z ... ......... ..... - ...... \ \ \ Figura 2.5.2e m• 9) Mostrar que o conj unto A= { (3, 1 ), (5, 2) } gera o JR2 . Solução J::spaços i•etoriais 5 / ... y Vamos mostrar que todo vetor (x, y) E IR2 é combinação linear dos vetores do conjWlto A, isto é, sempre existem os números reais a 1 e a2 t ais que: Daí vem o sistema: que, resolvido em tennos de x e y, fornece: a1 = 2x - Sy e a2 = 3y - x Portanto: (x, y) == (2x - 5y)(3, 1) + (3y- x)(S, 2) isto é: G(A) = IR2 .52 Álgebra linear 10) Sejam V;; M(2, 2) e o subconjunto A= [-1 2] [3 -1] -2 3 , 1 l Determinar o subespaço G(A). Soluç§o Para todo vetor X y V = E G(A), z t tem-se: [x y]=a[l ~+b[3 ~1 z t -2 ~ 1 J e daí o sistema: 2a - b = y -2a + b = z 3a + b = t que é compatível se: Z = -y e X = -2:y + t Logo: G(A) = r-2y + t y]; y, t E IR -y t Espaços vetoriais 53 2.6 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A. AC V, tal que V=G(A). Com exceção do Exemplo 6 de 2.2, os demais exemplos de espaços vetoriais citados até aqui são finitamente gerados. Por exemplo, vimos que o .R3 é gerado pelo conjunto finito de três vetores A= {(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, l)} pois, para todo (x, y, z) E IR.3, tem-se: (x, y, z) = x(l, O, O)+ y(O, l, O)+ z(O, O, L) Em nosso estudo trataremos somente de espaços vetoriais finitamente gerados. Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os polinômios reais. Na verdade, dado A"" { Pt, ... , Pn} CP, onde Pi é wn polinônúo de grau i e Pn o de mais alto grau, qualquer combinação linear tem grau ;;;;; n. Assim, o subespaço [p1 , .•. , Pn J contém somente polinômios de grau menor ou igual ao grau de Pn· Corno P é .formado pl.lr todos os polinômios, existem nele polinômios de grau maior que o de Pn· Logo, G(A) * P para todo conjunto finito A C P. 2.7 DEPENDÉNCIA E INDEPEND~NCIA LINEAR No problema 8 de 2.5.2.l, chamamos a atenção para o fato de que o espaço vetorial R3 pode ser gerado por três vetores, ou também por quatro, ou por cinco etc. Assim, três vetores cons• tituem o número mínimo neoessário para gerar o lR3 • No entanto, quatro, cinco ou mais vetores podem gerar o .IR3 • Porém, nesse caso, sobram vetores no conjunto gerador. Em nosso estudo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível. Para a determi• nação do menor conjunto gerador de wn espaço vetorial, precisamos ter a noção de dependência e independência linear. 54 Álgebra linear 2. 7.1 Definição Sejam V um espaço vetorial e Consideremos a equação Sabemos que essa equação admite pelo menos uma soluçfo: a1 = O, a2 = O, ... , 3n = O chamada solução trivial. (2.7) O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v 1, ... , Vn são LI, caso a equação (2 .7) admita apenas a solução trivial. Se existirem soluções ai~ 0; diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v 1 , ... , v n são LO. Exemplos 1) No espaço vetorial V=.IR.3, os vetores v1 =(2,-L,3), v2 =(-1,0,-2) e v3 =(2,-3, 1) formam um conjunto linearmente dependente, pois ou seja; 3(2, -1, 3) + 4(-1, 0,-2)- (2, -3, l) = (O, O, O) 2) No espaço vetorial V= lR4, os vetores v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (O, 5, -3, 1) e v3 = (O, O, 4, -2) são linearmente independentes. De fato: a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, l) + c(0, O, 4, -2) = (O, O, O, O) (2a, 2a, 3a, 4a) + (O, Sb, - 3b, b) + (O, O, 4c, -2c) = (O, O, O, O) (2a, 2a + Sb, 3a - 3b + 4c, 4a + b - 2c) = (O, O, O, O) isto é: 2a ~ O 2a + Sb = O 3a - 3b + 4c = O 4a + b - 2c = O O sistema admite unicamente a solução: a==O. b==O e c:::O Espaços vetoriais 55 3) No espaço vetonal IR3 , o conjunto { e 1, e2 • e3 } , tal que e1 = (l, O, O), e2 -= (O. 1, O) e e3 = (O. O, l ), é LI. De fato, a equação: ou: transforma-se em: e. portanto Logo, o conjunto: { ( 1, O, O), ( O, I. O), ( O. O. 1) i é Ll. De forma análoga mostra-se que os vetores e 1 = (1, O. O, .... O), e2 = ( O, 1, O, .... O). .. . en = ( O, O, O •... , 1) formam um conjunto linearmente independente no IR" 56 Ãlgebra linear 4) No espaço vetorial M ( 3, 1) das matrizes-colunas, de ordem 3 x 1, os vetores: l o o o o são LI ( verificação a cargo do leitor). 5) No .IR2 , os vetores e 1 = (l, O) e e, -= (O, l) são LI. No entanto, os vetores e 1 , e1 e v = (a, b) são lD. De fato: x(I,0)+y(0, l)+z(a, b)=(O,O) (x, O) + (O, y) + (az, bz) = (O, O) (x+az, y+bz)-=(O,O) isto é: 1 x-taz.=ü y + bz = O O sistema admite ao menos uma solução não-trivial. Por exemplo, fazendo z::: 1. vem: x = -a e y = -b Logo: 6) No espaço vetorial M (2, 2), o conjunto 2 2 -3 3 A= -3 3 o 3 é LD. Examinemos a equação -1 2 2 l 3 ou, de modo equivalente e daí o sistema: - a1 + 2a2 + 3a3 = O 2a1 - 3a2 - 4a3 = O -3a1 + 3a2 + 3a3 = O ª1 + 33 = Ü -3 o Espaços veroriais 5 7 ( 1 l 3 -4 o o = 3 l o o o o = o o Como existem soluções ai -=I= O para a equação (1 ), o conjunto A é LD. Observação Vamos suhstituir a solução do sistema na equação (1 ): ou. para todo a3 E IR. 58Álgebra linear Dividindo ambos os membros dessa igualdade por a3 * O, resulta: e daí. vem: (v, é combinação linear de v2 e v3 l ou: ( vl é combinaçao linear de v1 e v3) ou, ainda: (v3 é combinação linear de v1 e vl) Como se observa, sendo A um conjunto LD, então um vetor de A é combinaçao linear dos outros. Esse fato e sua recíproca constituem o teorema seguinte. 2.7.2 Teorema "Um conjunto A; { v1 , ... , vi, ... , vn; é LO se. e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros." A demonstração é constituída de duas partes: 1 íi) Seja A linearmente dependente. Então. por definição. um dos coeficientes da igualdade deve ser diferente de zero. Supondo que ai =f:. O. vem. OU. ª1 vi "' --v1 ai I!, portanto. vi é uma combmaçâo linear dos outros vetores. Espaços vetoriais 59 2?) Por outro lado, seja vi uma combjnaç.ão linear dos outros vetores: ou. ainda: e, portanto, a equação se verifica para bi * O. No caso, bi = -1. Logo, A é LD. Observações 1) Esse último teorema pode ser enunciado de forma equivalente: ·•um conjunto A= { v 1 , .•• , v n } é LI se. e somente se, nenhum desses vetores for combinaçfo linear d~ outros." 2) Para o caso particular de dois vetores, temos: "Dois vetores v I e v7 são LD se. e somente se. um vetor é múltiplo escalar do outro." Por exemplo, os vetores VI = (l, -2, 3) e V2 = (2, -4, 6) são LD, pois ou: 60 Álgebra linear enquanto V1 = (I, -2, J) e V2 = (2, 1, 5) são LL pois v1 * kv2 para todo k E .Dl 3) Nos gráficos a seguir apresentamos uma interpretação geométrica da dependência linear de dois e três vetores no IR.3. z é LD X (v1 e v1 estão representados na mesma reta que passa pela origem) l. X ----1 - ' I I v, I {v1 , v2 e v3 estão 1epresentados no mesmo plano que passa pela origem) z v, X l --1 ----- I I I ' I { V l , V2, V 3 ; é LI X Espaços vetoriais 61 2. 7 .3 Problemas Resolvidos l l) Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos : b) { (2, -1), (1, 3)} C IR' e) {(-l, -2,0, 3), (2,-1, 0,0), (l,0, 0, 0)} e IR4 d) { 1 + 2x - x 2 , 2 - x + 3x2 , 3 - 4x + 7x2 } e P2 Solução a) Como o conjunto tem apenas dois vetores com um deles sendo múltiplo escalar do outro ( o segundo vetor é o triplo do primeiro), o conjunto é LD, de acordo com a Observação 2 do Teorema 2.7.2. b) Tendo em vista que wn vetor não é múltiplo escalar do outro, o conjunto é LI. Mesmo que fôssemos examinar a igualdade: a (2, -1) + b (1, 3) = (O. O l concluiríamos que o sistema 2a + b= O -a+ 3b = O admite somente a solução trivial, o que vem confirmar ser o conjunto LI. 62 Álgebra linear e) Consideremos a equação: a (-l, -2, O, 3) + b (2, -1, O, O} + e ( 1, O, O, O) = ( O, O, O, O) Portanto: - a+ 2b + e= O -2a - b = O 3a = O Como o sistema admite apenas a solução trivial: a= b =e= O, o conjunto é LI. d) Seja a equação: a ( 1 + 2x - x 2 ) + b ( 2 - x + 3 x 2 ) + e ( 3 - 4x + 7 x 2 ) -= O ou: (a+ 2b+ 3c) + (2a- b- 4c)x +(-a+ 3b + 7c)x2 = O+ Ox + Ox2 Pelo princípio da identidade de polínômios, vem: a+ 2b + 3c-= O 2a - b- 4c = O -a+ 3b + 7c = O Como esse sistema admite outras soluções além da trivial, o conjunto é LD. Observação ( 1) O leitor deve ter notado que a variáve. x nos polinômios desse problema não desempenha nenhum papel no cálculo. Com o objetivo de simplificar. a cada polinômio do tipo a0 + a1x + a2 x 2 . associa-se a terna (ao, a,, a2 ). Espaços vetori,ais 63 Assim, a igualdade (1) desse problema poderia ter sido escrita assim: a( 1. 2. -1) + b(2, -L 3) + c(3, -4, 7) =(O, O. O) Simplificações análogas a essa podem ser feitas, por exemplo, associando: 2 ) [ª bJ E M (2, 2) com (a, b, e, d) E IR4 e d 3) a -t cx2 E P2 com (a. O. e) E IR:i e assim por diante. 12) Provar que se u e v são LI. então u + v e u - v também o são. Solução Consideremos a igualdade a(u+ v)+ b(u-v}=O (21 da· qual resulta (a+ b) u + (a - bl v = O ( 3) Como u e v sio LI. nessa igualdade ( 3 l deve-se ter: l a + b = O a - b = O sistema que admite somente a solução a= b = O. Logo, pela igualdade (2). u + v e u - v são LI 64 Ãlgebra linear 13) Determinar o valor de k para que o conjunto { (I , O. -1). ( L 1, O), (k, l , -1 ) } seja LI. Solução O conjunto será Ll se, e somente se, a equaç~o a(l,0,-J)+b(l, 1,0)+c(k, 1,-1)=(0,0,0) admitir apenas a solu~o a= b = e= O. Dessa equação, vem: a+ b + kc = O b+ e =O -a -e= O Para que esse sistema admita apenas a solução trivial, deve-se ter k * 2 (a cargo do leitor). Logo, o conjunto será LI se k * 2. 2.7.4 Propriedades da Dependência e da Independência Linear Seja V um espaço vetorial. () Se A= { v} e V e v =I= O. então A é LI. De fato Como v * O, a igualdade av= O só se verifica se a = O. t:spaços vetoriais 65 Observação Considera-se, por definição. que o conjunto vazio (/) é LI li) Se um conjunto A C V contém o vetor nulo, então A é LO. De fato: Seja o conjunto A= i: v1 •.• O ..... vn} . Então. a equação O.v1 + ... +a.O+ ... + O.vn = O se verifica para todo a * O. Portanto. A é LO. Ili) Se uma parte de wn conjunto A e V é LO. então A é também LD. De fato: Sejam A = { v1 , ... , v1 , ... , vn } e a parte Como A1 é LD, existem ai'* O que verificam a igualdade: e esses mesmos ai * O verificam também a igualdade Logo, A= { v1 .... , vr, ... , vn} é LD. IV) Se wn conjunto A C V é LI, qualquer parte A1 de A é também LI. Oe fato, se A1 fosse LD. pela propriedade anterior o conjunto A seria também LD, o que contradiz a hipótese. 66 Álgebra linear Observação Se todos os subconjw1tos próprios de um conjunto finito de vetores são LI. o fato não significa que o conjunto seja LI. De fato, se considerarmos no IR2 os vetores e1 = ( 1, O), ei "'(O, 1) e v-: ( 4, 5), verificaremos que cada um dos subconjuntos { e1 , e2 }. { e1 , v}. { e2 • v} . { e1 } • { e2 } e { v} é LI, enquanto o conjunto { e1 , e2 , v; é LD. V) Se A"' { v1 , ... , v0 } C V é LI e B = { v1 , ... , v0 , w} C V é LD, então w é combinação linear de v1 , ... , vn De fato: Como 8 é LD, existem escalares a1 , ... , a0 , b, nem todos nulos, tais que: a1v1 + ... +anv0 +bw=O. Ora. se b "' O. então algum dos aí não é zero na igualdade: Porém esse fato contradiz a hipótese de que A é LI. Conseqüentemente, tem-se b * O, e. portanto: o que implica isto é. w é combinação linear de v1 , ... , v0 2.8 BASE E DIMENSÃO 2.8. 1 Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = { v1 .... , v0 ; CV é uma base do espaço vetorial V se: () B é LI; ll) B gera V. Exemplos 1 ) B = { ( 1, 1 ). ( -1. O) } é base de IR 2 e daí De fato 1) Bé LI.pois a(l. l)+h(-1.0)==(0. O) implica. / a - a b == O = o a==h=ü 11) B gera !Ri, pois para todo (x, y) E IR2 • tem-se (x, y) == y(l. 1) + (y - x)(-1. O) Realmente. a igualdade (x, y) == a( 1. 1) + b(-1. O) implica 1 a - a h = X = y donde a=y e b"'y-x Espaços vetoriais 6 7 Os vetores da base B estão representados na Figura 2.8.l. Em 2.7.2 já havíamos visto que dois vetores não-colineares são LI. Sendo eles do IR.2, irão gerar o próprio IR.2. Na verdade. quaisquer dois vetores não-colineares do IR2 formam uma base desse espaço. 68 .4lgebra linear y 1 (1.1) l-1 , O) o f'ígura 2.8. 1 2) B = { ( 1. O), (O. 1)} é base de IR.2. denominada base canónica. De fato: I) BéLl,pois a(I.O)+b(O,l)=(ü,O) implica a-=b=O; II) BgeralR2 ,poistodovetor (x,y) E IR.2 étalque: (x,y)=x(l,O)+y(O, 1) 3} Consideremos os vetores e 1 = (l, O, O, ... , O), e2 ;:;- (O, l, O, ... , O), ... , ~ = (O, O, O, ... , 1). ~o exemplo 3 de 2.7.i deixamos claro que o conjunto B = { e1 , e2 , .•. , en} é Ll em JR.n_ Tendo em vista que todo vetor v = (x1 , x2 , .•• , x0 ) E IRº pode ser escrito como combi- nação linear de e 1 , e2 , ... , e0 , isto é: conclui-se que B gera o JRº. Portanto, B é uma base de IRº. Essabase é conhecida como base canônica do .IRº. Conseqüentemente: { (1, O, O, O), (O, l, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O. 1)} é a base canônica de IR4 ; { (l, O, O), (0, 1, O), (O, O, I)} é a base canônica de R 3 ; { ( l, 0), (O, l)} é a base canônica de JR2 ; { 1 } é a base canônica de IR. 4) B = é a base canônica de M (2, 2). De fato : a ou: a e 1 o e daí : b d o o +b = o o a= b =e = d= O. Portanto, B é LI. o o o o 1 o +e o o o +d o o o Por outro lado, 8 gera o es paço M (2, 2), pois qualquer a b E M(2. 2) e d pode ser escrito assim: a b e d = a o o o +b Logo, B é base de M (2, 2). o +e o o o o o + d = o o o o o Espaços vetoriais 69 o o 70 Álgebra linear 5) O conjunto B :; { l, x. x2 , ••• , x"} é uma base do espaço vetorial P n De fato. implica a0 "' a1 -=- a2 -=- ... = ªn = O pela condição de identidade de polinômios. Portanto, B é LI. Por outro lado. B gera o espaço vetorial P n· pois qualquer polinômio p E P n pode ser escrito assim que é uma combinação linear de l, x, x2 •..• x" Logo, B é uma base de P n · Essa é a base canônil'a de P n e tem n + l vetores. 6) B"' { (1. 2), {2. 4)} não é base de IR2 • pois B é LD (exercício a cargo do leitor). 7) B"' { (l. O), (O, 1 ), (3, 4); não é base de IRi, pois 8 é LD (exercício a cargo do leitor). 8) B"' { (2, -1)} não é base de IR.2. 8 é LI, mas não gera todo IR.2, isto é, [(2, -1)) .,,,,_ IR2 Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem. 9) J:l.-== {(1.2, l),(-1,-3,0)} não é base de IRJ B é Ll.masnãogeratodo IR3 . Observação "Todo con;unto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado." Por exemplo, o conjunto B= {(1,2, 1),(-1,-3,0)} e IR3 é LI e gera o subespaço S-== { (x, y, z) E IR.3 /Jx - y - z =O} Então, B é base de S, pois B é LI e gera S. Espaço11 ve1oriais 71 2.8.2 Teorema Se B = { v1 , v2 , ••• , v n } for Úma base de um espaço vetoríal V, então todo cor,/umo com mais de n vetores será linearmente dependente. De fato: Seja B'= {w1,w2, ... ,wm} wn oonjunto qualquer de m vetores de V, com m>n. Pretende-se mostrar que B' é LD. Para tanto, basta mostrar que existem escalares x1 , x2 , .•• , x0 não todos nulos tais que (1) Como B é uma base de V, cada vetor wi pertencente a B' é uma combinação linear dos vetores de B, isto é, existem números ai, /Ji, .. ., 6 í tais que: (2) Substituindo as relações (2) em (l ), obtemos: ou ordenando os termos convenientemente: 72 Álgebra linear Tendo em vísta que v1 , v2 , .•. , vn são LI, os coeflcíentes dessa combinação linear são nulos: Esse sistema linear homogêneo possui m variáveís Xi, x2 , ... , xm e n equações. Como m > n, existem soluções nâo-trívfais, isto é, existe "i * O. Logo, B' = { W1, W2, ... , wm} é LD 2.8.3 Corolário Duas bases quaísquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. De fato: Sejam A== { v1 , ... , vn} e B = { w 1 , ... , wm} duas bases de wn espaço vetorial V. Como A é base e B é LI, pelo teorema anterior, n ~ m. Por outro lado, como B é base e A ~ LI. tem-se 11 ,i;;; m. Portanto, n = m. Exemplos 1) A base canôníca do IR3 tem três vetores. Logo, qualquer outra base do IR3 terá também três vetores. 2) A base canônica de M(2, 2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de M(2, 2) terá quatro vetores. 2.8.4 Dimensão de um Espaço Vetorial Seja V um espaço vetorial. Espaços vetoriais 73 Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se dim V= n. Se V não possui base, dim V = O. Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se dim V= 00 • Exemplos 1) dim IR.2 = 2, pois toda base do IR.2 tem dois vetores. 2) dím IRn = n. 3) dím M (2, 2) = 4. 4) dim M(m, n) = m x n. 5) dimPn==-n+l. 6) tlim {O} = O. Observações 1) Seja V um espaço vetorial tal que dim V; n. Se S é um subespaço de V. então dim S ~ n. No caso de dim S :::. n. tem-se S = V. Para permitir uma interpretação geométrica, consideremos o espaço tridimensional IR.3 ( dim ffi.3 :::. 3). A dimensão de qualquer subespaço S do R 3 só poderá ser O, 1, 2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: I) dim S"' O, então S = {O} é a origem II) dim S = 1 , então S é uma reta que passa pela origem. 74 Ãlgebra linear III) dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. IV) dim S = 3, então S é o próprio JR3 2) Seja V um espaço vetorial de dimensão r.. Então. qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD. 3) Sabemos que wn conjunto B é base de um espaço vetorial V se B for LI e se B gera V. No entanto, se soubermos que dim V= n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das condições de base esteja satisfeita. A outra condição ocorre automatica- mente. Assim: [) Se dim V= n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. II) Se dim V= n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma basede V. Exemplo O conjunto B = { (2, 1), (-1, 3); é wna base do IR2 . De fato, como dim ffi.2 = 2 e os dois vetores dados são LI (pois nenhum vetor é múltiplo escalar do outro), eles formam uma base do IR2 . 2.8.5 Teorema Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V. A demonstração está baseada no Teorema 2.7.2 e no conceito de dimensão. Deixaremos de demonstrar o teorema e daremos apenas um exemplo a título de ilustração Espaços vetoriais 75 Exemplo Sejamos vetores v1 -=(1,-1,1,2) e v2 =(-1, 1,-1,0). Completar o conjunto { v1 • v2 } de modo a formar uma base do IR 4 . Solução Como dim IR4 = 4, uma base terá quatro vetores LI. Portanto, faltam dois. Escolhemos um vetor v3 E IR 4 tal que v3 não seja uma combinação linear de v1 e v2 , isto é, v3 #: a1 v1_ + a2 v2 para todo a 1 , a2 E IR. Dentre os infinítos vetores existentes, um deles é o vetor v3 = ( 1, 1, O, O), e o conjwlto { v1 , v2 , v3 } é LI (se v3 fosse combíoação linear de v1 e v2 esse conjunto seria LD de acordo com o Teorema 2.7.2). Para completar, escolhemos um vetor v4 que não seja uma combinação linear de v1 , v2 e v 3 Um deles é o vetor v 4 = ( L O. O, O). e o conjunto { v 1 , v2 • v,. v 4 } é LI. Logo, {(1,-1, 1,2), (-1, L-l,0),O. LO.O), (1,0,0,0)} é uma base de IR.4 . 2.8.6 Teorema Seja B = { v1 , v2 , ... , v0 } uma base de um espaço vetorial V. Então. todo vetor v E V se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores de B. De fato• Tendo em vista que B é uma base de V, para v E V pode-se escrever: (1) Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como outra combínação linear dos vetores da base. ter-se-ia: (2) 76 Álgebra linear Subtraindo, membro a membro, a igualdade (2) da igualdade (1), vem: Tendo em vista que os vetores da base são LI: isto é; Os números a1 , a2 , ... , ª" são, pois, unívocamente determinados pelo vetor v e pela base {v1,v2,.,.,vn}· 2.8.7 Componentes de um Vetor Seja B = { v1, v2, ... , v0 } uma base de V. Tomemos v E V sendo: Os números a1, a2 , ... , a0 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base B e se representa por: ou, com a notação matricíal: Erpoços vetoriais 77 A n-upla (a1 , a2 , ..•• a0 ) é chamada vetor-coordenada de v em relação à base B, e o vetor• coluna é chamado ma"iz-coordenada de v em relação à base B Exemplo No JR.2 , consideremos as bases A={(l,0),(0,1)}, B={(2,0},(l,3)} e C={(l,-3),(2,4)} Dado o vetor v= (8, 6), tem-se: (8,6)=8(1,0) +6(0,1) (8, 6)= 3(2, O) + 2(1, 3) (8, 6)= 2(1, -3)+ 3(2, 4) Com a notação acima, escrevemos: O gráfico da página seguinte mostra a representação do vetor v = (8,6) em relação às.bases Ae B. ObservaçSo No decorrer do estudo de Álgebra Llnear temos, às vezes, a necessidade de identificar rapidamente a dimensão de um espaço vetorial. E, uma vez conhecida a dimensão,obtém-se facilmente uma base desse espaço. 78 Álgebra linear Uma fonna prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar o número de variáveis livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço. 2(1, 3) 6(0, 1) I 1 I ' I ' 3 ' t ' • ' t ' ' ' (0, l) I ' X (1,0) (2.0) 3(2. O) 8(1. O) Exemplo Determinar a dimensão e um a base do espaço vetorial S.::: { (x. y. z)E JR3 /2x + y + z =o~ Solução Isolando z {poderíamos também isolar x ou y) na equação de definição. tem-se. z=-2x-y onde x e y são as variáveis livres. Qualquer vetor (x, y, z) E S tem a forma: (x,y,-2x-y) e, portanto, podemos escrever: (x, Y, z) = (x, y, -2x - y) Espaços vetoriais 79 ou: (x. y, z) = (x, 0,-2x) + (O, y,-y) ou: (x,y,z) = x(l, O, -2) + y(O, 1,-1) (l) isto é, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (l,O, -2) e (O, 1,-1). Como esses dois vetores geradores de S são LI, o conjunto { (I, 0,-2), (O, l, -1)} é wna base de S e, conse- qüentemente, dim S = 2. Por outro lado, tendo em vista que a cada variável livre corresponde um vetor da base na igualdade (1 ), conclui-se que o número de vaTidveis livres é a dimensão do espaço. Na prática podemos adotar uma maior simplificação para determinar uma base de um espaço. Para esse mesmo espaço vetorial S, onde z = -2x -y, temos: fazendox= 1 e y=l.vemz=-2(1)-1 =-3 :. v1 =(1,l,-3) fazendo x=-1 e y=2, vem z=-2(-1)-2= O:. v1 =(-1.2.0) e o conjunto {(1, l,-3),(-1,2,0)} é outra base de S. Na verdade, esse espaço S tem infinitas bases. porém todas elas com dois vetores. 2.8.8 Problemas Resolvidos 14) Sejam os vetores v1 = (l, 2, 3), v2 = (O, l. 2} e v3 = (O, O, 1). Mostrar que o conjunto B = {v 1 • v2 • v3 } é uma base do IR 3 . Solução Para provar que 8 é LI, deve-se mostrar que 80 Álgebra linear admite somente a solução a1 = a2 =- a3 = O. Com efeito, equivale ao sistema cuja única solução é a trivial: Logo, 8 é LI. P.ara mostrar que B gera o IR.3, deve-se mostrar que qualquer vetor v = (x, y, z.) E .IR3 pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de B: Em termos de componentes, tem-se ou; sistema esse que admite solução para quaisquer valores de x, y, z, ou seja, todo vetor v = (x, y, z) é combinação linear dos vetores de B. Resolvendo o sistema encontramos: Espaços vetoriais 81 isto é: (x, y, z) = x(l, 2, 3) -t- (-2x + y) ( O, 1, 2) + (x - 2y + z)(O, O, l) Satisfeitas as duas condições de base, mostramos que B é base do IR.3 . IS) No problema anterior mostramos que: B ~ {(l, 2. 3), (O, l. 2), (O, 0.1) ~• é uma base do IR.3 . a) Determina• o vetor-coordenada e a matriz-coordenada de v = (5, 4, 2) em relação a B. b) Detenninar o vetor v E IR3 cujo vetor-coordenada em relação a B é v8 = (2. -3, 4) Solução a) Devemos encontra• escalares a 1 , a2 . a3 tais que: •JU: Resolvendo o sistema, obtém-se Portanto 5 v 8 =(5, -6,-1) e v8 = -6 -1 82 Álgebra linear Se tivéssemos aproveitado o resultado do problema anterior, onde: (x,y,z)=x(l,2,3)+(-2x+y)(0, 1.2)+(.x-2y+z)(0,0, 1) teríamos imediatamente: (5,4,2)=5(1,2,3)- 6(0. l. 2)-1(0,0, l) pois, nesse caso: x=5 - 2X -+- y = - 2 ( 5) + 4 -= - 6 x - 2y + z = 5 - 2( 4) + 2 = - l b) Por definição de vetor-coordenada v8 = ( 2, -3. 4 ). obtém-se: v = 2 (1, 2. 3) - 3 ( º· l, 2) + 4 ( º· O. 1) = ( 2, l. 4) Observemos que em relação à base canônica A"' {(l. O, 0),(0, l, 0),(0. O, l)! tem-se: pois: V= \1 A v=(2. 1. 4) = 2(1, O. 0) + l (0. l. O)+ 4(0. O, 1) 16) Consideremos os seguintes subespaços do IR.4 : S1 = { (a. b, e, d)ia + b + e= O} .: S2 = { (a, b, e. d)/a - 2h-= O e e"' 3d} Determinar: e&paços vetorklis 83 a) dim S1 e uma base de S1 . b) dím S2 e uma base de S2 . Solução a) A condição: a+b+c=O é equivalente a: a= -b - e Portanto, as variáveis livres são b, e e d. Logo, dim S1 = 3, e qualquer subconjunto de S 1 com três vetores LI forma uma base de S,. Façamos ( 1) b = 1, e = O, d = O (2) b = O, e = 1, d = O (3) b = O. e= O, d= 1 para obter os vetores: O conjunto { v1, v2 , v3 } é uma base de S1 . b) Um vetor (a, b, e, d) E S2 se a= 2b e e= 3d. As variáveis livres são b e d. Logo. dim S2 = 2, e qualquer subconjunto de S2 com dois vetores LI forma uma base desse espaço. Façamos: (1) b= 1, d=O e (2) b = O. d= 1 para obter os vetores v1 =(2. l, O. O) e v2 =(O. O. 3, 1) O conjunto { v,. v2 } é uma base de S2 . 84 Álgebra linear 17) Seja S o subespaço de P2 = { at2 + bt + e/a, b, e E IR} gerado pelos vetores v1 = f - 2t + l, v2 = t + 2 e v3 = t2 - 3t - 1 . Determinar: a) Uma base de S e dim S. b) Uma base de P1 com a presença de v1 e v2• Solução a) Para facilitar a notação, observemos que os vetores v1 , v2 e v3 em relação à base canônica A= { t2 , t, l} de P2 sã'o: Vejamos se esses vetores são LI ou LO. Para tanto, examinemos a igualdade ou: ou, ainda: sistema que admite soluções ai :1: O. Logo, os vetores v1 , v2 e v3 são LD e, portanto, o conjunto { v1 , v2 , v3 } não é base de S, isto é, dim S :/: 3. Observando que o conjunto { v 1 , v2 } é LI (pois nenhwn vetor é múltiplo escalar do outro), ele constitui uma base de S. Logo, dim S - 2. Espaços vetoriais 85 b) Tendo em vista que dím P2 = 3, precisamos acrescentar um vetor v ao conjunto •: v1 ,v2 } de modo que v*a1 v1 +a2 v2 • Um deles é o vetor v=t 1 ou (v)A = (1 . 0 , 0). (verificação a cargo do leito r). Logo, o conjunto: { t2 - 2t + l, t + 2, t 2 } é uma base de P2 . 18) Determinar uma base e a d.imensâo do espaço"6olução do sistema homogêneo Solução X+ 2y - 42 + 3t = Ü X + 2y - 2z + 2t "' Ü , 2x + 4y - 2z + 3t = O O conjunto-solução do sistema é: S = { (x, y, z, t)/t = 2z e x = -2Y - 2z} que é um subespaço vetorial do IR4 . Tendo em vista serem duas as variáveis livres (y e z), conclui-se que dim S = 2. Logo, qualquer subconjunto de S com dois vetores LI forma uma base de S. Façamos (1) y = 11 z = o l2)y=O, z =I para obter os vetores v1 = (-2 , 1, O, O) e v2 =(-2, O, 1, 2) O conj unto { v1 , v2 } é uma base de S. 86 Álgebra linear 2.9 ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS Consideremos o espaço vetorial V = P 3 = { at 3 + bt2 + ct + d/a. b, e, d E IR } e seja B={v1,v2 ,v3 ,v4; uma base de P3 . Fixadaumabase,paracadavetor vEP3 , existe wna só quádrupla (a 1, a2 , a 3 • a4) E 1R 4 tal que: Reciprocamente, dada uma quádrupla (a1, a2, a3, a4) E IR.4 , existe um só vetor em P3 da forma: Assim sendo. a base B = { v1 , ... , v4 ; detennina wna correspondência btunivoca entre os vetores de P3 e as quádruplas (a1 , .•. , a4 ) em 1R.4 . Observemos ainda que: a) Se v= a1v1 + ... + 34V4 E P3 corresponde a (a1 , .•. , a4 )E IR4 e w= b1v1 + ... t b4 v4 E P3 corresponde a (b1 , ..• , b4 ) E IR 4 então: corresponde a b) PaTa k E IR. corresponde a Espaços vetoriais 87 Assim, quando os vetores de P3 são representados como combinação linear dos vetores da base B == { v1 , v2 , v3 , V4 ~ , a adição de vetores e a multiplicação por escalar se "comportam" exatamente da mesma forma como se fossem quádruplas do IR4 . Em outras palavras diríamos que a correspondência biunívoca entre P3 e IR. 4 preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. isto é: ( V -t W) = V t W B B B e. nesse caso, dizemos que os espaços P3 e IR 4 são isomorfos. Observemos ainda que o espaço vetorial M (2. 2) é também isomorfo ao IR.4 • De forma análoga, prova-se que· P2 é isomorfo a IR:' M (3. 1) é isomorfo a IR·' M(2. ll éisomorfoa IR2 ;: assim por diante· De um modo geral. tem-se• "Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V= n, então V e IRº são isomorfos." 2.10 PROBLEMAS PROPOSTOS Nos problemas l a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas
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