98830012-Teoria-Dos-Jogos-Resumo

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UnB- Universidade de Brasília
Projeto: Jogos Aplicados á Promoção do Desempenho Cognitivo de Idosos (ProDC)
Professora: Lourdes Mattos Brasil
Aluna: Dandara Pereira Aranha 
Resumo 
Livro: Teoria dos Jogos – 2° Edição . Editora: Pearson
Autores: H. Scott Bierman , Luis Fernandez 
Introdução 
 Embora dirigido a estudantes de graduação em economia, este livro pode 
ser útil para quem quiser aprender a linguagem e as idéias da teoria dos jogos em 
um nível de introdução. O livro dá ênfase na aplicação de um conjunto 
relativamente pequeno de ferramentas da teoria dos jogos para entender 
fenômenos econômicos importantes. 
Ele seleciona exemplos de uma ampla gama de áreas para que os 
estudantes possam perceber o poder da teoria dos jogos para quem estuda 
economia. Podemos encontrar aplicações da teoria na economia do trabalho, na 
economia do setor público, no comércio internacional, na economia de recursos 
naturais, na macroeconomia, e finanças corporativas, em atividades bancárias e, 
é claro na organização industrial, citando apenas algumas. Lendo o livro inteiro, 
além de aprender muito sobre teoria dos jogos, vê-se muita coisa sobre a 
moderna modelagem em economia. 
Parte I – Jogos Estáticos com informação Completa
Teoria dos jogos 
A teoria dos jogos preocupa-se com o modo como indivíduos tomam 
decisões quando estão cientes de que suas ações afetam uns aos outros e 
quando cada indivíduo leva isso em conta. É a interação entre tomadores de 
decisões individuais, todos eles com um propósito em vista, cuja decisões tem 
implicações para outras pessoas,o que torna as decisões estratégicas diferentes 
de outras decisões. 
É uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem 
ser observados quando dois ou mais “agentes de decisão” interagem entre si. Ela 
fornece a linguagem para a descrição de processos de decisão conscientes e 
objetivos envolvendo mais do que um indivíduo.
A Teoria dos jogos é usada para se estudar assuntos tais como eleições, 
leilões, balança de poder, evolução genética, etc. Ela é também uma teoria 
matemática pura, que pode e tem sido estudada como tal, sem a necessidade de 
relacioná-la com problemas comportamentais ou jogos per se.
Algumas pessoas acreditam que a Teoria dos Jogos formará em algum dia 
o alicerce de um conhecimento técnico estrito de como decisões são feitas e de 
como a economia funciona. O desenvolvimento da teoria ainda não atingiu este 
patamar e, hoje, a Teoria dos Jogos é mais estudada em seus aspectos 
matemáticos puros e, em aplicações, ela é usada como uma ferramenta ou 
alegoria que auxiliam no entendimento de sistemas complexos.
Assim concluímos que a teoria dos jogos pode ser definida como a teoria 
dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob 
condições de conflito. O elemento básico em um jogo /e o conjunto de jogadores 
que dele participam. Cada jogador tem um conjunto de estratégias. Quando cada 
jogador escolhe sua estratégia, temos então uma situação ou contigência no 
espaço de todas as situações (contigências) possíveis. Cada jogador tem 
interesse ou preferências para cada situação no jogo. Em termos matemáticos, 
cada jogador tem uma função utilidade que atribui um número real (o ganho ou 
payoff do jogador) a cada situação do jogo.
Mais especificamente, um jogo tem os seguintes elementos básicos: existe 
um conjunto finito de jogadores, representado por G = {g1, g2, . . . , gn}. Cada 
jogador gi ∈ G possui um conjunto finito Si = {si1, si2, . . . , simi} de opções, 
denominadas estratégias puras do jogador gi (mi ≥ 2). 
Um vetor s = (s1j1, s2j2, . . . , snjn), onde siji é uma estratégia pura para o 
jogador gi ∈ G, é denominado um perfil de estratégia pura. O conjunto de todos 
os perfis de estratégia pura formam, portanto, o produto cartesiano:
 denominado espaço de estratégia pura do jogo. Para jogador gi ∈ G, existe uma 
função utilidade
ui : S → R
s : → ui(s)
que associa o ganho (payoff) ui(s) do jogador gi a cada perfil de estratégia pura s 
∈ S.
 Um exemplo: Dilema do prisioneiro. 
Possivelmente o exemplo mais conhecido na teoria dos jogos é o dilema 
do prisioneiro. Ele foi formulado por Albert W. Tucker em 1950, em um seminário 
para psicólogos na Universidade de Stanford, para ilustrar a dificuldade de se 
analisar certos tipos de jogos.
A situação é a seguinte: dois ladrões, Al e Bob, são capturados e acusados 
de um mesmo crime. Presos em selas separadas e sem poderem se comunicar 
entre si, o delegado de plantão fez a seguinte proposta: cada um pode escolher 
entre confessar ou negar o crime. Se nenhum deles confessar, ambos serão 
submetidos a uma pena de 1 ano. Se os dois confessarem, então ambos terão 
pena de 5 anos. Mas se um confessar e o outro negar, então o que confessou 
será libertado e o outro será condenado a 10 anos de prisão.
Neste contexto, temos
G = {Al, Bob}, SAl = {confessar, negar}, SBob = {confessar, negar},
S={(confessar,confessar),(confessar, negar),(negar, confessar),(negar, negar)}.
As duas funções utilidade
uAl : S → R e uBob : S → R
são dadas por
uAl(confessar, confessar) = −5, uAl(confessar, negar) = −10,
uAl(negar, confessar) = 0, uAl(negar, negar) = −1,
(que representam os ganhos (payoffs) de Al) e
uBob(confessar, confessar) = −5, uBob(confessar, negar) = 0,
uBob(negar, confessar) = −10, uBob(negar, negar) = −1
(que representam os ganhos (payoffs) de Bob). É uma prática se representar os 
payoffs dos jogadores através de uma matriz, denominada matriz de payoffs. 
BOB
ALL 
Confessar Negar
Confessar (-5,-5) (0,-10)
Negar (-10,0) (-1,-1)
Nesta matriz, os números de cada célula representam, respectivamente, os 
payoffs de Al e Bob para as escolhas de Al e Bob correspondentes a célula.
Equilíbrio de Nash 
Diz-se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de Nash 
quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais 
jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores. Ou seja, cada um dos 
jogadores que fazem parte do jogo, ao definir sua estratégia, estará fazendo o 
melhor que pode, levando em conta o que seus oponentes estão fazendo.
Definição: em um jogo simultâneo, as estratégias (a*1,....,a*n) constituem 
um Equilíbrio de Nash se, para todo jogador i, a*i é a melhor resposta às 
estratégias especificadas dos outros (N-1) jogadores, a*-i , isto é, se:
ui(a*i, a*-i) ≥ ui(ai,a*-i)
para todo aiЄ Ai , para todo jogador i = 1,......,N.
De forma equivalente, podemos definir as estratégias (a*1,...,a*n) como um 
Equilíbrio de Nash caso, para todo jogador i, a estratégia a*i resolver o problema 
de max ui(ai, a-i*), escolhendo entre todos aiЄ Ai
.
Podemos, ainda, dizer que um conjunto de estratégias constitui um 
“Equilíbrio de Nash” se, caso todos os jogadores N - 1 (menos um), joguem as 
estratégias definidas pelo E.N, de modo que, para o N-ésimo jogador não exista 
nada melhor a fazer a não ser, também, escolher a estratégia para ele definida no 
“Equilíbrio de Nash”. Isso deve valer para todos os jogadores tomados 
individualmente.
Para encontrar um Equilíbrio de Nash, basta identificar a(s) melhor(es) 
resposta(s) de um jogador, diante de cada estratégia escolhida pelo(s) outro(s) 
jogador(es). Ao proceder assim para todos eles, quando houver uma coincidência 
entre as melhores respostas para todos os envolvidos, esse conjunto de 
estratégias será identificada como um “equilíbrio de Nash”.
Uma forma de fazer isso seria:
 Primeiro: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para o jogador 
que está situado nas linhas, para cada uma dasestratégias escolhidas pelo 
jogador que se encontra nas colunas. Podemos fazer isso colocando a letra “l” no 
lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida 
pelo jogador da linha.
 Segundo: indicar a estratégia que resulta na “maior recompensa” para o jogador 
que está situado nas colunas, para cada uma das estratégias escolhidas pelo 
jogador que se encontra nas linhas. Podemos fazer isso colocando a letra “c” no 
lado da recompensa, bem como, sublinhando ou circulando a recompensa obtida 
pelo jogador da coluna.
Este processo se repete para cada uma das linhas, bem como, para
cada uma das colunas.
 Após aplicarmos o método de assinar a melhor resposta do jogador nas 
linhas para cada estratégia do jogador nas colunas, bem como, assinalar a 
melhor resposta do jogador nas colunas para cada estratégia do jogador nas 
linhas, sempre que uma combinação de estratégias estiver assinalada 
“simultaneamente”, essa combinação de estratégias será um “Equilíbrio de Nash”.
 Oligopólios
 
Muitos mercados importantes não são nem perfeitamente competitivos nem 
perfeitamente monopolizados. Citamos, como alguns exemplos, automóveis, 
redes de transmissões televisivas, serviços telefônicos de longa distância, 
aeronaves militares de auto desempenho e equipamentos de geração de 
eletricidade. Esses mercados são geralmente denominados Oligopolistas ou 
Imperfeitamente competitivos. Em mercados oligopolistas, as decisões de 
precificação e produção de cada empresa no setor tem um efeito significativo 
sobre a lucratividade de seus competidores. Essas empresas nem são 
competitivas tomadoras de preços, nem são monopolistas definidoras de preços. 
Seus preços e níveis de produção são escolhas estratégicas em um jogo de 
oligopólio. 
Oligopólio de Cournot
Um oligopólio é uma estrutura de mercado intermediária entre os casos 
limites de monopólio e de competição perfetia. Nesse sentido a definição decorre 
de imediato: em um oligopólio há um número de firmas n > 1 tal que nenhuma das 
firmas é capaz, sozinha, de determinar o preço do produto no mercado (como 
seria o caso de um ambiente monopolista) mas no entanto cada uma dessas 
firmas é capaz de influenciar em alguma medida o preço que se estabelecerá.
O modelo de Cournot é um dos mais tradicionais modelos de oligopólios 
existentes na literatura. Embora originalmente, no trabalho de Cournot (1897, com 
a primeira edição em 1838), não tenha sido utilizado o conceito de equilíbrio de 
Nash (dado que esse não havia nem mesmo sido definido), a abordagem é 
necessariamente de teoria dos jogos - assim como é a maior parte da literatura 
moderna de organização industrial. A hipótese básica do modelo é que os 
jogadores (as firmas envolvidas) escolhem isoladamente a quantidade a se 
produzir, ignorando a escolha da(s) outra(s) firma(s).
O preço de mercado torna-se, portanto, endógeno: dada a quantidade total 
produzida no mercado, ele é definido com base na demanda agregada do setor. 
Outra hipótese é que os produtos de cada firma não são diferenciados pelos 
consumidores, i.e., são homogêneos. Definiremos as funções de custo de cada 
firma e a de demanda do mercado da maneira mais simples possível, assim como 
faz Gibbons (1992), de modo a evitar .algebrismos desnecessários e a destacar o 
mais importante, que é o processo de resolução do modelo.
Segue então que o modelo de Cournot diz respeito a um jogo estático onde 
as firmas escolhem simultaneamente o quanto produzir. Ainda que numa primeira 
aproximação possa parecer estranho conceber firmas decidindo 
simultâneamente, como num jogo de par ou ímpar, isso tem uma apelo intuitivo 
imediato: significa apenas que cada firma, ao fazer a sua escolha, não sabe qual 
foi a escolha da rival, situação essa que é extremamente comum no mundo real. 
Cada firma sabe apenas que a rival sabe que ela também não conhece a sua 
escolha e que a rival sabe que ela sabe que a rival não conhece
a sua escolha e assim infinitamente. Como é habitual, o problema da firma 
consiste em fazer suas escolhas de forma a obter o maior lucro possível. No 
entanto - e distintamente do modelo competitivo - a firma toma sua escolha 
considerando o fato de que as escolhas alheias (no caso as decisões de 
produção de suas competidoras) vão afetar o seu payo¤, caracterizando um 
elemento estratégico. Basicamente, ao tomar suas decisões, as firmas vão 
considerar um conjunto de restrições dadas pelas demanda dos consumidores do 
bem (especificada pela curva de demanda pelo produto), por restrições 
tecnológicas (que serão incorporadas na estrutura de custo de cada firma) e por 
restrições de competição dadas pelo número e pelas características dos seus 
competidores.
Vamos considerar um modelo simples onde duas firmas, 1 e 2, produzem 
um bem homogêneo cuja demanda é dada por
P (Q) = a – Q
onde a > 0 e Q = q1 + q2 é a oferta da indústria, dada pela soma do produto das 
firmas que compões essa indústria. Vamos considerar que para ambas as firmas 
o custo fixo é nulo é que o custo marginal (aqui ao custo médio) é constante e 
idêntico para as empresas,
 C1 (q1) = cq1 
C2 (q2) = cq2 
onde C pertence (0; a] por um motivo que ficará claro adiante. Podemos então 
representar esse jogo na forma normal
G = (S1; S2; u1; u2)
tal que temos
1. os jogadores: as firmas 1 e 2;
2. os espaços de estratégias dos jogadores, S1e S2 onde vamos supor que 
Si = [0; qi], i = 1; 2 . Note que nesse caso os conjuntos de escolhas das firmas é 
dado pelo espaço aonde as firmas podem escolher produzir: no mínimo zero e no 
máximo uma quantidade muito grande porém finita;
3. a função de ganho dos jogadores, u1 e u2. No caso de firmas, essas funções 
de ganhos são exatamente a função de lucro de cada uma delas, dadas por
π1 (q1; q2) = P (Q) q1 - cq1
π2 (q1; q2) = P (Q) q2 - cq2
que se expressa na diferença entre a receita e o custo da firma. Note que, como 
esperado, a função de ganho caracteriza o elemento de comportamento 
estratégico.O ganho de cada firma é determinado não só pela sua escolha - pela 
quantidade que ela resolveu produzir - como também pela escolha da 
concorrente.
 Como dito anteriormente, no modelo de Cournot o problema das firmas é 
escolher quantidades simultaneamente, procurando maximizar seus respectivos 
lucros. Tomemos o caso da firma 1 inicialmente. O seu problema é: 
de modo que as condições de primeira ordem do problema acima nos mostram 
que
tal que, resolvendo,
o que nos dá exatamente a melhor resposta que a firma 1 pode dar para toda 
conjectura a respeito da produção da firma 2. Chamamos essa expressão de 
função de reação da firma 1 e colocamos o termo entre aspas pelo fato de se 
tratar de um jogo de escolha simultânea: as firmas não estão reagindo 
exatamente à uma ação que elas observaram, mas sim à uma ação esperada 
da(s) concorrente(s). No entanto essa expectativa não é tomada aleatoriamente, 
mas assumindo que a .rma rival está operando também na
sua função de reação correspondente.
Uma outra observação relevante diz respeito à inclinação da .função de 
reação.. Observe que
o que nos mostra que a melhor reação que uma firma pode tomar em relação à 
variações na oferta da concorrente é seguir na direção contrária.
Procedendo da mesma forma para a firma 2, decorre (faça as contas) que
será a .função de reação. da firma 2, a melhor resposta que ela pode dar às 
escolhas da rival. Uma vez que temos em mãos as respectivas melhores 
respostas das firmas, fica trivial determinar o equilíbrio de Nash desse jogo: como 
definimos anteriormente, esse é dado pela interseção das melhores respostas. 
Substituindo q2 (q1) em q1 (q2), é fácil verificar que
q1 = (a- c)
de modo que o equilíbrio de Nash desse jogo é dado por
(q*1; q*2) = ( (a - c); (a - c))
Como qi [0; qi], concluímos que a ≥ c. A oferta da indústria é
e o preço de mercado
de modo que o lucro da firma 1 seria
Analogamente,
Π2= 
Por fim note que as hipóteses utilizadas de que há apenas duas firmas com 
estruturas de custos idênticos produzindo são apenas para simplificar a nossa 
análise. Na verdade, não há problemas algum em relaxá-las. Mostraremos abaixo 
o caso onde existem n oligopolistas e manteremos a hipótese de custos marginais 
iguais entre as firmas, apenas para obter um resultado de comparação mais fácil 
com o caso inicial, com duas firmas. Resolva como exercício o duopólio de 
Cournot onde, por exemplo, o custo marginal das duas firmas se diferem, 
comparando os resultados com os obtidos acima.
Utilizando a mesma estrutura anterior, teremos certamente quantidades 
produzidas idênticas para todas as n firmas, uma vez que suas estruturas de 
custos são as mesmas, o que de resto vai caracterizar um equilíbrio simétrico. 
Segue o problema de uma firma i qualquer é
de modo que as CPO.s nos mostram que
A .função de reação do jogador i é dada por
onde, notemos, ; a função de reação, como usual em 
Cournot, tem inclinação negativa. Nesse ambiente, com bens homogêneos e 
tecnologias similares (função custo), a implicação imediata de um equilíbrio 
simétrico é que, em equilíbrio, q1 = q2 = ::: = qn, de modo que
 Segue que a expressão acima fica
Logo, em equilíbrio,
O equilíbrio de Nash desse jogo é portanto cada firma produzir (a - c). A 
oferta da indústria e o preço do produto serão, respectivamente,
.
Segue que o lucro da i-ésima firma em equilíbrio será
Se n ∞, então podemos verificar (L.Hopital) que a oferta da indústria e o preço
serão, respectivamente, 
e o lucro de equilíbrio
πi = 0, i = 1; 2; :::; n
caracterizando um equilíbrio em competição perfeita (veri.que). Se n = 1, então
como esperaríamos em um monopólio.
Dito de outra maneira, quanto maior for o número de firmas do mercado, n, 
menor será a produção de cada firma. Particularmente, se existirem apenas duas 
firmas, voltaríamos ao caso anterior, como mostramos. Por outro lado, se n tende 
a infinito, a produção tende a zero, denotando o reduzido espaço que cada uma 
teria no mercado. Note por fim que o resultado acima nos dá outra interpretação 
genérica para esse ambiente: se a estrutura da indústria for um duopólio, o 
mercado corresponderá a apenas 2/3 do mercado de concorrência perfeita. Para 
uma indústria com 3 firmas, seria 3/4. Para 4 firmas, 4/5 e assim sucessivamente 
dado pelo termo . 
Oligopólio de Bertrand
• Betrand (1883): como Cournot, trata-se de um jogo de escolha simultânea 
e de informação completa, mas aqui as firmas competem entre si via 
escolha de preço, não de quantidade.
• Hipóteses:
- duas firmas, 1 e 2, que produzem um bem homogêneo.
- custo fixo é nulo e o custo marginal é constante e idêntico para ambas as
firmas, c > 0.
- assuma uma curva de demanda linear (para compararmos com Cournot) no
produto total
Q = a – p
onde p é o preço de mercado.
• as firmas declaram simultaneamente os preços e se dispõem a ofertar tudo 
o que for demandado àqueles preços.
- os consumidores compram da firma que cobra mais barato: segue que a firma
anuncia o menor preço detém todo o mercado enquanto a outra firma fica
forma do mercado.
- se ambas as firmas declaram o mesmo preço, então elas dividem o mercado
igualmente, cada uma com metade.
• o lucro de cada firma, como habitual, depende não apenas de sua própria 
escolha mas também é afetado pela escolha da rival. Tome o caso da firma 
1, por exemplo, seu lucro será
 - note que o lucro de 1 é positivo se p1 > c. Além disso, ele será tanto maior se 
seu preço for menor do que o da rival e apenas a metade se for igual. Por fim o 
lucro nunca será negativo na medida em que cada firma tem a prerrogativa de 
cobrar um preço igual ao custo marginal e assegurar lucro 0 na pior das 
hipóteses.
- como a situação é a mesma para a firma 2, vamos restringir nossa atenção para 
preços tais que
pi ≥ c, i = 1; 2
• qual o equilíbrio de Nash desse mercado?
- paradoxo de Bertrand: o único equilíbrio de Nash será ambas as firmas 
cobrarem um preço igual ao custo marginal e ambas terem lucro zero.
- como a função lucro é descontínua, nós não podemos mostrar esse resultado 
pelos argumentos padrões, diferenciando e resolvendo as condições de primeira 
ordem.
- então, o que fazer???
• observe que a firma com o menor preço detém todo o mercado. Segue que 
cada firma tem um incentivo a anunciar um preço menor do que o da rival. 
Em última instância, isso direcionará o preço de equilíbrio para baixo, até o 
custo marginal.
Vejamos agora o argumento formal para isso.
1. note que um equilíbrio de Nash do jogo é cada firma cobrar o custo marginal:
nesse caso cada firma tem metade do mercado e aufere lucro zero porque cada 
unidade é vendida ao seu custo de produção.
- porque é um equilíbrio? Se ela elevar seu preço, ela perderá toda a demanda 
que tinha posto que o preço da rival será estritamente menor! nenhuma firma tem 
incentivos a desviar.
- segue que não é possível que nenhuma firma tenha lucro maior do que zero, de 
modo que a escolha de preço de cada firma é ótima dada a escolha alheia 
(melhor resposta).
2. agora vamos mostrar que não há outro equilíbrio de Nash. Como cada firma
i = 1; 2 escolhe pi ≥ c, é suficiente mostrar que não há equilíbrio para pi > c.
Então, deixe (p1; p2) ser um equilíbrio.
- se p1 > c, então porque p2 maximiza o lucro de 2 dada a escolha de 1, teremos 
p2 € (c; p1], de modo a ter um lucro estritamente positivo – fora desse intervalo 
seria nulo.
- além disso, p1 p2, pois se firma 2 pode ter lucro positivo escolhendo p2 = p1 e 
dividindo o mercado com 1, ela pode ter um lucro maior ainda cobrando um preço 
um pouco abaixo de p1 e desfrutando de todo mercado quase ao mesmo preço. 
Logo
p1 > c → p2 > c e p2 < p1
- mas para uma estória similar para as firmas com os papéis trocados
p2 > c → p1 > c e p1 < p2
de modo que se o preço de uma firma está acima do custo marginal, ambos os 
preço devem estar acima do custo marginal e cada firma deve anunciar um preço 
um pouco menor do que a rival, o que é impossível.
• no modelo de Bertrand, o preço será igual ao custo marginal com apenas 
duas firmas. Isso está em forte contraste com o que ocorre em Cournot, 
onde a diferença entre o preço e o custo marginal cai apenas na medida 
em que o número de firmas no mercado aumenta.
Parte II – Jogos Dinâmicos com Informação Completa
Na parte I, consideramos situações nas quais os jogadores se moviam 
“simultaneamente” , isto é, sem saber quais eram os movimentos dos outros 
participantes do jogo. Na parte II, analisamos jogos nos quais os jogadores se 
movimentam em uma sequência fixa . Em tais jogos dinâmicos , os jogadores que 
se movem mais tarde sabem quais movimentos os demais fizeram antes deles. 
Os que se movem mais ced0 devem levar isso em conta quando projetam a sua 
estratégia ótima. Um exemplo bem conhecido de jogo dinâmico é o xadrez. Isso 
deve servir como uma advertência de que prever comportamento em jogos 
dinâmicos nem sempre é direto. Muitas vezes a barganha por um contrato de 
trabalho ou por um carro novo desenvolve-se com ofertas e contraofertas 
seqüenciais . Decidir onde comprar uma casa muitas vezes depende de quem 
tomou a decisão de morar em um bairro antes e quem se pode esperar que se 
mudará pra lá . Por conseqüência, esse também é um jogo dinâmico. 
A questão central nos jogos dinâmicos diz respeito à credibilidade das 
ameaças e promessas dos agentes. Às vezes, por exemplo, pode ser ótimo saber 
que o outro jogador observa sua atitudeantes de tomar suas decisões.
Nós representamos os jogos até agora apenas pela forma normal (ou 
estratégica). Veremos, entretanto, que há uma outra forma de representação: a 
forma extensiva, uma forma mais detalhada do que a forma normal. Segue daí 
que um jogo na forma extensiva em geral sofre perdas de informação quando o 
passamos para a forma normal, enquanto o inverso nem sempre é possível de se 
fazer. Nos jogos estáticos, não há problemas em tratá-lo apenas na forma 
estratégica, sendo inclusive mais conveniente. Todavia, isso com certeza 
ocorreria nos jogos dinâmicos. Por isso, os abordaremos utilizando a forma 
extensiva. 
Um jogo (de informação completa e perfeita) na forma extensiva nos dá as 
seguintes informações:
• quais são os jogadores participantes,
• quais são as ações possíveis para cada jogador em cada vez em que ele 
for chamado a decidir,
• a ordenação do jogo: quem age e quando,
• toda a história pregressa do jogo quando cada jogador tem de tomar uma 
decisão,
• os payoffs dos jogadores para cada conjunto possível de ações que 
tenham sido tomadas, até o final do jogo.
Exemplo 
Na figura acima temos a representação de um jogo na forma extensiva. Por 
convenção (mas, novamente, nem sempre) o jogador 1 (j.1) é o primeiro a jogar. 
Esse ponto é dito "nó inicial"e é único, no sentido a ficar claro ao longo do texto. 
Esse jogador pode jogar duas estratégias, ou e ou d. Diferentemente de jogos 
estáticos, agora o jogador 2 observa a escolha de 1 e só então faz a sua escolha. 
Ele também ou joga e ou joga d. No entanto é fundamental dizer que em jogos 
dinâmicos a noção de estratégia (e de conjunto de estratégias) de um jogador é 
mais complexa do que a mesma noção em jogos de escolha simultânea. Aqui 
uma estratégia deve ser vista como "um plano completo de ação", deve 
especificar para o jogador em questão as suas possibilidades de ação 
contingentes à todas as ações possíveis dos jogadores que jogaram antes dele.
No jogo acima, por exemplo, o espaço de estratégias do jogador 2 é
Uma vez que os jogadores 1 e 2 fizeram as suas escolhas, o payoffs são 
dados pelos números situados após os últimos nós de decisão, ditos nós 
terminais. Por convenção, o primeiro número se refere ao payoffs do jogador que 
jogou primeiro, o segundo número ao payoff do jogador que jogou em segundo 
lugar e assim sucessivamente no caso de jogos com mais de dois jogadores. 
Logo, lendo o jogo acima na forma extensiva, temos
1. os jogadores: 1 e 2,
2. os espaços de estratégias, S1 = fe; dg e S2 como acima exposto,
3. a ordenação: 1 joga primeiro, 2 observa a escolha de 1 e então faz a sua 
escolha,
4. a história pregressa do jogo: quando 2 é chamado a jogar ele sabe 
inequivocadamente qual foi a escolha de 1,
5. os payoffs: os ganhos dos jogadores para toda combinação possível de 
escolhas dos jogadores.
Note então que a representação na forma extensiva apresenta todas as 
características destacadas acima. Ela possui em geral (mas nem sempre, como 
veremos em exemplos abaixo) o formato de “árvores crescendo para baixo” E a 
título de curiosidade - discutiremos isso logo - o resultado desse jogo será "o 
jogador 1 jogar d e o jogador 2 jogar e se 1 jogou e, jogar d se 1 jogou d". Os 
payoffs serão (4; 1).
Indução Retroativa: jogos de informação completa e perfeita
Os jogos de informação completa e perfeita podem ser sintetizados da 
seguinte forma (para o caso de dois jogadores; com mais de dois, não há 
mudança significativa):
1. o jogador 1 escolhe uma ação entre as suas possibilidades delimitadas pelo 
conjunto de possibilidades de estratégias,
2. o jogador 2 observa a escolha do jogador 1 e então escolhe uma ação no seu 
conjunto de estratégias factíveis, que agora depende da ação que o jogador 1 
tomou,
3. o jogo termina e os payoffs cada jogador são determinados em função da sua 
escolha e também do elemento de interação estratégica, a escolha do outro 
jogador.
Essa definição simples segue a apresentação de Gibbons (1992), mas 
pode ser muito ampliada. Além da possibilidade de existência de mais de dois 
jogadores, poderia ocorrer que dentro de um mesmo jogo um ou mais jogadores 
pudessem vir a jogar mais de uma vez. Além de diversas situações mais 
relevantes, inclusive de natureza econômica, mesmo outras mais simples se 
adaptariam claramente a esses casos. Pense, por exemplo, na maior parte dos 
jogos de cartas ou de tabuleiros: em geral, jogam de duas a seis pessoas, uma 
após a outra, com ações tomadas um grande número de vezes durante o jogo. 
Normalmente, pelo menos a maioria deles pode ser analisada como
jogos dinâmicos de informação perfeita e completa.
A forma de se resolver situações dessa natureza é a descrita a seguir. 
Assim como em jogos estáticos, solucionar jogos dinâmicos é também um 
exercício de previsão em que o analista busca antever o comportamento dos 
jogadores envolvidos tendo em mente algumas premissas sobre a postura geral 
dos jogadores. Mas se antes os jogadores consideravam estratégias que fossem 
racionalizáveis apenas, agora eles têm de trabalhar com estratégias que sejam 
sequencialmente racionais. Isto é, aquelas que não envolvam 
promessas/ameaças não críveis (como a do sequestrador que ameaça explodir a 
granada e se matar).
Definição - Uma estratégia que seja sequencialmente racional deve prescrever 
formas de agir que sejam racionais em cada ponto de decisão que o jogador 
possa estar. Ou seja, o jogador não joga apenas estratégias racionalizáveis, ele 
jogará estratégias racionalizáveis sempre que for chamado a jogar. Ou seja, caso 
o jogador esteja em determinado ponto na árvore de decisão, ele deve ter 
estratégias que são ótimas a partir daí, dadas as possíveis estratégias e escolhas 
futuras dos outros jogadores.
Trabalhando inicialmente apenas com o exemplo mais simples de jogos de 
informação perfeita e completa dado acima (com apenas dois jogadores fazendo 
uma escolha cada um durante o desenrolar do jogo), o procedimento que 
adotamos para resolvê-lo é dito indução retroativa ("backward induction") e é 
descrito da seguinte forma. Começamos sempre pelo final do jogo, analisando o 
jogador que joga por último, no caso o jogador 2. Esse jogador já observou a 
escolha do jogador 1 e deve escolher uma estratégia tal que, condicional à 
escolha de 1, lhe dê o maior payoff possível. O jogador 2 faz então a sua escolha. 
Passamos a seguir para a análise do problema de escolha do jogador 1. O 
fundamental aqui é entender que, como se trata de um ambiente de informação 
completa, o jogador 1 também sabe qual será a melhor atitude que o jogador 2 
pode tomar para cada escolha que ele, jogador 1, venha a fazer. O jogador 1, por 
isso, não escolherá aleatoriamente sua estratégia ficando, depois, “torcendo” para 
que o outro jogador faça algo que também seja favorável a ele. Na verdade, no 
momento de fazer a opção da melhor estratégia a se tomar ele já considerará 
que, dependendo do que ele escolher, isso afetará a escolha do jogador 2 e esse 
pensará apenas no seu próprio bem-estar no momento de definir sua estratégia. 
Procedendo assim, e dado que a forma de resposta do jogador 2 é dada pela sua 
escolha condicional à decisão de 1, o seu problema é o problema de escolher 
uma estratégia que lhe dê o maior payoff possível dado que o jogador 2 reagirá 
de forma ótima à sua tomada de decisão. Da solução desse conjunto de tomadas 
de decisão, do jogador 1 e do jogador 2, teremos um (ou mais) par de estratégias 
que caracterizará o resultado de indução retroativa desse jogo. Esse 
resultado elimina qualquer tipo de ameaça ou promessa que não sejam críveis, 
pois o jogador1 antecipa o que o jogador 2 fará em cada uma das situações 
possíveis, buscando o seu próprio bem-estar. Assim, jogador 1 não acredita em 
eventuais ameaças que possam ser feitas pelo jogador 2 e que incorporem 
atitudes desse último que não sejam ótimas para ele mesmo, uma vez que o 
jogador 1 já fez a sua ação.
Exemplo1
Qual o resultado de indução retroativa do jogo acima? Vejamos o que o jogador 2 
deve fazer em cada uma das situações possíveis:
• se o jogador 1 joga e, o jogador 2 deve jogar e também e obter payoff de 3 
unidades (dando 1 para o jogador 1), pois a alternativa seria obter apenas 
2 unidades, caso escolhesse d.
• se o jogador 1 joga d, o jogador 2 deve também jogar d e obter payoff de 1 
unidade (gerando 2 para o jogador 1), preferível a zero, que é o que seria 
obtido se nesse caso ele escolhesse e.
Como o jogador 1 antecipa isso perfeitamente, ele sabe que as opções 
efetivamente alcançáveis são apenas (e; e) e (d; d). Diante disso, irá jogar d e 
assim garantirá utilidade de 2 unidades. O resultado de indução retroativa é, 
portanto, (d; jogar d dado que 1 jogou d).
Note, por outro lado, que esse resultado está longe de constituir algo próximo 
do que se poderia denominar .socialmente ótimo., eficiente ou afim. Se ele fosse, 
por exemplo, (e; d), ambos os jogadores estariam melhor. Sendo assim, por que 
não sugerir um acordo entre os jogadores que possa levar a esse resultado? 
Porque o jogador 1 sabe que, uma vez que ele cumprisse sua parte no acordo, o 
jogador 2 não teria incentivos em mantê-lo, pois poderia obter um payoff superior. 
Ciente disso, o jogador 1 não se deixa levar por promessas como essas, por não 
serem críveis. Da mesma forma, mesmo que o jogador 2 ameace jogar e, caso o 
jogador 1 jogue d, esse último sabe que tal ameaça também não é crível, e 
portanto não a aceita. Tudo isso é simples consequência do pleno conhecimento 
de racionalidade (sequencial) entre os jogadores. Nesse caso, não se requer 
muito, bastando que ambos os indivíduos sejam racionais e que o jogador 1 saiba 
que o jogador 2 também o seja.
É importante lembrar também que não é necessário que cada jogador jogue 
apenas uma vez durante o jogo, como já comentamos antes. Cada um deles pode 
ser chamado a escolher mais de uma vez, sendo que a lógica de resolução não 
se altera. Sempre se olhará inicialmente para o .m do jogo, destacando as 
respostas ótimas em cada situação, e se encontrará o resultado de indução 
retroativa tomando como base tais possibilidades.
Exemplo 2 
Considere o tradicional jogo onde uma firma está instalada (I) em um mercado 
enquanto monopolista e uma outra firma (E) está considerando entrar nesse 
mercado. Ela escolhe entre entrar ou não. Caso entre, a antiga monopolista 
escolhe entre lutar (fazer uma guerra de preços, por exemplo) ou acomodar-se 
(constituir um duopólio, um mercado onde apenas duas firmas produzem).
Vejamos a forma extensiva deste jogo :
Na forma extensiva teríamos:
1. os jogadores: as firmas E e I,
2. os espaços de estratégia:
SE = (fora, entra)
SI = (luta se a firma E entra, acomoda se a firma E entra)
3. ordenação: a firma E decide se entra ou não, a firma I observa a decisão de E e 
então decide se reage ou se acomoda,
4. a história pregressa: I, ao fazer sua escolha, sabe o que E jogou,
5. os payoffs.
O resultado por indução retroativa será a firma E entrar no mercado e a 
firma I acomodar-se. Isto porque, se E entra, o payoff de I é maior caso ela 
acomode.
Como E sabe disso, ela irá entrar, apesar de uma eventual ameaça da 
firma I de lutar caso ela faça isso.
Podemos representar o jogo acima também na forma normal:
Nota-se, portanto, que há dois equilíbrios de Nash no jogo acima: o 
resultado por indução retroativa e o conjunto de estratégias onde E não entra e I 
luta se E entra. A questão central aqui é que essa última ameaça não é crível e 
portanto não deveria ser considerada. Temos, portanto, que o conceito de 
equilíbrio de Nash não elimina tais possibilidades, pois ele não incorpora a idéia 
de que as estratégias devem ser sequencialmente racionais. Apenas um equilíbrio 
de Nash no jogo acima pode ser obtido via indução retroativa e, portanto, apenas 
esse equilíbrio é um resultado sequencialmente racional.
Um outro resultado muito importante na teoria de jogos dinâmicos é o 
chamado Teorema de Zermelo. Ele nos diz que todo jogo finito de informação 
perfeita possui um equilíbrio de Nash em estratégias puras que pode ser obtido 
via indução retroativa (e que será, portanto, sequencialmente racional). Além 
disso, se nenhum jogador possui payoffs iguais em pontos terminais distintos, 
então existe apenas um equilíbrio de Nash que pode ser derivado dessa forma.
Barganha seqüencial
Barganha é algum tipo de situação que encontramos corriqueiramente no 
dia-a-dia.Observamos desde situações muito simples, quando um filho 
adolescente barganha com o pai o horário que ele pode chegar em casa nas 
noites de sexta-feira e sábado, em que ele propõe chegar mais tarde em troca de 
algum tempo a mais de estudo diário, até situações complexas, em que 
presidiários barganham com os representantes do Estado o fim de uma rebelião, 
ou países que barganham tarifas comerciais sobre o conjunto de produtos que 
eles comercializam. Na verdade, exemplos de situações de barganha são 
extremamente fáceis de encontrar e nós de fato nos deparamos com tais 
situações em todos os momentos - ainda que não tenhamos em mente que tal 
caso específico possa ser analisado teoricamente como um jogo dinâmico de 
informação completa.
O processo de barganha é geralmente interpretado como o processo de 
construção de um acordo mútuo sobre a provisão de um contrato. No mundo real, 
o protótipo básico é a negociação entre um vendedor e um comprador sobre um 
bem em troca de dinheiro: o contrato especifica o preço a ser pago pelo ítem. Em 
uma negociação salarial, por exemplo, o sindicato é o vendedor, a firma o 
comprador e o preço é o salário-base.
Tanto em contextos econômicos quanto legais, um acordo pode ser 
retardado na medida em que as partes prolonguem a negociação. Eventualmente 
pode acontecer de as partes interessadas nunca chegarem a um acordo. Via de 
regra esse atraso implica em algum tipo de custo às partes interessadas: um 
custo de oportunidade da negociação, ou seja, dos ganhos que cada parte 
poderia estar obtendo se o acordo já tivesse sido fechado, e um custo pecuniário 
inerentes à negociação, como por exemplo custos processuais. Esses custos de 
oportunidade podem ser representados pela produção que não se realizou e os 
custos pecuniários pelos gastos com a intermediação do acordo. Tais custos 
podem ser significativos em casos importantes, como aquisições corporativas, 
greves patrocinadas por sindicatos de trabalhadores e em diversos litígios civis.
Se não se chega a um acordo, então em algum período de tempo as partes 
param de barganhar, como no caso em que comprador e vendedor buscam 
parceiros alternativos para fazer seus negócios. Nesse caso, se pensarmos no 
contexto legal, uma corte impõe alguma regra que as partes devem seguir. Nesse 
sentido, essas cortes legais são um exemplo de resolução judicial de impasses.
No que se segue vamos analisar o modelo teórico de barganha tendo como 
pano de fundo um processo de negociação entre um sindicato de trabalhadores e 
uma entidade patronal, representante das empresas na quais esses trabalhadores 
são funcionários. Não custa uma palavra de precaução aqui: como em todo 
modelo teórico, essa representação é uma simplificação das negociações que de 
fato ocorrem no mundo real e nesse sentido não buscamos generalizaros 
resultados que obtivermos para enriquecer a nossa compreensão de negociações 
como um todo, mas tão somente entender esses
processos de negociações como jogos dinâmicos de informação completa.
O jogo se dá como se segue. Há, dois jogadores, 1 e 2, onde vamos 
considerar que 1 representa uma associação patronal e que 2 representa um 
sindicato de trabalhadores.
Eles estão a negociar sobre a divisão dos benefícios da produção de um 
determinado período, um ano por exemplo. Esse benefício é de conhecimento 
comum e, obviamente, sua totalidade soma 100%. A negociação se dá entre as 
partes de forma a decidir o percentual que cada um dos interessados tem direito 
sobre essa totalidade. Ambas as associações desejam obter o máximo possível 
para os seus associados e a dinâmica da negociação se dá do seguinte modo:
1. a associação patronal propõe uma divisão;
2. o sindicato pode aceitar ou rejeitar a proposta: se o sindicato aceita, o jogo 
termina e cada jogador obtém o acordado. Caso contrário, ele não aceita, o jogo 
continua;
3. o sindicato propõe uma divisão;
4. a associação patronal pode aceitar ou rejeitar a proposta: se aceita o jogo 
termina e cada parte recebe o combinado. Se rejeita a proposta, então a Justiça 
do Trabalho impõem uma divisão de 50% para cada uma das partes e o jogo 
também termina.
É necessário algum tempo para preparar cada proposta e contra proposta. 
Por isso, se o acordo for fechado em 2, então os jogadores têm 1 (100%) para 
repartir. Se terminar com a associação patronal aceitando a proposta no quaem 4, 
os benefícios serão apenas de € (0; 1); e se a barganha terminar com a 
intervenção da Justiça, então os benefícios são apenas de ². Esse termo é 
dito taxa de desconto intertemporal e reflete o fato de que as pessoas (e 
instituições) avaliam de maneira distinta uma mesma quantia monetária em 
diferentes períodos de tempo, captando portanto o custo de oportunidade acima 
discutido. Ou seja, reflete o custo de oportunidade de não receber o valor 
imediatamente. Em geral essa taxa de desconto é determinada pela taxa de juros 
da seguinte forma,
onde r é a taxa de juros de mercado. Observe que quanto maior r, menor a taxa 
de desconto, de forma que os agentes estariam descontando com peso maior o 
tempo. Observe ainda que essa taxa pode refletir caracterísiticas específicas das 
partes engajadas na barganha. Imagine por exemplo o custo de uma greve seja 
maior para uma das partes. Ou que um trabalhador específico assumiu 
compromissos tais com sua renda que uma paralisação no seu fluxo de renda 
nesse período específico pode lhe ser particularmente custosa. Para facilitar a 
nossa análise e sem perda de generalidade, vamos considerar que ambas as 
partes têm a mesma taxa de desconto.
Logo há dois jogadores (1 e 2), as estratégias são as descritas na árvore, 
assim como a ordenação e os payoffs. Como trata-se de um ambiente de 
memória perfeita, os movimentos dos jogadores em cada nó de decisão é de 
conhecimento comum em cada um desses nós.
Sendo mais específico, observe o que acontece no primeiro movimento: o 
jogador 1 diz ao jogador 2 que do total que eles estão barganhando, ele quer x € 
[0; 1], ou x%, de forma que ele está oferecendo a 2 (1 - x)%. Como dito, 2 pode 
ou não aceitar. Se aceita a barganha termina e os ganhos são dados. Caso 
contrário 2 faz a contraproposta ao jogador 1: do total a ser dividido, ele que (1 - 
y)%, de modo que oferece a 1 y%.
Da mesma forma o jogador 1 pode aceitar ou rejeitar. Se 1 aceita o jogo 
termina e os ganhos são dados. Note porém que agora já estamos no segundo 
estágio do jogo, de forma que as partes já incorreram em algum custo decorrente 
do fato de que elas não chegaram a um acordo no primeiro período.
De
Pede-se:
1. Taxa de desconto intertemporal (já está feita em jogos repetidos, mas ter em 
mente a questão da in.ação, taxa de juros, reputação e o exemplo do sorvete 
derretendo).
2. Represente o jogo na sua forma extensiva.
• Os payoffs são (x; 1 - x) no primeiro estágio, no 
segundo estágio caso seja necessária a intervenção da Justiça 
do Trabalho.
2. Quanto cada jogador vai obter em equilíbrio perfeito.
• Por indução retroativa, no segundo (e último) estágio da barganha, o 
sindicato oferece (y) aos empresários, que aceitam se e somente se
Logo a proposta será
e os ganhos nesse estágio seriam No 
primeiro estágio do jogo os empresários ofertam (1 - x) aos trabalhadores que 
aceitam se e somente se 
de modo que a oferta ótima será 
e os ganhos
Logo o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos (o que nesse jogo equivale ao 
resultado por indução retroativa) será a associação patronal ofertar 
 aos trabalhadores no primeiro estágio, os trabalhadores 
aceitarem a proposta feita, o jogo terminarbe os ganhos serão dados por 
3. Se você representasse os trabalhadores, você preferiria fazer a proposta em 
primeiro lugar ou ouvir primeiro a oferta dos empresários?
• A primeira coisa a ser feita é representar o jogo na forma extensiva 
supondobque o sindicato de trabalhadores faça a oferta em primeiro lugar, 
no primeiro estágio. Nesse caso os payo¤s seriam (1 - x; x) no primeiro 
estágio, no segundo estágio e 
caso fosse necessária a intervenção da Justiça do Trabalho. Resolvemos o jogo 
da mesma maneira, de modo que no segundo estágio da barganha, os 
empresários oferecem (1 - y) aos trabalhadores, que aceitam se e somente se
Logo a proposta será
e os ganhos nesse estágio seriam 
No primeiro estágio do jogo os trabalhadores ofertam x aos empresários. Estes
aceitam se e somente se
de modo que a oferta ótima será
e os ganhos seriam 
Segue que o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos será o sindicato dos 
trabalhadores ofertar aos patrões no primeiro estágio, os 
empresários aceitarem essa proposta o jogo terminar ali. Os ganhos seriam 
dados por .
Note que os trabalhadores estarão melhor fazendo a oferta no primeiro estágio se
ou seja, se
o que é sempre verdade para todo 
Equilíbrio Perfeito em Subjogos
Até agora estudamos separadamente jogos dinâmicos e jogos estáticos. 
Entretanto, é bastante usual trabalharmos com jogos que tenham partes 
simultâneas e outras não simultâneas, i.e., que tenham informação imperfeita em 
pelo menos algum de seus estágios. A forma de resolução segue a mesma lógica 
anterior: começar de trás para diante até chegarmos no início do jogo. Entretanto, 
sempre quando nos depararmos com um “mini-jogo” com lances simultâneos (ou, 
no mesmo sentido, que tenha informação imperfeita), devemos resolvê-lo como 
visto anterioriormente e então tomarmos seu resultado (o equilíbrio de Nash 
encontrado) como os payoffs a serem distribuídos caso o jogo atinja essa parte 
simultânea. Vamos a uma definição: 
Um subjogo de um jogo J na forma extensiva é um subconjunto do jogo
que tem as seguintes propriedades:
• inicia-se em um ponto de decisão único (não ligado a nenhum outro por 
.linhas tracejadas.)
• contém todos os pontos de decisão que o sucedem, e apenas esses 
pontos;
• não divide nenhum subjogo, no sentido de que se um determinado ponto 
de decisão pertence a um subjogo, então todo ponto ligado a ele por 
alguma “linha tracejada”, também pertence, i.e., os subjogos não cortam 
tais linhas.
Vimos em geral que quando analisamos equilíbrios de Nash de jogos em 
forma extensiva estes podem conter muitos equilíbrios. Muitos desses equilíbrios 
podem parecer não razoáveis pois são baseados em ameaças inacreditáveis. 
Equilíbrio de Subjogo Perfeito é um refinamento de equilíbrio de Nash que não 
permite ameaças inacreditáveis.
Indução Reversa
A técnica mais comum para encontrar os equilíbrios de subjogo perfeito de 
um jogo finito Γ éconhecida como indução reversa. Intuitivamente, temos que a 
técnica sugere que se comece pelo fim do jogo e vá resolvendo até chegar ao 
começo do jogo. Podemos descrever mais formalmente esta técnica nos 
seguintes passos:
1. Seja k = 1 e Γ(k) = Γ.
2. Seja Z−1 o conjunto de todas as histórias que são antecessoras imediatas das 
histórias terminais do jogo Γ(k). Para todo i ∈ N e h ∈ Z−1 ∩ Hi, o jogador i 
enfrenta um problema de decisão após história h, e portanto deve escolher a ação 
que maximiza sua utilidade esperada. Se houver mais de uma ação que produza 
a mesma utilidade esperada, existirá um equilíbrio de subjogo perfeito contendo 
cada uma dessas ações. Escolha uma delas para ser a ação escolhida por i 
segundo a estratégia s, isto é, faça si(h) = a ∈ argmaxb∈Mhui(h · (b)). Passe ao 
passo seguinte.
3. Defina o jogo Γ(k + 1) da seguinte maneira:
(a) Para todo h ∈ Z−¹ ∩(∪i ∈ NHi), substitua as ações em Mh do jogo Γ(k), pelo 
vetor de utilidades que corresponde a história terminal atingida pela ação 
escolhida no passo anterior. Passe ao passo seguinte.
(b) Para todo h ∈ Z−1 ∩ (∪i∈NHi)c, isto é uma história imediatamente 
antecessora a uma história terminal do jogo Γ(k) onde chance se move, substitua 
as ações em Mh, pelo vetor de utilidades que corresponde a utilidade esperada 
dos jogadores de acordo com a distribuição de probabilidade que descreve as 
probabilidades do jogador chance escolher cada uma das ações em Mh. Passe 
ao passo seguinte.
4. Se o conjunto de todas as histórias de Γ(k+1) em que algum jogador i ∈ N se 
move for vazio. Pare a iteração e temos que s é um equilíbrio de subjogo perfeito 
em estratégias puras de Γ. Caso contrário, passe ao passo seguinte.
5. Faça k = k + 1. Volte ao passo 2.
É fácil ver que como o jogo é finito, após um número finito de iterações o 
algoritmo acima descrito produzirá um equilíbrio de subjogo perfeito em 
estratégias puras. Desta forma, provamos construtivamente o seguinte teorema:
Teorema: Qualquer jogo em forma extensiva com informação perfeita finito tem 
um equilíbrio de subjogo perfeito puro.
Jogos Repetidos
Nesse tópico analisaremos novamente se ameaças e promessas em 
relação ao futuro podem influenciar o comportamento atual dos agentes. Ao fazer 
isso, buscamos mostrar o que muda em uma análise de previsão do resultado de 
jogos quando esses são jogados mais de uma vez. Uma das principais idéias é a 
de cooperação: será possível obtê-la caso o jogo se repita? Intuitivamente, 
poderíamos pensar que sim, pois um jogador poderia cooperar “hoje” para que os 
outros cooperem com ele “amanhã”, e isso poderia valer para todos os 
envolvidos. Deve-se, portanto, verificar quando e sob que condições essa intuição 
de fato poderá se manifestar na realidade.
Os jogos repetidos são divididos em dois grupos: aqueles repetidos um número 
finito de vezes e aqueles repetidos “infinitamente”. Em relação ao primeiro grupo, 
a intuição fundamental pode ser apreendida apenas analisando-se o caso de 
jogos repetidos duas vezes, o que iremos fazer a seguir. 
 
Jogos repetidos finitos
A característica fundamental dos jogos repetidos finitos é que todos os 
jogadores envolvidos sabem, antecipadamente, quantas vezes aquele jogo se 
repetirá. Pense, por exemplo, em um Congresso X de três dias que ocorrerá em 
um determinado hotel. Existindo dois vendedores de pipoca naquela região, eles 
sabem que esse jogo (o mercado que vende pipocas na porta do hotel naqueles 
dias com demanda especialmente ampliada) durará exatamente três dias, e com 
base nessa informação é que definem suas estratégias. A questão a se verificar é 
o que muda no caso onde o jogo é jogado apenas uma vez, como visto até agora, 
e quando se repete um número específico de vezes.
Como sempre, vamos iniciar a exposição através do um exemplo do 
“dilema dos prisioneiros”. Suponha então que o jogo fosse jogado duas vezes, 
sendo que, quando se reinicia o jogo, o resultado do primeiro estágio já é 
conhecimento comum. Os payoffs dos jogadores serão tidos como simplesmente 
a soma dos payoffs nas duas vezes em que se joga.
Na forma de resolução de jogos de tal natureza deve-se analisar de trás 
para frente. No caso específico citado acima, os jogadores, uma vez que se 
iniciará a segunda rodada do dilema dos prisioneiros, sabem que o resultado do 
primeiro estágio já foi consolidado e, portanto, não têm mais como mudá-lo. 
Sendo assim, eles se preocupam apenas com o que virá, ou seja, a segunda 
rodada do jogo em questão. Pensando dessa forma, o que eles irão fazer no 
segundo estágio do jogo? Irão proceder como fariam se o jogo fosse jogado 
apenas uma vez (pois, afinal, o que ocorreu na primeira rodada não poderá mais 
ser mudado): como ambos têm uma estratégia dominante, que é confessar, a 
jogarão na segunda vez.
Como dito acima, a idéia por trás dos jogos repetidos é que, como ele será 
jogado mais de uma vez, pode ser que valha a pena cooperar no início para que o 
outro também coopere com você nos estágios subsequentes. Todavia, perceba 
que uma vez que se saiba que se alcançou o último estágio do jogo, ninguém 
mais irá cooperar, pois não mais se necessitará que o outro também coopere no 
futuro, uma vez que o futuro, para tal jogo, não existirá - pois aquela é a última 
rodada. Portanto, podemos concluir que:
Observação Em um jogo repetido um número finito de vezes, onde os payoffs 
dos jogadores são a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo é 
repetido, na última rodada será jogado um Nash do jogo não repetido em 
questão, ainda que exista uma combinação de estratégias que dê payoffs 
maiores para todos os jogadores mas que não seja em equilíbrio de Nash. Esta 
seria atingível apenas via cooperação, mas essa não existirá na última vez em 
que o jogo é repetido.
No dilema dos prisioneiros jogado duas vezes, no primeiro estágio, os 
jogadores, portanto, sabem que na rodada seguinte ambos irão confessar e, 
assim, obter um payoff de -6 cada. Eles podem então pensar o jogo repetido duas 
vezes apenas como o jogo em seu primeiro estágio acrescido de -6 para ambos 
nos payoffs referentes a todos os resultados possíveis, uma vez que eles 
antecipam que esse será o ganho de cada um na última rodada. O jogo original é, 
portanto, encarado como se fosse o seguinte:
O que se fez acima foi simplesmente adicionar .�6.em todos os payo¤s 
possíveis de todos os jogadores. Visualizando esse jogo, eles devem então 
novamente confessar, dado que essa permanece sendo uma estratégia 
dominante para ambos. Conclui-se que o resultado do dilema dos prisioneiros 
repetido duas vezes será os dois jogadores confessarem em todas elas. A 
cooperação não pode, portanto, ser atingida em nenhum estágio, ainda que 
houvesse a promessa de um deles de que iria cooperar na primeira vez, por 
exemplo. Ainda assim o outro não cooperaria, porque ele saberia que, agindo 
assim, uma vez que o resultado do primeiro estágio emergisse, no segundo 
ninguém iria cooperar. E então não cooperar no primeiro daria um payoff total 
superior a ele, independente do que o outro fizesse, sendo, pois, uma estratégia 
dominante. Essas conclusões permanecem inalteradas mesmo se mudássemos 
apenas o número de vezes em que o jogo é repetido. Isto é, o resultado é válido 
mesmo para o “dilema” - ou qualquer outro jogo de informação completa - jogado 
n vezes, sendo n um número finito. Imagine que ele fosse repetido quatro vezes. 
Na última ninguém cooperaria, pois não haveria um “futuro” para o jogo que 
justificasse essa atitude. Na penúltima rodada, também ninguém cooperaria, 
porque todos saberiam que naúltima não haveria cooperação. O mesmo 
ocorreria na segunda rodada: cooperar para quê, dado que na terceira e na 
quarta ninguém o fará? Na primeira, o mesmo raciocínio se manteria. O resultado 
geral pode ser apresentado da seguinte maneira:
Observação Definindo um jogo repetido T vezes como J (T), sendo J o jogo si-
multâneo de informação completa que é repetido e tendo que, quando se reinicia 
um estágio de J (T), todos sabem quais são os resultados dos estágios anteriores; 
e definindo-se os payoffs dos jogadores como simplesmente a soma dos payoffs 
obtidos nos T estágios de J (T), se cada um dos estágios (J) de J (T) possui um 
equilíbrio de Nash único, J (T) possui um único ENPS, qual seja, o equilíbrio de 
Nash de J em todo estágio de J (T). Se o jogo J é dinâmico (mas também com 
informação completa) e possui um único ENPS, o ENPS do jogo repetido, J (T)47, 
será também o ENPS de J em cada estágio. Em suma, se um jogo com apenas 
um Nash - ou ENPS - (e com informação completa, como todos os que vimos até 
agora) for repetido um número finito de vezes, o ENPS
do jogo repetido será o equilíbrio de Nash - ou ENPS - sendo jogado em todos os 
seus estágios - desde que os payoffs do jogo repetido seja apenas a soma dos 
payoffs obtidos em cada estágio.
Apesar do resultado “desanimador” visto acima, de que mesmo se o jogo 
for repetido n vezes a cooperação não será atingida em nenhum estágio - dadas 
nossas hipóteses adicionais -, um caso diferente emerge se existem mais de um 
Nash no jogo que será jogado mais de uma vez.
Parte III – Jogos com resultados incertos
Todos os jogos que analisamos até aqui eram determinísticos. Isso 
significa que todos os jogadores sabem com certeza o resultado de qualquer perfil 
de estratégia. É claro que o mundo é muito mais complicado do que isso. 
Empresas nunca sabem exatamente quanto venderão a mais quando reduzem 
seus preços. Negociadores de sindicatos de trabalhadores nunca sabem ao certo 
quais contratos serão aceitos por seus afiliados. Operadores de bolsas de valores 
não sabem o valor de liquidação de todas as empresas cujas ações negociam . 
Nesta parte mostraremos como incorporar incerteza em um jogo.
Ou seja, quando um jogador escolhe entre suas estratégias, ele não sabe 
quais estratégias os outros jogadores escolheram, por isso não tem certeza 
quanto às consequências de suas escolhas. Para analisar as decisões dos 
jogadores em um jogo, seria útil então ter uma teoria de tomada de decisão que 
nos permita expressar as preferências de um agente sobre escolhas com 
consequências incertas em termos de sua atitude perante as consequências.
Existem muitas regras de decisão que podem ser adotadas dependendo da 
situação por um agente que tem que realizar uma escolha sob incerteza. 
Assumiremos que o agente escolhe ações que são funções do estado da 
natureza para consequências ou prêmios e que o agente é capaz de determinar 
qual a utilidade dessas consequências, onde um estado da natureza é uma 
descrição de todos os aspectos do mundo relevantes ao problema de decisão. 
Algumas regras requerem que o agente seja capaz de determinar uma 
probabilidade sobre o espaço dos estados da natureza, outras não precisam 
desta descrição probabilística e podem ser usadas em casos onde tal informação 
não é disponível ao agente.
Teoria da Utilidade Esperada
A Teoria da Utilidade ou Teoria da Preferência surge como um método de 
análise de investimentos capaz de considerar as preferências individuais dos 
decisores em relação ao risco. Esta importante ferramenta deve ser sempre 
aplicada em situações onde estão envolvidos riscos e incertezas. A grande 
vantagem da Teoria da Utilidade é que sua aplicação é possível não apenas em 
análises de decisões que envolvam resultados quantitativos, mas também 
qualitativos. A quantificação é realizada pela associação de um valor abstrato de 
utilidade para cada uma das situações possíveis. Portanto, um evento que não 
tem correspondente numérico ou monetário pode ser transformado em valores de 
utilidade. 
A primeira apresentação de utilidade como unidade para medir 
preferências foi realizada por Daniel Benoulli em um artigo publicado em 1738, no 
qual estão descritas idéias básicas como: quantificação do quanto gostamos mais 
de um bem do que de outro, e quanto maior quantidade temos de algo, menos 
estamos dispostos a pagar mais por ele. No entanto, o grande marco na Teoria da 
Utilidade foi a publicação de Theory of games and economic behaviour por John 
von Neumann e Oskar Morgenstern em 1944, quando houve a associação da 
Teoria da Utilidade com a Teoria da Decisão e a Teoria dos Jogos.
Preferência ao Risco
O nível de aversão ao risco de determinada empresa pode ser definido 
através de entrevistas, visando à determinação da utilidade que cada valor 
monetário representa para os tomadores de decisão. Ela é fundamental para 
modelarmos a melhor decisão a ser tomada pelos gerentes, através da definição 
dos projetos a serem priorizados em um ambiente de recursos limitados. 
Durante as entrevistas, deve ficar claro ao tomador de decisão que o 
analista deseja conhecer suas reais preferências e esperanças, e que isso é 
fundamental para o sucesso do processo. Deve haver ciência de que não existem 
utilidades corretas ou incorretas, mas utilidades que representem realmente os 
sentimentos subjetivos do indivíduo.
Normalmente, os investidores buscam oportunidades de negócio com 
maior retorno esperado diante de um mesmo risco ou de menor risco, quando 
apresentam o mesmo retorno. Portanto, este é o comportamento racional no 
mundo dos negócios, onde empresários sempre procuram maximizar o retorno 
esperado e minimizar o risco do empreendimento. 
No entanto, a situação crítica é a que se tem que decidir entre um investimento de 
elevado retorno monetário, mas alto risco e um de menor retorno, porém de baixo 
risco. E, na realidade, são estes os tipos de decisões de investimento que 
definem o sucesso ou o fracasso da maioria dos empresários. Portanto, 
focaremos nossa análise no comportamento dos gerentes em situações onde eles 
devem ponderar suas preferências individuais e subjetivas entre o retorno e o 
risco dos projetos. 
Este tipo de ponderação é bastante conhecido como “tradeoff” entre risco e 
retorno, e ocorre quando o investidor abre mão de um maior retorno para evitar 
maior exposição ao risco ou dá prioridade ao projeto mais atrativo 
financeiramente apesar de seu elevado risco. O primeiro tipo de comportamento é 
típico do gerente avesso ao risco, e o segundo caracteriza um indivíduo propenso 
ao risco, ou seja, aquele que se arrisca sem temer o fracasso, colocando tudo a 
perder, pois sempre acredita que alcançará o atraente resultado de sucesso. 
Dessa forma, este novo modelo decisório será capaz de determinar a melhor 
estratégia a ser tomada levando em consideração a disposição do investidor em 
assumir riscos. 
Por fim, o último tipo de indivíduo é o indiferente ao risco, que baseia suas 
decisões apenas no critério de maximização do valor monetário esperado, sem 
considerar sua limitação de recursos. 
Abaixo estão ilustradas as funções-utilidade dos três tipos de 
comportamento frente ao risco.
A partir de agora iremos concentrar nossa discussão em como se define a 
utilidade de cada valor monetário para os tomadores de decisão. 
 Função-Utilidade
 A forma mais conveniente de expressar a preferência de um indivíduo ao 
risco é através da construção de sua função-utilidade, também conhecida como 
função de preferência. Conforme apresentado na Figura , os mais variados 
comportamentos dos indivíduosfrente ao risco são apresentados através dessas 
funções
As funções-utilidade foram primeiramente definidas por Von Neumann,em 
1953. Posteriormente, foram aprimoradas e desenvolvidas por vários outros.
Elas podem ser determinadas analiticamente através do uso de funções 
matemáticas, que têm seus parâmetros ajustados de modo a melhor se 
adequarem ao comportamento da organização. As mais usualmente aplicadas 
são a linear, exponencial, logarítmica e quadrada. 
 
O coeficiente de aversão ao risco está sempre presente nas funções-utilidade. 
Trata-se de um valor individualizado e único para cada empresa, que reflete 
quantitativamente seu comportamento mais ou menos avesso ao risco. Ele é 
inversamente proporcional à tolerância ao risco: 
A função-utilidade exponencial é a mais aplicada devido à facilidade de 
modelagem do coeficiente de aversão ao risco, que coincide exatamente com o 
parâmetro c da função, como pode ser verificado pela formulação: 
Essas funções são obtidas através da definição da utilidade para o tomador 
de decisão de cada um dos possíveis resultados do evento incerto. Como não 
poderia ser diferente, o melhor resultado tem máxima utilidade e o pior, mínima. 
A utilidade é um valor abstrato que serve para quantificar o quão desejável 
é cada uma das ocorrências para determinada pessoa. Portanto, é flagrante o 
elevado grau de subjetividade envolvido na definição das funções-utilidade. E, por 
esta razão, elas são absolutamente específicas para determinada pessoa em 
determinada situação, não podendo jamais serem extrapoladas para outro decisor 
ou outro cenário. 
Valor Esperado da Utilidade 
A melhor decisão a ser tomada é definida com auxílio da função utilidade 
através do critério de maximização do Valor Esperado da Utilidade (VEU).
O Valor Esperado da Utilidade de um projeto é dado por: 
Onde
 
VPLs ⇒ Valor Presente Líquido do Sucesso; ps ⇒ Probabilidade de Sucesso; 
VPLf ⇒ Valor Presente Líquido do Fracasso; e pf ⇒ Probabilidade de Fracasso. 
Assim como a metodologia do VME, a tomada de decisão através do Valor 
Esperado da Utilidade (VEU) estabelece que o projeto deve ser aceito e 
empreendido se apresentar um VEU positivo; do contrário, deve ser abandonado. 
Vamos resolver o mesmo exemplo ilustrado na Figura , só que, dessa vez, 
através da maximização do Valor Esperado da Utilidade (VEU) que, 
diferentemente da resolução anterior pelo critério do VME, leva em consideração 
a preferência do decisor frente ao risco financeiro. 
Inicialmente, vamos obter junto ao tomador de decisão fictício sua opinião 
pessoal a respeito da utilidade de cada um dos resultados possíveis nas duas 
loterias oferecidas, considerando uma escala de utilidade de (-100) a 100: 
Para a Loteria A: 
U(R$ 1.200.000,00) = 80 
 U( - R$ 200.000,00) = -90
 Para a Loteria B: 
U(R$ 12,00) = 20 
U( - R$ 2,00) = - 5 
Vamos agora calcular o valor esperado da utilidade: 
VEUA = 0,5(80)+0,5(-90) ⇒ VEUA = -5 
VEUB = 0,5(20)+0,5(-5) ⇒ VEUB = 7,5 
Portanto, o decisor, assim como a maioria dos brasileiros, nem se arriscaria 
na Loteria A – tem utilidade negativa –, pois não seria capaz de suportar a perda 
de R$ 200.000,00. A loteria de valores de menor vulto seria aceita, tendo utilidade 
positiva para o indivíduo. 
Através deste exemplo fica nítida a vantagem de se utilizar a Teoria da 
Utilidade como ferramenta de suporte à tomada de decisão, que sempre se dá de 
maneira individual e subjetiva.
Equivalente Certo 
Outro conceito fundamental para a aplicação da Teoria da Utilidade é o de 
Equivalente Certo. Ele corresponde ao menor valor monetário certo e seguro que 
o investidor aceita para deixar de se aventurar em uma determinada situação 
incerta, também conhecida como loteria. 
O Equivalente Certo surge da comparação entre uma opção de 
investimento incerto e arriscado, com possibilidade de perdas, e outra sem 
incertezas ou risco, bastando colocar o dinheiro no bolso. Então ele é o valor 
certo oferecido para o qual ficamos indiferentes entre recebê-lo ou participar de 
um determinado jogo. 
No que diz respeito a um projeto em que estejam envolvidos riscos e 
incertezas, o Equivalente Certo é o valor mínimo que estaríamos dispostos a 
receber para nos desfazermos dele, ou seja, é o valor justo de venda do projeto.
Em uma decisão de investimentos sob incertezas, podemos definir o 
comportamento do indivíduo frente ao risco através da comparação entre o 
Equivalente Certo (EqC) e o Valor Monetário Esperado (VME) do negócio. 
Vejamos: 
• Indiferente ao Risco: EqC = VME 
• Propenso ao Risco: EqC > VME 
• Avesso ao Risco: EqC < VME 
Alguns autores gostam de apresentar a aversão ao risco como um temor 
do desconhecido e incerto, um sentimento de estar fora do controle da situação. 
Nesses casos de aversão ao risco, a diferença entre o Valor Monetário Esperado 
e o Equivalente Certo do investidor é chamada de “Prêmio de Risco”. Assim 
sendo, o tomador de decisão será recompensado com este prêmio pelo risco de 
perda ao decidir pela opção arriscada em detrimento ao ganho certo, dado pelo 
EqC. De maneira análoga, seria o valor que o indivíduo avesso ao risco abre mão 
para se prevenir do risco de perder. 
O melhor entendimento do que realmente é o Equivalente Certo na prática 
será possível com o exemplo apresentado: Um milionário excêntrico propõe a 
referida Loteria I, incluindo em seu jogo o risco financeiro de perdas. Ele lançará 
uma moeda não viciada ao ar e, no caso de a face que estiver voltada para cima 
ser cara, lhe paga R$ 1.200,00 e, se for coroa, lhe exige R$ 200,00. Qual seria o 
mínimo valor monetário certo que você aceitaria dele para não entrar neste jogo? 
Ou seja, qual é o menor valor que o torna indiferente entre recebê-lo com certeza 
ou arriscar-se no jogo proposto pelo milionário? 
Ressaltemos que o milionário fará ofertas partindo de R$ 50,00, e 
crescentes de forma aritmética em R$ 50,00 até que o indivíduo abordado aceite 
o montante oferecido para abandonar a loteria. 
Sabemos que o Valor Monetário Esperado (VME) deste jogo é de R$ 500,00. 
No entanto, como já vimos anteriormente, o comportamento dos indivíduos frente 
ao risco é muito variável, e influenciado principalmente por suas capacidades 
financeiras. O milionário oferece a loteria a três pessoas bem diferentes: 
• Maurício: Engenheiro com renda mensal de R$ 2.000,00; 
• Alexandre: Presidente de uma corretora com renda mensal de R$ 40.000,00; 
e 
• João: Assalariado com renda mensal de R$ 200,00. 
Maurício, que estava estacionando seu carro quando encontrou o 
milionário, usaria seu raciocínio lógico, tendo um comportamento frio, sem se 
deixar levar muito pela emoção, frente a essa boa oportunidade de 
complementação do orçamento mensal. A perda de R$ 200,00 não seria bem-
vinda, mas em nada mudaria o rumo de sua vida. De forma que se portou de 
forma indiferente ao risco e aceitou não jogar quando o milionário lhe ofereceu R$ 
500,00 – o Valor Monetário Esperado da loteria.
Alexandre, que estava apressado nas ruas do centro da cidade quando 
reencontrou um antigo amigo – o milionário excêntrico –, não pôde perder muito 
tempo com a loteria oferecida. No entanto, como comumente se arrisca em jogos 
de azar porque sempre acredita ser possível ganhar o maior prêmio, apostava que 
iria conseguir os R$ 1.200,00, até porque passar aquele encontro perdendo 
somente R$ 200,00 lhe faria pouca falta. Dessa forma, se comportou como 
propenso ao risco e só aceitou deixar a loteria quando lhe foram oferecidos R$ 
700,00. 
João tinha acabado de sacar da agência bancária todo o seu salário 
quando foi abordado pelo milionário excêntrico. Ponderandobastante os efeitos 
negativos da opção arriscada, percebeu que a perda dos R$ 200,00 seria trágica 
para toda a sua família, cuja subsistência no mês dependia de seus rendimentos. 
Apesar da probabilidade de ganhar uma quantia maior ser a mesma da de perder 
uma menor, as pessoas avessas ao risco temem mais a segunda situação do que 
acreditam na primeira. Ele acabou tendo um comportamento avesso ao risco, 
bastante comedido, aceitando abandonar o jogo quando a oferta alcançou R$ 
300,00, valor que representava o salário de um mês e meio de trabalho duro. 
O milionário, que tinha por “hobby” analisar o complexo comportamento 
dos seres humanos em relação ao dinheiro, resolveu refinar um pouco seu jogo 
pedindo para os três participantes relacionarem utilidades, em uma escala 
definida entre (-100) e 100, para cada um dos valores monetários oferecidos. 
Veremos como cada um dos três considerou as utilidades para cada um dos 
resultados: 
Maurício (EqC = R$ 500,00): 
UM (R$1.200,00) = 30 e UM ( - R$200,00) = -10. 
VEUM = 0,5(30)+ 0,5(-10) ⇒ VEUM = 10. 
UM (EqC) = UM (R$500,00) = 10.
Alexandre (EqC = R$ 700,00): 
UA (R$1.200,00) = 10 e UA ( - R$200,00) = -2. 
VEUA = 0,5(10)+ 0,5(-2) ⇒ VEUA = 4. 
UA (EqC) = UA (R$700,00) = 4. 
João (EqC = R$ 300,00): 
UJ (R$1.200,00) = 90 e UJ (- R$200,00) = -50. 
VEUJ = 0,5(90)+ 0,5(-50) ⇒ VEUJ = 20. 
UJ (EqC) = UJ (R$300,00) = 20. 
Apresentamos plotada na Figura a função-utilidade de cada um dos três 
participantes, que nos permite concluir graficamente como cada um se comporta 
frente ao risco. A função-utilidade linear de Maurício explicita seu comportamento 
indiferente ao risco. João nitidamente se comporta com aversão ao risco, como 
mostra sua função-utilidade convexa. A curva de Alexandre é a mais difícil de ser 
interpretada, pois o jogo oferecido apresenta baixa utilidade para ele. Se os 
valores monetários fossem superiores, perceberíamos com maior clareza a forma 
côncava de sua função-utilidade. 
Através deste exemplo simples e descontraído pudemos verificar como o 
dinheiro apresenta utilidades variadas para os indivíduos. E comprovamos através 
de uma ferramenta quantitativa sem grandes complexidades matemáticas, aquilo 
que já esperávamos: a loteria oferecida pelo milionário excêntrico apresenta maior 
utilidade para João que para Mauro, e muito pouca utilidade para Alexandre.
Conforme apresentado anteriormente, a capacidade de absorver perdas 
financeiras é um dos critérios principais que definem o comportamento frente ao 
risco. A tolerância ao risco destes três personagens pode ser vista de forma 
análoga a das companhias de petróleo. Quanto maior a renda mensal, no caso 
das pessoas físicas, ou maior o capital exploratório das empresas de petróleo, 
maior a capacidade financeira de suportar perdas, e, conseqüentemente, maior 
tolerância ao risco. 
A apresentação teórica e a aplicação prática do conceito de Equivalente 
Certo nos permite concluir que para determinado indivíduo ou organização existe 
a mesma preferência ou utilidade entre o recebimento da quantia do Equivalente 
Certo e a participação no evento incerto e arriscado. Dessa forma: 
Verificamos anteriormente que o decisor racional em condições de risco e 
incerteza deixa de lado o critério de maximização do VME, que apresenta 
limitações, passando a adotar o de maximização do VEU. Mas observamos pela 
definição acima que atingiremos este objetivo através da maximização da 
utilidade do EqC, ou simplesmente pela própria maximização dele, uma vez que 
quanto maior ele for, maior sempre será sua utilidade para o tomador de decisão. 
Portanto, no processo de tomada de decisão em investimentos sob risco e 
incerteza devemos sempre buscar a maximização do Equivalente Certo através 
da definição do nível ótimo de participação no projeto. 
Parte IV- Jogos Estáticos com Informação Incompleta
Uma das novas idéias mais importantes na economia é que informação 
privada constitui um recurso valioso cujo uso pode afetar o bem-estar econômico 
e social tanto quanto o uso de trabalho, terra ou tecnologia. Aqui , “informação 
privada” quer dizer conhecimento sobre o estado do mundo que alguns jogadores 
possuem, mas outros não. Exemplos de informação privada são a financeira de 
uma empresa que alguns acionistas sabem qual é e outros não; a disposição de 
um candidato a um novo emprego tem de fazer horas extras de última hora que 
não é do conhecimento de seu empregador potencial; e os resultados de um 
levantamento entre afiliados de um sindicato trabalhista sobre um novo contrato 
de trabalho proposto por uma empresa e que não é compartilhado com o 
negociador da empresa. Tais casos são conhecidos como jogos com Informação 
Incompleta, também ditos jogos bayesianos. Lembre-se que em jogos, 
estáticos e dinâmicos, de informação completa, por definição, a função de ganho 
dos jogadores era de conhecimento comum. Em contraste, nos jogos de 
informação incompleta, a função payoff de pelo menos um dos jogadores não 
será de conhecimento comum, o que denota um elemento de incerteza na medida 
em que pelo menos um jogador estará incerto sobre a função payoff dos outros 
jogadores.
Manteremos o formato que estamos seguindo desde o começo e 
apresentaremos primeiro jogos bayesianos estáticos e posteriormente trataremos 
de jogos dinâmicos.
Um exemplo padrão de jogos estáticos de informação incompleta são 
leilões fechados. Cada participante (“bidder”) sabe a sua própria avaliação do 
bem leiloado mas não conhece as avaliações dos demais participantes. O lances 
(“bids”) são submetidos em envelopes fechados, de modo que os movimentos dos 
jogadores podem ser considerados simultâneos. No entanto, a maioria dos jogos 
bayesianos interessantes economicamente são dinâmicos. Como nós veremos no 
próximo tópico, a existência de informação privada leva naturalmente à tentativas 
da parte informada de se comunicar (ou enganar) e à tentativas da parte não 
informada de aprender e responder. Essas questões são inerentemente 
dinâmicas.
Na próxima seção vamos definir a forma de representar de um jogo 
bayesiano estático e a noção de equilíbrio correspondente, qual seja equilíbrio 
bayesiano de Nash.
Como tais noções são mais complexas e abstratas do que as vistas até 
aqui, faremos isso através de um exemplo, um oligopólio de Cournot sob 
informação incompleta.
 Cournot sob informação incompleta
Considere um duopólio de Cournot padrão em que as firmas escolhem 
simultaneamente o quanto produzir. A curva de demanda inversa é
P (Q) = a - Q e Q = q1 + q2
A função custo da firma 1 é dada por
C1 (q1) = cq1
e isso é de conhecimento comum. Já a função custo da firma 2 não. Ela é dada 
por
A firma 1 não sabe ao certo qual é a função custo da firma 2 (essa firma 
pode ser uma firma nova no mercado ou pode ter inventado uma nova 
tecnologia): o que é de conhecimento comum aqui é a distribuição de 
probabilidades sobre a eficiência da firma 2 e a própria estrutura de informação, 
no sentido de que a firma 1 sabe que 2 tem informação superior, a firma 2 sabe 
que a firma 1 sabe isso e assim sucessivamente.
Como resolver esse jogo? Considere primeiro o caso da firma 2, a firma 
que tem mais informação. Caso ela seja ineficiente, o seu problema será
E analogamente, caso ela seja mais eficiente, vai
Decorre das CPO´s dos problemas acima que
que são as melhores respostas que a firma 2 pode dar às escolhas de 1 caso ela 
seja de custo alto ou de custo baixo.
Já o problema da firma 1, a firma não informada, é maximizar o seu ganho 
esperado em função da chance de 2 ser ou não eficiente. Ou seja, a firma 1
tal que as CPO´s implicam que
tal que
será a melhor resposta (esperada) que a firma 1 pode dar às escolhas de 2. Da 
interseção