03 - Regras de três simples e composta, proporcionalidades

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Aula 01 – Razões e 
Proporções 
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Sumário 
RAZÕES E PROPORÇÕES ................................................................................................................................ 3 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ................................................................................................ 4 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS .............................................................................................. 6 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA ............................................................................................................................. 9 
Método tradicional para regras de três compostas ............................................................................................ 9 
Método alternativo para regras de três compostas .......................................................................................... 14 
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS ........................................................................................................... 17 
DIFERENÇAS DE RENDIMENTO ....................................................................................................................... 22 
QUESTÕES DA BANCA CESPE COMENTADAS ................................................................................................ 27 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ...................................................................................................................... 76 
GABARITO .................................................................................................................................................... 91 
RESUMO DIRECIONADO ............................................................................................................................... 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Razões e Proporções 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Regras de três simples e composta, proporcionalidades 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
 
 
 Para começar esta aula, imagine que estamos dirigindo um carro. Você concorda que, quanto MAIS 
rápido eu dirigir o carro, MAIOR será a distância que eu vou conseguir percorrer em um determinado período 
de tempo (por exemplo, 1 hora)? E, quanto MENOR for a minha velocidade, MENOR será a distância por mim 
percorrida? Perceba que temos duas “entidades” ou “grandezas” envolvidas neste exemplo: a velocidade que 
eu dirijo o carro e a distância percorrida. Nós podemos falar que a distância é proporcional à velocidade pois, 
como vimos, essas duas grandezas variam juntas! 
 Portanto, já guarde isso: duas grandezas são proporcionais quando elas variam juntas – seja as duas 
aumentando, as duas diminuindo, ou uma aumentando e a outra diminuindo. 
Precisamos conhecer dois tipos de proporcionalidade: aquelas com grandezas diretamente 
proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. Vamos lá? 
 
 
 
 
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GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas variam no mesmo sentido, isto 
é: quando uma cresce, a outra também cresce. Já, se a primeira diminui, a segunda diminui também. 
Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço. 
O que significa isso? Ora, significa que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional 
também aumenta. Por outro lado, quanto menor for o tempo de serviço do funcionário, menor será o seu 
salário. Essa variação ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o 
salário e o tempo trabalhado. 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de 
serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de 
Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que 
chamaremos de T), podemos organizar as informações da seguinte maneira: 
Tempo (anos) Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
Veja que, na primeira linha, coloquei as informações relativas a João. Na segunda linha estão as 
informações relativas a Kléber. A forma de resolver um exercício como este é muito conhecida: estamos diante 
de uma regra de três simples. Basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação 
dos termos da outra diagonal (T x 1000). Costumamos chamar isso de “multiplicação cruzada”. Veja: 
5 x 1500 = T x 1000 
7500 = T x 1000 
𝑇 =
7500
1000
 
𝑇 = 7,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 
Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
Guarde esse procedimento básico para a solução de problemas de proporcionalidade direta: 
PROPORÇÃO DIRETA: 
1 – Confirme que as grandezas são diretamente proporcionais (aumentam juntas / diminuem juntas); 
2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado; 
3 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado. 
 
Veja essa questão: 
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FCC – TRT/PE – 2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública 
é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas 
funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários 
homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do 
concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a 
(A) 64. 
(B) 78. 
(C) 80 
(D) 72. 
(E) 70. 
RESOLUÇÃO: 
Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e 
mulheres inicialmente, temos: 
5 homens --- 4 mulheres 
H homens --- M mulheres 
5 x M = 4 x H 
H = 5M/4 
Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 
9 homens para 8 mulheres. Ou seja: 
9 homens --- 8 mulheres 
H + 5 homens --- M + 12 mulheres 
9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 
9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40 
9M + 108 = 10M + 40 
10M – 9M = 108 – 40 
M = 68 
Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres. 
Resposta: C 
 
Antes de prosseguir, trabalhe mais esta questão: 
 
 
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CESPE – EMAP – 2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em 
um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. 
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. 
( ) Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadoresdeverão trabalhar durante mais de 13 horas. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que, aparentemente, temos TRÊS grandezas envolvidas: o número de operadores, o número de horas 
de trabalho, e o número de navios carregados. Entretanto, perceba que o número de operadores NÃO MUDA 
(permanecem 6). Quando uma grandeza não muda, podemos simplesmente ignorá-la e trabalhar somente 
com as demais. Anotando-as em uma tabela: 
Horas por dia ------------------------- Navios 
8 12 
X 18 
Perceba que quanto MAIS horas de trabalho por dia nós tivermos, MAIS navios conseguiremos carregar. Ou 
seja, temos grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos: 
8 . 18 = X . 12 
2 . 18 = X . 3 
2 . 6 = X . 1 
12 = X 
Portanto, os operadores precisam trabalhar 12 horas. O item é ERRADO, pois afirma que os operadores 
deverão trabalhar durante mais de 13 horas. 
Resposta: E 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra 
diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede. 
Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros 
e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto MAIS pedreiros trabalhando em uma obra, MENOS tempo 
é necessário para finalizá-la, concorda? É muito importante ser capaz de imaginar o “mundo real” para fazer 
esse julgamento! 
A forma de resolução do problema é bem parecida com o caso anterior, há apenas uma pequena (mas 
importantíssima) diferença. O primeiro passo consiste em anotar as informações do enunciado em uma tabela: 
 Número de pedreiros Tempo (hr) 
 2 6 
 3 T 
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Aqui vem a diferença: como as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a 
multiplicação cruzada nós precisamos INVERTER uma das colunas. Você pode escolher qualquer coluna para 
inverter, ok? Eu escolhi inverter os termos da coluna dos Pedreiros. Veja como ficou: 
 Número de pedreiros Tempo (hr) 
 3 6 
 2 T 
Feito isso, basta efetuar a multiplicação cruzada: 
3 x T = 2 x 6 
3 x T = 12 
𝑇 =
12
3
 
𝑇 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Portanto, o AUMENTO de número de pedreiros (de 2 para 3) REDUZ o tempo necessário para erguer a 
parede de 6 para 4 horas. Era exatamente isso que nós esperávamos, concorda? 
Vamos então anotar a “receita de bolo” para enfrentar problemas de proporcionalidade inversa: 
PROPORÇÃO INVERSA: 
1 – Confirme que as grandezas são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui, e vice-versa); 
2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado; 
3 – INVERTA os valores de uma das colunas (troque-os de linha); 
4 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado. 
 Perceba que a única diferença está no passo 3! 
Resolva essa questão introdutória antes de avançarmos: 
FCC – TRT/11 – 2017) Um ciclista cumpriu seu trajeto de treinamento com uma velocidade média de 20 km/h e 
um tempo de 6 horas e 24 minutos. No dia seguinte, ao voltar, o ciclista cumpriu o mesmo trajeto em 
exatamente 8 horas. Nesse dia sua velocidade média caiu, em relação ao treinamento do dia anterior, um valor 
igual a 
(A) 1,5 km/h. 
(B) 3 km/h. 
(C) 7 km/h. 
(D) 4 km/h. 
(E) 6 km/h. 
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RESOLUÇÃO: 
Podemos escrever: 
20km/h —————— 6h 24min 
V km/h ——————– 8h 
 
Uma dica importante: nunca trabalhe com horas e minutos. O ideal é transformar tudo em minutos. Como 1 
hora corresponde a 60 minutos, fica fácil dizer que 8 horas são 8 x 60 = 480 minutos. Da mesma forma, 6 horas 
são 6 x 60 = 360 minutos. Somando ainda os 24 minutos (de 6h24min), temos 384 minutos. Assim, ficamos 
com: 
20km/h —————— 384 min 
V km/h —————— 480 min 
 
Repare que, quanto MAIOR a velocidade que percorremos um trajeto, MENOR será o tempo gasto no trajeto. 
O enunciado não disse, mas nós percebemos claramente que as grandezas são inversamente proporcionais! 
Devemos inverter uma das colunas. No caso, vou inverter a coluna das velocidades: 
V km/h —————— 384 min 
20 km/h ——————– 480 min 
Agora basta fazer a multiplicação cruzada: 
V x 480 = 20 x 384 
V x 24 = 384 
V = 384 / 24 
V = 16 km/h 
 A queda na velocidade foi de 20 para 16 km/h, ou seja, uma queda de 4km/h. 
Resposta: D 
 
 Vamos trabalhar mais uma questão? 
VUNESP – PM/SP – 2018) Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de 
peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar 
diariamente, de forma ininterrupta, é de 
(A) 7 horas e 50 minutos. 
(B) 6 horas e 45 minutos. 
(C) 6 horas e 35 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
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(E) 7 horas e 05 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos anotar os dados do enunciado na tabela abaixo: 
Horas por dia Dias 
5 3 
T 2 
Note que quanto MAIS horas trabalhamos por dia, conseguimos produzir um lote em MENOS dias. Isto 
evidencia que as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Portanto, devemos inverter uma das colunas. 
Vou inverter a coluna das horas por dia. Veja: 
 
 
Horas por dia Dias 
T 3 
5 2 
Agora é só montar a nossa multiplicação cruzada: 
T x 2 = 3 x 5 
T = 15/2 
T = 7,5 
T = 7h + 0,5h 
T = 7 horas + 30 minutos 
Resposta: D 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas por vez. Nas questões onde aparecem 3 ou mais 
grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos a famosa regra de três composta. 
Quero te ensinar a resolver as questões de regra de três composta usando dois métodos, para que você 
fique à vontade para escolher aquele que se identificar melhor, ok? 
 
Método tradicional para regras de três compostas 
 Vamos entender como funciona este método através de um exemplo: 
2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses? 
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Perceba que agora nós temos 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de 
construção. Veja o esquema abaixo, onde anotei os dados fornecidos: 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
2 4 1 
5 X 7 
A seguir, podemos colocar uma seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), 
apontando para baixo ou para cima (como você quiser): 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
2 4 1 
5 X 7 
 
Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para 
descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto MAIOR o 
número de paredes, MAIS pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação 
diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no MESMO SENTIDO (isto é, para baixo) na coluna do 
Número de pedreiros: 
Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 
2 4 1 
5 X 7 
Da mesma forma, vemos que quanto MAIOR o número de paredes, MAIOR será o tempo de construção. 
Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo 
sentido: 
Número de pedreirosNúmero de paredes Tempo de construção 
2 4 1 
5 X 7 
Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta 
no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios 
tratando sobre isso. 
 
Uma vez alinhadas as setas, podemos montar a nossa proporção. Para isso, montamos a razão (divisão) 
entre os termos da coluna onde está o X (isto é, fazemos 
4
𝑋
) e a igualamos à multiplicação das razões obtidas 
nas demais colunas (
2
5
 e 
1
7
), ficando com: 
4 2 1
5 7X
=  
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Para obter o valor de X, basta terminar os cálculos. É interessante, neste momento, tentar SIMPLIFICAR 
os números, visando trabalhar com valores menores. Para você não ficar inseguro, vamos lembrar do ÚNICO 
caso em que você NÃO PODE simplificar: nunca simplifique na DIAGONAL, ou seja, o numerador de um lado 
com o denominador do outro. Ou seja, não é possível fazer as simplificações nos sentidos vistos na figura 
abaixo: 
 
 Podemos simplificar o 4 (numerador da esquerda) com o 2 (numerador da direita). Basta dividir ambos 
por 2, ficando com: 
2
𝑋
=
1
5
𝑥
1
7
 
 
2
𝑋
=
1
35
 
 
2 . 35 = X . 1 
 
70 = X 
Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses. Veja no quadro 
abaixo um resumo do que fizemos neste exemplo. 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA: 
1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com elas; 
2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X); 
3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à 
ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto; 
4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário; 
5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões; 
6. Obter X. 
 
Uma observação: você verá que muitas vezes eu nem desenho as setas! Elas são um bom recurso em um 
momento inicial, para que você fixe melhor o procedimento de resolução. Mas, se preferir, nem perca tempo 
as desenhando! 
A propósito, resolva essas questões comigo: 
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FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários 
no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 
45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias 
gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a 
(A) 55. 
(B) 36. 
(C) 60. 
(D) 72. 
(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
Podemos esquematizar assim: 
Funcionários Máquinas Dias 
20 150 45 
30 275 D 
 
Note que quanto MAIS dias tivermos para fazer o trabalho, MENOS funcionários são necessários, e MAIS 
máquinas podem ser despachadas. Portanto, devemos inverter a coluna dos funcionários, que é inversamente 
proporcional. Ficamos com: 
Funcionários Máquinas Dias 
30 150 45 
20 275 D 
 
Montando a proporção: 
45
𝐷
=
30
20
𝑥
150
275
 
Preste atenção nas simplificações: 
45
𝐷
=
3
2
𝑥
150
275
 
 
15
𝐷
=
1
2
𝑥
150
275
 
 
1
𝐷
=
1
2
𝑥
10
275
 
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1
𝐷
=
1
1
𝑥
5
275
 
 
1
𝐷
=
5
275
 
 
Podemos inverter os dois lados, ficando com: 
𝐷 =
275
5
 
Multiplicando em cima e embaixo por 2 (é um bom truque para quando o denominador é 5): 
𝐷 =
550
10
= 55 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Resposta: A 
 
FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a 
mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em 
(A) um dia. 
(B) dois dias. 
(C) três dias. 
(D) quatro dias. 
(E) seis dias. 
RESOLUÇÃO: 
Anotando as informações fornecidas: 
2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 
3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias 
 
Agora devemos comparar a coluna onde está a variável (dias) com as demais. Note que quanto MAIS dias de 
trabalho nós temos disponíveis, MENOS funcionários são necessários para concluir um trabalho. E quanto 
MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MAIS relatórios podem ser feitos. Fica claro que “funcionários” é 
INVERSAMENTE proporcional ao número de dias, o que nos leva a inverter essa coluna: 
3 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 
2 funcionários --- 24 relatórios --- N dias 
Agora podemos montar a nossa proporção: 
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3
𝑁
=
3
2
𝑥
12
24
 
3
𝑁
=
3
2
𝑥
1
2
 
1
𝑁
=
1
2
𝑥
1
2
 
1
𝑁
=
1
4
 
𝑁 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Resposta: D 
 
Método alternativo para regras de três compostas 
Pela minha experiência, a maioria dos alunos acaba tendo alguma dificuldade em verificar se duas 
grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Existe um segundo método de resolução que dispensa 
este passo. Para resolvê-lo, entretanto, é preciso ser capaz de separar as grandezas do enunciado em dois 
“tipos”: 
- aquela grandeza que representa o “resultado”; 
- aquelas grandezas que representam os “ingredientes” para aquele resultado. 
 
Como assim? Vamos retomar o nosso exemplo: 
2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses? 
 
Repare que temos os PEDREIROS, as PAREDES e o TEMPO (meses). Note que o resultado buscado é a 
construção de paredes, concorda? E quais são os ingredientes utilizados para construir as paredes? Os pedreiros 
e o tempo de trabalho! Sabendo disso, podemos anotar as informações em uma tabela como esta abaixo, 
deixando de um lado dos ingredientes e do outro lado o resultado: 
INGREDIENTES RESULTADO 
Pedreiros Tempo Paredes 
2 1 4 
5 7 P 
 
 Para chegar em nosso resultado, basta fazermos as multiplicações dos termos marcados pelas linhas 
abaixo: 
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INGREDIENTES RESULTADO 
Pedreiros Tempo Paredes 
2 1 4 
5 7 P 
 
Repare que o procedimento é simples: basta multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da 
outra linha. Agora, podemos igualar as duas multiplicações: 
2 x 1 x P = 5 x 7 x 4 
 
 Uma vez montado o problema, basta terminarmos de resolver: 
2P = 140 
P = 70 
 
 Simples e rápido, não? Anote aí a “receita de bolo”: 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA (MÉTODO ALTERNATIVO): 
1 – identificar qual é o OBJETIVO ou RESULTADO pretendido e quais são os INGREDIENTES necessários; 
2 – montar uma tabela separando os ingredientes do resultado; 
3 – multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra; 
4 – igualar as duas multiplicações, obtendo o valor da variável buscada. 
 
 Vamos praticar esse método nos mesmos exercícios que trabalhamos anteriormente? 
FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários 
no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 
45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias 
gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a 
(A) 55. 
(B) 36. 
(C) 60. 
(D) 72. 
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(E) 48. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos as grandezas: máquinas despachadas, funcionários trabalhando, e dias de trabalho. Qual é o 
RESULTADO que buscamos? Ora, queremos despachar máquinas! E, para fazer isso, quais são os ingredientes 
utilizados? Nós estamos utilizando funcionários e tempo de trabalho, concorda? Portanto, podemos montar a 
nossa tabela: 
 
 Veja que eu já coloquei as linhas que indicam as multiplicações a serem realizadas: multiplicamos os 
ingredientes de uma linha pelo resultado da outra! Ficamos com: 
20 x 45 x 275 = 30 x D x 150 
 Simplificando os cálculos: 
2 x 45 x 275 = 3 x D x 150 
2 x 15 x 275 = 1 x D x 150 
2 x 1 x 275 = 1 x D x 10 
550 = D x 10 
D = 55 dias 
Resposta: A 
 
FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a 
mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em 
(A) um dia. 
(B) dois dias. 
(C) três dias. 
(D) quatro dias. 
(E) seis dias. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que o OBJETIVO aqui é produzir relatórios. Para produzi-los, os ingredientes são: 
- funcionários trabalhando; 
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- tempo (dias) de trabalho. 
 
Podemos anotar as informações: 
 
 
Agora basta seguir as linhas azul e vermelha para resolvermos o exercício: 
2 x 3 x 24 = 3 x D x 12 
2 x 3 x 2 = 3 x D x 1 
2 x 1 x 2 = 1 x D x 1 
4 = D 
Resposta: D 
 
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 
Algumas questões nos apresentam situações onde devemos dividir alguma coisa (ex.: lucro da empresa) 
entre algumas pessoas de maneira PROPORCIONAL a algum critério (ex.: fatia da empresa possuída por cada 
sócio). A resolução é relativamente tranquila, pois podemos usar até mesmo regras de três simples! Para você 
compreender melhor, vejamos um exemplo. 
Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O 
patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao 
tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 
horas. Quanto foi recebido por cada rapaz? 
Veja que temos uma coisa (40.000 reais) a ser dividida entre 3 pessoas seguindo um determinado critério 
de proporcionalidade (a divisão deve ser diretamente proporcional aos tempos de trabalho de cada um). 
Uma primeira forma de resolver consiste em uma regra de três simples com a seguinte “cara”: 
Dinheiro TOTAL ----------- Tempo TOTAL 
Dinheiro de Fulano ---------- Tempo de Fulano 
 
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 Veja que basta montar uma regra de três relacionando os valores totais (dinheiro e tempo) e os valores 
de um determinado indivíduo (que pode ser André, Bruno ou Carlos). O dinheiro total é 40.000 reais, e o tempo 
total é dado pela soma 200 + 300 + 500 = 1000 horas de trabalho. Assim, no caso de André, que trabalhou 200 
horas, temos a regra de três: 
 40000 reais ------------- 1000 horas 
Dinheiro de André -------------- 200 horas 
 Fazendo a multiplicação cruzada: 
40000 x 200 = 1000 x Dinheiro de André 
40 x 200 = Dinheiro de André 
8000 reais = Dinheiro de André 
 
 De maneira similar, podemos calcular o dinheiro de Bruno. Como ele trabalhou 300 horas: 
40000 reais ------------- 1000 horas 
Dinheiro de Bruno -------------- 300 horas 
 
 Fazendo a multiplicação cruzada: 
40000 x 300 = 1000 x Dinheiro de Bruno 
40 x 300 = 1 x Dinheiro de Bruno 
12000 reais = Dinheiro de Bruno 
 
 Você pode calcular a parcela de Carlos da mesma forma, basta usar 500 horas. Outra forma, até mais fácil, 
é simplesmente pegar o total (40.000 reais) e subtrair os valores dados a André e Bruno, ou seja, 
Carlos = 40.000 – 8.000 – 12.000 = 20.000 reais 
 
Perceba que a divisão foi mesmo DIRETAMENTE proporcional! André, que trabalhou MENOS horas, 
ganhou MENOS dinheiro. Já Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MAIS dinheiro. 
 
Uma segunda forma de resolver consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Considero 
IMPORTANTÍSSIMO que você aprenda este segundo método, pois ele é fundamental em questões mais 
complexas sobre divisão proporcional. A ideia básica é criar uma variável, que chamamos de constante de 
proporcionalidade. Eu costumo usar a letra K. Assim, como André trabalhou 200 horas, ele tem direito a 200K. 
Como Bruno trabalhou 300 horas, ele faz jus a 300K e, como Carlos trabalhou 500 horas, ele deve receber 500K. 
A soma dos valores recebidos, que é 200K + 300K + 500 K = 1000K, deve ser igual a 40.000 reais, concorda? 
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1000K =40000 
K =40 
 Sabendo o valor da constante, conseguimos calcular rapidamente o valor recebido por cada rapaz: 
André = 200K = 200 . 40 = 8000 reais 
Bruno = 300K = 300 . 40 = 12000 reais 
Carlos = 500K = 500 . 40 = 20000 reais 
 Entendeu? Excelente! 
 E se a questão falasse que o dinheiro deveria ser distribuído de forma INVERSAMENTE proporcional ao 
tempo de trabalho de cada um??? Neste caso, você poderia usar a mesma constante K. Entretanto, André faria 
jus a 
𝐾
200
 , Bruno a 
𝐾
300
, e Carlos a 
𝐾
500
. Essa é a única mudança! Ao invés de multiplicar a constante pelos valores 
de cada pessoa, nós dividimos a constante pelo valor de cada pessoa, uma vez que a divisão é inversamente 
proporcional a esses valores. 
 A soma continua sendo de 40000 reais, portanto: 
𝐾
200
+
𝐾
300
+
𝐾
500
= 40000 
 
 Multiplicando todos os termos por 100, ficamos com: 
𝐾
2
+
𝐾
3
+
𝐾
5
= 4.000.000 
 
 O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 5 é o 30. Podemos multiplicar todos os termos por 30, ficando com: 
15𝐾 + 10𝐾 + 6𝐾 = 120.000.000 
31𝐾 = 120.000.000 
𝐾 =
120.000.000
31
 
𝐾 = 3.870.967,74 
(não se assuste com o tamanho dos números... isso ocorre porque este exercício NÃO foi concebido para trabalharmos com 
divisão inversamente proporcional, só estamos fazendo para entender o método) 
 
 Agora que sabemos o valor da constante, podemos encontrar o valor recebido por cada rapaz: 
André = K/200 = 3.870.967,74 / 200 = 19.354,83 reais 
Bruno = K/300 = 3.870.967,74 / 300 = 12.903,22 reais 
Carlos = K/500 = 3.870.967,74 / 500 = 7.741,93 reais 
 
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 Repare que a soma dos valores é mesmo 40.000 reais (ou quase isso, por conta dos arredondamentos). E 
veja que a divisão foi mesmo INVERSAMENTE proporcional. André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MAIS 
dinheiro! E Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MENOS dinheiro! 
 
 Compreendido? Vamos então empregar os dois métodos nos próximos exercícios! 
FCC – SABESP – 2018) Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem 
entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um 
ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes; 
o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus 
dividido entre os três operadores em 2017 foi de 
(A) R$ 2.515,50. 
(B) R$ 9.600,00. 
(C) R$ 8.400,00. 
(D) R$ 3.525,00. 
(E) R$ 10.200,00. 
RESOLUÇÃO: 
➔ PRIMEIRA SOLUÇÃO (regra de três simples): 
Veja que temos mais informações em relação a Josias: ele ganhou 1200 reais de bônus, e matriculou 800 
clientes. Podemos montar a seguinte regra de três relacionando os bônus e os númerosde matriculados: 
Bônus total -------------- Total de matriculados 
Bônus de Josias ------------- Matriculados por Josias 
 
O total de matriculados é de 700 + 850 + 800 = 2350. Assim, substituindo os valores conhecidos, temos: 
Bônus total ---------------- 2350 
 1200 -------------------- 800 
Resolvendo a regra de três simples: 
Bônus total x 800 = 1200 x 2350 
Bônus total x 8 = 12 x 2350 
Bônus total x 2 = 3 x 2350 
Bônus total = 3 x 1175 
Bônus total = 3525 reais 
Podemos marcar a alternativa D, que é o nosso gabarito. 
 
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➔ SEGUNDA SOLUÇÃO (constante de proporcionalidade): 
Outra forma de resolver consiste em trabalhar com “k”, a nossa constante de proporcionalidade. As partes a 
serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por 
cada um (700, 850 e 800 clientes), ou seja, os valores de cada um são 700k, 850k e 800k. Foi dado que Josias 
recebeu 1200 reais. O bônus de Josias é 800k, ou seja, 
800k = 1200 
k = 1200/800 
k = 1,5 
Assim, o valor total do bônus foi de: 
Total = 700k + 850k + 800k 
Total = 2350k 
Total = 2350 . 1,5 
Total = 3525 reais 
Resposta: D 
 
Veja ainda uma situação menos comum em prova, mas que você também deve aprender a resolver: 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em três partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e 
inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses 
números. 
(A) 120. 
(B) 160. 
(C) 180. 
(D) 200. 
(E) 240. 
RESOLUÇÃO: 
Como temos uma divisão que é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a 
outros, a solução mais recomendável é o uso da constante de proporcionalidade K. 
Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e 
inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte 
forma: 
- 
7
2
K  (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2); 
- 
4
3
K  (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3); 
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- 
8
5
K  (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5); 
Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja: 
7 4 8
772
2 3 5
K K K=  +  +  
105 40 48
772
30
K K K+ +
= 
23160 193K= 
120K = 
 
Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são: 
7
2
K  = 120 x (7/2) = 420 
4
3
K  = 120 x (4/3) = 160 
8
5
K  = 120 x (8/5) = 192 
Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160. 
Resposta: B 
 
DIFERENÇAS DE RENDIMENTO 
Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, 
trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando 
sozinho, para completar o serviço? 
Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que 
podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente 
que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que 
Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho. 
Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre: 
a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros); 
b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas). 
 
Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o 
tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho. 
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Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela 
de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram 
guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho 
de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, 
ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam 
necessárias para resolver este exercício: 
1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos: 
Horas de trabalho Livros guardados 
3 600 
1 P 
 
3 1 600
200
P
P livros
= 
=
 
 
2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos: 
P + M = 600 
M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros 
 
3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho: 
Horas de trabalho Livros guardados 
1 400 
T 600 
 
1 600 400
600
1,5
400
T
T hora
 =
= =
 
 
Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos 
funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele 
funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário. 
Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia 
ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo 
guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400). 
 
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Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício. 
Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50% 
de M, ou seja, 0,5M livros no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 
hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M): 
1,5M ----------------------- 600 livros 
M ------------------------- X livros 
 
1,5 600
600
400
1,5
M X M
X
 = 
= =
 
Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior. 
Vamos resolver juntos a questão a seguir: 
FCC – TRT/24ª – 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho – Matilde e Julião 
– foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 
3
5
de X em 2 
horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 
1
4
 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas 
Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
RESOLUÇÃO: 
O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e Matilde trabalhando sozinha. E pediu 
um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários 
tem a mesma eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. Estamos 
diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, portanto, começar analisando o caso onde 
Matilde trabalha sozinha, pois assim saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso 
dos dois funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião (uma vez que já 
saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe 
tudo isso abaixo. 
Matilde arquiva1
4
de X em 5 horas. Assim, podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o 
tempo em que ela e Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples: 
 
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Número de processos arquivados por Matilde Tempo gasto 
1
4
X 5 
 P 2 
 
Efetuando a multiplicação cruzada: 
1
2 5
4
2
5
4
5
2
2 5 10
X P
X
P
X
P
X X
P
 = 
=
=
= =

 
Portanto, em 2 horas Matilde arquiva 
10
X
processos. O enunciado disse que, trabalhando juntos, Matilde e 
Julião arquivam 
3
5
X em 2 horas. Como a parte de Matilde é de 
10
X
, restam para Julião: 
3
5 10
6
10 10
5
10
2
X
X
X
X
X
X
− =
− =
=
 
Portanto, em 2 horas Julião arquiva 
2
X
 processos. Como Julião arquiva metade dos processos em 2 horas, ele 
arquivará todos os processos no dobro deste tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia 
descobrir isso através da seguinte regra de três: 
Número de processos arquivados por Julião Tempo gasto 
2
X
 2 
X T 
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2
2
1
2
2
4
X
T X
T
T
 = 
 =
=
 
Resposta: A 
E aí, compreendeu? Eu sei que esse é o caso mais complicado! Fique à vontade para me procurar no fórum 
de dúvidas se for necessário. 
Podemos sintetizar assim o processo de resolução das questões onde há diferença de rendimento: 
MÉTODO DE SOLUÇÃO – DIFERENÇAS DE RENDIMENTO: 
1 - Partir da pessoa sobre a qual temos a informação de sua capacidade de trabalho isolada; 
2 - Descobrir quanto essa pessoa produz (sozinha) no tempo em que ela trabalhou junto da outra; 
3 - Subtrair essa parte do trabalho total realizado pelas duas pessoas juntas, para descobrir quanto a outra pessoa fez 
sozinha naquele tempo de trabalho conjunto; 
4 – Montar uma regra de três para saber em quanto tempo a segunda pessoa é capaz de fazer o trabalho sozinha. 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões da banca CESPE comentadas 
1. CESPE – EMAP – 2018) 
Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses 
operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. 
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. 
Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas. 
RESOLUÇÃO: 
Como a quantidade de operadores se manteve em 6, podemos ignorar essa grandeza: 
Horas de trabalho por dia ------------------------- Navios 
8 12 
X 18 
Quanto maior a quantidade de horas de trabalho por dia, maior o número de navios carregados. Ou seja, temos 
grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos: 
12X = 8 . 18 
4 . 3 . X = 2 . 4 . 3 . 6 
X = 2 . 6 
X = 12 horas/dia 
Portanto, é errado afirmar que os operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas. 
Resposta: E 
 
2. CESPE – EMAP – 2018) 
Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses 
operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. 
Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. 
Em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam mais de 15 navios. 
RESOLUÇÃO: 
Temos uma regra de três composta, em que as grandezas são: 
Quantidade de Operadores ------------ Horas de trabalho por dia ------------------------- Navios 
6 8 12 
8 7 X 
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Quanto maior a quantidade de operadores, maior a quantidade de navios carregados. Quanto maior a 
quantidade de horas de trabalho por dia, maior o número de navios carregados. Assim, as grandezas são 
diretamente proporcionais, o que nos permite ir direto para a multiplicação: 
12 8 6
7 8
12 6
7
2 1
7
14
X
X
X
X
= 
=
=
=
 
Portanto, é errado dizer que em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam 
mais de 15 navios. 
Resposta: E 
 
3. CESPE - STM - 2018) 
Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, 
herdaram de seu pai a quantia de R$5 milhões. O testamento prevê que essa quantia 
deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades. 
Nesta situação hipotética, julgue os próximos dois itens. 
( ) Jonas receberá 50% a mais que Saulo. 
( ) Um dos irmãos receberá metade da herança. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Jonas receberá 50% a mais que Saulo. 
Repare que Jonas é MAIS velho, de modo que ele receberá MENOS do que Saulo (afinal a distribuição é 
inversamente proporcional às idades). Isto já mostra que o item é ERRADO, sem fazermos nenhum cálculo. 
 
( ) Um dos irmãos receberá metade da herança. 
Como a distribuição é feita em partes inversamente proporcionais a 30, 20 e 18, temos que: 
K/30 + K/20 + K/18 = 5.000.000 
O mínimo múltiplo comum entre 30, 20 e 18 é 180. Multiplicando todos os termos da equação por ele, temos: 
180K/30 + 180K/20 + 180K/18 = 180x5.000.000 
6K + 9K + 10K = 180x5.000.000 
25K = 180x5.000.000 
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5K = 180x1.000.000 
K = 180x200.000 
K = 360x100.000 
K = 36.000.000 
Assim, Jonas receberá K/30 = 36.000.000/30 = 1.200.000, Pierre receberá K/20 = 36.000.000/20 = 1.800.000, e 
Saulo receberá K/18 = 36.000.000/18 = 2.000.000 reais. 
Nenhum dos irmãos recebe metade da herança (2.500.000). Item ERRADO. 
Resposta: E E 
 
4. CESPE – CAGE/RS – 2018) 
João, Pedro e Tiago, três investidores amadores, animados com a popularização das criptomoedas, investiram 
12, 14 e 24 mil reais, respectivamente, em moeda virtual. Após uma semana do investimento, eles perceberam 
que o prejuízo acumulado, que era de 8 mil reais, deveria ser dividido entre os três, em proporção direta aos 
valores investidos. 
Nessa situação, em caso de desistência do investimento após a constatação do prejuízo, João, Pedro e Tiago 
receberão, respectivamente, as quantias, em reais, de 
(A) 9.340, 11.340 e 21.340 
(B) 10.080, 11.760 e 20.160 
(C) 11.920, 13.240 e 22.840 
(D) 2.660, 2.660 e 2.660 
(E) 1.920, 2.240 e 3.840 
RESOLUÇÃO: 
Sejam “a”, “b” e “c” as partes de prejuízo que João, Pedro e Tiago, respectivamente, irão arcar. Elas são 
diretamente proporcionais aos valores investidos por eles: 12 mil, 14 mil e 24 mil reais, respectivamente. 
Portanto: 
𝑎
12
 = 
𝑏
14
 = 
𝑐
24
 
Sabemos que o total do prejuízo é de 8 mil reais. Logo: 
𝑎
12
 = 
𝑏
14
 = 
𝑐
24
 = 
𝑎+𝑏+ 𝑐
12+14+ 24
 = 
8
 50
 
Agora, podemos analisar cada fração separadamente: 
𝑎
12
 = 
8
 50
 
a = 
8 x 12
 50
 → a = 1,92 = 1.920 reais 
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𝑏
14
 = 
8
 50
 
b = 
8 x 14
 50
 → b = 2,24 = 2.240 reais 
𝑐
24
 = 
8
 50
 
c = 
8 x 24
 50
 → c = 3,84 = 3.840 reais 
Logo, em caso de desistência, a quantia a ser resgatada deverá sofrer o desconto do prejuízo que cada um 
arcou: 
João: 12.000 – 1.920 = 10.080 reais 
Pedro: 14.000 – 2.240 = 11.760 reais 
Tiago: 24.000 – 3.840 = 20.160 reais 
Resposta: B 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolinae 60 L de álcool; em outro tanque B, 150 L de 
gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L de álcool. 
5. CESPE – PM/AL – 2017) 
Para que a proporção álcool/gasolina no tanque A fique igual à do tanque B é suficiente acrescentar no tanque 
A uma quantidade de álcool que é inferior a 25 L. 
RESOLUÇÃO: 
A proporção álcool/gasolina do tanque B é de 50/150 = 1/3. 
Suponha que precisamos acrescentar uma quantidade X de álcool no tanque A para ele chegar nesta mesma 
proporção. A quantidade de álcool passará a será de 60 + X, e a de gasolina será 240, de modo que ficaremos 
com a razão: 
1/3 = (60+X) / 240 
240 x 1/3 = 60 + X 
80 = 60 + X 
X = 20 litros 
 Item CERTO. 
Resposta: C 
 
6. CESPE – Bombeiros/AL – 2017) 
Na tabela a seguir, A, B, C, D e E são as quantidades de resmas de papel A4 consumidas, em quatro meses, 
pelas seções administrativas I, II, III, IV e V, respectivamente. Apesar de não mostrar explicitamente essas 
quantidades, a tabela apresenta as frequências absolutas e (ou) relativas de algumas dessas quantidades. 
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Considerando que cada uma dessas resmas, juntamente com a embalagem, tem forma de um paralelepípedo 
retângulo reto que mede 5cm x 21 xm x 30cm, julgue os itens seguintes. 
( ) O gráfico de barras verticais a seguir apresenta as frequências absolutas de resmas consumidas pelas cinco 
seções. 
 
( ) Considere que algumas dessas resmas sejam empilhadas de modo a formar um paralelepípedo retângulo 
reto 50.400 cm3 de volume. Nesse caso, essa pilha consiste de mais de 18 resmas de papel. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O gráfico de barras verticais a seguir apresenta as frequências absolutas de resmas consumidas pelas cinco 
seções. 
Observe que as 38 resmas consumidas pela seção I correspondem a 19% do total. Deste modo, as 20% 
consumidas na seção III correspondem a: 
38 resmas ------------ 19% 
Seção III ----------- 20% 
38 x 20% = Seção III x 19% 
38 x 20 = Seção III x 19 
Seção III = 2 x 20 
Seção III = 40 resmas 
Podemos também fazer um cálculo de proporcionalidade entre a seção I e a seção IV para saber a frequência 
relativa daquela seção: 
38 resmas ------------ 19% 
36 resmas ------------ Seção IV 
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38 x Seção IV = 36 x 19% 
Seção IV = 36 x 0,5% 
Seção IV = 18% 
E o mesmo vale para a seção V: 
38 resmas ------------ 19% 
44 resmas ------------ Seção V 
38 x Seção V = 44 x 19% 
Seção V = 44 x 0,5% 
Seção V = 22% 
Como a soma dos percentuais é 100%, podemos obter o percentual da seção II: 
19% + Seção II + 20% + 18% + 22% = 100% 
Seção II = 21% 
A quantidade absoluta da Seção II pode ser obtida assim: 
38 ------------ 19% 
Seção II ----------- 21% 
 
38 x 21% = 19% x Seção II 
2 x 21 = Seção II 
Seção II = 42 
Portanto, o gráfico de barras verticais está CORRETO. 
 
( ) Considere que algumas dessas resmas sejam empilhadas de modo a formar um paralelepípedo retângulo reto 
50.400 cm3 de volume. Nesse caso, essa pilha consiste de mais de 18 resmas de papel. 
O volume de cada resma é: 
Volume = 5 x 21 x 30 
Volume = 3.150 cm3 
Com 18 resmas, o volume seria de 18 x 3.150 = 56.700cm3. Veja que não é necessário ter mais de 18 resmas para 
totalizar o volume de 50.400cm3. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
 
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7. CESPE – Bombeiros/AL – 2017) 
Um tanque contém 256L de gasolina pura. Do tanque foram retirados 64L de gasolina e acrescentados 64L de 
álcool. Depois de homogeneizada essa mistura, foram retirados 64L e acrescentados outros 64L de álcool. Com 
relação ao procedimento, julgue o próximo item. 
( ) No final desse processo, se for possível separar as substâncias álcool e gasolina da mistura que está no 
tanque, serão encontradas mais de 140L de gasolina pura. 
RESOLUÇÃO: 
Ao retirar 64 litros de gasolina do tanque, sobram 192 L de gasolina. Acrescentando 64 litros de álcool, ficamos 
com 256 litros ao todo novamente, sendo 192 de gasolina e 64 de álcool. 
Veja que 64/256 da mistura é álcool. Ao retirar 64 litros dessa mistura, o volume retirado de álcool é de: 
64 L Álcool --- 256 L mistura 
Q --- 64 L mistura 
64 x 64 = 256 x Q 
1 x 64 = 4 x Q 
Q = 64/4 = 16 L de álcool 
Logo, o volume retirado de gasolina é 64 – 16 = 48 litros. 
Portanto, ficaram 64 – 16 = 48 litros de álcool é 192 – 48 = 144 litros de gasolina, totalizando 192 litros. 
Acrescentando 64 litros de álcool, ficam 48 + 64 = 112 litros de álcool e 144 litros de gasolina, totalizando 256 
litros. 
De fato, essa mistura final tem MAIS de 140 litros de gasolina pura. Item CERTO. 
Resposta: C 
 
8. CESPE – FUB – 2016) 
Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departamento para executar suas tarefas 
é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas e inversamente proporcional à sua 
produtividade individual diária P. 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
( ) Se, na quarta-feira, um servidor tinha 13 tarefas de sua responsabilidade para executar e se nas 3 primeiras 
horas de trabalho ele executou 5 dessas tarefas, então, mantendo essa produtividade, ele gastou menos de 8 
horas para concluir as 13 tarefas na quarta-feira. 
( ) Considere que na terça-feira a quantidade de tarefas a serem executadas por um servidor correspondia a 
50% a mais do que a quantidade de tarefas executadas no dia anterior. Nesse caso, para que o servidor 
concluísse seu trabalho da terça-feira no mesmo tempo gasto para concluí-lo na segunda-feira, a sua 
produtividade na terça-feira deveria aumentar em 50% em relação à produtividade da segunda-feira. 
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( ) Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15 tarefas a seu encargo e, na sexta-
feira, ele gastou 7 horas para executar as suas 18 tarefas, então, nessa situação, o servidor manteve a mesma 
produtividade nesses dois dias. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar cada alternativa: 
( ) Se, na quarta-feira, um servidor tinha 13 tarefas de sua responsabilidade para executar e se nas 3 primeiras 
horas de trabalho ele executou 5 dessas tarefas, então, mantendo essa produtividade, ele gastou menos de 8 horas 
para concluir as 13 tarefas na quarta-feira. 
A questão diz que o tempo gasto é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas. A 
produtividade se manteve. Então vamos montar a regra de três correspondente: 
3 horas --- 5 tarefas 
T horas --- 13 tarefas 
3x13 = 5xT 
5T= 39 
T= 7,8 horas 
O tempo gasto foi menor do que 8 horas. 
Alternativa CORRETA. 
 
( ) Considere que na terça-feira a quantidade de tarefas a serem executadas por um servidor correspondia a 50% 
a mais do que a quantidade de tarefas executadas no dia anterior. Nesse caso, para que o servidor concluísse seu 
trabalho da terça-feira no mesmo tempo gasto para concluí-lo na segunda-feira, a sua produtividade na terça-feira 
deveria aumentar em 50% em relação à produtividade da segunda-feira. 
Aqui a quantidade de tarefas aumentou 50% em relação ao dia anterior. Se o tempo foi mantido, a 
produtividade então aumentou: 
100% tarefas --- 100% produtividade 
150% tarefas --- p produtividade 
100 x p = 100 x 150 
P=150% 
A produtividade aumentou em 50%. 
Alternativa CORRETA. 
 
( ) Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15 tarefas a seu encargo e, na sexta-
feira, ele gastou 7 horas para executar as suas 18 tarefas, então, nessa situação,o servidor manteve a mesma 
produtividade nesses dois dias. 
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Vamos achar quantas tarefas ele fez em 1 hora na segunda e na sexta: 
Na segunda: 
6 horas --- 15 tarefas 
1 hora --- x tarefas 
6x = 15.1 
x = 15/6 = 2,5 tarefas 
Na sexta: 
7 horas --- 18 tarefas 
1 hora --- x tarefas 
7x = 18.1 
x = 18/7 = 2,57 tarefas 
Veja que a produtividade nos dois dias NÃO foi a mesma. Ela foi maior na sexta-feira. Alternativa ERRADA.
 
Resposta: C C E 
 
9. CESPE – TCE/SC – 2016) 
A participação dos vendedores nos lucros de uma empresa é diretamente proporcional às suas vendas. Os 
vendedores A, B e C venderam juntos R$ 500.000 em produtos: A vendeu R$ 225.000, B vendeu R$ 175.000 e 
C, o restante. Eles dividiram entre si, a título de participação nos lucros, o valor de R$ 10.000. Nessa situação, C 
recebeu R$ 2.000 de participação nos lucros. 
RESOLUÇÃO: 
As vendas de C foram de 500.000 – 225.000 – 175.000 = 100.000 reais. Podemos montar a regra de três: 
Lucro total ————- Vendas totais 
Lucro de C ———– Vendas de C 
Substituindo os valores conhecidos: 
10.000 ————– 500.000 
Lucro de C —— 100.000 
Veja que C vendeu 1/5 do total (100.000 de 500.000), de modo que ele recebeu 1/5 do lucro, ou seja, 1/5 x 10.000 
= 2.000 reais. Item CERTO. 
Resposta: C 
 
 
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10. CESPE – TRE/GO – 2015) 
André, Bruno e Carlos, técnicos de um TRE, começaram a analisar, no mesmo instante e individualmente, as 
prestações de contas das campanhas de três candidatos, compostas de 60 documentos cada uma. Cada um 
dos técnicos deveria analisar as contas de um candidato. Ao terminar a análise de sua parte, Carlos, sem perda 
de tempo, passou a ajudar Bruno e, quando os dois terminaram a parte de Bruno, eles se juntaram, 
imediatamente, a André, até que os três juntos terminaram todo o trabalho, cada um mantendo o seu ritmo 
até o final. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, considerando que em 10 minutos 
de trabalho, André analise 2 documentos, Bruno, 3 documentos e Carlos, 5. 
( ) A análise de todos os documentos foi feita em mais de 5 horas. 
( ) Carlos concluiu a análise de sua parte dos documentos em menos de 90 minutos. 
( ) Quando Carlos concluiu a análise de sua parte dos documentos, André e Bruno haviam analisado, juntos, a 
mesma quantidade de documentos que Carlos. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A análise de todos os documentos foi feita em mais de 5 horas. 
Note que em 10 minutos de trabalho são analisados 2+3+5 = 10 documentos (André analisa 2 documentos, 
Bruno, 3 documentos e Carlos, 5). Isto é, são analisados 1 documento por minuto. Para analisar os 3x60 = 180 
documentos, precisaremos de exatamente 180 minutos, ou 3 horas. 
Item ERRADO. 
 
( ) Carlos concluiu a análise de sua parte dos documentos em menos de 90 minutos. 
Carlos analisa 5 documentos a cada 10 minutos, isto é, 1 documento a cada 2 minutos. Portanto, para analisar 
seus 60 documentos, ele precisa de 60x2 = 120 minutos. Item ERRADO. 
 
( ) Quando Carlos concluiu a análise de sua parte dos documentos, André e Bruno haviam analisado, juntos, a 
mesma quantidade de documentos que Carlos. 
André e Bruno analisam juntos 2+3 = 5 documentos a cada 10 minutos. Veja que a produtividade dos dois juntos 
é a mesma de Carlos (5 documentos a cada 10 minutos). Portanto, no momento que Carlos finalizou a análise 
dos seus 60 documentos, certamente André e Bruno haviam terminado a mesma quantidade. Item CORRETO. 
Resposta: E E C 
 
 
 
 
 
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11. CESPE – ANTAQ – 2014) 
Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada. 
( ) Uma empresa de transporte de carga dispunha de 2 caminhões que, em 5 dias de trabalho com jornada diária 
de 8 horas, percorriam 7.000 km. Essa empresa vendeu um dos caminhões e demitiu o respectivo motorista, 
tendo aumentado para 11 horas diárias a jornada de trabalho do motorista que permaneceu na empresa. Nessa 
situação, esse motorista trafegará menos de 7 dias para percorrer 6.000 km. 
( ) Em uma repartição pública, 20 servidores, igualmente eficientes, trabalhando 6 horas ao dia analisam, em 
14 dias, 300 processos. Nessa situação, caso ocorra redução da força de trabalho em 40% e aumento de jornada 
em 50%, em 10 dias serão analisados mais de 195 processos. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Uma empresa de transporte de carga dispunha de 2 caminhões que, em 5 dias de trabalho com jornada diária de 
8 horas, percorriam 7.000 km. Essa empresa vendeu um dos caminhões e demitiu o respectivo motorista, tendo 
aumentado para 11 horas diárias a jornada de trabalho do motorista que permaneceu na empresa. Nessa situação, 
esse motorista trafegará menos de 7 dias para percorrer 6.000 km. 
Temos: 
Caminhões Dias Jornada diária Distância 
2 5 8 7000 
1 D 11 6000 
Quanto MAIS dias disponíveis, podemos trafegar com MENOS caminhões, fazendo jornada diária MENOR, e 
ainda assim percorrer distância MAIOR. Invertendo as colunas das grandezas inversamente proporcionais: 
Caminhões Dias Jornada diária Distância 
1 5 11 7000 
2 D 8 6000 
Montando a proporção: 
5/D = (1/2) x (11/8) X (7000/6000) 
5/D = (1/2) x (11/8) X (7/6) 
5 x 2 x 8 x 6 = D x 1 x 11 x 7 
D = 6,23 dias 
Item CORRETO. 
 
( ) Em uma repartição pública, 20 servidores, igualmente eficientes, trabalhando 6 horas ao dia analisam, em 14 
dias, 300 processos. Nessa situação, caso ocorra redução da força de trabalho em 40% e aumento de jornada em 
50%, em 10 dias serão analisados mais de 195 processos. 
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Reduzindo a força de trabalho em 40% e aumentando a jornada em 50%, ficamos com 20 x (1 – 40%) = 12 
servidores, e 6 x (1 + 50%) = 9 horas diárias de trabalho. Assim: 
Servidores Horas por dia Dias Processos 
20 6 14 300 
12 9 10 P 
Quando MAIS processos quisermos analisar, precisamos de MAIS servidores trabalhando MAIS horas por dia, 
durante MAIS dias. Assim, podemos montar a proporção, pois todas as grandezas são diretamente 
proporcionais: 
300/P = (20/12) x (6/9) x (14/10) 
300/P = (5/3) x (2/3) x (7/5) 
300 x 3 x 3 x 5 = P x 5 x 2 x 7 
P = 192,85 processos 
Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
12. CESPE – ANTAQ – 2014) 
Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia federal pelo período de 
20 anos. A concessionária realizará melhorias na via como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da 
iluminação, reforço na sinalização. 
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue os itens subsequentes. 
( ) Considere que 12 empregados da concessionária, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo, constroem 
3 km de rodovia em 9 dias. Nessa situação, 24 empregados, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo do 
grupo inicial, construirão 6 km de estrada em 6 dias. 
RESOLUÇÃO: 
Vejamos em quantos dias os 24 empregados, trabalhando 6h/dia, constroem 6km de estrada: 
Empregados Horas por dia Quilômetros Dias 
12 6 3 9 
24 6 6 D 
 
Quanto MAIS dias disponíveis, MENOS empregados são necessários, trabalhando MENOS horas por dia, e é 
possível construir MAIS quilômetros de rodovias. As grandezas “empregados” e “horas por dia” são 
inversamente proporcionais ao número de dias, devendo ser invertidas:Prof. Arthur Lima 
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Empregados Horas por dia Quilômetros Dias 
24 6 3 9 
12 6 6 D 
Montando a proporção: 
9/D = (24/12) x (6/6) x (3/6) 
9/D = 2 x 1 x 1/2 
9/D = 1 
D = 9 dias 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
13. CESPE – ANTAQ – 2014) 
A seguir são apresentadas alternativas logísticas hipotéticas para o transporte de 20.000 t de soja em grãos a 
partir do norte do estado de Mato Grosso com destino à exportação. 
< rota sul – via rodoviária direta até Paranaguá – PR, com 2.500 km de estradas; 
< rota norte – transporte multimodal, por rodovia de 400 km, até Porto Velho – RO e, em seguida, pela hidrovia 
do rio Madeira até Itacoatiara – AM, trecho aproximado de 1.000 km. 
Desprezando o custo e o tempo de transbordo rodo-fluvial na rota norte e considerando que, em qualquer rota, 
o frete do caminhão de 40 t custa R$ 0,10 a tonelada por quilômetro percorrido e o do comboio de 20.000 t 
custa R$ 0,01 a tonelada por quilômetro percorrido, julgue os próximos itens, com base nas informações acima. 
( ) A parcela do frete rodoviário do norte do Mato Grosso a Porto Velho – RO pela rota norte é superior a R$ 1 
milhão. 
( ) A parcela do frete hidroviário pela rota norte de Porto Velho a Itacoatiara é inferior a R$ 190 mil. 
( ) O preço do frete rodoviário direto pela rota sul é superior a R$ 4 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A parcela do frete rodoviário do norte do Mato Grosso a Porto Velho – RO pela rota norte é superior a R$ 1 milhão. 
Temos 400km entre o norte do Mato Grosso e Porto Velho, e devemos pagar 0,10 reais por tonelada para cada 
km percorrido. Temos um total de 20.000 toneladas. Podemos escrever o seguinte: 
 Distância toneladas preço 
1km 1ton 0,10 reais 
 
 
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Veja que eu esquematizei o seguinte: para transportar 1 tonelada de soja por 1km de distância, o preço é 0,10 
reais. Vejamos quanto custaria transportar 20.000ton de soja por 400km: 
Distância toneladas preço 
 1km 1ton 0,10 reais 
400km 20.000ton F 
Note que, quanto MAIOR a distância MAIOR será o preço, e quanto MAIOR o peso MAIOR o preço. Assim, as 
grandezas são diretamente proporcionais. Podemos escrever: 
0,10 / F = (1 / 400) x (1 / 20.000) 
0,10 / F = 1 / 8.000.000 
F = 8.000.000 x 0,10 
F = 800.000 reais 
Item ERRADO. 
 
( ) A parcela do frete hidroviário pela rota norte de Porto Velho a Itacoatiara é inferior a R$ 190 mil. 
Temos 1000km entre Porto Velho e Itacoatiara, e devemos pagar 0,01 reais por tonelada para cada km 
percorrido. Como temos 20.000 toneladas de carga, podemos escrever o seguinte: 
Distância toneladas preço 
 1km 1ton 0,01 reais 
1000km 20.000ton F 
Novamente as grandezas são diretamente proporcionais, o que permite escrever: 
0,01 / F = (1 / 1000) x (1 / 20.000) 
0,01 / F = 1 / 20.000.000 
F = 20.000.000 x 0,01 
F = 200.000 reais 
Item ERRADO. 
 
( ) O preço do frete rodoviário direto pela rota sul é superior a R$ 4 milhões. 
Temos 2500km pela rota sul, e devemos pagar 0,10 reais por tonelada para cada km percorrido. Temos um total 
de 20.000 toneladas. Podemos escrever o seguinte: 
Distância toneladas preço 
 1km 1ton 0,10 reais 
2500km 20.000ton F 
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As grandezas são diretamente proporcionais. Podemos escrever: 
0,10 / F = (1 / 2500) x (1 / 20.000) 
0,10 / F = 1 / 50.000.000 
F = 50.000.000 x 0,10 
F = 5.000.000 reais 
Item CORRETO. Note que você poderia ter resolvido rapidamente esse item da seguinte forma: 
Frete = Distância x Peso x Frete por peso e distância 
Frete = 2500 x 20.000 x 0,10 
Frete = 5.000.000 reais 
O mesmo vale para os demais itens. De qualquer forma, a resolução mais segura é a que eu apresentei, isto é, 
utilizando regras de três compostas. 
Resposta: E E C 
 
14. CESPE – MDIC – 2014) 
A respeito de proporções e regra de três, julgue os próximos itens. 
( ) Se 8 alfaiates que trabalham em um mesmo ritmo confeccionarem 36 blusas em 9 horas de trabalho, então 
10 alfaiates, com a mesma produtividade dos outros 8, confeccionarão, em 8 horas de trabalho, mais de 45 
blusas. 
( ) Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as 
porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversamente proporcionais, 
respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público 
jovem. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se 8 alfaiates que trabalham em um mesmo ritmo confeccionarem 36 blusas em 9 horas de trabalho, então 10 
alfaiates, com a mesma produtividade dos outros 8, confeccionarão, em 8 horas de trabalho, mais de 45 blusas. 
Podemos esquematizar: 
Alfaiates Blusas Horas 
 8 36 9 
10 B 8 
Quanto mais blusa precisarmos fazer, mais alfaiates precisamos contratar, e mais horas de trabalho serão 
necessárias. Estamos diante de grandezas diretamente proporcionais. Montando a proporção: 
36/B = (8/10) x (9/8) 
36/B = 9/10 
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B = 40 blusas 
Item ERRADO. 
 
( ) Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as 
porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversamente proporcionais, 
respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público 
jovem. 
Sendo I, J e A a porcentagem da produção destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, respectivamente, 
podemos dizer que: 
I / J = 3 / 2 
J / A = 6 / 3 
Portanto, 
I = 3J/2 
A = J/2 
Sabemos que: 
I + J + A = 100% 
3J/2 + J + J/2 = 100% 
3J = 100% 
J = 33,33% 
Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
15. CESPE – MDIC – 2014) 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio contribuiu com 
R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros 
obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à participação financeira de cada 
um dos sócios no ato de abertura da loja. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
( ) Se o lucro obtido ao final de determinado mês for igual a R$ 7.000,00, então a parcela de Cláudia no lucro 
será superior a R$ 1.700,00 nesse mês. 
RESOLUÇÃO: 
A soma das contribuições é 10.000 + 15.000 + 12.000 + 13.000 = 50.000 reais. O lucro total foi 7.000 reais. Como 
Claudia contribuiu com 12.000 reais, a parcela de lucro dela é dada por: 
 
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Total das contribuições ----------- total do lucro 
Contribuição de Cláudia --------- Lucro de Cláudia 
50.000 --------- 7.000 
12.000 -------- Lucro 
50.000 x Lucro = 12.000 x 7.000 
50 x Lucro = 12 x 7.000 
5 x Lucro = 12 x 700 
Lucro = 12 x 140 
Lucro = 1.680 reais 
Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
16. CESPE – INPI – 2013) 
Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para 
enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo,julgue os itens seguintes. 
( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários 
30 minutos para que o tanque fique cheio. 
( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada 
centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 
12 cm de raio. 
( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com 
volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com 
volume 50% maior que o antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em 
aproximadamente 67%. 
( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de 
uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 
por segundo. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários 30 
minutos para que o tanque fique cheio. 
Sabemos que o cano permite passar 40dm3 de água em 1 segundo. Vejamos em quanto tempo esse cano 
permite preencher 60m3, lembrando que 60m3 = 60000dm3: 
 
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 40dm3 ---------------------- 1 segundo 
60000dm3 ---------------------- T 
40T = 60000 
T = 1500 segundos = 1500/60 minutos = 25 minutos 
Item ERRADO. 
 
( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada centímetro 
a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12 cm de raio. 
Veja que 50000cm3 = 50dm3. Aumentando em 2cm o raio (de 10 para 12cm), a vazão aumenta em 10% + 10% = 
20%, ou seja, chega a 60dm3. Assim, em 1000 segundos, serão preenchidos 60 x 1000 = 60000dm3, que é a 
capacidade total do reservatório. Item CORRETO. 
 
( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com volume 
de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume 50% 
maior que o 
antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%. 
Para encher o tanque de 60m3 em 3 horas é preciso uma vazão de 60/3 = 20m3 por hora. Reduzindo-se essa 
vazão em 10%, chegamos a 20 x 0,9 = 18m3 por hora. Aumentando o volume do reservatório em 50%, chegamos 
a 1,5 x 60 = 90m3. 
O tempo para encher o reservatório de 90m3 com vazão de 18m3 por hora é: 
18m3 ---------------- 1 hora 
90m3 ---------------- X 
X =5 horas 
O tempo de enchimento aumentou em 2 horas. Em relação ao tempo inicial de 3 horas, este aumento é de 2/3 
= 0,67 = 67%. Item CORRETO. 
 
( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de uma 
vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por 
segundo. 
Inicialmente vamos converter a unidades de vazão: 
40.000mL = 40L = 40dm3 por segundo 
0,0125m3 = 12,5dm3 por segundo 
 
 
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O tempo de preenchimento do reservatório com cada vazão é: 
60.000 / 40 = 1500segundos 
60.000 / 12,5 = 4800segundos 
O custo de enchimento em cada caso é: 
1500 x 0,03 = 45 reais 
4800 x 0,03 = 144 reais 
Assim, utilizando-se a vazão de 40.000mL por segundo temos uma economia de 144 – 45 = 99 reais. Esta 
economia representa, em relação aos 144 reais gastos com a vazão de 0,0125m3 por segundo: 
P = 99 / 144 = 0,6875 = 68,75% 
Item ERRADO. 
Resposta: E C C E 
 
17. CESPE – PRF – 2013) 
Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de 
extensão em 30 dias, julgue os próximos itens. 
( ) Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 operários 
abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de 
conclusão da obra. 
( ) Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 
operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será 
concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início do quinto dia, 2 operários 
abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de 
conclusão da obra. 
Se em 30 dias seriam construídos 10km, nos primeiros 4 dias foram construídos: 
30 dias ------------- 10km 
4 dias --------------- D km 
30xD = 4x10 
D = 40 / 30 
D = 4/3 km 
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Portanto, faltava construir 10 – 4/3 = 30/3 – 4/3 = 26/3 km (aproximadamente 8,67 km) quando 2 operários 
saíram, ficando apenas 28 operários. Para calcular o tempo que eles levarão para finalizar a obra, podemos 
escrever: 
Operários Construção Dias 
30 10km 30 
28 26/3 km D 
Quanto MAIS dias tivermos, MENOS operários são necessários. E quanto MAIS dias tivermos, MAIS poderá ser 
construído. Assim, devemos inverter a primeira coluna, ficando com: 
Operários Construção Dias 
28 10km 30 
30 26/3 km D 
Montando a proporção: 
30 / D = (28/30) x (10 / 26/3) 
30 / D = (28/30) x (30 / 26) 
30 / D = (28 / 26) 
30 x 26 = 28 x D 
15 x 13 = 7 x D 
D = 27,85 dias 
Portanto, repare que, além dos 4 dias iniciais, são necessários mais 27,85 dias, totalizando 31,85 dias para 
finalizar a obra. O atraso é de apenas 1,85 dias. Item ERRADO. 
 
( ) Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 
operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será 
concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto. 
Com a chegada de mais 90 operários, ficamos com 120 operários trabalhando. Podemos escrever o seguinte: 
Operários Dias 
 30 30 
120 D 
Quanto MAIS operários, MENOS dias são necessários. Podemos inverter uma coluna: 
Operários Dias 
30 D 
120 30 
Montando a proporção: 
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30 x 30 = 120 x D 
900 / 120 = D 
7,5 dias = D 
Veja que 7,5 é o mesmo que ¼ de 30 dias. Portanto, a estrada será concluída em ¼ do tempo previsto, que é 
MAIS do que 1/5. Item ERRADO. 
Repare o seguinte: o número de operários foi multiplicado por 4 (de 30 para 120), de modo que o tempo gasto 
naturalmente seria dividido por 4. Essa é uma forma mais rápida de fazer a análise. 
Resposta: E E 
 
18. CESPE – UNIPAMPA – 2013) 
Considere que sejam oferecidas, semestralmente, 75 vagas para o ingresso de discentes em determinado curso 
superior de uma universidade e que, no primeiro semestre de 2009, tenham ingressado nesse curso 75 discentes 
— 25 do sexo masculino e 50 do sexo feminino. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
( ) O número x = 0,666..., que representa a quantidade proporcional de estudantes do sexo feminino 
ingressantes no primeiro semestre de 2009 no curso em relação ao número de vagas, é tal que 6x < 4. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que a proporção entre as 50 mulheres e o total de 75 vagas realmente é 0,666...: 
50 / 75 = 10 / 15 = 2 / 3 = 0,666... 
Veja também que: 
6x = 
6 . 0,666... = 
6 . 2/3