Aulas 8 e 9 Rotação (dinâmica trabalho e energia) (aluno)

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Rotação
Dinâmica das Rotações
Referências:
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
David, HALLIDAY,, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 
- Vol. 1 - Mecânica, 10ª edição. LTC, 06/2016. VitalBook file.
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Energia cinética de rotação
Um corpo rígido em rotação pode ser tratado como um
conjunto de partículas com diferentes velocidades, cuja
energia cinética é dada por:
onde 𝑚𝑖 e 𝑣𝑖 são, respectivamente, a massa e a velocidade 
da partícula de ordem i. 
Como v é diferente para cada partícula, podemos substituir 
por 𝑣 = 𝜔𝑟:
3
Momento de inércia
O termo entre parênteses é denominado momento de
inércia (I) do corpo em relação ao eixo de rotação.
Sua unidade SI é 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2.
Esta grandeza depende da forma como a massa está
distribuída em relação ao eixo de rotação.
4
Energia cinética de rotação
Assim, a energia cinética de um corpo em rotação pode ser
descrita como:
Unidade SI: joule [J]
5
Momento de inércia
Exemplo:
1) 2) 3)
6
Momento de inércia
7
Cálculo do momento de inércia
a)Sistema com poucas partículas (distribuição discreta de
massa):
onde 𝑟𝑖 é a distância perpendicular da partícula ao eixo de 
rotação.
b)Corpo rígido com distribuição contínua de massa:
8
Cálculo do momento de inércia
9
Cálculo do momento de inércia
Teorema dos eixos paralelos:
I = momento de inércia em relação a um eixo paraleo ao
eixo que passa pelo CM;
ICM = momento de inércia em relação ao eixo que passa
pelo CM;
M = massa total do corpo;
h = distância perpendicular entre o eixo dado e o eixo que
passa pelo CM.
10
Cálculo do momento de inércia
11
Momento de inércia – exercícios resolvidos
5) A Figura a) mostra um corpo rígido composto por duas
partículas de massa m ligadas por uma barra de
comprimento L e massa desprezível.
a) Qual é o momento de inércia ICM em relação a um eixo
passando pelo centro de massa e perpendicular à barra,
como mostra a figura?
b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a
um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e
paralelo ao primeiro eixo (Figura b)?
12
Momento de inércia – exercícios resolvidos
6) A figura abaixo mostra uma barra fina, homogênea, de
massa M e comprimento L, e um eixo x ao longo da barra
cuja origem coincide com o centro da barra.
a) Qual é o momento de inércia da barra em relação a um
eixo perpendicular à barra passando pelo centro?
b) Qual é o momento de inércia I da barra em relação a um 
novo eixo perpendicular à barra passando pela extremidade 
esquerda?
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Momento de inércia – exercícios resolvidos
7) As peças de máquinas que serão submetidas constantemente a rotações em alta velocidade
costumam ser testadas em um sistema de ensaio de rotação. Nesse tipo de sistema, a peça é posta
para girar rapidamente no interior de uma montagem cilíndrica de tijolos de chumbo com um
revestimento de contenção, tudo isso dentro de uma câmara de aço fechada por uma tampa lacrada.
Se a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendo macios, capturam os fragmentos
para serem posteriormente analisados.
Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. (www.testdevices.com) estava testando um rotor de aço
maciço, em forma de disco, com massa M = 272 kg e raio R = 38,0 cm. Quando a peça atingiu uma
velocidade angular ω de 14.000 rev/min, os engenheiros que realizavam o ensaio ouviram um ruído
seco na câmara, que ficava um andar abaixo e a uma sala de distância. Na investigação, descobriram
que tijolos de chumbo haviam sido lançados no corredor que levava à sala de testes, uma das portas
da sala havia sido arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo
havia atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício do
teste tinham sido danificadas, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia afundado cerca
de 0,5 cm e a tampa de 900 kg tinha sido lançada para cima, atravessara o teto e caíra de volta,
destruindo o equipamento de ensaio (Figura abaixo). Os fragmentos da explosão só não penetraram
na sala dos engenheiros por pura sorte.
Qual foi a energia liberada pela explosão do rotor?
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Torque
É a capacidade de uma força Ԧ𝐹 provocar a rotação de um
corpo. Corresponde ao produto vetorial entre o vetor
posição Ԧ𝑟 e o vetor força Ԧ𝐹.
Unidade SI:[N.m]
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
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Torque
Módulo do torque:
Ft = componente tangencial da força
𝑟┴= braço de alavanca: distância perpendicular entre o eixo de rotação
e a linha de ação da força.
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
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Torque
Módulo do torque:
✓ A componente radial da força Fr não provoca rotação;
✓ Torque positivo ou negativo – conforme convenção;
✓ Princípio de superposição: 𝜏𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝜏𝑟𝑒𝑠 = σ𝜏𝑖.
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
17
Torque
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛ϕ
18
Torque
Sabendo que e , então .
𝜏 = 𝐼𝛼
Corpo rígido constituído por uma barra
de massa desprezível e comprimento r,
com uma partícula de massa m em sua
extremidade, sob a ação de uma força
Ԧ𝐹:
Segunda lei de Newton para rotações:
Como , logo
19
Torque
Segunda lei de Newton para rotações:
Generalizando para o caso de várias forças atuarem sobre a
partícula:
𝜏𝑟𝑒𝑠 = 𝐼𝛼
Corpo rígido constituído por uma barra
de massa desprezível e comprimento r,
com uma partícula de massa m em sua
extremidade, sob a ação de uma força
Ԧ𝐹:
20
Torque
21
Torque – exercícios resolvidos
8) A abaixo mostra um disco homogêneo, de massa M =
2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em um eixo horizontal
fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por
uma corda, de massa desprezível, enrolada na borda do
disco. Determine a aceleração do bloco em queda, a tração
da corda e a aceleração angular do disco. A corda não
escorrega e o atrito no eixo é desprezível.
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Torque – exercícios resolvidos
9) Em relação ao sistema mostrado na figura, considere o
coeficiente de atrito cinético entre o bloco A e a superfície
𝜇𝑐 = 0,2. Não há atrito entre o bloco B e a superfície. A
polia tem massa de 2 kg, raio de 20 cm e 𝐼𝐶𝑀 =
𝑚𝑟2
2
.
Desconsidere a massa do fio que une os blocos e os atritos
com a polia. Determine:
a) o módulo da aceleração angular da polia;
b) os esforços de tração no fio. 
𝑚𝐴 = 50 𝑘𝑔
𝑚𝐵 = 23 𝑘𝑔
𝜃1 = 30°
𝜃2 = 40°
23
Torque – exercícios resolvidos
10) Um disco circular de raio 0,5 m está conectado a um
eixo de 0,2 m de raio. O eixo está apoiado em mancais
fixos, sem atrito. Uma massa mA = 10 kg é atada a um fio
que está enrolado em torno do eixo. Outra massa mB = 8
kg é atada a um fio que está enrolado em torno do disco. O
momento de inércia do conjunto é 5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Supondo que
o sistema seja liberado do repouso, determine:
a) o módulo da aceleração angular do disco;
b) os módulos das trações T1 e T2 nos fios.
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Exercícios recomendados
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
Lista 2 - Capítulo 10 
33 a 37, 39 a 45, 47 a 55
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Quando um torque acelera um corpo rígido em torno de um
eixo fixo, ele realiza um trabalho W sobre o corpo, variando
sua energia cinética rotacional.
𝑊 = ∆𝐾 Unidade SI – joule [J]
∆𝐾 = 𝐾 − 𝐾0
W =
1
2
𝑚𝑣2 −
1
2
𝑚𝑣0
2, como 𝑣 = 𝜔𝑟:
𝑊 =
1
2
𝑚(𝜔𝑟)2−
1
2
𝑚(𝜔0𝑟)
2
𝑊 =
1
2
𝑚𝑟2𝜔2 −
1
2
𝑚𝑟2𝜔0
2
𝑊 =
1
2
𝐼𝜔2 −
1
2
𝐼𝜔0
2
𝑊 = ∆𝐾 teorema trabalho – energia cinética
Trabalho e energia cinética de rotação
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O trabalho realizado em uma rotação é determinado por:
Trabalho e energia cinética de rotação
𝑊 = න
𝜃0
𝜃
𝜏 𝑑𝜃
𝑊 = 𝜏 ∆𝜃 𝑊 = 𝐹∆𝑥
𝑊 = න
𝑥0
𝑥
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
Se 𝜏 é constante:
análogo translacional
Caso 𝜏 seja variável – usar princípio de conservação da
energia mecânica. ∆𝐸𝑚𝑒𝑐 = 0
análogo translacional
27
A taxa na qual o trabalho é realizado é denominada
potência:
𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡 =
𝑑𝑊
d𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜃0׬
𝜃
𝜏 𝑑𝜃
𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡 = τ
𝑑𝜃
d𝑡
Trabalho e energia cinética de rotação
𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡= τ𝜔 𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝐹𝑣 análogo translacional
Unidade SI – watt [W]
28
Trabalho e energia cinética de rotação
29
Trabalho e energia cinética de rotação
11) Suponha que o disco do exemplo 8 parte do repouso no
instante t = 0, que a tração da corda, de massa
desprezível, é 6,0 N, e que a aceleração angular do disco é
−24 rad/s2. Qual é a energia cinética de rotação K no
instante t = 2,5 s?
30
Trabalho e energia cinética de rotação
12)
31
Trabalho e energia cinética de rotação
13) A barra mostrada na figura é homogênea 𝐼𝐶𝑀 =
𝑚𝐿2
12
, de
comprimento 0,8 m e massa 1,2 kg, pode girar no plano
vertical em torno do eixo fixo “O”, sem atrito. Ela é liberada
do repouso, da posição mostrada na figura (θ = 38º).
Quando a barra passa pela posição de equilíbrio (vertical),
determine:
a) o módulo da velocidade angular;
b) o módulo da aceleração angular.
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Trabalho e energia cinética de rotação
14) A barra homogênea mostrada na figura pode girar no
plano vertical em torno do eixo “O” fixo e sem atrito. Ela é
liberada do repouso, na vertical. Determine:
a) o módulo da velocidade angular da barra, para θ = 30º;
b) o módulo do torque resultante sobre a barra, para θ =
30º.
𝐼𝐶𝑀 =
𝑚𝐿2
12
, L = 2 m, m = 4 kg, θ = 30º
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Exercícios recomendados
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1. 
Lista 2 - Capítulo 10
58 a 64