METODOS QUANTITATIVOS APOLS PROVAS RESUMO

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01 prova discursiva métodos quantitativos 
 
 
 
R = 41.950,00 / 39.980,00 = 1.04927 * 100 = 104,93% 
 
 
 
R = 656,00 / 789,00 = 0,8314 * 100 = 83,14% 
 
 
02 prova discursiva métodos quantitativos 
letra B y = 54*7 + 728 = 1.106,00 
 
 
D y = 13 * 6 + 131 = 209 
 
letra C ok 
D 
OK 
C 
OK 
letra C ok braily 
A 
ok 
letra C x= -130/2*(-4) = 16,25 
letra D ok 
Letra C ok 
letra C OK 
letra A ok 
 
letra A ok 
 
Letra A ok 750/980= 0,7653 * 100 = 76,53% 
letra A ok 
 
letra C ok x = - 14.200/(2*(-32))= 221,875 
letra D ok = 146,50/133 = 1,1015 * 100 = 110,15% 
Questão 1/5 - Métodos Quantitativos
Considere a função y=3x+10. Calcule “y” quando “x” for igual a:
 
I) x=2, 
 II) x=10, 
 III) x=0, 
 IV) x=-3.
 E a seguir assinale a alternativa com as resposta corretas:
Nota: 20.0
A y=16, y=40, y=13, y=10
B y=15, y=22, y=13, y=10
C y=16, y=40, y=10, y=1
D y=15, y=22, y=10, y=1
Você acertou!
Resolução:
1. a) y=3x+10
y=3(2)+10
y=6+10
y=16
 
1. b) y=3x+10
y=3(10)+10
y=30+10
y=40
 
1. c) y=3x+10
y=3(0)+10
y=0+10
y=10
 
1. d) y=3x+10
y=3(-3)+10
y=-9+10
y=1
Questão 2/5 - Métodos Quantitativos
Determine x tal que f(x) =0, para: I) f(x)=11x-99 e II) f(x)=8x+32
Nota: 20.0
A I) = 9, II) = 4
 
B I) = -9, II) = -4
 
C I) = 9, II) = -4
 
D I) = -9, II) = 4
 
Você acertou!
Resolução:
 a) 11x-99=0
11x=99
x=99/11
x=9
b) 8x+32=0
8x=-32
x=-32/8
x=-4
Questão 3/5 - Métodos Quantitativos
Calcule o limite: 
Nota: 20.0
A 0
B 1
C -1
D 3
Você acertou!
Questão 4/5 - Métodos Quantitativos
Calcule a derivada da função f(x) = 2x - 2x + x - 4
Nota: 20.0
A f'(x) = 6x - 4x + x - 4
B f'(x) = 5x - 4x - 4
C f'(x) = 5x - 4x + 1
D f'(x) = 6x - 4x + 1
 
3 2 
2 
2 
2 
2 
Você acertou!
Resolução:
Usando a tabela de devidas e
as regras de derivação, temos
que f'(x) = 6x - 4x + 12 
Questão 5/5 - Métodos Quantitativos
Uma empresa de manutenção de computadores cobra R$ 120,00 para a formatação e a instalação de um sistema operacional em um computador. Sabe-se que, 
mensalmente, os custos fixos dessa empresa totalizam R$ 6.500,00. Com base nas informações acima, determine a função que relaciona o lucro mensal L com a 
quantidade x de computadores formatados.
Nota: 20.0
A L(x)=120x+6500
B L(x)=120x-6500
C L(x)=6500x+120
D L(x)=6500x-120
Você acertou!
Como o lucro unitário corresponde a 120 e os custos mensais fixos representam um valor de 6500, é
preciso multiplicar 120 pela quantidade x de computadores formatados e subtrair 6500 referente aos cus
Logo, L(x)=120x-6500.
Questão 1/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Sobre Índice de Laspeyres na média aritmética ponderada dos 
relativos é correto afirmar que:
Nota: 20.0
A a) o fator de ponderação é igual
à participação relativa de cada
item diante do valor total dos
itens adquiridos na data-base;
B b) é uma média harmônica
ponderada de relativos em que os
pesos são determinados com
base nos preços e nas
quantidades;
C c) é uma média ponderada de
variáveis e invariáveis que são
determinadas por pesos iguais na
data base
D d)é uma média harmônica não
ponderada que depende da
variável a qual está ligada a um
preço e não a quantidade.
 
Você acertou!
Capitulo 02 – Métodos
quantitativos
Questão 2/5 - Métodos Quantitativos
A relação entre o preço de venda e o lucro de um certo produto é 
dado pela função
 
L(x)=-5x +12000x-15000,
 
determine o preço que maximiza o lucro.
Nota: 20.0
A x=900
B x=1000
C x=1100
D x=1200
 
2
Você acertou!
No GeoGebra:
 
L(x)=-5x^2+12000x-15000
 
Clicar em otimização
(extremo):
 
x=1200
Questão 3/5 - Métodos Quantitativos
Uma indústria de antenas parabólicas tem o custo mensal de 
produção C em função da quantidade x de antenas produzidas 
expresso pela função
 
C(x)=320x+22000.
 
O custo unitário corresponde a U(x)=320+22000/x
 
Qual é o limite do custo unitário quando a produção tende a infinito?
 
Obs.: No GeoGebra, infinito é representado por "inf".
Nota: 20.0
A 0
B 100
C 280
D 320
 
Você acertou!
No GeoGebra:
 
U(x)=320+22000/x
 
Limite[U,inf]
Questão 4/5 - Métodos Quantitativos
Considere a função f(x)=5x +4x -12x+1. Qual é a derivada primeira 
de f?
Nota: 20.0
A f'(x)=5x +4x+1
B f'(x)=15x +8x-12
C f'(x)=15x +8x -12
D f'(x)=15x +8x-12+1
3 2
2
2
Você acertou!
f(x)=5x +4x -12x+1
 
Aplicando a regra da
potência, temos:
 
f'(x)=3 . 5x +2 . 4x -12x
+0
 
f'(x)=15x +8x-12
 
3 2
3-1 2-1 1-
1
2
3 2
2
Questão 5/5 - Métodos Quantitativos
O preço de uma bicicleta de competição, em 2013, era de R$ 
5.750,00. Em 2016 o preço dessa mesma bicicleta era 6.980,00, qual 
é o relativo de preço da bicicleta considerando 2013 como a data 
base?
Nota: 20.0
A 1,2139
B 1,3233
C 1,4142
D 1,5055
 
Você acertou!
R=6980/5750
 R=1,2139
Questão 1/5 - Métodos Quantitativos
De acordo com o livro indicado para leitura (Métodos Quantitativos do 
autor Nelson Pereira Castanheira) o coeficiente de Pearson é uma 
medida do grau de relação linear entre duas variáveis quantitativas. 
Este coeficiente varia entre os valores – 1 e 1. A partir da informação 
se r > 0 (r = coeficiente de correlação de Pearson), podemos afirmar 
que: Assinale a alternativa correta:
Nota: 20.0
A a) Existe correlação linear perfeita.
B b) Existe inexistência de
correlação.
C c) Existe correlação linear
positiva.
D d) Existe forte correlação linear
negativa.
Você acertou!
De acordo com a aula 04 do
Prof. Marcos Barbosa. Porque
o intervalo 0 a 1 indicada a
correlação positiva, e sendo R
> 0 (R maior do que zero),
entende-se que R não atende
a.
Questão 2/5 - Métodos Quantitativos
Sobre correlação e regressão múltipla é correto afirmar que:
Nota: 20.0
A a) Há fenômenos que somente
são razoavelmente bem
explicados por mais de uma
variável independente;
B b) Há fenômenos que são
explicados por apenas uma
variável;
C c) Há fenômenos em uma
regressão linear múltipla que gera
mais de um resultado para calculo
em situações de pleno risco,
divergindo os objetivos de um
possível resultado;
D d) Há fenômenos em uma
correlação e regressão múltipla
que é apenas utilizada para
calcular uma variável, jamais
poderá ser utilizada para mais de
uma variável;
 
Você acertou!
capitulo 05 – Métodos
Quantitativos.
Questão 3/5 - Métodos Quantitativos
De acordo com o livro Métodos Quantitativos, o autor, cita que “A correlação 
pode ser classificada de duas formas; variáveis envolvidas e complexidade 
das funções ajustantes”. De acordo com essas duas variáveis indicadas, 
marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e a seguir assinale a seqüência 
correta:
 ( )As variáveis envolvidas podem ser ditas como simples, quando for 
considerada uma única variável. 
 ( )As variáveis envolvidas poder ser ditas como linear, quando o 
ajustamento é feito por uma função de primeiro graus. 
 ( )As variáveis envolvidas podem ser ditas como não linear, quando o 
ajustamento é feito por uma função de grau maior que um. 
 ( )As variáveis envolvidas podem ser ditas como múltipla, quando 
considerada mais de uma variável independente.
Nota: 20.0
A a) V, F, V, F
B b) V, V, V, V
C c) F, F, V, V
D d) F, V, F, V
Você acertou!
Resposta correta letra B, o
autor descreve no 5º capitulo
do livro indicado, que em
termos de números de
variáveis envolvidas a
correlação dita é: considerada
mais que uma variável
independente. Quanto a
complexidade das funções
ajustantes, a correlação dita
é: linear , quando o
ajustamento é feito por uma
função do primeiro graus. Não
linear, quando o ajustamento
é feito por uma função de
grau maior que um.
Questão 4/5 - Métodos Quantitativos
O índice de Sauerbeck, é um índice:
Nota: 20.0
A a) Relativo;
B b) Agregativo ponderado;
C c) Agregativo simples;
D d) Agregativo composto.
Você acertou!
O índice de Sauerbeck se
classifica como um índice
agregativo simples, pois
utiliza a média aritmética,harmônica ou geométrica
simples.
Questão 5/5 - Métodos Quantitativos
Na estatística temos a Regressão Linear Simples. Indique abaixo o 
que significa o termo regressão?
Nota: 20.0
A a) é o método de análise da
relação existente entre duas
variáveis: uma dependente e
uma independente;
B b) é o método pelo qual se calcula
a relação existente entre três
variáveis;
C c) é o método de verificação de
dados entre duas invariáveis e
uma variável;
D d) é o método de análise dos
pesos e medidas entre três
variáveis;
Você acertou!
capitulo 05 – Métodos
Quantitativos.
Questão 1/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Considere a tabela de dados a seguir e utilizando a regressão 
linear, calcule y(1,7) e y(3,2).
Nota: 20.0
A 2,0362 e 3,5188
B 2 e 3,5
C 1,9875 e 3,4832
D 2,0421 e 3,5145
Você acertou!
Lista={(1,1.3542),(1.5,1.8425),
(2,2.2835),(2.5,2.8832),
(3,3.2917),(3.5,3.8234),
(4,4.3100)}
 
RegressãoLinear[Lista]
 
f(1.7)
 
f(3.2)
Questão 2/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Considerando os métodos de interpolação pode-se afirmar:
Nota: 20.0
A A interpolação linear é a mais
utilizada por ser uma técnica que
utiliza todos os pontos da tabela
de valores, sendo a maior
precisão de resultados.
B As regressões ou ajuste de curvas
somente podem ser utilizadas
para dados sem erros inerentes.
C As formas de interpolação de
Lagrange e de Newton resultam
no mesmo polinômio
interpolador que aquela obtida
por interpolação polinomial.
D Extrapolação somente pode ser
usada para dados fora da tabela.
Você acertou!
Questão 3/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Em relação a interpolação é possível afirmar:
 
 
(I) Todos os tipos de interpolação resultam o mesmo valor.
 
(II) 
A interpolação polinomial apresenta resultados melhores que a interp
olação linear.
 
(III) 
Os métodos de Lagrange e de Newton resultam no mesmo polinômio 
que o polinômio pela interpolação polinomial.
Nota: 20.0
A I e III
B II e III
C Somente II
D Somente III
Você acertou!
Questão 4/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Usando a Regressão Linear, calcule a velocidade (cm/s) de 
propagação de uma corda que foi tensionada pela ação de pesos 
distintos, (conforme a tabela) e avalie para um peso de 6.850 gf.
 
Nota: 20.0
A 1,4389
B 1,4537
C 1,4418
D 1,4650
 
Você acertou!
Lista={(6000,1.375),
(6500,1.428),(7000,1.482),
(7500,1.534),(8000,1.585)}
 
RegressãoLinear[Lista]
 
f(6850)
Questão 5/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Dada a tabela abaixo, determine y(0,7) e y(2,3) por regressão linear.
 
Nota: 20.0
A 4,48 e 3,08
B 4,57 e 3,01
C 4,87 e 3,05
D 4,25 e 2,75
 
Você acertou!
Lista={(0,3.8),(1,5.2),(2,3.9),
(3,1.1)}
 
RegressãoLinear[Lista]
 
f(0.7)
 
f(2.3)
Questão 1/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
A série temporal é utilizada de forma intensa no nosso dia-a-dia; é 
utilizada para medir a variação mensal do IPC, a variação diária do 
IBOVESPA, o PIB dos últimos dez anos e assim por diante. Mediante 
afirmação acima, marque a alternativa que identifica o que significa 
série temporal.
Nota: 20.0
A a) É um conjunto de valores
ordenados em ordem crescente
ao peso da qualidade de um
produto;
B b) É um conjunto seriado que
procura ordenar e principalmente
organizar fatores e fenômenos
sociais;
C c) É um conjunto de valores
simétricos que está em um
determinado período de
momentos iguais e de sequencia
variável.
D d) É um conjunto de valores
observados em momentos
distintos e sequencialmente
ordenados no tempo. É um
conjunto cronológico de
observações;
Você acertou!
capitulo 06 – Métodos
Quantitativos.
Questão 2/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
 
Analisando-se os diferentes comportamentos das séries temporais, 
temos particularidades que os definem, e em todos eles o tempo é o 
fator fundamental. Relacione a coluna A (séries temporais) com a 
coluna B (fenômenos envolvidos) e, em seguida, assinale a 
alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
COLUNA A COLUNA B
A – Tendência
secular.
( ) Artigos consumidos
no frio.
B – Flutuações
cíclicas.
( ) Efeitos causados
pela seca.
C – Variações
sazonais.
( ) Associados às
estações do ano. 
D – Variações
aleatórias. 
( ) Taxa de
desemprego.
Nota: 20.0
A D – C – B – A
B C – D – B – A
C D – C – A – B
D C – D – A – B
Você acertou!
capítulo 6, páginas 140 a 142.
Questão 3/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
 
 
Séries temporais são distribuições estatísticas onde a variável tida como 
objeto de estudo está organizada em relação a determinados períodos 
de tempo. Em relação a séries temporais é possível afirmar que:
 
 
I. É comum usar séries temporais em problemas reais relacionados ao 
processamento de sinais.
 
II. A ordem de observação dos dados é importante e a organização é 
feita na ordem de datas de ocorrência.
 
III. Podemos colocar os dados de uma série temporal em ordem 
crescente.
 
São corretas as afirmações:
 
Nota: 20.0
A I, apenas
B II, apenas
C I e II, apenas
D I, II e III, apenas
Você acertou!
As séries temporais são
utilizadas em problemas reais
e uma das aplicações são em
problemas relacionados ao
processamento de sinais. Os
dados são organizados em
função do tempo e não
podem ser organizados em
ordem crescente.
Questão 4/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
 
Séries temporais são importantes em diversas situações reais. A tabela a 
seguir apresenta a produção de fornos elétricos por uma certa indústria 
nos cinco primeiros meses do ano.
 
Mês Produção
Janeiro 2000
Fevereiro 2500
Março 1900
Abril 2200
Maio 2600
 
 
 
Com base nesses dados, obtenha a respectiva reta de regressão linear e 
em seguida faça uma previsão para a produção no mês de junho. A 
previsão para junho é:
Nota: 20.0
A 2510
B 2610
C 2680
D 2720
Você acertou!
Lista={(1,2000),(2,2500),
(3,1900),(4,2200),(5,2600)}
Regressão Linear [Lista]
f(6)
2510
Questão 5/5 - Métodos Quantitativos
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
 
As séries temporais possuem algumas características relacionadas ao comportamento 
da variável que está sendo analisada:
 
 
I. Tendência
( ) Ocorre quando não há
mudanças no comportamento da
variável.
II.
Estacionalidade
 
( ) Mudanças tais como
crescimento ou decrescimento
que ocorrem em determinadas
épocas.
III.
Sazonalidade
( ) Indica o crescimento ou
decrescimento da variável.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Nota: 20.0
A I, III, II
B III, II, I
C II, III, I
D III, I, II
Você acertou!
Tendência: por meio dela é
possível observarmos se há
crescimento ou decrescimento da
variável.
Estacionalidade: Esse
comportamento ocorre quando
não há mudanças em relação à
variável. Nesse caso não ocorre
crescimento e nem
decrescimento. A variável
apresenta um equilíbrio estável
em torno de um valor constante.
Sazonalidade: Esse
comportamento é muito
corriqueiro quando há mudanças
tais como crescimento e
decrescimento que ocorrem em
determinadas épocas.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Imagine que você foi a um posto e viu que o litro de gasolina está custando 
R$ 3,50. Se você abastecer o veículo com 10 litros de gasolina, quanto vai 
pagar? Para saber o total a ser pago, basta multiplicar 3,50 por 10, o que resulta 
em R$ 35,00. E se outro cliente abastecer o veículo com 15 litros de gasolina? 
Neste caso, 3,50 vezes 15 é igual a R$ 52,50. Observe que o total a ser pago é 
dado em função da quantidade de combustível adquirida. Em muitas situações 
do nosso dia a dia, estamos em contato diretamente ou indiretamente com as 
funções. Mas o que é uma função? É o que veremos a seguir! 
TEMA 1 – FUNÇÕES 
 Uma função é uma relação que associa a cada elemento x do domínio um 
único elemento y do contradomínio.Os elementos do contradomínio que estão 
associados aos elementos do domínio formam o conjunto imagem. 
A seguir, temos uma imagem que ilustra o domínio, o contradomínio e o 
conjunto imagem de uma função. 
Figura 1 – Domínio, contradomínio e conjunto imagem 
 
 As funções são representadas matematicamente por uma expressão que 
relaciona a variável dependente y com a variável independente x. 
No caso do exemplo do posto de combustíveis, a função que relaciona o 
total a ser pago com a quantidade de gasolina a ser colocada é 
 
 
3 
y=3,5x. 
A variável y corresponde ao total a ser pago e é chamada de variável 
dependente, pois é uma consequência do valor de x, a quantidade de gasolina 
adquirida. Podemos dizer que y depende de x. Para sabermos o total y a ser 
pago, basta multiplicarmos a quantidade x de gasolina por 3,5. Uma observação 
importante: 3,5 é equivalente a 3,50. 
Podemos escrever y=3,5x ou também f(x)=3,5x, pois y=f(x). 
O gráfico da função pode ser obtido por meio do GeoGebra, um software 
gratuito disponível em: <www.geogebra.org>. O GeoGebra também pode ser 
utilizado no navegador sem a necessidade de instalação. 
Após abrir a página do GeoGebra, basta clicar em GeoGebra Math Apps. 
 Na caixa de entrada do GeoGebra, é preciso digitar y=3.5x e em seguida 
apertar a tecla Enter. É importante observar que utilizamos o ponto “.” para 
separar as casas decimais, não a vírgula. 
Na figura a seguir, é possível observar que o gráfico da função é uma linha 
reta. Por esse motivo, a função y=3,5x é conhecida como função linear. 
 
 
 
4 
Figura 2 – Gráfico de função linear 
 
 No GeoGebra, se digitarmos na caixa de entrada a expressão “f(10)”, 
teremos como resultado “35”; e se digitarmos “f(15)”, teremos “52,5”, que são os 
respectivos valores funcionais, ou seja, considerando a função f(x)=3,5x, se 
x=10, y=35 e se x=15, y=52,5. 
 
 
 
5 
Figura 3 – Exemplo de função 
 
 É possível observar que sempre que o valor de x aumenta, y tem um 
acréscimo no valor. Nesse caso, temos uma função crescente. Uma função pode 
ser crescente para todo o domínio ou em um determinado intervalo. De um modo 
geral, uma função é dita crescente quando 1212 yyxx  . 
 Há situações em que, ao aumentarmos o valor de x, temos uma redução 
no valor de y. Quando isso acontece, a função é dita decrescente. Assim como 
no caso de ser crescente, uma função pode ser decrescente em todo o domínio 
ou em um certo intervalo. Em uma função decrescente, temos que 
1212 yyxx  . A figura a seguir apresenta um exemplo de função 
decrescente. 
 
 
 
6 
Figura 4 – Gráfico de função decrescente 
 
 Uma função decrescente está associada, por exemplo, à divisão em 
partes iguais de uma herança. Quanto maior o número de pessoas, menor é a 
parte que cada um vai receber. 
TEMA 2 – FUNÇÕES LINEARES 
 Vimos que a função que associa o total a ser pago com a quantidade de 
gasolina comprada é um exemplo de função linear. 
De um modo geral, uma função linear tem sempre a forma 
baxy  
onde a e b são constantes. 
 Nessa função, “a” corresponde ao coeficiente angular e indica a taxa de 
crescimento ou de decrescimento da função. O termo b é o coeficiente linear e 
indica o ponto no qual o gráfico da função corta o eixo y. 
 É possível imaginarmos diversos exemplos reais relacionados às funções 
lineares. Podemos considerar, por exemplo, uma indústria que produz camisetas 
com um certo tipo de estampa. Para estampar as camisetas, ela tem um custo 
de R$ 100,00 referente ao cliché, placa gravada em relevo utilizada para 
estampar as peças. O custo de cada camiseta sem estampa corresponde a R$ 
10,00. Sendo assim, para construirmos a função que representa o custo C de 
 
 
7 
produção de x camisetas, multiplicamos a quantidade de camisetas por 10 e 
somamos com 100, ou seja, 
C(x)=10x+100. 
 Para fazermos o gráfico da função no GeoGebra, basta digitarmos 
C(x)=10x+100 na respectiva caixa de entrada. 
 A visualização do gráfico é melhor se clicarmos com o botão direito e 
escolhermos a opção EixoX : EixoY e em seguida 1 : 20. Fazendo isso, para 
cada unidade no eixo x temos 20 unidades no eixo y. 
Figura 5 – Modos de visualização no GeoGebra 
 
 Por meio do GeoGebra, podemos obter o custo total para a produção de 
uma determinada quantidade de camisetas. 
 Se quisermos saber, por exemplo, o custo para a produção de 120 
camisetas, basta digitarmos C(120) na caixa de entrada do GeoGebra. O valor 
obtido será de R$ 1.300,00. 
 
 
 
8 
Figura 6 – Função e gráfico de custo de produção 
 
 Esse mesmo cálculo pode ser feito substituindo x por 120 na função 
C(x)=10x+100: 
C(x)=10x+100 
C(120)=10 . 120+100 
C(x)=1200+100 
C(x)=1300 
Podemos dizer que a função do tipo y=ax+b é chamada de linear, pois o 
respectivo gráfico consiste em uma linha reta. Se o valor de “a”, o coeficiente de 
x, for positivo, a função é crescente, e, se esse coeficiente de x for negativo, a 
função é decrescente: 
a>0: função crescente 
a<0: função decrescente. 
Exemplo: 
 Vamos imaginar que em uma indústria automotiva a produção de 
automóveis no primeiro mês do ano foi de 25 veículos por dia e no 5° mês do 
ano, foi de 18 veículos por dia. Com base nessas informações, escreva a 
equação da reta que está relacionada a esse problema e faça uma previsão da 
produção diária no sexto mês. 
Resolução: Para resolver esse problema, o primeiro passo é determinar a 
equação da reta associada a esse caso. Para obter essa equação, precisamos 
de dois pontos. O primeiro ponto é obtido a partir da informação de que no 
primeiro mês a produção diária foi de 25 automóveis. Isso corresponde então ao 
 
 
9 
par ordenado A(1, 25). Observe que esse par ordenado é da forma (x, y), no qual 
o primeiro valor corresponde ao mês (x=1), e o segundo valor corresponde à 
produção diária (y=25). Para o próximo ponto, sabemos que no quinto mês a 
produção diária foi de 18 veículos, ou seja, x=5 e y=18, o que resulta no ponto 
B(5, 18). 
 A partir dos pontos A(1, 25) e B(5, 18), basta substituirmos cada um deles 
pontos na expressão y=ax+b. 
 Para A(1, 25), temos: 
y=ax+b 
25=a(1)+b 
25=a+b 
a+b=25 
 Para B(5, 18), temos: 
y=ax+b 
18=a(5)+b 
18=5a+b 
5a+b=18 
A partir das equações obtidas, temos que resolver o sistema 





185
25
ba
ba
 
 Para resolvermos esse sistema, o procedimento é multiplicar uma das 
equações por -1 e em seguida somar as duas equações. 
 Multiplicando a primeira equação por -1, temos: 





185
25
ba
ba
 
 O próximo passo é somar as duas equações: 
 
 
10 
704
185
25






a
ba
ba
 
 Como 4a+0 é igual a 4a, então 
4a=-7 
a=-7/4 
a=-1,75 
 Para obtermos o valor de b, basta substituirmos a=-1,75 na primeira 
equação: 
a+b=25 
-1,75+b=25 
b=25+1,75 
b=26,75 
 Logo, a função procurada é dada por 
y=-1,75x+26,75. 
 Como o objetivo é fazermos uma estimativa para o sexto mês, temos x=6. 
Agora, é só substituirmos esse valor de x na função y=-1,75x+26,75: 
y=-1,75x+26,75 
y=-1,75 . 6+26,75 
y=-10,5+26,75 
y=16,25 
 Como estamos pensando em quantidades inteiras, a previsão de 
produção de automóveis para o sexto mês é de 16 automóveis por dia. 
 Esse problema também pode ser resolvido facilmente no GeoGebra. 
 Inicialmente precisamos criar uma lista com os pontos. Na caixa de 
entrada vamos digitar 
lista={(1,25),(5,18)} 
 
 
11 
 Em seguida, para obtermos a função que passa por esses pontos o 
comando a ser utilizado é: 
Polinômio[lista] 
 O gráfico é apresentado a seguir. 
Figura 7 – Polinômio e gráfico da função 
 
 Para a previsão referente ao sexto mês, basta digitarmos f(6). 
Figura 8 – Produção no sexto mês 
 
 O resultado é de 16,25 automóveis. 
TEMA 3 – FUNÇÕES QUADRÁTICAS 
 Muitas situações do nosso cotidiano podem ser descritas por meio de 
funções do segundo grau, uma função da forma 
cbxaxy  2 
ondea, b e c são constantes e 0a , conhecida como função quadrática ou 
função do segundo grau. 
 
 
12 
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade dessa 
parábola pode estar para cima ou para baixo, e isso depende do sinal do 
coeficiente de x2, ou seja, depende do sinal de a. 
Se 0a , a parábola tem concavidade voltada para cima. 
Figura 9 – Parábola com concavidade para cima 
 
 
Se 0a , a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Figura 10 – Parábola com concavidade para baixo 
 
 
 
13 
Para que servem as equações quadráticas? 
 As funções do segundo grau estão presentes em diversas situações do 
cotidiano. Uma função quadrática pode relacionar a variação do lucro referente 
à venda de uma mercadoria com a variação do respectivo. Também temos 
movimentos de objetos atirados que têm um comportamento descrito por uma 
parábola. 
 Há ainda construções famosas que utilizam a parábola como base. A 
igreja São Francisco de Assis, localizada em Pampulha, Minas Gerais, é um 
exemplo do uso das parábolas na arquitetura. 
Figura 11 – Igreja de São Francisco de Assis 
 
Fonte: <https://bimbon-
assets.s3.amazonaws.com/ckeditor/picture/data/5629394bf369334e6102abe8/content_pamps.j
pg>. 
Se a parábola tem concavidade para baixo, então essa função quadrática 
tem um ponto de máximo, e, se a parábola tem a concavidade voltada para cima, 
então a função tem um ponto de mínimo. Para determinarmos qual é o valor de 
x que implica no ponto de máximo ou ponto de mínimo da função, basta 
considerarmos a fórmula do x referente ao vértice, chamado de xv. 
As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelas fórmulas 
a
b
xv
2

 
e 
 
 
14 
acb
a
yv 4 onde 
4
2 

 
Observe a figura a seguir. O vértice de uma parábola coincide com a 
extremidade da função que, como já vimos, pode ser um ponto de máximo ou 
um ponto de mínimo dessa função. 
Figura 12 – Ponto de máximo 
 
 Para entendermos melhor a importância das funções quadráticas e das 
coordenadas do vértice, vamos ver um exemplo real: 
 Uma empresa comercializa frigideiras e deseja aumentar seu lucro 
mensal fazendo uma alteração no preço dessas frigideiras. A função quadrática 
que relaciona o lucro com o preço praticado é 
L(x)=-3x2+150x-1200 
onde x é o preço de venda de cada frigideira, e L é o lucro total. Sendo 
assim, determine: 
a. O preço que maximiza o lucro 
b. O lucro máximo 
Resolução: 
a. O preço que maximiza o lucro é o valor de x referente ao vértice, que pode 
ser facilmente calculado utilizando-se a fórmula do xv. 
a
b
xv
2

 
 Inicialmente, precisamos dos coeficientes a e b da função: 
 
 
15 
a = -3 
b = 150 
 O próximo passo é substituirmos esses coeficientes na fórmula. 
 32
150


vx 
6
150


vx 
25vx 
 Nesse caso, R$ 25,00 é o preço que maximiza o lucro. 
b. Para determinarmos o lucro máximo, podemos utilizar a fórmula referente 
ao yv ou também podemos substituir o valor do x encontrado no item 
anterior na função L(x)=-3x2+150x-1200. 
 Fazendo a substituição de x por 25 na função quadrática, temos 
L(25)=-3(25)2+150(25)-1200 
L(25)=-3(625)+150(25)-1200 
L(25)=-1875+3750-1200 
L(25)=675 
 Portanto, o lucro máximo corresponde a R$ 675,00. 
 No caso das funções quadráticas, podemos determinar as raízes 
utilizando a fórmula quadrática 
acb
a
b
x 4 onde 
.2
2 

 . 
 Graficamente, as raízes de uma função quadrática correspondem aos 
valores de x tais que y seja igual a zero. 
Figura 12 – Raízes da função quadrática 
 
 
16 
 
 
 Uma aplicação do cálculo das raízes de uma função quadrática consiste 
em determinarmos quais são os preços mínimo e máximo para que a empresa 
do exemplo anterior tenha lucro. Nesse caso, o primeiro passo é determinarmos 
as raízes da função L(x)=-3x2+150x-1200 e, em seguida, considerarmos o 
intervalo entre as raízes. 
 Primeiro, vamos determinar os coeficientes a, b e c: 
a = -3 
b = 150 
c = -1200 
Agora, precisamos calcular o valor de  : 
8100
1440022500
)1200)(3(4)150(
4
2
2



 acb
 
 
Calculando as raízes, temos: 
a
b
x
.2

 
)3.(2
8100)150(


x 
 
 
17 
























40
6
240
6
90150
10
6
60
6
90150
6
90150
222
111
xxx
xxx
x 
 
 Nesse caso, para essa empresa, os preços que fazem com que o lucro 
seja maior do que zero estão entre 10 e 40. Logo, 10<x<40. 
 Podemos utilizar o GeoGebra para resolver problemas relacionados a 
funções quadráticas. 
Considerando o problema da indústria de frigideiras, o gráfico da função 
pode ser feito digitando L(x)=-3x^2+150x-1200 no campo de entrada do 
GeoGebra. É importante ressaltar que o símbolo “^” indica a potenciação. Por 
esse motivo, foi utilizado para indicar que a variável x está elevada ao quadrado. 
Figura 14 – Resolução do problema com a utilização do GeoGebra 
 
 Para esse gráfico, utilizamos a proporção 1:50. Também é possível 
obtermos o ponto de máximo. Basta escolhermos a opção Otimização: 
 
 
 
18 
Figura 14 – Ponto de máximo obtido pelo GeoGebra 
 
 Em seguida, é só clicar sobre a função e teremos os valores de xv e de yv: 
Figura 15 – Valores de xv e de yv obtidos pelo GeoGebra 
 
 As raízes também podem ser facilmente obtidas com o uso do GeoGebra. 
Basta escolhermos a opção Raízes e clicarmos na função. 
 
 
 
19 
Figura 16 – Como obter raízes pelo GeoGebra 
 
 O GeoGebra fornece os valores das raízes da função. 
Figura 17 – Valores das raízes obtidos pelo GeoGebra 
 
TEMA 4 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Toda função da forma 
  xbaxf . 
 
 
20 
onde a é diferente de zero, b é positivo e b é diferente de 1, é uma função 
exponencial. O termo a é o valor da função quando x é igual a zero. O termo b é 
chamado de base. Quando b é maior do que 1, a função é crescente, e, se b 
está entre 0 e 1, a função é decrescente. 
As funções exponenciais têm diversas aplicações em problemas reais e 
são muito comuns em problemas relacionados ao crescimento populacional, ao 
comportamento das frequências das notas musicais relativas à escala ocidental, 
problemas envolvendo oferta e demanda, depreciação, meia-vida de uma 
substância, juros compostos, entre outros. 
Para exemplificarmos uma situação envolvendo funções exponenciais, 
podemos imaginar uma indústria que tem um crescimento anual previsto de 10% 
ao ano. Se o valor atual dessa empresa é de 5 milhões de reais, a cada ano esse 
valor é 10% maior do que o valor atual. Para estimarmos o valor da empresa a 
cada ano, devemos multiplicar o valor atualizado da empresa por 1,1. Isso 
corresponde a 100% mais o acréscimo de 10%, pois 100%+10%=110%, o que, 
na forma decimal, é igual a 1,1. Esse fator de crescimento é a base da função 
exponencial. 
Vamos acompanhar os respectivos valores anuais da empresa nos 5 
primeiros anos. 
Tabela 1 – Valores anuais da empresa 
Ano Valor (em milhões de reais) 
0 5 
1 5 x 1,1 = 5,5 
2 5 x 1,12 = 6,05 
3 5 x 1,13 = 6,655 
4 5 x 1,14 = 7,32050 
5 5 x 1,15 = 8,05255 
 
 Para um n qualquer, a função que relaciona o valor f da empresa com o 
tempo x é: 
  xxf 1,1.5 
 
 
21 
onde a=5 e b=1,1. A base corresponde ao fator de aumento 1,1 e o valor 
de a corresponde ao valor da empresa quando x=0, ou seja, a=5. 
 Podemos utilizar o GeoGebra para fazermos o gráfico da função 
  xxf 1,1.5 . 
 Para isso precisamos digitar f(x)=5*1.1^x na caixa de entrada: 
Figura 18 – Gráfico produzido pelo GeoGebra 
TEMA 5 – APLICAÇÕES DE FUNÇÕES 
 Além das funções lineares, quadráticas e exponenciais, muitas vezes 
temos outros tipos de funções que podem ser utilizados para a resolução de 
problemas reais. 
 Veremos a seguir exemplos em que diferentes tipos de funções são 
utilizados. 
Exemplo 1: Uma organização de saúde fez um estudo e descobriu que, 
para vacinar x% da população de uma cidade, o custoC em milhões de reais é 
dado por 
x
x
xC


220
200
)( . 
 Utilizando o GeoGebra, faça o gráfico dessa função. Em seguida, 
identifique qual é o custo para que seja possível vacinar 40% da população. 
Resolução: 
 
 
22 
Na caixa de entrada do GeoGebra, precisamos digitar C(x)=200x/(220-x). 
Em seguida, basta digitar C(40). 
Figura 19 – Resolução pelo GeoGebra 
 
 Logo, o custo para vacinar 40% da população é de 44,44 milhões de reais. 
Exemplo 2: Para a produção de x camisetas estampadas, o custo unitário 
corresponde a 
x
x
xC
10010
)(

 . 
 Por meio do GeoGebra, faça o gráfico da função. Qual é o custo unitário 
quando a empresa produz 10 unidades? E quando produz 100 unidades? 
Resolução: 
Para fazer o gráfico, basta digitar C(x)=(10x+100)/x na caixa de entrada do 
GeoGebra. Em seguida, digite C(10) e depois C(100). 
 
 
 
23 
Figura 20 – Resolução pelo GeoGebra 
 
 Para 10 unidades, o custo unitário de produção é de R$ 20,00, e, para 
100 unidades, esse custo corresponde a R$ 11,00. Isso ocorre porque o custo 
fixo de R$ 100,00 tem um impacto menor no custo unitário quando a produção 
aumenta. Graficamente, é possível perceber que há uma redução do custo 
unitário quando a produção aumenta. 
FINALIZANDO 
Chegamos ao final da nossa primeira aula de Métodos Quantitativos. 
Tivemos a oportunidade de estudar funções lineares, quadráticas, exponenciais 
e funções em geral. Vimos diversas aplicações relacionadas às funções e 
também como é possível utilizarmos o GeoGebra para representar graficamente 
as funções. Ainda aprendemos a obter as raízes e as coordenadas do vértice de 
funções quadráticas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
CASTANHERIA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F.D. et al. Pré-Cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Função de uma variável. 2. 
ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Aprendemos na aula anterior que as funções são importantes 
ferramentas matemáticas versáteis na resolução de problemas reais. Além das 
funções, limites e derivadas também são muito eficientes em situações do 
cotidiano. Quando precisamos saber o comportamento de uma função quando a 
variável independente se aproxima de um certo número, podemos utilizar 
conceitos relacionados a limites. Se precisamos, por exemplo, estimar o custo 
unitário de produção de camisetas estampadas quando essa produção aumenta, 
os limites são muito úteis. Em relação às derivadas, a importância consiste em 
determinarmos máximos e mínimos de funções tais como situações envolvendo 
lucro máximo ou custo mínimo. Também podemos utilizar derivadas para 
estudarmos situações relacionadas a taxas de crescimento. Para começarmos, 
veremos o que são limites! 
TEMA 1 – LIMITES 
Na matemática, o conceito de limite separa a matemática elementar da 
matemática avançada e está diretamente relacionado ao comportamento de uma 
função quando x se aproxima de um determinado valor. Podemos utilizar o 
conceito de limite para fazermos o estudo do custo de remoção de poluentes de 
um rio quando a porcentagem de poluentes aumenta. Também é possível 
determinarmos qual é o comportamento do custo unitário de um determinado 
item quando a produção aumenta. 
Quando pensamos em limites, não nos interessa o valor da função em um 
determinado ponto, mas sim o comportamento dessa função quando a variável 
independente x está próxima desse ponto. 
Para entendermos melhor, vamos começar com um exemplo relacionado 
à produção de camisetas estampadas. 
Vimos na aula 1 um exemplo em que uma indústria produz camisetas 
estampadas com um custo de R$ 100,00 referente ao cliché e um custo de R$ 
10,00 referente a cada camiseta sem estampa. A função que associa o custo 
total C de produção de x camisetas é dada por: 
C(x)=10x+100. 
 
 
3 
E se quisermos saber o custo unitário U de produção? Nesse caso, 
precisamos dividir o custo total C pelo número de camisetas produzidas x. Logo, 
a função que fornece o custo unitário U a partir da produção x corresponde a 
x
x
xU
10010
)(

 . 
 Podemos dividir cada termo do numerador por x, o que resulta em 
x
xU
100
10)(  . 
que é a função que relaciona o custo unitário U com a quantidade x de 
camisetas estampadas produzidas pela indústria. 
 Podemos fazer uma tabela contendo alguns valores relacionados à 
produção, custo total e custo unitário para observarmos o que acontece com os 
custos quando a produção aumenta. 
Tabela 1 – Custos 
x C(x) U(x) 
1 R$ 110,00 R$ 110,00 
10 R$ 200,00 R$ 20,00 
20 R$ 300,00 R$ 15,00 
30 R$ 400,00 R$ 13,33 
40 R$ 500,00 R$ 12,50 
50 R$ 600,00 R$ 12,00 
100 R$ 1.100,00 R$ 11,00 
200 R$ 2.100,00 R$ 10,50 
300 R$ 3.100,00 R$ 10,33 
1000 R$ 10.100,00 R$ 10,10 
10000 R$ 100.100,00 R$ 10,01 
 É fácil perceber que com o aumento da produção o custo total também 
aumenta. Também é possível verificar que com esse aumento o custo unitário 
está diminuindo. Mas para quanto esse custo tende quando a produção 
aumenta? 
 Podemos pensar então no limite de U(x) quando x tende a infinito. Essa 
expressão pode ser escrita como 







 xx
100
10lim . 
 
 
4 
 Substituindo x por infinito, a expressão 100/x tende a zero. Isso ocorre por 
que quanto maior for o denominador, menor é o resultado da divisão de 100 por 
esse número. 
 Sendo assim, 
10
100
10lim 






 xx
. 
 Logo, quanto maior for a produção, menor será o custo unitário, e, quando 
x tende a infinito, esse custo tende a R$ 10,00. 
 Graficamente, é possível observarmos esse comportamento da função 
U(x). 
Figura 1 – Gráfico da função U(x) 
 
TEMA 2 – APLICAÇÕES E O GEOGEBRA NO ESTUDO DE LIMITES 
 Podemos resolver diversos problemas práticos e teóricos relacionados 
aos limites por meio do GeoGebra. 
 O comando é Limite[<função>, <número>]. Para que o GeoGebra forneça 
o limite de uma função quando x tende a um certo número, basta utilizar o 
comando Limite e informar a função e o número para o qual x está tendendo. 
 Como exemplo, podemos imaginar uma situação onde é necessário que 
os poluentes de um rio sejam removidos. Um possível custo de remoção dos 
poluentes C é dado em função da porcentagem removida x. A função que 
relaciona esse custo de remoção com a porcentagem removida é 
x
x
xC


100
50000
12000)( . 
 
 
5 
 Determine o custo de remoção de 50% e 90% dos poluentes e o que 
acontece com o custo quando x tende a 100%. Podemos fazer o gráfico da 
função e resolver esse problema utilizando o GeoGebra. 
 O primeiro passo é digitarmos C(x)=12000+50000x/(100-x) na caixa de 
entrada do GeoGebra. A função e o respectivo gráfico são apresentados. 
 
 Para o gráfico, é interessante utilizarmos a proporção 1 : 1000. 
Figura 2 – Gráfico da função 
 
 O custo para a remoção de 50% dos poluentes pode ser obtido digitando 
C(50) na caixa de entrada do GeoGebra. 
 
 Esse custo corresponde a R$ 62.000,00. 
 O custo referente a 90% é obtido digitando C(90) no GeoGebra. 
 
 
6 
 
 Esse custo corresponde a R$ 462.000,00. 
 Quando x tende a 100, precisamos utilizar o conceito de limite. No 
GeoGebra, se digitarmos Limite[C,100], aparecerá o termo “indefinido”. Isso 
ocorre porque quando x se aproxima de 100 por valores menores do que 100, a 
função tende a infinito, e quando x se aproxima de 100 por valores maiores do 
que 100, a função tende a menos infinito. Isso é fácil de se perceber ao 
observarmos o gráfico. Nesse caso, precisamos utilizar o comando 
LimiteInferior[C,100], pois estamos pensando em x que se aproxima de 100 por 
valores menores do que 100. 
 Como resultado, o GeoGebra apresenta ∞ (infinito). Isso significa que, 
quanto maior a porcentagem de poluentes a serremovida, maior o custo, e 
quando a porcentagem está próxima de 100%, o custo é extremamente elevado. 
Figura 3 – Gráfico de custos da despoluição 
 
 Vamos pensar agora em um problema em que o objetivo é calcular, por 
meio do GeoGebra, o limite: 
 
 
7 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
. 
 O primeiro passo é digitarmos f(x)=(x^2-1)/(x^2-3x+2). Teremos a função 
e o respectivo gráfico. 
Figura 4 – Gráfico de limite 
 
Utilizando o comando Limite[f,1], o resultado é -2. Logo, para a função 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf , 
f tende a -2 quando x tende a 1. 
 Considerando a função 
1
1
)(
2



x
x
xf , 
qual é o limite de f quando x tende a 1? 
 No GeoGebra, o primeiro passo é digitar f(x)=(x^2-1)/(x-1) na caixa de 
entrada. Em seguida, basta digitar Limite[f,1]. O resultado é 2. Podemos dizer 
então que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 2. 
 
 
8 
Figura 5 – Gráfico de limite 
 
 Se formos calcular 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
sem o uso do GeoGebra, inicialmente podemos substituir x por 1 na função 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf . Fazendo isso, temos 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf 
21.31
11
)(
2
2


xf 
231
11
)(


xf 
0
0
)( xf 
 O resultado 0/0 é uma indeterminação. Isso significa que não temos como 
saber qual é o limite da função f quando x tende a 1. 
 Para resolvermos isso, é preciso fatorar numerador e denominador para 
efetuar, se possível, uma simplificação. 
 Nesse caso, podemos escrever 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
 
 
9 
como 
)2)(1(
)1)(1(
lim
1 

 xx
xx
x
 
 Simplificando (x-1) do numerador com (x-1) do denominador, temos: 
2
1
lim
1 

 x
x
x
 
 Substituindo x por 1, temos 
21
11


 
1
2

 
2 
 Logo, 2
23
1
lim
2
2
1



 xx
x
x
. 
TEMA 3 – DERIVADAS 
 A derivação é uma importante ferramenta matemática muito útil na 
resolução de problemas que envolvem movimento ou taxa de variação. Também 
é possível utilizarmos derivadas para obter máximos ou mínimos de funções e 
também para realizar o traçado de curvas, algo muito útil em imagens feitas por 
computador. 
 A definição de derivada de uma função que é utilizada atualmente foi 
elaborada pelo matemático Cauchy no século XIX. Se f é uma função e f’ é a sua 
derivada, temos que 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
 
 
 
10 
Figura 6 – Gráfico de derivada 
 
Podemos interpretar geometricamente a derivada como sendo a 
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x. 
A partir de dois pontos dados, temos uma reta tangente, mas quando 
0x esses pontos se aproximam, a inclinação da secante fica cada vez mais 
próxima da inclinação da tangente. 
Figura 7 – Gráfico de derivada 
 
 
 
11 
A partir dessa definição, é possível obtermos a derivada de diversas 
funções. Por exemplo, a derivada de f(x) = x2 corresponde a f’(x) = 2x, e a 
derivada de f(x) = x3 corresponde a f’(x) = 3x2, entre outras. 
Temos regras de derivação obtidas a partir da definição e que facilitam a 
obtenção das respectivas derivadas. 
Antes de estudarmos as regras de derivação, vamos ver como é possível 
obtermos a derivada de uma função por meio da definição de derivada. 
Exemplo: 
Mostre, utilizando a definição de derivada, que se f(x) = 5x2, então f’(x) = 
10x. 
Resolução: 
A definição de derivada de Cauchy é dada por 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
Como 
25)( xxf 
, 
222 )(5105)(5)( xxxxxxxxf 
 
Substituindo essas funções na definição de derivada, temos 
x
xxxxx
xf
x 



222
0
5)(5105
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



2
0
)(510
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



)510(
lim)('
0 
)510(lim)('
0
xxxf
x

 
Como 0x 
xxf 10)('  
TEMA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 Vimos que é possível calcular a derivada de uma função utilizando a 
definição. No entanto, esse processo é bastante trabalhoso e, dependendo da 
função, exige tempo e dedicação. 
 
 
12 
 No entanto, com base nas regras de derivação, o cálculo da derivada 
passa a ser mais rápido e muitas vezes mais fácil. 
 Pela definição, podemos verificar que a derivada de uma função constante 
é igual a zero. 
 Sabemos que a definição de derivada corresponde a 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
Como a função f é uma constante, então f(x)=c. Sendo assim, f(x+x)=c. 
Isso ocorre porque como a função é constante, sempre é igual a c para qualquer 
valor de x. 
 Logo 
x
cc
xf
x 


 0
lim)(' 
x
xf
x 


0
lim)('
0
 
00lim)('
0

x
xf 
 Exemplo: 
 Calcule a derivada da função f(x)=10. 
 Resolução: 
 Como a derivada de uma constante é zero, se f(x)=10, então f’(x)=0. 
 Pela definição de derivada, podemos mostrar que se f(x)=x2, então 
f’(x)=2x. 
Como 
2)( xxf  , 
222 )(2)()( xxxxxxxxf  
Logo 
x
xxxxx
xf
x 



222
0
)(2
lim)(' 
x
xxx
xf
x 



2
0
)(2
lim)(' 
x
xxx
xf
x 



)2(
lim)('
0
 
)2(lim)('
0
xxxf
x


 
Sabendo que 0x 
xxf 2)('  
 
 
13 
 De maneira análoga, se f(x)=x3, então f’(x)=3x2. Quando f(x)=x4, f’(x)=4x3 
e assim por diante. 
 Logo, a regra da potência afirma que se f(x)=xn, então f’(x)=nxn-1. 
Podemos dizer então que para calcular a derivada de xn, basta subtrair 1 unidade 
do expoente e multiplicar a expressão resultante por n. 
 Observação: Se f(x)=cxn, então f’(x)=cnxn-1. 
 Exemplo: 
 Calcule a derivada das seguintes funções: 
a. f(x)=x7 
b. f(x)=5x3 
c. f(x)=x-2 
d. f(x)=4x2 
e. f(x)=-3x-4 
 Resolução: 
a. Se f(x)=x7, então f’(x)=7x7-1 que resulta em f’(x)=7x6 
b. Se f(x)=5x3, então f’(x)=3.5x3-1 que resulta em f’(x)=15x2 
c. Se f(x)=x-2, então f’(x)=-2x-2-1 que resulta em f’(x)=-2x-3 
d. Se f(x)=4x2, então f’(x)=2.4x2-1 que resulta em f’(x)=8x 
e. Se f(x)=-3x-4, então f’(x)=(-4)(-3)x-4-1 que resulta em f’(x)=12x-5 
 A derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, se f(x)=2x5+7x3, 
então f(x)=10x4+21x2. Assim sendo, basta calcular a derivada de cada termo 
utilizando as regras de derivação. 
 Quando temos o produto de duas funções, f.g, então a derivada do 
produto é dada por f’.g+f,g’. 
 No caso do quociente de duas funções, f/g, a derivada é dada por (f’.g-
f,g’)/g2. 
 Por exemplo, se 
2
13 2



x
x
y , então para calcularmos a respectiva derivada 
precisamos das seguintes informações: 
f(x)=3x2+1 
f’(x)=6x 
 
 
14 
g(x)=x-2 
g’(x)=1 
 Logo 
2
''
'
g
fggf
y

 
2
2
)2(
1)13()2(6
'



x
xxx
y 
44
13126
'
2
22



xx
xxx
y 
44
1123
'
2
2



xx
xx
y 
TEMA 5 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS E O USO DO GEOGEBRA 
 É possível resolver problemas reais e calcular derivadas por meio do 
GeoGebra. O comando Derivada permite que isso seja feito de maneira prática 
e eficiente. 
 Inicialmente, vamos ver como é possível calcular a derivada de uma 
função fazendo uso do GeoGebra. Em seguida, veremos aplicações 
relacionadas às derivadas. 
Exemplo: 
Obtenha, por meio do GeoGebra, a derivada primeira da função f(x)=4x3-
5x2+19x+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na caixa de entrada do GeoGebra, digite “f(x)=4x^3-
5x^2+19x+12” e aperte “Enter”. Em seguida, na caixa de entrada, digite 
“Derivada[f(x)]” e aperte “Enter”. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a 
proporção “1 : 50”. 
 
 
 
15 
Figura 8 – Gráfico feito com o GeoGebra 
 
 
Exemplo: 
Obtenha, por meio do GeoGebra, a derivada segunda da função f(x)=4x3-
5x2+19x+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na caixa de entrada, digite “f(x)=4x^3-5x^2+19x+12” e aperte 
“Enter”. Em seguida, na caixa de entrada”, digite “Derivada[f(x),2]” e aperte 
“Enter”. O número 2 indica que é a derivada segunda da função que está sendo 
calculada. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a 
proporção “1 : 50”. 
 
 
 
16 
Figura 9 – Gráfico feito como GeoGebra 
 
Exemplos: 
1. Calcule, por meio do GeoGebra, a derivada primeira de cada uma das 
seguintes funções: 
a. f(x)=-2x3-4x2+13x-1 
Resolução: 
f(x)=-2x^3-4x^2+13x-1 
Derivada[f(x)] 
 
 
 
 
 
17 
b. g(x)=2x+ln(x) 
Resolução: 
g(x)=2x+ln(x) 
Derivada[g(x)] 
 
c. h(x)=sen(x) 
Resolução: 
h(x)=sen(x) 
Derivada[h(x)] 
 
 
d. r(x)=tg(x) 
Resolução: 
r(x)=tg(x) 
Derivada[r(x)] 
 
 
e. q(x)=sen(x)cos(x) 
Resolução: 
q(x)=sen(x)cos(x) 
Derivada[q(x)] 
 
 
 
 
 
18 
f. p(x)=cotg(x) 
Resolução: 
p(x)=cotg(x) 
Derivada[p(x)] 
 
 
g. v(x)= xx 52  (a raiz quadrada é dada por “sqrt”) 
Resolução: 
v(x)=sqrt(x^2-5x) 
Derivada[v(x)] 
 
 
h. t(x)= 
62
43
3
2


x
xx
 
Resolução: 
t(x)=(3x^2-4x)/(2x^3+6) 
Derivada[t(x)] 
 
 
 
 
 
19 
2. Calcule, por meio do GeoGebra, a derivada segunda de cada uma das 
seguintes funções: 
a. f(x)=-2x3-4x2+13x-1 
Resolução: 
f(x)=-2x^3-4x^2+13x-1 
Derivada[f(x),2] 
 
b. g(x)=2x+ln(x) 
Resolução: 
g(x)=2x+ln(x) 
Derivada[g(x),2] 
 
c. h(x)=sen(x) 
Resolução: 
h(x)=sen(x) 
Derivada[h(x),2] 
 
d. r(x)=tg(x) 
Resolução: 
r(x)=tg(x) 
Derivada[r(x),2] 
 
 
 
 
 
20 
e. q(x)=sen(x)cos(x) 
Resolução: 
q(x)=sen(x)cos(x) 
Derivada[q(x),2] 
 
f. p(x)=cotg(x) 
Resolução: 
p(x)=cotg(x) 
Derivada[p(x),2] 
 
g. v(x)= xx 52  (Obs.: a raiz quadrada é dada por “sqrt”) 
Resolução: 
v(x)=sqrt(x^2-5x) 
Derivada[v(x),2] 
 
h. t(x)= 
62
43
3
2


x
xx
 
Resolução: 
t(x)=(3x^2-4x)/(2x^3+6) 
Derivada[t(x),2] 
 
 
 
 
21 
 Exemplo: 
 Atualmente, estima-se que daqui a x meses contados a partir da data atual 
o nível de produção de sacas de cimento Portland de uma determinada indústria 
será de P(x)=20x2+100x+3000. A que taxa a produção estará variando em 
relação ao tempo 10 meses contados a partir de agora? 
 Resolução: 
 A taxa de variação da produção de sacas de cimento em relação ao tempo 
é a derivada da função P, ou seja, a taxa de variação é dada por P’(x)=40x+100. 
 Para sabermos qual será a taxa de variação daqui a 10 meses, basta 
substituirmos x por 10 na função P’(x)=40x+100, ou seja, 
P’(x)=40x+100 
P’(10)=40(10)+100 
P’(x)=400+100 
P’(x)=500 
Isso significa que a taxa de variação é de 500 sacas por mês. 
 No GeoGebra, basta digitar: 
P(x)=20x^2+100x+3000 
Derivada[P(x)] 
P’(10) 
 
 Exemplo: 
 Podemos utilizar derivadas para calcular máximos e mínimos de funções. 
Para isso, basta calcular a derivada da função e igualar essa derivada a zero. 
Supondo que a relação entre o preço de venda e o lucro de um certo produto é 
dado pela função 
L(x)=-2x2+800x-1100, 
 
 
22 
determine o preço que maximiza o lucro. 
 Resolução: 
 Se L(x)=-2x2+800x-1100, então a derivada L’(x)=-4x+800. 
 Igualando -4x+800 a zero, temos: 
-4x+800=0 
-4x=-800 
4x=800 
x=800/4 
x=200 
 Logo, o preço que maximiza o lucro é R$ 200,00. 
FINALIZANDO 
 Nessa aula, vimos que podemos utilizar limites para resolver diversos 
problemas reais, e o GeoGebra é muito útil na resolução desses problemas. 
Também vimos que as derivadas são muito importantes e estão relacionadas a 
problemas de máximos e mínimos, taxa de variação e outras aplicações. Ainda 
é possível resolver problemas relacionados a derivadas utilizando o GeoGebra. 
 
 
 
23 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Função de uma variável. 2. 
ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zannardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa terceira aula de Métodos Quantitativos. 
Nesta aula falaremos a respeito dos índices econômicos. Mas o que são esses 
índices? São elementos que nos permitem analisar variações de preços, de 
quantidades e de valor de um ou mais itens e com base nessa análise conhecer 
melhor um determinado cenário e ter mais elementos para facilitar o processo 
de tomada de decisões. Inicialmente falaremos sobre os relativos, e depois 
iremos estudar índices agregativos simples e índices ponderados. 
TEMA 1 – RELATIVOS 
Para realizarmos comparações entre preços, quantidades ou valores 
considerados em duas épocas diferentes, uma delas sendo a data-base, 
podemos utilizar os relativos. Os relativos indicam a relação de variação entre 
dois números associados a um único item. 
Para calcularmos o índice de preço, basta dividirmos o preço na data 
considerada (p2) pelo preço na data base (p1): 
1
2
p
p
Rp  
 Por exemplo, se em 2014 um automóvel custava R$ 35.900,00 e em 2015 
o preço desse automóvel era R$ 42.900,00, qual é o relativo de preço do 
automóvel considerando 2014 como a data-base? 
 Para resolvermos esse exemplo, precisamos considerar R$ 35.900,00 
como o preço na data-base, ou seja, p1 = 35.900, e R$ 42.900,00 o preço na data 
considerada, isto é, p2 = 42.900: 
1
2
p
p
Rp  
35900
42900
pR 
1,194986pR 
 É possível obtermos esse relativo na forma de porcentagem. Para isso, 
basta multiplicarmos 1,194986 por 100, o que resulta em 119,4986%. 
Isso significa que o preço em 2015 corresponde a 119,4986% do preço 
desse automóvel em 2014. 
 
 
3 
Se quisermos saber a porcentagem de aumento, basta fazermos 
119,4986%-100%. Logo, o aumento foi de 19,4986%. 
O relativo de quantidade é obtido por meio da divisão da quantidade na 
data considerada (q2) pela quantidade na data base (q1): 
1
2
q
q
Rq  
 Se imaginarmos, por exemplo, que uma indústria de produtos alimentícios 
produziu 5 toneladas de leite em pó em janeiro e 7 toneladas de leite em pó no 
mês de fevereiro, o relativo de quantidade, considerando janeiro como data-
base, é calculado da seguinte maneira: 
1
2
q
q
Rq  
5
7
qR 
4,1qR 
 Em porcentagem, o relativo de quantidade é obtido ao multiplicarmos 1,4 
por 100. Logo, esse relativo corresponde a 140%. Calculando 140%-100%, 
podemos dizer que houve um aumento de 40% na produção de leite em pó nesse 
período. 
 Também é possível calcularmos o relativo de valor. O valor é dado pela 
multiplicação do preço pela quantidade e o relativo de valor é a divisão do valor 
referente à data considerada pelo valor na data-base: 
1
2
v
v
Rv  , 
onde v1 = p1.q1 e v2 = p2.q2. 
 Para entendermos melhor, vamos considerar o exemplo de um açougue 
que, na primeira semana do mês, vendeu um total de 400 quilos de alcatra a 
R$ 29,00 o quilo. Na segunda semana, fez uma promoção e vendeu 700 quilos 
de alcatra por R$ 25,00 o quilo. Nessas condições, podemos calcular o relativo 
de valor considerando a primeira semana como data-base. 
 O valor 1, representado por v1, corresponde à multiplicação do preço pela 
quantidade na data 1, ou seja, v1 = p1.q1. Como p1 = 29 e q1 = 400, temos 
v1 = (29).(400). Logo, v1 = 11.600. Podemos obter v2 de maneira análoga: 
v2 = p2.q2. Como p2 = 25 e q2 = 700, temos que v2 = (25).(700), donde 
v2 = 17.500. O respectivo relativo de valor é dado por: 
 
 
4 
1
2
v
v
Rv  
11600
17500
vR 
508621,1vR 
 Nesse caso, o relativo corresponde a 1,508621, ou, de forma equivalente, 
150,8621%. O aumento no valor corresponde a 150,8621%-100% = 50,8621%. 
 Os relativos são importantes instrumentos de medição, mas se referem 
apenas a um item. Quando precisamos analisar a variação de mais de um item, 
podemos utilizar os índices agregativos simples. 
 Conheceremos agora os índices de Bradstreet, de Sauerbeck, de 
Laspeyres e de Paasche. 
TEMA 2 – ÍNDICE DE BRADSTREET 
O primeiro e mais elementar índice agregativo simples é o índice de 
Bradstreet, também conhecido como índice de Bradstreet-Dûtot. Esse índice é o 
relativo das médias aritméticas simples. Para calcularmos o índice de Bradstreet 
de preço,precisamos calcular a divisão entre a soma dos preços na data 
considerada pela soma de preços na data-base, ou seja 




n
i
i
n
i
i
p
p
p
B
1
1
1
2
. 
Desenvolvendo o somatório, temos 
n
n
n
i
i
n
i
i
p
pppp
pppp
p
p
B
1
3
1
2
1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
2









. 
Seguindo o mesmo princípio, podemos obter o índice de Bradstreet de 
quantidade fazendo: 
n
n
n
i
i
n
i
i
q
qqqq
qqqq
q
q
B
1
3
1
2
1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
2









 
e o índice de Bradstreet de valor por meio da fórmula: 
 
 
5 
n
n
n
i
i
n
i
i
v
vvvv
vvvv
v
v
B
1
3
1
2
1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
2









 
onde v1 = p1.q1 e v2 = p2.q2. 
Para entendermos melhor, vamos considerar o seguinte exemplo: uma 
indústria de artigos esportivos fez alterações nos preços de alguns de seus 
produtos e, consequentemente, teve alterações nas respectivas demandas 
(quantidades). A tabela a seguir apresenta essa situação. 
Tabela 1 – Representação do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 Quantidade 1 Quantidade 2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 49,90 R$ 59,90 100 80 
2 Bola de futebol R$ 62,00 R$ 59,90 230 310 
3 Chuteira R$ 120,00 R$ 135,00 130 140 
4 Raquete de 
tênis 
R$ 240,00 R$ 280,00 20 22 
A partir dessas informações, calcule os índices de Bradstreet de preço, de 
quantidade e de valor. 
Para calcularmos os índices, precisamos criar duas novas colunas e uma 
nova linha na tabela. Nas duas colunas, colocaremos os valores v1 e v2. 
Relembrando, v1 = p1.q1 e v2 = p2.q2. Na nova linha, colocaremos a soma dos 
valores de cada coluna. 
 
 
 
6 
Tabela 2 – Resolução do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 
Quantidade 
1 
Quantidade 
2 
Valor 1 Valor 2 
1 
Bola de 
basquete 
R$ 49,90 R$ 59,90 100 80 R$ 4.990,00 R$ 4.792,00 
2 
Bola de 
futebol 
R$ 62,00 R$ 59,90 230 310 R$ 14.260,00 R$ 18.569,00 
3 Chuteira R$ 120,00 R$ 135,00 130 140 R$ 15.600,00 R$ 18.900,00 
4 
Raquete 
de tênis 
R$ 240,00 R$ 280,00 20 22 R$ 4.800,00 R$ 6.160,00 
Soma R$ 471,90 R$ 534,80 480 552 R$ 39.650,00 R$ 48.421,00 
É possível também utilizarmos o Excel ou uma outra planilha eletrônica 
para obtermos os valores v1 e v2 e as somas de preços, quantidades e valores. 
Utilizaremos as somas para calcular os respectivos índices de Bradstreet. 
Índice de Bradstreet de preço: 
%3291,113133291,1
90,471
80,534
1
1
1
2





n
i
i
n
i
i
p
p
p
B . 
Índice de Bradstreet de quantidade: 
%11515,1
480
552
1
1
1
2





n
i
i
n
i
i
q
q
q
B . 
Índice de Bradstreet de valor: 
%1211,122221211,1
39650
48421
1
1
1
2





n
i
i
n
i
i
v
v
v
B . 
Nesse caso, o índice de Bradstreet de preço é 113,3291%, o de 
quantidade é 115%, e o de valor corresponde a 122,1211%. 
Como os índices de Bradstreet estão sujeitos à consideração de somas 
de preços e de quantidade em diferentes unidades (tais como quilos, litros, 
dúzias, entre outros), uma alternativa é considerar os respectivos relativos. Essa 
é a proposta dos índices de Sauerbeck. 
 
 
7 
TEMA 3 – ÍNDICE DE SAUERBECK 
Os índices de preço, quantidade e valor de Sauerbeck levam em 
consideração os relativos de preço, quantidade e valor. Esses índices podem ser 
calculados por meio da média aritmética, média harmônica ou também pela 
média geométrica. Sendo assim, teremos três formas diferentes para 
calcularmos cada um desses índices. 
Como os índices de Sauerbeck consideram os relativos, não é preciso se 
preocupar com as unidades de medida de cada item. 
Para calcular os índices aritméticos de preço, quantidade e de valor, 
precisamos calcular os relativos de preço (rp), quantidade (rq) e valor (rv) de cada 
item. Em seguida, basta somarmos esses relativos e dividirmos cada soma pelo 
total de elementos n. 
Índice aritmético de Sauerbeck de preço: 
n
r
S
n
i
i
p
A
p

 1 . 
Índice aritmético de Sauerbeck de quantidade: 
n
r
S
n
i
i
q
A
q

 1 . 
Índice aritmético de Sauerbeck de valor: 
n
r
S
n
i
i
v
A
v

 1 . 
Vamos retomar o exemplo visto anteriormente para entendermos melhor 
como podemos calcular esses índices. 
Uma indústria de artigos esportivos fez alterações nos preços de alguns 
de seus produtos e, consequentemente, teve alterações nas respectivas 
demandas (quantidades). A tabela a seguir apresenta essa situação. 
 
 
 
8 
Tabela 3 – Representação do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 Quantidade 1 Quantidade 2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 49,90 R$ 59,90 100 80 
2 Bola de futebol R$ 62,00 R$ 59,90 230 310 
3 Chuteira R$ 120,00 R$ 135,00 130 140 
4 Raquete de 
tênis 
R$ 240,00 R$ 280,00 20 22 
A partir dessas informações, calcule os índices aritméticos, geométricos 
e harmônicos de Sauerbeck de preço, quantidade e de valor. 
O primeiro passo é multiplicarmos os elementos da coluna Preço 1 pelos 
elementos da coluna Quantidade 1 para obtermos os valores da coluna Valor 1, 
e os elementos da coluna Preço 2 pelos elementos da coluna Quantidade 2 para 
obtermos os valores da coluna Valor 2. 
Tabela 4 – Resolução do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 
Quantidade 
1 
Quantidade 
2 
Valor 1 Valor 2 
1 
Bola de 
basquete 
R$ 
49,90 
R$ 
59,90 
100 80 R$ 4.990,00 R$ 4.792,00 
2 
Bola de 
futebol 
R$ 
62,00 
R$ 
59,90 
230 310 R$ 14.260,00 R$ 18.569,00 
3 Chuteira 
R$ 
120,00 
R$ 
135,00 
130 140 R$ 15.600,00 R$ 18.900,00 
4 
Raquete de 
tênis 
R$ 
240,00 
R$ 
280,00 
20 22 R$ 4.800,00 R$ 6.160,00 
Em seguida, precisamos calcular os relativos de preço, quantidade e 
valor. Para os relativos de preço, precisamos dividir cada elemento da coluna 
Preço 2 pelo respectivo elemento da coluna Preço 1. Os relativos de quantidade 
são obtidos dividindo os elementos da coluna Quantidade 2 pelos respectivos 
elementos da coluna Quantidade 1, e os relativos de valor dividindo os elementos 
da coluna Valor 2 pelos respectivos elementos da coluna Valor 1: 
 
 
 
9 
Tabela 5 – Resolução do exemplo 
 Relativos 
i Produto Preço Quantidade Valor 
1 Bola de basquete 1,200401 0,8 0,960321 
2 Bola de futebol 0,966129 1,347826 1,302174 
3 Chuteira 1,125 1,076923 1,211538 
4 Raquete de tênis 1,166667 1,1 1,283333 
Soma 4,458197 4,324749 4,757366 
O índice aritmético de Sauerbeck de preço é calculado de um modo bem 
simples: basta dividirmos a soma dos relativos de preço por 4. Observe: 
%4549,111114549,1
4
458197,41 


n
r
S
n
i
i
p
A
p . 
O índice aritmético de Sauerbeck de quantidade é obtido por meio da 
divisão da soma dos relativos de quantidade por 4: 
%1187,108081187,1
4
324749,41 


n
r
S
n
i
i
q
A
q . 
E o índice aritmético de Sauerbeck de valor é dado por: 
%9342,118189342,1
4
757366,41 


n
r
S
n
i
i
v
A
v . 
Com base nesses índices, é possível determinar que houve um aumento 
de 111,4549% nos preços, de 108,1187% na quantidade e de 118,9342% no 
valor, de acordo com esse critério de cálculo. 
Para calcularmos os índices geométricos de Sauerbeck de preço, 
quantidade e valor, precisamos calcular a média geométrica dos relativos. Para 
isso é necessário calcular os produtos dos relativos, indicados por , e em 
seguida determinarmos a respectiva raiz de índice n. 
Índice geométrico de Sauerbeck de preço: 
 
 
10 
n
n
i
i
p
G
p rS 


1
. 
Índice geométrico de Sauerbeck de quantidade: 
n
n
i
i
q
G
q rS 


1
. 
Índice geométrico de Sauerbeck de valor: 
n
n
i
i
v
G
v rS 


1
. 
Considerando o exemplo da indústria de artigos esportivos, podemos 
calcular os índices geométricos de Sauerbeck. O primeiro passo é calcularmos 
o produto de cada relativo. 
Tabela 6 – Resolução do exemplo 
 Relativos 
i 
Produto Preço Quantidade Valor 
1 
Bola de 
basquete 
1,200401 0,8 0,960321 
2 Bola de 
futebol 0,966129 1,3478261,302174 
3 
Chuteira 
1,125 1,076923 1,211538 
4 
Raquete 
de tênis 
1,166667 1,1 1,283333 
Produto 
1,522162096 1,277324241 1,944293606 
Em seguida, basta utilizarmos esses valores nas respectivas fórmulas: 
Índice geométrico de Sauerbeck de preço: 
%0747,111110747,1522162096,14
1
 

n
n
i
i
p
G
p rS 
Índice geométrico de Sauerbeck de quantidade: 
%3103,106063103,1277324241,14
1
 

n
n
i
i
q
G
q rS 
Índice geométrico de Sauerbeck de valor: 
%0838,118180838,1944293606,14
1
 

n
n
i
i
v
G
v rS 
 
 
11 
Também é possível utilizarmos a média harmônica para calcularmos os 
índices de Sauerbeck. Nesse caso, é preciso calcular os inversos dos relativos, 
ou seja, em vez de dividirmos cada elemento da coluna Preço 2 pelo respectivo 
elemento da coluna Preço 1, precisamos dividir os elementos da coluna Preço 1 
pelos da coluna Preço 2. Os relativos de quantidade são obtidos dividindo os 
elementos da coluna Quantidade 1 pelos respectivos elementos da coluna 
Quantidade 2, e os relativos de valor dividindo os elementos da coluna Valor 1 
pelos respectivos elementos da coluna Valor 2: 
Tabela 7 – Resolução do exemplo 
 Inversos dos Relativos 
i 
Produto Preço Quantidade Valor 
1 
Bola de 
basquete 0,833055 1,25 1,041319 
2 Bola de 
futebol 
1,035058 0,741935 0,767947 
3 
Chuteira 0,888889 0,928571 0,825397 
4 
Raquete 
de tênis 0,857143 0,909091 0,779221 
Soma 3,614145 3,829598 3,413883 
As fórmulas referentes aos índices harmônicos de Sauerbeck são: 
 Índice harmônico de Sauerbeck de preço: 



n
i
i
p
H
p
r
n
S
1
1
. 
 Índice harmônico de Sauerbeck de quantidade: 



n
i
i
q
H
q
r
n
S
1
1
. 
 Índice harmônico de Sauerbeck de valor: 



n
i
i
v
H
v
r
n
S
1
1
. 
 
 
12 
Sendo assim, o índice harmônico de Sauerbeck de preço é dado pela 
divisão de 4 por 3,614145: 
%6762,110106762,1
614145,3
4
1
1



n
i
i
p
H
p
r
n
S . 
 
Da mesma maneira, podemos calcular os índices harmônicos de 
Sauerbeck de quantidade e de valor. 
Índice harmônico de Sauerbeck de quantidade: 
4496,104044496,1
829598,3
4
1
1



n
i
i
q
H
q
r
n
S . 
Índice harmônico de Sauerbeck de valor: 
1686,117171686,1
413883,3
4
1
1



n
i
i
v
H
v
r
n
S . 
Temos três maneiras diferentes de calcular os índices de Sauerbeck. A 
tabela a seguir apresenta os resultados obtidos para o exemplo da indústria de 
artigos esportivos. 
Tabela 8 – Resultados 
 Preço Quantidade Valor 
Aritmético 111,4549% 108,1187% 118,9342% 
Geométrico 107,2532% 104,1638% 111,7190% 
Harmônico 110,6762% 104,4496% 117,1686% 
A escolha da média a ser utilizada depende do tipo de problema a ser 
resolvido. Geralmente a média geométrica é importante quando os dados 
possuem diferentes escalas numéricas ou diferentes propriedades. O impacto 
dessas diferenças é maior na média aritmética, por exemplo, do que na média 
geométrica. A média harmônica é interessante quando é preciso calcular a média 
de uma sequência de taxas. 
Os índices de Sauerbeck se baseiam em um mesmo peso, ou seja, uma 
mesma importância para cada item. No entanto, em muitas situações é preciso 
levar em consideração a importância de cada item no conjunto de dados. Nesse 
 
 
13 
caso, precisamos de índices que sejam ponderados, ou seja, que considerem 
esses pesos. 
TEMA 4 – ÍNDICE DE LASPEYRES 
O índice de Laspeyres é um índice ponderado, pois considera a 
participação de cada item no total. Além disso, é conhecido como índice da 
época-base, pois os pesos são definidos na data-base. 
Para calcularmos o índice de preço de Laspeyres, precisamos multiplicar 
os preços da data atual pelas quantidades da data-base, somar esses valores e 
em seguida dividirmos pela soma das multiplicações dos preços pelas 
quantidades, ambos considerados na data-base. A fórmula a seguir resume isso: 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
L
1
11
1
12
. 
De maneira similar, o índice de Laspeyres de quantidade é calculado por 
meio da fórmula a seguir: 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
q
qp
qp
L
1
11
1
21
. 
e o índice de valor pela fórmula 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
v
qp
qp
L
1
11
1
22
. 
Para calcularmos os índices de Laspeyres de preço, quantidade e valor, 
precisamos de uma tabela contendo os valores de p1.q1, p1.q2, p2.q1 e p2.q2 com 
as respectivas somas. 
Podemos considerar o exemplo da indústria de artigos esportivos para 
ilustrar o procedimento necessário para calcularmos esses índices. 
Relembrando: uma indústria de artigos esportivos fez alterações nos 
preços de alguns de seus produtos e, consequentemente, teve alterações nas 
respectivas demandas (quantidades). A tabela a seguir apresenta essa situação. 
 
 
 
14 
Tabela 9 – Representação do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 Quantidade 1 Quantidade 2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 49,90 R$ 59,90 100 80 
2 Bola de futebol R$ 62,00 R$ 59,90 230 310 
3 Chuteira R$ 120,00 R$ 135,00 130 140 
4 Raquete de 
tênis 
R$ 240,00 R$ 280,00 20 22 
Calcule os respectivos índices de Laspeyres de preço, quantidade e de 
valor. 
O primeiro passo é construirmos uma tabela contendo os valores de p1.q1, 
p1.q2, p2.q1 e p2.q2 com as respectivas somas. 
Tabela 10 – Resolução do exemplo 
i Produto p1.q1 p1.q2 p2.q1 p2.q2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 4.990,00 R$ 3.992,00 R$ 5.990,00 R$ 4.792,00 
2 Bola de 
futebol 
R$ 14.260,00 R$ 19.220,00 R$ 13.777,00 R$ 18.569,00 
3 Chuteira 
R$ 15.600,00 R$ 16.800,00 R$ 17.550,00 R$ 18.900,00 
4 Raquete 
de tênis 
R$ 4.800,00 R$ 5.280,00 R$ 5.600,00 R$ 6.160,00 
Soma 
R$ 39.650,00 R$ 45.292,00 R$ 42.917,00 R$ 48.421,00 
Em seguida, basta substituirmos as somas obtidas nas respectivas 
fórmulas. 
Índice de Laspeyres de preço: 
 
 
108,2396%1,082396
39650
42917
1
11
1
12





n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
L . 
Índice de Laspeyres de quantidade: 
 
 
15 
 
 
114,2295%1,142295
39650
45292
1
11
1
21





n
i
ii
n
i
ii
q
qp
qp
L . 
Índice de Laspeyres de valor: 
 
 
122,1211%1,221211
39650
48421
1
11
1
22





n
i
ii
n
i
ii
v
qp
qp
L . 
Para escrevermos os índices na forma de porcentagem, basta 
multiplicarmos cada um deles por 100. 
É importante ressaltar que, no índice de preços de Laspeyres, temos 
 

n
i
ii qp
1
12 no numerador, o que corresponde às quantidades da data-base 
multiplicadas pelos preços na data atual. No denominador, temos a expressão 
 

n
i
iiqp
1
11 , que corresponde às quantidades e preços na data-base, ou seja, é o 
total referente à data-base. Sendo assim, estamos comparando a variação de 
preços desse conjunto de itens em duas épocas diferentes, mantendo as 
quantidades da data-base. No caso do índice de Laspeyres de quantidade, 
fixamos os preços e calculamos a variação da quantidade nas duas datas. Por 
esse motivo o numerador corresponde a  

n
i
iiqp
1
21 e o denominador corresponde 
a  

n
i
iiqp
1
11 . Quanto ao índice de Laspeyres de valor, a medida corresponde à 
variação tanto da quantidade quanto do preço. Sendo assim, temos a expressão 
 

n
i
ii qp
1
22 no numerador e a expressão  

n
i
iiqp
1
11 no denominador. 
TEMA 5 – ÍNDICE DE PAASCHE 
O índice de Paasche, também conhecido como índice da época atual, 
consiste no cálculo da média harmônica ponderada de relativos. No índice de 
Paasche, os pesos são baseados nos preços e nas quantidades referentes à 
data atual. 
O índice de Paasche de preço é calculado por meio da fórmula 
 
 
16 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P
1
21
1
22
. 
Essa fórmula considera a relação entre preços e quantidades na data 
atual com as quantidades atuais e os preços na data-base. Podemos dizer então 
que esse índice de preço fornece a porcentagem de quanto será gasto para 
adquirirmosas mesmas quantidades da data-base com preços atuais quando 
comparadas às quantidades e aos preços da data-base. 
O índice de Paasche de quantidade corresponde a 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P
1
12
1
22
. 
Nesse caso, estamos analisando a variação da quantidade em relação 
aos preços atuais. No numerador temos o valor atual, e no denominador, o valor 
necessário para adquirirmos as quantidades da data anterior. 
O índice de Paasche de valor é dado por 
 
 



n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P
1
11
1
22
. 
Esse índice compara a variação de preço e de quantidade em relação às 
duas datas. 
Vamos acompanhar o exemplo da indústria de artigos esportivos para 
compreendermos como é possível calcularmos os índices de Paasche de preço, 
quantidade e valor. 
Uma indústria de artigos esportivos fez alterações nos preços de alguns 
de seus produtos e, consequentemente, teve alterações nas respectivas 
demandas (quantidades). A tabela a seguir apresenta essa situação. 
 
 
 
17 
Tabela 11 – Representação do exemplo 
i Produto Preço 1 Preço 2 Quantidade 1 Quantidade 2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 49,90 R$ 59,90 100 80 
2 Bola de futebol R$ 62,00 R$ 59,90 230 310 
3 Chuteira R$ 120,00 R$ 135,00 130 140 
4 Raquete de 
tênis 
R$ 240,00 R$ 280,00 20 22 
A partir dessas informações, calcule os índices de Paasche de preço, 
quantidade e de valor. 
Precisamos construir uma tabela contendo os valores de p1.q1, p1.q2, p2.q1 
e p2.q2 e também contendo as respectivas somas. 
Tabela 12 – Resolução do exemplo 
i Produto p1.q1 p1.q2 p2.q1 p2.q2 
1 Bola de 
basquete 
R$ 4.990,00 R$ 3.992,00 R$ 5.990,00 R$ 4.792,00 
2 Bola de 
futebol 
R$ 14.260,00 R$ 19.220,00 R$ 13.777,00 R$ 18.569,00 
3 Chuteira 
R$ 15.600,00 R$ 16.800,00 R$ 17.550,00 R$ 18.900,00 
4 Raquete 
de tênis 
R$ 4.800,00 R$ 5.280,00 R$ 5.600,00 R$ 6.160,00 
Soma 
R$ 39.650,00 R$ 45.292,00 R$ 42.917,00 R$ 48.421,00 
Com base nessas somas, podemos calcular os índices de Paasche. 
Índice de Paasche de preço: 
 
 
106,9085%1,069085
45292
48421
1
21
1
22





n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P . 
Índice de Paasche de quantidade: 
 
 
112,8248%1,128248
42917
48421
1
12
1
22





n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P . 
 
 
18 
Índice de Paasche de valor: 
 
 
122,1211%1,221211
39650
48421
1
11
1
22





n
i
ii
n
i
ii
p
qp
qp
P . 
FINALIZANDO 
Chegamos ao final da nossa terceira aula de Métodos Quantitativos. 
Vimos o que são relativos e que podemos usar relativos para compararmos 
variações entre dois números associados a um item. Essa variação pode ser de 
preço, de quantidade ou de valor. 
Vimos também que quando temos dois ou mais itens, precisamos utilizar 
os índices agregativos. Esses índices podem ser ponderados ou não. O mais 
simples deles é o índice de Bradstreet. Esse índice considera a razão entre as 
somas dos valores em duas datas distintas a serem calculados. 
Temos também os índices de Sauerbeck. Esses índices são calculados a 
partir dos relativos de preço, de quantidade ou de valor, e para esses cálculos é 
possível utilizarmos a média aritmética, geométrica ou harmônica. 
Quando precisamos de índices ponderados, ou seja, índices que levam 
em consideração a importância dos itens no conjunto em que eles estão 
inseridos, é possível utilizarmos os índices de Laspeyres ou de Paasche. Os 
índices de Laspeyres são conhecidos como índices da época-base, e os de 
Paasche, como índices da época atual. Por meio desses índices é possível 
estudarmos variações que ocorrem em preços, quantidades ou valores. 
 
 
 
19 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: função de uma variável. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zannardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja muito bem-vindo à quarta aula de Métodos Quantitativos. Nesta 
aula veremos o que é a regressão linear e alguns exemplos práticos que nos 
mostrarão como esses conhecimentos podem ser utilizados e a sua importância 
na resolução de problemas reais. Veremos o que é e como fazer o diagrama de 
dispersão, como obter a reta de regressão e como calcular o coeficiente de 
Pearson, que mede a grau de correlação. 
TEMA 1 – REGRESSÃO LINEAR 
A regressão linear é utilizada em muitos problemas práticos. Esse método 
consiste na obtenção de uma função linear que melhor se ajusta a um conjunto 
de pontos dados, no qual os desvios quadráticos entre os pontos e a função são 
minimizados. No caso da regressão linear, a função obtida não precisa 
obrigatoriamente passar pelos pontos dados. 
Por meio da regressão linear é possível realizarmos estudos relacionados 
à produção, às vendas, ao consumo de energia, ao desempenho de um atleta, 
ao fluxo de automóveis em uma determinada região e muitas outras aplicações. 
Inicialmente podemos pensar em uma pessoa que possui uma barraca de 
cachorro-quente e, a partir das vendas que ocorreram de segunda a sexta-feira, 
pretende fazer uma estimativa de vendas para o sábado. Na tabela a seguir é 
possível acompanhar as quantidades vendidas em cada dia da semana. 
Tabela 1 – Unidades de cachorro-quente vendidas a cada dia 
Dia 
Segunda-
feira 
Terça-feira 
Quarta-
feira 
Quinta-
feira 
Sexta-feira 
Quantidade 180 192 206 220 254 
A partir desse conjunto de pontos, é possível fazer uma análise das 
vendas. Podemos perceber que há um aumento a cada dia, mas qual é a taxa 
de crescimento das vendas? E com base nessas informações, qual é a previsão 
de vendas para o sábado? É claro que toda previsão está sujeita a erros, mas é 
uma forma de obtermos informações consistentes que servem de auxílio no 
processo de tomada de decisão. Nesse caso, a decisão consiste em saber qual 
é a quantidade ideal de ingredientes a serem adquiridos para que não haja sobra 
 
 
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e nem excesso significativo na compra dos itens destinados à produção de 
cachorros quentes. 
Para isso, temos alguns passos que podem ser seguidos e que veremos 
com mais detalhes no decorrer dessa aula. 
A primeira possibilidade é a representação gráfica do conjunto de pontos 
associado ao problema. Essa representação é chamada de diagrama de 
dispersão e pode ser feita manualmente ou com o uso de algum software. Nesta 
aula utilizaremos o Excel e o GeoGebra. 
Com base nos pontos, também é possível obtermos a reta de regressão. 
Sabemos que a forma geral de uma reta é y = ax+b. Sendo assim, veremos como 
é possível obtermos o coeficiente angular “a” e o coeficiente linear “b”. 
Temos também o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente 
fornece o nível de correlação entre os dados e também informa se essa 
correlação é positiva ou negativa, ou seja, se a reta de regressão é crescente ou 
decrescente. 
Tudo isso pode ser feito de maneira bastante simples e tem uma 
importância muito grande em diversas áreas do conhecimento. 
Inicialmente veremos o que é o diagrama de dispersão e como podemos 
construir um. 
TEMA 2 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
O diagrama de dispersão consiste na representação gráfica de um 
conjunto de pontos da forma (x, y) associados às variáveis x e y. 
A variável x está associada ao eixo horizontal e a variável y ao eixo vertical 
de um plano cartesiano. 
Com base no diagrama de dispersão, é possível visualizar a relação entre 
as duas variáveis e ter uma noção intuitiva do comportamento dos dados. 
Considere os dados relacionados às vendas de cachorro-quente 
apresentados na tabela a seguir. 
Tabela 2 – Unidades de cachorro-quente vendidas a cada dia 
Dia Segunda Terça Quarta Quinta Sexta 
Quantidade