Aula-05-F328-1S-2016

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Aula 5: Capacitância
Curso de Física Geral III
F-328
1º semestre, 2016
F328 – 1S2016 1
F328 – 1S2016
Pontos essenciais
• Dispositivos 
• Armazenamento de Energia Via Campo 
Capacitores
2
Densidade de energia elétrica { }E
!
E
!
Energia contida no campo elétrico
Vimos que a energia potencial de um sistema de cargas está relacionado com 
com o potencial elétrico associado a esse sistema. Esse potencial, por sua vez, 
está diretamente relacionado com o campo elétrico gerado pela distribuição de 
cargas. Nesta aula mostraremos que é possível conectar o potencial elétrico de 
uma distribuição com a carga elétrica que o gerou através da capacitância.
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Qlivre = εo
!
E ⋅ n̂ dA"∫
ΔV = −
!
E ⋅d
!
l∫
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒Qlivre = CV
Vale ressaltar que a capacitância, C, depende apenas da geometria da 
distribuição de cargas. 
Capacitores
Dois condutores isolados, de formatos arbitrários, formam o que 
chamamos de um capacitor .
A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo 
elétrico por ele formado .
Capacitância
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Dois condutores isolados e carregados 
com cargas +Q e –Q
Quatro capacitores carregados formando uma “Bateria”.
Esse sistema foi usado por Daniel Gralath para armazenar energia 
potencial no campo elétrico existente no interior dos capacitores -
1756. 
Daniel Bernoulli, e Alessandro Volta, mediram a força entre 
placas de um capacitor, e Aepinus em 1758 foi quem que supôs que 
era uma lei de inverso-de-quadrado. (Em 1785 - Lei de Coulomb).
Réplica do sistema de 
Gralath exitente no 
museu de Ciência da 
Cidade de Leiden 
(Holanda).
Garrafa de Leiden e bateria
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Capacitores
O capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em 
geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos 
condutores que o compõem, independentemente das suas formas.
Outros capacitores
Capacitor de placas paralelas
Capacitância
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Capacitores
Como as placas do capacitor são condutoras, elas formam 
superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à 
diferença de potencial entre elas, ou seja: 
CVQ =
onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então:
A constante depende apenas da geometria do capacitor.
No SI a capacitância é medida em farads (F).
1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V
Importante: pF/m85,80 =ε
1 farad = µ F10 6−
,
V
QC =
C
Capacitância
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Esquema de cálculo
Em geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria, 
o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior 
através da lei de Gauss:
int
0
ˆ( )
S
qE r ndAφ
ε
= ⋅ =∫
! !
"
De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de 
potencial entre as duas placas como:
∫ ⋅−=−=
f
i
r
r
if ldrEVVV
!
!
!!! )(
E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde 
podemos extrair C.
CVQ =
Cálculo da Capacitância
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Capacitor de placas paralelas
EdV =
d
AC 0ε=
0
intˆ)(
ε
φ
qdAnrE
S
=⋅= ∫
!!
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
Nota-se que a capacitância é proporcional a um comprimento e 
só depende de fatores geométricos do capacitor.
CVq=
A
qE
0ε
=
Capacitância: Exemplos
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⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
a
b
L
QV ln
2 0πε
CVQ =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
b
LC
ln
2 0πε
Capacitor cilíndrico
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
Lr
QE
02 επ
=
(L>> b)
L
L
superfície
gaussiana
Capacitância: Exemplos 
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int
0S
qE dAφ
ε
= ⋅ =∫
rr
—
Capacitor esférico 
ab
abQV −=
04πε
CVQ =
ab
abC
−
= 04πε
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!!! )(
0
intˆ)(
ε
φ
qdAnrE
S
=⋅= ∫
!!
2
04 r
QE
επ
=
S
Capacitância: Exemplos 
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Esfera isolada
b
a
a
ab
abC
−
=
−
=
1
44 00 πεπε
∞→b
aC 04πε=
)( aR =
Exemplo numérico:
pF/m85,80 =ε F101,1
10−×≈C,
+
E
!
+
++
+
+
+ +
+
+
+
∞→b
a
mR 1=
Capacitância: Exemplos 
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Carregando o capacitor
Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma 
bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao 
capacitor. Assim, em função de V
cargas +Q e –Q irão se acumular nas placas 
do capacitor estabelecendo entre elas uma 
diferença de potencial –V que se opõe à 
diferença de potencial da bateria e faz cessar o 
movimento de cargas no circuito. 
,CVQ =
Capacitância
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Questão 01 - Placas Paralelas
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Duas grandes placas metálicas paralelas, separadas por uma 
distância d, são carregadas ligando-as a uma bateria que fornece 
uma diferença de potencial V . A bateria é então desligada e as 
placas são separadas lentamente. Aumentando-se a distância 
entre as placas: (Escolha uma:)
o a diferença de potencial entre as placas diminui; 
o a diferença de potencial entre as placas aumenta; 
o a intensidade do campo elétrico entre as placas aumenta; 
o a carga das placas aumenta; 
o a carga das placas diminui. 
Associação de capacitores em paralelo
VCqVCqVCq 332211 e, ===
VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=
321 CCCCeq ++=
∑=
i
ieq CC
ou
Como VCq eq=
Associação de capacitores
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Associação de capacitores em série
332211 e, VCqVCqVCq ===
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=++=
321
321
111
CCC
qVVVV
321
1111
CCCCeq
++= ∑=
i ieq CC
11ou
Como 
eqC
qV= :
Associação de capacitores
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Um agente externo deve realizar 
trabalho para carregar um capacitor. 
Este trabalho fica armazenado sob a 
forma de energia potencial na região 
do campo elétrico entre as placas.
Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um 
capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma 
placa para a outra é então: 
qd
C
qqdVdW ʹ
ʹ
=ʹʹ= C
qqd
C
qdWW
q
2
2
0
=ʹ
ʹ
== ∫∫
2
2
2
1
2
CV
C
qU ==
qd ʹ
qʹ qʹ
E
!
ld
!
dq’
- - - - - - - - - -
Energia armazenada no campo elétrico
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Densidade de energia
Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:
d
AC 0ε=
2202
2
1
2
1 dE
d
ACVU ε==
EdV =e
2
02
1 E
Ad
Uu ε=≡
(Apesar de a demonstração 
ter sido feita para o 
capacitor de placas 
paralelas, esta fórmula é 
sempre válida!)
volume
potencialenergia 
=u
Energia no capacitor
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Exercício: energia de uma esfera
Considere um condutor esférico de raio R carregado com uma carga q. 
Qual a energia total neste condutor? 
Duas interpretações: 
a) Energia potencial de 
um capacitor esférico 
de raio R:
C
qU
2
2
1
=
b) Integração da densidade de energia u:
+q
– q 
c) Qual o raio R0 que contém metade da energia total?
RC 04πε=
R
qU
0
2
8πε
=
2
04
)(
r
qrE
πε
=
2
02
1 Eu ε=
 
U = 1
2
ε0 E
2 (r)4πr 2 dr
R
∞
∫ =
q2
8πε0 R
RR
RRRr
dr
r
drURU
R
R
R
21
2
111(...)
2
1(...)
2
1)( 0
0
220
0
=⇒=−⇒=⇒= ∫∫
∝
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d
xA, εo V=Axa) Qual é o trabalho W necessário para 
aumentar em x a separação das placas?
- É a energia adicional que apareceu no 
volume Ax, que antes não existia. Então:
QEx
A
QxAE
xAExAuUW
2
1
2
1
2
1
0
0
2
0
==
====
ε
ε
ε
A
QE
00 εε
σ
==
b) Qual é a força de atração entre as placas?
- Como xFW =
E
!
QEF
2
1
=
Uma nova visão de U
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Visão atômica
Dielétricos são materiais isolantes que 
podem ser polares ou não-polares.
+- +- +- +-
+- +- +- +-
+- +- +- +-
E0= 
0 E0 E0
E
´
E
-
-
-
+
+
+
E
!
E ʹ
!
0E
!
0E
!00
!!
=E
E ʹ
!
σ ʹ+
0E
!
0E
!
dielétrico não-polar
um dielétrico polar: molécula de água
E
!
p!
σ ʹ−
Dielétricos
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Ao colocarmos um material dielétrico entre as placas de um 
capacitor, se V é mantido constante, a carga das placas aumenta; se 
Q é mantida constante, V diminui. Como Q = CV, ambas as situações 
são compatíveis com o fato de que o dielétrico entre as placas do 
capacitor faz a sua capacitância aumentar.
Vimos: C0=ε0L, onde L é uma função que depende apenas da 
geometria e tem dimensão de comprimento.
Então, na presença de um 
dielétrico preenchendo totalmente o 
capacitor: Cd = κε0L = κC0, onde κ >1 
No vácuo, κ =1
Capacitorescom dielétricos
Dielétricos
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Material Constante 
dielétrica
Resistência 
Dielétrica (kV/mm)
Ar (1 atm) 1,00054 3
Poliestireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Pirex 4,7 14
Porcelana 6,5 5,7
Silício 12
Etanol 25
Água (20º) 80,4
Água (25º) 78,5
Dielétricos
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Dielétricos
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Um capacitor carregado tem um campo elétrico inicial E0 e uma 
diferença de potencial inicial V0 entre suas placas. Sem desligá-lo da 
bateria que o carregou, insere-se uma placa de dielétrico (κ>1 ) entre 
as placas, que produz um campo elétrico Ed e uma diferença de 
potencial Vd entre elas. O par de afirmações que melhor representa 
as relações entre os campos elétricos e as diferenças de potencial 
antes e depois da inserção do dielétrico é:
Escolha uma: 
o Ed <E0 ; Vd =V0 ;
o Ed <E0 ; Vd <V0 ;
o Ed =E0 ; Vd =V0 ; 
o Ed >E0 ; Vd >V0 ;
o Ed =E0 ; Vd <V0 . 
0
ˆ)(
ε
qqdAnrE
S
ʹ−
=⋅∫
!!
A
qE
0
0 ε
=
A
qqE
0ε
ʹ−
=
A
qE
0
0
κεκ
=
κ
qqq =ʹ−
qdAnrD
A
=⋅∫ ˆ)(
!!
é o vetor de deslocamento elétrico.
Então, na lei de Gauss expressa com o vetor , aparecem apenas 
as cargas livres (das placas).
D
!)()( 0 rErD
!!!!
κε≡
,
onde
∴
0
0 ˆ)( ε
qdAnrE
S
=⋅∫
!!(a): 
(b):
=E
Em (b):
0
ˆ)(
κε
qdAnrE
S
=⋅∫
!!
Ou:
A
qq
0ε
ʹ−
=
q−
q+
(a)
superfície
gaussiana
0E
!
κ
q+
q−
qʹ+
qʹ−
(b)
superfície
gaussiana
E
!
Lei de Gauss com dielétricos
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Cargas livres e meio dielétrico
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Dois capacitores idênticos são ligados em série, como mostrado na 
figura. Uma lâmina de dielétrico (κ > 1) é colocada entre as placas 
de um capacitor, e a bateria permanece ligada. Qual(is) das seguintes 
afirmações é(são) verdadeira(s) depois da inserção do dielétrico:
I) a carga fornecida pela bateria diminui.
II) a carga fornecida pela bateria não muda.
III) a capacitância do sistema aumenta.
IV) a capacitância do sistema diminui.
V) a energia potencial eletrostática do sistema aumenta.
(Escolha uma)
o somente IV é correta. 
o somente III é correta. 
o somente I é correta. 
o III e V são corretas; 
o somente II é correta.
Exemplo
Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1.24 cm,
V0=85.5 V, b=0.78 cm, .
a) C0 sem o dielétrico;
b) a carga livre nas placas;
c) o campo E0 entre as placas 
e o dielétrico;
d) o campo Ed no dielétrico;
e) a ddp V entre as placas na 
presença do dielétrico;
f) A capacitância C com o
dielétrico.
Calcule:
2.61κ =
superfície
gaussiana II
superfície
gaussiana I
Dielétricos: Exemplo
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Os exercícios pares do Livro texto capítulo Capacitância:
Consultar:
https://www.ggte.unicamp.br/ea/index.php
Lista de exercícios do capítulo 25
28
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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