Aula-04-F328-1S-2016_B

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Aula 4: O Potencial Elétrico
Parte B
F 328: Física Geral III 
1º semestre, 2016
F328 – 1S2016
Pontos essenciais
• Diferença de potencial ΔV
• Energia potencial elétrica U Sistema de cargas
Pontos no espaço
2
Ambos dependem de E
!
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV
!
!
!"! )(
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0πε
=
!
Escolhendo :∝→= rVi para0
=′′=⋅−= ∫∫
∝
∝ r
r
rdrEldrErV )()()(
!!"
r
qrV
04
)(
πε
=
Ou:
dr
r
q
r
2
04
1
∫
∝
=
πε
)(rV
Carga + Carga -
V de uma carga puntiforme
3F328 – 2S2015
Edldr
P
r
q
F328 – 1S2016
∑∑ −== i i
i
i
i rr
qrVrV
||4
)()(
0
!!
!!
πε
||4
)(
0 i
i
i rr
qrV !!
!
−
=
πε
Sistema de cargas puntiformes (V)
Potencial no ponto P devido 
a cada carga qi:
Princípio de superposição:
4
-
- -
-
-
+
+
+
+
x
y
z
r!
ir
!
irr
!! − P
iq
(soma escalar!)
F328 – 1S2016
Exemplos
 nC121 =q
 nC242 −=q
 nC313 =q
 nC174 =q
?=PV
Sistema de cargas puntiformes (V)
m3,1=d
 12 eq ×=
R
eVC
04
12
πε
−=
0
!!
=CE
5
F328 – 1S2016
)(0)(0
0
44
||4
)()(
−+
−=
−
=
=
∑
∑
r
q
r
q
rr
q
rVrV
i i
i
i
i
πεπε
πε !!
!!
3
0
2
0 44
cos)(
r
rp
r
prV
πεπε
θ !!! ⋅==
Dipolo elétrico (r >> d) (V)
θcos)()( drr ≈− +−
2
)()( rrr ≈+−
⇒>> dr
dqp
!! =
p!
Momento de dipolo elétrico
6
F328 – 1S2016
∫ ′−
′
=
)ou,( 0
||
)(
4
1)(
LSV
rr
rdqrV !!
!
!
πε
),( rrdV ′!!
Distribuição contínua finita de cargas (V) 
• V = 0 no infinito 
• Válido somente para distribuição finita de cargas
7
r ′!
rr ′− !!
r!
P)(rdq ′!
y
z
x
F328 – 1S2016
Exemplos de distribuições finitas e contínuas 
de cargas (V)
∫ +=
L
dx
dxV
0
22
04
1 λ
πε
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++=
d
dLLdV
22
0
ln
4
)(
πε
λ
L
d
Linha 
dxdq λ=
22
04
1)(
xa
dqPdV
+
=
πε
22
04
1)(
xa
qxV
+
=
πε
Anel 
|)|(
2
)( 22
0
xaxxV −+=
ε
σ
22
04
1)(
xr
dqPdV
+
=
πε
∫ +
=
a
xr
rdrxV
0
22
0
2
4
1)( π
πε
Disco 
rdrdq πσ 2=
8
Questão #1
F328 – 2S2015 9
F328 – 1S2016
Carga puntiforme (U)
Equivalente ao trabalho executado 
por um agente externo para trazer as 
duas cargas do infinito até uma 
distância r.
E
!
sd!
r
qqVqU 0
0
0 4
1
πε
==
Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q
10
?
0
=qU
F328 – 1S2016
Sistema de cargas puntiformes (U)
Energia potencial de um sistema de cargas é o trabalho executado 
por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a 
configuração desejada. 
∑∑
≠
<
==
ji
ji ij
ji
ji ij
ji
r
qq
r
qq
U
, 00 42
1
4 πεπε
Fator ½: Contar só uma vez cada par de carga (Uij = Uji)
Pelo princípio de superposição:
11
||4 0 ji
ji
ij rr
qq
U !! −
=
πε
Dado que a energia potencial elétrica 
entre cada par de cargas Uij é dada por: 
F328 – 1S2016
Sistema de cargas puntiformes (U)
12
Potencial na posição 
da carga i
A energia total do sistema de cargas pode ser expressado como:
)(
2
1
4
1
2
1
42
1
0, 0
i
i
i
i ij ij
j
i
ji
ji ij
ji rVq
r
q
q
r
qq
U !∑∑ ∑∑ =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
≠
≠
πεπε
Dois casos possíveis:
• U > 0: cargas livres
• Trabalho para uní-las
• U < 0: cargas ligadas
• Trabalho para separá-las
qq =1
qq 42 −=
qq 23 =
d
qU
0
2
4
10
πε
−=
Exemplo
F328 – 1S2016
Questão #2
( )rρ ′
14F328 – 2S2015
)(
2
1
i
i
i rVqU
!∑=
Se conhece o potencial, a energia potencial de um sistema de cargas é:
Generalizando esse resultado para uma distribuição finita e contínua 
de cargas com densidade :
( ) ( )1
2
U r V r dvρ ′ ′ ′= ∫
Elemento de volume 
dentro da distribuição 
de cargas
Distribuição contínua finita de cargas
Questão #3
F328 – 2S2015 15
F328 – 1S2016
Potencial de um condutor isolado
Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão 
ao mesmo potencial?
Sim, pois dentro do condutor0
!!
=E
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não :
• O volume é equipotencial
• A superfície é uma equipotencial
0
!!
=E
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F328 – 1S2016
Condutor carregado isolado
Caso geral 
• Carga Q (na superfície)
• Forma qualquer
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Sendo i e f os pontos iniciais e finais de um percurso dentro de um 
condutor qualquer:
0
)(
=
⋅−=− ∫
f
i
if sdrEVV
!!!
pois dentro do condutor
f i
0
!!
=E
Não há diferença de potencial entre os pontos de 
um condutor, carregado ou não.
Cuidado: não significa que V = 0!
F328 – 1S2016
Condutor carregado isolado
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if rdrEVV
!
!
!!! )(
VE ∇−=
!!
E
!
, r > R (fora)
, r < R (dentro)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
R
Q
r
Q
rV
0
0
4
4
)(
πε
πε
Campo elétrico:
(ou ) 
r
VEr ∂
∂−=
0
!!
=E
Condutor esférico
• Carga Q (na superfície)
• Raio R
Potencial:
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Questão #4
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F328 – 1S2016
Distribuição das cargas em um condutor
Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não 
se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender 
do raio de curvatura local.
rr
r
r
q
r
qV 1
44 1
2
2
1
20
2
10
1 ∝⇔=⇔== σ
σ
σ
πεπε
20
Duas esferas condutoras carregadas, ligadas 
por um fio condutor muito longo, estão ao 
mesmo potencial V:
iii rq σπ
24=
Em pontos onde
o condutor é mais
“pontiagudo”, σ (e,
portanto, E) é maior.
F328 – 1S2016
Descarga corona
Este campo pode ser suficiente intenso para ionizar o ar em volta 
da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga.
Bobina de alta tensão Roda de Wartenberg
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F328 – 1S2016
Questão #5
F328 – 1S2016
Questão #5
A) 1 e 3
B) 2 e 5 
C) 2, 5 e 6
D) 2, 3, 4 e 5 
E) Nenhuma das opções acima
qa
qb
Duas cavidades esféricas, cada uma contendo uma carga, são 
escavadas no interior de uma esfera condutora neutra. 
Quais valores mudariam se uma terceira carga fosse aproximada 
do condutor?
1) Densidades de carga superficial nas cavidades
2) Densidade de carga superficial da esfera
3) Campo elétrico nas cavidades
4) Campo elétrico na esfera
5) Campo elétrico fora da esfera
6) Força sobre as cargas qa e qb
F328 – 1S2016
Resumo
• Carga puntiforme:
• Sistema de cargas puntiformes:
• Distribuição de carga contínua e finita:
• Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio 
eletrostático estão no mesmo potencial.
24
r
qrV
04
)(
πε
=
r
qqVqU 0
0
0 4
1
πε
==
∑ −= i i
i
rr
qrV
||4
)(
0
!!
!
πε
)(
2
1
42
1
, 0
i
i
i
ji
ji ij
ji rVq
r
qq
U !∑∑ ==
≠
πε
∫ ′−
′
=
)ou,( 0
||
)(
4
1)(
LSV
rr
rdqrV !!
!
!
πε ( ) ( )
1
2
U r V r dvρ ′ ′ ′= ∫
Os exercícios pares do Livro texto capítulo Potencial Elétrico:
Consultar:
https://www.ggte.unicamp.br/ea/moodle/login/index.php
Lista de exercícios do capítulo 24
25
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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