Aula-11-F-328-1S2016

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Aula 11: Indutância
Curso de Física Geral III
F-328
1o semestre, 2016
F328 – 1S2016 1
Auto-Indutância e Indutância Mútua
Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um 
par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de 
proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos 
condutores: 
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Qlivre = εo
!
E ⋅ n̂ dA"∫
ΔV = −
!
E ⋅d
!
l∫
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒Qlivre = CV
Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss 
(para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em 
função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a 
constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores 
envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma 
relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas: 
 
φB =
!
B ⋅ n̂ dA∫
ienv =
!
B ⋅d
!
l"∫
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
⇒φn = Ln,mim
Ln,n = Auto-Indutância;
Lm,n = Indutância Mútua;
Solenoide: Indutância
3
Considere o sistema abaixo. Iremos analisar quatro situações:
i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2 pela bobina 1;
ii) i1 = 0, i2= constante à fluxo produzido na bobina 1 pela bobina 2;
iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1 pela bobina 1;
iv) i1 =0, i2= constante à fluxo produzido na bobina 2 pela bobina 2;
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Solenoide: Indutância Mútua
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Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações:
i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2:
 
!
B1 = µ0
N1
l
i1ẑ
 
φ2, (1) = N2
!
B1 ⋅ n̂ dA = N2B1A1
A2
∫
1 2
21 0 1
N NL A
l
µ=
i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1:
 
!
B2 = µ0
N2
l
i2 ẑ 
φ1, (2) = N1
!
B2 ⋅ n̂ dA = N1B2A1
A1
∫
1(2) 12 2iLφ = 112 120
N NL A
l
µ=
12 21L L=
Note que apesar de L12 =L21 não se 
obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2.
1H = 1T ⋅m
2
A
=1Wb
A
A unidade SI de indutância é 
o henry (H):
2(1) 21 1L iφ =
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Solenoide: Auto-Indutância
5
iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1:
 
!
B1 = µ0
N1
l
i1ẑ
 
φ1, (1) = N1
!
B1 ⋅ n̂ dA = N1B1A1
A1
∫
1(1) 11 1iLφ =
2
1
11 0 1
NL A
l
µ=
iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2:
 
!
B2 = µ0
N2
l
i2 ẑ
 
φ2, (2) = N2
!
B2 ⋅ n̂ dA = N2B2A2
A2
∫
2(2) 22 2iLφ =
2
2
22 0 2
NL A
l
µ=
F328 – 1S2016
Solenoide 
ideal:
(Indutância por unidade de comprimento)
2
2
0 0L A
N Ll n A
l l
µ µ→⎛= =⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Auto-Indutância e Indutância Mútua
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Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo 
total é então proporcional a estas correntes e às auto-
indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de 
superposição podemos escrever esta relação na forma 
matricial como:
φ1
φ2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
L11 L12
L21 L22
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i1
i2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Observações:
1)As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como 
indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais 
positivas diferente de zero;
2)A indutância mútua pode assumir qualquer valor real 
(menor, maior ou igual a zero);
3)Ambas dependem apenas de fatores geométricos
N espiras
r
Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é:
r
iN
B
π
µ
2
0=
==== ∫ ∫∫
b
a
B r
iNhdrBhdrdAnB
π
µφ
2
ˆ. 0
!
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
a
biNh ln
2
0
π
µ
Então:
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛==
a
bhN
i
NL B ln
2
2
0
π
µφ
Indutância de um toroide
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( = fluxo concatenado)
Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por 
uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da 
bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:
fem induzida em indutores
dt
Nd B
L
)( φε −=
LiN B =φ
Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:
ou:
i
NL Bφ=
Então:
dt
diL
dt
Lid
L −=−=
)(ε
(fem auto-induzida)
(L: auto-indutância)
O sentido de é dado pela lei de Lenz: 
ela deve se opor à variação da corrente que a 
originou (figura). 
i crescendo i decrescendo
BNφ
BNφ
Lε
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Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a
transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a
distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por
unidade de comprimento desse sistema é:
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
a
ad
l
L ln0
π
µ
Despreze o fluxo no interior dos cilindros.
Exemplo 01
O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre 
os dois fios é dado por:
 
φ =
!
BT ⋅ n̂ dA∫ = (
!
BD + B
"!
E ) ⋅ n̂ dA∫ =
µ0i
2π
1
r
+ 1
d − r
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟a
d−a
∫ Ldr
=
µ0L
π
ln d − a
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
i
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⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=
a
ad
l
L ln0
π
µ
Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo 
coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 .
a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ;
b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?
Exemplo 02
2122122121 ABNNAB =→= φφa) 
1
1
2
2210
212 2
i
R
RNN
N
πµφ =
b)
M
i
N
M ==
1
212
21
φ
1
2
2210
2R
RNN
M
πµ
=
Então:
1
10
11 2R
iNB µ=
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Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. 
Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das 
fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do 
tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do 
tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de 
máquinas e motores.
Circuito básico para analisar 
correntes em um indutor.
a) Fechando-se a chave S, no 
instante t = 0, estabelece-se uma 
corrente crescente no resistor .
Resolver (estudar) este circuito é 
encontrar a expressão para a corrente 
i(t) que satisfaça à equação:
0=−−
dt
diLRiε
i
Lε
Circuito RL
)(00)0(0 titit ⇒≠→=⇒=
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Questão Moodle
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Resolvendo esta equação diferencial 
para i(t), vamos ter: 
(I : corrente máxima, assintótica) 
L
i
L
R
dt
di ε=+
Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante,
como se o indutor fosse um fio de ligação comum.
: voltagem no indutor
A equação anterior fica:
Circuito RL
R
I
R
L
eItie
R
ti
L
tLRt L
ετ
ε τ
==
−=⇒−= −−
e
onde),1()()1()( //
( : constante de tempo indutiva)Lτ
Lε
a
b
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Questão Moodle
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Circuito RL
t
L
R
L eL
L
dt
diLV
−
== ε LRt
L eV
/−= ε
εε
εε
37,0
63,0)1(
1
1
==
=−=
−
−
eV
R
e
R
i
L
Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo
RiVR = e
→== máximo,0 LVt
Interpretação de :
:
R
Lt L ==τPara
equivalente a um circuito aberto
Lτ
circuitocurtoumaeequivalent0, −→=>> LL Vt τ
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Ao lado, temos gráficos das tensões 
Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações 
a) e b).
b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a 
equação das quedas de potencial será:
A solução desta equação é:
Variações das voltagens com o tempo:
Circuito RL
0=+
dt
diLRi
i
LtLRt eIe
R
ti τε /0
/)( −− ==
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Questão Moodle
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Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência 
fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com 
que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto 
é: 
Energia armazenada no campo magnético
LididU
dt
diLi
dt
dU
B
B =→=
∫∫ =
iU
B LididU
B
00
2
2
1 iLUB =
Do circuito abaixo tem-se:
dt
diLiiRi
dt
diLiR +=→+= 2εε
a
b
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Densidade de energia do campo magnético
A densidade de energia será dada por:
Lembrando que resulta que:inB 0µ=
É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto 
qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de 
um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A, 
transportando uma corrente i.
22
0
2
0
2
2
1Como
2
1
inulAnL
Al
Li
Al
Uu
B
B
B
µµ =→=
==
0
2
2µ
BuB = (densidade de energia magnética)
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Indutância mútua
Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz umafem
na bobina 2 e vice-versa.
Indução mútua 2121 ML →
1
212
21 i
N
M
φ
=
dt
di
M
dt
d
NouNiM 121
21
2212121 ==
φφ
dt
di
M 1212 −=εA fem induzida na bobina 2:
A fem induzida na bobina 1:
dt
di
M 2121 −=ε
dt
di
M
dt
di
M
1
2
2
1
−=
−=
ε
ε
A indução é de fato mútua
MMM == 2112
Pode-se provar que:
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Os exercícios pares do Livro texto capítulo Lei de Faraday :
Consultar:
https://www.ggte.unicamp.br/eam/moodle/login/index.php
Lista de exercícios do capítulo 30
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
•Informações complementares
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