10 - Condução bidimensional

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Condução bidimensional
Métodos analíticos podem ser usados
na obtenção de soluções exatas para
problemas de condução bidimensional,
em regime estacionário. Contudo estas
soluções só se aplicam a um conjunto
de geometrias e condições de contorno
simples.
Os problemas bidimensionais que
envolvem geometrias e/ou condições de
contorno que impedem tais soluções são
freqüentes.
Condução bidimensional
Nestes casos, a melhor alternativa é normalmente a utilização de
métodos numéricos como o método das diferenças finitas, dos
elementos finitos ou dos elementos de contorno.
Um ponto forte dos métodos
numéricos é que eles podem ser
facilmente estendidos para problemas
tridimensionais. Devido à sua facilidade
de aplicação, o método de diferenças
finitas é bem apropriado para um
tratamento introdutório das técnicas
numéricas.
Condução bidimensional
Ao contrário de uma solução analítica, que permite a determinação da
temperatura em qualquer ponto de interesse em um meio, uma
solução numérica permite somente a determinação da temperatura em
pontos discretos.
A primeira etapa em qualquer análise
numérica é a seleção destes pontos.
Condução bidimensional
A seleção destes pontos pode ser feita com a subdivisão do meio de
interesse em um número de pequenas regiões e especificando para
cada uma um ponto de referência localizado no seu centro.
O ponto de referência é chamado de ponto nodal ou nó e o agregado de
pontos é chamado de malha. Os pontos nodais são identificados por
numeração.
Para o sistema mostrado, as
posições x e y são
identificadas pelos índices m
e n, respectivamente.
Condução bidimensional
Raramente a seleção dos pontos nodais é arbitrária, ela depende com
freqüência de aspectos tais como conveniência geométrica e precisão
desejada.
A precisão dos resultados depende fortemente do número de nós
utilizados. Quão maior este número (malha fina), as soluções tendem a
ser mais precisas.
Cada nó representa uma determinada região e a
sua temperatura é uma medida da temperatura
média da região.
Equação da difusão do calor em diferenças finitas
A determinação numérica da distribuição de temperaturas exige que
uma equação de conservação apropriada seja escrita para cada um dos
nós de temperatura desconhecida.
O conjunto de equações deve ser resolvido simultaneamente para
determinar as temperaturas não conhecidas em cada nó.
Equação da difusão do calor em diferenças finitas
Para qualquer nó no interior em um sistema bidimensional com geração
e com condutividade térmica uniforme, a distribuição da temperatura
pode ser determinada forma exata pela equação da difusão do calor.
Entretanto, se o sistema for caracterizado em termos da malha, torna-
se necessário trabalhar com uma forma aproximada, ou em diferenças
finitas, desta equação.
Equação da difusão do calor em diferenças finitas
Considerando a derivada da temperatura em relação a x, o valor
dessa derivada no ponto nodal (m, n) no interior da malha pode ser
aproximado por:
E os gradientes nos limites direito e esquerdo do nó:
Equação da difusão do calor em diferenças finitas
Substituindo as expressões dos gradientes na derivada segunda
Analogamente, a derivada segunda da temperatura em relação a y
Equação da difusão do calor em diferenças finitas
Portanto a equação da difusão de calor em regime permanente
bidimensional com geração de calor constante expressa em
diferenças finitas pode ser expressa pela equação:
Se adotarmos elementos quadrados ∆𝑥 = ∆𝑦
Essas expressões foram desenvolvidas para um nó no interior de um
corpo, nas extremidades é preciso consideras as condições de
contorno.
Condições de contorno
As condições de contorno comumente encontradas nos problemas
de transferência de calor são temperaturas conhecidas e fluxos de
calor conhecidos.
Para a condição de temperatura conhecida em
uma aresta, temos:
Condições de contorno
Condições de contorno
Para elementos quadrados
Condições de contorno
Para a0 condição de fluxo de calor conhecido em uma aresta
Condições de contorno
Para elementos quadrados
Exemplo
Antes de resolvermos um problema bidimensional, vamos estudar a
condução unidirecional em regime permanente com geração de
energia em uma parede plana. Sabendo que a solução algébrica para o
problema abaixo é T(x)= -2500x² - 350x + 120, compare-a com a
solução numérica.
Exemplo
Nós 2, 3 e 4 (internos):
Exemplo
Nós 2, 3 e 4 (internos):
Portanto, temos: 
Exemplo
Nó 1 (externo):
Exemplo
Nó 1 (externo):
Exemplo
Nó 5 (externo):
Exemplo
Nó 5 (externo):
Exemplo
Conhecidas as equações para cada
um dos nós, é necessário escrevê-
las no formato de uma multiplicação
matricial.
Exemplo
A solução para as temperaturas nos nós (matriz T) é resolvida pela
seguinte operação matricial:
Onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.
Exemplo
Comparando as soluções algébricas e numéricas para os nós
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
60
70
80
90
100
110
120
x (m)
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 (
°C
)
x T(x) 
analítica
T(x) 
numérica
Erro (%)
0,01 116,25 116,49 0,21
0,03 107,25 107,50 0,23
0,05 96,25 96,50 0,25
0,07 83,25 83,50 0,29
0,09 68,25 68,50 0,36
Algoritmo utilizado (Matlab)
clc
clear all
close all
%Nós externos
A1=[-1 0.3333 0 0 0];
A5=[0 0 0 0.3333 -1];
for j=1:5 
A(1,j)=A1(j);
A(5,j)=A5(j);
end
%Nós internos
j=1;
for i=2:4
A(i,j)=0.5;
A(i,j+1)=-1;
A(i,j+2)=0.5;
j=j+1;
end
B=[-80.6667; -1; -1; -1; -40.6667];
T=A^(-1)*B
for i=1:100
x(i)=0.001*i;
y(i)=-2500*x(i)^2-350*x(i)+120;
end
%Gráficos
no=0.01:0.02:0.09;
plot(x,y) 
hold on
plot(no,T,'rs')
xlabel('x (m)')
ylabel('Temperatura (°C)') 
Exemplo
A placa bidimensional mostrada possui 160 mm de comprimento, 160
mm de largura e é constituída de um material cuja condutividade é 100
W/mK. A placa foi fixada pela aresta inferior em um material isolante,
enquanto a aresta superior troca calor por convecção com o ambiente a
20 °C. As arestas esquerda e direita são mantidas a 30 °C e 0 °C
respectivamente e o coeficiente de transferência de calor por
convecção é 20 W/m²K.
Usando uma malha grosseira e
outra fina, determine a
distribuição de temperaturas na
placa e as represente graficamente.
Exemplo
Nós 6, 7, 10, 11 (internos):
Exemplo
Nós 6, 7, 10, 11 (internos):
Exemplo
Nós 6, 7, 10, 11 (internos):
Exemplo
Nós 6, 7, 10, 11 (internos):
Exemplo
Nós 5 e 9 (aresta esquerda sem quinas):
Exemplo
Nós 5 e 9 (aresta esquerda sem quinas):
Exemplo
Nós 5 e 9 (aresta esquerda sem quinas):
Exemplo
Nós 8 e 12 (aresta direita sem quinas):
Exemplo
Nós 8 e 12 (aresta direita sem quinas):
Exemplo
Nós 8 e 12 (aresta direita sem quinas):
Exemplo
Nós 14 e 15 (aresta inferior sem quinas):
Exemplo
Nós 14 e 15 (aresta inferior sem quinas):
Exemplo
Nós 14 e 15 (aresta inferior sem quinas):
Exemplo
Nós 2 e 3 (aresta superior sem quinas):
Exemplo
Nós 2 e 3 (aresta superior sem quinas):
Exemplo
Nós 2 e 3 (aresta superior sem quinas):
Exemplo
Nó 1 (quina superior esquerda):
Exemplo
Nó 1 (quina superior esquerda):
Exemplo
Nó 1 (quina superior esquerda):
Exemplo
Nó 4 (quina superior direita):
Exemplo
Nó 4 (quina superior direita):
Exemplo
Nó 4 (quina superior direita):
Exemplo
Nó 13 (quina inferior esquerda):
Exemplo
Nó 13 (quina inferior esquerda):
Exemplo
Nó 13 (quina inferior esquerda):
Exemplo
Nó 16 (quina inferior direita):
Exemplo
Nó 16 (quina inferior direita):
Exemplo
Nó 16 (quina inferior direita):
Exemplo
Determinadas as equações para cada nó, devemos moldá-las em uma
multiplicação matricial.
Exemplo
Exemplo
Finalmente, a solução das temperaturas em cada nó é obtida pelo
multiplicação da matriz inversa de A pela matriz B.
1
2
3
4
1
2
3
4
0
5
10
15
20
25
30
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 (
°C
)
Exemplo
Lembrando que quão maior for número de nós, mais preciso o resultado.
Contudo maiorserá o tempo para um computador processar a resposta.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
0
5
10
15
20
25
30
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 (
°C
)
Exemplo
10
20
30
0
10
20
30
40
0
5
10
15
20
25
30
T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 (
°C
)