UN 3 - CAMINHO DO CONHECIMENTO MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

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TÉCNICAS DE ANÁLISE DE 
COMPORTAMENTOS ESTRUTURAIS 
COMPLEXOS
Gleysson Morais Andrade
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
Tipo de solução a se adotar 
(𝜎 𝑒 𝜀)
(Geometrias Simples)
Soluções Analíticas
(Geometrias complexas)
FEA
(a) Pistão
(b) Biela
(c) Virabrequim
A FEA pode ser realizada por meio
de softwares comerciais como
(SolidWorks, Ansys, Solidedge,
dentre outros).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
• Para regiões de geometria constantes (número de malhas menor).
• Para regiões de concentração de tensões (pontos de mudanças
abruptas de geometria) ou ponto de aplicação de carga (número de
malhas maior)
• O aumento no número de malhas faz aumentar o tempo de
processamento.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
• Análise estrutural
• Mecânica dos fluidos
APLICAÇÕES
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
APLICAÇÕES
• Transferência de calor
• Acústica
O FEA fornece informações sobre tensões, deformações, deflexão,
frequências naturais e modos de vibração, impacto e vibrações
estruturais transientes (repentinas e não periódicas) ou em regime
permanente (amplitudes constantes).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
APLICAÇÕES
A abordagem utilizada pela maioria dos softwares comerciais é o
método da Rigidez Direta (MRD), que utiliza a rigidez do elemento
para calcular os deslocamentos nodais e as forças internas
resultantes de um conjunto de cargas externas aplicadas e das
condições de contorno.
As deformações são calculadas a partir dos deslocamentos e as
tensões pela lei de Hooke.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
APLICAÇÕES
• Elemento estrutural finito em uma dimensão (mola linear)
• A constante elástica ou rigidez do elemento é 𝑲𝒉 = Τ𝒇 ∆𝒖
• Um deslocamento cria uma força no nó.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
Assumindo os deslocamentos positivos 𝒖𝒊 𝒆 𝒖𝒋 e somando as forças
em cada nó.
Na forma matricial:
𝒌𝒉 −𝒌𝒉
−𝒌𝒉 𝒌𝒉
𝒖𝒊
𝒖𝒋
=
𝒇𝒊𝒉
𝒇𝒋𝒉
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
𝒇𝒊𝒉 = 𝒌𝒉𝒖𝒊 − 𝒌𝒉𝒖𝒋
𝒇𝒋𝒉 = −𝒌𝒉𝒖𝒊 + 𝒌𝒉𝒖𝒋
Escrito na notação matricial como:
𝒌 𝒅 = 𝒇
Este exemplo trivial contém os passos essenciais de uma solução de
um problema estático com o FEA. Em um problema real, elementos
mais complexos com vários graus de liberdades em seus nós podem
ser utilizados.
Existe um número muito grande de elementos, alguns dos quais têm
funções para a análise com comportamento não linear.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
Os elementos podem ser de uma, duas ou três dimensões (1D, 2D e
3D) ou, ainda, elementos de linha, área e volume, respectivamente.
Também podem ser de diferentes ordens (Ordens da função utilizada
para interpolar os deslocamentos no interior do elemento).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
• Pode-se utilizar o mais simples dos elementos que os resultados serão na
maioria das vezes, adequados.
• Quanto maior a ordem da função utilizada para interpolar o deslocamento
no interior do elemento, maior o tempo de processamento computacional.
• Elementos de linha são adequados para modelar estruturas como
membros de treliças e vigas com área de seção transversal constante, e
podem ter 1, 2, 3 e 6 GDL em cada nó, dependendo se são 1D, 2D ou 3D.
• Elementos de geometria mais complexas como triângulos, quadriláteros,
tetraedros, cubos, possuem mais GDL.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
Um elemento de linha 1D pode apresentar bons resultados
para um membro de treliça carregado axialmente em tração,
mas não será capaz de prever com precisão a flambagem se a
carga axial for de compressão.
A flambagem deve ser verificada separadamente utilizando os
critérios já vistos na seção anterior. Alguns softwares de FEA
apresentam um meio de calcular a flambagem separadamente.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
Elementos 2D podem ser utilizados para modelar
estruturas tridimensionais se sua geometria e seu
carregamento criam um caso de tensão plana e
deformação plana no qual suas magnitudes são nulas
na terceira dimensão (viga longa, simétrica, submetida a
carregamento de flexão ou axial).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
Muitos componente de máquinas
possuem a geometria e o
carregamento de tal forma que
requerem o uso de análise por
FEA 3D.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
• Elementos de alta ordem são usados em contornos curvos,
enquanto elementos lineares aplicam-se aos contornos retos.
• Elementos de alta ordem tem melhor capacidade de representar
contornos de peças complexas e com gradientes de tensão mais
altos.
• O aumento dos elementos aumentam o tempo de processamento,
portanto, os analistas preferem realizar simulações inicialmente
com poucos elementos.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
• A deformação é definida como a derivada do alongamento ao longo do elemento,
logo, o elemento é linear (1° ordem) e sua deformação será constante. Dessa forma,
as tensões serão calculadas a partir das deformações e das propriedades do
material – essa também será constante.
• Triângulos quadráticos, tetraedros e hexaedros têm funções de deslocamento
parabólicas (2° graus) logo a distribuição de deformação e tensão será linear no
elemento, permitindo melhores estimativas.
• De acordo com especialistas, melhores estimativas de tensão se da na utilização de
quadrilátero de quatro nós ou um hexaedro de 8 nós. (aumenta o grau de dificuldade
para gerar malhas em geometrias complexas). Neste caso, uma alternativa é
aumentar a ordem do elemento (triângulo de 6 nós ou tetraedro de 10 Nós).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
• Triângulos quadráticos, tetraedros e hexaedros têm funções de
deslocamento parabólicas (2° graus) logo a distribuição de deformação e
tensão será linear no elemento, permitindo melhores estimativas.
• De acordo com especialistas, melhores estimativas de tensão se da na
utilização de quadrilátero de quatro nós ou um hexaedro de 8 nós
(aumenta o grau de dificuldade para gerar malhas em geometrias
complexas). Neste caso, uma alternativa é aumentar a ordem do elemento
(triângulo de 6 nós ou tetraedro de 10 Nós).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
TIPOS DE ELEMENTOS
Refinamentos são técnicas adotadas para:
• Refinamento h-adaptativo: a ordem do elemento é fixada no valor
máximo para polinômios de 2° ordem. Para isso, aumenta-se a
quantidade de elementos e diminui o seu tamanho.
• Refinamento p-adaptativo: a ordem do elemento pode ser até 9 ou mais.
Neste caso, aumenta-se o tamanho dos elementos e diminui a sua
quantidade. Estes podem se adaptar melhor em peças de geometrias
complexas, devido a maior ordem da função polinomial de interpolação
do elemento.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
REFINAMENTO H-ADAPTATIVO E P-ADAPTATIVO
• A razão de aspecto de uma elemento é
calculada dividindo o comprimento do lado
mais longo pelo lado mais curto.
• Para razão de aspecto menor que 5:1 usa-se
o refino h-adaptativo.
• Os elemento com razão de aspecto até 20:1
podem ser usados o refino p-adaptativo.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
RAZÃO DE ASPECTO
• Muitos softwares comerciais permitem a importação do modelo
direto do CAD além de autogerar a malha de elementos finitos.
• A maioria dos softwares geram malhas com elementos
quadriláteros lineares ou malha mista com quadriláteros e
triângulos para regiões da peça de maior complexidade.
• O analista pode gerar malhas automáticas ou criar uma malha
manual (esta exige maior expertise).
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
GERAÇÃO DE MALHAS
O refino da malha é necessário em 
regiões de maior concentração de tensão.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
REFINO DE MALHAS
Para se ter a certeza de que uma
malha foi suficientemente refinada, a
maneira mais usual é aplicar um
teste de convergência. Este teste
consiste em realizar refinamentos
nas regiões de concentrações de
tensões até seobter resultados
sucessivos com pouca variação,
indicando que os valores de tensão
convergem para um valor real.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
CONVERGÊNCIA DOS RESULTADOS
Com poucas condições de contorno, o sistema poderá ficar
sub-restrito, e poderá falhar. Com muitas condições de contorno, o
sistema ficará super-restrito, e será excessivamente rígido.
Travessa deslizante de secção transversal
retangular apoiada em dois mancais com
uma carga transversal aplicada. Podemos
considerar a terra e a estrutura da
máquina como sendo infinitamente rígida.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Qual diagrama de corpo livre representa exatamente as condições de
contorno entre os mancais e a travessa?
Um pouco de reflexão irá revelar que se os mancais são rígidos e o eixo
deflete para baixo a partir do centro, a travessa irá fazer contato com as
extremidades internas do mancal.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
CONDIÇÕES DE CONTORNO
Problema: Uma viga deslizante de seção transversal retangular é apoiada
em mancais de deslizamento e carregada em flexão por uma carga
transversal concentrada em uma posição definida por 𝒙. Determine uma
arranjo razoável para as condições de contorno e compare a previsão de
deflexão com as soluções analíticas.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Dados: As dimensões são mostradas na figura. O carregamento será:
𝑭 = 𝟐𝟓𝟎 𝒍𝒃.
Hipóteses: Os mancais são muito mais rígidos que a travessa. O peso da
viga é desprezível frente ao carregamento. Os mancais tem folga radial de
𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒊𝒏 para permitir o deslizamento.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
As curvas da deflexão para a solução
analítica para os casos da Figuras b e c
são mostradas ao lado. A deflexão
máxima para o modelo fixo-fixo é
− 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟔 𝒊𝒏 𝐞 é − 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟎 𝒊𝒏 para o
modelo simplesmente apoiado. A
fixação da extremidade reduz a deflexão
total de um fator de três. Isso acontece
porque a restrição de momento faz a
viga ter derivada nula nos mancais e,
efetivamente, a torna mais rígida.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Embora isso seja um modelo 3D, primeiro
será modelado como 2D com tensão plana e
elementos quadrangulares para simplificar.
A análise pelo FEA é baseada no
deslocamento, e a deflexão do modelo
fornece um bom meio para avaliar se as
restrições aplicadas são adequadas. Se as
deflexões são consistentes e um teste de
convergência for aplicado separadamente,
pode-se ter alguma confiança nos
resultados. Para este exemplo, a carga é
aplicada no centro do vão.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
A Figura (a) mostra a malha para o
caso fixo-fixo com os nós de todos
os elementos que fazem contato
com os mancais restritos nas
direções x e y para simular os
engastes em cada mancal. A
Figura (b) mostra a forma defletida
e a máxima deflexão encontrada
pelo FEA, a qual é −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐 𝒊𝒏 ,
valor muito próximo ao encontrado
no passo 1.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Observe as concentrações de
tensão no ponto de aplicação da
força e nos pontos A e B onde as
extremidades internas dos mancais
fazem contato com a viga. Isso
mostra o efeito das condições de
contorno nas tensões locais.
A Figura (a) mostra o mesmo modelo com
malha da anterior, mas com as condições de
contorno modificadas para simular um apoio
simples em cada extremidade. Na extremidade
esquerda (assinalada com a letra A), um único
nó no lado interno do mancal é fixado em x e y,
para representar um pivô. Na extremidade
direita (assinalada com a letra B), um único nó é
fixo em y para representar o apoio de rolo. A
Figura (b) mostra a forma defletida e a máxima
deflexão da viga simplesmente apoiada,
calculada pelo FEA, cujo valor é −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒊𝒏,
próximo ao valor encontrado na solução
analítica no passo 1.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Observe as concentrações nos
pontos de aplicação da força e nos
pontos A’ e B', onde as quinas do
mancal fazem contato com a
travessa, mostrando o efeito das
condições de contorno nas tensões
locais. Observe também que a
extremidade superior da viga não faz
contato com a superfície interna
superior do mancal, o que é
consistente com a solução analítica.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Qual dos modelos tem a melhor condição de contorno? É razoável assumir
que os mancais impedem qualquer rotação da travessa no eixo z?
Assumindo que exista uma folga de 0,001 in, qual ângulo a travessa pode
ter dentro do comprimento do mancal? Um cálculo simples fornece 0,057
graus. A inclinação da travessa no modelo simplesmente apoiado é de
0,035 graus. Uma vez que esse ângulo é menor que a folga angular no
mancal, a travessa pode atingir esta inclinação sob a carga aplicada.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
O mancal não pode aplicar um momento à travessa até que a folga
seja preenchida nas partes superior e inferior opostas entre o mancal
e a viga. Até esse ponto, ela é simplesmente apoiada, como pode ser
visto no gráfico das soluções Analíticas e pelo FEA, que mostra uma
folga remanescente de aproximadamente 0,00052 in para o lado
externo dos mancais. Assim, conclui-se que o modelo simplesmente
apoiado está mais próximo da realidade do que o modelo fixo-fixo
neste caso.
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
Mas isso é o melhor que se pode fazer? É razoável assumir que a travessa e
o mancal fazem contato em apenas um nó para cada mancal? O nó tem
dimensão zero, o que leva à tensão infinita.
Uma maneira melhor de modelar o contorno entre a viga e o mancal no
exemplo anterior seria aplicar restrições de contato em todos os nós ao
longo do comprimento de ambas as interfaces mancal-viga. Sem carga
aplicada, todos os nós na superfície de contato inferior estarão em contato,
analogamente ao modelo fixo-fixo. À medida que a carga é aplicada, os
elementos na superfície inferior no lado externo do mancal se separam e
permitem à viga mover-se em direção ao modelo simplesmente apoiado.
Com uma carga aplicada suficiente, a viga entrará em contato com a
superfície superior do mancal e mudará a restrição de contorno efetiva
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
EXEMPLO DE ANÁLISE DE CONDIÇÕES DE CONTORNO
• A aplicação correta dos carregamentos em um modelo é um problema
similar à aplicação das condições de contorno. Nos problemas com
solução analítica aplica-se a carga em um ponto. Isso pode,
naturalmente, ser feito pelo FEA, uma vez que uma carga pode ser
aplicada diretamente em um nó. Porém, cargas reais são distribuídas
em uma pequena porção finita do componente. Se a carga pudesse
ser aplicada em um único ponto a tensão local seria infinita.
• Ao aplicar os carregamentos, seja muito cuidadoso com as unidades.
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
APLICAÇÃO DAS CARGAS
RESUMO
A análise por elementos finitos é uma ferramenta muito poderosa e
muito utilizada na engenharia. Ela permite a solução de problemas
cuja geometria é muito complexa para a análise de tensão e
deformação na forma analítica. Contudo, como qualquer ferramenta,
ela exige alguma experiência para usá-la adequadamente, e, quando
usada erroneamente, os resultados podem ser desastrosos.
É muito importante compreender a teoria e a base matemática do
FEA para estar ciente das suas limitações. É também muito
importante testar e verificar qualquer modelo de análise pelo FEA
contra uma solução analítica de um problema-teste ou a partir de
dados experimentais, em vez de aceitar os resultados encontrados.
Esta unidade apresentou apenas uma breve introdução ao tópico e
tentou apontar alguns dos perigos associados à construção de modelos
de FEA viáveis. A escolha de um elemento adequado, que melhor se
adapte à situação de geometria e carregamento, é o primeiro passo.
Verificar que a malha convergiu razoavelmente para uma solução
aceitável tambémé importante. Talvez o aspecto mais difícil da
modelagem por elementos finitos seja a criação de condições de
contorno realistas que representem razoavelmente bem as condições
reais do sistema físico a ser modelado. Antes de tentar usar o FEA
profissionalmente, o aluno é incentivado a procurar mais informações
e/ou instruções na teoria e na prática da análise pelo FEA, seja por meio
de cursos dedicados a esse assunto ou lendo a literatura disponível.
RESUMO
ATÉ A PRÓXIMA AULA!