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Tito Luís M. Santos
Método dos Mı́nimos Quadrados Recursivos.
ENGC65: Sistemas de Controle III
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
23 de abril de 2014
Tito Luís M. Santos
Sumário
1 Introdução
2 Mı́nimos quadrados recursivo
3 Considerações Revelantes
Tito Luís M. Santos
Sumário
1 Introdução
2 Mı́nimos quadrados recursivo
3 Considerações Revelantes
Tito Luís M. Santos
Introdução
Problema Original
Considere o modelo de regressão linear:
y(k) = φ(k)T θ + e(k)
ŷ(k) = φ(k)T θ
com
φ(k)T = [−y(k − 1) ... − y(k − na) u(k − d − 1) ... u(k − d − nb − 1)]
θ
T = [a1 ... ana ... b0 ... bnb].
Problema:
min ||Y − Ŷ ||2
com
Y
T = [y(0) y(1) ... y(m)]
Ŷ
T = [φT (0)θ φT (1)θ ... φT (m)θ]
A cada instante, uma nova medida, y(k) pode ser adquirida.
Tito Luís M. Santos
Introdução
Problema Original
Considere o modelo de regressão linear:
y(k) = φ(k)T θ + e(k)
ŷ(k) = φ(k)T θ
com
φ(k)T = [−y(k − 1) ... − y(k − na) u(k − d − 1) ... u(k − d − nb − 1)]
θ
T = [a1 ... ana ... b0 ... bnb].
Problema:
min ||Y − Ŷ ||2
com
Y T = [y(0) y(1) ... y(m)]
Ŷ
T = [φT (0)θ φT (1)θ ... φT (m)θ]
É possı́vel obter uma nova estimativa para θ̂ a cada instante?
Tito Luís M. Santos
Sumário
1 Introdução
2 Mı́nimos quadrados recursivo
3 Considerações Revelantes
Tito Luís M. Santos
Mı́nimos quadrados recursivo
Problema
Neste caso, o problema depende do instante k:
min ||Y (k)− Φ(k)θ||2
com
Φ(k) =





φ(0)T
φ(1)T
...
φ(k)T





.
A solução é dada por:
θ̂(k) = [Φ(k)TΦ(k)]−1Φ(k)T Y (k).
A matriz Φ(k) cresce com o crescimento do tempo.
Tito Luís M. Santos
Mı́nimos quadrados recursivo
Problema
Considerando o mesmo problema:
min ||Y (k)− Φ(k)θ||2
com
Φ(k) =
[
Φ(k − 1)
φ(k)T
]
.
assim como
Y (k)T = [Y (k − 1)T y(k)]
A solução é dada por:
θ̂(k) = [Φ(k)TΦ(k)]−1Φ(k)T Y (k)
=
[
[Φ(k − 1)T φ(k)]
[
Φ(k − 1)
φ(k)T
]]
−1 [
Φ(k − 1)
φ(k)T
] [
Y (k − 1)
y(k)
]
Tito Luís M. Santos
Mı́nimos quadrados recursivo
Problema
Considerando o mesmo problema:
min ||Y (k)− Φ(k)θ||2
com
Φ(k) =
[
Φ(k − 1)
φ(k)T
]
.
assim como
Y (k)T = [Y (k − 1)T y(k)]
Desenvolvendo o problema chega-se a
Γ(0) = [Φ(0)TΦ(0)]−1
Γ(k) = Γ(k − 1)−
Γ(k − 1)φ(k)φ(k)T Γ(k − 1)
1 + φ(k)TΓ(k − 1)φ(k)
θ̂(k) =θ̂(k − 1) + Γ(k)φ(k)[y(k) − φ(k − 1)θ̂(k − 1)]
Tito Luís M. Santos
Mı́nimos quadrados recursivo
Problema
Considerando o mesmo problema:
min ||Y (k)− Φ(k)θ||2
com
Alternativamente verifica-se
Γ(0) = [Φ(0)TΦ(0)]−1
Γ(k) = Γ(k − 1)−
Γ(k − 1)φ(k)φ(k)T Γ(k − 1)
1 + φ(k)TΓ(k − 1)φ(k)
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + Γ(k)φ(k)[y(k) − φ(k − 1)θ̂(k − 1)]
Γ(k)φ(k) = Γ(k − 1)φ(k)−
Γ(k − 1)φ(k)φ(k)T Γ(k − 1)φ(k)
1 + φ(k)T Γ(k − 1)φ(k)
=
Γ(k − 1)φ(k)
1 + φ(k)TΓ(k − 1)φ(k)
Tito Luís M. Santos
Mı́nimos quadrados recursivo
Problema
Considerando o mesmo problema:
min ||Y (k)− Φ(k)θ||2
com
Finalmente chega-se a
Ω(k) =
Γ(k − 1)φ(k)
1 + φ(k)T Γ(k − 1)φ(k)
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + Ω(k)[y(k)− φ(k − 1)θ̂(k − 1)]
Γ(k) = Γ(k − 1)−
Γ(k − 1)φ(k)φ(k)T Γ(k − 1)
1 + φ(k)T Γ(k − 1)φ(k)
=
(
I +Ω(k)φ(k)T
)
Γ(k − 1)
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Mı́nimos quadrados recursivo
Algoritmo de estimação
1 Obtém-se y(k).
2 Compõe-se
φ(k)T = [−y(k − 1) − y(k − 2) ... u(k − d − 1) u(k − d − 2) ...].
3 Calcula-se
Ω(k) =
Γ(k − 1)φ(k)
1 + φ(k)TΓ(k − 1)/φ(k)
.
4 Calcula-se
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + Ω(k)[y(k)− φ(k − 1)θ̂(k − 1)].
5 Calcula-se
Γ(k) =
(
I − Ω(k)φ(k)T
)
Γ(k − 1).
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Mı́nimos quadrados recursivo
Algoritmo com fator de esquecimento λ
1 Obtém-se y(k).
2 Compõe-se
φ(k)T = [−y(k − 1) − y(k − 2) ... u(k − d − 1) u(k − d − 2) ...].
3 Calcula-se
Ω(k) =
[Γ(k − 1)/λ]φ(k)
1 + φ(k)T [Γ(k − 1)/λ]φ(k)
.
4 Calcula-se
θ̂(k) = θ̂(k − 1) + Ω(k)[y(k)− φ(k − 1)θ̂(k − 1)].
5 Calcula-se
Γ(k) =
(
I − Ω(k)φ(k)T
)
Γ(k − 1)/λ.
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Sumário
1 Introdução
2 Mı́nimos quadrados recursivo
3 Considerações Revelantes
Tito Luís M. Santos
Considerações Revelantes
Qualidade da estimativa
1 A matriz Γ(k) chama-se de matriz de covariância.
2 Valores elevados para Γ(k) indicam estimação inadequada.
3 Valores próximos a zero indicam boa estimação.
4 O chute inicial para Γ(0) dependem do grau de confiabilidade de
θ̂(0).
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	Mínimos quadrados recursivo
	Considerações Revelantes