Introdução aos modelos de regressão

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ECONOMETRIA APLICADAECONOMETRIA APLICADA
INTRODUÇÃO AOS MODELOSINTRODUÇÃO AOS MODELOS
DE REGRESSÃODE REGRESSÃO
Au to r ( a ) : D ra . M a rc e l a G i m e n e s B e ra O s h i t a
R ev i s o r : M a rc o A n to n i o S a n to s
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Introdução
Olá, estudante!
Você verá neste material os fundamentos das análises econômicas, re�etindo sobre os processos
introdutórios da utilização e aplicação da Econometria aplicada e as diferentes possibilidades de
empregar materiais para o desenvolvimento do pensamento econométrico. Iremos abordar o
desenvolvimento e as análises do modelo de regressão, a partir de comparações, grá�cos, e a
matemática base para a construção de um modelo de regressão.
Para �xar ainda mais o conteúdo, veremos como solucionar matrizes e como identi�car quais
condições para que as operações matriciais possam ser desenvolvidas. Será dado destaque à
relação entre as matrizes e uma análise de regressão de forma que você possa compreender como
colocar os dados coletados em forma de matrizes para desenvolver uma análise de regressão que
faça sentido com relação  aos fundamentos econômicos, bem como matemáticos e estatísticos.
É com prazer que apresentamos a você este material. Um abraço e boa leitura!
Olá, estudante, você já parou para pensar que a análise de regressão possui inúmeras
possibilidades de utilização e que podemos até utilizar essa ferramenta para realizar previsões?
Pois bem, considerando a linguagem matemática, a regressão é desenvolvida a partir da resolução
de equações lineares por meio de matrizes.  
Nessa perspectiva, a regressão é um importante algoritmo de modelagem, uma forte ferramenta
estatística para examinar a relação entre duas ou mais variáveis de interesse, de forma a
entendermos como elas se relacionam e como a(s)  variável(is) independente(s) afeta(m) a variável
dependente na modelagem estatística, por exemplo: o status socioeconômico e a raça afetam o
desempenho educacional; ou a educação e o QI afetam os ganhos.
Modelo Simples x Modelo
Múltiplo: Principais
Diferenças
Assim, a análise de regressão é uma abordagem comprovada para determinar quais variáveis
afetam um determinado indivíduo ou variável (GUJARATI, 2011). A análise de regressão ajuda você
a decidir com con�ança quais fatores são mais importantes, quais elementos podem ser ignorados
e como esses fatores interagem.
Embora a correlação seja uma medida útil do grau de associação entre duas variáveis,
não explica algumas questões fundamentais, como: i) qual seria a variação de Y, dada
uma variação em X? ii) qual o valor esperado de Y, dado um de X? Para responder essa e
outras questões, devemos utilizar uma análise de regressão linear (MAIA, 2017, p. 24).
Para entender os fundamentos da análise de regressão, considere que você  precisa coletar dados
relevantes para a análise de regressão. Diante disso, pense que a variável dependente seria aquela
que vai sofrer in�uências da(s) variável(is) independente(s), considerando que a variável
dependente seria o desempenho educacional, e as variáveis independentes seriam o status
socioeconômico e a raça. Vamos pensar como essa relação acontece gra�camente.
1. Variável dependente (escolaridade): Esse é conhecido como o fator-chave que você está
tentando explicar ou prever (Eixo Y);
2. Variáveis independentes (status socioeconômico e a raça): Essas são as variáveis que você
acredita in�uenciar a variável dependente (Eixo X).
Nessa perspectiva, existem dois tipos de regressão, a simples e a múltipla. A regressão linear, que
também pode ser referida como regressão linear simples, é a forma mais comum de análise de
regressão. Busca-se a linha que melhor corresponde aos dados de acordo com um conjunto de
critérios matemáticos. Em termos simples, usa-se uma linha reta para de�nir a relação entre duas
variáveis. Então, se quisermos estimar o valor de uma variável com base no valor de outra variável,
(por exemplo, nível de escolaridade e status socioeconômicos) usamos esta fórmula:
Assim, nossa regressão simples �caria:
Em que é chamado de variável dependente, explicada ou regressando; é a variável
independente, explanatória ou regressora; é o erro aleatório não explicado pelo
modelo;  é o termo constante ou intercepto; e é o coe�ciente angular [...] (MAIA,
2017, p. 24).
Não obstante, em um caso em que há duas ou mais variáveis independentes, torna-se uma
regressão linear múltipla, por exemplo, ao considerarmos o nível de escolaridade sendo
in�uenciado por duas variáveis: o status socioeconômico e a raça. Isso signi�ca que uma regressão
linear múltipla ou uma regressão múltipla ocorre quando duas ou mais variáveis
explicativas/independentes têm uma relação linear com a variável dependente. Vejamos como �ca
a fórmula, ao inserirmos mais uma variável, a raça:
Observe que “a função de regressão linear estabelece que cada valor de , pode ser dado a partir
de uma função linear de um valor controlado de mais um erro não previsto pelo modelo ”
(MAIA, 2017, p. 24). Dessa forma, nossa regressão múltipla �caria:
= + +Yi β0 β1X1i ei
= + β +Yescolaridade β0 Xstatus socioecon micoô ei
Y X
ei
β0 β1
= + + +Yi β0 β1X1i β2X2i e
Yi
Xi ei
Cabe salientar que “o erro representa variáveis omitidas ou mesmo di�culdades para mensurar
aquelas presentes no modelo. O modelo de regressão pressupõe que o efeito do erro seja mínimo"
(MAIA, 2017, p. 25). Além disso, o erro precisa ter uma natureza estocástica, bem como deve estar
distribuído de forma aleatória em torno de uma reta de regressão. Observe, no Quadro 1.1, a
representação grá�ca de uma regressão linear, bem como os erros que devem estar distribuídos
nela.
Quadro 1.1  - Representação da função de regressão linear populacional e distribuição dos erros
Fonte: Maia (2017, p. 25).
#PraCegoVer: o quadro possui dois grá�cos, que representam as variáveis x e y, na horizontal e na vertical,
respectivamente, e uma reta, que começa no eixo y, acima do zero, e apresenta uma inclinação positiva
sobre o eixo x. O primeiro representa um modelo de regressão linear com pontos ao redor da reta, que
representa as dispersões da variável do modelo. Essas dispersões vão determinar o erro, apresentado no
segundo grá�co de distribuição dos erros, e, em cima da reta, há três curvas em formato de sino, o que
representa que as variáveis do modelo têm distribuição normal dos erros e/ou dos resíduos.
Para entendermos como funciona o erro, vamos supor que você pense em fazer uma regressão
simples considerando, como variável dependente, a escolaridade e, como variável independente, o
status socioeconômico. Como o erro representa variáveis omitidas do modelo ou variáveis que
você teve di�culdades de mensurar, a variável independente raça, vai fazer parte do seu erro, pois
ela foi omitida do modelo.
Diante disso, o seu erro do modelo será maior se você utilizar apenas a regressão simples para
estimar esse modelo, ao invés da regressão múltipla, inserindo a variável raça. No entanto seu
modelo ainda terá um erro, representado por variáveis independentes ou outras informações que
in�uenciam a variável escolaridade, tais como nível de escolaridade dos pais, condições de
moradias, dentre outros.
Suposições para que um modelo de regressão linear seja considerado
válido
= α + β + β +Yescolaridade Xstatus socioecon micoô Xraa ei
ei
Suposições para que um modelo de regressão linear seja considerado válido
1. Relação linear: A variável independente x, e a variável dependente y, têm uma relação
linear.
2. Resíduos independentes: Os resíduos são independentes. Nos resultados da série
temporal, não há conexão entre resíduos consecutivos em particular.
3. Homocedasticidade: Em qualquer grau de x, os resíduos têm a mesma variância.
4. Normalidade: Os resíduos do modelo têm uma distribuição regular.
Assim, a regressão linear simples tem apenas uma variável x e uma y. Já a regressão linear
múltipla tem duas ou mais variáveis x. Um modelo de regressãomúltipla é um modelo de regressão
linear que foi expandido para incluir mais de uma variável independente. Pela lógica, isso signi�ca
que ele tem um desempenho melhor do que uma simples regressão.
Agora que já conhecemos algumas diferenças entre a regressão múltipla e a simples, vejamos
como elas são representadas, geometricamente, no Quadro 1.2.
Quadro 1.2 - Representação geométrica para a função de regressão linear simples e múltipla
Fonte: Maia (2017, p. 98).
#PraCegoVer: o quadro tem dois grá�cos, que representam as variáveis x e y, na horizontal e na vertical,
respectivamente. O primeiro é uma regressão simples, que tem uma reta que começa no eixo y, acima do
zero, e apresenta uma inclinação positiva sobre o eixo x, com pontos ao redor da reta, o que representa as
dispersões da variável do modelo. No segundo grá�co, que representa a regressão múltipla, vemos um
plano tridimensional, que ilustra as diversas variáveis independentes do modelo, no qual aparece os eixos
y, x1 e x2, bem como as dispersões que vão determinar o nível de erro do modelo.
O pesquisador usará regressão linear múltipla para explicar todas essas variáveis potencialmente
signi�cativas em um modelo. Os benefícios dessa abordagem podem incluir uma visão mais
precisa e detalhada da relação entre cada fator especí�co e o resultado. Outra grande vantagem da
regressão linear múltipla é a aplicação do modelo de regressão múltipla na pesquisa cientí�ca. Os
pesquisadores podem utilizar análises de regressão múltipla para avaliar a força da relação entre
um desfecho (variável dependente) e várias variáveis preditoras e a contribuição de cada preditor
para a relação, muitas vezes com a in�uência de outros preditores eliminados estatisticamente.
Portanto, a análise de regressão produz uma equação de regressão em que os coe�cientes
representam a relação entre cada variável independente e a variável dependente, estimando o efeito
que a mudança de uma variável independente tem sobre a variável dependente, mantendo todas as
outras variáveis independentes constantes. Nesse sentido, a exclusão de uma variável relevante
pode produzir resultados enganosos. Omitir uma variável importante pode in�uenciar os resultados
das variáveis que você inclui no modelo.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Na análise de regressão, as variáveis podem ser independentes, que são utilizadas como preditor
ou entrada causal, e dependentes, que são utilizadas como variáveis de resposta. Em estudos
experimentais, a variável independente X é a variável que pode ser controlada, e variável Y é a
variável que re�ete as mudanças na variável independente X.
A respeito da análise de regressão, assinale a alternativa que representa, de forma mais alinhada,
uma variável Y, para uma empresa que desenvolveu uma análise de regressão para prever o seu
faturamento para o próximo ano.
a) Custo.
b) Lucros.
c) Custo �xo.
d) Receita esperada.
e) Controle de estoques.
Revisão de Álgebra
Matricial: Soma,
Estudante, você sabia que um sistema de equações lineares é um conjunto �nito de equações
lineares, cada uma com as mesmas variáveis? Pois bem, uma solução de sistema de equações
lineares é vetor que é, simultaneamente, uma solução de cada equação no sistema. O conjunto
solução de um sistema de equações lineares é o conjunto de todas as soluções do sistema.
O conjunto de todas as soluções possíveis é conhecido como conjunto solução do
sistema linear. Dois sistemas lineares são chamados equivalentes se tiverem o mesmo
conjunto solução, ou seja, cada solução do primeiro sistema é uma solução do segundo
sistema, e cada solução do segundo sistema é uma solução do primeiro (LAY; LAY;
MCDONALD, 2018, p. 2).
Esse conjunto pode ser solucionado, dentre outras coisas, por meio de operações matriciais.   “A
informação essencial de um sistema linear pode ser representada de forma compacta por meio de
um arranjo retangular chamado matriz” (LAY; LAY; MCDONALD, 2018, p. 3). Assim, os dados
econômicos, bem como de outras áreas do conhecimento, são frequentemente organizados em
linhas e colunas para formar matrizes retangulares conhecidas como "matrizes".
Nessa perspectiva, os cálculos matriciais podem ser entendidos como um conjunto de ferramentas
que envolve o estudo de métodos e procedimentos utilizados para coleta, classi�cação e análise de
dados. As matrizes frequentemente aparecem como tabelas de dados numéricos que surgem de
observações físicas, mas ocorrem em vários contextos matemáticos também.
De acordo com Lay, Lay e Mcdonald (2018, p. 3), “a informação essencial de um sistema linear pode
ser representada de forma compacta por meio de um arranjo retangular chamado de matriz”. Diante
disso, o tamanho de uma matriz é conhecido como um produto, que envolve o número de linhas e
colunas que contém.
Subtração, Multiplicação
e Transposta
Uma matriz com linhas e colunas é chamado de  matriz . Neste caso,  e são suas
dimensões. Se uma matriz consiste em apenas uma linha, ela é chamada de matriz de linha. Se
uma matriz consiste em apenas uma coluna é chamada de matriz de coluna. Uma matriz que
contém apenas zeros como elementos é chamada de matriz zero. Considere os seguintes dados de
sistema apresentados por Lay, Lay e Mcdonald (2018, p. 3):
A partir desse sistema, podemos formular uma matriz com os coe�cientes de cada variável
alinhados em colunas:
        
Assim, a matriz acima é conhecida como matriz dos coe�cientes (ou matriz associada) do sistema.
Agora vejamos como �ca a matriz aumentada:
              
Note que a segunda linha da matriz aumentada é zero, pois essa equação poderia ter sido escrita
como:   . Lay, Lay e Mcdonald (2018, p. 3) a�rmam que “uma matriz
aumentada de um sistema consiste na matriz dos coe�cientes, como uma coluna adicional que
contém as constantes à direita do sinal de igualdade nas equações”. Nessa perspectiva, o tamanho
da matriz é determinado pelo número de linhas e colunas que ela tem.
Soma
Se e são duas matrizes da mesma ordem, então, a soma é
uma matriz, e cada elemento dessa matriz é a soma dos elementos correspondentes. 
 (LAY; LAY; MCDONALD, 2018). Considere as duas matrizes A e B da ordem 2 x 2.
Em seguida, a soma é dada por:
+ =
Vejamos como �ca a adição de matriz na prática:
+ = +
Já uma matriz com uma ordem tem 3 linhas e 3 colunas, e só podemos somar uma matriz 
com outra matriz com a mesma ordem, caso contrário não somos capazes de somar.
m n mxn m n
− 2 +   = 0x1 x2 x3
2 + 8 = 8x2 x3
5         − 5 = 10x1 x3
⎡
⎣
⎢
1
0
5
−2
2
0
1
−8
−5
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
0
5
−2
2
0
1
−8
−5
0
8
10
⎤
⎦
⎥
0. + 2 − 8  = 8x1 x2 x3
A [ ]  mxn aij B [ ]  mxnBij A + B
A + B =
[ + ]  mxnaij Bij
[ ]a1
c1
b1
d1
[ ]a2
c2
b2
d2
[ ]+a1 a2
+c1 c2
+b1 b2
+d1 d2
2x2
[ ]5
3
8
8
[ ]3
8
8
9
[ ]5 + 3
3 + 8
8 + 8
8 + 9
[ ]8
11
16
17
3x3 3x3
+ = =
  
Quando somamos duas matrizes com uma ordem , temos que somar cada número dentro das
matrizes com a mesma posição da outra matriz, isso signi�ca que para encontrar o número (na
matriz resultante) na linha 3, coluna 3, vamos ter que somar os números na linha 3 e coluna 3 de
ambas as matrizes que estamos adicionando, e o resultado disso será a nossa resposta, sendo A e
B as matrizes que estamos adicionando, e C a matriz resultante, e uma vez que tenhamos feito
todas as 9 posições da matriz 3x3, já teríamos a matriz resultante. Dessa forma, cabe ressaltar que:
a adição de matrizes é comutativa, o que signi�ca 
a adição de matrizes é associativa, o que signi�ca 
a ordem das matrizes , e + é sempre a mesma.
se a ordem e for diferente, + não pode ser calculada.
Uma das regras mais importante a se saber é que ao adicionar duas ou mais matrizes, primeiro é
necessário certi�car-se de que as matrizes tenham as mesmas dimensões. Em palavras de ordem,
você pode adicionar uma com uma ou uma com uma . No entanto, você
não pode adicionar uma com uma ou uma com uma . Por exemplo, a
adição de duas matrizes dadascom a dimensão .
Subtração
A subtração das matrizes refere-se à subtração de elementos correspondentes de duas ou mais
matrizes. Uma matriz é um formato matemático para organizar os dados na forma de linhas e
colunas. A subtração das matrizes pode ser feita por meio da subtração da matriz de elementos.
A subtração das matrizes é feita da mesma forma que a adição de matrizes. As restrições de soma
matricial também são aplicáveis para a subtração matricial. Assim, podemos subtrair as matrizes
diminuindo cada elemento de uma matriz do elemento correspondente da segunda matriz:
 . Considere as duas matrizes e da ordem . Em seguida, a
diferença é dada por:
- =
Vejamos como �ca a subtração de matriz na prática:
- = =
A subtração de matrizes ou subtração matricial só pode ser possível se o número de linhas e
colunas de ambas as matrizes for o mesmo. Ao subtrair duas matrizes, subtraímos os elementos
em cada linha e coluna dos elementos correspondentes na linha e coluna da outra matriz. Dessa
forma, uma matriz com uma ordem tem 3 linhas e 3 colunas, e só podemos subtrair ela com
outra matriz se ela tiver a mesma ordem, caso contrário, não somos capazes de somar. Vejamos
um exemplo prático:
⎡
⎣
⎢
10
5
25
15
10
30
20
15
35
⎤
⎦
⎥
Matriz A
⎡
⎣
⎢
1
3
3
5
4
1
9
8
0
⎤
⎦
⎥
Matriz B
⎡
⎣
⎢
10 + 1
5 + 3
25 + 3
15 + 5
10 + 4
30 + 1
20 + 9
15 + 8
35 + 0
⎤
⎦
⎥
Matriz A+B
⎡
⎣
⎢
11
8
28
20
14
31
29
23
35
⎤
⎦
⎥
Matriz C
3x3
A + B  =  B + A.
A  + (B + C)   =   (A +  B) + C.
A B A B
A B A B
2 x 3  2 x 3 2 x 2 2 x 2
3 x 2 2 x 3 2 x 2 3 x 3
2 x 2
A − B = [ − ]  mxnaij Bij A B 2 x 2
[ ]a1
c1
b1
d1
[ ]a2
c2
b2
d2
[ ]−a1 a2
−c1 c2
−b1 b2
−d1 d2
2x2
[ ]5
3
8
8
[ ]3
8
8
9
[ ]5 − 3
3 − 8
8 − 8
8 − 9
[ ]2
−5
0
−1
3x3
- = =
Todas as restrições para a adição de matrizes também são aplicadas à subtração de matrizes. Mas
há certas leis que a subtração matricial não segue exatamente, como a subtração dos números. A
necessidade mais importante para que a subtração das matrizes mantenha todas essas
propriedades é que a subtração matricial seja de�nida apenas se a ordem das matrizes for a
mesma.
Portanto, para a subtração das matrizes, estas não precisam ser matrizes quadradas. A subtração
das matrizes retangulares também é de�nida se a ordem das matrizes for a mesma.
Multiplicação
Multiplicação matricial ou multiplicação de matrizes é uma das operações que pode ser realizada
em matrizes em álgebra linear. A multiplicação da matriz com a matriz é possível quando
ambas as matrizes dadas, e são compatíveis. Multiplicação matricial é uma operação binária,
que dá uma matriz de duas matrizes.
Suponha que tenhamos duas matrizes e , a multiplicação da matriz com a Matriz pode ser
dada como ( ) (HOLT, 2016). Isso signi�ca que, na multiplicação de para qualquer 
matriz com uma matriz , o resultado pode ser dado como matriz da ordem
.
Considere as duas matrizes e da ordem . Em seguida, a multiplicação é dada por:
- =
Podemos entender o processo geral de multiplicação matricial pela técnica: as linhas são
multiplicadas por colunas (elemento por elemento). Vejamos como �ca a multiplicação de matriz
 na prática:
= =
Vejamos, agora, o produto de duas matrizes e é determinada pela
seguinte fórmula:
  =
⎡
⎣
⎢
10
5
25
15
10
30
20
15
35
⎤
⎦
⎥
Matriz A
⎡
⎣
⎢
1
3
3
5
4
1
9
8
0
⎤
⎦
⎥
Matriz B
⎡
⎣
⎢
10 − 1
5 − 3
25 − 3
15 − 5
10 − 4
30 − 1
20 − 9
15 − 8
35 − 0
⎤
⎦
⎥
Matriz A−B
⎡
⎣
⎢
9
2
22
10
6
29
11
7
35
⎤
⎦
⎥
Matriz C
A B
A B
A B A B
AB m  ×  n
 ′A′ n  ×  p ′B′  ′C ′
m  ×  p
A B 2 x 2
[ ]a1
c1
b1
d1
[ ]a2
c2
b2
d2
[ ]. + .a1 a2 b1 c2
. + .c1 a2 d1 c2
. + .a1 b2 b1 d2
. + .c1 b2 d2 d2
2x2
[ ]5
3
8
8
.[ ]3
8
8
9
[ ]5. 3 + 8. 8
3. 3 + 8. 8
5. 8 + 8. 9
3. 8 + 8. 9
[ ]79
73
112
96
A = ( )aij 3x3 B = ( )aij 3x3
⎡
⎣
⎢
a11
a21
a31
a12
a22
a33
a13
a23
a33
⎤
⎦
⎥
Matriz A
.
⎡
⎣
⎢
b11
b21
b31
b12
b22
b33
b13
b23
b33
⎤
⎦
⎥
Matriz B
A subtração das matrizes não é comutativa, ou seja, .A  −  B  ≠  B  −  A
 
Na matriz resultante, podemos ver que o primeiro elemento da primeira linha é obtido multiplicando
os elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da primeira
coluna da segunda matriz e, em seguida, adicionando. Vejamos um exemplo prático:
  =
=
Assim, a multiplicação da matriz 3x3 pode ser feita usando a fórmula de multiplicação da matriz, já
que quaisquer duas matrizes 3x3 são compatíveis. O processo é exatamente o mesmo para a
matriz de qualquer ordem. O resultado do produto de duas matrizes 3x3 é novamente uma matriz
3x3.
Embora muitas das propriedades da álgebra de matrizes sejam iguais as propriedades
da álgebra de números reais, há diferenças importantes. Por exemplo se forem
números reais, então . Isso não é verdade para as matrizes, pois a multiplicação
não é cumulativa em geral (HOLT, 2016, p. 93).
Portanto, a multiplicação matricial é uma operação binária cuja saída também é uma matriz
quando duas matrizes são multiplicadas. Na álgebra linear, a multiplicação das matrizes só é
possível quando as matrizes são compatíveis. Em geral, a multiplicação matricial, ao contrário da
multiplicação aritmética, não é comutativa, o que signi�ca que a multiplicação das matrizes e ,
dada como , não pode ser igual à , ou seja, ≠ . Por isso, a ordem de multiplicação
para a multiplicação das matrizes é importante.
Transposta
Em álgebra linear, a transposição de uma matriz é um dos métodos mais utilizados na
transformação matricial. Para uma determinada matriz, a transposição de uma matriz é obtida
trocando linhas em colunas ou colunas para linhas. Em outras palavras, a transposição de uma
matriz é encontrada interligando suas linhas em colunas ou colunas em �leiras. Considere a matriz
dada:
⎡
⎣
⎢
. + . + .a11 b11 a12 b21 a13 b31
. + . + .a21 b11 a22 b21 a23 b31
. + . + .a31 b11 a32 b21 a33 b31
. + . + .a11 b12 a12 b22 a13 b32
. + . + .a21 b12 a22 b22 a23 b32
. + . + .a31 b12 a32 b22 a33 b32
. + . + .a11 b13 a12 b23 a13 b33
. + . + .a21 b13 a22 b23 a23 b33
. + . + .a31 b13 a32 b23 a33 b33
⎤
⎦
⎥
Matriz A . B
⎡
⎣
⎢
10
5
25
15
10
30
20
15
35
⎤
⎦
⎥
Matriz A
.
⎡
⎣
⎢
1
3
3
5
4
1
9
8
0
⎤
⎦
⎥
Matriz B
⎡
⎣
⎢
10.1 + 15.3 + 20.3
5.1 + 10.3 + 15.3
25.1 + 30.3 + 35.3
10.5 + 15.4 + 20.1
5.5 + 10.4 + 15.1
25.5 + 30.4 + 35.1
10.9 + 15.8 + 20.0
5.9 + 10.8 + 15.0
25.9 + 30.8 + 35.0
⎤
⎦
⎥
Matriz A . B
⎡
⎣
⎢
115
80
220
130
80
280
210
125
465
⎤
⎦
⎥
Matriz C
a e b
ab = ba
A B
AB BA AB BA
⎡
⎣
⎢
10
5
25
15
10
30
20
15
35
⎤
⎦
⎥
Matriz dada
A transposição da matriz é denotada usando a letra no sobrescrito da matriz dada. Por
exemplo, se " " é a matriz dada, então a transposição da matriz é representada por ou 
(HOLT, 2016). Para entender as propriedades da matriz transposta, tomaremos duas matrizes e 
que tem ordem igual, vejamos como �ca:
A matriz transposta de uma matriz quadrada a uma nova matriz vira uma matriz sobre sua diagonal
principal. Isso signi�ca que ela muda as linhas e colunas. Para encontrar a transposição de
qualquer matriz , siga um dos passos, você pode escrever as linhas de como as colunas de
; ou escrever as colunas de como as linhas de .
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Um sistema de equações lineares, também conhecido como mapa linear, pode ser identi�cado
com uma matriz, e qualquer matriz pode ser identi�cada como um sistema linear. Em economia,
muitas vezes, encontramos sistemas de equações lineares, que são usados porque são tratáveis e
podem ser pensados como aproximações para relacionamentos subjacentes mais complicados
entre variáveis dependentes e independentes.
A respeito dos diferentes métodos empregados para solucionar relações entre matrizes, podemos
a�rmar que a multiplicação entre duas matrizes:
a) ocorre entre colunas.
b) decorre de linhas multiplicadaspor colunas.
c) ocorre mediante a multiplicação de linhas por linhas.
d) decorre das variáveis explicativas para as explicadas.
e) decorre das linhas independentes para as explicadas.
′′T ′′
A A′ AT
A B
⎡
⎣
⎢
10
15
20
5
10
15
25
30
35
⎤
⎦
⎥
Matriz Transposta
A A
AT A AT
Determinante de uma matriz é um número especial que é de�nido apenas para matrizes quadradas
(matrizes que têm o mesmo número de linhas e colunas). “O determinante de uma matriz quadrada
A combina os elementos de A para produzir um único número" (HOLT, 2016, p. 167).
Determinante é usado em muitos lugares em cálculo e outras álgebras relacionadas à matriz, na
verdade representa a matriz em termos de um número real que pode ser usado na resolução de
sistema de equação linear e encontrar o inverso de uma matriz. Em outras palavras, “o determinante
é uma função que recebe uma matriz como entrada e produz um número real como saída” (HOLT,
2016, p. 167).
Mais precisamente, para encontrar um determinante de uma matriz , precisamos: multiplicar o
elemento na primeira linha e primeira coluna pelos elementos da segunda linha e segunda coluna;
depois, multiplicar o elemento na primeira linha e segunda coluna pelo elemento na segunda linha e
primeira coluna; o determinante matricial é a diferença entre a segunda multiplicação e a primeira
multiplicação. Considere a matriz :
=
O valor do determinante de uma matriz pode ser calculado seguindo a seguinte fórmula:
=
Vejamos um exemplo:
Cabe destacar também que, o determinante de pode ser expressado da seguinte forma:
Revisão de Álgebra
Matricial: Determinante,
Cofator e Inversa
2x2
A
[ ]a1
c1
b1
d1
−a1d1 c1b1
A3x3
⎡
⎣
⎢
a11
a21
a31
a12
a22
a23
a13
a23
a33
⎤
⎦
⎥
+ + − − −a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
⎡
⎣
⎢
−3
5
4
1
5
2
2
−8
−5
⎤
⎦
⎥
det  (A)   =   (−3) (5) (−5) + (1) (−8) (4) + (2) (5) (2) −
(−3) (−8) (2) − (1) (5) (−5) − (2) (5) (4)   =
= 75 − 32 + 20 − 48 + 25 − 40  = 0
A
det  (A) =   ( − ) −a11 a22a33 a23a32 ( − ) +a12 a21a33 a23a31 ( − )a13 a21a32 a22a31
De acordo com Holt (2016), para entendermos como esse processo funciona, devemos analisar as
expressões entre parênteses da fórmula acima como o determinante de uma matriz . Considere
a seguinte equação: :
Ao substituirmos para encontrar o determinante:
=
Assim, combinando a expressão acima com as demais:
Diante disso, cada uma dessas matrizes pode ser obtida de eliminando a linha e coluna
contendo de forma respectiva, , , e formando-se matrizes com elementos restantes
(HOLT, 2016).
Nesse contexto, temos o cofator, que é um nome alternativo para o determinante de uma matriz
menor do que a que se descreve. Assim, podemos encontrar o determinante pelo cofator, que é o
número que você recebe quando remove a coluna e a linha de um elemento designado em uma
matriz, que é apenas uma grade numérica na forma de retângulo ou um quadrado. Ele é sempre
precedido por um sinal positivo (+) ou negativo (-). Em outras palavras, o cofator de um elemento é
uma matriz que podemos obter removendo linha e coluna desse elemento dessa matriz (HOLT,
2016).
A fórmula simpli�cada envolvendo o cofator  de se dá por ( :
Considerando a inserção do cofator na fórmula a seguir:
Temos um modelo para a de�nição geral de determinante:
2x2
−a22a33 a23a32
[ ]a22
a32
a23
a33
[ ]4
3
2
7
(4)(7) − (2)(3) = 22
detA = a11[ ]a22
a32
a23
a33
−a12[ ]a21
a31
a23
a33
+a13[ ]a21
a31
a22
a32
2x2 A
a11 a12 a13 2x2
aij )Cij
= det ( )Cij (−1)i+j
Mij
det  (A) =   ( − ) −a11 a22a33 a23a32 ( − ) +a12 a21a33 a23a31 ( − )a13 a21a32 a22a31
det  (A) =   − +a11C11 a12C12 a13C13
Uma das aplicações do determinante matricial está na resolução de sistemas de equações
lineares. O determinante nos informa se o sistema tem uma solução única. Além disso, o
determinante também pode ser útil para encontrar o inverso de uma matriz não singular, etc.
Inversa
A matriz inversa é uma ferramenta importante no mundo matemático. É usado na resolução de um
sistema de equações lineares. “A álgebra matricial fornece ferramentas para manipular equações
matriciais e criar fórmulas úteis de maneira semelhante à álgebra usual com números reais” (LAY;
LAY; MCDONALD, 2018, p. 184).  
A matriz inversa pode ser determinada apenas quando a matriz dada é de natureza não singular.
Isso signi�ca que, em um sentido simples, podemos dizer que a matriz inversa só pode ser
determinada sob a condição de que o valor determinante do dado da matriz não se torne igual a
zero.
O inverso de uma Matriz e  como ocorre com o inverso multiplicativo de um número que é
 ou . Nessa perspectiva, quando multiplicamos uma matriz pelo seu inverso, temos a matriz
de identidade (que é como " " para matrizes):
Em que "matriz de identidade" é o equivalente matricial do número " ". Por exemplo, considere a
matriz identidade 3x3:
Diante disso, uma matriz de identidade , e quadrada, isto é, tem o mesmo número de linhas e
 colunas; tem na diagonal e em todos os outros lugares; e seu símbolo é a letra maiúscula . O
inverso de é apenas quando:
Considere o inverso de uma matriz 2x2, em que são os determinantes dela.
Vejamos como acontece na prática:
Assim, considerando que, se multiplicarmos a matriz pelo seu inverso ( ), temos a matriz
identidade, vejamos:
A A−1 5
1/5 5−1
1
A  ×     =  IA−1
1
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎤
⎦
⎥
3x3
1 0 I
A A−1
A = A = I  A−1 A−1
ad − bc
[ ]a
c
b
d
−1
= 1
ad−bc
[ ]d
−c
−b
a
[ ]4
2
7
6
−1
= 1
4x6−7x2
[ ]6
−2
−7
4
= 1
10 [ ]6
−2
−7
4
−1
= [ ]0, 6
−0, 2
−0, 7
0, 4
A =  IA−1
Considerando os cálculos:
Ao realizarmos os cálculos, encontramos a seguinte matriz identidade:
Portanto, o conceito de matriz inversa é muito útil em economia na resolução de equações
simultâneas, na análise de entrada/saída e até na análise de regressão.
Por que é utilizada a expressão matriz de dados para se referir ao conjunto de dados
utilizados na inferência estatística? Isso remete a forma de organização e estruturação
dos dados empíricos. Em econometria, os dados são organizados sob forma de tabelas
e, por isso, utiliza-se a expressão matriz de dados para representar a coleção de dados
que estão sendo usados para a inferência estatística. O pesquisador pode trabalhar com
três tipos de estrutura de dados: cross-section, séries temporais e dados em painel. Nos
três casos, os dados são organizados sob forma de matrizes (TIRYAKI; ANDRADE, 2017,
p. 8).
Para determinar os resultados setoriais em estática e dinâmica, a análise de entrada-saída, a
aplicação da matriz inversa é muito importante. Nessa perspectiva, pudemos compreender que a
inversão de matriz é possível se, e somente se, duas condições forem satisfeitas. Em primeiro lugar,
a matriz cuja inversa é necessária é uma matriz quadrada, caso contrário não podemos formar o
determinante da matriz. Em segundo lugar, o determinante da matriz não deve ser zero, o que
implica que a matriz cuja inversa é necessária deve ser não singular.
 
praticar
Vamos Praticar
A partir do nosso material de estudos, pudemos entender que a matriz é uma coleção de�nitiva
de objetos dispostos em linhas e colunas. Esses objetos são chamados de elementos da matriz. A
ordem de uma matriz é escrita como linhas numéricas, séries por número de colunas. Por
exemplo, , e assim por diante. Podemos encontrar a matriz
inversa apenas para matrizes quadradas, cujo número de linhas e colunas são iguais como
, etc. Em palavras simples, a matriz inversa é obtida dividindo o adjuvante da matriz
dada pelo determinante da matriz dada.
A partir dos conceitos apresentados, considere a seguinte matriz e calcule a sua inversa:
[ ]4
2
7
6
[ ]0, 6
−0, 2
−0, 7
0, 4
= [ ]4x0, 6 + 7x − 0, 2
2x0, 6 + 6x − 0, 2
4x0, 7 + 7x − 0, 4
2x0, 7 + 6x − 0, 4
= [ ]1
0
0
1
2 × 2, 2 × 3, 3 × 2, 3 × 3, 4 × 4
2 × 2, 3 × 3
[ ]3
8
6
2
No cenário de regressão múltiplo, devido ao número potencialmente grande de preditores, é maise�ciente o uso de matrizes para de�nir o modelo de regressão e as análises subsequentes. Nessa
perspectiva, considere a seguinte regressão múltipla:
Pela abordagem matricial, há:
 
Em que é o vetor variável resposta, e é o vetor de perturbação estocástica, é a matriz de
valores variáveis independentes (com linhas de pontos de dados e colunas de regressores 
incluindo a interceptação) (TIRYAKI; ANDRADE, 2017). A primeira coluna contém apenas 1, para
explicar os coe�cientes do parâmetro intercept .
Assim, podemos colocar a notação matricial em uma regressão, que, por exemplo, é dada por:
Representada em forma de matriz, �ca:
e, se realmente deixarmos , vemos que obtemos n equações:
Representação Matricial
do Modelo de Regressão
Linear Múltipla
= + + +Yi β0 β1X1i β2X2i ei
Y = ,
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
Y1
Y2
.
.
.
Yn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
X = ,
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
1
1
.
.
.
1
X12
X2i
.
.
.
Xn2
. . .
. . .
.
.
.
. . .
X1k
X2k
.
.
.
Xnk
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
β = ,
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
β1k
β2k
.
.
.
βnk
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
= e
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
e1
e2
.
.
.
en
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Y X
n k Xi
β
= Xβ + eYi
Y = =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
Y1
Y2
.
.
.
Yn
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
+
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
1
1
.
.
.
1
X12
X2i
.
.
.
Xn2
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
β1k
β2k
.
.
.
βnk
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
e1
e2
.
.
.
en
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
i = 1, … . ,n
                  
                  
                  
Assim, essa declaração signi�ca que é uma matriz ; é um vetor de coluna ; é um
vetor de coluna; é um vetor coluna . A matriz e o vetor são multiplicados juntos,
empregando técnicas de multiplicação matricial. O vetor é adicionado ao vetor usando as
técnicas de adição matricial.
#PraCegoVer: o infográ�co interativo, intitulado “Natureza da variável Y”, possui o subtítulo “Em geral,
presume-se que  é uma variável aleatória, que pode ser medida em quatro escalas diferentes” e quatro
botões interativos alinhados verticalmente à esquerda. À direita, há a ilustração de um quadro negro, onde
está escrito “Matemática”, e há também alguns cálculos e grá�cos, além de um aluno resolvendo um
cálculo, e o professor ao lado apontando para o quadro. O primeiro botão interativo, intitulado “Escala de
razão”, ao ser clicado, apresenta o texto “uma variável de escala de razão apresenta três propriedades: (1)
razão de duas variáveis; (2) distância entre duas variáveis e (3) ordenação de variáveis. Em uma escala de
razão, se, digamos, levar dois valores de  e a distância ( ) são quantidades signi�cativas,
assim como compradores ou ordenações, como ou . A maioria das variáveis
econômicas pertence a essa categoria. Desse modo, podemos falar em termos de o PIB ser ou não maior
este ano do que no ano passado, ou de a razão entre o PIB deste ano com o PIB do ano passado ser maior
ou menor que um”. O segundo botão interativo, intitulado “Escala de intervalo”, ao ser clicado, apresenta o
texto “as variáveis de escala de intervalo não satisfazem a primeira propriedade das variáveis de escala de
= + +Y1 β0 β1X1 e1
= + +Y2 β0 β1X2 e2
.
.
.
= + +Yn β0 β1Xn en
X nx2 Y nx1 β
2x1 e nx1 X β
Xβ
Em geral, presume-se que Y  é uma variável
aleatória, que pode ser medida em quatro
escalas diferentes:
Escala de razão
Escala de intervalo
Escala ordinal
Escala nominal
Natureza da variável Y
Fonte: lemonos / 123RF.
Y
Y
Y1
Y2
−Y2 Y1
≤Y2 Y1 ≥Y2 Y1
razão. A distância entre dois períodos, por exemplo, 2007 e 2000 (2007-2000), é signi�cativa, mas não a
razão 2007/2000”. O terceiro botão interativo, intitulado “Escala ordinal”, ao ser clicado, apresenta o texto
“as variáveis dessa escala satisfazem a propriedade de ordenação da escala de razão, mas não as outras
duas propriedades. Por exemplo, sistemas de avaliação, como A, B, C, ou classi�cação de renda, tais como
baixa, média e alta renda, são variáveis de escala ordinal, mas quantidades, tais como a nota A dividida
pela nota B, não são signi�cativas”. O quarto botão interativo, intitulado “Escala nominal”, ao ser clicado,
apresenta o texto “as variáveis desta categoria não representam qualquer uma das características das
variáveis de escala de razão. Variáveis como sexo, estado civil e religião são variáveis de escala nominal.
Essas variáveis, muitas vezes, são chamadas de variáveis binárias, ou variáveis categóricas. Elas,
frequentemente, são quanti�cadas como 1 ou 0, sendo que 1 indica a presença de um atributo, e 0 indica a
sua ausência. Desse modo, podemos quanti�car o sexo como masculino = 1 e feminino = 0, ou vice-versa
(GUARAJATI, 2019)”.
Agora que entendemos como uma regressão funciona a partir de matrizes, vamos entender como
resolver equações matriciais do modelo. Para isso, precisamos calcular os valores dos coe�cientes
do modelo de regressão representados pelo parâmetro do intercepto . Assim, para encontrarmos o
vetor   que minimiza a soma dos quadrados dos erros, utilizamos a seguinte equação matricial:
Assim, o   envolve a transposição, multiplicação e inversão de matrizes. Diante disso, vamos
entender como isso funciona na prática. Considere os seguintes dados:
A partir dos dados, podemos entender que esse é um  modelo de regressão múltipla:
 , uma vez, que temos e .  Vejamos como empregar os
dados.
1) Primeiro, vamos inserir os dados em uma notação matricial para encontrarmos os
 da regressão, para isso inserimos o número 1 que vai representar o
intercepto, vejamos:
2) Na sequência, realizamos a matriz transposta de , que vai �car igual a:
β
β̂
  =   Yβ̂ ( X)X ′ −1
X ′
β̂
- 4
5
4
11
0
1
2
3
3
1
2
0
Yi X1j X2J
= + + +Yi β0 β1X1i β2X2i ei X1j X2j
  =   Yβ̂ ( X)X ′ −1
X ′
⎡
⎣
⎢⎢⎢
1
1
1
1
0
1
2
3
3
1
2
0
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Matriz X
X
3) Ao multiplicar a matriz   com a ,  encontramos o seguinte resultado:
4) Agora vamos multiplicar a matriz pelo :
X =
Por �m, agora que temos a Matriz e a , vamos calcular a matriz inversa de e
multiplicar por para encontrar os resultados da regressão múltipla, considerando a seguinte
fórmula :
X =
Agora que temos os estimados, pode-se montar a regressão múltipla. A partir da divisão dos
números fracionários, há:
      
Assim, podemos perceber que o intercepto é , o foi de e o . Diante disso, se
olharmos somente para os interceptos, a análise seria:  se e forem zero é equivalente a
5,5. Além disso, uma variação de uma unidade na variável independente e/ou corresponde a
uma variação de e na variável dependente de forma respectiva.
⎡
⎣
⎢
1
0
3
1
1
1
1
2
2
1
3
0
⎤
⎦
⎥
Matriz X ′
X ′ X
⎡
⎣
⎢
4
6
6
6
14
5
6
5
14
⎤
⎦
⎥
Matriz  xX ′
X ′ Y
⎡
⎣
⎢
1
0
3
1
1
1
1
2
2
1
3
0
⎤
⎦
⎥
Matriz X ′
⎡
⎣
⎢⎢⎢
−4
5
4
11
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Matriz Y
⎡
⎣
⎢
16
46
1
⎤
⎦
⎥
Matriz  YX ′
X ′ X X ′ Y X ′ X
YX ′
  =   Yβ̂ ( X)X
′ −1
X ′
=β̂
⎡
⎣
⎢⎢
171
36
− 54
36
− 54
36
− 54
36
20
36
16
36
− 54
36
20
36
20
36
⎤
⎦
⎥⎥
Matriz (X'X)−1
⎡
⎣
⎢
16
46
1
⎤
⎦
⎥
Matriz  YX ′
⎡
⎣
⎢⎢
11
2
19
3
3
⎤
⎦
⎥⎥
Matriz β̂
β̂
= + + +Y1 β0 β1X1 β2X2 e1
= 5, 5 + 2, 11 − 3   +Y X1 X2 e1
β0 5, 5 β1 2, 11  − 3β2
X1 X2 Y
X1 X2
2, 11 −3 Y
S A I B A M A I S
O que é regressão linear e como aplicar na prática
Quando pensamos em desenvolver a nossa primeira regressão no excel, nada melhor do que entender
como funciona o passo a passo de forma prática, não é mesmo? Diante disso, veremos que é necessário
inserir uma ferramenta chamada Análise de Dados e depois inserir a regressão, a partir das variáveis x e y,
bem como o intervalo de con�ança. Tudo isso faz parte de uma aplicação prática dos conceitos de uma
análise de regressão.
Portanto, a regressão linear é um procedimento estatístico para o cálculo do valor de uma variável
dependente de uma ou mais variáveis independentes. A regressão linear mede a associação entre
duas variáveis. É uma técnica de modelagem em que uma variável dependente é prevista com base
em uma ou mais variáveis independentes. A análise de regressão linearé a mais utilizada de todas
as técnicas estatísticas.
Nessa perspectiva, pudemos entender que o objetivo da análise de regressão é modelar uma
relação entre diferentes variáveis. A forma precisa de qualquer relação subjacente não será
conhecida na prática, mas, por muitos problemas econômicos, é razoável supor uma relação linear
entre as variáveis. É isso que dá origem à ideia do modelo de regressão linear.
praticar
Vamos Praticar
Nós tivemos a oportunidade de compreender que uma análise de regressão é um método para
identi�car as variáveis que têm impacto em outra variável. É usado principalmente em economia,
�nanças, investimentos e outras áreas para determinar a força e o caráter da relação entre uma
variável dependente e uma série de outras variáveis. Assim, a variável que você deseja prever é
referida como a variável dependente. A variável que você está usando para prever o outro valor é
chamada de variável independente.
Considere os seguintes dados, desenvolva uma análise de regressão e analise-a:
Para saber mais, assista ao vídeo a seguir.
Como fazer regressão linear no Excel - YouTube
- 8
10
8
22
0
2
4
6
6
2
4
0
Yi X1j X2J
https://www.youtube.com/watch?v=xlMxzrx5SMo
Material
Complementar
F I L M E
O homem que mudou o jogo
Ano: 2011
Comentário: Baseado em fatos reais, este é um daqueles �lmes raros que
todos devem gostar, sejam eles fãs de esportes ou não. A história é tão
interessante que não poderia ter sido inventada, e o autor original do livro
estava bem representado no roteiro. Assim, ao assistir a esse �lme, você
verá que a partir do desenvolvimento de um programa de estatística
so�sticado, possibilitou que o time �casse entre as equipes principais do
esporte na época.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a seguir.
TRA I LER
L I V R O
Álgebra Linear com Aplicações
Autor: Jeffrey Holt
Editora: Grupo Gen
Capítulo: 3
Ano: 2016
ISBN: 9788521631897
Comentário: Este livro faz uma abordagem completa e abrangente sobre a
adoção de matrizes. Dentro do tema de álgebra matricial, esse material traz,
de forma aprofundada, os aspectos relacionados à transformação linear e a
matriz inversa e, em especial, aspectos práticos do dia a dia de uma
empresa a partir do uso de matrizes. Diante disso, eu convido você a ler o
material, que trará contribuições para um aprofundamento no tema.
Disponível em: Minha Biblioteca.
L I V R O
Estatística Aplicada
Autor: Norean R. Sharpe
Editora: Grupo A
Ano: 2011
ISBN: 9788577808601
Comentário: Apresentando os aspectos relacionados à forma de coleta de
dados e os tipos de variáveis de estudos, Sharpe traz na leitura do livro uma
abordagem sobre como realizar o processo de amostragem, tratando da
população e dos parâmetros, bem como a validade da amostra e de�nição
da população em estudo. Com o objetivo de �xar seu conhecimento, o livro
torna-se importante, pois aborda aspectos básicos sobre a coleta e
preparação dos dados para inserção em um modelo. Espero que, ao ler este
material, você possa coletar dados de forma mais assertiva, desenvolvendo
um modelo de regressão mais robusto. Aproveite!
Disponível em: Minha Biblioteca.
Conclusão
Neste material, você teve a oportunidade de compreender os fundamentos das análises econômicas,
dando bases para que você comece a praticar e utilizar mesmo que de forma introdutória a aplicação da
Econometria. Uma vez que você compreendeu as bases do desenvolvimento de uma regressão, agora,
poderá empregar essa ferramenta para a criação de modelos econométricos.
Nessa perspectiva, vimos a diferença entre a regressão simples e múltipla, e a importância de considerar
as variáveis independentes, de forma reduzir os erros do modelo, o que torna o modelo melhor explicado.
Entendemos, assim, que um modelo de regressão se dá por meio da construção de matrizes, que funciona
como uma forma de solucionar os modelos. Desse modo, compreendemos a importância do
conhecimento sobre matrizes para desenvolver uma análise de regressão, fazendo sentido com relação
aos fundamentos econômicos, matemáticos e estatísticos.
Referências
GUJARATI, D. Econometria básica. 5. ed. Porto
Alegre: Editora Bookman, 2011. (Disponível na
Minha Biblioteca).
GUJARATI, D. Econometria. 1. ed. São Paulo:
Editora Saraiva, 2019.
HOLT, J. Álgebra linear com aplicações. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. (Disponível na Minha Biblioteca).
LAY, D. C.; LAY, S. R.; MCDONALD, J. J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
MAIA, A. G. Econometria: conceitos e aplicações. 1. ed. São Paulo: Saint Paul Publishing, 2017. (Disponível
na Minha Biblioteca).
SHARPE, N, R. et al. Estatística aplicada. 1. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.  (Disponível na Minha
Biblioteca).
TIRYAKI, G. F.; ANDRADE, C. S. M. Econometria na prática. 1. ed. Rio de Janeiro: Alta Books, 2017.
(Disponível na Minha Biblioteca).