GRA1593_Atividade A3 - Cálculo Numérico

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 20𝑥 + 30. 
Pelo método gráfico e utilizando o geogebra para plotar as funções g(x) = x³ e h(x) = 2x² + 20x – 30, funções 
derivadas da função original. Podemos observar a existência de 3 raízes. D1 seria uma raiz negativa entre x= [-5;-4], 
D2 seria uma raiz positiva entre x = [ 1 ; 2 ] e D3 seria uma raiz positiva entre x = [4 ; 5] 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 20𝑥 + 30 g(x) = x³ h(x) = 2x² + 20x - 30 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥 ) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥 𝑓(𝑥 ) |𝑥 − 𝑥 | 
3,15625 -0,03809 0,03125 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥 ) aproximação da raiz. 
 
𝑥 𝑓(𝑥 ) |𝑥 − 𝑥 | 
3,16227766033 1,03875E-09 9,31323E-10 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥 . 
 
Utilizando a HP 50g, temos: √10 = 3,16227766017 
O erro ε = |√10 - 𝑥 | = |3,16227766033 - 3,16227766017| = 0,00000000016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é possível observar no gráfico gerado 
no GeoGebra da f(x) original as previsões 
para as raízes na questão anterior foram 
confirmadas. 
A função f(x) = x³ - 2x² - 20x + 30, possui 3 
raízes, uma negativa em x ≈ -4,291 e duas 
positivas em x ≈ 1.442 e outra em x ≈ 4.849 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) Nº mínimo de 
iterações 𝑥 𝑓(𝑥 ) 
10 3 -2,3549509 -0,001916139 
10 4 -2,3542428 -0,00000018 
10 5 -2,3542427582 0,0000000000 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10 . 
 
 
 
Raiz pelo Método de Newton: (-2.3542427582, 0) 
Raiz pelo GeoGebra: (-2.3542427582437, 0) 
 
Os valores, considerando os erros extremamente pequenos, são iguais! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos (𝑥) e 𝑥 = 0,5. Justificando sua 
resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
A função de iteração F(X) poderá ser: 
(1) F(x) = ∛(cos(𝑥)) ou (2) F(x) = arccos (𝑥 ) 
 
 
 
pois no método da iteração linear deve-se encontrar uma função F(x) que é obtida através do isolamento da 
variável independente, no caso x, em algum dos termos da função original. 
 
Para obter a função F(x) (1), fiz: 
 
 𝑥 − cos(𝑥) = 0 
𝑥 = cos (𝑥) 
F(x) = ∛(cos(𝑥)) 
 
Para obter a função F(x) (2), fiz: 
𝑥 − cos(𝑥) = 0 
𝑥 = cos (𝑥) 
cos(𝑥) = 𝑥 aplicando arccosseno nos dois termos, chega-se: 
arccos (cos(𝑥)) = arccos (𝑥 ) 
F(x) = arccos (𝑥 ) 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos (𝑥), 𝑥 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥 , complete a tabela abaixo: 
 
𝑥 Raiz aproximada 𝑓(𝑥 ) Erro (|𝑥 − 𝑥 |) 
𝑥 0,866753875087 0,00385524 0,005068762 
𝑥 0,865474058649 7,68602E-08 1,00946E-07 
𝑥 0,865474032108 -2,9899E-09 3,92683E-09 
𝑥 0,865474033102 0 9,99201E-16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥 ). 
 
 
 
 
 
Raiz encontrada pelo método da iteração linear utilizando F(x) = ∛(cos(𝑥)) como função iteração em 
X32 = ( 0,865474033102, 0 ) 
 
Raiz encontrada para a f(x) pelo GeoGebra: ( 0,8654740332144 , 0 ) 
 
O erro pode ser desconsiderado de tão ínfimo que é, e neste caso os valores obtidos são iguais. 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987