Slides de Aula - Unidade I

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Prof. Emilio Celso
UNIDADE I
História da Matemática
 A história da matemática não pode ser considerada como estanque, 
sem vinculação pedagógica com disciplinas específicas e muito menos 
como mero atrativo inicial para conteúdos específicos. 
 Ela deve ser considerada, sobretudo, uma forma de orientação aos profissionais 
docentes a respeito da origem de questões ideológicas que perpassam o ensino, 
notadamente, a força da visão eurocêntrica da matemática.
Objetivos da disciplina e sua vinculação 
com o projeto pedagógico e político do curso 
 A divisão da história em épocas é apenas por pretensão didática. A história da 
matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades históricas, 
ou seja, ela não é linear e nem suas descobertas estiveram sempre relacionadas. 
Na verdade, a história da matemática é caótica, muitas vezes completamente 
anônima. 
A pré-história
 O primeiro momento a ser focado é o da Idade da Pedra (a.C. 5000000-3000 a.C.). 
O período designado para essa era é arbitrário, pois não se sabe com certeza 
quando a Idade da Pedra começou.
A pré-história
 Os povos da Idade da Pedra eram nômades e viviam da caça de pequenos 
animais selvagens, das frutas, castanhas e raízes. Habitavam, em geral, porções 
menos inóspitas da África, sul da Europa, sul da Ásia e América Central.
 Nos dois primeiros períodos da Idade da Pedra há poucos registros de avanços 
científicos e intelectuais em decorrência da atividade de caça e colheita de frutos 
destes povos e dificuldade para sobreviver.
A pré-história
 A sociedade era rígida e as comunidades formadas por clãs ou tribos tinham um 
líder ou chefe. Não havia ascensão social e nem rudimentos de política, valendo a 
“lei do mais forte”. Os homens caçavam para obter alimento e as mulheres 
cuidavam dos filhos, da limpeza e preparavam os alimentos. Os agrupamentos 
humanos não eram numerosos, uma vez que a comida era escassa e estragava 
rapidamente. 
 Por isso era necessário que frequentemente se deslocassem, 
o que justifica o caráter nômade das tribos primitivas.
A pré-história
 Mas nesses períodos aconteceu um prelúdio do progresso científico 
em decorrência da comercialização já existente entre as pessoas. Elas 
comercializavam entre si e havia necessidade de anotar a parte de 
cada família na caçada e na colheita. 
 Assim, iniciou-se um rudimentar processo de contagem, para o qual eram 
utilizados desenhos em cavernas e em pedras, ranhuras em ossos e marcas 
em galhos. 
A pré-história
 Porém, mudanças climáticas obrigaram os homens e mulheres a se adaptarem 
a um ambiente progressivamente hostil e seguir os animais em fuga para lugares 
com condições para todas as formas de vida. 
 Quando a produção de alimentos passou a ser superior às necessidades locais, 
começou a surgir o comércio e as grandes civilizações. Emergem, assim, após 
3000 a.C., comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo, 
na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo, 
na China.
A pré-história
 As civilizações que emergiram diferiam amplamente das sociedades de caçadores 
e colhedores. A densidade populacional obrigou esses povos a encontrar outros 
meios de obter alimentos. Iniciou-se, assim, uma agricultura intensiva.
A pré-história
 Essa espécie de “revolução agrícola” criou novas necessidades, como 
o desenvolvimento da engenharia em construções de sistemas de barragens 
e irrigações e também registros das estações das chuvas e das enchentes 
e traçados de mapas que especificavam as valas de irrigação. 
A pré-história
 No interior desses novos agrupamentos, fixados em cidades e sem a necessidade 
de se deslocar atrás de alimento, surgiram pessoas – reis, sacerdotes, mercadores 
e escribas – que tinham tempo para ponderar sobre os mistérios da natureza e da 
ciência. 
 O período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilização 
humana, cuja centelha foi uma revolução agrícola.
A pré-história
 As cidades propiciavam condições para mercados de agricultores e artesãos 
trocarem bens, surgindo, assim, uma classe de mercadores.
 Há a criação da escrita, evolução das antigas figuras rupestres, ainda 
desordenadas. 
Matemática primitiva e escrita
 A invenção dos algarismos é anterior à escrita e estes estiveram relacionados 
com o pensamento místico e religioso do homem no decorrer da história. Assim, 
a lógica não foi o fio condutor da história da matemática. 
Matemática primitiva e escrita
 As pessoas construíram cidades, criaram escritas, utilizaram metais 
e desenvolveram empiricamente a matemática básica da agrimensura, 
da engenharia e do comércio. A ênfase da matemática primitiva ocorreu 
na aritmética e na mensuração prática para assistir atividades ligadas 
à agricultura e à engenharia. 
Matemática primitiva e escrita
 As novas atividades necessitavam de uma forma de cálculo para um calendário 
utilizável, do desenvolvimento de um sistema de pesos e medidas para ser 
empregado na colheita, da criação de métodos de agrimensura para o 
armazenamento e distribuição de alimentos, da construção de canais e 
reservatórios e para dividir a terra e da instituição de práticas financeiras e 
comerciais para o lançamento e arrecadação de taxas para propósitos mercantis. 
Matemática primitiva e escrita
Assinale a alternativa falsa.
a) A matemática primitiva se desenvolveu em função de uma “revolução agrícola”. 
b) Análises dos contextos social, histórico e cultural proporcionam uma ação política 
mais efetiva na esfera da educação.
c) Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas em matemática. 
d) A história da matemática é organizada e linear.
e) A matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades 
históricas.
Interatividade
Assinale a alternativa falsa.
a) A matemática primitiva se desenvolveu em função de uma “revolução agrícola”. 
b) Análises dos contextos social, histórico e cultural proporcionam uma ação política 
mais efetiva na esfera da educação.
c) Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas em matemática. 
d) A história da matemática é organizada e linear.
e) A matemática se desenvolveu de acordo com condições e necessidades 
históricas.
Resposta
 O Egito localiza-se no nordeste da África, na região do deserto do Saara. A vida 
no Egito sempre dependeu e teve estreita relação com o rio Nilo, que provia a 
população de água e dos peixes para sua sobrevivência, além de viabilizar 
em suas margens a agricultura e o cultivo do papiro para a escrita. 
Matemática no Antigo Egito
 O rio Nilo também possibilitava o transporte e a comunicação entre as diversas 
regiões situadas de Norte a Sul e, por ter águas caudalosas, facilitava a 
construção de canais de irrigação e diques. No entanto, os fatos de o rio ter 
um comportamento bastante regular e do país ser geograficamente protegido 
de invasões estrangeiras permitiram um alto grau de estagnação 
no desenvolvimento das ciências. 
Matemática no Antigo Egito
 O desenvolvimento da ciência e da matemática no Antigo Egito teve estreita 
relação com suas necessidades práticas. Os estudos de astronomia e agrimensura 
surgiram pela premência que os egípcios tinham em saber quando ocorreriam 
enchentes no Nilo e quais seriam suas extensões.
Matemática no Antigo Egito
 Por volta de 4000 a.C. foram desenvolvidas, no Egito, duas formas de escrita: uma 
mais simples, denominada demótica, e uma forma mais complexa, a hieroglífica, 
composta de símbolos e figuras. 
Matemática no Antigo Egito
 A numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrada a partir da descoberta, 
em 1799, pela expedição de Napoleão, da Pedra de Rosetta (antigo porto de 
Alexandria). Ela continha uma mensagem em três línguas: demótica, hieroglífica 
e grego. Pelo menos tão antigo quanto as pirâmides, o sistema, datando de cerca 
de 5000 anos atrás,baseava-se na escala de dez. 
Matemática no Antigo Egito
 Neste slide apresentamos uma 
imagem da Pedra de Rosetta.
Matemática no Antigo Egito
Fonte: 
http://commons.wikimedia
.org/wiki/File:
Rosetta_ Stone._(1874)_-
_TIMEA.jpg, 
28 de março de 2011.
 O sistema egípcio era o decimal, ou seja, cada dez símbolos eram trocados por 
um símbolo de ordem superior, mas não era posicional: cada símbolo não tinha um 
valor relativo, ou seja, um valor que dependia da sua posição dentro do número. 
Não havia um símbolo para o zero.
Matemática no Antigo Egito
Hieróglifos
 Símbolos do sistema de numeração egípcio e representação do número 1342:
Fonte: BERNARDES, Marisa Resende. História da Matemática. São Paulo: Sol, p. 22.
 Os conhecimentos e registros históricos sobre a civilização egípcia provêm 
principalmente de alguns papiros encontrados a partir do século XIX. Os papiros 
mais importantes são o de Rhind, o de Moscou e o de Berlim.
Matemática no Antigo Egito
 Neste slide apresentamos uma imagem do 
Papiro de Rhind, que se encontra no
Museu Britânico. 
Matemática no Antigo Egito
Fonte: http://www.fisica-
interessante.com/image-files/egito-
rhind1.jpg
Acesso em 11 de novembro de 2018 
 O Egito sempre se manteve em um semi-isolamento. Como já foi comentado, a 
natureza tranquila do rio Nilo fez com que o desenvolvimento do conhecimento 
matemático não tenha sido tão importante quanto aquele alcançado na Babilônia –
o que será comentado no próximo bloco. 
Matemática no Antigo Egito
Assinale a alternativa falsa.
a) Na cultura egípcia, a escrita hierática foi usada pelos sacerdotes.
b) Na cultura egípcia, a escrita demótica era uma forma simplificada de escrita. 
c) O sistema de numeração dos egípcios baseava-se em dez números-chave: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
d) A natureza tranquila do rio Nilo fez com que as ciências não tivessem muito 
desenvolvimento no Egito antigo.
e) Os registros egípcios eram feitos em papiros.
Interatividade
Assinale a alternativa falsa.
a) Na cultura egípcia, a escrita hierática foi usada pelos sacerdotes.
b) Na cultura egípcia, a escrita demótica era uma forma simplificada de escrita. 
c) O sistema de numeração dos egípcios baseava-se em dez números-chave: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
d) A natureza tranquila do rio Nilo fez com que as ciências não tivessem muito 
desenvolvimento no Egito antigo.
e) Os registros egípcios eram feitos em papiros.
Resposta
 A Mesopotâmia localizava-se no Oriente Médio, na região situada no vale 
dos rios Eufrates e Tigre, onde hoje se localizam o Iraque e a Síria. A palavra 
Mesopotâmia, em grego, significa “entre rios”. A região foi habitada inicialmente 
pelos sumérios que, por volta do ano 4000 a.C., desenvolveram o sistema de 
escrita provavelmente mais antigo da história humana. 
Matemática na Mesopotâmia
 Como os babilônios utilizavam tabletes de argila, mais resistentes do que 
os papiros, há abundância de materiais relativos à Mesopotâmia. No entanto, 
eles provêm estranhamente de dois períodos muito distantes no tempo. 
Matemática na Mesopotâmia
 Contudo, de forma diversa do que se passava com as águas do rio Nilo, os 
períodos de cheia dos rios Tigre e Eufrates eram bastante irregulares, obrigando 
a realização de numerosas obras de irrigação e drenagem. Desse modo, 
desenvolveu-se a engenharia e a navegação para o transporte de mercadorias. 
Matemática na Mesopotâmia
 Os babilônios usavam um sistema numérico sexagesimal, isto é, com base no 
número 60. Eles conheciam os resultados das multiplicações e divisões, raízes 
quadradas e cúbicas, equações, o processo de fatoração e usavam palavras 
como incógnitas num sentido abstrato. 
Matemática na Mesopotâmia
 Nos tabletes da Mesopotâmia encontrou-se o sistema de numeração sexagesimal 
e as tábuas trigonométricas e, na geometria, o estudo do tronco de cone e do 
tronco de pirâmide quadrangular regular; o perímetro da circunferência; 
o teorema de Pitágoras e as ternas pitagóricas.
Matemática na Mesopotâmia
 O sistema de numeração usado variava entre o posicional, o decimal 
e o sexagesimal e a base 60 era apropriada principalmente para o cálculo 
com frações, por conta dos divisores naturais de 60: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
 Especula-se que o sistema sexagesimal teve origem provavelmente 
na astronomia, especificamente na contagem do tempo, isto é, na divisão 
do tempo em horas, minutos e segundos. O sistema seria originário da junção 
de dois sistemas mais antigos: o decimal e outro de base seis.
Matemática na Mesopotâmia
 Os povos da Mesopotâmia escreviam em tabletes de argila cozida em fornos ou 
ao sol e, para gravar os caracteres, usavam estiletes. Eles desenvolveram uma 
escrita que ficou conhecida como cuneiforme, pois as marcas feitas na argila 
pareciam pequenas cunhas. 
 No próximo slide a figura retrata numerais babilônicos.
Matemática na Mesopotâmia
Matemática na Mesopotâmia
Fonte: 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/
matematica/sistema-numeracao-
babilonico.htm acesso em 10/11/2018
 Os babilônios desenvolveram a melhor notação para frações conhecida até 
a Renascença. A precisão de seus resultados diferia muito pouco daqueles 
possibilitados pelo processo atual. Além disso, os matemáticos babilônios 
não foram hábeis apenas com sistemas de numeração, mas também no 
desenvolvimento de processos algoritmos, entre os quais um para extrair 
a raiz quadrada. As operações aritméticas fundamentais eram tratadas 
de forma semelhante à atual e com facilidade comparável. 
Matemática na Mesopotâmia
 Existem tabelas babilônicas que contêm potências sucessivas de um dado 
número, semelhante às atuais tabelas de logaritmos ou, mais propriamente, 
de antilogaritmos. 
 Apesar de existirem lacunas em suas tabelas exponenciais, os babilônios 
utilizavam a interpolação por partes proporcionais para a obtenção 
de valores intermediários aproximados. 
Matemática na Mesopotâmia
 Em torno de 2000 a.C., a aritmética babilônica já havia evoluído para uma álgebra 
retórica bem desenvolvida. 
 Eles não só resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao 
de substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, 
mas também discutiam algumas equações cúbicas e algumas equações 
biquadradas. 
Matemática na Mesopotâmia
 Do ponto de vista matemático, um dos mais importantes documentos que 
chegaram até nós é o tablete designado por Plimpton 322. Ele foi escrito no 
período babilônico antigo (aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.). A tábula 
encontra-se parcialmente danificada, mas o esquema de construção é claramente 
discernível. 
 O que foi registrado nela constitui profundo significado matemático na teoria 
dos números. Sabe-se que, entre outras, a tábula traz a relação entre 
os três lados de um triângulo.
Matemática na Mesopotâmia
 No próximo slide a figura retrata o tablete designado por Plimpton 322 . Sua 
designação se deve ao fato de pertencer à coleção de G. A. Plimpton, da 
Universidade da Colúmbia, e à sua catalogação sob o número 322.
Matemática na Mesopotâmia
Fonte: 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/
Plimpton_322.jpg>, 11 de novembro de 2018
Assinale a alternativa falsa. 
Em relação aos povos da Mesopotâmia, é possível afirmar que: 
a) Um dos mais importantes documentos é o tablete designado por Plimpton 322. 
b) Em torno de 2000 a.C., a álgebra retórica era bem desenvolvida.
c) O sistema de numeração usado variava entre o posicional, o decimal, 
o sexagesimal e a base 60.
d) Sua escrita ficou conhecida como cuneiforme.
e) Os documentos eram escritos em papiros.
Interatividade
Assinale a alternativa falsa. 
Em relação aos povos da Mesopotâmia, é possível afirmar que: 
a) Um dos mais importantes documentos é o tablete designado por Plimpton 322. 
b) Em torno de 2000 a.C., a álgebra retórica era bem desenvolvida.c) O sistema de numeração usado variava entre o posicional, o decimal, 
o sexagesimal e a base 60.
d) Sua escrita ficou conhecida como cuneiforme.
e) Os documentos eram escritos em papiros.
Resposta
 Nas “pólis” os mercadores eram independentes, mas sabiam que tinham de lutar 
por este estado de coisas constantemente. Não havia lugar para uma visão 
estática de vida. Adicionalmente, a religião era politeísta – os deuses possuíam 
características humanas – e a mitologia era muito importante para os gregos, já 
que os mitos e as lendas eram usados para transmitir ensinamentos. 
Matemática na Grécia Antiga 
 A matemática grega começou a se desenvolver na Jônia, localizada na Ásia 
Menor, e tomou impulso a partir dos conhecimentos e descobertas dos egípcios e 
dos babilônios, com os quais os gregos tiveram contato por meio de viagens. Mas 
a grande diferença estabelecida pelos gregos e esses povos foi o início da 
tentativa de se explicar os fenômenos da natureza de forma científica, sem 
recorrer a mitos e à religião. 
Matemática na Grécia Antiga 
 A utilização do raciocínio dedutivo em matemática – que se deve a Tales de Mileto 
(640?-564?) e Pitágoras (586?-500 a.C.) – deu origem à criação de uma 
matemática organizada, diferente daquela de caráter prático desenvolvida no Egito 
e na Mesopotâmia. A lógica foi sistematizada por Aristóteles e Hipócrates de Quios 
(a quem se deve o famoso juramento médico hipocrático).
Matemática na Grécia Antiga 
 A Escola Pitagórica, além de ser centro de estudo de filosofia, matemática e 
ciências naturais, era também uma irmandade estreitamente unida por ritos 
secretos e cerimônias. Num certo sentido, foi a primeira universidade 
do mundo ocidental. 
 Os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e as descobertas eram 
atribuídas ao fundador. Portanto, não se sabe ao certo o que de fato se pode 
atribuir ao próprio Pitágoras em relação ao conhecimento produzido.
Escola Pitagórica
 Apesar do misticismo e religiosidade, os pitagóricos eram grandes matemáticos. 
 É possível que Pitágoras tenha conhecido na Mesopotâmia as três médias: a 
aritmética, a geométrica e a subcontrária (posteriormente denominada harmônica) 
e, ainda, a proporção áurea, que relaciona duas delas: “o primeiro de dois números 
está para a sua média aritmética como a média harmônica está para o segundo”. 
Escola Pitagórica
 A proporção áurea é de grande utilidade em estudos arquitetônicos e artísticos. 
Alguns conceitos derivados dela foram utilizados como parâmetros para 
determinado padrão estético.
 Alguns exemplos muito conhecidos da aplicação da proporção áurea à concepção 
de beleza humana são as obras Homem Vitruviano e Mona Lisa, ambas de 
Leonardo da Vinci. 
Escola Pitagórica
 Credita-se à Escola Pitagórica a demonstração de um dos mais famosos teoremas 
da matemática, que ficou conhecido como O Teorema de Pitágoras, que 
demonstra que “num triângulo retângulo, o quadrado sobre a hipotenusa é igual 
à soma dos quadrados sobre os catetos”. Esse teorema já era conhecido pelos 
babilônios há mais de um século, mas sua primeira demonstração geral pode ter 
sido dada por Pitágoras. 
Escola Pitagórica
 Por volta de 306 a.C., o Egito tinha Alexandria como sua capital. 
 Euclides de Alexandria foi autor da obra “Os Elementos”, da qual apenas a metade 
chegou até os nossos dias. Nessa obra, ele sistematizou conhecimentos 
acumulados por seu povo nos séculos anteriores, além de diversos teoremas 
que ele mesmo demonstrou. 
Os Elementos, de Euclides 
 Provavelmente, nenhuma obra exerceu influência maior no pensamento científico 
do que o livro “Os Elementos”, de Euclides. Ela foi copiada inúmeras vezes, de 
forma que erros e variações acabaram sendo incorporados a ela. Suas edições 
modernas se baseiam numa revisão feita por Teon de Alexandria, no século IV d.C.
 A primeira tradução de “Os Elementos” foi em árabe.
Os Elementos, de Euclides 
 Durante a segunda metade do quinto século a.C., uma série de matemáticos 
esteve envolvida com problemas que constituíram a base dos desenvolvimentos 
posteriores em geometria. Daí esta era ser denominada de Idade Heroica da 
matemática.
 Foi por intermédio de Platão e Aristóteles que se soube o que ocorreu na Idade 
Heroica grega.
A Idade Heroica
 A importância de Platão está menos em descobertas matemáticas e mais em sua 
convicção de que o estudo da matemática fornecia o mais refinado treinamento 
do espírito. 
 Eudoxo de Cnido foi discípulo de Platão. Suas maiores contribuições na 
matemática são: a teoria das proporções e o método de exaustão. Até o 
aparecimento de Eudoxo não havia uma definição para os números irracionais. 
A Idade Heroica
Assinale a alternativa falsa.
a) Os pitagóricos descobriram os números irracionais.
b) Para os pitagóricos o estudo teórico dos números era denominado “logística”.
c) Povo heleno é denominação dada aos cidadãos da Grécia antiga.
d) O número de ouro é também chamado de razão áurea, seção áurea ou segmento 
áureo.
e) Provavelmente nenhuma obra exerceu influência maior no pensamento científico 
do que o livro “Os Elementos”, de Euclides. 
Interatividade
Assinale a alternativa falsa.
a) Os pitagóricos descobriram os números irracionais.
b) Para os pitagóricos o estudo teórico dos números era denominado “logística”.
c) Povo heleno é denominação dada aos cidadãos da Grécia antiga.
d) O número de ouro é também chamado de razão áurea, seção áurea ou segmento 
áureo.
e) Provavelmente nenhuma obra exerceu influência maior no pensamento científico 
do que o livro “Os Elementos”, de Euclides. 
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!