Historia da matemática

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HERMES ANTONIO PEDROSO 
Setembro/2009 
 
 
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PrefácioPrefácioPrefácioPrefácio 
 
 
Este livro originou-se como notas de aula da disciplina História 
da Matemática, de 60 horas/aula, ministrada nos cursos de 
Licenciatura e Bacharelado em Matemática do IBILCE – UNESP de 
São José de Rio Preto, desde 1991. Na época de sua publicação, em 
forma de apostila em 1992, só existiam dois textos em português, 
traduções de obras famosas, escritos originalmente em inglês. 
Essas obras, clássicas, ainda hoje são incluídas em qualquer 
bibliografia sobre o assunto, mas nunca se adequaram como guia 
didático para sala de aula. São muito detalhadas para uma disciplina 
semestral, e de difícil acesso para a maior parte dos estudantes. Isso 
me motivou a elaborar um texto que preservasse o essencial das 
referidas obras, mas pensando nos tópicos que mais contribuiriam 
para o futuro professor ou mesmo futuro pesquisador. 
Atualmente temos outros bons livros, traduções ou mesmo de 
autores brasileiros, mas que também não se adéquam às prioridades 
dos referidos cursos, devido à grande quantidade de informações a 
serem assimiladas em tão pouco tempo. 
A apostila foi indicada e bem aceita pelos alunos de graduação, 
inclusive de outras instituições de nível superior, e por professores 
da rede oficial de ensino, quando ministrei Tópicos de História da 
Matemática em projetos como Teia do Saber e até mesmo em curso 
de pós-graduação Lato Sensu, em que tive oportunidade de orientar 
algumas monografias com temas que utilizavam história da 
matemática. 
Após todos esses anos, somente agora foi possível fazer uma 
revisão e complementar com novas informações importantes, 
provenientes de pesquisas realizadas através de vários projetos 
desenvolvidos durante esse período na universidade. 
Quanto à estrutura do texto, não há muita uniformidade. Alguns 
assuntos são mais desenvolvidos que outros, tendo em vista a 
importância que considero na formação dos graduandos, que 
poderão utilizar a história da matemática como recurso didático no 
ensino fundamental e médio. 
 
 
 
 
2
 
 Apresento ao final de cada sessão, uma lista de exercícios que 
servirão como revisão, despertando oportunidade de debates e 
apresentação de trabalhos em forma de seminários. 
 
 
O autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIO 
 
Introdução ......................................................................... 07 
Por que História da Matemática? ................................ 08 
Origens Primitivas ........................................................... 13 
Egito .................................................................................... 15 
A matemática egípcia ........................................................... 18 
Mesopotâmia .................................................................... 37 
A matemática mesopotâmia .................................................. 39 
Grécia .................................................................................. 47 
Homero ................................................................................. 48 
Hesíodo ................................................................................. 50 
A matemática grega .............................................................. 51 
O racionalismo jônico e os pitagóricos .................... 59 
Tales ..................................................................................... 59 
Anaximandro, Anaxímenes ................................................. 62 
Pitágoras ............................................................................... 63 
Parmênides, Zenon ............................................................... 70 
Melisso, Heráclito ................................................................. 73 
Demócrito ............................................................................. 75 
Os ideais platônicos e a lógica aristotélica ............. 77 
Anaxágoras ........................................................................... 78 
Hipócrates ............................................................................. 79 
Hípias .................................................................................... 81 
Sócrates ................................................................................ 82 
Platão .................................................................................... 83 
Arquitas, Teaetecto, Menaecmo .......................................... 90 
Dinóstrato ............................................................................. 91 
Eudoxo .................................................................................. 92 
Aristóteles ............................................................................. 94 
Epicuro ................................................................................. 98 
 
 
 
 
 
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A ciência helenística ....................................................... 103 
Euclides ............................................................................... 104 
Aristarco .............................................................................. 118 
Arquimedes .......................................................................... 119 
Arquimedes e Euclides ........................................................ 134 
Eratóstenes ........................................................................... 134 
Apolônio .............................................................................. 136 
Hiparco ................................................................................ 140 
 
Período Greco,romano ................................................. 145 
Roma .................................................................................... 145 
Lucrécio, Ptolomeu .............................................................. 149 
Heron ................................................................................... 154 
Diofanto .............................................................................. 157 
Papus ................................................................................... 159 
Hipatia, Proclo, Boécio ........................................................ 163 
 
Europa na Idade Média, China, Índia e Arábia ..... 167 
Alcuim ................................................................................. 171 
Gerbert ................................................................................. 172 
China .................................................................................... 172 
Índia ..................................................................................... 178 
Aryabhata ............................................................................. 179 
Brahmagupta ........................................................................ 180 
Bhaskara ............................................................................. 183 
Arábia .................................................................................. 185 
Al-Khowarizmi .................................................................... 187 
Abu’l-wefa, Omar Khayyam .............................................. 189 
Al-Tusi, Al-Kashi ................................................................ 191 
Aurora do Renascimento .............................................. 195 
Fibonacci ............................................................................. 196 
Nemorarius, Sacrobosco, Bacon .......................................... 198 
Bacon ................................................................................... 199 
Dante, Oresme ..................................................................... 200 
Oresme ................................................................................. 201 
 
 
 
 
 
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O Renascimento ............................................................... 209 
Nicolaude Cusa .................................................................... 211 
Peurbach, Regiomontanus .................................................... 212 
Copérnico ............................................................................. 214 
Giordano Bruno .................................................................... 218 
Tycho Brahe ......................................................................... 220 
Kepler ................................................................................... 223 
Galileu .................................................................................. 226 
Pacioli ................................................................................... 230 
Leonardo da Vinci ................................................................ 232 
Rafael .................................................................................... 233 
Stifel ..................................................................................... 234 
Recorde ................................................................................. 235 
Tartaglia, Cardano ................................................................ 236 
Cardano................................................................................. 237 
Bombelli ............................................................................... 240 
Viète ..................................................................................... 241 
Mercator ............................................................................... 244 
Napier ................................................................................... 245 
Briggs ................................................................................... 246 
Stevin .................................................................................... 248 
Inícios da matemática moderna ................................. 251 
Descartes ............................................................................... 252 
Cavalieri ............................................................................... 257 
Fermat ................................................................................... 260 
Pascal .................................................................................... 264 
Wallis .................................................................................... 267 
Barrow .................................................................................. 269 
Newton ................................................................................. 270 
Leibniz .................................................................................. 277 
O século das luzes .......................................................... 283 
Euler ..................................................................................... 286 
D’Alembert ........................................................................... 289 
Lagrange ............................................................................... 290 
Laplace ................................................................................. 292 
 
 
 
 
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A matemática se estruturou ........................................ 297 
Gauss ................................................................................... 299 
Riemann ............................................................................... 304 
Bolzano ................................................................................ 305 
Cauchy ................................................................................. 307 
Weierstrass ........................................................................... 310 
Os problemas de Hilbert ...................................................... 311 
 
A matemática propiciou maravilhas ......................... 317 
Einstein ................................................................................ 320 
 
Referências bilbliográficas........................................... 327 
 
Sobre o autor ................................................................... 332 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
 
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO 
 
 
 Por que história?Por que história?Por que história?Por que história? 
 
O objetivo da história não é apenas o de narrar e constatar fatos 
do passado, mas buscar as suas origens e as suas conseqüências. 
Quando nos propomos estudar a história de um país ou de um 
povo, ou simplesmente um determinado episódio histórico, não nos 
deve mover somente um interesse anedótico ou mera curiosidade. 
Também não se pode resumi-la a uma exaltação de heróis para 
incentivo da juventude, ou mera recordação de nossas glórias 
passadas. 
O que queremos da história é muito mais do que isso. Ela não se 
pode limitar a uma simples enumeração cronológica dos fatos, mas 
deve buscar as relações entre eles, aprofundar, descer às suas raízes, 
até encontrar as causas desses fatos, numa espécie de anamnese 
social, assim como o médico que, ao examinar um doente, para 
maior firmeza do diagnóstico, desce a todos os seus antecedentes 
pessoais e familiares. 
Encarada a história como ciência, com suas características de 
método e relação com a realidade, um mundo novo surge aos nossos 
olhos, por trás de cada fato ou acontecimento. Desse modo ela nos 
permite não só explicar o presente, e compreender o passado, mas 
também prever o futuro, ou pelo menos, antever as perspectivas do 
desenvolvimento de cada fato estudado, na medida do nosso 
conhecimento das causas e das leis que as governam. 
A história não se desenvolve como força espiritual absoluta 
independente da existência dos homens, como queria Hegel. Ela 
nasce, ao contrário, da atividade do homem sobre a Terra e é 
condicionada e delimitada por leis objetivas, independentes da 
vontade humana. Karl Marx (1818 – 1883) enfatizava em A 
Ideologia Alemã que a história é a mais alta, a mais nobre e a mais 
importante das ciências. 
Assim sendo, se é verdade que os homens fazem a história 
condicionados por leis indestrutíveis, não é menos verdade que, 
 
 
 
 
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conhecendo as leis que a regem, eles podem traçar, dentro de dados 
limites, o seu próprio destino. E se o objetivo do homem sobre a 
Terra é buscar a felicidade, dentro de uma comunidade harmônica, 
só o estudo da história, e o conhecimento das leis que regem o 
desenvolvimento das sociedades, poderão ajudá-lo. 
É possível que o mesmo aconteça com a Matemática ou com a 
Ciência em geral. Torna-se difícil, senão impossível, compreender o 
seu estágio atual sem o estudo concomitante da história das idéias 
científicas. Talvez por isso é que Göethe (1749-1832) afirmava que 
a história da Ciência é a própria Ciência. Sem o conhecimento da 
evolução das idéias, do choque das hipóteses e das teorias, podemos 
criar bons técnicos, mas não cientistas verdadeiros. Muito maior 
interesse educativo apresenta o conhecimento da maneira pela qual o 
cientista trabalha, das suas fontes de inspiração, da árvore 
filogenética de seus pensamentos, do que a pura e simples massa de 
fatos por ele descobertos. O estudo da História da Ciência poderá ser 
o guia da luta do homem contra o mistério. 
 
Por que História da Matemática?Por que História da Matemática?Por que História da Matemática?Por que História da Matemática? 
 
Por vários motivos, mas o principal seria dar subsídios para o 
futuro professor no tratamento de um programa no ensino 
fundamental e médio ou na universidade. 
Pode-se destacar alguns exemplos de dificuldades encontradas 
pelo homem, no desenvolvimento da matemática, que serão motivos 
de reflexão para o futuro educador. 
 
• Os números negativos, introduzidos pelos hindus de espírito 
prático, por volta de 600 d.c. não tiveram aceitação durante um 
milênio. A razão: faltava-lhes apoio intuitivo. Alguns dos maiores 
matemáticos tais como Cardano, Viète, Descartes e Fermat, 
recusaram-se a operar com números negativos.Assim é razoável 
que para ensinar números negativos devemos ter cuidado. Para o 
aluno das séries iniciais o conceito e as operações podem não ser tão 
naturais. 
 
• O uso de uma letra para representar um número fixo, porém 
desconhecido, data dos tempos gregos. Contudo, o uso de uma letra 
 
 
 
9
 
ou letras para representar toda uma classe de números só foi 
concebido em fins do século XVI. Nesse tempo François Viète 
introduziu expressões como ax + b em que a e b podem ser qualquer 
número (real positivo). Hoje está claro que ao resolver a equação 
quadrática ax² + bx + c = 0, pode-se solucionar todas as equações 
quadráticas porque a, b e c representam quaisquer números. 
Durante todos os séculos em que os babilônicos, egípcios, gregos, 
hindus e árabes operaram com álgebra não ocorrera a idéia de 
empregar as letras para uma classe de números. Aqueles povos 
faziam suas operações de álgebra empregando expressões concretas 
tais como 3x² + 5x + 6 = 0, ou seja, usavam sempre coeficientes 
numéricos e, na verdade, a maioria não usava sequer um símbolo tal 
como x para a incógnita. Usavam palavras. 
Por que demorou tanto tempo para o uso de letras para coeficientes 
gerais? Ao que parece, a resposta é que esse processo constitui um 
nível superior de abstração em matemática, um nível bastante 
afastado da intuição. 
 
• A teoria de limites com épsilons e deltas é do final do século XIX 
e com ela colocou-se um ponto final nas controvérsias sobre a 
questão do rigor no cálculo. No entanto o cálculo existe desde a 
Grécia antiga com Eudoxo e Arquimedes. O que acontece hoje? 
Apresentamos a teoria de limites aos alunos como algo muito 
“natural”. “Natural” mas incoerente com o desenvolvimento 
histórico do Cálculo. 
 
Parece claro que os conceitos que têm o sentido mais intuitivo, 
como os geométricos, os de números inteiros positivos e os de 
frações foram aceitos e utilizados primeiramente. Os menos 
intuitivos tais como os de números irracionais, números negativos, o 
uso de letras para coeficientes gerais e os do cálculo exigiram 
muitos séculos, quer para serem criados, quer para serem aceitos. 
Além disso, quando foram aceitos não foi apenas a lógica que 
induziu os matemáticos a adotá-los, porém os argumentos por 
analogia, o sentido físico de alguns conceitos e a obtenção dos 
resultados científicos exatos. 
Não há muita dúvida de que as dificuldades que os grandes 
matemáticos encontraram, são precisamente os tropeços que os 
 
 
 
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estudantes experimentam. Assim, através da história da 
matemática o ensino da matemática poderá alcançar objetivos que 
vão além do fortemente marcado “desenvolver o raciocínio lógico”; 
porque ela mostra a matemática como expressão de cultura, a 
matemática como uma forma de comunicação humana. 
Refletindo um pouco mais sobre a questão “Por que História da 
Matemática?” deve-se lembrar que o conhecimento é um todo e a 
matemática faz parte desse todo. Ela não se desenvolveu à parte de 
outras atividades e interesses. Talvez uma grande falha no ensino da 
matemática é tentar abordá-la como disciplina isolada. E esse 
processo, sem dúvida, é uma distorção do verdadeiro conhecimento. 
Provavelmente por isso, muitos jovens se sintam humilhados 
por não compreenderem muitos símbolos e regras, longe da intuição. 
Generaliza-se, então, uma certa aversão pela disciplina e a 
Matemática torna-se para muitos como algo inatingível. Cria-se o 
mito do gênio ou que a Matemática é somente para loucos e gênios. 
Essa aversão tende também a desvalorizar um ramo do 
conhecimento dos mais importantes. 
É sempre bom lembrar que além da aritmética das necessidades 
cotidianas, a matemática tem muito a oferecer. Ela é a chave para 
nossa compreensão do mundo físico, dá-nos o poder sobre a 
natureza; e deu ao homem a convicção de que ele pode continuar a 
sondar os seus segredos. 
A matemática tem possibilitado aos pintores a pintar 
realisticamente e fornecido não só a compreensão dos sons musicais 
como também uma análise desses sons, indispensável na 
planificação do telefone, do rádio e de outros instrumentos de 
registro e reprodução de sons. Ela está se tornando cada vez mais 
valiosa na pesquisa biológica e médica. A pergunta “Que é 
verdade?” não pode ser discutida sem envolver o papel que a 
matemática tem exercido ao convencer o homem de que ele pode ou 
não obter verdades. Muito de nossa literatura está permeado de 
temas que tratam de realizações matemáticas. Finalmente, a 
matemática é indispensável em nossa tecnologia. 
Portanto, o curso de História da Matemática pode ser a 
oportunidade para se discutir tudo isso, e, como disse Plutarco, “a 
mente não é uma vasilha para ser enchida, porém, um fogo para se 
atear” e, segundo Henri Poincaré (1854-1912), “Os zoólogos 
 
 
 
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afirmam que num breve período, o desenvolvimento do embrião 
de um animal recapitula a história de seus antepassados de todas as 
épocas geológicas. Parece que o mesmo se dá no desenvolvimento 
da mente. A tarefa do educador é fazer a mente da criança passar 
pelo que seus pais passaram, atravessar rapidamente certos 
estágios, mas sem omitir um. Para esse fim a história da Ciência 
deve ser nosso guia.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ORIGENS PRIMITIVASORIGENS PRIMITIVASORIGENS PRIMITIVASORIGENS PRIMITIVAS 
 
 
Se quisermos pesquisar a origem histórica das primeiras noções 
matemáticas, seremos levados a fontes da chamada pré-história. É 
provável que a percepção de que certos grupos podem ser colocados 
em correspondência um a um, tenha surgido há uns 300.000 anos. O 
homem primitivo não sabia contar e nem precisava, pois conseguia 
com certa facilidade caça, pesca e frutas. Quando essas começaram 
a se tornar escassas, ele teve necessidade de se sedentarizar, por isso 
passou a criar animais e praticar a agricultura. Da necessidade, por 
exemplo, de preservação do rebanho, aprendeu a contar as ovelhas, 
mesmo sem conhecer os números. As primeiras contagens eram 
feitas com os dedos (que pode ter dado origem ao sistema decimal), 
quando estes eram inadequados, passaram a usar montes de pedras 
(calculus em latim) e como tais métodos não eram muito seguros 
para conservar informação, o homem primitivo registrava um 
número com marcas num bastão, pedaço de osso ou no barro. 
Descobertas arqueológicas fornecem provas de que a idéia de 
número é muito mais antiga do que progressos tecnológicos como o 
uso de metais ou de veículos com rodas. 
Supõe-se usualmente que a matemática surgiu em resposta a 
necessidades práticas, mas estudos antropológicos sugerem a 
possibilidade de uma outra origem. Foi sugerido que a arte de contar 
surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos e que o aspecto 
ordinal precedeu o conceito quantitativo. 
Em ritos cerimoniais, representando mitos da criação, era 
necessário chamar os participantes à cena segundo uma ordem 
específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver tal 
problema. 
Esse ponto de vista, embora esteja longe de ser provado, estaria 
em harmonia com a divisão ritual dos inteiros em ímpares e pares, 
os primeiros considerados como masculinos e os últimos, como 
femininos. 
Sábios gregos não quiseram se arriscar a propor origens mais 
antigas da matemática do que a egípcia. Heródoto afirmava que 
 
 
 
 
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a geometria se originou no Egito, pois acreditava que tinha 
surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após 
cada inundação anual no vale do Nilo. Aristóteles achava que a 
existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que tinha 
conduzido ao estudo da geometria. 
Que os primórdios da matemática são mais antigos que as mais 
antigas civilizações está claro. As teses apresentadas acima são até 
discutíveis mas não podemos desprezar os conhecimentos 
matemáticos envolvidos nas diversasatividades humanas. A seguir 
apresentamos exemplos de algumas atividades em que podemos 
identificar imediatamente elementos matemáticos no trabalho 
humano: ornamentação (vasos, armas); produção de rodas (sem ou 
com raios); plantações (irrigação, divisão de terras); edificações 
(monumentos); pastoreio (contagem); comércio (trocas, moedas); 
orientação no tempo e no espaço (calendários, mapas). Nesse 
sentido é interessante observar que muitas vezes o pensamento 
matemático desenvolveu-se de maneira semelhante em sociedades 
totalmente independentes. Foi o que aconteceu, por exemplo, com o 
Egito e a Mesopotâmia por volta do ano 2000 a.C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15
 
EGITOEGITOEGITOEGITO 
 
 
“O Egito é um presente do Nilo” (Heródoto) 
 
 
Entre 4000 e 3000 a.C., na idade Neolítica (ou da Pedra Polida) 
tivemos culturas bem estabelecidas na Mesopotâmia e no Egito. Ali 
se formaram as primeiras cidades e estados organizados, mas as 
duas regiões deram origem a civilizações um tanto diferentes. 
O Egito era uma região centrada no Nilo, com ambiente hostil 
no sul e nas fronteiras leste e oeste. Na verdade, era como uma ilha, 
limitado ao norte pelo mar Mediterrâneo e em suas outras fronteiras, 
pelo deserto. De várias maneiras, a civilização egípcia mostrou-se 
isolada, era conservadora e voltada para si mesma; e, de um modo 
geral, não estava interessada na expansão e na conquista de outras 
terras. Para um egípcio antigo, o Egito era um universo auto-
suficiente: tinha seus deuses independentes e seu modo de vida 
especial. A língua egípcia e a escrita hieroglífica desenvolveram-se 
de mãos dadas; o próprio sistema de hieróglifos era insular, 
impróprio para expressar qualquer outra língua, e, na 
correspondência diplomática com outros países, usava-se um 
sistema de escrita diferente. Efetivamente, os antigos egípcios 
viviam em isolamento cultural. 
Mas, se o isolamento era a característica fundamental do antigo 
Egito, sua civilização foi, contudo, magnífica; era olhada com inveja 
pelos que circundavam suas fronteiras, e somente os desertos a sua 
volta, impediram que se tornassem vítima de vizinhos ciumentos. Na 
realidade, alguns nômades se estabeleceram na área esparsamente 
povoada do delta do Nilo, mas não perturbaram a natureza, 
basicamente pacífica, do país, que era essencialmente uma terra de 
agricultores e escribas. 
 
 
 
 
 
 
 
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A inundação anual do Nilo, que ocorria regulamente em julho, 
era o alicerce da vida egípcia. Havia um sistema bem organizado de 
irrigação e tomava-se um cuidado especial com as águas disponíveis 
por ocasião da cheia anual. Boas colheitas eram a regra geral – 
muitas vezes três por ano – e havia belos rebanhos de gado, a 
maioria em pastagens na área do delta. Nenhum egípcio se 
sacrificava trabalhando uma terra hostil e árida para a sua 
sobrevivência, embora os métodos agrícolas fossem primitivos e 
conservadores. 
A história do Egito começa com o primeiro faraó, chamado 
Menes, que uniu num só, o Alto e Baixo Egito por volta de 3360 
a.C. e, exceto por dois períodos de instabilidade, manteve-se unido 
por mais de 2000 anos. 
Os principais períodos de domínio unificado são: o Antigo 
Império, ou Época das Pirâmides, de 3000 a 2475 a.C. Esse período 
assinala um progresso rápido no domínio das forças mecânicas (das 
pirâmides, apenas 80 de conservaram de modo completo). O 
segundo, o Império Médio ou Época Feudal, de 2160 a 1788 a.C., 
caracteriza-se pelo desenvolvimento intelectual e pelo comércio 
exterior. Formaram-se bibliotecas de rolos de papiro e os navios 
cruzavam os mares Egeu e Vermelho. O terceiro período, o do Novo 
Império, estende-se de 1580 a 1150 a.C., sendo a época das grandes 
construções. 
 
 
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Os soberanos eram os faraós, cujo despotismo era temperado 
por ideais de responsabilidade em relação ao povo comum; 
considerando-se os tempos primitivos em que viveram, eles 
realmente procuraram fazer com que seus súditos tivessem vida feliz 
e razoavelmente confortável (apesar da escravidão); governava pela 
lei, que parece ter sido geralmente justa. Além do faraó e da família 
real, os sacerdotes, os nobres e os guerreiros pertenciam às classes 
privilegiadas. Na classe média encontravam-se os escribas, os 
comerciantes, os artesãos e os camponeses e, os servos ocupavam as 
classes inferiores. 
O Egito tinha uma grande e eficiente administração. A maior 
parte dela parece ter sido centrada nas grandes construções de 
templos, embora, periodicamente, os próprios faraós demonstrassem 
grande capacidade administrativa. A administração padronizou 
pesos e medidas, enquanto seus funcionários, os escribas, em grande 
parte clérigos, escreviam em hieróglifos ou na escrita hierática ou 
sacerdotal, mais correntemente usada. Os egípcios escreviam em 
papiros, produzidos no país desde épocas primitivas; parecem ter 
sido usados antes de 3500 a.C. Eram feitos com o cerne de uma alta 
ciperácea (Cyperus papyrus) que se encontrava em abundância nos 
pântanos ao redor do delta e sua manufatura em folhas era simples. 
Tratava-se do material ideal para ser usado nas secas condições do 
Oriente Médio e foi empregado em grande quantidade em Roma. No 
clima mais úmido da Europa, o papiro era menos estável, mas, no 
Egito, era superior a qualquer outro material para escrita. 
Permaneceu em uso até o nono século depois de Cristo. O papiro era 
também usado como alimento(os brotos), como combustível(as 
raízes), e ainda, para se fazer cestos, cordas, esteiras, sandálias e até 
pequenos barcos. A propósito, é interessante notar que os gregos, 
que consideravam os egípcios um povo de imensa sabedoria, 
chamavam uma folha de papiro de “biblion”, da qual deriva a 
palavra “bíblia”; a palavra “papel” é derivada de “papiro”, embora 
na verdade, o papel seja um material bem diferente e tenha sido 
inventado pelos chineses e não pelos egípcios. 
O fato de os gregos terem superestimado a sabedoria egípcia 
pode ter resultado, pelo menos em parte, da impressão causada 
naqueles que visitaram o Egito e ficaram maravilhados com as 
magníficas construções que lá encontraram e, na verdade, a 
 
 
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construção era uma das maiores formas de expressão desse povo. O 
vale do Nilo é uma vasta pedreira e, embora tivessem de importar 
toda a madeira de que precisava, da Líbia ou da Síria, logo 
aprenderam a manusear os materiais locais. Eram peritos cortadores 
de pedras, soberbos escultores, pintavam bem e eram mestres 
artífices em metais, especialmente o ouro. 
A habilidade dos egípcios na construção de grandes edifícios e 
estátuas, não é, por si mesma, uma ciência: havia o que hoje 
chamaríamos de princípios de mecânica, mas parece que inexistia 
um conjunto básico de conhecimentos científicos ou uma teoria em 
que os construtores pudessem se basear. Seu valor como 
construtores era alicerçado em sólida experiência pratica e num 
instinto para a engenharia estrutural. Realmente, os egípcios 
parecem ter sido essencialmente um povo muito prático, mais 
voltado para resultados efetivos do que para a filosofia dos 
princípios básicos concernentes. A curto prazo, essa atitude traz 
sucesso, mas, a longo prazo, não encoraja nem a especulação e nem 
idéias novas. Isso significa, por exemplo, que quando Akhenaton 
construiu seu grande templo em Carnac, no ano de 1370 a.C., as 
técnicas usadas não foram substancialmente diferentes das utilizadas 
por Quéops cerca de treze séculos antes. 
A falta de interesse dos egípcios pela reflexão filosófica e a 
tendência para o aspecto prático podem ser observadas mesmo na 
astronomia. Para eles, a astronomia era a base utilitária necessária 
para a marcação do tempo. Os astrônomos egípcios não estavam 
preocupados com teorias a respeito do Sol e da Lua., nem com 
quaisquer idéias a respeito do movimento dos planetas, embora 
soubessem que os planetas se moviam entre as estrela fixas. 
O calendário nos dá um exemplo de êxito brilhante obtidopela 
ciência egípcia. O ano egípcio, por volta de 2.500 a.C., contém 365 
dias como o nosso. Os meses repartem-se em três estações de quatro 
meses cada uma: inundação, inverno e verão. 
 
A MATEMÁTICA EGÍPCIAA MATEMÁTICA EGÍPCIAA MATEMÁTICA EGÍPCIAA MATEMÁTICA EGÍPCIA 
 
A matemática no Egito, a exemplo da astronomia, não era em 
si mesma, considerada uma forma de conhecimento independente 
de sua aplicação, como aconteceria na Grécia. Assim, a pesquisa dos 
 
 
19
 
 
princípios matemáticos era desprezível e não havia uma teoria 
básica de aritmética ou geometria e sim procedimentos práticos. 
 
As fontesAs fontesAs fontesAs fontes 
 
Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu 
aos desgastes do tempo por mais de três e meio milênios. Os 
principais de natureza matemática são o Papiro Rhind, o Papiro de 
Moscou e o Papiro de Berlim, copiados em escrita hierática. 
 
● O Papiro Rhind, o mais extenso, mede 0,30 m de largura por 5 m 
de comprimento, e também 
o mais importante, 
encontra-se no Museu 
Britânico. Foi adquirido em 
1858 numa cidade à beira 
do Nilo, pelo antiquário 
escocês, Alexander Henry 
Rhind (1833-1866), daí a 
origem do seu nome, muito 
embora seja conhecido 
também, como Papiro 
Ahmes em honra ao escriba 
que o copiou por volta de 
1650 a.C de outro mais 
antigo, provavelmente de 
1800 a,C. Trata-se de um texto na forma de manual prático que 
contém 85 problemas, enunciados e resolvidos, e logo no início 
apresenta uma interessante proposta: “Guia para conhecimento de 
todas as coisas obscuras”. Quando chegou ao Museu Britânico esse 
Papiro não estava completo, formado de duas partes, e faltava-lhe a 
porção central. Cerca de quatro anos depois de Rhind ter adquirido 
seu papiro, o egiptólogo norte americano Edwin Smith comprou no 
Egito o que pensou que fosse um papiro médico. A aquisição de 
Smith foi doada à Sociedade Histórica de Nova York em 1932, 
quando os especialistasdescobriram por sob uma camada fraudulenta 
a parte que faltava do Papiro Ahmes. A sociedade, então, doou 
o rolo ao Museu Britânico, completando-se assim a obra original. 
 
 
20
 
 
● O Papiro de Moscou ou Golenischev é de 1850 a,C. e encontra-
se no Museu de Belas Artes de Moscou. Foi adquirido no Egito em 
1893 pelo colecionador russo Golenischev, mede 0,07m de largura 
por 5m de comprimento e contém 25 problemas. 
 
● Quanto ao Papiro de Berlim não dispomos das informações 
seguras dos anteriores, apenas que está muito deteriorado. 
 
A seguir, o mais importante da matemática contida nesses três 
papiros. 
 
AritméticaAritméticaAritméticaAritmética 
 
Sistema de numeração 
 
O sistema de numeração dos egípcios era decimal aditivo (não 
posicional). 
Ressalta-se que não eram conhecidos os números negativos e 
nem o zero. 
Quadro de hieróglifos 
 
Símbolo egípcio descrição nosso número 
 
bastão 1 
 calcanhar 10 
 rolo de corda 100 
 
flor de lótus 1000 
 
dedo apontando 10000 
 
peixe 100000 
 
homem 1000000 
 
 
 
21
 
Por exemplo, o número 12345, se escrevia como 
 
 
As quatro operações 
 
Adição: 24 + 97 
 e é igual a 
 
 
Subtração: 12 – 7 
 O raciocínio era: quanto se deve somar a 7 para formar 12? 
 
Multiplicação: 
 Enquanto hoje aprende-se as tabuadas de somar e de multiplicar 
até 10, o que permite efetuar todas as operações simples, os egípcios 
usavam apenas a tabuada do 2. Para multiplicar um número dado, 
por um multiplicador maior que 2, realizavam uma série de 
“duplicações”, o que lhes permitia fazer todas as multiplicações, 
sem na realidade, recorrerem à memória. 
 Por exemplo, para multiplicar 13 por 7. o escriba opera da 
seguinte maneira: 
 - 1 7 
 2 14 
 - 4 28 
 - 8 56 
 
 Escreve, na coluna da direita o fator 7 e na da esquerda 1; dobra, 
em seguida, os números das duas colunas, até obter, por adição de 
números da coluna da esquerda, o valor do outro fator. No exemplo 
dado, 13 é obtido pela adição de 1, 4 e 8. Chegando a esse ponto da 
operação, marca-se com um traço os números que tomou e soma, em 
seguida, os números correspondentes da coluna da direita, ou seja, 
7 + 28 + 56 = 91. Portanto a adição desses números lhe dá o 
resultado da multiplicação. Como se verificou, o escriba só operou 
com adições e é nisso que reside o caráter “aditivo” da aritmética 
egípcia. 
 
 
22
 
 
Outros exemplos: resolução de 4 x 3 e 12 x 16 
 
 1 3 1 16 
 2 6 2 32 
 - 4 12 - 4 64 
 - 8 128 
 
 4 x 3 = 12 12 x 16 = (4 + 8) x 16 = 64 + 128 = 192 
 
Divisão: 
 Na divisão usava-se o mesmo processo da multiplicação, mas 
em sentido inverso. Assim, para dividir 168 por 8, o escriba 
dispunha os cálculos, como no caso de uma multiplicação: 
 
1 8 – 
2 16 
4 32 – 
8 64 
16 128 – 
 
Feito isso, procura-se na coluna da direita (e não na da esquerda 
como na multiplicação) os números que, somados, darão o 
dividendo 168. No nosso exemplo, toma-se os números 8, 32 e 128 
e marca-se com um traço os correspondentes da coluna da esquerda, 
a saber: 1, 4 e 16, que somados perfazem 21, que é o quociente da 
divisão. 
Facilmente depara-se com divisões não exatas, como por 
exemplo, 168 dividido por 9: 
 1 9 
 2 18 – 
 4 36 
 8 72 
 16 144 – 
Não se conseguindo a soma do dividendo na coluna da direita, 
assinala-se os números cuja soma mais se aproxima do dividendo, 
no caso 144 + 18 = 162. Portanto tem-se o quociente 16 + 2 = 18 e o 
resto 168 – 162 = 6. 
 
 
 
23
 
Frações 
 
O estudo de frações surgiu por necessidade prática, quando as 
divisões não eram exatas, como vimos no exemplo anterior. 
Com exceção de 
3
2
 que era representado por os egípcios 
usavam apenas frações unitárias, ou seja, com numerador igual a 1. 
Na escrita a fração era expressa por meio do signo , que 
significa parte ou porção, sendo que o denominador é escrito abaixo 
ou ao seu lado. 
Exemplos: 
 
 
 
Notações especiais: 
 
 
Outras frações de denominador 
potência de 2, encontram-se 
representadas no olho do deus Horo, que 
combina o udjat (olho humano) com as manchas coloridas que 
envolvem o olho de um falcão. 
 
Operações com frações: 
 Recusando-se a priori a conceber uma fração que não tivesse 
numerador 1, boa parte do seu trabalho era dedicado a escrever uma 
certa fração como soma de frações de numerador 1. Por exemplo, 
5
2
 
escrevia-se como 
15
1
3
1
+ . É possível que para essas transformações 
fossem utilizadas fórmulas do tipo: 
2
1
1
2
1
12
)n(nnn +
+
+
= ou 
.
)qp(q)qp(ppq
2
1
2
12
+
+
+
= Por isso, os cálculos que utilizavam 
frações ocupam a maior parte do Papiro Rhind. 
5
1
 43
1
 276
1
 
 
2
1
 
4
1
 
 
 
24
 
 
 O princípio dessas operações é idêntico ao utilizado para os 
números inteiros: a “duplicação” sistemática. Quando o 
denominador da fração a duplicar era um número par, não havia 
qualquer dificuldade: bastava dividi-lo por 2. Por exemplo, para a 
operação simples 7 x 
8
1
, o escriba egípcio colocaria como 
habitualmente. 
 - 1 
8
1
 
 - 2 
4
1
 
 - 4 
2
1
 
 Sendo a soma dos números da primeira coluna igual ao 
multiplicador 7, transcreveria diretamente o resultado: 
 
8
1
4
1
2
1
8
1
7 ++=x 
Mas, no caso de uma operação com denominadores ímpares, o 
sistema adotado torna-se inoperantes e é necessário encontrar um 
meio de superar a dificuldade. 
Qualquer fração da forma 
n
2
, em que n é um número ímpar, 
pode ser decomposta numa soma de duas ou mais frações, cujo 
numerador é 1. Assim, como vimos 
5
2
 pode escrever-se 
15
1
3
1
+ . Os 
egípcios conheciam bem esse fato e, como a decomposição de 
frações implica cálculos longos e delicados, estabeleceram uma 
tábua modelo de decomposição, começando em 
5
2
 e chegando em 
101
2
. Essa tábua, que desempenhava um papelconsiderável no 
ensino, constitui a parte mais importante do Papiro Rhind. Eis um 
exemplo de como ela se apresenta: 
 
 
 
25
 
Dividir 2 por 41: 
24
1
3
2
1 + corresponde a 
246
1*
 a 
6
1
 
24
1
,
*
 e 
328
1*
 a 
8
1
 
 
Modo de realizar a operação: 
 
8
1
6
1
 resto 
24
1
3
2
1
24
17
1 
24
1
12
1
3
1
3 
12
1
6
1
3
2
6 
6
1
 
3
2
13 
3
1
 
3
1
27 
3
2
 41 1
+
+=
+
+ 
 
Total 1 41 
 /2 82 
 /4 164 
 /6 246 
6
1
 
 /8 328 
8
1
 
 
Segundo os nossos métodos habituais, exporíamos assim a 
resposta do problema: 
328
1
246
1
24
1
41
2
++= 
A técnica dos escribas para chegar ao resultado é difícil de ser 
acompanhada e os próprios matemáticos não estão totalmente de 
acordo quanto ao método utilizado. É possível, aliás, que não 
 
 
26
 
 
houvesse de início, um método bem definido e que os escribas 
chegassem ao resultado por meio de tentativas sucessivas. Nem por 
isso deixa de ser assombrosa a facilidade e a segurança com que os 
egípcios manejavam suas frações; posteriormente os gregos e os 
romanos adotaram esse método. 
 
Partições proporcionais 
 
 É possível que os egípcios tenham adquirido uma grande 
habilidade no manejo das frações devido ao sistema econômico e 
social da realeza faraônica. Conheceram tardiamente a moeda, 
somente por ocasião da conquista persa. Todo o comércio, até o 
mais indispensável à vida, realizava-se através da troca. 
Além disso, a propriedade privada era, ao que parece, das mais 
limitadas; a terra, na maioria dos casos, pertencia ao rei ou aos 
templos. Um sistema social dessa natureza, em que o indivíduo em 
tudo depende necessariamente de seu empregador, no caso do faraó 
ou dos sacerdotes, implica, dada a ausência de qualquer padrão 
monetário, em enorme contabilidade material. De um lado, para o 
controle da produção no fornecimento de sementes, instrumentos, 
matérias primas, etc.; e, de outro, para a divisão dos bens de 
consumo tais como alimento, roupa, etc., entre os diversos membros 
das comunidades artesanais ou agrícolas. Competia ao escriba 
repartir os recursos acumulados nos celeiros do estado ou dos 
templos e daí a importância dos problemas de partições 
proporcionais na aritmética. Esse fato também explica o motivo pelo 
qual os escribas permaneceram fiéis ao sistema das frações de 
numerador 1, que facilitava a divisão dos objetos e gêneros 
alimentícios. 
Dividir 7 pães entre 10 homens: deve-se multiplicar 
30
1
3
2
+ por 
10. Resultado 7. 
 
 
 
 
 
 
 
27
 
 
Modo de realizar a operação: 
7
15
1
3
1
1
5
1
15
1
3
1
5
5
1
15
1
3
1
5 8
30
1
10
1
3
2
2 4 
15
1
3
1
1 2
30
1
3
2
 1 
=++++
++−
++
+−
+
 
 
Total: 7 pães; é exatamente isso. (Papiro Rhind, problema 4) 
 
Outros processos aritméticos 
 
Para poder resolver todos os problemas da vida cotidiana, os 
egípcios tiveram de realizar diversas operações aritméticas, tais 
como elevar um número ao quadrado e extrair raízes quadradas. À 
raiz quadrada concedem o nome de “canto”. Esse termo deriva 
claramente da representação de um quadrado cortado em diagonal e 
mostra até que ponto os egípcios mantiveram-se ao nível concreto, 
onde outros povos teriam recorrido à abstração. No Papiro de 
Berlim, há o cálculo correto das raízes quadradas de 
4
1
6 e de 
 ,
16
1
2
1
1 + mas não sabemos se essas extrações foram obtidas 
segundo um processo determinado ou se o escriba chegou ao 
resultado por meras tentativas. 
 As proporções desempenharam um papel essencial na 
aritmética egípcia. 
 
 
 
 
 
 
28
 
 
Progressões Aritmética e Geométrica 
 
Ora, sabe-se que a hierarquia era fortemente acentuada na 
sociedade. A diferença de posição na escala social era marcada pelo 
direito a uma parte considerável em todas as partilhas, daí porque o 
escriba se defronta, frequentemente, com problemas do seguinte 
tipo: 
100 pães para 5 homens, 
7
1
 (da parte) dos 3 primeiros para os 2 
últimos homens. Qual será a diferença entre as partes? (Papiro 
Rhind, problema 40). 
 
Parece que de acordo com a maneira pela qual o escriba o 
resolve, o problema consiste em dividir 100 pães entre 5 homens de 
tal modo que as partes estejam em progressão aritmética e que a 
soma das duas menores seja 
7
1
 da soma das maiores. 
O método empregado não é claro, talvez porque os cálculos 
indicados sejam tentativas sucessivas; entretanto a solução é correta: 
as partes deverão ser de 
6
5
10 20 
6
1
29 
3
1
38 ,,, e ,
3
2
1 números que 
satisfazem as condições do problema. 
Os matemáticos egípcios tinham, portanto, uma idéia confusa, 
sem dúvida, da progressão aritmética. Outro problema 
mostra que conheciam também a progressão geométrica; o seu 
enunciado apresenta-se de maneira algo misteriosa. 
 
Inventário de um patrimônio: 
 7 casas Modo de realizar a operação: 
 49 gatos -1 2801 
 343 camundongos -2 5602 
 2401 espigas de trigo -4 11204 
 16807 alqueires 
 
 Total: 19607 (Papiro Rhind, problema 79) 
 
 
 
 
29
 
 
Parece razoável supor que havia um patrimônio composto de 7 
casas, cada casa possuía 7 gatos, cada gato matava 7 camundongos, 
cada camundongo comia 7 espigas de trigo, cada espiga de trigo 
teria produzido 7 alqueires. Quanto se obteria no conjunto? 
O total contém a soma de tudo o que é mencionado e nada significa 
no nosso entender. Devemos notar que não se chega a esse total pela 
soma dos números da enumeração, mas pela multiplicação de 2801 
por 7; o que nos conduz à soma dos termos da seqüência (7, 49, 343, 
2401, 16807), que é uma progressão geométrica de razão 7. 
 
ÁlgebraÁlgebraÁlgebraÁlgebra 
 
Uma série de problemas cuja finalidade é tão utilitária como a 
daqueles que vimos até agora, indica um conhecimento razoável, por 
parte dos egípcios, de laboriosas técnicas de resolução de equações 
algébricas. 
Nesses problemas são pedidos o que equivale a soluções de 
equações lineares da forma x + ax = b ou x + ax + bx = c onde a, b e 
c são números racionais positivos conhecidos e x é desconhecido. A 
incógnita é chamada de “aha” (palavra egípcia que significa “pilha”, 
“monte”). 
 
Exemplo 1: 
 O problema 24 do Papiro Rhind, pede o valor de aha sabendo-se 
que aha mais um sétimo de aha dá 19. Nas nossas notações seria 
resolver a equação 19
7
=+
x
x . A solução é característica de um 
processo conhecido como “método de falsa posição” ou “regra do 
falso”. Um valor específico, provavelmente falso, é atribuído para 
aha, e as operações indicadas à esquerda do sinal de igualdade são 
efetuadas sobre esse número suposto. O resultado é então 
comparado com o resultado que se pretende, e, usando regra de três, 
chega-se à resposta correta. 
 Nesse exemplo o valor tentado para a incógnita é 7, de 
modo que 87
7
1
7 =+ em vez de 19. 
 
 
 
30
 
 
Como 19
8
1
4
1
28 =++ )( deve-se multiplicar 7 por 
8
1
4
1
2 ++ para 
obter a resposta 
8
1
2
1
16 ++ , isto é, 7 8 
 x 19 
 
 
8
1
4
1
2
8
19
7
++==
x
 ⇒ )(x
8
1
4
1
27 ++= 
 
 Pode-se conferir a resposta verificando que se a 
8
1
2
1
16 ++=x 
somarmos 
7
1
 de x (que é 
8
1
4
1
2 ++ ) de fato obteremos 19. 
Aqui notamos outro passo significativo do desenvolvimento da 
matemática, pois a verificação é um exemplo simples de prova. 
 
Exemplo 2: 
 Instrução para dividir 700 pães entre 4 pessoas, 
3
2
 para uma, 
2
1
 
para a segunda, 
3
1
 para a terceira e 
4
1
 para a quarta. 
Modo de realizar a operação: 
Some ,,,,
4
1
3
1
2
1
3
2
 o que dá .
4
1
2
1
1 ++ 
Divida 1 por 
4
1
21
1 ++ o que dá 
14
1
2
1
+ . 
Agora ache 
14
1
2
1
+ de 700, que é 400. 
Tudo se passa então, como se estivéssemos resolvendo a equação: 
700
4
1
3
1
2
1
3
2
=+++ xxxx pela mesma técnica usada hoje, porém 
de forma retórica. (Papiro Rhind, problema 63) 
 
 
 
 
 
31
 
 
 O estudo dos “problemas aha” levantou a questão de saber se os 
egípcios conheceram a álgebra. Com efeito, esses problemas 
exprimem as nossas equações de primeiro grau, e alguns deles se 
prendem até mesmo a equações do segundo grau. Alguns autores 
não hesitaram em reconhecer o fato. No entanto, é preciso admitir 
que subsistem dúvidas a respeito. 
 Há um exemplo, pelo menos, no Papiro de Berlim que não 
deixa dúvidas. Trata-se de um problema de partilha que não se 
refere a pão ou cerveja ou a qualquer outra coisa do cotidiano. Esse 
problema tem o seguinte enunciado: 
 A soma das áreas de dois quadrados é 100 unidades, sendo que 
a medida de um lado é 
4
3
da medida do outro. Quais são os lados? 
Em notação atual escreveríamos: 
100
16
9
 seja,ou 
4
3
 onde 100 2222 =+==+ xx,xy,yx 
 Na solução que propõe, o escriba não emprega símbolos como x 
ou y. Parte de um número arbitrário 1, por exemplo e, em 
conseqüência, também de 
4
3
. Eleva esses números ao quadrado e 
soma os resultados, ou seja, );
16
9
1( 
16
1
2
1
1 =+ extrai a raiz quadrada 
do total, isto é, .
4
1
1 Procede em seguida à extração da raiz quadrada 
de 100, ou seja, 10, número que representa .x8
4
1
1 Admite-se então 
que o número base, arbitrário, deve ser multiplicado por 8, para se 
obter a solução: 8 x 1 e 8 x 
4
3
, ou 8 e 6, o que é exato. (Papiro de 
Berlim). 
 
GeometriaGeometriaGeometriaGeometria 
 
 No campo da geometria, são propostos problemas dependentes 
do uso de fórmulas numéricas, não abstratas, que não são deduzidas 
 
 
32
 
 
no texto. Tais problemas incluem o cálculo de área de campos 
limitados por linhas retas ou por arcos de circunferência, 
considerando-se no primeiro caso apenas triângulos, retângulos e 
trapézios. Também se estuda o volume do tronco de pirâmide 
quadrática. 
 O clássico problema da “quadratura do círculo” é abordado, 
obtendo-se para o número π a aproximação de ...,16043
81
256
= que, 
comparada com a verdadeira, 3,1415..., representa um resultado 
excelente para a época. 
 Os autores gregos fazem particular menção dos métodos de 
agrimensura usados pelos egípcios, devido às cheias do Nilo que 
destruíam as demarcações. Segundo conta Heródoto, Sesóstris tinha 
dividido as terras em retângulos iguais entre todos os egípcios, de 
modo que todos pagavam o mesmo tributo. Quem perdesse parte de 
sua terra em conseqüência da cheia devia comunicar ao rei, que 
mandava então um inspetor calcular a perda e fazer um desconto 
proporcional no imposto. Foi assim que nasceu a geometria 
(literalmente: medição de terras). 
 
Área do triângulo isósceles 
 
 Calcular a superfície de um campo triangular de 10 côvados de 
altura e 4 côvados de base. 
 
Modo de realizar a operação: 
1 400 
 
2
1
 200 
1 1000 
2 2000 
Resposta: sua superfície é de 2000 
côvados (Papiro Rhind, problema 51) 
 
 
 
 
B C 
C’ B’ A 
 
 
33
 
Área do círculo (Considerado o maior êxito dos egípcios). 
 
 Calcular uma porção de terra circular, cujo diâmetro é de 9 
varas. Qual a sua superfície? 
 Subtrair 1 da nona parte dela. Resta 8; então, multiplicar oito 
vezes oito, resultando 64. A superfície é de 6 kha e 4 setat. 
 
Modo de realizar a operação: 
1 9 
 
9
1
 daquilo 1 
Subtrai daquilo, resta 8 
1 8 
2 16 
4 32 
 8 64 
Resposta: a superfície da terra é de 6kha (escrito 60) e 4 setat 
(Papiro Rhind, problema 50) 
 
 Na verdade, na engenhosa resolução anterior há indícios de que 
para calcular a área do círculo, era usada a fórmula: ,dA
2
9
8





= 
sendo d o diâmetro. Assim, 2
2
81
256
2
9
8
rrA =




= . Logo, 
16043,=π . 
 Essa aproximação de π , obtido empiricamente era muito mais 
exata que o valor 3 utilizado pela maioria dos povos antigos do 
Oriente. 
 
Área de um quadrilátero 
 
 No templo de Horo, em Edfu, foi encontrado inscrições de uma 
fórmula para o cálculo de áreas de quadriláteros, que em notação 
atual é: 
 
 
34
 





 +





 +
=
22
dbca
S , sendo a, b, c, d, os lados do quadrilátero. 
Essa fórmula é muito prática, porém conduz a erros sempre 
que o quadrilátero não tiver a regularidade do quadrado ou do 
retângulo. Para trapézios e losangos, por exemplo, os resultados 
encontrados são bem maiores que os verdadeiros. 
 Portanto, os egípcios sabiam calcular a área do triângulo, de 
quadriláteros e do círculo, bem como o volume de alguns sólidos 
elementares, inclusive o tronco de pirâmide de altura h e bases 
quadradas, com os lados a e b, respectivamente. 
 
)baba(
h
V 22
3
++= (Papiro de Moscou) 
 
 
 
 
 Finalizando, pode-se dizer que a matemática dos egípcios 
apresenta as seguintes características por volta de 2000 a.C.: 
conhecimentos bastante desenvolvidos sobre as operações com 
números inteiros e frações, um método para resolver equações do 
primeiro grau com uma incógnita, diversas fórmulas, tanto exatas 
como aproximadas, para a área de figuras planas e sólidos 
elementares e, ainda, um método aproximado para calcular a área de 
um círculo de raio determinado. 
 
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. Quais são as três mais importantes contribuições do Egito ao 
desenvolvimento da matemática? Explique porque as considera 
importantes. 
 
2. Explique quais são as três mais importantes deficiências da 
matemática egípcia. 
 
3. Escreva o número 7654 em forma hieroglífica egípcia. 
 
 
a 
 
 
35
 
4. Resolva pelo método da falsa posição a equação 16
2
=+
x
x 
(Problema 25 do Papiro Rhind). 
 
5. Encontre 101 : 16, exprimindo o resultado em hieróglifos 
egípcios. 
 
6. Até que ponto é correto dizer que os egípcios conheciam a área do 
círculo? 
 
7. Exprima 
103
2
 como soma de duas frações unitárias diferentes e 
escreva-as em notação hieroglífica. 
 
 
8. Por que você acha que os egípcios preferiam a decomposição 
30
1
10
1
15
2
+= à alternativa 
20
1
12
1
15
2
+= ? 
 
9. Mostre que se n é um múltiplo de três, 
n
2
 pode ser decomposto na 
soma de duas frações unitárias, uma sendo a metade de 
n
1
. 
 
10. Mostre que se n é um múltiplo de 5, 
n
2
 pode ser decomposto na 
soma de duas frações unitárias, uma sendo um terço de 
n
1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37
 
 
MESOPOTÂMIAMESOPOTÂMIAMESOPOTÂMIAMESOPOTÂMIA 
 
 
Admira, meu filho, a sabedoria divina que fez o rio passar bem perto da 
cidade! (autor desconhecido) 
 
 
 A Mesopotâmia, a terra “Entre os Rios”, ocupa a área aluvial 
plana entre o Tigre e o Eufrates, onde hoje se situa o Iraque. Entre a 
atual Bagdá e o golfo Pérsico, a terra se inclina suavemente, 
originando uma diferença de altura total de apenas dez metros; 
assim os rios correm vagarosamente, depositando grandes 
quantidades de sedimentos, inundando suas margens e mudando 
ligeiramente de curso, de tempos em tempos. No extremo sul, há 
pântanos e brejos de juncos. O suprimento de água é irregular e a 
precipitação pluvial, pequena. Desse modo o cultivo deve ser feito 
próximo aos rios ou apoiado pela irrigação. Ao norte o solo das 
planícies é compacto e impróprio para as culturas durante oito meses 
do ano. 
 Embora não tivesse uma área própria para a cultura, como o 
Egito, possuía um enorme suprimento de matérias primas, produtos 
 
 
 
 
38
 
 
agrícolas, incluindo animais, peixes e tamareiras, e desde cedo 
surgiu a indústria de juncos, que fornecia produtos de fibra da 
planta, assim como os próprios juncos. Além disso, há fontes de 
betume e pedra calcária a oeste,mas não há madeira, exceto o tipo 
inferior obtido das tamareiras, apropriado apenas para confecção de 
vigas toscas, do mesmo modo não existem pedras duras, havendo 
ainda pouco metal. 
 Durante toda a sua história, a Mesopotâmia vivia praticamente 
do comércio; particularmente, a parte sul se tornou um vasto 
mercado e um centro de troca e disseminação de idéias. 
 A civilização mesopotâmia, bem antes dos árabes atuais, se 
formou literalmente de uma mistura de povos. Sumérios, acádios, 
amoritas, assírios, hititas, caldeus, medos e babilônios. A 
Mesopotâmia é tida como vale turbulento e isso pode ser 
confirmado quer pelos grandes degelos imprevisíveis (nas 
montanhas da Síria e Turquia) que provocam cheias nos rios, quer 
pelas lutas constantes pelo poder entre esses povos. 
 Temos assim, a Mesopotâmia como uma região 
economicamente próspera e militarmente organizada, que possuía 
uma agricultura avançada, bem como um sistema de captação de 
impostos que financiava a expansão de uma cultura sofisticada para 
os padrões da época. Foi nessa região, que por volta de 3500 a.C. 
nasceu a escrita, invenção dos sumérios, caracterizada por marcas 
cuneiformes em placas de argila (mais ou menos 30 x 50 cm) 
cozidas ao sol. Milhares dessas placas, hoje conservadas em museus 
norte americanos e europeus, traduzidas, revelaram a existência de 
uma matemática original e de medidas sistemáticas do tempo. 
 O conhecimento das estações do ano foi fundamental para o 
desenvolvimento da agricultura. O ano mesopotâmio, em 2000 a.C., 
tinha 360 dias, divididos em doze meses. Relógios solares 
assinalavam a passagem do tempo e o dia já era dividido em horas, 
minutos e segundos. Com a observação do movimento aparente do 
Sol e dos planetas entre as estrelas fixas foram nomeados os sete 
dias da semana com os nomes do Sol, da Lua e dos outros cinco 
planetas conhecidos (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno). 
Foi traçada, também, a trajetória percorrida pelo Sol, dividindo-a em 
doze partes associadas a animais míticos e denominadas de signos 
do zodíaco. 
 
 
39
 
 
 O Universo era representado como uma caixa fechada, cujo 
fundo era a Terra. Observações de muitos fenômenos astronômicos, 
como eclipses do Sol e da Lua e as posições de Vênus, estão 
registradas em placas de argila. Com essas observações os 
astrólogos mesopotâmios tiveram muito sucesso na interpretação de 
sonhos e na prática de realizar previsões. 
 Devemos destacar que os povos que viveram na “terra entre 
dois rios” deixaram uma ciência prática, sem a preocupação de 
fundamentar metafísica ou teologicamente os fatos. 
 
A MATEMÁTICA MESOPOTÂMIA 
 
 O que se sabe sobre a matemática mesopotâmia é relativamente 
recente. Data, na realidade, dos trabalhos de Otto Neugebauer (1899 
– 1990) que por volta de 1930 liderou as pesquisas em Princeton, 
realizando um estudo exaustivo em cerca de dez mil placas de 
argila, buscando reconstruir os conceitos aritméticos e geométricos 
daquela civilização, por volta de 2000 a.C. 
 De um modo geral, os textos matemáticos mesopotâmios 
(grande parte de matemática financeira) podem ser classificados em 
duas categorias: as tábuas numéricas e as de problemas. As 
primeiras quase não diferem das tábuas modernas e as outras são 
coletâneas didáticas de exercícios. 
 Nos textos de caráter geométrico é freqüente a presença de 
figuras, muitas vezes acompanhadas de uma legenda numérica. São 
figuras simples que servem apenas para ilustrar o enunciado, nunca 
interferem na solução, e, geralmente, não eram respeitadas as 
proporções. Dessa forma podemos dizer que os mesopotâmios 
souberam calcular “corretamente” com figuras falsas. 
 
Aritmética 
 
 Por volta do ano 2000 a. C. era usado pelos mesopotâmios uma 
combinação de dois sistemas de numeração, um de base dez e o 
outro posicional de base sessenta e, sem dúvidas, essas 
características originais não foram encontradas em qualquer outro 
 
 
 
40
 
 
sistema de numeração da antiguidade. Como exemplo escrevemos o 
número: 
3904 = 4 + 9.10² + 3.10³ na base 10 e 3904 = 1.60² + 5.60 + 4 na 
base 60. 
 Os números inteiros positivos eram expressos, em geral, 
mediante o emprego de dois sinais básicos: = 1 e = 10. 
 
 De 1 a 59, os números são expressos pela repetição dos sinais 
correspondentes a 1 e 10, sendo as unidades precedidas pelas 
dezenas. 
Exemplos: 
 
 2 11 20 
 
 
 60 
 
 
 
 = 520 = 8.60 + 40 
 
 
 = 2 + 2. 60 + 2.60² ou 1 + 1.60 + 1.60² + 
+1.60³ + 2.604 ou 2.60-1 + 2 + 2.60. 
 Muitas vezes o contexto eliminava a ambigüidade e, a falta de 
um símbolo para o zero, deve ter sido muito inconveniente. Tanto 
que no período selêucida, ao tempo de Alexandre, melhoraram a 
notação adotando duas cunhas inclinadas para sua representação. 
 Atualmente para escrevermos números na base 60 com os 
nossos numerais, utilizamos a seguinte notação: 
2,31,8 = 8 + 31.60 + 2.60² 
0;4,6 = 0 + 4.60-1 + 6.60-2 
2,14;5,7 = 14 + 2.60 + 5.60-1 + 7.60-2 
 
Operações 
 
 As operações eram realizadas da mesma maneira que fazemos 
hoje. 
 59 
 
 
41
 
 
 Na subtração usavam a idéia de “chegar”: 16 para chegar no 40 
é 24. 
 Na multiplicação e divisão utilizavam tabelas auxiliares. Por 
exemplo, para se calcular 
15
8
, multiplicava-se por 8 o valor que 
constava na tabela para 
15
1
. 
 Havia tabelas também para recíprocos, quadrados, cubos, raízes 
quadradas e cúbicas. 
Exemplo de uma tabela de recíprocos: 
 
2 30 
3 20 
4 15 
5 12 
6 10 
8 7;30 
9 6;40 
10 6 
12 5 
 
 Nessa tabela, notamos a ausência dos recíprocos de 7 e 11, 
porque são sexagesimais infinitos, que chamavam de irregulares. 
 
Juros compostos 
 
 Tabelas de potências sucessivas de um dado número, 
semelhantes as nossas de logaritmos, eram utilizadas para resolver 
questões específicas, como por exemplo, temos o problema a seguir, 
resolvido por interpolação. 
 
 Quanto tempo levaria uma quantia em dinheiro para dobrar, a 
20% ao ano? A resposta dada é 3;47,13,20. 
 
 Parece que o escriba aplicou interpolação linear entre os valores 
(1;12)³ e (1;12)4, usando a fórmula para juros compostos 
 
 
 
42
 
 
n)r(CC += 10 em que r = 20% ou 12.60-1, e C0 é a quantia 
inicial colocada a juros, usando valores de uma tabela exponencial 
com potências de 1;12. 
 
Raiz quadrada 
 
 Os matemáticos mesopotâmios foram hábeis no 
desenvolvimento de processos algorítmicos, entre os quais um para 
extrair raiz quadrada, que descreveremos a seguir. 
 
Algoritmo para a , sendo a um número inteiro positivo. 
 Sejam a1 uma primeira aproximação dessa raiz e 
1
1 a
a
b = (se 
a1 é por falta, b1 é por excesso e vice-versa). Logo a média 
aritmética a2 = 
2
1
 (a1 + b1) = )
a
a
a(
1
12
1
+ é uma nova aproximação 
plausível. A seguir, avaliamos 
2
2 a
a
b = e a média aritmética 
)
a
a
a()ba(a
2
2223 2
1
2
1
+=+= para obtermos um resultado 
melhor. O processo pode ser continuado indefinidamente. 
 
Exemplo: calcular 17 
 
Modo de realizar a operação: 
 
a = 17, a1 = 4, 4² = 16 
Logo b1 = 
4
17
 e a2 = .,)( 1254
4
17
4
2
1
=+ 
A seguir, b2 = 
1254
17
,
 = 4,1212 e a3 = )
,
,(
1254
17
1254
2
1
+ = 4,1231 
Assim 17 ≅ a3 
 
 
 
 
43
 
 
 Com esse método, os mesopotâmios encontraram 2 como 
1,414222 que é uma ótima aproximação. Aliás tinham facilidade em 
aproximações, talvez pela notação posicional para frações que foi a 
melhor até a Renascença. 
 
Álgebra 
 
 De uma forma discursiva, com poucos símbolos para as 
incógnitas, os mesopotâmios sabiam resolver, sem o uso de 
fórmulas, a equação do primeiro grau, sistemas lineares com duas 
incógnitas, equação do segundo grau, sistemas do segundo grau com 
duas incógnitas e equações biquadradas. 
 
Sistemas lineares 
 




=+
=+10
7
4
1
yx
yx
 
y
x
→=−
→=
=−
=
 4 6 10 
 6 3:18 
18 10 28 
28 4.7 :Solução
 
 
Equação do 2º grau 
 
 Para o egípcios era muito difícil resolver equações do tipo x² - 
px = q, mas os mesopotâmios resolviam seguindo uma receita. 
 Problema: Qual o lado de um quadrado tal que a área menos o 
lado perfaz 14,30? 
 A solução desse problema equivale a resolver x² - x = 870 (base 
10) ou x² - x = 14,30 (base 60). 
 Solução: x² = 1.x + 14,30 
 Tome a metade de 1, que é 0;30 e multiplique 0;30 por 0;30, o 
que dá 0;15. Some isto a 14,30, o que dá 10,30;15 que é o quadrado 
de 29;30. Agora some 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do 
quadrado. 
 A solução equivale exatamente à fórmula 
22
2 p
q)
p
(x ++= 
para uma raiz da equação x² - px = q. 
 No final de cada solução, escreviam “este é o procedimento”. 
 
 
44
 
 
Transformações algébricas 
 
 Muitas vezes usavam transformações algébricas, algo avançado 
para a época. Assim dada a equação 11x² + 7x = 6;15, procurava-se 
chegar no tipo padrão x² - px = q e para isso, multiplicando por 11 
ambos os membros de 11x² + 7x = 6;15 temos: 
 (11x)² + 11.7x = 11.6;15 = 1;18;45 
 Fazendo y = 11x, temos y² + 7y = 1;18;45 que pode ser 
resolvida pela fórmula 
22
2 p
q)
p
(y ++= e depois se calcula o 
valor de x. 
 Sabiam também passar da equação ax4 + bx² = c para ay² + by 
= c. 
 Resolviam uma equação do 2º grau com duas incógnitas, como 
por exemplo 




=
=+
yx
,yx
7
1
152122
 
 
Equações cúbicas 
 
 Não há registro no Egito de resolução de uma equação cúbica, 
mas entre os mesopotâmios há muitos exemplos. Cúbicas puras 
como x³ = 0;7,30 eram resolvidas por tabelas de cubos e raízes 
cúbicas, e a solução era 0;30. Para melhor aproximar resultados 
usavam frequentemente interpolação linear. 
 Com a tabela de inteiros n³ + n² resolviam cúbicas como x³ + x² 
= a. Por exemplo verifica-se que x³ + x² = 4,12 tem solução 6. 
 Resolviam também, cúbicas do tipo 144x³ + 12x² = 21. 
Multiplicavam por 12, os dois membros e, fazendo y = 12x a 
equação tornava-se y³ + y² = 4,12, da qual se encontrava y = 6, e 
finalmente x = 1/2 ou 0;30. 
É possível até que tenham resolvido cúbicas completas: ax³ + bx² + 
cx = d. 
 
 
 
 
 
45
 
Teoria dos NúmerosTeoria dos NúmerosTeoria dos NúmerosTeoria dos Números 
 
 O desenvolvimento da matemática mesopotâmia teve o seu 
apogeu por volta de 1800 a.C. Ao contrário de outros povos, deram-
se ao luxo de formular problemas matemáticos de características 
eminentemente especulativas. Na placa de argila 322 da Coleção 
Plimpton da Universidade de Columbia, Nova York, estudada por 
Neugebauer em 1945, temos uma tabela com 15 linhas por 4 
colunas, sendo que 3 delas, após um ajuste nos cálculos, estão 
relacionadas entre si como as conhecidas ternas pitagóricas. Na 
linha 4, por exemplo, encontramos a = 3,31,49; b = 3,45,0 e 
c = 5,9,1 que satisfazem a relação a² + b² = c², em que a, b, c são 
lados de um triângulo retângulo. Assim, aproximadamente, mil anos 
antes de Pitágoras nascer, já era conhecido entre os rios Tigre e 
Eufrates o famoso teorema atribuído ao sábio grego. 
 Outro documento, provavelmente do tempo dos Caldeus, 
apresenta identidades interessantes: 1 + 2 + 2² +...+ 29 = 210 – 1 e 
1² + 2² + ... + 10² = )...)(( 1021
3
20
3
1
++++= . 
GeometriaGeometriaGeometriaGeometria 
 
 A geometria mesopotâmia, como a dos egípcios, é 
extremamente pobre quando comparada a dos gregos. Não havia 
definições e teoremas; era essencialmente uma álgebra aplicada e 
figuras. Limitava-se ao cálculo da diagonal do quadrado, altura do 
triângulo eqüilátero, áreas de triângulos, retângulos e trapézios, bem 
como aproximação da área do círculo, que conheciam como sendo o 
quadrado do comprimento da circunferência dividido por 12. 
Conheciam, portanto, o valor de π como sendo 3. 
 
 
 
46
 
 
 Na placa Plimpton 355 destacam-se números que muito se 
aproximam da tangente e secante de alguns ângulos, embora, sabe-
se hoje, não conhecessem a trigonometria. Analisando a Plimpton 
470, destaca-se o cálculo aproximado do volume do tronco de cone, 
cilindro e pirâmide, quando esses resultados eram aplicados às suas 
construções, bem como ao comércio de ouro e prata. Curioso é que 
não sabiam calcular o volume da esfera, ou melhor, as aproximações 
que fizeram foram extremamente grosseiras. 
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. Quais são as mais importantes contribuições da Mesopotâmia ao 
desenvolvimento da matemática? Explique porque as considera 
importantes. 
 
2. Quais são as deficiências da matemática mesopotâmia? Explique. 
 
3. Descreva as vantagens e desvantagens relativas as notações dos 
mesopotâmios para os números, 
 
4. Escreva os números 10000 e 0,0862 em notação mesopotâmia. 
 
5. Use o algoritmo mesopotâmio para raiz quadrada para encontrar a 
raiz quadrada de 2, com seis casas decimais e compare com o valor 
mesopotâmio 1;24,51,10. 
 
6. Mostre que a representação sexagesimal de 1/7 tem periodicidade 
de três casas. Quantas casas há na periodicidade em representação 
decimal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47
 
 
GRÉCIAGRÉCIAGRÉCIAGRÉCIA 
 
 
“Em matemática todos os caminhos levam à Grécia” (Thomas Heath) 
 
 
 A chegada dos dórios, no século XII a.C., às circunvizinhanças 
do mar Egeu, constitui momento decisivo na formação do povo e da 
cultura grega. Na península e nas ilhas – cenário natural da Grécia 
em gestação – está então instalada a civilização micênica ou 
aqueana, que se desenvolvera em estreita ligação com a civilização 
cretense e em contato com povos orientais. 
 A sociedade micênica apresenta-se composta por grande 
número de famílias principescas, que reinam sobre pequenas 
comunidades. Essa pluralidade, decorrente da originária divisão em 
clãs, é fortalecida pelas próprias características físicas da região: o 
relevo, compartimentando o território, torna alguns locais mais 
facilmente interligáveis através do mar. 
 Assim, muito antes que as condições geográficas contribuam 
para que as cidades-estados venham a se desenvolver como unidades 
autônomas, já são motivo para que, desde suas raízes micênicas, a 
cultura grega se constitua voltada para o mar: via de comunicação e 
de comércio com outros povos, de intercâmbio e de confronto com 
outras civilizações. 
 
 
48
 
 
 Chegando em bandos sucessivos, vindos do norte, os dórios 
dominam a região. Embora da mesma raiz étnica dos aqueus, 
apresentam índice civilizatório mais baixo. Possuem, porém, uma 
incontestável superioridade: o uso de utensílios e armas de ferro, 
fator decisivo para a vitória sobre os micênicos que permaneciam na 
Idade do Bronze. 
 As invasões dóricas acarretam migrações de grupos de aqueus, 
que se transferem para as ilhas e as costas da Ásia Menor (Turquia) 
e ali fundam colônias, tentando preservar suas tradições, suas 
instituições e sua organização social de cunho patriarcal e gentílico. 
 As novas condições de vida das colônias e a nova mentalidade 
delas decorrentes encontram sua primeira expressão através das 
epopéias: em poesia o homem grego canta o declínio das arcaicas 
formas de viver ou pensar, enquanto prepara o futuro advento da era 
científica e filosófica que a Grécia conhecerá a partir do século VI 
a.C. 
 Resultantes da fusão de lendas eólias e jônicas, as epopéias 
incorporaram relatos mais ou menos fabulosos sobre expedições 
marítimas e elementos provenientes do contato do mundo helênico, 
em sua fase de formação, com culturas orientais. A língua desses 
primeiros poemas da literatura ocidental é uma mistura dos dialetos 
eólio e jônico, com predominância do último. Entremeando lendas e 
ocorrências históricas – relatando particularmente os acontecimentos 
referentes à derrocada da sociedade micênica – surgem então cantos 
e sagas que os aedos (poetas e declamadores ambulantes) 
continuamente foramenriquecendo. Constituídos por seqüências de 
episódios relativos a um mesmo evento ou a um mesmo herói, 
surgem, assim, “ciclos” que cantam principalmente as duas guerras 
de Tebas e a Guerra de Tróia. Desses numerosos poemas, apenas 
dois se conservaram: a Ilíada e a Odisséia de Homero, escritos entre 
os séculos X e VIII a.C. 
 
HOMERO HOMERO HOMERO HOMERO (século X a.C.) 
 
 Da vida de Homero praticamente nada se sabe com segurança, 
embora dados semilendários sobre ele fossem transmitidos desde a 
antiguidade. Sete cidades gregas reivindicam a honra de ter sido sua 
terra natal. Homero é frequentemente descrito como velho e cego, 
 
 
49
 
 
perambulando de cidade em cidade, a declamar seus versos. 
Chegou-se mesmo a duvidar de sua existência e de que a Ilíada e a 
Odisséia fossem obra de uma só pessoa. Poderiam ser coletâneas de 
contos populares de antigos aedos e, ainda que tenha existido um 
poeta chamado Homero que realizou a compilação desse material e 
enriqueceu com contribuições próprias, o certo é que essas obras 
contêm passagens procedentes de épocas diversas. 
 Além de informar sobre a organização da polis arcaica, as 
epopéias homéricas são a primeira expressão documentada da visão 
mitopoética dos gregos. A intervenção benéfica ou maléfica dos 
deuses está no âmago da psicologia dos heróis de Homero e 
comanda suas ações. Com efeito, a Ilíada e a Odisséia apresentam-
se marcadas pela presença constante de poderes superiores que 
interferem na luta entre gregos e troianos (tema da Ilíada) e nas 
aventuras de Ulisses ou Odisseu (tema da Odisséia). 
 Nas epopéias homéricas, mesmo quando representam forças da 
natureza, os deuses revestem-se de forma humana; esse 
antropomorfismo atribui-lhes aspecto familiar e até certo ponto 
inteligível, afastando os terrores relativos a forças obscuras e 
incontroláveis. Sobrepondo-se a arcaicas formas de religiosidade, 
Homero exclui do Olimpo, mundo dos deuses, as formas 
monstruosas da mesma maneira que exclui do culto as práticas 
mágicas. 
 A racionalização do divino conduz a uma religiosidade 
“exterior”, que mais convém ao público a que se dirigem as 
epopéias: à polis aristocrática. 
 Essa religiosidade “apolínea” permanecerá como uma das 
linhas fundamentais da religião grega: a do sentido político que 
servirá para justificar as tradições e instituições da cidade-estado. 
 É por oposição aos homens que os deuses homéricos se 
definem: ao contrário dos humanos, seres terrenos, os deuses são 
princípios celestes; à diferença dos mortais, escapam à velhice e à 
morte. Escapam à morte, mas não são eternos nem estão fora do 
tempo: em princípio pode-se saber de quem cada divindade é filho 
ou filha. A imortalidade, esta sim, está indissoluvelmente ligada aos 
deuses que, por oposição aos humanos mortais, são frequentemente 
designados de “os imortais” e constituem, na sua organização e em 
seu comportamento, uma sociedade imortal de nobres celestes. 
 
 
50
 
 
 Em Homero, a noção de virtude (areté) significava o mais alto 
ideal cavalheiresco aliado a uma conduta cortesã e ao heroísmo 
guerreiro. Identificada a atributos da nobreza, a areté, em seu mais 
amplo sentido, designava não apenas a excelência humana, como 
também a superioridade de seres não-humanos, como a força dos 
deuses ou a rapidez dos cavalos nobres. Em geral, a virtude 
significava força e destreza dos guerreiros ou dos lutadores, valor 
heróico intimamente vinculado à força física. A virtude em Homero 
é, portanto, atributo dos nobres, os aristoi; uma minoria que se eleva 
acima da multidão de homens comuns. 
 
HESÍODOHESÍODOHESÍODOHESÍODO (século VIII a.C.) 
 
 O complexo processo de formação do povo e da cultura grega 
determinou o aparecimento dentro do mundo helênico, de áreas 
bastante diferenciadas, não só quanto às atividades econômicas e às 
instituições políticas, mas também quanto à própria mentalidade e 
suas manifestações nos campos da arte, da religião, do pensamento. 
À Grécia Continental, mais presa às tradições da polis arcaica, 
contrapunham-se as colônias da Ásia Menor, situadas em regiões 
mais distantes pelo intercâmbio comercial e cultural com outros 
povos. Da Jônia surgem as epopéias homéricas e, a partir do século 
VI a.C., as primeiras formulações filosóficas e científicas dos 
pensadores de Mileto, de Samos, de Éfeso. Entre esses dois 
momentos de manifestação do processo de racionalização da cultura 
grega, situa-se a obra poética de Hesíodo – voz que se eleva da 
Grécia Continental – conjugando as conquistas da nova mentalidade 
surgida nas colônias da Ásia Menor com os temas extraídos de sua 
gente e de sua terra. 
 Hesíodo foi um mestre da poesia instrutiva; viveu em Ascra, na 
Beócia, e é exaltado agora por seus dois poemas, A Teogonia e Os 
trabalhos e os dias. O primeiro pode ser chamado de genealogia dos 
deuses. Os trabalhos e os dias referem-se, basicamente, a regras de 
agricultura e navegação, embora também forneça um calendário de 
dias felizes e infelizes e ofereça uma homilia moral. 
 Com Hesíodo dá-se a aparição do subjetivo na literatura. Na 
épica mais antiga, o poeta era o simples veículo anônimo das Musas; 
já Hesíodo “assina” sua obra para fazer história pessoal. 
 
 
51
 
 
 Tomando como ponto de partida velhos mitos, que coordena e 
enriquece, Hesíodo traça uma genealogia sistemática das divindades. 
O drama teogônico tem início, com a apresentação das entidades 
primordiais. Adotando implicitamente o postulado de que tudo tem 
origem, Hesíodo mostra que primeiro teve origem o Caos – abismo 
sem fundo – e, em seguida, a Terra e o Amor (Eros), “criador de 
toda a vida”. 
 As duras condições de trabalho de sua gente sugerem assim a 
Hesíodo uma visão pessimista da humanidade, perseguida pela 
animosidade dos deuses. E a mulher deixa de ser exaltada, como na 
visão aristocrática de Homero, para ser caracterizada, por esse 
camponês, como mais uma boca a alimentar e a exigir sacrifícios; 
“Raça maldita de mulheres, terrível flagelo instalado no meio dos 
homens mortais”. 
 Do mesmo modo que o mito de Prometeu ilustra a idéia de 
trabalho, o mito das Idades (de ouro, prata, bronze e ferro) ilustra a 
idéia de justiça; nenhum homem pode furtar-se à lei do trabalho, 
assim como evitar a justiça. Com Hesíodo surge a noção de que a 
virtude (areté) é filha do esforço e a de que o trabalho é o 
fundamento e a salvaguarda da justiça. 
 
 
A MATEMÁTICA GREGAA MATEMÁTICA GREGAA MATEMÁTICA GREGAA MATEMÁTICA GREGA 
 
 Hoje nos referimos à matemática grega, de forma inadequada, 
como um corpo de doutrina homogêneo e bem definido. Na verdade 
com essa visão simplista adotamos que a geometria sofisticada do 
tipo Euclides – Arquimedes – Apolônio, era a única espécie que os 
gregos conheciam. Devemos lembrar que a matemática no mundo 
grego cobriu um intervalo de tempo indo pelo menos de 600 a.C. a 
600 d,C. e que viajou da Jônia à ponta da Itália, de Atenas a 
Alexandria, e a outras partes do mundo civilizado. Bastam os 
intervalos de tempo e espaço para produzir modificações na 
profundidade e extensão da atividade matemática e, a ciência grega 
não tinha a uniformidade, século após século, encontrada nos 
egípcios e mesopotâmios. Além disso, mesmo num dado tempo e 
lugar (como hoje em nossa civilização) havia marcadas diferenças 
no nível de interesse e realização matemática. Veremos como até na 
 
 
52
 
 
obra de um único indivíduo, como Ptolomeu, poderia haver dois 
tipos de estudos – O Almajesto para os racionalistas e o Tetrabiblos 
para os místicos. É provável que sempre houvesse pelo menos dois 
níveis de percepção matemática, mas que a escassez de obras 
preservadas, especialmente do nível inferior, tenda a obscurecer esse 
fato. 
 
Períodos da História da Matemática GregaPeríodos da História da Matemática GregaPeríodos da História da Matemática GregaPeríodos da História da Matemática Grega 
 
 Não houve, é claro, uma quebra brusca marcando a transição da 
liderança intelectual dos valesdos rios Nilo, Tigre e Eufrates para as 
margens do Mediterrâneo, pois o tempo e a história fluem 
continuamente. Os estudiosos egípcios e mesopotâmios continuaram 
sua produção durante muitos séculos, após 800 a.C., mas enquanto 
isso, uma nova civilização se preparava rapidamente para assumir a 
hegemonia cultural, não só na região mediterrânea, mas também nos 
principais vales fluviais. 
 A primeira fase da “idade do mar” é chamada de Helênica e, 
conseqüentemente, as culturas mais antigas são ditas pré-helênicas. 
 A seguir, uma subdivisão da matemática grega que, a exemplo 
de muitas que existem, é arbitrária e convencional. 
 
Período Helênico: vai até a morte de Alexandre (323 a.C.) 
 Nesse período destacamos duas fases principais: a primeira pré-
socrática desenvolvida nas Ilhas Jônicas, Ásia Menor, Sul da Itália e 
Sicília, ligadas às escolas filosóficas de Mileto, Samos, Èfeso e Eléia 
e a segunda, nos séculos V e IV a.C., tendo Atenas como centro 
principal. 
 
Período Helenístico: vai de 323 a.C. até o início de nossa era. 
 É o período de consolidação e também o mais rico do ponto de 
vista matemático. Surge um novo tipo de intelectual inexistente no 
período anterior: o especialista, o erudito. 
 Os expoentes desse período são Euclides, Arquimedes e 
Apolônio. Os principais centros são Alexandria, Rodes e Pérgamo. 
 
 
 
 
 
53
 
 
Período Greco-Romano: vai até 300 d.C. 
 Nesse período a matemática sofreu influência de outras 
culturas: egípcias, mesopotâmias e romanas. 
 O principal centro ainda é Alexandria e os nomes de destaque 
são Ptolomeu, Heron, Diofanto e Papus. 
 
Período da Decadência: Greco-Romano – vai até 640 d.C. 
 Os romanos, talvez preocupados com aspectos práticos de uma 
forma exagerada, desprezavam a filosofia e a ciência pela ciência. 
Isso não é suficiente para explicar a decadência, mas não havendo 
especulações não haverá inovações. Nesse período era mal usado 
tudo o que já conheciam de períodos anteriores. 
 
As fontesAs fontesAs fontesAs fontes 
 
 São escassas as fontes de informações sobre as idéias científicas 
dos gregos. Alguns dos mais importantes tratados só são conhecidos 
pelo titulo, por citações esparsas, ou indiretamente, através de 
traduções árabes. 
 A seguir apresentamos algumas obras que tornaram-se 
importantes referências sobre o desenvolvimento da matemática 
grega. 
 
● História da Geometria, escrito em 330 a.C., por Eudemo de 
Rodes, um discípulo de Aristóteles. Trata-se de uma obra que se 
perdeu e que é considerada o primeiro livro de História da 
Matemática. 
 
● Arranjo das matemáticas de Gêmino de Rodes escrito em 70 a.C. 
contém dados históricos. Essa obra perdeu-se, mas alguns de seus 
trechos são citados por autores de época posterior. 
 
● Regras matemáticas necessárias para o estudo de Platão de Téon 
de Esmirna escrito em 140 d,C. 
 
● Coleção Matemática de Papus (século III d.C), em oito volumes, 
contém muitos informes relativos ao anterior desenvolvimento da 
geometria. 
 
 
54
 
 
● Comentário ao Livro I de Euclides acrescido do Sumário 
Eudemiano de Proclo (410-485), um filósofo neoplatônico. Uma 
obra que ainda existe que contém grandes evidências de o autor ter 
usado o livro de Eudemo que nos referimos anteriormente. De tal 
modo que acrescentou ao seu Comentário um Sumário ou Extrato 
denominado de Sumário Eudemiano. Trata-se de um breve resumo 
do desenvolvimento da geometria grega, apresentando uma lista dos 
primeiros matemáticos, de Tales até Euclides. Um fato interessante é 
que Proclo deixou fora da lista os filósofos atomistas. Demócrito, 
por exemplo, foi um grande matemático não relacionado. 
 
 Esses exemplos mostram que as fontes relativas à matemática 
grega são: cópias e compilações de obras, às vezes, realizadas vários 
séculos antes; traduções de obras gregas para o árabe ou para o 
latim, e, finalmente temos ainda as referências indiretas.. 
 Faltam para a matemática grega fontes originais como as que 
tivemos para o Egito e a Mesopotâmia. Parece contraditório que 
uma matemática tão rica, sofisticada não seja documentada. O 
campo é fértil e é um convite à discussão, mas o que não podemos 
esquecer é a grande tradição oral, presente em todos os ramos de 
conhecimento na Grécia, além, é claro, dos grandes incêndios que 
destruíram, várias vezes, as principais bibliotecas. 
 
Sistemas de Numeração 
 
 Para os gregos, números eram os inteiros positivos. As frações 
eram muito usadas mas como a razão entre dois inteiros. 
 O curioso é que nem mesmo os grandes nomes da matemática 
operaram com os números negativos e o zero. 
 A crise inicial causada pelo aparecimento dos irracionais foi 
superada, considerando esses incomensuráveis como grandezas, 
como medida de um segmento. Assim 2 não era, como hoje, um 
número irracional, mas a medida da diagonal de um quadrado de 
lado 1. 
 Uma matemática essencialmente geométrica apresentava dois 
sistemas de numeração muito distantes da praticidade do nosso 
posicional de base 10. 
 
 
55
 
 
• Período mais antigo (sistema ático) – sistema de base 10. 
 
 | = 1| | = 2 | | | = 3 | | | | = 4 
(penta) 5=Γ 6 | =Γ (deka) 10=∆ 
(hekaton) 100=Η (khilioi) 1000=Χ 
(myrioi) 10000=Μ 
 
Eram usados os princípios aditivo e multiplicativo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
45678 = MMMM H ∆∆ 
 
• Sistema Jônico ou Alfabético ( usado a partir de 500 a.C.) 
 
Tabela de associação de letras e números: 
 
Θ
Η
Ζ
Ε
∆
Γ
Β
Α
F
 
θ
η
ζ
ς
ε
δ
γ
β
α
 
theta
eta
dzeta
stigma
epsilon
delta
gama
beta
alfa
 
9
8
7
6
5
4
3
2
1
 
 
 
∆ 
M 
X 
H 
= 5⋅10 = 50 
= 500 
= 5000 
= 50000 
X H ∆ 
 
 
56
 
 
q
Π
Ο
Ξ
Ν
Μ
Λ
Κ
Ι
 
Q
π
ο
ξ
ν
µ
λ
κ
ι
 
koppa
pi
ómicron
csi
ni
mi
lambda
capa
iota
 
90
80
70
60
50
40
30
20
10
 
 
S
Ω
Ψ
Χ
Φ
Υ
Τ
Σ
Ρ
 
s
ω
ψ
χ
ϕ
υ
τ
σ
ρ
 
sampi
omega
psi
khi
fi
upsilon
tau
sigma
ró
 
900
800
700
600
500
400
300
200
100
 
 
 A partir daí, uma linha antes da letra multiplica-a por 1000 e 
essa letra como expoente de Μ , fica multiplicada por 10000. 
 
Exemplos: 
γ
β
α
/
/
/
 
3000
2000
1000
 
ς
ε
δ
/
/
/
 
6000
5000
4000
 
θ
η
ζ
/
/
/
 
9000
8000
7000
 
γ
β
α
Μ
Μ
Μ
 
30000
20000
10000
 
 
ηπηϖ / 8888 δνσαΜα / 11254 
 
 
 
 
57
 
Exemplo de multiplicação: 
 
 
σξε
σξε
 
265
265
 
εκτα
τχγβΜ
αβΜΜ
α
αδ
 
 
 
/
//
//
 
25 300, 1000, 
300 3600, 12000, 
 1000 12000, 00004 ,
 
 εκσΜ ζ 70225 
 
 Para efetuar cálculos eram utilizados seixos ou alguma espécie 
de ábaco. A divisão era um processo extremamente laborioso que 
consistia em repetidas subtrações. Extraíam raízes quadradas 
aproximadas e, em geral, usavam frações unitárias. Para denotá-las, 
usava-se uma linha como expoente da letra correspondente ao 
denominador. 
Exemplos: 
/β 
2
1
 /µα 
41
1
 /βγ 
3
2
 
 
 Para os gregos, havia uma nítida distinção entre a arte de 
calcular (logística) e a ciência dos números (aritmética). A primeira 
era considerada indigna da atenção dos filósofos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59
 
 
O RACIONALISMO JÔNICO E OS O RACIONALISMO JÔNICO E OS O RACIONALISMO JÔNICO E OS O RACIONALISMO JÔNICO E OS 
PITAGÓRICOSPITAGÓRICOSPITAGÓRICOSPITAGÓRICOS 
 
Primeira fase do Período HelênicoPrimeira fase do Período HelênicoPrimeira fase do Período HelênicoPrimeira fase do Período Helênico 
 
 
“Para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas sim, como o 
sabemos” (Aristóteles) 
 
 
TALES TALES TALES TALES (625 – 558 a.C.) 
 
 De origem fenícia, Tales de Mileto é considerado o primeiro 
filósofo, e o primeiro matemático da história, segundo o Sumário de 
Proclo, já eferido.Mileto, na Ásia Menor (estaria hoje na Turquia) 
foi a primeira cidade a despontar culturalmente na Grécia Antiga, 
que já era composta por cidades-estados independentes. 
 Sobre a vida de Tales, é difícil saber o que é verdadeiro e o que 
é lenda. Como engenheiro, foi encarregado de construir uma represa 
no rio Halys. Como comerciante, negociou com sal e azeite e, 
visitando o Egito, assimilou um pouco da ciência dos sacerdotes. 
Dedicou-se aos estudos das estrelas não menos que ao da geometria, 
e conseguiu prever para 585 a.C. um eclipse do Sol. 
 Essa previsão valeu a Tales uma grande reputação entre os seus 
contemporâneos, tanto que foi considerado um dos sete sábios da 
Grécia, se bem que essa escolha, parece ter tido mormente política. 
Nenhum dos outros seis, pelo menos, possuía autoridade científica. 
 Tales ensinou que o ano contava 365 dias, que a Lua é 
iluminada pelo Sol e que o eclipse, até então, castigo dos deuses, 
poderia ser explicado. 
 Sua filosofia consistia em procurar uma essência (unidade) para 
todas as coisas. Para ele esse princípio unificador seria a água e essa 
seria a primeira explicação do mundo de forma material. Para Tales, 
a Terra era um disco circular a flutuar num oceano de água e 
juntamente com seu discípulo Anaximandro foi o primeiro a afirmar 
que a Terra era redonda, ou melhor, esférica. 
 
 
 
60
 
 
 A água seria, portanto, o elemento fundamental do Cosmos. O 
gelo, a neve e a geada convertem-se facilmente em água, e as 
próprias rochas se desfazem e desaparecem na água. Também o 
homem parece ser capaz de converter-se em água, enquanto que as 
águas do mar e da terra se condensam em resíduos sólidos. Pela 
evaporação da água forma-se o ar e é a agitação do elemento 
universal que causa os terremotos. Entre o seu ocaso e o seu 
nascimento, as Estrelas passam por trás da Terra. 
 Segundo Aristóteles, quando Tales foi criticado por seu pouco 
senso prático e por despender tempo demasiado com a filosofia, em 
vez de fazer dinheiro, ele decidiu confundir seus críticos. Prevendo 
uma fartura de azeitonas durante o verão seguinte, fez depósitos em 
todas as prensas de azeitonas de Mileto e da vizinha Quios, 
alugando-as por baixo preço, pois não se apresentou qualquer 
concorrente. Quando chegou a época da colheita de azeitonas, 
necessitaram de todas as prensas e Tales as alugou pelo preço que 
quis. Assim, mostrou ao mundo que os filósofos podem ser ricos, se 
o quiserem, mas que a sua ambição é de outra espécie. Entretanto, 
há outra história a respeito de Tales, segundo a qual ele caiu num 
poço, enquanto olhava as estrelas, sendo ridicularizado por uma bela 
senhorita, por estar tentando descobrir o que estava acontecendo no 
céu e que era incapaz de ver o que havia a seus pés. Assim, temos 
duas tradições opostas, uma que mostra como um filósofo pode ser 
prático, outra como pode não sê-lo. 
 
Tales e a matemática 
 
 Em matemática é considerado o criador do método dedutivo e, 
assim, teria provado algumas proposições importantes. Como 
exemplos temos as cinco seguintes: 
 
1. Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
61
 
 
2. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se 
cortam são iguais. 
 
 
 
 
3. O triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo. 
 
 
 
 
4. Todo diâmetro de uma circunferência divide-a ao meio. 
 
 
 
 
 
 
5. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são 
iguais, respectivamente, a dois ângulos e um lado de outro, então os 
triângulos são congruentes. 
 
 Como aplicação da geometria que estava desenvolvendo 
destacam-se dois resultados famosos atribuídos a Tales: 
 
- medida da altura da pirâmide de Quéops no Egito por semelhança 
de triângulos. 
 
 
 
 
 
 
- cálculo da distância de um navio à praia, por congruência de 
triângulos. 
 
 
62
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANAXIMANDROANAXIMANDROANAXIMANDROANAXIMANDRO (611 – 544 a.C.) 
 
 Discípulo de Tales, introduziu na Grécia e aperfeiçoou o relógio 
de sol, de origem mesopotâmia, e foi também o primeiro a traçar um 
mapa geográfico. 
 No único fragmento que restou de sua obra, Anaximandro 
afirma que, ao longo do tempo, os opostos pagam entre si as 
injustiças reciprocamente cometidas; lei do equilíbrio universal. Por 
exemplo, no inverno o frio seria compensado dos excessos 
cometidos pelo calor durante o verão. 
 
 
ANAXÍMENESANAXÍMENESANAXÍMENESANAXÍMENES (século VI a.C.) 
 
 Para o último representante da escola de mileto, o Universo 
resultaria das transformações de um ar infinito. 
 O ar seria assim, o princípio unificador, causa primeira de todas 
as coisas. O calor do sol seria devido ao rápido movimento do ar, 
por exemplo. 
 
 À escola de Tales e seus continuadores, sucederam-se 
desenvolvimentos importantes nas colônias gregas da Itália, na 
chamada Magna Grécia, cuja distância da metrópole era ainda 
maior. 
 
 
 
A 
M B 
C 
Navio 
. . 
 
 
63
 
PITÁGORASPITÁGORASPITÁGORASPITÁGORAS (578 – 496 a.C.) 
 
Pitágoras de Samos viveu meio século 
depois de Tales e é pouco provável que 
tenham se encontrado. Alguma 
semelhança entre seus interesses sempre 
se detecta, inclusive por suas viagens 
pelo Oriente em busca de conhecimento. 
Pitágoras visitou a Mesopotâmia, tendo 
mais tarde chegado até a Índia. Durante 
suas peregrinações evidentemente 
absorveu não só informações 
matemáticas e astronômicas como 
também muitas idéias religiosas. 
Pitágoras: A escola de Atenas Foi contemporâneo de Buda, Confúcio e 
 Lao-Tse, de modo que esse século foi 
importante no desenvolvimento da religião e da matemática. 
 Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em 
Crotona, sudeste da Itália, onde fundou uma escola, ou melhor, uma 
sociedade secreta que se assemelhava um pouco a um culto órfico 
(ou o culto de Dionísio), exceto por suas bases matemáticas e 
filosóficas. 
 Os órficos acreditavam na imortalidade da alma e na 
metempsicose, ou seja, a transmigração da alma através de vários 
corpos, a fim de efetivar sua purificação. A alma aspiraria, por sua 
própria natureza, a retornar a sua pátria celeste, às estrelas; mas para 
se libertar do ciclo de reencarnações, o homem necessitava da ajuda 
de Dionísio, que completava a libertação preparada pelas práticas 
catárticas. 
 Pitágoras, que se tornou figura legendária já na própria 
antiguidade, realizou uma modificação fundamental na religiosidade 
órfica, transformando o sentido da via da salvação. No lugar de 
Dionísio colocou a matemática e por isso temos a referência 
conhecida como “a salvação pela matemática”. 
 Assim, a grande novidade introduzida na religiosidade órfica foi 
a transformação do processo de libertação da alma num esforço 
inteiramente subjetivo e puramente humano. A purificação resultaria 
do trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas 
e torna a alma semelhante ao cosmo, em harmonia, proporção e 
 
 
64
 
 
beleza. Pitágoras teria chegado à concepção de que todas as coisas 
são números através, inclusive, de uma observação no campo 
musical. Verificou no monocórdio, que o som produzido varia de 
acordo com a extensão da corda sonora. Ou seja, descobre que há 
dependência do som em relação à extensão, da música em relação à 
matemática. 
 Pitágoras concebe a extensão como descontínua, constituídas 
por unidades indivisíveis e separadas por um “intervalo”. Segundo 
sua cosmologia esse “intervalo” seria resultante da respiração do 
universo, que vivo, inalaria o ar infinito em que estaria imerso. 
Mínimo de extensão e mínimo de corpo, as unidades comporiam os 
números que não eram, portanto, como virão a ser mais tarde, meros 
símbolos a exprimir o valor das grandezas. Para Pitágoras e seus 
seguidores, chamados de pitagóricos, os números eram reais, a 
própria “alma das coisas”, eram entidades corpóreas constituídas 
pelas unidades cotíguas. 
 A concepção pitagórica de números, que só admitiaos inteiros 
positivos e razões entre eles, apresentava limitações que logo 
exigiriam tentativas de reformulações. O principal impasse 
enfrentado por essa aritmo-geometria foi relativo aos irracionais. 
Tanto na relação entre certos valores musicais, expressos 
matematicamente, quanto na base mesma da matemática surgem 
grandezas inexprimíveis naquela concepção de número. Assim, a 
relação entre o lado e a diagonal do quadrado, que é a hipotenusa do 
triângulo retângulo isósceles, tornava-se incomensurável, ou seja, 
eram linhas que não tinham razão comum. O “escândalo” dos 
irracionais, manifestava-se no próprio Teorema de Pitágoras. Ao se 
atribuir o valor 1 ao cateto de um triângulo retângulo isósceles, a 
hipotenusa torna-se igual a 2. Ou então, quando se pressupunha 
que os valores correspondentes à hipotenusa e aos catetos eram 
números primos entre si, concluía-se por absurdo que um deles 
deveria ser par e ímpar. 
 Apesar desses impasses – e em grande parte por causa deles – o 
pensamento pitagórico evoluiu e expandiu-se, influenciando 
praticamente todo o desenvolvimento da ciência e da filosofia 
gregas. Após a dissolução do núcleo primitivo de Crotona (talvez 
por razões políticas) os pitagóricos se dispersaram e passaram a 
 
 
65
 
atuar amplamente no mundo helênico, levando a todos os setores 
da cultura o ideal de salvação do homem e da polis, através da 
proporção e da medida. 
 Se procurarmos a origem de termos ou expressões como 
matemática, filosofia, matemática pura, matemática pela 
matemática, sem dúvida teremos que visitar a escola pitagórica. 
Escola que adotou inicialmente ensinamentos orais, mas que depois, 
com expoentes como Filolau e Arquitas, proporcionou à posteridade 
alguns preciosos fragmentos. 
 
Aritmética 
 
 Os pitagóricos adotaram uma representação figurada dos 
números, que permitia explicitar sua lei de composição. Os 
primeiros números, representados dessa forma, bastavam para 
justificar o que há de essencial no universo: 
 
- o um é o ponto, mínimo de corpo, unidade de extensão • 
 
- o dois determina a linha  • — • 
 
- o três gera a superfície 
 
- o quatro produz o volume 
 
 Como já se destacou anteriormente os números eram dotados de 
significados especiais e alguns foram identificados com atributos 
humanos. Para exemplificar temos que o número um era o gerador 
de todos os números e assim considerado o número da razão; o dois 
era o da opinião; o três da harmonia; o quatro da justiça; o cinco do 
casamento e o seis era o número da criação, era perfeito (o mundo 
foi criado em seis dias). Vale ressaltar que o dez, chamado tetraktys 
era o número mais adorado pelos pitagóricos. A adoração era 
abstrata, nada relacionado com dez dedos e, ainda, 10 = 1 + 2 + +3 + 
4, significando a soma dos quatro elementos básicos do universo: 
ponto, linha, superfície e volume. 
 
 
 
 
 
66
 
 
Temas principais estudados pelos pitagóricos: 
 
 Alguns conceitos sobre os números inteiros positivos, muitas 
vezes relacionados à geometria foram introduzidos na matemática 
por Pitágoras e seus seguidores, denominados genericamente de 
pitagóricos. 
 Segue uma relação desses conceitos, hoje considerados 
elementares: 
 
Números pares e ímpares (o número um estava excluído de 
classificação, os números pares eram considerados femininos e 
os ímpares masculinos); números primos; números perfeitos, 
deficientes e abundantes; números amigos; médias (aritmética, 
geométrica e harmônica); progressões(aritmética e geométrica); 
proporções e números figurados. 
 
Dos conceitos acima destacam-se os mais curiosos: 
 
• Números perfeitos: 
Número perfeito é aquele igual à soma de seus divisores 
próprios. 
Exemplos: 6, 28, 496, 8128, 33550336 
 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14 
 
• Números deficientes 
Número deficiente é aquele que é maior do que a soma de 
seus divisores próprios. . Exemplo: 8 
 
• Números abundantes 
 Número abundante é aquele que é menor que a soma de seus 
divisores próprios. . Exemplo: 12 
 
• Números amigos: 
Pitágoras, quando lhe perguntavam o que era um amigo, 
respondia: “é um que é outro eu, como 220 e 284”. Os 
divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, que somados são 220; 
enquanto os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 
44, 55 e 110, que somados dão 284. 
 
 
67
 
 
• Números figurados 
Os números figurados ilustram a interação que havia entre a 
aritmética e a geometria. 
- números triangulares 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
4321
)n(n
n...
+
=+++++ 
 
 
- números quadrados 
 
 
 
212531 n)n(... =−++++ 
 
- números retangulares 
 
 
 
)n(nn... 128642 +=+++++ 
 
 
 
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1 3 6 10 
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1 4 9 16 
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• 
• 
2 6 12 
 
 
68
 
 
 - números pentagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )( )
2
123
231310741
++
=−++++++
nn
n... 
 
Geometria 
 
 Os pitagóricos investigaram a geometria teoricamente. Sabiam, 
por exemplo, que com polígonos regulares só há três maneiras de 
pavimentar um solo: com quadrado, triângulo e hexágono. 
Conheciam três poliedros regulares: o tetraedro, o cubo e o 
dodecaedro (observados em cristais). Há dúvidas se conheciam o 
octaedro e icosaedro. 
 É possível que tenham demonstrado, por áreas, o teorema que 
hoje é chamado de Pitágoras. Não se sabe, porém, qual poderia ser 
essa demonstração e como vimos anteriormente esse resultado já era 
conhecido na Mesopotâmia muito antes de Pitágoras. 
 
 
222 cba += 
 
 
 
 
 
 
 Merecem destaque, ainda, os clássicos problemas da divisão 
áurea e aplicações de áreas. 
 
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1 5 12 
 
 
69
 
A divisão áurea 
Dado um segmento AC o ponto B é marcado de forma que 
 
A B C 
 
.
BC
AB
BC
AB
)
BC
AB
(
)
BC
AB
(
BC
AB
BC
AB
BC
AB
BC
AB
AB
BC
BC
AB
AB
BCAB
BC
AB
AB
AC
2
51
01
1
1
1
1
2
2
+
=⇒=−−⇒
⇒=+⇒=+⇒
⇒=+⇒=
+
⇒=
 
 O número ...,6180331
2
51
=
+
 é conhecido como áureo. 
 
Aplicações de áreas 
Dados uma área K e um segmento AB, o objetivo era 
construir um retângulo de área K sobre AB. 
 
1º) Parábola: usado exatamente o segmento AB 
 
a.x = K 
 
 
 
2º) Hipérbole: usado mais do que o segmento AB 
 
(a + x)x = K 
 
 
 
3º) Elipse: usado menos do que o segmento AB 
 
 (a – x)x = K 
 
 
 
A B a 
K x 
x 
A B a 
K x 
A B a 
K x 
x 
 
 
70
 
 
Cosmologia pitagórica: 
 
 Trata-se de uma das primeiras tentativas de explicar os 
movimentos dos planetas. O Universo era formado por esferas 
concêntricas numa ordem provável: Terra (no centro), Lua, 
Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e as Estrelas fixas. A 
lua, o Sol e os cinco planetas giravam em torno da Terra. 
 
 Uma escola filosófica importante e aparentemente rival da 
pitagórica é a chamada eleática, com sede em Vélia ou Eléia, na 
Itália. Os principais componentes dessa escola foram Parmênides, 
Zenon e Melisso. 
 
 
PARMÊNIDESPARMÊNIDESPARMÊNIDESPARMÊNIDES (530 – 460 a.C.) 
 
 Fundador da escola eleática considerada muito importante na 
história da filosofia e da matemática. Com ele inicia-se as 
especulações sobre o ser e sobre o conhecer. Para Parmênides o 
homem adquire conhecimento por duas vias: razão e observação. 
 
Essência da filosofia de Parmênides 
 O ser teria que ser eterno, imóvel, finito, imutável, pleno, 
contínuo, homogêneo e indivisível. O movimento não existia, era 
fruto da via enganosa da opinião, através da observação. Enquanto 
os pitagóricos e outros filósofos da época acreditavam na 
multiplicidade e na mudança, Parmênides defendia a filosofiada 
permanência. A existência do movimento significaria atribuir 
existência ao “não-ser”. 
 
ZENONZENONZENONZENON (488 – 430 a.C.) 
 
 Discípulo e defensor de Parmênides, Zenon de Eléia 
sistematizou o método da demonstração por absurdo e foi 
considerado por Aristóteles como o inventor da dialética. Partindo 
das premissas de seus oponentes, ele as reduzia ao absurdo. 
 Zenon deixou quarenta argumentos dos quais apenas nove 
foram conservados. Os argumentos são sobre certos problemas 
 
 
71
 
 
fundamentais que envolvem noções de grandezas, multiplicidade, 
espaço, movimento, tempo e percepção sensível. 
 Dos argumentos de Zenon, tornaram-se mais famosos os que 
visam diretamente ao problema do movimento. A Dicotomia e o 
Aquilies garantem que o movimento é impossível sob a hipótese de 
subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo; a Flecha e o 
Estádio, de outro lado, garantem o mesmo, sob a hipótese contrária, 
ou seja, de que a subdivisibilidade do tempo e do espaço 
terminariam em indivisíveis. 
 
Dicotomia (divisão em dois) 
 É o argumento que diz que antes que um objeto possa percorrer 
uma distância dada, deve percorrer a primeira metade dessa 
distância; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes 
disso, o primeiro oitavo e assim por diante, através de uma 
infinidade de subdivisões. O indivíduo interessado em se colocar em 
movimento precisa fazer infinitos contatos num tempo finito; mas é 
impossível exaurir uma coleção infinita. Portanto é impossível 
iniciar o movimento. 
 
 
 
 
Aquiles e a tartaruga 
 Este paradoxo é semelhante ao primeiro, apenas a subdivisão 
infinita é progressiva em vez de regressiva. Aqui Aquiles aposta 
corrida com uma tartaruga que sai com vantagem e por mais 
depressa que corra, não pode alcançar a tartaruga, por mais devagar 
que ela caminhe. Pois, quando Aquiles chegar à posição inicial da 
tartaruga, ela já terá avançado um pouco; e quando cobrir essa 
distância, a tartaruga terá avançado um pouco mais. E o processo 
continua indefinidamente, com o resultado que Aquiles nunca pode 
alcançar a lenta tartaruga. 
 
 
 
 
 
0 1/8 
1/4 
1/2 1 
A B C D E 
 
 
72
 
 
A Flecha 
 Zenon considera uma flecha e razoavelmente assegura que esta 
deve estar em certo ponto num dado instante: como ela não pode 
estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se mover naquele 
instante; se por outro lado, está em repouso naquele instante, então, 
como o mesmo argumento se aplica para outros instantes, ela não 
pode se mover de jeito nenhum. 
 
 
O Estádio 
 Sejam A1, A2, A3, A4 corpos de igual tamanho, estacionários; 
sejam B1, B2, B3, B4 corpos de mesmo tamanho que os A, que se 
movem para a direita, de modo que cada B passa por um A num 
instante, ou seja, no menor intervalo de tempo possível. 
 Sejam C1, C2, C3, C4 também do mesmo tamanho que os A e os 
B, movendo-se uniformemente para a esquerda com relação aos A 
de modo que cada C passa por um A num instante de tempo. 
 Suponhamos que num dado momento os corpos ocupem as 
seguintes posições relativas: 
 
 
→ 
 
 
 Então passando um único instante, isto é, após uma subdivisão 
indivisível do tempo, as posições serão: 
 
 
 
 
 
 Notamos então que C1 terá passado por dois dos B; logo o 
instante considerado não pode ser o intervalo de tempo mínimo, 
 
A1 A2 A3 A4 
B1 B2 B3 B4 
← C1 C2 C3 C4 
A1 A2 A3 A4 
B1 B2 B3 B4 
C1 C2 C3 C4 
 
 
73
 
 
pois podemos tomar, como uma unidade nova e menor, o tempo 
que C1 leva para passar por um B. 
 
 Os argumentos de Zenon influenciaram profundamente o 
desenvolvimento da matemática grega, influência comparável à da 
descoberta dos incomensuráveis, com a qual talvez se relacione. 
 As idéias de tempo e espaço não eram claras naquela época, 
podendo facilmente gerar contradições. 
 
MELISSOMELISSOMELISSOMELISSO 
 
 Pouco se sabe sobre Melisso e sua obra, apenas que foi um 
polemista e defensor das idéias de Parmênides. 
 
HERÁCLITO HERÁCLITO HERÁCLITO HERÁCLITO (540 – 470 a.C.) 
 
 À filosofia da permanência de Parmênides e os outros eleatas 
opõe-se à de Heráclito de Éfeso que é a do fogo eternamente vivo, 
ou movimento contínuo. 
 “Este mundo, que é o mesmo para todos, nenhum dos deuses ou 
dos homens o fez; mas foi sempre, é e será um fogo eternamente 
vivo, que se acende com media e se apaga com medida” Nessa frase 
muitos vêem uma das chaves para decifrar o pensamento de 
Heráclito, que já na antiguidade tornou-se conhecido como o 
“obscuro”. 
 De sua vida pouco se sabe com certeza, apenas que pertencia à 
família real de sua cidade e que teria renunciado à dignidade de se 
tornar rei em favor de seu irmão. 
 Heráclito foi um crítico severo de muitas pessoas famosas, 
dentre elas Hesíodo e Pitágoras. Dizia que “o fato de aprender 
muitas coisas não instrui a inteligência; do contrário teria instruído 
Hesíodo e Pitágoras, do mesmo modo que Xenófanes e Hecateu”. 
 
A unidade dos opostos 
 
 A grande descoberta de Heráclito foi perceber que existe uma 
harmonia oculta das forças opostas. Não se trata de opor o um ao 
múltiplo, como os eleatas, uma vez que o um penetra o múltiplo e a 
 
 
74
 
 
multiplicidade é apenas uma forma de unidade, ou melhor, a própria 
unidade. 
 São muitas as citações ou aforismos atribuídos a Heráclito e que 
ilustram a essência de seu pensamento. A seguir colocamos alguns 
que convidam para uma reflexão: “Deus é dia-noite, inverno-verão, 
guerra-paz, superabundância-fome, vida-morte, etc.” 
 A justiça não significa apaziguamento, pelo contrário, “o 
conflito é o pai de todas as coisas; de alguns faz homens; de alguns, 
escravos e de alguns, homens livres”. Mas ver a realidade como 
fundamentalmente uma tensão de opostos não significa 
necessariamente optar pela guerra, no plano político. 
 “Tu não podes se banhar duas vezes no mesmo rio, porque 
novas águas correm sempre sobre ti”. “Todas as coisas são trocadas 
em fogo e o fogo se troca em todas as coisas, como as mercadorias 
se trocam por ouro e o ouro é trocado por mercadorias”. “O caminho 
para o alto e o caminho para baixo são um e o mesmo”. “O homem é 
acendido e apagado como uma luz no meio da noite”. 
 
OS ATOMISTASOS ATOMISTASOS ATOMISTASOS ATOMISTAS 
 
 O Sumário eudemiano de Proclo, como já foi visto, sugere uma 
ordem para os primeiros matemáticos, tendo iniciado com Tales. 
Porém, por preferências ou problemas políticos, não incluiu os 
atomistas. 
 Segundo a tradição a escola teve início com Leucipo (de Mileto 
ou de Eléia), mas conheceu a plena aplicação de seus postulados 
com Demócrito de Abdera. Mais tarde, as teses atomistas iriam 
ressurgir com Epicuro e Lucrécio, no período helenístico. 
 A reformulação da noção de espaço foi, por certo, a principal 
contribuição da escola atomista ao desenvolvimento do pensamento 
científico e filosófico. 
 As concepções cosmológica e matemática do pitagorismo 
primitivo baseavam-se na noção de número entendido como 
sucessão de unidades descontínuas, discretas. Mas permanecia uma 
questão que comprometia a coerência da visão pitagórica e que 
Zenon assinalou, ou seja, a do “intervalo” que separaria as unidades. 
Esse intervalo só poderia ter, no mínimo, o tamanho de uma unidade 
 
 
 
75
 
 
(mínimo de extensão e de corpo); assim, o número das unidades de 
extensão “crescia” e cada coisa tendia a tornar-se infinita. 
Partindo de colocações do eleatismo, particularmente, de que a 
existência do movimento pressupõe o “não ser”, Leucipo e 
Demócrito teriam concluído que, exatamente porque o movimento 
existe (como mostram os sentidos), o “não ser” (corpóreo) existe. 
Afirma-se, assim, pela primeira vez, a existência do vazio. E nesse 
vazio é que se moveriam os átomos, partículas corpóreas insecáveis 
(indivisíveis fisicamente, embora divisíveis matematicamente). 
 Os átomos apresentam ainda outras características: seriam 
plenos (semvazio interno); em número infinito, invisíveis (devido a 
pequenez); móveis por si mesmos; sem qualquer distinção 
qualitativa; apenas distintos por atributos geométricos (de forma, 
tamanho, posição) e, quando agrupados, distintos pelo arranjo. 
 Todo o universo seria, portanto, constituído por dois princípios: 
o contínuo incorpóreo e infinito (o vazio), e o descontínuo corpóreo 
(os átomos). 
 Parece certo que Leucipo e Demócrito admitiam que o 
movimento primário dos átomos seria em todas as direções, como o 
da poeira que se vê flutuar no ar, se uma réstia penetra num 
ambiente escuro. 
 
DEMÓCRITO DEMÓCRITO DEMÓCRITO DEMÓCRITO (470 – 370 a.C.) 
 
 Muito pouco se sabe sobre a vida de Demócrito de Abdera, mas 
ainda vivia quando Platão fundou a Academia em 387 a.C. Sabe-se 
porém, que além de contribuir para a formulação do atomismo 
físico, aplicou-se principalmente à solução de dois problemas 
filosóficos importantes de sua época: o do conhecimento e o da 
ética. 
 Quanto à ética, Demócrito, do mesmo modo que Sócrates, 
considera a “ignorância do melhor” como a causa do erro. Afirma 
ainda, que guiado pelo prazer, o homem deveria saber distinguir o 
valor dos diferentes prazeres, buscando em sua conduta a harmonia 
capaz de lhe conceder a calma do corpo, que seria a saúde, e a da 
alma, que seria a felicidade. 
 
 
 
 
76
 
 
 Para Demócrito não havia dúvidas: “Por convenção existe o 
doce, por convenção há o quente e o frio. Mas na verdade há 
somente átomos e vazio”. 
 
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. Prove dois teoremas atribuídos a Tales e diga, justificando, se 
acha ou não que ele usou raciocínio semelhante. 
 
2. Prove o teorema de Pitágoras e diga se acredita ou não que ele 
usou seu método? Explique. 
 
3. Quais são os quatro primeiros números heptagonais 
(correspondendo a polígonos regulares de sete lados)? 
 
4. Escreva os números 3456 e 4567 e sua soma na notação ática 
primitiva e no sistema jônico ou alfabético. 
 
5. Mostre que 1184 e 1210 são números amigos. 
 
6. Usando régua e compasso apenas, construa um pentágono regular, 
sendo dado: a) o seu lado b) uma diagonal. 
 
7. Num círculo dado inscreva um pentágono regular usando apenas 
régua e compasso. 
 
8. Qual você acredita ter sido descoberta antes, a irracionalidade de 
2 ou de 5 ? Justifique sua resposta em termos de evidência 
histórica. 
 
9. As diagonais de um hexágono regular são incomensuráveis com o 
lado? Explique. 
 
 
 
 
 
 
77
 
 
OS IDEAIS PLATÔNICOS E A LÓGICA OS IDEAIS PLATÔNICOS E A LÓGICA OS IDEAIS PLATÔNICOS E A LÓGICA OS IDEAIS PLATÔNICOS E A LÓGICA 
ARISTOTÉLICAARISTOTÉLICAARISTOTÉLICAARISTOTÉLICA 
Segunda fase do Período HelênicoSegunda fase do Período HelênicoSegunda fase do Período HelênicoSegunda fase do Período Helênico 
 
 
“Ninguém que ignore a geometria poderá entrar em minha casa” 
 (Platão) 
 
 
 Durante os séculos V e IV a.C. Atenas foi o centro cultural mais 
importante da Grécia e sua prosperidade e atmosfera intelectual 
atraíram estudiosos de todas as partes do mundo grego. Uma síntese 
das diversas áreas do conhecimento foi conseguida e, no caso 
específico da matemática, várias questões de nível superior foram 
consideradas. 
 Nessa época são propostos vários problemas famosos e dentre 
eles os chamados três problemas clássicos de construção: o da 
quadratura do círculo, ou seja, encontrar um quadrado cuja área seja 
igual à de um círculo dado; o da duplicação do cubo, ou seja, 
encontrar o lado do cubo cujo volume é o dobro do volume do cubo 
dado e o da trissecção do ângulo, ou seja, dividir um ângulo dado 
em três partes iguais. 
 A solução desses problemas iria fascinar matemáticos por mais 
de 2000 anos e vários ramos da matemática surgiram como corolário 
desses estudos. 
 Devemos lembrar que esses problemas foram resolvidos por 
muitos matemáticos e amadores do passado. Porém, a partir de 
Euclides – adepto das concepções platônicas – surge uma hipótese 
complicadora, a de que os três problemas deveriam ser resolvidos 
apenas com régua (sem marcas) e compasso. 
 
 A seguir um pouco da vida e obra dos principais matemáticos e 
filósofos dessa época, conhecida como idade heróica da cultura 
grega. 
 
 
 
 
 
78
 
 
ANAXÁGORASANAXÁGORASANAXÁGORASANAXÁGORAS (499 – 428 a.C.) 
 
 Anaxágoras de Clazômena levou para Atenas as idéias novas 
que estavam sendo produzidas na Jônia. Em Atenas tornou-se amigo 
do grande líder político Péricles, mas nem essa amizade livrou-o do 
processo que acabou por forçá-lo a abandonar a cidade. Na 
democrática Atenas são famosos dois processos contra a filosofia, o 
primeiro com Anaxágoras e mais tarde, o da condenação à morte de 
Sócrates. 
 Anaxágoras introduz a noção do infinitamente pequeno: “todas 
as coisas estavam juntas, infinitas ao mesmo tempo em número e 
pequenez, porque o pequeno era também infinito”. Essa idéia, 
contrária à concepção da extensão no pitagorismo primitivo – que 
admitia a extensão como composta de unidades indivisíveis – torna-
se fundamental para suas cosmogonia e cosmologia. A tese de que 
“em cada coisa existe uma porção de cada coisa” sustenta-se na 
divisibilidade infinita. 
 Segundo o depoimento de Aristóteles, Anaxágoras teria 
afirmado que “o homem pensa porque tem mãos”, tese que mais 
tarde será combatida inclusive pelo próprio Aristóteles, quando se 
intensificar na sociedade grega o preconceito contra o trabalho 
manual, geralmente atribuído a escravos. 
 Vemos assim, que os cidadãos atenienses zelosos de suas 
crenças e tradições, cuidaram de fazer leis para protegê-los das 
idéias “subversivas” dos forasteiros. E, devido a uma dessas leis, 
Anaxágoras acabou sendo condenado à prisão por impiedade. Seu 
“crime” fora afirmar que o Sol é uma bola de fogo, maior que o 
Peloponeso, que a Lua é feita de terra, que empresta do Sol a sua 
luz. Lembremos que o Sol para os atenienses ainda era uma 
divindade. 
 Para se entreter na cadeia, Anaxágoras dedicou-se à tarefa de 
tentar resolver o problema da quadratura do círculo. Ao que consta 
não conseguiu seu intento. Mas sua frustração seria bem menor se 
pudesse saber que o problema atravessou mais de dois milênios sem 
solução completa. 
 Com muito respeito parodiamos Manuel Bandeira no caso de 
Anaxágoras em Atenas, não muito distante de Pasárgada na Pérsia. 
 
 
 
79
 
 
Lá, foi amigo do rei e mesmo assim morreu no exílio. 
Evidentemente a culpa não é do poema. 
 
HIPÓCRATES HIPÓCRATES HIPÓCRATES HIPÓCRATES (460 – 370 a.C.) 
 
 Hipócrates de Chios, um pouco mais jovem que Anaxágoras e 
proveniente da mesma região da Grécia, trocou sua terra natal por 
Atenas, na qualidade de mercador. Consta que ludibriado por piratas 
tentou recuperar suas finanças trabalhando como professor de 
geometria. Ele não deve ser confundido com seu contemporâneo 
mais famoso, o médico Hipócrates de Cos. 
 Segundo Proclo, Hipócrates compôs uma obra – Elementos da 
Geometria – antecipando-se por mais de um século à mais 
conhecida Os Elementos de Euclides. Organizou de modo lógico a 
geometria da época e demonstrou, por dupla redução ao absurdo, um 
teorema importante para a quadratura do círculo. 
 
Teorema: As áreas de círculos estão para si assim como os 
quadrados de seus diâmetros, ou seja, 
2
2
2
1
2
1
d
d
A
A
= em que A1 e A2 
representam as áreas de dois círculos com diâmetros, d1 e d2, 
respectivamente. 
 
 Esse teorema é importante para a quadratura de lunas. Uma luna 
é uma figura delimitada por dois arcos circulares de raios diferentes; 
o problema de sua quadratura certamente se originou da quadratura 
do círculo. Hipócrates foi o primeiro matemático a deduzir uma 
quadratura rigorosa de uma região delimitada por linhas curvas ( que 
não são retas, é claro). 
Exemplo de uma quadratura de luna por Hipócrates: 
 
Considerou um semicírculo 
circunscrito a um triângulo 
retângulo,inicialmente 
isósceles e depois qualquer, 
e sobre a base (hipotenusa) 
construiu um segmento 
 
 
80
 
 
semelhante aos segmentos circulares construídos sobre os catetos. A 
soma das áreas das lunas sobre os catetos é igual a área do triângulo 
dado. 
Prova: ABC é um triângulo retângulo isósceles, ou seja, AB= BC. 
Pelo teorema de Pitágoras temos que 222 ACBCAB =+ e assim, 
22 2ABAC = . Pelo teorema anterior ou de Hipócrates, vem que 
⇒===
+
+
2
1
222 2
2
2
2
AB
AB
AC
AB
LS
LS
TLTSLS =⇒+=+ 2222 . 
 As quadraturas de Hipócrates são significativas não tanto como 
tentativas de quadrar o círculo, mas como indicações do nível da 
matemática da época. Mostram que os matemáticos atenienses eram 
hábeis ao tratar transformações de áreas e proporções. Em particular, 
não havia dificuldade em converter um retângulo de lados a e b num 
quadrado. Isso exige achar a média proporcional, ou geométrica, 
entre a e b, ou seja, se 
b
x
x
a
= , então facilmente se construía x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( ) basrsrsrx,rsx =+−=−==+ 222222 então, 
Assim, abx = é o lado do quadrado de área igual à do retângulo 
de lados a e b. 
 Era natural, pois, que tentassem generalizar a questão inserindo 
dois meios entre duas grandezas dadas a e b. Isto é, dados dois 
segmentos a e b, esperavam construir dois outros x e y tais que 
b
y
y
x
x
a
== . Diz-se que Hipócrates percebeu que esse problema 
contém o da duplicação do cubo; pois se b = 2a, as proporções, por 
eliminação de y, levam à conclusão que x³ = 2a³. 
 
a b 
r 
r 
s 
x 
x 
x 
b 
a 
 
 
81
 
 
 Hipócrates pode não ter quadrado o círculo, mas sentiu 
profundamente o problema. 
 
HÍPIAS HÍPIAS HÍPIAS HÍPIAS (460 – 390 a.C.) 
 
 Hípias de Elis era um dos chamados filósofos sofistas, que 
ganhavam seu sustento ensinando nas ruas e praças, o que não era 
bem visto por componentes de outras escolas. Os discípulos de 
Pitágoras e de Platão, por exemplo, eram proibidos de aceitar 
pagamento para partilhar seus conhecimentos com seus 
concidadãos. Os sofistas foram acusados, dentre outras coisas de 
superficiais, mas isso não deve ocultar o fato de serem muito bem 
informados em muitos assuntos e de terem contribuído para o 
desenvolvimento da matemática, especialmente 
 Hípias, talvez preocupado em resolver os problemas clássicos, 
introduziu na matemática uma curva não construtível com régua e 
compasso, apenas, conhecida por trissectriz ou quadratriz. 
 Essa curva é traçada mecanicamente pela intersecção de duas 
retas em movimento. No quadrado ABCD seja o lado AB deslocado 
para baixo uniformemente a partir de sua posição presente até 
coincidir com DC, e suponhamos que esse movimento leve 
exatamente o mesmo tempo que o lado DA leva para girar em 
sentido horário de sua posição presente até coincidir com DC. Se as 
posições dos dois segmentos são dadas em um instante fixado 
qualquer por A’B’ e DA” ,respectivamente, e se P é o ponto de 
intersecção de A’B’ e DA” , o lugar descrito por P durante esses 
movimentos será a trissectriz de Hípias – a curva APQ na figura. 
 
Dada essa curva, faz-se a trissecção de 
um ângulo com facilidade. Por exemplo, 
se PDC é o ângulo a ser trissectado – ou 
dividido em um número qualquer de 
partes iguais – simplesmente trissectamos 
os segmentos B’C e A’D, com os pontos 
R, S, T e U. Se as retas TR e US cortam a 
trissectriz em V e W, respectivamente, as 
retas VD e WD, pela propriedade da trissectriz dividirão o ângulo 
PDC em três partes iguais. 
D 
U 
T 
A’ 
A B 
B’ 
R 
S 
C Q 
W
V 
P 
A’’ 
W 
V 
P 
A’’ 
 
 
82
 
 
 A curva de Hípias é também chamada de quadratriz, pois pode 
ser usada para quadrar o círculo. Foi conjecturado que Hípias sabia 
desse método de quadratura mas não conseguiu prova-lo. A 
quadratura por meio da curva de Hípias foi dada mais tarde por 
Dinóstrato. 
 Usando notações e métodos atuais podemos encontrar a 
equação da curva de Hípias em coordenadas polares: 
 
 
 
 Considerando as equações das retas xtgy:DP θ= e 
π
θ
==
a
ty:'B'A
2
, e que P é a intersecção dessas retas vem que 
)y,
tg
y
()y,x(P
θ
== . 
 Seja [ ]a,],[:L 0
2
0 →
π
 definida por 
π
θ
==θ
a
t)(L
2
. Assim, 
),
tg
(
a
)
a
,tg
a
()t,
tg
t
(P 1
1222
θπ
θ
=
π
θ
θ
π
θ
=
θ
= . Logo, 
1
12
2
+
θπ
θ
==
tg
a
Pr .
sen
a
tg
seca
tg
seca
θπ
θ
=
θ
θ
π
θ
=
θ
θ
π
θ
=
1222
2
2
 
 Portanto, θ=θπ asenr 2 é a equação polar da curva de Hípias 
e, desse modo, .
a
sen
lim
a
sen
a
limrlim
π
=
θ
θ
π
=θ
π
θ
=
→θ→θ→θ
222
000
 
 
SÓCRATESSÓCRATESSÓCRATESSÓCRATES (469 – 399 a.C.) 
 
 No ano 399 a.C., o tribunal dos heliastas, constituído por 
cidadãos escolhidos por sorteio, reuniu-se com 500 ou 501 
D 
A’ 
A B 
B’ 
C Q 
P 
r 
θ 
U 
a 
π/2 O 
(π/2, a) 
 
 
83
 
 
membros. Difícil tarefa aguardava esses juízes: julgar Sócrates, 
conhecida mas controvertida figura. Cidadão admirado e enaltecido 
por alguns – particularmente pelos jovens – era entretanto, criticado 
e combatido por outros, que nele viam uma ameaça para as tradições 
da polis e um elemento pernicioso à juventude. 
 A acusação era grave: não reconhecer os deuses do Estado, 
introduzir novas divindades e corromper a juventude. 
 Defesa de Sócrates: “não tenho outra ocupação senão de vos 
persuadir a todos, tanto velhos como novos, de que cuideis menos 
dos vossos corpos e dos vossos bens do que da perfeição de vossas 
almas, e a de vos dizer que a virtude não provém da riqueza, mas 
sim que é a virtude que traz a riqueza ou qualquer outra coisa útil 
aos homens, quer na vida pública, quer na vida privada. Se, dizendo 
isso, eu estou a corromper a juventude, tanto pior; mas se alguém 
afirmar que digo outra coisa, mente”. 
 Sobre a vida de Sócrates, pouca coisa se sabe e chegou-se a 
afirmar que ele seria uma criação literária do nacionalismo 
ateniense. Ele, que se dizia estéril – pois só sabia que nada sabia – 
procurava auxiliar as pessoas noutra forma de concepção, a das 
idéias próprias: forma de se ir ao encontro de si mesmo e de fazer de 
si mesmo o seu próprio ponto de partida. 
 Mas, para aquela democracia, que recusava o direito de 
cidadania às mulheres, aos estrangeiros e aos escravos, portanto, à 
maioria da população de Atenas, o Sócrates pedagogo e médico de 
almas constituía uma denúncia de suas limitações, e 
conseqüentemente, um perigo. 
 Após recusar o exílio que dissimuladamente lhe ofereceram foi 
condenado a morrer, bebendo cicuta, o filósofo que garantia que o 
reencontro consigo mesmo só pode partir da consciência da própria 
ignorância. 
 A “democracia” ateniense matou aquele que até pegou em 
armas para defendê-la. Que ironia! 
 
PLATÃOPLATÃOPLATÃOPLATÃO (428 – 348 a.C.) 
 
 “Outrora, na minha juventude, experimentei o que tantos jovens 
experimentam. Tinha o projeto de, no dia em que pudesse dispor de 
mim próprio, imediatamente intervir na política” (Platão, 354 a.C.). 
 
 
84
 
 
 A vida de Platão transcorreu entre a fase áurea da democracia 
ateniense e o final do período helênico: sua obra filosófica 
representará em vários aspectos, a expansão de um pensamento 
alimentado pelo clima de liberdade e de apogeu político. 
 Platão, de tradicionais famílias de Atenas, tenta estabelecer a 
síntese entre a tradição eleática (que negava a racionalidade de 
qualquer mudança) e a heraclítica (que afirmava o fluxo contínuo de 
todas as coisas). 
 O grande acontecimento da juventude de Platão foi o encontro 
com Sócrates e diante da injustiça sofrida pelo mestre, aprofunda-se 
o desencanto de Platão com a política e com aquela democracia. 
 Com Sócrates, o jovem Platão pudera sentir a necessidade de 
fundamentar qualquer atividade em conceitos claros e seguros. O 
primado da política torna-se para Platão, o primado da verdade, da 
ciência. 
 Depois da morte de Sócrates,disperso o núcleo que se 
congregara em torno dele, Platão viaja ao sul da Itália (magna 
Grécia), onde convive com Arquitas de Tarento. O famoso 
matemático e político pitagórico dá-lhe um exemplo vivo de sábio-
governante, que ele depois apontará em a República, como solução 
ideal para os problemas políticos. 
 Da visita de Platão ao Egito quase nada se sabe com segurança. 
Certo é que em Cirene, inteirou-se das pesquisas matemáticas 
desenvolvidas por Teodoro, particularmente as referentes aos 
irracionais. 
 Os irracionais matemáticos inspirarão várias doutrinas 
platônicas, pois representam uma justa medida, que nenhuma 
linguagem consegue exaurir. 
 Nessa época Platão compõe seus primeiros Diálogos. Entre 
esses está a Apologia de Sócrates. Os outros diálogos desta fase 
manifesta duas preocupações que permanecerão constantes na obra 
platônica: o problema político e o papel que a retórica pode 
desempenhar na ética e na educação. 
 
 
 
 
 
 
 
85
 
A Academia 
 
Em 387 a.C. Platão fundou em Atenas a 
Academia, sua própria escola de 
investigação científica e filosófica (a 
Academia durou até 529 d.C.). O 
acontecimento foi da máxima importância 
para a história do pensamento ocidental. 
Platão tornou-se o primeiro dirigente de 
uma instituição permanente, voltada para a 
pesquisa original e concebida como 
conjugação de esforços de um grupo que vê 
no conhecimento algo vivo e dinâmico e 
não um corpo de doutrinas a serem 
Platão e Aristóteles – simplesmente resguardadas e transmitidas. 
 A Escola de Atenas 
 
 Depois de suas viagens, quando freqüentou centros pitagóricos 
de pesquisa científica, Platão via na matemática a promessa de um 
caminho que conduzisse à certeza. A educação deveria, em última 
instância, basear-se numa episteme (ciência) e ultrapassar o 
plano instável da opinião (doxa). E a política poderia se transformar 
numa ação iluminada pela verdade e um gesto criador de harmonia, 
de justiça e de beleza. 
 Durante cerca de vinte anos, Platão dedicou-se ao magistério e à 
composição de suas obras. Sob a influência do pitagorismo, Platão 
desligou-se um pouco de Sócrates e formulou uma filosofia própria. 
Ele sempre retomava a tese de que o ideal para a polis seria a 
existência de um rei filósofo, que inclusive pudesse governar sem 
necessidade de leis. 
 Para Platão, as idéias perfeitas e imutáveis constituiriam os 
modelos ou paradigmas dos quais as coisas materiais seriam apenas 
cópias imperfeitas e transitórias. Seriam, pois, tipos ideais a 
transcender o plano mutável dos objetos físicos. 
 A mimesis, no pitagorismo, apresentara um caráter de 
imanência: o modelo e a cópia estão ambos no plano concreto; são 
as duas faces (interna e externa, razão e sentidos) da mesma 
realidade. Com Platão, a noção de imitação (mimesis) adquiriu 
acepção metafísica, como lógica decorrência do distanciamento 
 
 
86
 
 
entre o plano sensível e o inteligível. Os objetos físicos múltiplos, 
concretos e perecíveis – aparecem como cópias imperfeitas dos 
arquétipos ideais, incorpóreos e perenes. 
 
Modelo de Estado 
 Em a República, a organização de uma cidade ideal apóia-se 
numa divisão racional do trabalho. Como reformador social, Platão 
considera que a justiça depende dessa diversidade de funções 
exercidas por três classes distintas: a dos artesãos, dedicados à 
produção de bens materiais; a dos soldados, encarregados de 
defender a cidade; a dos guardiães, incumbidos de zelar pela 
observância das leis. 
 Produção, defesa, administração interna – essas as três 
funções essenciais da cidade. E o importante não é que uma classe 
usufrua de uma felicidade superior, mas que toda a cidade seja feliz. 
O indivíduo faria parte da cidade para poder cumprir sua função 
social e nisto consiste ser justo: em cumprir a própria função. 
 A reorganização da cidade para transformá-la em reino de 
justiça exige, naturalmente, reformas radicais. A família, por 
exemplo, deveria desaparecer para que as mulheres fossem comuns 
a todos os guardiães e as crianças seriam educadas pela cidade e a 
procriação deveria ser regulada de modo a preservar a eugenia; para 
evitar os laços familiares egoístas, nenhuma criança conheceria seu 
pai e nenhum pai seu verdadeiro filho; a execução dos trabalhos não 
levaria em conta distinção de sexo, mas tão somente a diversidade 
das aptidões naturais. 
 Mas a cidade ideal só poderia surgir se o governo supremo 
fosse confiado a reis-filósofos. 
 
Da sombra à luz 
 O processo de conhecimento representava, para Platão, uma 
progressiva passagem das sombras e imagens turvas ao luminoso 
universo das idéias, atravessando etapas intermediárias. Cada fase 
encontraria sua fundamentação e resolução na fase seguinte. O que 
não era visto claramente no plano sensível (e só poderia ser objeto 
de uma conjetura) transformava-se em objeto de crença. Seguia-se 
assim (ver quadro abaixo) até chegar no Bem, cujo análogo seria o 
Sol, no caso material. 
 
 
87
 
 
 Aquele que se libertou das ilusões e se elevou à visão da 
realidade poderia, ou melhor, deveria governar para libertar os 
outros prisioneiros das sombras: seria o filósofo-político, que coloca 
sua sabedoria como um instrumento de libertação de consciências e 
de justiça social, aquele que faz da procura da verdade uma arte de 
desilusionismo. 
 Eros, que desempenhava em relação aos sentimentos e às 
emoções o mesmo papel de intermediário que as entidades 
matemáticas representavam para a vida intelectual, comandava a 
subida por via da atração que a beleza dos corpos exercia sobre os 
sentidos e remetendo afinal à contemplação do Belo supremo, o 
Belo em si. 
 A construção do conhecimento constituiu, assim no platonismo, 
uma conjugação de intelecto e emoção, de razão e vontade: a 
episteme seria fruto de inteligência e de amor. É precisamente esse o 
tema de O Banquete nos diálogos de Sócrates, Agatão, Alcibíades e 
outros. A visão platônica do conhecimento pode, assim, ser 
resumida no seguinte quadro: da sombra (A) à luz (C). 
 C 
 ↑ 
 Idéias → ↑ ← Dialética 
 ↑ Ciência 
Mundo inteligível E (episteme) 
 ↑ 
 Objetos ↑ Conhecimentos 
 matemáticos→ ↑ ←matemáticos 
 B 
 ↑ 
 Objetos → ↑ ← Crença 
 sensíveis ↑ 
 D 
Mundo Sensível ↑ Opinião 
 Sombras → ↑ ← Ilusão, conjectura 
 ↑ 
 A 
 
 
88
 
 
Platão e a matemática 
 Platão, segundo Proclo, proporcionou grandes progressos na 
matemática em geral e na geometria em particular, devido ao seu 
conhecido zelo pelo estudo. Seus livros eram ricos em discursos 
matemáticos e aproveitava-se de todas as ocasiões para mostrar a 
notável conexão que existe entre a matemática e a filosofia. 
“Ninguém que ignore a geometria poderá entrar em minha casa” – 
eis a condição que impunha aos que queriam estudar com ele. 
 Em as Leis, Platão aconselha o estudo da música ou a prática da 
lira dos 13 até os 16 anos, seguindo-se então as matemáticas, os 
pesos e medidas, bem como o calendário astronômico, até os 17. Em 
a República, por outro lado, recomenda a alguns jovens 
selecionados, antes dos 18 anos, o estudo da matemática abstrata ou 
teórica, ou seja, da aritmética, da geometria plana e espacial, da 
cinemática e da harmonia. A respeito da aritmética diz: “aqueles que 
nasceram com aptidão para ela aprendem depressa, ao passo que, 
mesmo nos que são lentos em assimilá-la, a capacidade geral de 
compreensão aproveita muito com o seu estudo”. “Nenhum ramo da 
educação constitui tão valioso preparo para a administração da casa, 
para todas as artes e ofícios, ciências e profissões, como a 
aritmética. Acima de tudo, graças a alguma influência divina, ela 
desperta o cérebro moroso e sonolento, tornando-o estudioso, atento 
e arguto”. 
 Segundo Platãoos conceitos matemáticos independem da 
experiência e, ainda mais, para ele a matemática não se constrói, 
mas se descobre. 
 A matemática nessa fase começa a atingir os ideais propostos 
por Tales, e se torna dedutiva. São formuladas definições precisas, 
os métodos de demonstração são avaliados e sistematizados, e deu-
se especial importância ao rigor da lógica. São desse período 
axiomas como: “quantidades iguais subtraídas de diminuendos 
iguais dão restos iguais”. 
 Para Platão o ponto seria o limite da linha; a linha o limite da 
superfície e a superfície o limite do corpo sólido. 
 O método analítico, que relaciona a tese a se provar com o que 
já se conhece, é uma importante contribuição platônica à 
matemática. Em essência esse método, que parte do desconhecido 
para o conhecido, depende da reversibilidade do processo. 
 
 
89
 
Exemplo: Provar que 1
1
<
+a
a
 para .a 0> 
Temos: .aa
a
a
1011
1
<⇔+<⇔<
+
 Como 10< é verdadeiro, 
está provada a proposição, devido às equivalências envolvidas. 
 Embora seu interesse principal fosse a geometria, as conquistas 
de Platão no campo da aritmética foram consideráveis para a sua 
época. Determinou de maneira correta, por exemplo, os 59 divisores 
de 5040, entre os quais se incluem todos os números inteiros de 1 a 
10. O número 5040 aparece, nas Leis, como o número ideal de 
cidadãos na Cidade ideal, ou seja, 7.6.5.4.3.2.1 
 
Cosmologia platônica 
 A forma esférica da Terra já se tornara geralmente aceita na 
Grécia e as cosmologias mais antigas foram desaparecendo pouco a 
pouco. 
 Para Platão, que tinha pelas ciências físicas um interesse apenas 
secundário, a Terra era uma esfera situada no centro do Universo e 
não necessitava de apoio. Supôs que as distâncias dos corpos 
celestes a esse centro fossem proporcionais aos números 1 (Lua), 2 
(Sol), 3 (Vênus), 4 (Mercúrio), 8 (Marte), 9(Júpiter), 27 (Saturno). 
Esses números eram obtidos pela combinação de duas progressões 
geométricas, respectivamente, 1, 2, 4, 8 e 1, 3, 9, 27. 
 Platão admite, em princípio, que os astros são dotados de um 
movimento circular uniforme, em torno da Terra, e propõe aos 
matemáticos o seguinte problema: “quais são os movimentos 
circulares uniformes que poderemos admitir como hipótese para 
explicar os movimentos aparentes dos planetas?” 
 Provavelmente, Platão não tinha uma noção clara das 
irregularidades dos planetas que depois iriam absorver a atenção de 
filósofos e astrônomos. Seu sistema era um geocentrismo coerente e 
apoiava-se na idéia da imobilidade da Terra. 
 Embora tenham trazido poucos subsídios permanentes para as 
ciências físicas, as teorias de Platão tiveram grande influência sobre 
as idéias antigas e medievais e sobre a evolução da alquimia. 
 
 
 
 
 
90
 
 
ARQUITASARQUITASARQUITASARQUITAS (428 – 347 a.C.) 
 
 Arquitas de Tarento, na Itália Meridional, estadista que por 
diversas vezes exerceu o comando das forças militares de sua 
cidade, foi um filósofo pitagórico e grande amigo de Platão e, 
talvez, o que mais influenciou no matematismo do filósofo da 
Academia. 
 Aplicou a matemática aos problemas mecânicos e é considerado 
o fundador da mecânica teórica, sendo que muitas obras perdidas 
sobre mecânica e geometria lhe são atribuídas. Diz-se, ainda, que 
ele inventou o parafuso e a roldana e era um exímio construtor de 
máquinas. Deu uma notável – mas complicada – solução ao 
problema de duplicação do cubo. 
 Restam-nos fragmentos de sua Harmonia e das Diatribes ou 
Conversas, referentes a problemas de matemática e música. 
 
TEAETECTOTEAETECTOTEAETECTOTEAETECTO ( século IV a.C.) 
 
 Discípulo de Platão a quem é atribuído a demonstração de que 
só existem cinco poliedros regulares, chamados poliedros de Platão: 
tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. 
 
MENAECMOMENAECMOMENAECMOMENAECMO (século IV a.C.) 
 
 Menaecmo, astrônomo e geômetra da Academia, conseguiu 
resolver o problema da duplicação do cubo. Em sua solução usava 
duas curvas especialmente inventadas por ele para essa finalidade: a 
parábola e a hipérbole. A elipse apareceu como corolário dessa 
invenção. Essas três curvas são chamadas até hoje de secções 
cônicas, porque Menaecmo as concebeu cortando três tipos de 
superfícies cônicas de uma folha, a de ângulo agudo (oxytome – 
elipse), a de ângulo reto (orthotome – parábola) e a de ângulo obtuso 
(amblytome – hipérbole), respectivamente, por um plano 
perpendicular à geratriz. 
 
 
 
 
 
91
 
 
 Oxytome Orthotome Amblytome 
 
 
 A hipérbole de dois ramos só surgiria algum tempo depois, com 
Apolônio. Menaecmo ainda não dispunha de sistemas de 
coordenadas, o que o obrigava a ser muito mais engenhoso. Mas, 
usando a linguagem atual, não é difícil perceber que a intersecção da 
parábola x² = 2y com a hipérbole xy = 1 é solução de x³ = 2. A 
solução de Menaecmo não se vale apenas de régua e compasso, é 
claro, mas o importante mesmo foi que introduziu na matemática as 
secções cônicas 
 
DINÓSTRATODINÓSTRATODINÓSTRATODINÓSTRATO ( século IV a. C.) 
 
 Irmão de Menaecmo, Dinóstrato era também um matemático, e 
se um resolveu o problema da duplicação do cubo, o outro resolveu 
o da quadratura do círculo, com uma curva não construtível com 
régua e compasso. 
 A quadratura deixou de ser uma questão impossível quando foi 
observada por Dinóstrato uma notável propriedade da extremidade 
Q da trissectriz de Hípias. 
 
 
 Equação polar da trissectriz: θ=θπ arsen 2 
 O Teorema de Dinóstrato diz que o lado a 
é a média proporcional entre o segmento 
DQ e o arco do quarto de círculo AC, isto é, 
.
DQ
AB
AB
AC
=
∩
 Conforme visto anteriormente, 
D 
T 
A 
Q H C 
B a 
S 
r 
θ 
 
 
92
 
.
a
rlimDQ
π
==
→θ
2
0
 Assim, 
π
=
∩
a
a
a
AC
2
, ou seja, .
a
AC
2
π
=
∩
 
 Dado o ponto Q de intersecção da trissectriz com DC, temos, 
pois, uma proporção envolvendo três segmentos retilíneos e arco 
circular AC. Por uma construção geométrica simples do quarto 
termo numa proporção podemos facilmente traçar um segmento de 
reta b de comprimento igual a AC. 
 O retângulo que tem lado 2b e a como o outro lado, tem área 
exatamente igual à do círculo com raio a. Agora construímos o 
quadrado de área igual a do retângulo, tomando como lado a média 
geométrica dos lados do retângulo. Como Dinóstrato provou que a 
trissectriz de Hípias serve para quadrar o círculo, a curva veio a ser 
chamada mais comumente de quadratriz. 
EUDOXOEUDOXOEUDOXOEUDOXO (408 – 355 a.C.) 
 
 Eudoxo de Cnido, aluno de Arquitas e, por algum tempo, de 
Platão, é considerado o maior matemático do período helênico. 
Além disso ficou famoso por defender uma ética baseada na noção 
de prazer. 
 Não foi apenas matemático e astrônomo, mas também físico. 
Em matemática pode-se dizer que recriou essa ciência, 
desenvolvendo a teoria das proporções, fazendo um estudo especial 
da divisão áurea e alcançando importantes resultados na geometria 
dos sólidos. 
 Eudoxo resolveu o problema da proporcionalidade de uma 
maneira geral após introduzir a noção de grandezas de mesma 
espécie, tais como, comprimento, área, volume, tempo, etc. Desse 
modo, suponha que A e B sejam grandezas de mesma espécie e que 
C e D também sejam grandezas de mesma espécie (não 
necessariamente do tipo de A e B). 
Pergunta-se: quando se tem 
D
C
B
A
= ? 
 
 
93
 
 Eudoxo postulou que: 
D
C
B
A
= sempre que, dados n e m 
inteiros positivos quaisquer, nDmCnBmA >⇒> ; 
nDmCnBmA =⇒= ; nDmCnBmA <⇒< . 
 
Método de Exaustão 
 
Axioma: Dadas duas grandezas diferentesBA e , de mesma espécie, 
e que têm uma razão, isto é, nenhuma delas sendo zero, pode-se 
encontrar um múltiplo de qualquer delas que seja maior que a outra, 
ou seja, existem números inteiros positivos nm e tais que 
AmBBnA >> ou . 
 Com esse axioma Eudoxo provou, por uma redução ao 
absurdo, uma proposição fundamental para o cálculo de áreas e 
volumes e que foi denominadade método de exaustão: 
 
Proposição: Se de uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não 
menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos 
que a metade, e se esse processo de subtração é continuado, 
finalmente restará uma grandeza menor do que qualquer grandeza de 
mesma espécie. 
Exemplo: 
 
Na figura, pretende-se encontrar a área do 
círculo por exaustão. Nota-se que a área 
do quadrado é maior que a metade da área 
do círculo. Os quatro triângulos têm área 
maior do que a metade do que tinha 
sobrado. Continuando o processo, a área 
que ainda restar será menor do que uma 
grandeza de mesma espécie, fixada 
arbitrariamente. Assim a área do círculo será encontrada somando-se 
o quadrado, com os quatro triângulos, etc. 
 Essa proposição, equivale à seguinte formulação atual: 
Considere M uma grandeza qualquer,ε outra grandeza, prefixada de 
mesma espécie, e r uma razão tal que 1
2
1
<≤ r . Então pode-se 
 
 
 
94
 
 
encontrar um inteiro positivo N, tal que ε<− n)r(M 1 para todo 
inteiro Nn > . Assim, a propriedade de exaustão equivale a dizer 
que .)r(Mlim n
n
01 =−
∞→
 
 Esse método foi muito utilizado para se provar teoremas sobre 
áreas e volumes de figuras curvilíneas. Com Euclides e Arquimedes 
ele se torna clássico e até a introdução da integral não havia outro 
método mais eficaz. Desse modo, Eudoxo pode ser considerado o 
criador do Cálculo Integral. 
 
ARISTÓTELESARISTÓTELESARISTÓTELESARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) 
 
 Aristóteles de Estagira, com dezoito anos, chegou a Atenas, o 
grande centro intelectual e artístico da Grécia do século IV a.C., 
proveniente da Macedônia. Como muitos outros jovens, foi atraído 
pela intensa vida cultural da cidade que lhe acenava com 
oportunidades para prosseguir seus estudos. 
 Não era belo e para os padrões vigentes no mundo grego, 
principalmente na Atenas daquele tempo, apresentava características 
que poderiam dificultar-lhe a carreira e a projeção social. Em 
particular, uma certa dificuldade em pronunciar corretamente as 
palavras poderia criar-lhe embaraços e mesmo complexos numa 
sociedade que, além de valorizar a beleza física e enaltecer os 
atletas, admirava a eloqüência e deixava-se conduzir por oradores. 
 O jovem ingressa na Academia de Platão, na qual a figura 
principal como mestre e diretor era, naquele momento, o matemático 
Eudoxo de Cnido. Somente um ano depois é que Platão retornou, 
fatigado por mais uma frustrada experiência política na Sicília. Foi o 
próprio Eudoxo quem lhe apresentou o novo aluno da Academia, o 
jovem da Macedônia de olhos pequenos, porém reveladores de 
excepcional vivacidade. 
 
O preceptor de Alexandre 
 De pura raiz jônica, a família de Aristóteles fora 
tradicionalmente ligada à medicina e à família real da Macedônia. 
Seu pai, Nicômaco, era médico e amigo do rei Amintas II, pai de 
 
 
 
95
 
 
Filipe. Estagira, apesar de situada distante de Atenas e em território 
sob a dependência da Macedônia, era na verdade uma cidade grega. 
 A vida de Aristóteles – e até certo ponto sua obra – estará 
marcada por essa dupla vinculação, à cultura helênica e à aventura 
política da Macedônia. A condição de meteco – estrangeiro 
domiciliado numa cidade grega - talvez explique porque não se 
tornou, como Platão, um pensador político, preocupado com os 
destinos da polis e com a reforma das instituições. 
 Ao ingressar na Academia, que viria a freqüentar durante 20 
anos, Aristóteles já trazia, como herança de seus antepassados, 
acentuado interesse pelas pesquisas biológicas. Ao matematismo 
predominante, ele irá contrapor o espírito de observação e a índole 
classificatória, típicas da investigação naturalista, e que constituirão 
traços fundamentais de seu pensamento. 
 Em 347 a.C., com a morte de Platão, Aristóteles deixa Atenas e 
vai para Assos, na Ásia Menor, onde Hérmias, ex-integrante da 
Academia, havia se tornado governante. Filipe, em 343 a.C., chama 
Aristóteles à corte de Pela e confia-lhe importante missão: a de 
educar seu filho, Alexandre. 
 Durante anos o filósofo encarrega-se dessa missão. É ainda 
preceptor de Alexandre quando em 338 a.C., os macedônios 
derrotam os gregos em Queronéia. Chega ao fim a autonomia das 
cidades-Estados que caracterizara a Grécia no período helênico. A 
partir de então – dominada pela Macedônia, mais tarde por Roma – 
a Grécia integrará amplos organismos políticos que diluirão suas 
fronteiras e atenuarão as distinções culturais que tradicionalmente 
separavam os gregos de outros povos, sobretudo os bárbaros 
orientais. 
 Com o assassinato de Filipe, Alexandre assume o poder e em 
seguida prepara uma expedição ao oriente, iniciando a construção de 
seu grande império. Aristóteles voltou a Atenas e, próximo ao 
templo dedicado a Apolo Liceano, abriu uma escola – o Liceu – que 
passou a rivalizar com a Academia, então dirigida por Xénocrates. 
Os discípulos de Aristóteles eram chamados de peripatéticos (os que 
passeiam) devido ao hábito – aliás comum nas escolas da época – 
que tinham os estudantes de realizar seus debates enquanto 
passeavam pelos pátios arborizados da escola. 
 
 
 
96
 
 
 Enquanto a Academia se voltava basicamente para as 
investigações matemáticas, o Liceu transformou-se num centro de 
estudos dedicados principalmente às ciências naturais. De terras 
distantes, conquistadas em suas expedições, Alexandre enviava ao 
seu ex-preceptor exemplares da fauna e da flora que viriam 
enriquecer as coleções do Liceu. 
 O biologismo tornou-se, assim, marca central da própria visão 
científica e filosófica de Aristóteles, que transpôs para toda a 
natureza categorias explicativas pertencentes originariamente ao 
domínio da vida. Em particular, a noção de espécies fixas – 
sugeridas pela observação do mundo vegetal e animal – exercerá 
decisiva influência sobre a física e a metafísica aristotélicas, na 
medida em que se reflete em sua doutrina do movimento. 
 Apesar da estima que Alexandre sempre devotou a seu antigo 
mestre, uma barreira os distanciava. Aristóteles não concordava com 
a fusão da civilização grega com a oriental. Segundo ele, gregos e 
orientais eram de naturezas distintas, com distintas potencialidades 
e não deveriam coexistir sob o mesmo regime político. 
 Depois da morte de Alexandre e 323 a.C., Aristóteles passou a 
ser hostilizado pela facção antimacedônica que o considerava 
politicamente suspeito. Acusado de impiedade, deixou Atenas e 
refugiou-se em Cálcis, na Eubéia onde morreu em 322 a.C. 
 
O que restou da grande obra 
 Com base em suas próprias declarações, sabe-se que Aristóteles 
realizou dois tipos de composições, as endereçadas ao grande 
público, redigidas em forma mais dialética do que demonstrativa, e 
os escritos ditos filosóficos ou científicos, que eram lições 
destinadas aos alunos do Liceu. 
 Depois que deixou a Academia e durante o período em que 
esteve e Assos, Aristóteles escreveu o diálogo Sobre a Filosofia, no 
qual combate a teoria platônica das idéias, particularmente a teoria 
dos números ideais, que caracterizava a última fase do platonismo. 
 Como o Timeu de Platão, o Sobre a Filosofia apresenta uma 
concepção cosmológica de cunho finalista e teológico; mas, ao 
contrário do que propunha Platão, o universo é explicado não à 
semelhança de uma obra de arte, resultado da ação de um divino 
artesão, o demiurgo, e sim como um organismo que se desenvolve 
 
 
97
 
 
graças a um dinamismo interior, um princípio imanente que 
Aristóteles denomina physis (natureza). 
 Os tratados de lógica, receberam em seu conjunto a 
denominação de Organon, uma vez que para Aristóteles a logica não 
seria parte integrante da ciência e da filosofia, mas apenas um 
instrumento (organon) que elas utilizariam em sua construção. 
 Ao examinar um problema, Aristóteles parte das soluções 
propostas por seus antecessores, vincula suas idéias à história e por 
isso é considerado o primeiro historiador da Filosofia. 
 Para se atingir a verdade científica e construirum conjunto de 
conhecimentos seguros, torna-se necessário, segundo Aristóteles, 
possuir normas de pensamento que permitam demonstrações 
corretas e, portanto, irretorquíveis. O estabelecimento dessas normas 
lhe confere o título de criador da lógica formal, entendida como a 
parte da lógica que prescreve regras de raciocínio independentes do 
conteúdo dos pensamentos que esses raciocínios conjugam. 
Exemplo: partindo-se das premissas “Todos os homens são mortais” 
e “Sócrates é homem” – conclui-se fatalmente que “Sócrates é 
mortal”. A conclusão resulta da simples colocação das premissas, 
não deixando margem a qualquer opção, mas impondo-se com 
absoluta necessidade. 
 Poderia ser considerado, por outro lado, o raciocínio: ”Todos os 
homens são imortais”; “Sócrates é homem”; logo, “Sócrates é 
imortal”. 
 Mas a ciência não pretende, segundo Aristóteles, ser dotada 
apenas de coerência interna: ela precisa ser construída pelo perfeito 
encadeamento lógico de verdades. Assim, o silogismo que equivale 
à demonstração científica deverá ser um raciocínio formalmente 
rigoroso, mas que parta de premissas verdadeiras. 
 
Aristóteles e a matemática 
 O papel principal de Aristóteles na matemática foi o da sua 
estruturação lógica. Não realizou trabalhos específicos de 
matemática. Introduziu os Postulados e Axiomas ou Noções 
Comuns. Postulados são proposições específicas de uma ciência, 
aceitas como verdadeiras sem prova. Axiomas ou Noções Comuns 
são proposições gerais que se aceitam como verdadeiras sem provas 
(não são específicas). 
 
 
98
 
 
Exemplos de Noções Comuns: 
- princípio da não contradição: uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo; 
- princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou 
é falsa e não há outra alternativa. 
 Pode-se dizer, assim, que Aristóteles – sobretudo pela análise 
que fez do papel das definições e hipóteses – contribuiu de modo 
decisivo para o desenvolvimento da matemática. 
 
EPICUROEPICUROEPICUROEPICURO (341 – 270 a.C.) 
 
 Epicuro de Atenas teria acompanhado, dos quatorze aos dezoito 
anos, os ensinamentos do acadêmico Pânfilo. E, através de 
Nausífanes de Teo, discípulo de Demócrito, teria conhecido as 
doutrinas do grande atomista. Durante algum tempo ganhou a vida 
como professor de gramática e de filosofia até que, por volta de 306 
a.C., adquire uma pequena casa e abre uma escola de filosofia, que 
ficará conhecida como o Jardim de Epicuro. 
 Os alunos não têm em Epicuro um mestre no estilho tradicional: 
na verdade, formam um grupo de amigos para discutir filosofia. 
Epicuro exerce influência não só pelo ensino direto como pela 
extraordinária personalidade. É um homem bondoso, de natureza 
terna e amável, que apesar dos sofrimentos físicos impostos pela 
doença que o tortura e aos poucos o paralisa, cultiva as amizades, 
auxilia os irmãos e trata delicadamente os escravos. Por essa razão 
todos que o conhecem dificilmente deixam seu convívio. 
 A morada tão calma e tão luminosa seria a meta proposta pelo 
epicurismo: a morada da serenidade e do prazer. A filosofia, para 
Epicuro, deveria servir ao homem como instrumento de libertação e 
como via de acesso à verdadeira felicidade. Esta consistiria na 
serenidade de espírito que advém da consciência de que é ao homem 
que compete conseguir o domínio de si mesmo. 
 A teoria do conhecimento dos epicuristas (que eles chamavam 
de canônica) é empirista, isto é, reduz toda a origem do 
conhecimento à experiência sensível. As repetidas experiências os 
sentidos, preservadas pela memória, dariam nascimento à 
antecipação equivalente à noção geral ou conceito. 
 
 
 
99
 
 
 Segundo a doutrina atomista, adotada por Epicuro, “todos os 
corpos, por mais compactos que sejam, possuem interstícios vazios 
dentro deles”. Esse juízo não é atestado diretamente pelos sentidos; 
mas, se não for admitido como verdadeiro, também não seria 
verdade que “a água destila através das rochas”, ou que “o calor e o 
frio passam através das paredes”. 
 Com efeito, se os sentidos atestam o movimento como uma 
evidência, seria verdadeira, graças ao critério da não-infirmaçao, a 
teoria atomista, que apresenta uma explicação racional para o 
movimento, afirmando que tudo é constituído de átomos (invisíveis) 
que se movem no vazio. 
 Como os atomistas anteriores, Epicuro considera os átomos 
como infinitos em número, indivisíveis fisicamente e imensamente 
pequenos; além disso, seriam móveis por si mesmos, pois o vazio 
não ofereceria qualquer resistência à locomoção. 
 E devido ao peso é que os átomos, num momento inicial, são 
imaginados por Epicuro como “caindo”; mas, situados dentro do 
vazio, teriam que desenvolver nessa “queda” trajetórias 
necessariamente paralelas. Isso significa que os átomos jamais se 
chocariam dando origem aos engates e aos torvelinhos 
indispensáveis à constituição das coisas e dos mundos, se algum 
fator não viesse interferir naquele paralelismo das trajetórias. 
 Afastando o rígido mecanicismo da física dos primeiros 
atomistas, Epicuro introduziu, então, a noção de “desvio”: sem 
nenhuma razão mecânica, os átomos, em qualquer momento de suas 
trajetórias verticais, poderiam se desviar e se chocar. 
 O “desvio” apareceria, assim, como a introdução do arbítrio e 
do imponderável num jogo de forças estritamente mecânico: é a 
ruptura da necessidade, no plano da física, para acolher a 
contingência. 
 Com sua concepção materialista da realidade, Epicuro pretendia 
libertar o homem dos dois temores que o impediriam de encontrar a 
felicidade: o medo dos deuses e o temor da morte. Os deuses 
existem, dizia Epicuro, mas seriam seres perfeitos que não se 
misturam às imperfeições e às vicissitudes da vida humana. Quanto 
à morte, não há também porque temê-la. Ela não seria mais que a 
dissolução do aglomerado de átomos que constitui o corpo e a alma. 
A dor presente, ensinava Epicuro, pode se escapar por meio da 
 
 
100
 
 
lembrança dos prazeres passados ou pela expectativa de prazeres 
futuros. 
 Epicuro – ele próprio um homem doente e vítima de terríveis 
sofrimentos físicos, um grego sem liberdade política – teria dado a 
demonstração dessa técnica interior, de evasão, capaz de permitir ao 
homem enfrentar serenamente as mais adversas circunstâncias. Seu 
hedonismo altamente espiritualizado, que fazia da contemplação 
intelectual e das delícias da amizade os mais elevados prazeres, 
legou às éticas posteriores uma lição que nunca mais será esquecida: 
a de que o homem pode se sustentar de recordações e de esperanças. 
 
 Na mudança do período helênico para o helenístico – após a 
morte de Alexandre – pode-se observar alguns detalhes nas obras 
monumentais dos vultos, Platão e Aristóteles, que foram as 
predominantes na formação do pensamento ocidental. 
Predominaram, talvez, porque em linhas gerais, iam ao encontro dos 
interesses das classes dominantes. 
 Essas obras influentes por séculos e séculos, no fundo têm a 
preocupação de justificar cientificamente a sociedade grega com 
grandes desníveis sociais, uma sociedade onde a maior parte da 
população não tinha os direitos dos cidadãos na famosa democracia. 
 Platão procurava um rei-filósofo para governar sua cidade ideal, 
mas nunca pensou em abolir a escravidão; o Estado-ideal era 
formado por cidadãos e escravos. Muito mais escravos que cidadãos. 
 Aristóteles justifica e defende, por exemplo, a escravidão. Do 
mesmo modo que o universo físico estaria constituído por uma 
hierarquia inalterável, segundo a qual cada ser ocupa, 
definitivamente um lugar que lhe seria destinado pela natureza (e do 
qual ele só se afasta provisoriamente através de movimentos 
violentos), assim também o escravo teria seu lugar natural na 
condição de “ferramenta animada”. Aristóteles chega mesmo a 
afirmar que o escravo é escravo porque tem alma de escravo, é 
essencialmente escravo, sendo destituído por completo de alma 
noética, a parte da alma capaz de fazer ciência e filosofia e que 
desvenda o sentidoe a finalidade última das coisas. 
 
 
 
 
 
101
 
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. Trace um ângulo de 60° e use a trissectriz de Hípias para dividi-lo 
em sete partes iguais. 
 
2. Usando apenas régua e compasso, construa o segmento x tal que 
ax = b², sendo que a e b são quaisquer segmentos dados. 
 
3. Dados os segmentos a e b e usando régua e compasso apenas, 
construa x e y, tais que x + y = a e xy = b². 
 
4. Dados os segmentos a, b e c, construa x e y, tai que x – y = a e 
xy = bc. 
 
5. Resolva a equação x² + ax = b², construindo um segmento que 
satisfaça à condição dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103
 
 
A CIÊNCIA HELENÍSTICAA CIÊNCIA HELENÍSTICAA CIÊNCIA HELENÍSTICAA CIÊNCIA HELENÍSTICA 
 
 
“Nem mesmo para os reis existe uma estrada mais curta para a 
geometria” (Euclides) 
 
 
O MUSEU DE ALEXANDRIAO MUSEU DE ALEXANDRIAO MUSEU DE ALEXANDRIAO MUSEU DE ALEXANDRIA 
 
 Com a morte de Alexandre seu império foi retalhado e coube o 
Egito a um membro da sua corte, Ptolomeu. Fundador da dinastia 
ptolomaica (que reinou até 30 a.C., com quinze reis Ptolomeu), fez 
de Alexandria a capital, onde estabeleceu um museu e uma 
biblioteca. 
 A cidade tornou-se uma grande metrópole comercial, por ser 
um entreposto de localização privilegiada entre o Ocidente e o 
Oriente, e, principalmente a capital intelectual e artística do mundo 
helenístico, por ter se tornado ponto de confluência de diferentes 
culturas e ter atraído sábios de diferentes lugares. 
 O Museu ou Casa das Musas de Alexandria, que viria a ser mais 
tarde o maior centro de estudos da antiguidade, foi fundado em 294 
a.C. por Demétrio de Falero, um discípulo de Aristóteles, eminente 
cidadão e sábio de Atenas. Acompanharam-no alguns membros da 
escola peripatética, interessados sobretudo nas ciências. 
 Modelado pelas escolas atenienses e bem subsidiado pelo 
tesouro real, o Museu foi uma verdadeira universidade de ciências 
gregas. Possuía como anexo, uma grande biblioteca, um refeitório e 
salões de conferencia para os professores. Foi ali que, durante 700 
anos, a ciência grega teve a sua principal morada. 
 Com tal rapidez aumentou a biblioteca que, por volta de 250 
a.C., continha mais de 400000 rolos, tanto mais valiosos pela razão 
de serem os textos clássicos fixados por sábios idôneos, com o 
aditamento de notas lingüísticas e históricas. O poeta e erudito 
Calímaco (cerca de 250 a.C.) organizou um catálogo de autores em 
120 volumes, com a relação completa das obras e uma breve 
biografia de cada autor. Dispondo dessas facilidades e de papiro a 
preço módico, tornou-se Alexandria o maior centro editorial que 
passou a exportar obras para todas as partes do mundo grego. 
 
 
104
 
 
 Sua fama não tardou a superar a de Atenas e, inclusive, os 
romanos para ali se dirigiam, a fim de estudar a arte terapêutica, a 
anatomia, a matemática, a geografia e a astronomia. 
 
EUCLIDESEUCLIDESEUCLIDESEUCLIDES (360 – 295 a.C.) 
 
Euclides de Alexandria floresceu por 
volta de 300 a.C. Ignora-se qual tenha 
sido a sua terra natal e até a sua etnia. 
Diz-se que era de natural pacífico e 
benévolo e que sabia avaliar devidamente 
o mérito científico de seus predecessores. 
Conquanto não se saiba quase nada de 
sua vida e personalidade, as obras de 
Euclides tiveram uma influência e uma 
vitalidade quase, senão inteiramente, sem 
paralelo. Prosseguindo a sua história dos 
matemáticos, escreve Proclo: “não muito 
depois destes (os da Academia) viveu 
Euclides - A Escola de Euclides, que escreveu os Elementos, 
Atenas sistematizou grande parte dos trabalhos 
 de Eudoxo e demonstrou de maneira 
irrefutável certas proposições que os seus antecessores, tinham 
dado provas menos rigorosas”. 
 Conta-se que o rei Ptolomeu lhe perguntou certa vez se não 
havia um caminho mais curto do que os Elementos para aprender 
geometria. Respondeu-lhe Euclides que em geometria não havia 
caminho aplainado para os reis. 
 
Os Elementos 
 
 Euclides foi visivelmente influenciado pelos ideais da escola 
platônica e há fortes indícios de que tenha estudado na Academia. 
Por esse motivo, os seus Elementos (Stoichia) têm por objetivo a 
construção dos chamados “corpos platônicos”, isto é, dos cinco 
poliedros regulares. 
 Esse tratado, que durante 2000 anos serviu de base a quase todo 
ensino dito elementar, é a mais conhecida de suas obras e foi 
 
 
105
 
 
considerada no mundo grego como obra definitiva, realizada após 
muitas tentativas e não podemos esquecer a de Hipócrates de Quios. 
 Compreendia treze livros ou rolos dos quais apenas seis 
costumavam ser incluídos nas edições escolares, durante vários 
séculos passados. Em essência, a obra é uma introdução metódica à 
matemática grega e consiste, principalmente, num estudo 
comparativo das propriedades e relações das figuras planas e dos 
sólidos geométricos que se podem construir e representar, mediante 
o uso de régua e compasso, apenas. A comparação de figuras levou 
a considerações aritméticas, inclusive a dos números irracionais 
correspondentes à linhas incomensuráveis. 
 
 Os treze livros de Os Elementos estão assim distribuídos: 
 
Livro I: Construções elementares, teoremas de congruência, área de 
polígonos, teorema de Pitágoras; 
Livro II: Álgebra geométrica; 
Livro III: Geometria do círculo; 
Livro IV: Construção de certos polígonos regulares; 
Livro V: A teoria das proporções de Eudoxo; 
Livro VI: Figuras semelhantes; 
Livros VII – IX: Teoria dos números; 
Livro X: Classificação de certos irracionais; 
Livro XI: Geometria no espaço, volumes simples; 
Livro XII: Áreas e volumes encontrados pelo “método da exaustão” 
de Eudoxo; 
Livro XIII: Construção dos cinco sólidos regulares. 
 
O procedimento de Euclides 
 
 Quais são os traços característicos das técnicas adotadas por 
Euclides? Em primeiro lugar, ele sempre enuncia as suas leis em 
forma universal. Não examina as propriedades de uma determinada 
linha ou figura realmente existente; examina, ao contrário, as 
propriedades que todas as linhas ou figuras de uma certa espécie 
devem ter. Não apenas isso, formula as leis de modo a torná-las 
rigorosas e absolutas – nunca são dadas como simples 
aproximações. Diz, por exemplo, que a soma dos ângulos internos 
 
 
106
 
 
de qualquer triângulo é sempre igual a dois ângulos retos; não diz 
tratar-se de um resultado aproximado ou usualmente verdadeiro – 
põe a asserção como algo rigoroso e absolutamente verdadeiro. E o 
que é mais importante, Euclides não se limita a enunciar um grande 
número de leis geométricas: demonstra-as. 
 Na verdade, o seu livro consiste em demonstrações colocadas 
de maneira sistemática de acordo com as idéias de Aristóteles. As 
demonstrações não são de caráter indutivo, ao contrário dos antigos 
egípcios e mesopotâmios, que obtiveram vários princípios por 
intermédio da observação e da experimentação. Euclides não nos 
pede, jamais, que efetuemos medidas de ângulos de triângulos reais 
a fim de verificar que a soma é igual a dois retos. Não se preocupa 
em momento algum, com experimentos ou observações desse 
gênero. 
 Em vez disso, apresenta-nos demonstrações, de caráter 
dedutivo, por meio das quais chegou as suas conclusões com o rigor 
da absoluta necessidade lógica. 
 A seguir, uma síntese dos treze livros de Os Elementos. 
 
Livro I 
 Com 48 proposições, inicia-se com uma lista de 23 definições, 
dentre as quais destaca-se: 
Definições: 
1. Um ponto é aquilo que não tem partes; 
2. Uma linha é um comprimento sem largura; 
15. Um círculo é a figura plana fechada por uma linha tal que todos 
os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto 
determinado do interior da figura sejam iguais entre si; 
23. Retas paralelas são linhas retas que, estando no mesmo plano, 
prolongadasindefinidamente nos dois sentidos, não se cruzam. 
 Após a lista de definições seguem-se cinco postulados e cinco 
axiomas; que conjuntamente, formam as hipóteses sobre as quais 
repousa a teoria. 
Postulados: 
1. Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer; 
2. É possível prolongar arbitrariamente um segmento de reta; 
3. É possível traçar um círculo com qualquer centro e raio; 
4. Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si; 
 
 
107
 
 
5. Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos 
interiores do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, então 
as duas retas, 
caso prolongadas 
indefinidamente, se 
encontram do 
mesmo lado em que 
os ângulos são 
menores do que 
dois ângulos retos. 
Axiomas: 
1. Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais entre si; 
2. Se a grandezas iguais forem adicionadas grandezas iguais, as 
somas serão iguais; 
3. Se grandezas iguais forem subtraídas de grandezas iguais, os 
resultados serão iguais; 
4. Grandezas que coincidem entre si são iguais; 
5. O todo é maior do que suas partes. 
 
Observação: os postulados são as hipóteses básicas relativas a um 
ramo específico do conhecimento, nesse caso a geometria, enquanto 
que os axiomas tratam da comparação de grandezas e são aceitos em 
todas as áreas. Atualmente não se faz mais tal distinção e 
afirmações, que são aceitas sem demonstração, são chamadas 
indistintamente de axiomas ou postulados. As leis demonstráveis 
são os teoremas, ou, segundo a terminologia antiga, as proposições. 
 Para termos uma idéia do método empregado por Euclides, 
examinemos o tratamento dado a algumas proposições: 
 
Proposição 1: Construir um triângulo eqüilátero, dado o seu lado. 
 
Dado o segmento AB, pede-
se um triângulo eqüilátero 
construído sobre AB. Traça-
se uma circunferência de 
centro A e distância (raio) 
AB; seja BCD essa 
circunferência (postulado 3) 
a 
b 
c 
 
 
108
 
 
Repita-se o processo, tomando-se o centro B e a distância BA; 
obtém-se a circunferência ACE (postulado 3). Traça-se as retas CA e 
BC, unindo o ponto C, em que as circunferências se cortam, aos 
pontos A e B (postulado 1). Ora, sendo A o centro do círculo CDB, 
segue-se que AC é igual a AB (definição 15). De modo análogo, 
sendo B o centro de CAE, BC é igual a BA (definição 15). Mas já se 
mostrou que CA era igual a AB; logo, os segmentos CA e CB são 
também iguais a AB. Mas (axioma 1) CA é igual a CB. Em 
conseqüência, as linhas retilíneas CA, AB e BC são iguais entre si. 
Segue-se que o triângulo ABC é eqüilátero e foi construído sobre um 
segmento dado, AB. 
 
Proposição 2: Dois paralelogramos de bases e alturas 
respectivamente iguais, têm a mesma área. 
 
Proposição 47 (Teorema de Pitágoras): Em triângulos retângulos, o 
quadrado construído sobre o lado que subtende a ângulo reto (isto é, 
a hipotenusa) é igual à soma dos quadrados sobre os lados que 
contêm o ângulo reto. 
Sobre os três lados de 
um triângulo retângulo 
ABC (C = 90 °) são 
construídos quadrados. 
A altura CH a partir de 
C é traçada e 
prolongada até F. São 
traçados os segmentos 
DB e CE. Observa-se, 
em primeiro lugar, que 
o triângulo DAB é 
congruente ao 
triângulo CAE. Para 
ver isso basta girar um 
deles de 90° em torno 
de A; um cobrirá 
exatamente o outro. 
Ora, o quadrado sobre 
AC é duas vezes o 
 
 
109
 
 
triângulo DAB, pois tem a mesma base, AD, e estão situados entre as 
mesmas retas paralelas. Esse é um caso particular da Proposição 2. 
“Se um paralelogramo e um triângulo têm a mesma base e estão 
situados entre duas paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas 
vezes a área do triângulo.” 
 Do mesmo modo, vemos que o retângulo AEFH é duas vezes o 
triângulo CAE, pois tem também a mesma base, AE, e estão situados 
entre as mesmas retas paralelas. Como os dois triângulos são 
congruentes, o quadrado sobre AC é igual ao retângulo AEFH. 
 Segue-se, exatamente da mesma maneira, que o quadrado sobre 
BC é igual ao retângulo sobre HB, e desta maneira a soma dos 
quadrados sobre AC e BC é igual à soma dos dois retângulos; que é 
exatamente o quadrado sobre AB. 
 Além dessa demonstração elegante do Teorema de Pitágoras, 
Euclides demonstrou que em um triângulo retângulo o quadrado de 
um lado é igual ao produto das projeções da hipotenusa sobre toda a 
hipotenusa. 
 
Proposição 48 (Recíproca do Teorema de Pitágoras): Se em um 
triângulo o quadrado de um dos lados é igual a soma dos quadrados 
dos outros dois, então o triângulo é retângulo. 
 
Livro II 
 Com 14 proposições, quase todas sobre álgebra geométrica, 
indica uma grande influência das idéias de Eudoxo. 
Exemplos: 
 
• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição: 
 
 
acab)cb(a +=+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
110
 
 
• Produtos notáveis 
 
 
 
 
• Equação do primeiro grau 
 
 
 
bax= 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição 11 (Segmento Áureo) 
 Dividir uma linha reta em duas partes tais que o retângulo 
contido pelo todo e uma das partes tenha área igual à do quadrado 
sobre a outra parte. 
 Se o segmento dado é AB, deve-se determinar o ponto X desse 
segmento tal que o retângulo de lados AB BC= e XB tenha a mesma 
área do quadrado de lado AX. 
 Indiquemos as medidas de AB e AX por a e x respectivamente. 
Nessas condições a e x devem satisfazer a seguinte condição: 
2x)xa(a =− . 
 
 
222 2 baba)ba( ++=+
b a 
a 
b b2 
a2 ab 
ab 
x 
b b 
a 1 
 
 
111
 
 Numa forma simplificada, e em notação atual, a solução de 
Euclides compõe-se dos seguintes passos: 
• Construir o quadrado ABCD sobre o 
segmento dado AB; 
• Tomar o ponto médio, E, de DA; 
• Tomar F sobre o prolongamento de 
DA de maneira que EF=EB; 
• Construir o quadrado sobre o lado AF 
no mesmo semi-plano de BC. 
• O vértice X desse quadrado, 
pertencente ao segmento AB, é a 
solução do problema. De fato: 
aADAE
2
1
2
1
== . Assim no triângulo 
ABE tem-se 22
2
)
a
(aEB +=
2
5a
= . 
Daí, 
( )
2
51
22
5 +−
=−=−=−==
aaa
EAEBEAEFAFAX que, 
como se pode verificar facilmente, é a raiz positiva de 
2x)xa(a =− . 
 
Livro III 
 Com 39 proposições, provavelmente descobertas por 
Hipócrates, é dedicado à geometria do círculo, da circunferência e 
correlatos como arcos, segmentos, tangentes e cordas. 
 
Livro IV 
 Com 16 proposições, é dedicado à construção com régua e 
compasso de alguns polígonos regulares: triângulos, quadrados, 
pentágonos e hexágonos, inscritos e circunscritos em 
circunferências. Na última proposição, com base no triângulo e no 
pentágono regulares, constrói-se o polígono regular de 15 lados 
(pentadecágono). 
 
Livro V 
 Com 25 proposições, é inteiramente aritmético, embora use 
segmentos de retas para representar números. É nele que Euclides 
 
 
112
 
 
apresenta a teoria das proporções de Eudoxo. Como exemplo temos 
a proposição 5: “Se um número divide dois outros, ele também 
divide a diferença entre ambos”. 
 
Livro VI 
 Com 33 proposições, é a aplicação da Teoria das Proporções às 
figuras semelhantes. 
 Como exemplo, encontramos dois casos de construção, que, 
devidamente interpretados, recaem na solução da equação do 
segundo grau. 
 
Proposição 28: Dividir um segmento de reta de modo que o 
retângulo contido por suas partes seja igual a um quadrado dado, 
não excedendo este o quadrado sobre metade do segmento de reta 
dada. Em linguagem atual, 022 =+− qpxx , em que p e q são 
segmentos dados. 
 
 
 
 
 
 
Sejam q e AB dois segmentos de reta, 
2
AB
q < . 
 Divide-se AB com o ponto Q tal que 2q)QB)(AB( = . 
 Para isso coloca-se PE = q, em que P é o ponto médio de AB. 
Com centro em E e PB como raio, marca-se em AB o ponto Q. 
Nota-se que: =+−=−= )PQPB)(PQPB()PQ()PB(q 222 
).AQ)(QB(= Denotando agora o segmento AB por p conclui-se 
que a construção dá a solução da equação .qpxx 022 =+− De fato, 
se r e s são raízes dessa equação, tem-se p = r + s e .rsq =2 
 Mas isso acontece, pois, QBAQp += e )QB)(AQ(q =2 . 
Assim, AQ e QB representam as raízes r e s. 
 
 
qq 
A P 
E 
Q B 
 
 
113
 
 
 Se for considerado os segmentos simétricos de AQ e QB tem-se 
as soluções da equação 022 =++ qpxx . 
Exemplo: 0132 =+− xx . 
 Na demonstração anterior, fazendo p = 3 e q = 1, tem-se: 
2
5
2
3
+=+== PQAPAQr e 
2
53
3
+
−=−== AQABQBs . 
Proposição 29: Prolongue um dado segmento de reta de modo que o 
retângulo contido pelo segmento estendido e a extensão seja igual a 
um quadrado dado. Em linguagem atual, 022 =−− qpxx . 
 
 Toma-se novamente os segmentos q e AB. Encontra-se, assim, o 
ponto Q tal que )QB)(AQ(q =2 . Por construção tem-se BE = q e 
PE = PQ, em que P é o ponto médio de AB. 
 Assim 2222 )PQ()PE(q)PB( ==+ , ou seja, 
)AQ)(QB()PAPQ)(QB()PBPQ)(PBPQ()PB()PQ(q =+=+−=−= 222 , 
em que AQ = r, QB = s e AB = p. Logo, psr =− e 
2q)QB)(AQ(rs)s(r −=−=−=− . Portanto r e s− são raízes de 
022 =−− qpxx . 
 Finalmente rr −=1 e sr =2 são as raízes da equação 
022 =−+ qpxx . 
Exemplo: 09132 =−− xx . 
 Na demonstração anterior, fazendo p =13 e q = 3, tem-se: 
q 
q 
A P 
E 
B 
 
 
114
 
2
20513
13
+
−=−=+== QBABBQABAQr e 
.PEPBQBs
2
205
2
13
+=−== 
 
Livro VII 
 Com 39 proposições, estuda as propriedades dos números 
naturais e suas relações. Mesmo na teoria dos números o enfoque 
era geométrico. Pode-se observar isso, por exemplo, nas definições: 
 
Divisibilidade: um número é parte de outro, o menor do maior, 
quando ele mede o maior. 
 
Número primo: um número é primo quando é mensurável apenas 
pela unidade. 
 
Proposição 2 (Algoritmo de Euclides): dados )b(Nb,a 0 ≠∈ , 
existem Nr,q ∈ tais que rbqa += )br( <≤0 . 
 
Lema de Euclides: considere Nb,a,p ∈ , p primo. Se p divide ab, 
então p divide a ou p divide b. 
 
Livro VIII 
 Com 27 proposições, trata de propriedades dos números em 
proporção continuada, hoje denominada de progressão geométrica. 
 
Proposição 22: Se três números estão em proporção continuada e se 
o primeiro deles é um quadrado, então o terceiro também será um 
quadrado. 
 
Livro IX 
 Com 36 proposições, apresenta resultados significativos para o 
desenvolvimento da atual teoria dos números. 
 
Proposição 20: Números primos são mais do que qualquer 
quantidade fixada de números primos. 
 
 
 
115
 
 
 Na linguagem atual: ”o conjunto dos números primos é 
infinito”. 
 A prova é indireta, pois mostra-se que a hipótese de haver só 
um número finito de primos leva a uma contradição. 
 Seja P o produto de todos os primos, np...p,p 21 , supostos em 
número finito, e consideremos o número 11 21 +=+= np...ppPN . 
N não pode ser primo, pois isso contradiria a hipótese de P ser o 
produto de todos os primos. Logo N é composto e deve ser medido 
por algum número p. Mas p não pode ser nenhum dos fatores primos 
que entram em P, senão seria um fator de 1. Logo p deve ser um 
primo diferente de todos os fatores de P; portanto, a hipótese de P 
ser o produto de todos os primos é falsa. 
 
Proposição 35 (soma da progressão geométrica): Se tantos números 
quantos se queira estão em proporção continuada, e se subtrair do 
segundo e último números iguais ao primeiro, então assim como o 
excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último estará 
para todos os que o procedem. 
 Em outras palavras, temos: 
Se 121 +na,...,a,a com 121 +<<< na...aa estão em proporção 
continuada, temos: 
1
1
3
2
2
1
+
− ====
n
n
n
n
a
a
a
a
...
a
a
a
a
. 
Logo, =
−+
n
nn
a
aa 1 ==
−
−
− ...
a
aa
n
nn
1
1 =
−
2
23
a
aa
1
12
a
aa −
 e assim 
=
++++
−
−
+
121
11
aa...aa
aa
nn
n .
a
aa
1
12 −
 
No caso ara,aa == 21 ..., tem-se 
a
aar
S
aar
n
n −
=
−
, ou 
seja, .
r
r
aS
n
n 1
1
−
−
= 
 
Proposição 36 (números perfeitos): Se tantos números quanto se 
queira, começando com uma unidade, forem colocados 
continuamente em proporção dupla até que a soma de todos se torne 
 
 
116
 
 
um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, o 
produto será perfeito. 
 Em notações atuais: se 122221 12 −=++++ − nn... é primo, 
então )( 122 1 −− nn é perfeito. 
Exemplos: 
 Para n = 2 tem-se 3122 =− , primo. Logo 6122 2 =− )( é 
perfeito. 
 Para n = 3 tem-se 7123 =− , primo. Logo 28122 3 =− )( é 
perfeito. 
 Vale lembrar que um número é perfeito se é igual à soma de 
seus divisores próprios. 
 
Livro X 
 Com 115 proposições, o mais longo dos treze, classifica 
diversos tipos de grandezas incomensuráveis, produzidas pela 
extração de raízes quadradas. 
 Dentre os incomensuráveis estudados, estão os dos tipos 
,b,ba,ba,ba +±+± a sendo que a e b são 
grandezas comensuráveis. 
 Embora acredite-se que esse livro tenha sido quase todo 
produzido por Teetecto, sua primeira proposição é o famoso método 
de exaustão de Eudoxo, que já nos referimos anteriormente. 
 A proposição 28 mostra como podem ser encontradas as 
ternas pitagóricas, ou seja, os ternos de números inteiros positivos 
em que o quadrado de um é igual a soma dos quadrados dos outros 
dois. 
 
Livro XI 
 Com 39 proposições, corresponde à passagem de Euclides do 
plano para o espaço. Pela primeira vez são tratadas as figuras 
sólidas, definidas como as que têm comprimento, largura e 
espessura. São definidas figuras como ângulo sólido, pirâmide, 
prisma, paralelepípedo, cone, esfera e os cinco poliedros regulares. 
 
 
 
 
 
117
 
 
Livro XII 
 Com 18 proposições, é dedicado ao estudo de áreas e volumes 
de figuras como círculos, cones, esferas e pirâmides. 
 
Proposição 1: Áreas de polígonos semelhantes inscritos em círculos 
estão entre si como os quadrados dos respectivos diâmetros. 
 
Proposição 2: As áreas dos círculos estão entre si como os 
quadrados dos respectivos diâmetros. 
 
Proposição 7: Qualquer prisma de base triangular pode ser dividido 
em três pirâmides de bases triangulares de iguais volumes. 
 
Proposição 10: O volume de qualquer cone é a terça parte do 
volume do cilindro de mesma base e mesma altura. 
 
Livro XIII 
 Com 18 proposições, trata da construção, com régua e 
compasso, dos cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, 
dodecaedro e icosaedro. 
 
Outras Obras de Euclides 
 Euclides e os Elementos são freqüentemente considerados 
sinônimos, mas a realidade é que escreveu cerca de uma dúzia de 
tratados, cobrindo tópicos variados, desde óptica, astronomia, 
música e mecânica e até um livro sobre secções cônicas. 
 Do que Euclides escreveu mais da metade se perdeu, inclusive o 
tratado sobre cônicas. 
 Cinco obras de Euclides sobreviveram até hoje: Os Elementos, 
Os Dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e óptica. 
 
 
 
 
118
 
 
ARISTARCOARISTARCOARISTARCOARISTARCO (310 – 230 a.C.) 
 
 Aristarco de Samos defendeu uma interessantíssima e 
significativa teoria astronômica, o heliocentrismo, contrariando 
todas as teorias até então apresentadas, desde os mesopotâmios. 
Autor de um tratado Das Dimensões e Distâncias do Sol e da 
Lua, procurou determinar essas distâncias relativamente uma à 
outra, calculando a distância angular entre os dois astros quando a 
Lua estivesse no quarto crescente, isto é, quando as retas que unem 
o Sol à Lua e esta à Terra formam um ângulo reto na Lua. 
 
 Aristarco desse modo deduziu que: 
1. A distância da Terra ao Sol é maior que 18 vezes e menor 
que 20 vezes a distância da Terra à Lua. 
2. Os diâmetros do Sol e da Lua têm a mesma razão que suas 
distâncias da Terra. 
3. A razão do diâmetro do Sol pelo diâmetro da Terra é maior 
do que 19/3 e menor do que 43/6. 
 Os erros cometidos devem-se aos dados usados, pois o 
raciocínio estava correto. 
 São tão grandes as dificuldades desse processo, que foi 
impossível alcançar um alto grau de exatidão, e o resultado obtido 
por Aristarco (29/30 do ângulo reto, enquanto o verdadeiro é 
expresso pela fração 539/540) correspondia à razão de 1 para 19 
entre as duas distâncias. O resultado não era ruim considerando que 
Aristarco não dispunha de bons processos trigonométricos ou 
qualquer outro método para aplicar no problema.Não se pode afirmar com certeza se essa notável antecipação da 
teoria de Copérnico era fruto de uma convicção ou simples 
3º 
87º 
Lua 
Terra 
Sol 
 
 
119
 
 
especulação feliz, mas de qualquer modo ela não foi aceita, e por 
isso não teve vida longa. Arquimedes, por exemplo, comentou a 
teoria de Aristarco discordando da essência do trabalho. 
 É verdade que no século seguinte, Seleuco, um astrônomo de 
origem Babilônia, ensinou que havia a rotação da Terra sobre o seu 
eixo e a revolução em torno do Sol, no entanto, essas ousadas teorias 
não tornaram a ser formuladas senão 1700 anos depois. Seleuco teria 
observado também as marés, dizendo que “a revolução da Lua é 
oposta à rotação da Terra, mas o ar que se acha entre os dois astros, 
sendo arrastado para a frente, vem a cair no oceano e isso causa a 
perturbação do mar”. 
 
 
ARQUIMEDESARQUIMEDESARQUIMEDESARQUIMEDES (287 – 212 a.C.) 
 
Arquimedes de Siracusa, 
considerado o maior sábio da 
Antiguidade e um dos mais 
famosos de toda a história da 
ciência é outro grande nome 
da escola alexandrina. Foi 
matemático,físico, astrônomo 
e engenheiro. Enriqueceu a 
geometria euclidiana, já 
altamente desenvolvida, 
A morte de Arquimedes – Courtois introduziu importantes 
 progressos na álgebra, lançou 
os fundamentos da mecânica e até prenunciou o cálculo diferencial e 
integral. Ao dar continuidade, e grande avanço, aos trabalhos de 
Eudoxo, aperfeiçoou o método de exaustão que seria durante dois 
mil anos o único instrumento seguro para o cálculo de áreas e 
volumes. 
 Passou a maior parte de sua vida na cidade natal, tendo, em 
certas conjunturas, prestado valiosos serviços como engenheiro 
militar. Tinha talento especial para inventar instrumentos práticos – 
catapultas para lançar pedras, cordas, polias, ganchos para levantar 
navios e espelhos para causar incêndios. 
 
 
 
120
 
 
 Nessa época, Roma já estava em expansão, com muitas guerras 
de conquistas, dentre as quais são bem conhecidas as chamadas 
“guerras púnicas” contra Cartago. Esta cidade ficava onde hoje é um 
subúrbio de Tunis, a capital da Tunísia. 
 Cartago controlava uma extensa região que se estendia até a 
Espanha, constituindo-se numa incômoda rival de Roma. Na 
segunda das guerras púnicas, Siracusa se aliara a Cartago, daí ter 
sofrido uma investida fatal de Roma. Há indícios de que Siracusa 
resistiu bravamente aos ataques do general Marcelo, graças às 
máquinas de guerra idealizadas por Arquimedes. Finalmente, depois 
de um longo cerco, acabou por sucumbir à superioridade das tropas 
romanas. Há várias versões sobre a morte de Arquimedes; segundo 
uma delas, durante o saque da cidade, em 212 a.C., ele foi morto por 
um soldado romano, quando absorto, se ocupava com problemas 
matemáticos. 
 
Os trabalhos de Arquimedes (em ordem cronológica provável) 
 
Sobre o equilíbrio de figuras planas, I; A quadratura da parábola; 
Sobre o equilíbrio de figuras planas, II; Sobre a esfera e o cilindro, 
I, II; Sobre as espirais; Sobre os conóides e esferóides; Sobre os 
corpos flutuantes I, II; A medida do círculo; O Contador de grãos 
de areia e A carta a Eratóstenes sobre o Método. 
 
 Segue alguns comentários que consideramos importantes sobre 
algumas obras de Arquimedes. 
 
A Medida do Círculo 
 
Neste trabalho, Arquimedes prova três proposições: 
 
1- Todo círculo é equivalente a um triângulo retângulo em que os 
catetos são iguais, respectivamente, ao raio e ao comprimento 
da circunferência do círculo. 
Prova: 
Sejam r o raio do círculo, c o comprimento da circunferência, C a 
área do círculo e T a área do triângulo retângulo. 
Temos que provar que C = T. 
 
 
 
121
 
 
Suponha C > T. Seja A = C – T, A > 0. Considere um polígono 
regular inscrito de apótema m’, perímetro p’ e de área P’, tal que C – 
P’ < A. 
Assim, C – P’ < A = C – T, ou seja, P’>T 
Mas 
2
''
'
mp
P
⋅
= e 
2
rc
T
⋅
=' , logo, p’ ⋅m’> >c⋅r, o 
que é um absurdo, pois p’< c e m’<r. Então C ≤ 
T. 
 
 
 
Suponha C < T. Seja A = T – C e considere um polígono 
circunscrito de apótema r, perímetro p e área P com P – C < A. 
Assim, P – C < A = T – C, ou seja, P<T, ou 
ainda, 
2
pr ⋅ < 
2
cr ⋅ , isto é, 
p < <c, absurdo. Então, C ≥ T. 
 
 
 
Portanto, C = T = 
2
rc ⋅
. 
2 - Se c é o comprimento da circunferência e d é o diâmetro então 
 (3 + 
71
10 )d < c < (3 + 
70
10 )d, ou seja, 3 + 
71
10 < π < 3 + 
7
1 . 
Em decimais temos a seguinte relação: 3,14084 < π < 3,142858. 
 
3 - O círculo está para o quadrado de seu diâmetro aproximadamente 
na razão 
14
11 . 
r C 
r 
c 
T 
• 
m' 
• 
r 
 
 
122
 
A Quadratura da Parábola 
 
A seguir, o processo de demonstração de Arquimedes, pelo 
método de exaustão, em que a área de um segmento parabólico é 3
4 
da área do triângulo inscrito de mesma base e altura. 
 
Suponha que a figura acima represente uma porção de parábola 
determinada pela corda C’C, perpendicular ao seu eixo AB. Como 
definição de parábola considera-se o conjunto dos pontos P tais que 
AP’ seja proporcional a (P’P)2 - isto é, em notação atual, y = kx2. 
Arquimedes mostrou que essa porção de parábola é 3
4 da área do 
triângulo C’AC, o que equivale a dizer que a área limitada por AB, 
BC, e a parábola é 3
4 da área do triângulo ABC. Para tanto ele 
“exauriu” a área parabólica somando primeiro o triângulo ADC ao 
ABC, em que D é o ponto em que uma paralela a AB , pelo ponto 
médio M de BC, corta a parábola, e mostrando que ADC = 4
1 ABC. 
A seguir construiu paralelas a AB por M’e M”, pontos médios de MC 
e BM, respectivamente, as quais cortam a parábola em D’ e D”. 
Então mostrou que AD”D + DD’C = 
4
1 ADC = 
24
1 ABC. 
Continuando indefinidamente com esse processo, chega-se à 
conclusão de que a área parabólica é dada aproximadamente por 
 
 
123
 
ABC + 
4
1 ABC + 
24
1 ABC +...+ n4
1 ABC, (1) 
a qual, à medida que n cresce, aproxima-se cada vez mais de 
3
4
ABC. 
 A prova de que ADC = 
4
1
ABC faz-se como se segue, com a 
notação e os segmentos construídos da figura. Da definição de 
parábola, AF = k(FD)2 e AB = k(BC)2. Como FD = BM = 
2
1 BC, 
deduz-se que AF = HD = 
4
1
AB. Por semelhança de triângulos, 
2
1
==
BC
MC
AB
EM , de modo que EM =
2
1 AB. Daí 
DE = AB – HD – EM = AB – 
4
1
AB – 
2
1 AB = 
4
1
AB. 
 Assim, ADE e AEM têm a mesma altura AH e bases DE = 
4
1
AB 
e EM = 
2
1 AB, respectivamente. Logo, ADE = 
2
1 AEM. Do 
mesmo modo, DEC = 
2
1 EMC; de maneira que, por adição, ADC = 
2
1 ACM. Além disso, ACM e AMB têm bases iguais (MC e BM) e 
mesma altura (AB), e assim ADC =
4
1
ABC. 
 Analogamente, com o uso dos segmentos construídos 
apresentados na figura, podemos provar que DD’C = 
4
1
DCE e 
AD”D = 
4
1
ADE, de forma que AD”D + DD’C = 
4
1
 ADC = 
 
= 
24
1
ABC, completando assim a segunda etapa da prova. 
 
 
 
 
124
 
 
 Como decorrência da Quadratura da Parábola, realizada por 
Arquimedes, surge provavelmente a primeira série infinita na 
Matemática, uma progressão geométrica de razão 
4
1. 
 Mostraremos a seguir o processo utilizado por Arquimedes para 
encontrar a soma dessa série, evitando fazer n→∞. 
Problema: Mostrar que 
3
4
4
1
4
1
4
1
1
2
=+++++ ......
n
. 
Segundo Arquimedes, 
3
4
4
1
3
1
4
1
4
1
4
1
1
2
=⋅+++++
nn
... . 
Isso segue do seguinte fato: 
14
1
3
1
43
4
4
1
3
1
4
1
−
⋅=
⋅
=⋅+
kkkk
 
 Portanto, =




 ⋅+++++
nn
...
4
1
3
1
4
1
4
1
4
1
1
2
 
= =




 ⋅+++++
−− 112 4
1
3
1
4
1
4
1
4
1
1
nn
... .. . . .= 
3
4
3
1
1
4
1
3
1
4
1
1 =+=




 ⋅++ 
 
A quadratura da parábola pelo Método da Alavanca 
 
 O método que Arquimedes visualizou corretamente e que 
habilitaria seus contemporâneos e sucessores a fazer novas 
descobertas, consistianum esquema para equilibrar entre si os 
“elementos” de figuras geométricas. 
 Foi na quadratura da parábola que aplicou, pela primeira vez o 
chamado método da alavanca, tendo equilibrando entre si os 
segmentos de reta que formam o triângulo com os correspondentes 
segmentos que formam o setor parabólico. 
 Após ter descoberto uma certa propriedade, por método da 
alavanca, ele aplicava o método de exaustão para prová-las, 
ajustando-se assim aos padrões de rigor da época. 
 
 
 
125
 
 
 Seja s a região limitada por uma parábola p e uma corda AB de 
ponto médio M. Seja t a tangente a p em A. Dos pontos B e M 
traçam se retas paralelas ao eixo, as quais interceptam t em D e E, 
respectivamente; suponha que ME intercepte p em C, ponto este 
chamado de vértice de s. Temos que C é o ponto médio de ME. Seja 
l a reta que contém AC e indiquemos por F sua intersecção com BD. 
 Nessa altura Arquimedes compara o segmento parabólico s com 
o triângulo ABD. Seja O um ponto qualquer de AB. Suponha que a 
reta por O, paralela ao eixo de p intercepte p, t e l nos pontos P, Q e 
R, respectivamente. Assim, 
AF
RF
AB
OB
OQ
OP
== .Nesse ponto dá um 
passo engenhoso: considera l como uma alavanca, com fulcro em F, 
e toma o ponto T em l de maneira que F seja o ponto médio de AT. 
Em T ele “pendura” um segmento UV, congruente a OP. Então, da 
igualdade acima 
TF
RF
AF
RF
OQ
UV
== , ou UV⋅TF = OQ⋅RF. 
 Assim o segmento UV, suspenso pelo seu ponto médio T, está 
em equilíbrio com o segmento OQ, suspenso pelo seu ponto médio 
R. 
 Arquimedes imagina agora o triângulo ABD como a união de 
todos os segmentos de reta como OQ, paralelos ao eixo. Cada um 
deles tem um segmento correspondente OP congruente a um 
segmento UV, que se “pendura” em T. Dessa forma concebe o 
triângulo em equilíbrio com o segmento parabólico s, que se 
imagina suspenso em T. Além do mais, como se sabia previamente, 
pode-se considerar o triângulo suspenso pelo seu baricentro, que é o 
 
 
126
 
 
ponto G de l tal que FG = 3
1 FA = 3
1 FT. Portanto, s e o triângulo 
ABD têm áreas cuja razão é 1:3. Finalmente, a área do triângulo 
ABD é o quádruplo de área do triângulo ABC, e temos a descoberta 
de Arquimedes: a área do segmento parabólico é 3
4 da área do 
triângulo com a mesma base e mesmo vértice. 
O contador de grãos de areia 
 
 Trata-se de uma contribuição de Arquimedes à logística 
(aritmética aplicada), em que mostrava, de maneira engenhosa, 
como escrever um número maior do que o número de grãos de areia 
necessários para encher o universo. 
 Como quase todos os astrônomos da antiguidade, Arquimedes, 
concebia o universo na forma de uma enorme esfera, com centro na 
Terra (imóvel) e raio igual à distância da Terra ao Sol. 
 Subestimando o tamanho de um grão de areia, Arquimedes 
admitiu que 10.000 desses grãos preenchessem o espaço ocupado 
por uma semente de papoula; e que 40 dessas sementes, justapostas 
lado a lado, excederiam a largura de um dedo. Daí concluiu (usando 
a relação 3
3
6
d
d
V <
⋅π
= , em que d seria o diâmetro e V o volume 
de uma esfera) que uma esfera de diâmetro igual à largura de um 
dedo não conteria mais que 403 = 64.000 sementes de papoula e, 
portanto, nela não caberiam mais que 10.000×64.000 = 640 milhões 
de grãos de areia, seguramente, então, essa esfera comportaria 
menos de 1 bilhão, isto é, 109 de grãos de areia. A seguir 
Arquimedes introduziu em seu raciocínio o estádio (unidade de 
medida de comprimento equivalente a cerca de 160 m) que estimou 
em menos de 104 larguras de dedos. Como os volumes de duas 
esferas estão entre si na razão dos cubos de seus diâmetros, o 
número de grãos de areia necessário para preencher uma esfera de 
diâmetro igual a um estádio seria menor que ( )349 1010 ⋅ =1021. 
 Por outro lado, usando dados de medidas astronômicas 
conhecidas em sua época, não lhe foi difícil estabelecer que o 
diâmetro do universo era inferior a 1010 estádios. Então repetindo a 
 
 
127
 
 
argumentação anterior, concluiu que para preencher totalmente esse 
universo bastaria um número de grãos inferior a ( )31021 1010 ⋅ =1051. 
 Contar grãos de areia pode ter sido para Arquimedes apenas um 
exercício para por em prática um sistema de numeração, que criou, 
de base 108, para exprimir números muito grandes, já que o sistema 
alfabético em uso na Grécia era deficiente quanto a este aspecto. 
 
Sobre as espirais 
 
 Arquimedes, como seus predecessores, foi atraído pelos três 
problemas famosos de geometria, e a espiral por ele introduzida 
forneceu soluções para dois deles – driblando a exigência “apenas 
com régua e compasso”. 
 A espiral é definida como o lugar geométrico no plano de um 
ponto que se move, partindo da extremidade de um raio ou semi-
reta, uniformemente ao longo do raio enquanto esse, por sua vez, 
gira uniformemente em torno de sua origem. Em coordenadas 
polares a equação, em notação atual, é θ= ar . 
Dada uma tal espiral, a trissecção de um ângulo é possível. O 
ângulo é colocado de modo que seu vértice e primeiro lado 
coincidam com o ponto inicial O da espiral e a posição inicial AO da 
semi-reta. O segmento OP, sendo P o ponto em que o segundo lado 
do ângulo corta a espiral, é então dividido em três partes iguais pelos 
pontos R e S. Traça-se dois círculos com centro O e raios OR e OS 
que interceptam a espiral nos pontos U e V. Desse modo as retas OU 
e OV trissectam o ângulo AOP. 
 
 
O A 
R 
S 
P 
U 
V 
θ 
ψ 
O 
R 
Q 
P 
S 
 
 
128
 
 
 Arquimedes mostrou que a espiral também pode usada para 
resolver o problema da quadratura do círculo. Fez isso por uma 
típica dupla reductio ad absurdum. 
 Pensando num ponto sobre a espiral como sujeito a um duplo 
movimento – um movimento radial uniforme, afastando-se da 
origem do sistema de coordenadas e um movimento circular 
uniforme em torno da origem – Arquimedes encontrou a direção do 
movimento, ou seja, da tangente à curva, determinando a resultante 
dos dois movimentos componentes. Parece ser esse o primeiro caso 
em que se determinou a tangente a uma curva que não era a 
circunferência. 
 Entre as 28 proposições de Sobre espirais há várias que dizem 
respeito a áreas. Por exemplo, na proposição 24 mostrou que a área 
varrida pelo raio vetor em sua primeira rotação completa é um terço 
da área do primeiro círculo. 
 
A esfera e o cilindro 
 
 Em seu importante tratado Da esfera e do cilindro, Arquimedes 
deduz três novas proposições: 
 
• A superfície da esfera é igual a quatro vezes a área do seu 
círculo máximo, ou seja, 24 rA π= . 
• A área convexa de uma calota esférica é igual à área do círculo 
que tem como raio a reta traçada do vértice a um ponto qualquer 
do perímetro da base. 
• O volume do cilindro que tem por base um círculo máximo e 
por altura o diâmetro de uma mesma esfera, é igual a 
2
3
 do 
volume dessa esfera. 
 Ao tentar resolver o problema de seccionar uma esfera por um 
plano de maneira que os volumes ou as superfícies das duas calotas 
formadas guardassem entre si determinada relação, Arquimedes 
obteve uma equação de terceiro grau. Parece ter dado a solução, 
indicando ao mesmo tempo as condições de existência de uma raiz 
positiva, mas a obra perdeu-se. 
 Em Conóides e Esferóides, por meio de secções planas 
 
 
129
 
 
transversais, estuda os sólidos formados pela revolução da elipse, da 
parábola e da hipérbole, e determina o volume desses corpos 
comparando com os cilindros inscrito e circunscrito à porção, 
compreendida entre dois planos. 
 
A mecânica de Arquimedes 
 
 Arquimedes foi o pioneiro em mecânica e deu as primeiras 
demonstrações matemáticas que se conhecem. Em seus dois livros 
sobre o Equilíbrio dos planos propõe-se determinar o centro de 
gravidade de diversas figuras planas, inclusive do segmento 
parabólico. Escreveu um tratado sobre as alavancas e, 
provavelmente sobre máquinas em geral, mas esse livro perdeu-se, 
bem como outra obra sobre a construção de um globo celeste. Uma 
esferaestelar e um planetário construídos por ele foram conservados 
durante muito tempo em Roma. 
 A alavanca e a cunha eram conhecidas desde remota 
antiguidade e Aristóteles mencionara a prática desonesta dos 
mercadores que desviavam o fulcro das balanças, mas antes de 
Arquimedes não se conhece qualquer tentativa de estudo 
matemático do assunto. 
 Admite ele como evidentes os princípios seguintes: 
• Grandezas de igual peso agindo a distâncias iguais do seu 
ponto de apoio equilibram-se. 
• Grandezas de igual peso agindo a distâncias desiguais de 
seu ponto de apoio não se equilibram, e aquela que age a 
maior distância supera a outra. 
• Grandezas comensuráveis ou incomensuráveis equilibram-
se quando são inversamente proporcionais às suas distâncias 
do ponto de apoio. 
 
Princípio de Arquimedes: 
 
 Na obra sobre os Corpos flutuantes Arquimedes exprime entre 
vários resultados o seu conhecido princípio hidrostático: todo sólido 
mais leve que um fluido, se colocado nele ficará imerso o suficiente 
para que o seu peso seja igual ao do fluido deslocado. Por outro lado 
um sólido mais pesado que um fluido, se colocado nele, descerá até 
 
 
130
 
 
o fundo do fluido, e o sólido, se pesado dentro do fluido, pesará 
menos do que seu peso real de um tanto igual ao peso do fluido 
deslocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arquimedes no banho, Gaultherus Rivius, Nuremberg, - 1574 
 
Sobre os Corpos Flutuantes (A Coroa do Rei) 
 
 Arquimedes era bem relacionado com rei Hierão de Siracusa e 
talvez fosse seu parente. Conta-se que Hierão mandou fazer uma 
coroa de ouro e, desconfiado quanto a “pureza” do ouro da coroa, 
consultou o sábio para dirimir suas dúvidas. Diz a lenda que 
Arquimedes descobriu como resolver o problema enquanto tomava 
banho e refletia sobre o fato de que os corpos imersos na água – 
como seu próprio corpo – se tornam mais leves, exatamente pelo 
peso da água que deslocam. Esse fato lhe teria permitido idealizar 
um modo de resolver o problema da coroa, e de tão eufórico que 
ficou com a descoberta, saiu nu pelas ruas de Siracusa gritando 
“Eureka! Eureka”, ou seja, “Descobri! Descobri!”. 
 Para resolver o problema da coroa utiliza-se, então, o princípio 
de Arquimedes e um pouco de proporções. Seja P o peso da coroa, 
que supõe-se composta de um peso x de ouro e um peso y de prata. 
Logo P = x + y . 
 
 
 
131
 
 
 Suponha que a porção de ouro de peso x tenha peso x’ quando 
pesada dentro d’água, e seja X’ o peso, dentro d’água, de uma 
porção de ouro de peso igual ao peso P da coroa. Ora, o peso do 
ouro dentro d’água é proporcional ao seu peso fora d’água (porque o 
volume é proporcional ao peso, devido à homogeneidade do 
material). Assim, 
P
'X
x
'x
= , ou seja, 
P
'xX
'x = . 
 De modo análogo, o peso da prata, quando pesada dentro 
d’água, é proporcional ao seu peso fora d’água. Se y’ designa o 
peso, dentro d’água, da porção de prata de peso y, e Y’ o peso, 
dentro d’água, de uma porção de prata de peso igual ao peso P da 
coroa, então tem-se, exatamente como no raciocínio anterior, 
P
'yY
'y = . 
 Seja P’ o peso da coroa quando pesada dentro d’água. 
Como P’ = x’ + y ’, analogamente chega-se a P’ = x’ + y’ 
=
P
'yY'xX +
, portanto, ''' yYxXPP += , ou ainda, 
'P'X
'Y'P
y
x
−
−
= . 
 Faltam dados específicos sobre a coroa verdadeira que o rei 
Hierão entregou a Arquimedes para ser investigada mas pode-se 
muito bem imaginar uma situação concreta. Suponha que a coroa 
pesasse P = 894 g fora d’água e 834 g dentro d’água e também que 
X’ = 847,7 g e Y’ = 809 g. Substituindo esses valores nas respectivas 
equações, encontramos 821
713
25
8347847
809834
,
,,y
x
≅=
−
−
= . 
 Então chega-se ao sistema de equações seguinte, para 
determinar x e y, 
x + y = 894, x = 1,82y, cuja solução é x ≅ 577 g e y ≅ 317 g. 
Portanto a coroa imaginária contém 577 g de ouro e 317 g de prata. 
 Tendo em conta que o peso específico do ouro é 19,3 g/cm3 e o 
da prata é 10,5 g/cm3, pode-se calcular as quantidades volumétricas 
de ouro e prata usados na coroa. Trata-se, novamente, de um cálculo 
simples usando proporções. Sejam V0 e Vp, respectivamente, os 
volumes de ouro e prata empregados para fazer a coroa. Então, 
 
 
 
 
132
 
 
1
319
0
,
V
x
= e 
1
510,
V
y
p
= , e substituindo x = 577 e y = 317 e 
resolvendo as equações resultantes encontramos 
929
319
577
0 ,
,
V ≅= cm3 e 230
510
317
,
,
Vp ≅= cm3 
 Nota-se, portanto, que o ourives usou praticamente as mesmas 
quantidades volumétricas de ouro e prata, aproximadamente 30 cm3 
de ouro e 30 cm3 de prata. 
 
Outras Obras 
 
 No chamado Livro de Lemas encontra-se – na proposição 8 – a 
bem conhecida trissecção do ângulo de Arquimedes. Seja ABC o 
ângulo a ser trissectado. 
Então com B como centro, traçar uma circunferência de qualquer 
raio, que cortará AB em P, e a reta r, por BC, em Q e R. A seguir 
traçar uma reta STP tal que S esteja em r e T sobre a circunferência 
tal que ST = BQ = BP = BT. Verifica-se sem dificuldade, uma vez 
que os triângulos STB e TBP são isósceles, que o ângulo BST é 
precisamente um terço do ângulo QBP, o ângulo a ser trissectado. 
Arquimedes e seus contemporâneos sabiam, é claro, que essa não 
era uma trissecção canônica no sentido platônico, pois envolve o que 
chamavam de neusis, isto é, a inserção de um comprimento dado, no 
caso ST = BQ, entre duas figuras, aqui a reta r e a circunferência. 
 
A Carta a Eratóstenes sobre o Método 
 
 Foi descoberto em 1906, em Constantinopla, pelo filólogo 
dinamarquês J. L. Heiberg (1854–1928), uma importante obra de 
S R B Q C 
P 
A 
T 
 
 
133
 
Arquimedes, conhecida como “O Método”, justamente porque 
nele o geômetra grego descreve um “método mecânico” para 
investigar questões matemáticas. 
 Arquimedes freqüentemente enviava suas obras aos sábios de 
Alexandria, prefaciando-as com cartas esclarecedoras. Seu livro, “O 
Método”, contém como prefácio uma carta a Eratóstenes de 
Alexandria, a qual começava assim: 
 
Arquimedes a Eratóstenes, 
 
Saudações 
 Enviei-lhe em outra ocasião alguns teoremas descobertos por mim, 
meramente os enunciados, deixando-lhe a tarefa de descobrir as 
demonstrações então omitidas... Vendo em você um dedicado 
estudioso, de considerável iminência em Filosofia e um admirador 
da pesquisa matemática, julguei conveniente escrever-lhe para 
explicar as peculiaridades de um certo método pelo qual é possível 
investigar alguns problemas de Matemática por meios mecânicos... 
Certas coisas primeiro se tornaram claras para mim pelo método 
mecânico, embora depois tivessem de ser demonstradas pela 
Geometria, já que sua investigação pelo referido método não 
conduzisse a provas aceitáveis. Certamente é mais fácil fazer as 
demonstrações quando temos previamente adquirido, pelo método, 
algum conhecimento das questões do que sem esse conhecimento... 
Estou convencido de que será valioso para a Matemática, pois 
pressinto que outros investigadores da atualidade ou do futuro 
descobrirão, pelo método aqui descrito, outras proposições que não 
me ocorreram. 
 
 É oportuno observar, a propósito das palavras finais da citação 
acima, que o chamado “método dos indivisíveis”, inventado no 
século XVII, e que impulsionou o Cálculo Diferencial e Integral, é 
muito parecido com o “método mecânico” de Arquimedes. Está 
certo que tanto um, quanto outro carecia de fundamentação, mas 
possuíam ingredientes decisivos para grandes avanços da 
matemática. 
 
 
 
 
134
 
 
Arquimedes e Euclides 
 
 Confrontando algumas limitações de Euclides com o vasto 
alcance da matemática grega, Félix Klein (1849-1925) caracterizou 
mais ou menos como segue a obra de Arquimedes: 
• Em perfeito contraste com o espírito dos Elementos de Euclides, 
Arquimedes possui um senso altamente desenvolvido do cálculo 
numérico. Um de seus grandes feitos foi o cômputo de π , pelo 
método aproximativo dos polígonos regulares. Em Euclides não hásinais de interesse por semelhantes resultados numéricos. O 
geômetra de Alexandria limitou-se a mencionar que as áreas de dois 
círculos são proporcionais aos quadrados dos raios e que duas 
circunferências são proporcionais aos raios respectivos, sem tomar 
em consideração o fator de proporcionalidade. 
• É característico de Arquimedes o amplo interesse por toda sorte de 
aplicações práticas, inclusive os mais variados problemas físicos e 
técnicos. Foi assim que descobriu os princípios hidrostáticos e 
construiu engenhos bélicos. Euclides, pelo contrário, compartilhou a 
opinião de certas escolas filosóficas antigas, ou seja, a de que as 
aplicações práticas das ciências constituíam uma ocupação mecânica 
e inferior. 
• Finalmente, Arquimedes foi um grande investigador e precursor, 
e, cada uma de suas obras representou um progresso para a ciência. 
 
ERATÓSTENESERATÓSTENESERATÓSTENESERATÓSTENES (276 – 194 a.C.) 
 
 Eratóstenes de Cirene, diretor da grande biblioteca de 
Alexandria por volta de 235 a.C., introduziu os fundamentos da 
geografia matemática, que permaneceu por longo tempo como uma 
das principais obras de consulta na área. Após um estudo histórico, 
apresentou dados numéricos sobre a terra habitada, que, segundo a 
sua estimativa, media 78.000 estádios de comprimento e 38.000 de 
largura (o estádio correspondia a cerca de 150 metros). 
 Eratóstenes foi o primeiro geógrafo a traçar o seu mapa com 
linhas entrecruzadas que indicavam a latitude e a longitude. Em 
conexão com esse trabalho, procedeu a um cálculo notavelmente 
feliz da circunferência da Terra. Baseou-se na seguinte observação, 
encontrada num dos incontáveis papiros da Biblioteca: em Siene 
 
 
135
 
(atual Assuã), a 5.000 estádios (800 km) ao Sul de Alexandria, 
ao meio dia do solstício de verão (o mais longo dia do ano, 21 de 
junho no Hemisfério Norte), os raios solares incidiam no fundo de 
um comprido poço, ou seja, o Sol situava-se a prumo. Por outro lado 
isso não se verificava em Alexandria e havia, inclusive, uma 
estimativa para a distância zenital do Sol, ao meio dia que era de 
1/50 da circunferência terrestre. 
Considerando que as duas 
cidades se situam, 
aproximadamente, no 
mesmo meridiano, 
Eratóstenes concluiu que a 
circunferência terrestre 
devia medir 250.000 
estádios. Mais tarde 
corrigiu esta cifra para 
252.000, provavelmente 
para obter um número 
redondo, 700 estádios, 
para o comprimento do arco de um grau. 
Na figura, C é o centro da Terra; AS, distância de Alexandria a 
Siene (5,000 estádios); DS, eixo do poço; EA, vara vertical plantada 
em Alexandria. Logo, por uma regra de três simples, temos: 
⇒°=
°
⇒
°
=
°
0005360
5
1
7
360
0005
5
1
7
...x
x.
000250.x = 
 Esse resultado, um tanto incerto para nós em razão de não 
conhecermos o valor exato do estádio, foi uma excelente estimativa 
da circunferência terrestre com erro de 50 milhas, apenas. Também 
se atribui a Eratóstenes a medida da obliqüidade da eclíptica, com 
um erro de sete minutos aproximadamente. 
 Versado que foi no estudo dos filósofos platônicos atenienses e 
dotado de extraordinária riqueza de aptidões, tais como, filólogo, 
matemático, filósofo e atleta, Eratóstenes escreveu sobre muitos 
assuntos. 
 A chamada “peneira” (ou crivo) de Eratóstenes é um método 
para separar sistematicamente os números primos. Dispondo-se em 
 
C 
S 
D A 
E 
 
 
136
 
 
ordem crescente a série dos números inteiros positivos e riscando-se 
em primeiro lugar todos os múltiplos de 2, maiores do que 2, depois 
os múltiplos de 3, maiores do que 3, os múltiplos de 5, maiores do 
que 5, etc. Finalmente restarão apenas os números primos 2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17, etc. 
 Grande amigo de Arquimedes e a quem o gênio de Siracusa 
enviava trabalhos sobre suas descobertas, em especial a famosa carta 
que ficou conhecida como O Método, porque divulgava os segredos 
de descobertas matemáticas através da mecânica. 
 
APOLÔNIOAPOLÔNIOAPOLÔNIOAPOLÔNIO (262 – 200 a.C.) 
 
 Apolônio de Perga, estudou em Alexandria e lá permaneceu por 
um bom tempo. A seguir foi para Pérgamo, onde foi criada uma 
instituição mais ou menos como o Museu que, inclusive, foi 
considerada a segunda mais importante desse período. 
 O grande geômetra – como é conhecido Apolônio – foi, ao lado 
de Euclides e Arquimedes, reconhecidamente um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos. Tendo lançado os germes da 
geometria analítica, deve sua reputação a uma importante obra sobre 
as secções cônicas. 
 Assim como os Elementos de Euclides substituíram textos 
anteriores com proposta semelhante, o tratado sobre Cônicas de 
Apolônio superou todos os rivais nesse campo, inclusive as Cônicas 
de Euclides. Se a sobrevivência é uma medida de qualidade, os 
Elementos de Euclides e as Cônicas de Apolônio foram claramente 
as melhores obras em seus campos. 
 Quando Apolônio estava em Alexandria, foi procurado por um 
geômetra chamado Naucrates, e a seu pedido escreveu uma versão 
apressada de as Cônicas em oito livros. Mais tarde, em Pérgamo 
reelaborou a obra e os livros IV e VII iniciam com saudações a 
Atalus, rei de Pérgamo. 
 Apolônio inicia o Livro I de as Cônicas com uma exposição dos 
motivos que o levaram a escrever a obra e, a seguir, descreveu os 
quatro primeiros livros como se formassem uma introdução 
elementar ao assunto, com exceção de alguns teoremas de sua 
autoria no Livro III. Os quatro últimos livros ele descreveu como 
 
 
 
137
 
 
extensões além do fundamental, e pode-se constatar que, de fato, 
nesses a teoria se expande em direções mais especializadas. 
 Antes de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram 
obtidas como secções de três tipos bem diferentes de cones (circular 
reto de uma folha), conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto 
ou obtuso. Apolônio mostrou sistematicamente que não era 
necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e 
que de um único cone (de duas folhas) poderiam ser obtidas as três 
curvas, simplesmente variando a inclinação do plano de secção. 
 
 
Outra generalização realizada por Apolônio foi sua prova de que o 
cone não precisaria ser reto, isto é, um cone com eixo perpendicular 
à base circular, mas poderia também ser oblíquo ou escaleno. 
Ao considerar, no estudo, um 
cone com duas folhas, 
Apolônio introduziu as três 
curvas do modo como as 
conhecemos atualmente, 
inclusive os três nomes 
(elipse, parábola e hipérbole) 
e a hipérbole com dois ramos. 
No Livro II, por exemplo, 
abordou as propriedades 
assimptóticas e provou 
algumas proposições relativas 
às hipérboles conjugadas. O 
Livro III contém inúmeros teoremas sobre tangentes e secantes e 
introduziu os focos com esta definição: “foco é um ponto que divide 
 
 
138
 
 
o eixo maior em duas partes cujo retângulo (produto) equivale à 
quarta parte do retângulo formado pelo latus rectum e pelo eixo 
maior” – ou ao quadrado que tem por lado o eixo menor. Apolônio, 
todavia, não considerou o foco da parábola e a diretriz de cada 
secção cônica – elementos esses que só seriam considerados por 
Papus no século III d.C. 
 Um resultado importante provado por Apolônio é que a 
tangente às cônicas forma ângulos com os raios focais, no ponto de 
tangência, tais que a soma é constante para a elipse e a diferença é 
constante para a hipérbole. 
 
 
 Apolônio, com outras notações é claro, chegou à classificação 
das cônicas por y² = px + qx², sendo que para q = 0, teríamos uma 
parábola, para q < 0, uma elipse e para q > 0, uma hipérbole. 
 O estudo de diâmetros conjugados, tangentes e o emprego de 
linhas paralelas aos eixos principais, foram primordiais para a 
introdução dos sistemas de coordenadas em geometria. 
 Com as extensões introduzidas por Apolônio e por ter provado 
mais de 400 proposições é que foi considerado, por muitos 
estudiosos do assunto, como o criador da geometria analítica. Se 
usou coordenadas, ou não, ainda não estáclaro, mas, o certo é que o 
seu trabalho(as Cônicas) está muito próximo dos cursos atuais dessa 
importante disciplina. Prova disso é que foi o ponto de partida para 
os matemáticos do século XVII. 
 É digno de nota que Fermat (1601-1665), um dos criadores da 
geometria analítica, tenha sido levado a essa invenção pela tentativa 
de reconstituir certas demonstrações perdidas de Apolônio sobre os 
lugares geométricos. 
 
 
d1 
d2 d1 + d2 = c 
 
 
139
 
 
Outras Obras 
 
Problema de Apolônio 
 
 Num tratado sobre Tangências, descrito por Papus, encontra-se 
o problema conhecido hoje como “Problema de Apolônio”: dados 
três elementos, cada um dos quais podendo ser um ponto, uma reta 
ou uma circunferência, traçar uma circunferência que é tangente, 
simultaneamente, aos três elementos (sendo que circunferência 
tangente a um ponto significa passar pelo ponto). 
Esse problema envolve dez casos, desde os dois mais fáceis, em 
que são considerados três pontos ou três retas, até o mais difícil 
quando são dadas três circunferências. Os dois primeiros já 
apareceram em Os Elementos de Euclides em conexão com círculos 
inscrito e circunscrito a um triângulo; os outros seis foram tratados 
no Livro I de Tangências e os casos de duas retas e uma 
circunferência, e o de três 
circunferências ocupavam o Livro II. 
Como o trabalho de Apolônio se 
perdeu os estudiosos dos séculos XVI 
e XVII, em geral, chegaram a duvidar 
de que Apolônio tivesse resolvido o 
último caso e por isso o consideravam 
como um desafio às suas capacidades. 
Newton, por exemplo, o resolveu 
usando apenas régua e compasso. 
 No campo da aritmética, diz-se que Apolônio obteve uma 
aproximação melhor do que a de Arquimedes para o valor de π , 
talvez 3,1416 e que teria inventado um método abreviado de 
multiplicação e que empregou números grandes à maneira de 
Arquimedes. 
 Havia, ainda, algumas outras obras das quais só os títulos são 
conhecidos. Entre elas uma sobre os espelhos ustórios, outra sobre 
os estacionamentos e retrogradações dos planetas e uma terceira 
sobre a teoria e o emprego do parafuso. Em astronomia, ao que se 
supõe, sugeriu que os movimentos planetários fossem expressos por 
meio de combinações de movimentos circulares, uma idéia que seria 
desenvolvida mais tarde por Hiparco e Ptolomeu. 
 
 
140
 
 
 Não se pode determinar, com exatidão, até que ponto eram 
inéditos os resultados obtidos por Apolônio e que partes, de sua 
obra, representam uma simples compilação de trabalhos alheios. O 
que se pode afirmar, no entanto, é que a proporção de trabalhos 
originais é considerável. 
 
HIPARCO HIPARCO HIPARCO HIPARCO (180 – 125 a.C.) 
 
 Hiparco de Nicéia foi o maior astrônomo da antiguidade e é 
considerado o inventor da trigonometria. Construiu, especialmente 
para uso dos astrônomos, uma tabela de cordas equivalente às atuais 
de senos. Forneceu também um método para resolver triângulos 
esféricos e foi o primeiro a indicar posições na superfície da Terra 
por meio da latitude e da longitude, o que constituiu o germe da 
geometria analítica. Nas cartas celestes, empregava a projeção 
estereográfica e, no traçado de mapas, a ortográfica. Eratóstenes, 
como vimos anteriormente, limitara-se a dar a latitude por meio da 
altura da estrela polar. 
 Quase todas as obras de Hiparco se perderam, não obstante, 
Ptolomeu, o seu grande sucessor, baseou-se fortemente em seus 
trabalhos para elaborar o Almajesto, uma obra que se tornou 
semelhante aos Elementos, no caso da astronomia. 
 Tendo à sua disposição o primitivo catálogo estelar de Aristilo e 
Timocáride, Hiparco ficou profundamente impressionado – como 
sucederia a Tycho Brahe séculos mais tarde – pelo aparecimento 
súbito no ano 134 a.C., de uma nova estrela de primeira grandeza no 
firmamento celeste, que se supunha imutável. Em conseqüência, 
impôs a si mesmo a dura tarefa de organizar, para a parte do céu que 
lhe era visível, um novo catálogo que, uma vez completo, abrangia 
mais de 1000 estrelas e, é importante que se diga, que esse catálogo 
permaneceu, com pequenas alterações, como modelo no gênero 
durante quase dezesseis séculos. Sua lista de constelações e sua 
classificação das estrelas em seis “grandezas”, de acordo com o 
brilho, formam a base das que existem atualmente. 
 
 
 
 
 
 
141
 
A precessão dos equinócios 
 
 Comparando as posições de certas estrelas com as observadas 
150 anos antes, Hiparco notou uma diferença na distância dessas ao 
ponto equinocial – o ponto de intersecção entre o equador celeste e a 
eclíptica (curva descrita aparentemente pelo Sol em torno da Terra) 
– diferença essa que, num dos casos observados alcançava 2 graus. 
Graças a uma inspiração genial, interpretou corretamente tal fato, 
atribuindo-o a um leve deslocamento dos pontos equinociais para 
frente, o qual correspondia a uma lenta rotação do eixo da Terra. Em 
virtude dessa rotação, o pólo celeste descreveria um círculo 
completo em muitos milhares de anos. 
 
Teoria planetária 
 
 Atribui-se a Hiparco a melhoria de cálculos referentes a duração 
do dia, tamanho da Lua, duração do mês e ângulo da eclíptica. 
 
 A distância da Terra à Lua foi estimada por Hiparco em 
402.500 Km. O valor aceito atualmente é de 390.000 Km. Para 
efetuar esse cálculo procede-se da seguinte maneira: suponha a Lua 
no zênite de um observador num ponto Z. No mesmo instante um 
outro observador em H, na mesma longitude de Z, vê a Lua nascer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
eclíptica 
equador celeste 
23º aproximadamente 
 
 
142
 
 
O ângulo α é a diferença de latitude entre os dois observadores. 
Dessa forma, temos que: 
 01630
Lua à 
4006
Lua à distância
Terra da 
900 ,
distância
.raio
)(sen ===α− , 
sendo que
0
16
1
89 =α . Logo a distância à Lua é 392.638,04 
 Após esses estudos, a ordem aceita para os astros, de acordo 
com as distâncias à Terra passou a ser a seguinte: Lua, Mercúrio, 
Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno. Essa ordem, que já fora adotada 
na Mesopotâmia alguns séculos antes de Hiparco, sofreria poucas 
modificações até os tempos de Copérnico. 
 
Principais conquistas de Hiparco 
 
 Aproveitou eficazmente os conhecimentos obtidos por 
astrônomos mais antigos, submetendo-os a uma apreciação crítica; 
realizou uma longa e sistemática série de observações, servindo-se 
dos melhores instrumentos então disponíveis; elaborou uma teoria 
matemática dos movimentos dos corpos celestes, tão coerente 
quanto lhe permitiam os dados que possuía; organizou um novo 
catálogo de 1080 estrelas, adotando a classificação por grandezas, 
ainda em uso; descobriu a precessão dos equinócios; estabeleceu as 
bases da trigonometria. 
 Finalizando, deve-se lembrar que após Hiparco a astronomia, de 
certa forma, estacionou pelo espaço de dezesseis séculos. É 
interessante conjecturar sobre as conseqüências que teriam advindo 
se o gênio de Hiparco tivesse adotado as ousadas teorias 
heliocêntricas de Aristarco, ao invés de se apegar às idéias 
geocêntricas tradicionais. 
 
Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios 
 
1. Descreva as fontes que Euclides provavelmente usou ao escrever 
Os Elementos; justifique suas conjecturas. 
 
 
 
 
 
143
 
 
2. Quais dos treze livros de Os Elementos você considera os mais 
importantes e quais você julga mais dispensáveis? Justifique sua 
resposta. 
 
3. Use o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor 
comum de: 
 a) 456 e 759 b) 567, 839 e 432 
 
4. O número 213 – 1 é primo. Use esse fato para achar o quinto 
número perfeito em ordem de grandeza. 
5. Prove a fórmula de Euclides para números perfeitos. 
 
6. Prove que os volumes de duas esferas estão entre si como os 
cubos dos diâmetros. 
 
7. Arquimedes é às vezes considerado o inventor do cálculo integral. 
Até que ponto você concorda ou discorda dessa opinião? 
 
8. Euclides se apoiou em várias obras de seus predecessores. Até 
que ponto o mesmo vale para Arquimedes e Apolônio? 
 
9. Em que sentido o tratado de Arquimedes,O Método, difere dos 
seus outros tratados? 
 
10. Encontre a área entre as porções da espiral θ= ar formadas para 
π≤θ≤ 20 e para π≤θ≤π 42 . 
 
11. Você diria que Apolônio usou geometria analítica? Justifique 
sua resposta. 
 
12. Resolva o “problema de Apolônio” para: 
 a) o caso de dois pontos e uma reta; 
 b) o caso de duas retas e um ponto. 
 
13. Apolônio afirmava que a tangente a uma elipse ou hipérbole 
num ponto P sobre a curva faz ângulos iguais com os raios focais 
por P. Prove esse teorema. 
 
 
 
144
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
145
 
 
PERÍODO GRECOPERÍODO GRECOPERÍODO GRECOPERÍODO GRECO,,,,ROMANOROMANOROMANOROMANO 
 
 
“Em matemática os caminhos não levam a Roma”. ( o autor) 
 
 
ROMAROMAROMAROMA 
 
 
 Desde o século III a.C., que Roma já governava a península 
itálica. Duzentos anos depois tornou-se uma potência e, de 147 a 30 
a.C., controlou quase todo o Mediterrâneo, inclusive o mundo grego. 
Estabeleceu um império que deveria prover um grau sem 
precedentes de paz, coesão e lei a uma região que se estendia do 
Egito à Bretanha. 
 A unidade cultural imposta por esse império, foi responsável 
pela transmissão de conhecimento do Mediterrâneo para as áreas 
anteriormente atrasadas da Europa. Essa unidade foi ameaçada no 
século III d.C. e o império dividido em dois, o oriental, com base 
em Bizâncio (que sobreviveria até o século XV) e ocidental, ainda 
com base em Roma. O Ocidental ficou cada vez mais sujeito a 
invasões bárbaras, mas a dominação cultural de Roma se manteve 
nas instituições da Igreja Cristã. 
 
Roma e a ciênciaRoma e a ciênciaRoma e a ciênciaRoma e a ciência 
 
 Comparar o desenvolvimento científico e filosófico de 
civilizações distintas não é uma tarefa simples. No caso de Roma 
que é comparada com a Grécia há algumas ponderações 
interessantes. A verdade, segundo parece, é que os romanos, embora 
altamente dotados na oratória, literatura e história, muito eficientes 
como advogados, soldados e administradores, não se interessavam 
pelos trabalhos científicos e filosóficos e, em conseqüência, não 
foram bem sucedidos nesses campos. 
 Esse fato chega a intrigar quando se considera as complexas 
formulações do direito romano, o arrojo de sua arquitetura nos 
grandes aquedutos e basílicas, o seu gênio militar no domínio de 
 
 
146
 
 
outros povos e na influência que exerceram. Mas é em vão que se 
procura um cientista ou filósofo romano da originalidade ou 
vastidão de conhecimentos de um Aristóteles ou Platão; um 
astrônomo comparável a Aristarco, Hiparco ou Ptolomeu; um 
filósofo naturalista da categoria de Demócrito ou Epicuro; um 
pioneiro da medicina como Hipócrates de Cos. 
 Parece certo, então, que os romanos se apoderaram dos 
conhecimentos acumulados pelos gregos, sem enriquecê-los e deve-
se ressaltar, ainda, o respeito e a profunda admiração que este povo 
tinha pelos gregos. Há uma máxima que diz que no primeiro século 
a.C. os romanos conquistaram os gregos e a cultura grega 
conquistou os romanos. 
 
Engenharia e arquitetura 
 
 Há um traço característico da civilização romana, em que 
revelou extraordinária habilidade e alcançou grande primazia, 
mostrando-se superior a todos os seus predecessores. É o seu gênio 
para a engenharia, tanto militar como civil. Basta mencionar o que 
resta das muralhas, fortalezas, estradas, aquedutos, teatros, 
estabelecimento de banhos e pontes por eles construídos. 
 Nunca, quer antes quer depois dos romanos, um império erigiu 
tantos e tão perduráveis monumentos para utilidade de seus povos 
na paz e na guerra. Os territórios da Europa Meridional, da Ásia 
Ocidental e do norte da África ainda se acham cobertos, após vinte 
séculos, de relíquias romanas que prometem resistir por outros dois 
mil anos à destruição e à ruína. A engenharia dos romanos é quase 
tão admirável quanto as suas leis. 
 Os agrimensores formavam uma corporação bem organizada, 
mas eram apenas os práticos de uma arte tradicional, perpetuando os 
erros de seus antigos predecessores egípcios, sem sonhar com novos 
descobrimentos e nem sequer comunicando os conhecimentos que 
possuíam, fora do âmbito da corporação. 
 A mais famosa obra sobre construção e assuntos correlatos, 
inclusive os materiais de construção, é a De Architectura de 
Vitrúvio, arquiteto e engenheiro romano que a escreveu por volta do 
ano 14 a.C. Esse livro célebre era o único importante que se 
 
 
 
147
 
 
conhecia na Idade Média e no Renascimento sobre tal matéria, 
sendo o guia e manual dos construtores daqueles períodos. 
 A obra é, em parte, uma compilação de autores anteriores 
(gregos principalmente) e, em parte, original. Nos cálculos usava-se 
para π o valor 
8
1
3 , menos exato do que o de Arquimedes. Da vida 
e demais trabalhos de Vitrúvio quase nada se sabe, mas nenhum 
outro tratado antigo, de caráter técnico como esse, exerceu em seu 
campo tão grande influência sobre a posteridade. 
 
O Calendário Juliano 
 
 Júlio César empreendeu pessoalmente a solução de dois grandes 
problemas de matemática prática: a reforma do calendário e o 
levantamento geográfico de todo o Império. 
 A exemplo dos mesopotâmios e dos gregos, os romanos 
também dividiam o ano em doze meses lunares, ou seja, 355 dias, 
começando em março, com a intercalação de um mês adicional 
sempre que isso se tornasse necessário para o reajustamento das 
estações. 
 Como o senado, por motivos políticos, recusasse decretar meses 
intercalares, a diferença entre as datas oficiais e as solares elevava-
se a cerca de 85 dias no ano 47 a.C. No Egito César obteve o auxílio 
de Sosígenes para a organização de um calendário que fosse 
independente da política. É provável que lhe tenham falado do ano 
egípcio de 365 dias e um quarto Resultou assim o decreto de 45 
a.C., prolongando esse ano com três meses a mais e estabelecendo o 
início de uma nova era, a primeiro de janeiro de 45 a.C. 
 Esse calendário, chamado Juliano, fixava um ano de 365 dias 
dividido em doze meses, mais ou menos iguais, devendo o primeiro 
começar oito dias depois do solstício do inverno. Após quatro anos, 
um dia adicional (chamado bissextus) era interpolado antes de 24 de 
fevereiro (sexto dia antes do primeiro de março). O nascimento 
helíaco de Sírio correspondia ao dia 20 de julho, e era a partir dessa 
que se computavam todas as datas. 
 
 
148
 
 O levantamento geográfico, cujos resultados deveriam ser 
incorporados num grande mapa, mostrando as rotas de marcha dos 
exércitos romanos, só foi levado a efeito no reinado de Augusto. 
 
Matemática GrecoMatemática GrecoMatemática GrecoMatemática Greco,,,,romanaromanaromanaromana 
 
 O declínio gradual da matemática grega nesse período, em 
geral, é atribuído ao pragmatismo dos romanos, interessados, 
apenas, nos assuntos de natureza prática, como a engenharia e o 
direito. O gosto grego pelas questões teóricas jamais o fascinaram e, 
na matemática, somente a aritmética elementar recebeu alguma 
atenção, por seu uso nas transações comerciais, na guerra, nas 
construções e na tributação. 
 A aritmética comercial desdenhada pelos matemáticos gregos, 
passou a ocupar um lugar de honra. O sistema de numeração romano 
superou o alfabético dos gregos e era usado também um útil sistema 
de contagem pelos dedos, que complementava o hábil emprego do 
ábaco. Não havendo ábaco à mão, as linhas correspondentes eram 
rapidamente traçadas na terra ou na areia e pedrinhas ou calculi 
serviam de unidades. 
 Alexandria, no período chamado greco-romano, continuaria 
sendo o centro da matemática e fonte de trabalhos originais, embora 
as compilações e os comentários se tornassem, cada vez mais, a 
forma de ciência predominante. 
 A influência de outras culturas seria observada com freqüência 
nas obras dos principais matemáticos dessa época e a matemática de 
Alexandria, desse modo, não seria apenas a tradicional euclidiano-
platônico. A aritmética computacionale mesmo a álgebra prática 
dos egípcios e mesopotâmios foram amplamente desenvolvidas, 
lado a lado, com demonstrações geométricas abstratas. 
 A despeito da decadência que se deu na matemática e filosofia 
com a expansão do Império Romano, alguns eruditos alimentaram a 
débil chama da sabedoria antiga. A seguir um pouco da vida e obra 
dos matemáticos mais importantes dessa época considerada “último 
suspiro” da matemática grega. Há o acréscimo de Lucrécio e Boécio 
que eram romanos, mas se inspiravam muito nos gregos. 
 
 
 
 
 
149
 
LUCRÉCIO LUCRÉCIO LUCRÉCIO LUCRÉCIO (98 – 55 a.C.) 
 
 Foi praticamente no final do período helenístico que floresceu o 
maior filósofo romano, Tito Lucrécio Caro. Pouco se sabe sobre sua 
vida, apenas que nasceu em Roma, onde foi educado e que era 
alguns anos mais moço do que os contemporâneos Cícero e Júlio 
César. 
 Lucrécio é hoje considerado não só um grande poeta romano, 
mas também o mais perfeito expoente da escola atomista de grande 
importância para a filosofia. Foi continuador de Epicuro e estava 
familiarizado com as obras de Demócrito, Anaxágoras e muitos 
outros sábios gregos. 
 Os dois primeiros e o quinto livro de sua obra De Rerum Natura 
(Da natureza das coisas) apresentam interesse para o cientista da 
atualidade, por tratarem de problemas de permanente importância 
para a humanidade. O titulo desse famoso poema revela o interesse 
que votava à filosofia natural, e há indícios de ter sido também um 
mestre e um reformador. Combateu a superstição e propôs 
vigorosamente o racionalismo, sem ser contudo, irreverente. 
 
PTOLOMEUPTOLOMEUPTOLOMEUPTOLOMEU (85 – 165 d.C.) 
 
A obra mais importante de Cláudio 
Ptolomeu – Syntaxis mathematica 
(Coleção Matemática) – chamada mais 
tarde pelos árabes de Almagesto (o maior) 
em essência era um trabalho de 
trigonometria e astronomia que tinha por 
objetivo descrever matematicamente o 
movimento do sistema solar, usando a 
teoria geocêntrica. 
De forma resumida tem-se, a seguir, o 
conteúdo dos treze livros que compõem a obra: 
- Livros I e II: Incluem preliminares ao sistema Ptolomaico, com 
explicações gerais sobre os diferentes corpos celestes em relação à 
Terra como centro, proposições sobre geometria esférica, assim 
como uma tábua de cordas e seus métodos de cálculo. 
- Livro III: Traz informações sobre a duração do ano e o movimento 
do Sol. 
 
 
150
 
 
- Livro IV: São focalizadas as durações dos meses e uma teoria 
sobre a Lua. 
- Livro V: Contém a construção do astrolábio e mais materiais sobre 
a teoria da Lua. 
 
- Livro VI: Revela informações sobre conjunção e oposições do Sol 
e da Lua, eclipses solares e lunares e seus períodos. 
- Livros VII e VIII: catálogos de 1028 estrelas fixas. 
- Livros IX a XIII: São dedicados ao estudo do movimento dos 
cinco planetas. 
 
Trigonometria 
 
 Ptolomeu construiu uma tabela ou tábua de cordas, em notação 
sexagesimal dos mesopotâmios, variando o ângulo α de 0,5º em 
0,5º, de 0 a 180º. Dividiu a circunferência em 360 partes, o diâmetro 
em 120 partes e cada uma dessas partes era dividida em 60 partes 
chamadas partes minutae primae e cada umas dessas era dividida em 
60 partes chamadas partes minutae secundae. Daí os nomes minutos 
e segundos ainda usados atualmente. 
Segue um roteiro de como Ptolomeu construiu a tabela de 
cordas, porém com as notações atuais. Essa construção encontra-se 
no Livro I do Almagesto. 
 Considera-se nC a corda de 
n
°
=α
360
, do círculo com raio 60, ou 
seja, 
n
crdCn
°
=
360
. 
 
Teorema de Ptolomeu 
 
Se ABCD é um quadrilátero inscrito numa 
circunferência de raio 60, então a soma dos 
produtos dos lados opostos é igual ao 
produto das diagonais, ou seja, 
BD.ACAD.BCCD.AB =+ . 
 A 
B 
D 
C 
E 
 
 
151
 
 
Para demonstrar esse fato, considera-se um ponto E sobre a diagonal 
AC de modo que o ângulo EBA
)
 seja igual ao ângulo CBD
)
. 
Desse modo os triângulos BCE e BDA são semelhantes, pois os 
ângulos EBC
)
 e DBA
)
 são iguais (por construção) e os ângulos 
ACB
)
e ADB
)
 são iguais (referem-se ao mesmo arco). Logo 
AD
CE
BD
BC
= ou BD.CEBC.AD = (i). De modo análogo os 
triângulos BAE e BDC são semelhantes, pois os ângulos assinalados 
em B são iguais e ainda os ângulos CAB
)
 e CDB
)
 também são 
iguais( referem-se ao mesmo arco). 
Logo 
CD
AE
BD
AB
= BD.AECD.AB =⇒ (ii). 
Somando (i) e (ii), tem-se: BD.AEBD.CECD.ABBC.AD +=+ = 
BD.ACBD).AECE( =+= . Logo; BD.ACAD.BCCD.AB =+ . 
 
Corda da diferença 
 
 Ptolomeu demonstrou a seguir que, dados dois arcos e suas 
cordas, pode-se encontrar a corda do arco diferença em termos das 
cordas dos arcos dados. 
Na figura são dadas as cordas DB e 
AC, e procura-se BC. Traçando o 
diâmetro AD, pode-se encontrar as 
cordas suplementares pelo teorema de 
Pitágoras, e, o teorema de Ptolomeu 
garante que AB.CD + BC.AD = AC.BD. 
Como AD = 120, temos 120BC = 
AC.BD – AB.CD, que fornece BC pois, 
o segundo membro é conhecido. 
Chamando os arcos AB de α e AC de β tem-se BC = β - α . 
Assim ( ) ( ) ( )β−°α−α−°β=α−β 180180120 crd.crdcrd.crdcrd , ou 
seja, ( ) ( ) ( )
120
180
120
180 β−°α
−
α−°β
=α−β
crd.crdcrd.crd
crd . 
 Como aplicação tem-se, por exemplo: crd72° = 70; 32 ,3 e 
crd60° = 60, logo crd12° = crd(72° – 60°) . 
 
 
152
 
 
 Analogamente, Ptolomeu deduziu as fórmulas para o cálculo de 
cordas para o arco metade de um arco dado e da soma de dois arcos 
dados, ou seja, ( )( )α−−=
α
18012060
2
2 crd.crd e 
( )( ) ( ) ( ) .crd.crdcrd.crdcrd. βα−β−α−=β+α−° 180180180120 
 
 Com os resultados anteriores, Ptolomeu construiu sua tábua de 
cordas com bastante precisão, conforme cálculos relacionados 
abaixo: 
• corda de 120º, usando os teoremas de Tales e de Pitágoras; 
• corda de 60º, usando o raio do círculo; 
• cordas de 72º e 36º, a partir da construção do pentágono e do 
decágono regulares, inscritos numa circunferência; 
• cordas dos suplementares de 72º e 36º, usando os teoremas de 
Tales e de Pitágoras; 
• corda de 12º = (72º-60º), utilizando-se da corda da diferença; 
• cordas de 6º, 3º, 1º30’ e 45º usando a fórmula do arco metade; 
• corda de 1º, por interpolação linear. 
 
Sistema geocêntrico 
 
 O sistema de 
Ptolomeu era uma 
representação 
geométrica dos 
movimentos 
celestes que não 
se preocupava em 
dar uma imagem 
exata do 
verdadeiro 
universo. Adotou 
o modelo geocêntrico e precisou conceber os chamados epiciclos 
para explicar o movimento aparente dos planetas entre as estrelas 
fixas. 
 Tal modelo produzia resultados práticos, razoavelmente 
concordantes com as observações e isso ajudou a fazer do 
 
 
153
 
 
geocentrismo, até o trabalho de Copérnico, uma doutrina acima de 
qualquer contestação. Durante 1400 anos foi o guia da astronomia 
teórica e não importava quais fossem as opiniões de cada um sobre a 
constituição do universo, o sistema de Ptolomeu era quase 
universalmente aceito. 
 Ptolomeu aperfeiçoou muitos cálculos que fora destaque na 
obra de Hiparco: distâncias do Sol e da Lua, catálogo de 1028 
estrelas e um estudo sobre a precessão dos equinócios. As 
contribuições originais referem-se aos planetas e à construção de 
instrumentos de observações, tais como o astrolábio. 
Outros trabalhos de Ptolomeu 
 
 Além de suas realizações científicas, Ptolomeu escreveu sobre 
vários outros assuntos, inclusive um minucioso tratado sobre 
astrologia. Numa obra perdida, sobre geometria, realizou a primeira 
de uma interminável série de tentativas para provar o postulado 
 
 
 
154
 
 
euclidiano das paralelas, tentativa essa que, naturalmente estava 
predestinada ao fracasso. 
 Num grande tratado de geografia, quase tão importante como o 
Almagesto, descreveu as regiões conhecidas da Terra indicando a 
latitude e a longitude de nada menos de 5.000 localidades. Além da 
posição, deu também a duração máxima do dia para 39 pontos da 
Índia. Vários métodos de projeção, a estereográfica, porexemplo, 
foram por ele estudados ao resolver questões sobre o traçado de 
mapas. 
 Escreveu também sobre acústica e óptica e nesse campo, tratou 
especialmente da refração, realizando o que foi chamado “o 
primeiro exemplo de uma série de experimentos fora do âmbito da 
astronomia”, em que descobriu a lei do desvio dos raios luminosos 
em direção à perpendicular, ao passarem de um meio transparente 
menos denso para outro de maior densidade. 
 Inventou, ainda, um aparelho simples para medir os ângulos de 
incidência e de reflexão. Aceitou a idéia de Platão, de que a visão se 
deve ao encontro dos raios que partem do olho com os que 
procedem do objeto. 
 
HERONHERONHERONHERON (75 – 150 d.C.) 
 
 Heron de Alexandria é conhecido, sobretudo, pela fórmula 
( )( )( )cpbpappK −−−= que tem o seu nome e é usada para 
encontrar a área de triângulos de lados a, b, c e perímetro 
2p = a + b + c. 
 A demonstração dessa fórmula encontra-se em A Métrica, uma 
de suas obras mais importantes que, a exemplo de O Método de 
Arquimedes ficou perdida durante muito tempo, até ser redescoberta 
em Constantinopla em 1896 num manuscrito de 1100. 
 Embora atualmente seja, em geral, demonstrada por 
trigonometria, a fórmula de Heron é convencionalmente geométrica. 
 Os trabalhos de Heron atestam que nem toda a matemática na 
Grécia era do tipo “clássico” como Os Elementos de Euclides ou As 
Cônicas de Apolônio. Influências de outras culturas são observadas 
em vários aspectos, por exemplo, o uso de frações unitárias 
(egípcias) e a tabulação (mesopotâmia) das áreas An dos polígonos 
 
 
155
 
 
regulares de n lados em termos do quadrado de um lado sn, 
começando com 2
33 30
13
sA = e indo até .sA 2
1212 4
45
= 
 Em A Geométrica Heron resolve alguns problemas sobre 
mensuração, inclusive envolvendo grandezas de naturezas 
diferentes, algo já discutido e suprimido por Eudoxo. Um problema, 
por exemplo, pede o diâmetro, o perímetro e a área de um círculo, 
dada a soma dessas três grandezas. De um ponto de vista numérico 
não crítico, o problema faz sentido. Além disso, Heron não resolveu 
o problema em termos gerais; sua solução foi como as receitas 
antigas, em que só os passos, sem razoes, são dados. 
 
Lei da Reflexão 
 Heron se interessava por todo tipo de mensuração, em especial 
na óptica, na mecânica ou na geodésia. A lei de reflexão da luz já 
era conhecida por Euclides e Aristóteles (possivelmente também por 
Platão), mas foi Heron quem mostrou por um argumento geométrico 
simples, numa obra chamada Catóptrica (ou reflexão), que a 
igualdade dos ângulos de incidência e reflexão é uma conseqüência 
do princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz do modo 
mais difícil. Isto é, se a luz deve ir de uma fonte S a um espelho 
MM’ e, então ao olho E de um observador, o caminho mais curto 
possível SPE é aquele em que os ângulos SPM e EPM’ são iguais. 
 
 
 
156
 
 
 
 A prova de que nenhum outro caminho SP’E pode ser mais 
curto que SPE fica claro, traçando-se a reta SQS’, perpendicular a 
MM’ , com SQ = QS’, e comparando o caminho SPE com o caminho 
SP’E. Como os caminhos SPE e SP’E são de comprimentos iguais 
aos caminhos S’PE e S’P’E respectivamente, e como S’PE é uma 
reta (porque o ângulo M’PE é igual ao ângulo MPS), resulta que 
S’PE é o caminho mais curto. 
 Heron é lembrado também como inventor de um tipo primitivo 
de máquina a vapor, descrita em Pneumática; de um precursor do 
termômetro e de vários brinquedos e engenhos mecânicos baseados 
nas propriedades dos fluidos e em leis das máquinas simples. Seu 
nome está ligado, ainda, ao “algoritmo de Heron” para encontrar 
raízes quadradas, mas esse método de iteração era na verdade devido 
aos mesopotâmios. 
 Embora com claras influências dos mesopotâmios, Heron não 
adotou o sistema de base 60 e nem avaliou a importância do 
princípio posicional das frações. As frações sexagesimais tinham se 
tornado o instrumento usual dos astrônomos e físicos, mas 
continuavam pouco familiares para o homem comum. Heron, 
escrevendo para o homem prático, parece ter preferido as frações 
unitárias egípcias. Ao dividir 25 por 13, deu a resposta como 
.
78
1
3
1
2
1
1 +++ Essa preferência por frações unitárias continuaria na 
Europa pelo menos mil anos depois de Heron. 
 Alguns métodos de Heron confirmam o seu conhecimento da 
trigonometria de Hiparco e do princípio das coordenadas. Calculava 
áreas de regiões irregulares somando as áreas de retângulos 
inscritos, processo esse, que correspondia ao atual emprego do papel 
quadriculado 
 
Problemas de torneiras. 
 Encontra-se em Heron problemas veneráveis como os dos canos 
ou de torneiras. “Um recipiente é enchido por um cano no tempo t1 
e por outro no tempo t2. Quanto tempo será preciso para enchê-lo, 
estando os dois canos abertos?” 
 
 
 
157
 
 
 Heron definiu, ainda, os triângulos esféricos e demonstrou 
teoremas simples a seu respeito: por exemplo, que a soma dos 
ângulos está compreendida entre 180° e 540°. Determinou o volume 
de sólidos irregulares medindo a quantidade de água por esses 
deslocada. 
 Finalmente ficaria conhecido como o primeiro a usar números 
imaginários ao ter, por equívoco, introduzido num cálculo a 
quantidade 63− e que habilmente trocou por 63 . 
 
DIOFANTODIOFANTODIOFANTODIOFANTO (século III d.C.) 
 
 Diofanto de Alexandria é freqüentemente chamado de o pai da 
álgebra, mas veremos que tal designação não deve ser tomada 
literalmente. Sua obra não é de modo algum o tipo de material que 
forma a base da álgebra elementar moderna; nem se assemelha à 
álgebra geométrica de Euclides. 
 Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto e a sua principal obra é 
A Arithmética, tratado originalmente composto de treze livros, dos 
quais somente os seis primeiros se preservaram. 
 A Arithmética era caracterizada por um alto grau de habilidade e 
engenhosidade matemáticas, que poderia ser equiparada aos grandes 
clássicos da Idade Alexandrina anterior. No entanto, quase nada tem 
em comum com esses ou, na verdade, com qualquer matemática 
grega tradicional. Representou essencialmente um novo ramo e usou 
um método diferente. 
 Como Diofanto se dedicou, em A Arithmética, à resolução de 
equações, tanto determinadas quanto indeterminadas e devido à 
ênfase dada à solução de problemas indeterminados, o assunto, às 
vezes chamado análise indeterminada, tornou-se conhecido como 
análise diofantina. 
 Como esse tipo de trabalho atualmente é parte integrante de 
disciplinas sobre teoria dos números e não de álgebra, faltam 
argumentos para considerar Diofanto como pai da álgebra. 
 Considera-se em geral, que podem ser reconhecidos três 
estágios no desenvolvimento histórico da álgebra: o primitivo ou 
retórico, em que tudo é completamente escrito em palavras; um 
estágio intermediário, sincopado, em que são adotadas algumas 
 
 
158
 
 
abreviações; e um estágio simbólico ou final. A Arithmética deve ser 
colocada na segunda categoria. 
 Nos seis livros preservados faz-se uso sistemático de 
abreviações para potências de números e para relações e operações. 
Um número desconhecido é representado por um símbolo parecido 
com a letra grega δ , o quadrado disso aparece como ν∆ , o cubo 
como νΚ , a quarta potência dita quadrado-quadrado como ∆∆ν , a 
quinta potência ou quadrado-cubo como ν∆Κ e a sexta potência ou 
cubo-cubo como νΚΚ . 
 Diofanto naturalmente conhecia regras de combinação 
equivalentes a nossas leis sobre expoentes e tinha nomes especiais 
para os recíprocos das seis primeiras potências das incógnitas, 
quantidades equivalentes às potências negativas. Coeficientes 
numéricos eram escritos depois dos símbolos para as potências a que 
estavam associados: a adição era indicada por justaposição adequada 
dos símbolos para cada termo e a subtração representada por uma 
abreviação de uma só letra colocada antes dos termos a serem 
subtraídos ou ainda o símbolo ↑ . Com essa notação Diofanto podia 
escrever polinômiosnuma incógnita quase concisamente quanto 
atualmente. 
Exemplo: 14323 234 −+−+ xxxx se escrevia 
γ∆∆ν α↑γδδ∆↑β νν
o
MK sendo 
o
M a unidade. 
 A Arithmética não fazia uma exposição sistemática sobre as 
operações algébricas ou funções algébricas, em vez disso, 
apresentava uma coleção de 150 problemas, todos enunciados em 
termos de exemplos numéricos específicos, embora, talvez, 
pretendendo conseguir generalidade de método. 
 Nos problemas que requerem duas incógnitas, admitiu-se 
apenas uma de cada vez e para equações do segundo grau, só 
encontrou uma raiz, mesmo quando as duas eram positivas. No seu 
modo de ver, os números negativos eram destituídos de realidade. 
Evitou as quantidades irracionais e admitiu, entretanto, os resultados 
fracionários e, com efeito, Diofanto foi o primeiro matemático na 
Grécia a considerar as frações como números e não uma razão entre 
duas grandezas. 
 
 
 
159
 
 
 Exemplo de problema apresentado e resolvido por Diofanto: 
“Encontrar dois números tais que um deles somado ao quadrado do 
outro resultará um quadrado”. 
 Solução de Diofanto com notações atuais: 22 zyx =+ 
( ) ( ) ,xxxx
13
3
2212 22 =⇒−=++ o outro número .x
13
19
12 =+ 
 Quanto aos procedimentos empregados por Diofanto com 
relação às equações pode-se afirmar que: 
• Resolvia completamente as equações do primeiro grau com 
raízes positivas, mostrando notável habilidade na redução de 
equações simultâneas a uma única e de uma só incógnita; 
• Possuía um método geral para a solução das equações do 
segundo grau, mas só o empregava para a obtenção de uma 
única raiz positiva; 
• Mais notáveis ainda que as próprias soluções foram os 
engenhosos métodos pelos quais evitou equações que sabia ser 
incapaz de resolver. 
 
 Até onde vai a originalidade dos seus trabalhos não se pode 
determinar com exatidão, o certo é que Diofanto conseguiu separar a 
geometria da álgebra e merece o título de grande matemático. Um 
fato notável é que Fermat, no século XVII, foi levado ao seu célebre 
“grande” ou “último” teorema quando procurou generalizar um 
problema de A Arithmética de Diofanto: dividir um dado quadrado 
em dois quadrados. 
 
PAPUSPAPUSPAPUSPAPUS (século IV d.C.) 
 
 Papus de Alexandria compôs uma obra chamada Synagoge 
(Coleção), por volta de 320 d.C., que tornou-se muito importante 
por várias razões. Em primeiro lugar fornece um registro histórico 
muito valioso de parte da matemática grega que, de outro modo, não 
seria conhecida. Por exemplo, é pelo Livro V da Coleção que se 
sabe da descoberta por Arquimedes dos treze poliedros semi-
regulares ou “sólidos arquimedianos”. Além disso, a Coleção 
contém novas provas e lemas suplementares para proposições das 
 
 
 
160
 
 
obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio e Ptolomeu. Finalmente, o 
tratado contém descobertas e generalizações próprias. 
 A Coleção era composta por oito livros, porém o primeiro livro 
e a primeira parte do segundo se perderam. O Livro III mostra que 
Papus compartilhava totalmente da clássica apreciação grega pelas 
sutilezas da precisão lógica em geometria. Fazia distinção clara 
entre problemas planos, sólidos e lineares – os primeiros sendo 
construtíveis com retas e círculos apenas, os segundos resolúveis por 
uso de secções cônicas e os terceiros exigindo outras curvas que não 
retas, círculos ou cônicas. 
 A seguir, Papus descreveu algumas soluções dos três famosos 
problemas de construção, sendo que a duplicação do cubo e a 
trissecção do ângulo seriam problemas da segunda categoria, isto é, 
sólidos, e a quadratura do círculo um problema linear. Afirmou ser 
impossível resolver os problemas clássicos sob as condições 
platônicas, ou seja, com régua e compasso apenas, pois não estão 
entre os problemas planos. Papus não provou essa afirmação, mas 
percebeu a dificuldade dos problemas que só teriam provas rigorosas 
no século XIX. 
 
Trissecções propostas por Papus 
 1. Seja AOB um ângulo, num círculo com centro O, cuja 
bissetriz é OC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Traça-se a hipérbole tendo A como um foco, OC como a diretriz 
correspondente e com excentricidade igual a 2. Então um ramo 
dessa hipérbole cortará a circunferência do círculo num ponto T tal 
que o ângulo AOT é um terço do ângulo AOB. 
 
O 
B 
C 
A 
T . 
 
 
161
 
 
2. Seja o ângulo AOB cujo lado OB é uma diagonal do retângulo 
ABCO. Por A traça-se a hipérbole eqüilátera tendo BC e OC 
(prolongados) como assíntotas. 
Sendo A o centro e o 
raio duas vezes OB 
traça-se um círculo que 
corta a hipérbole em P e 
de P baixa-se a 
perpendicular PT a CB 
prolongado. 
Então, usando as 
propriedades da 
hipérbole, mostra-se 
que a reta que passa por 
O e T é paralela a AP e 
que o ângulo AOT é um 
terço do ângulo AOB. 
 
Extensão do teorema de Pitágoras 
 
Uma contribuição importante de Papus encontra-se no Livro IV da 
Coleção. Trata-se da seguinte extensão do teorema de Pitágoras: Se 
ABC é um triângulo qualquer e se ABDE e CBGF são quaisquer 
paralelogramos construídos sobre dois dos lados, então pode-se 
O 
C B T 
A 
Q P 
A J 
H 
D 
L 
E 
B 
G 
K 
F 
 
 
162
 
 
construir sobre o lado AC um terceiro paralelogramo ACKL com 
área igual a soma das áreas dos dois anteriores. 
Isso se faz prolongando os lados FG e ED até se encontrarem em H, 
depois traçando HB e prolongando até encontrar o lado AC em J, e 
finalmente traçando AL e CK paralelos a HBJ. 
 O Livro V da Coleção foi o favorito dos comentadores, porque 
levantava a questão da sagacidade das abelhas. Tendo Papus 
mostrado que, de dois polígonos regulares de mesmo perímetro, o 
que tem maior número de lados tem maior área, ele concluiu que as 
abelhas provavam algum entendimento matemático, ao construir 
suas células como prismas hexagonais, em vez de quadrados ou 
triangulares. O livro examina outros problemas de isoperimetria, 
inclusive uma prova de que, para um perímetro dado, o círculo tem 
maior área que qualquer polígono regular. 
 O livro VII contém o primeiro enunciado conhecido da 
propriedade foco-diretriz das três secções cônicas. Apolônio 
conhecia as propriedades focais para as cônicas, mas é possível que 
a propriedade foco-diretriz não fosse conhecida antes de Papus. 
 Outro teorema do livro VII que merece destaque, curiosamente 
recebe o nome de Paul Guldin, um matemático do século XVII: “se 
uma curva plana fechada gira em torno de uma reta que não a corta, 
o volume do sólido gerado é obtido tomando o produto da área 
limitada, pela distância percorrida durante a revolução, pelo centro 
de gravidade da área”. Papus, com razão, se orgulhava desse 
teorema geral, que envolvia, simultaneamente, muitos tipos de 
curvas, superfícies e sólidos. E de fato esse foi o teorema mais geral, 
envolvendo o cálculo, encontrado na antiguidade. 
 Papus provou também o teorema análogo ao anterior que diz 
que “a área da superfície gerada pela revolução de uma curva em 
torno de uma reta que não a corta é igual ao produto do 
comprimento da curva pela distância percorrida pelo centróide da 
curva durante a revolução”. 
 A Coleção de Papus foi o último tratado matemático antigo, 
realmente significativo. Obras matemáticas continuariam a ser 
escritas em grego por mais de mil anos, dando continuidade a uma 
influência iniciada há quase um milênio. Porém os autores que 
vieram depois de Papus jamais chegaram ao seu nível. 
 
 
 
163
 
 
HIPATIA HIPATIA HIPATIA HIPATIA (370 – 415) 
 
 Hipatia de Alexandria, a primeira mulher matemática, era filha 
de Teon de Alexandria, autor de uma importante edição de os 
Elementos de Euclides e um Comentário, em onze livros, com a 
colaboração de Hipatia no segundo, sobre o Almagesto de Ptolomeu. 
 Exímia professora, Hipatia lecionava matemática e filosofia. 
Suas aulas eram elogiadas e muito freqüentadas. Os seus estudos 
incluíam, além de filosofia e matemática, astronomia, astrologia,geometria e medicina. 
 Escreveu Comentários sobre seis dos trezes livros de A 
Arithmética de Diofanto, que só não se perderam por esse motivo. O 
mesmo se deu com As Cônicas de Apolônio, onde quatro dos oito 
livros tiveram seus Comentários. Teve uma morte trágica, envolvida 
em muito mistério. Consta que, por ser pagã, foi assassinada por 
cristãos. 
 
PROCLOPROCLOPROCLOPROCLO (410 – 485) 
 
 Proclo de Alexandria, jovem estudioso de matemática e 
filosofia, foi para Atenas onde se tornou chefe da escola 
neoplatônica. Já destacamos a importância, como fonte histórica, de 
seu Comentário sobre o livro I de Os Elementos de Euclides. 
Enquanto o escrevia, Proclo certamente tinha à mão um exemplar da 
História da Geometria de Eudemo, agora perdida. A inclusão em 
seu Comentário de um sumário ou extrato substancial da História de 
Eudemo, chamado sumário eudemiano, foi considerada a sua 
principal contribuição à matemática. 
 
BOÉCIOBOÉCIOBOÉCIOBOÉCIO (475 – 524 d.C.) 
 
 Boécio de Roma foi autor das famosas Consolações da 
Filosofia, a última obra da literatura romana. Escreveu também os 
livros Da Música e Da Aritmética, que por muito tempo foram os 
representantes da matemática grega no mundo medieval. Da Música 
foi usado como manual até o século XVIII e Da Aritmética 
considerado o padrão do ensino matemático. 
 
 
164
 
 
 Durante sua carreira de homem público, Boécio interessou-se 
pela reforma da moeda e pela introdução dos relógios de água e dos 
quadrantes solares. Sua geometria constava apenas de algumas das 
proposições mais simples dos quatro primeiros livros de Euclides, 
com algumas demonstrações, e aplicações aos processos de 
medição. 
 Assim começava Da Aritmética de Boécio: por todos os 
homens de reputação antiga que, emulando a fama de Pitágoras, se 
distinguiram pelo intelecto puro, foi sempre considerado coisa 
assente que ninguém poderá alcançar a suprema perfeição das 
doutrinas filosóficas, se não buscar os píncaros do saber numa 
certa encruzilhada – o quadrívium. 
 Para Boécio as coisas do universo seriam descontínuas (grupos) 
ou contínuas (grandezas). Os grupos são representados por números, 
e por suas relações com a música; as grandezas em repouso são 
estudadas pela geometria e as em movimento pela astronomia. 
Desse modo, as sete artes liberais seriam constituídas por 
quadrívium (aritmética, música, geometria e astronomia) e trivium 
(gramática, dialética e retórica). 
 Boécio traduziu para o latim obras de Ptolomeu, Nicômaco, 
Euclides, Arquimedes e Aristóteles, contribuindo assim com a 
divulgação da cultura grega na Europa Ocidental. Cristão pela fé e 
pagão pela cultura, Boécio tem sido chamado “a parte que une a 
antiguidade aos tempos modernos”, “o último dos romanos e o 
primeiro dos escolásticos”. 
 
Exercícios Exercícios Exercícios Exercícios 
 
1. Explique o fato de ser o período do desenvolvimento da 
trigonometria grega um período de declínio da geometria grega? 
 
2. Por que os antigos preferiam um sistema astronômico geocêntrico 
a um heliocêntrico? 
 
3. Prove a fórmula de Heron para a área de um triângulo. 
 
4. Escreva em notação grega a corda de 45°. 
 
 
 
165
 
 
5. Encontre, sem tabelas, o sen15° e usando isso, escreva em 
notação alfabética grega o valor de Ptolomeu para a corda de 30°. 
 
6. Se você fosse um matemático vivendo em 500 d.C., escolheria 
Alexandria, Roma, Atenas ou Constantinopla para viver? Dê razões 
para sua escolha. 
 
7. Prove a extensão de Papus do teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167
 
 
EUROPA NA IDADE MÉDIA,EUROPA NA IDADE MÉDIA,EUROPA NA IDADE MÉDIA,EUROPA NA IDADE MÉDIA, 
CHINA, ÍNDIA E ARÁBIACHINA, ÍNDIA E ARÁBIACHINA, ÍNDIA E ARÁBIACHINA, ÍNDIA E ARÁBIA 
 
 
“Durante a Idade Média o brilho estava no Oriente” (o autor) 
 
 
 Apesar dos que procuram reabilitar a Idade Média, quando o 
foco é a Europa Ocidental, ela continua sendo a idade obscura, a 
idade da ignorância e das trevas, principalmente no período entre os 
séculos V e XII. 
 Pelo fato de encontrarmos, de cem em cem anos, um Sto. 
Agostinho, um Sto. Anselmo, um Duns Scoto ou um Fibonacci, nem 
por isso deixa de ser a Idade Média um longo período de verdadeira 
passividade intelectual e absoluta ausência de qualquer idéia 
criadora. 
 O cristianismo impregnara de sua essência mística e irreal todos 
os espíritos. A cultura universal desaparecera praticamente. Deus e a 
essência divina do Cristo eram o único objetivo digno de estudo. 
Nele sintetizaram toda a ciência e toda a filosofia. 
 A natureza e o mundo haviam-se tornado irreais. Os homens 
viraram os olhos para dentro procurando Deus. O mundo era apenas 
um castigo, uma provação com que o homem se conformava e que 
devia durar o menos possível para mais depressa penetrar no céu. 
Nada poderia alterá-lo ou modificar sua marcha. 
 Para compreender as razoes dessa ausência de espírito criador, 
quer na ciência, quer na filosofia e mesmo na literatura, será preciso 
penetrar no espírito desses longos séculos e, indo mais além, nas 
próprias raízes da Idade Média, que se encontram nos escombros do 
Império Romano. 
 Confundindo-se com as ruínas do Império, encontra-se também, 
as raízes do cristianismo que, nascendo no seio de um pequeno povo 
da Ásia Menor quase sem papel na história, chegou a ter influência 
primordial quase absoluta no caráter econômico, político e espiritual 
da Europa inteira, durante cerca de mil anos. 
 
 
 
 
168
 
 
A destruição do Império 
 Não importa muito aqui analisar as causas da decadência e 
esfacelamento do Império, assunto tão polêmico. Destaca-se apenas, 
de passagem, que a invasão dos bárbaros, ou melhor, a vitória dos 
bárbaros sobre Roma com a vitória do cristianismo sobre o 
paganismo, a que se atribui freqüentemente a dissolução do Império, 
não foram senão suas causas imediatas. 
 As verdadeiras causas encontravam-se dentro do próprio 
Império, e estavam, sem dúvida, nas contradições econômicas e 
políticas características dos últimos três séculos de sua história. 
 Entre essas contradições destacava-se a escravidão e as suas 
conseqüências. Os escravos romanos em nada se pareciam com os 
escravos negros da América. Eram, em geral, eram cultos e tinham 
consciência de sua condição e, por isso mesmo, não se 
conformavam com ela. Daí uma série de rebeliões (a de Espartacus, 
por exemplo) que tornavam inseguros e pouco produtivos os 
trabalhos do campo e da produção em geral. 
 A existência da escravidão, por outro lado, tornava o trabalho 
indigno do homem livre. Lá, onde a escravidão é a forma 
dominante da produção, afirmava Engels, o trabalho torna-se 
atividade própria do escravo, desonroso para o homem livre. 
Graças a esse fato, fica excluída qualquer possibilidade de 
abandonar tal modo de produção, enquanto que, por outro lado, 
sua supressão torna-se necessária a fim de que a escravidão deixe 
de ser um obstáculo no desenvolvimento da produção. 
 Outra causa foi, sem dúvida, a expansão demasiado rápida do 
Império e das dificuldades da administração e da manutenção de 
uma burocracia complicada e exigente. Com as dificuldades do 
trabalho escravo, os grandes proprietários abandonavam suas terras, 
na Itália, para viver da exploração dos países conquistados. 
 Quando os germanos invadiram Roma, encontraram um povo 
empobrecido, escravos fugidos desocupados pelas cidades, 
pequenos lavradores sobrecarregados de dívidas e arruinados, um 
proletariado esfarrapado e faminto, todos ansiosos por uma nova 
ordem social, e que, por isso mesmo, não deviam estar muito 
interessados em repelir os bárbaros. 
 
 
 
 
169
 
 
O cristianismo 
 Segundo Guingnebert, uma religião, qualquer que ela seja, não 
cai prontinha do céu, nasce de uma iniciativa particular ou de uma 
necessidade geral. E quando deixa de corresponder aos interesses e 
às necessidade de umpovo, ele busca outra. 
 O cristianismo levou alguns séculos para conquistar a Europa, e 
isso só se tornou possível quando o ambiente se tornou favorável. 
Os soldados, fartos de lutar, o povo, cansado de passar fome, 
buscaram uma saída e encontraram consolo no cristianismo. 
 Por outro lado, essa religião, pregando a submissão e a 
humildade, serenando os ânimos do povo aflito e exaltado, viria do 
mesmo modo servir aos interesses dos novos senhores feudais. Eis 
porque o cristianismo pode finalmente vencer as resistências que lhe 
opunha anteriormente um império em pleno florescimento. 
 
Espírito da Idade Média 
 Esse misticismo a que se atirou o povo foi, ao mesmo tempo, a 
base e o conteúdo da filosofia medieval. O cristianismo foi, antes de 
tudo, um protesto contra um estado moral e social intolerável, mas 
um protesto, ao mesmo tempo, radical e ignorante. 
 Em nome dos oprimidos, dos pobres, da massa sofredora, ele 
lançou seu desafio, não a esta ou àquela concepção filosófica, mas a 
toda a filosofia, não a uma sociedade mal organizada, mas a toda 
sociedade. Seria a negação absoluta da razão como da experiência e, 
de tal modo, envolveu os espíritos que se tornou a filosofia não só 
de um povo, mas de uma época. 
 Esse espírito místico de abandono da realidade e desprezo pelo 
mundo, evidencia-se muito bem nas palavras com que Sto. 
Agostinho procura justificar a castidade. Respondendo à objeção, 
que alega ser a abstinência o fim do gênero humano, ele diz: 
Prouvera a Deus que todos estivessem de acordo: o mundo se 
acabaria mais depressa, e com a destruição da cidade terrestre, 
mais depressa teríamos a cidade celeste. 
 Tem-se atribuído freqüentemente a Aristóteles a culpa da 
ausência de qualquer progresso da ciência e da filosofia, desde que 
suas obras, traduzidas por Boécio, foram sendo conhecidas, 
sobretudo a partir do século VII. 
 
 
 
170
 
 
 Mas a verdade é que o grande filósofo não teve culpa de ter se 
tornado a Bíblia Cultural dos filósofos medievais. A causa real foi a 
estagnação completa da história, o estado das relações sociais e 
econômicas, numa palavra, o feudalismo, e o espírito místico que 
envolvera os homens. 
 Não havia qualquer produção social e três classes principais 
vegetavam lentamente: os nobres, os camponeses e o clero. Os 
nobres, sem nenhuma aspiração social ou política, vivendo da sua 
propriedade e para sua propriedade, comiam embebedavam-se e 
brigavam entre si. Apenas os camponeses trabalhavam e sua 
produção era individual, para sua família e para a família do senhor 
feudal. Nenhum ideal, nenhum objetivo para além das suas 
necessidades imediatas, enquanto não chegava a hora de se juntar 
aos anjos do paraíso. 
 Não havia preocupação com o saber, tanto que nobres e 
camponeses eram classes completamente incultas, pela 
desnecessidade absoluta de qualquer instrução para o gênero de vida 
que levavam, nem mesmo do conhecimento da leitura. Os próprios 
reis (Carlos Magno, por exemplo) eram analfabetos. As cidades, 
centros de vida, de agitação, de cultura, haviam praticamente 
desaparecido. 
 Somente o clero, sobretudo nos claustros e em particular os 
franciscanos e os dominicanos, estudavam Aristóteles, Ptolomeu, 
Orígenes, Sto. Agostinho e Sto. Anselmo. Fora do terreno 
puramente metafísico e espiritual e da preocupação em torno de 
questões excessivamente transcendentais, o pouco que se sabia da 
natureza vinha de Aristóteles ou dos árabes. 
 A escolástica, que posteriormente se consolidou numa filosofia 
particular, oficial ou oficiosa da igreja, limitava-se então, ao ensino 
sistematizado, nas escolas, da teologia e das chamadas sete artes 
liberais (ver Boécio). 
 
Carlos Magno (uma curiosa exceção) 
 Embora o rei dos lombardos e dos francos fosse um homem de 
ação e de comportamento rude, dava muita importância ao 
desenvolvimento intelectual e ao enriquecimento da alma. 
Interessava-se pela música, pelas línguas e pela teologia, e seu 
 
 
171
 
interesse cresceu ainda mais quando ele se instalou em 
Aquisgrano, onde tinha mais tempo para se dedicar às atividades 
culturais. 
 Com a ajuda dos mestres, Carlos estudou retórica, dialética e 
astronomia. Tentou até mesmo aprender a escrever, mas, segundo 
diz seu biógrafo Eginardo, havia começado demasiado tarde e por 
isso obteve escassos resultados. 
 Ansioso por difundir o conhecimento, fundou uma escola no 
palácio para a qual convidou os sábios de todo o reino. Embora a 
escola fosse freqüentada principalmente pelos filhos dos nobres, as 
crianças de origem humilde também podiam se beneficiar, e muitas 
vezes até apresentavam os melhores resultados. Carlos, que sonhava 
poder um dia oferecer educação a todos em seu reino, aprovava a 
educação das mulheres, atitude rara naquela época. 
 A reputação da escola do palácio logo se espalhou, atraindo 
professores de toda a Europa. Entre eles, havia um que chamou a 
atenção do rei: era um monge inglês chamado Alcuin, de 
inteligência extraordinária. Carlos fez-lhe uma proposta irrecusável 
para morar no palácio e coordenar seu programa educacional. 
 
ALCUIN ALCUIN ALCUIN ALCUIN (735 – 804) 
 
 Além de coordenar o programa de educação de Carlos Magno, 
Alcuin de York ensinava retórica, lógica, matemática e teologia. Em 
sua aritmética, por exemplo, havia problemas do tipo: se cem 
alqueires de trigo são distribuídos entre cem pessoas, de modo que 
cada homem receba três alqueires, cada mulher dois e cada criança 
meio alqueire, quantos são os homens, as mulheres e as crianças? 
Das seis soluções possíveis, encontrou apenas uma. 
 Alcuin escreveu livros escolares, em substituição aos usados 
anteriormente pelos francos, repletos de erros. Usou a própria escola 
do palácio para treinar professores, que iriam se estabelecer nas 
escolas fundadas nas muitas abadias que havia no reino. 
 Essas abadias, residência e lugar de oração dos monges, eram 
também centros de cultura e conhecimento. A matemática ensinada 
nessas escolas incluía naturalmente o uso do ábaco, a tábua de 
multiplicação, e a geometria de Boécio. 
 Desse modo, o importante foi que sob a direção do monge 
erudito, o sonho do rei, de elevar o padrão educacional dos francos, 
 
 
172
 
 
começou a se tornar realidade. Quinze anos depois já havia 
educação acessível para todos os súditos. 
 Esse foi um magnífico marco na história, ocorrido em plena 
Idade Média e, como já se sabe, o conhecimento intelectual era um 
privilégio dos religiosos. Para confirmar ainda mais esse fato, eis um 
matemático que se tornou Papa. 
 
GERBERT GERBERT GERBERT GERBERT ( 940 – 1003) 
 
 Gerbert de Aurillac na França foi outro sábio do chamado 
renascimento carolingiano e que consagrou à matemática uma parte 
de suas variadas aptidões. Viveu alguns anos na Espanha, ensinou 
na escola monástica de Reims, na Alemanha e, de 999 até sua morte, 
foi o Papa Sivestre II. 
 Construiu ábacos, globos terrestres e celestes, e reuniu uma 
valiosa biblioteca. Também lhe são atribuídos um relógio e um 
órgão acionado por vapor. Escreveu livros sobre o emprego do 
ábaco, sobre aritmética e sobre geometria. Esse ultimo contém a 
solução de um problema relativamente difícil: encontrar os catetos 
de um triângulo retângulo, dadas a área e a hipotenusa. 
 Foi o primeiro a expor os chamados “números de ghubar” 
(algarismos hispano-arábicos), que constituíam uma transição para 
os algarismos hindo-arábicos, introduzidos na Europa alguns séculos 
depois. 
 Enquanto a Europa seguia o passo lento da Idade das Trevas, 
sob o domínio dos reis-papas, esperando o fim do mundo que, 
segundo crenças, ocorreria no ano 1000, no Oriente, livre da 
repressão da Igreja, a ciência encontrou espaço para se desenvolver, 
principalmente na China, Índia e Arábia. 
 
 
CHINACHINACHINACHINA 
 
 
 Embora a civilização chinesa seja mais antiga que a grega, sua 
contribuição para a modernidade não a superou. Vários fatores 
contribuíram para isso, inclusive as arbitrariedades dos imperadores173
 
 
chineses, que pareciam deuses, e o isolamento cultual da China em 
relação à cultura ocidental. 
 Consta que por volta do século II a.C., sob a dinastia Han, o 
imperador ordenou a destruição de todos os livros do país, bem 
como a execução, em praça pública, daqueles que se diziam 
intelectuais. Isso por acreditar que se o gosto pela leitura se 
expandisse, em breve, não se teria mais ninguém para plantar arroz 
nas margens do rio Amarelo. 
 O comércio da seda entre chineses e árabes só se tornaria 
freqüente no século VII da nossa era, enquanto o comércio de 
especiarias com os europeus só aconteceria no fim do século XIV. 
 O primeiro documento matemático dos chineses é do século XII 
a.C.: Chow Pei Suang Ching (calendário das horas solares), um 
pergaminho de dois metros e trinta que aborda diversos assuntos 
científicos sob a forma de diálogos entre o imperador e um de seus 
ministros. O autor, desconhecido, inicia sua obra afirmando ser o 
quadrado um símbolo da Terra e o círculo do Céu. Percebe-se dos 
escritos, que já nessa época conheciam as quatro operações, bem 
como as propriedades dos triângulos eqüiláteros e retângulos. Pela 
igualdade obtida com os números 3, 4 e 5, isto é, 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 
5, notamos que já haviam descoberto o Teorema de Pitágoras. 
 Desse documento conclui-se, também, que o conhecimento da 
época era tutelado pelo imperador. É flagrante a preocupação do 
autor em agradá-lo, o que se depreende especialmente do método de 
somar duas frações, em que os exemplos são todos tirados das 
medidas dos corpos dos familiares do imperador. Outro fato curioso 
do livro são os temas aos quais aplicavam a matemática: idades, 
censo populacional, colheitas, astrologia, medidas de áreas e 
volumes, impostos e construção civil. 
 
Sistemas de numeração 
 
 Na China, desde os tempos primitivos, dois sistemas de 
numeração estiveram em uso. Num predominava o princípio 
multiplicativo, no outro era usada uma forma de notação posicional. 
No primeiro havia símbolos diferentes para os dígitos de um a dez e 
símbolos adicionais para as potências de dez, e nas formas escritas 
os dígitos em posições ímpares (da esquerda para a direita ou de 
 
 
174
 
 
baixo para cima) eram multiplicados pelo seu sucessor. Assim o 
número 678 seria escrito como um seis seguido do símbolo para 
100, depois um sete seguido do símbolo para dez e, finalmente, o 
símbolo para oito. 
No sistema de “numerais em barras” os dígitos de um a nove 
apareciam como | || ||| |||| ||||| , e os nove primeiros 
múltiplos de dez como 
 
 
 Usando esses dezoito símbolos alternadamente em posições 
contadas da direita para a esquerda, podiam ser escritos números tão 
grandes quanto se desejasse. Como na Mesopotâmia, só 
relativamente mais tarde é que apareceu um símbolo para uma 
posição vazia. 
 
A matemática em nove capítulos 
 A obra mais importante da ciência chinesa é, sem dúvida, o 
famoso Chui Chang Suan Shu (a matemática em nove capítulos) de 
Chuan Tsanom (200 a.C.), que traz 246 problemas resolvidos. 
 Ao contrário da matemática grega, a chinesa, assim como a 
egípcia e mesopotâmia, também é caracterizada pela ausência 
completa de teorias. O Chuí Chang Suan Shu mais parece um 
receituário para resolução de problemas específicos. 
 Outra peculiaridade da obra são os estilos de apresentação dos 
exercícios, indicando que essa foi modificada por vários escritores 
ao longo do tempo. Na apresentação verifica-se uma separação dos 
nove capítulos destinados a usuários específicos: aparentemente 
ministros e homens de confiança do imperador – cobradores de 
impostos, engenheiros, agrimensores e astrólogos. 
 
A seguir, um resumo dos nove capítulos. 
 
1º – Medidas de Terras 
 A preocupação fundamental seria ensinar a medir terras, 
baseando a divisão da propriedade rural em retângulos e triângulos. 
A forma de calcular a área do círculo indica a característica de 
receituário da obra, bem como o valor de π , que conheciam como 
 
 | || ||| |||| 
 
 
175
 
 
sendo 3: “multiplique o diâmetro pelo diâmetro do círculo e tome 
três quartos do valor encontrado...” 
 
2º – Cereais 
 São comuns nessa segunda parte, problemas do tipo: “para vinte 
sacos de arroz, o imposto a ser pago é de dois sacos, enquanto para 
oitenta sacos são oito...” 
 Tais problemas articulam regra de três simples, bem como 
proporções volumétricas. 
 
3º – População 
 Foi com base nesse capítulo que muitos historiadores da 
matemática afirmaram ser de autoria dos chineses o estudo de 
matrizes. 
Exemplo: O quadrado 
618
753
294
 foi supostamente trazido para os 
homens por uma tartaruga do Rio Lo nos dias do lendário imperador 
Yii, considerado um engenheiro hidráulico. A preocupação com tais 
diagramas levou o autor dos Nove Capítulos a resolver o sistema de 
equações lineares simultâneas 
2632
3432
3923
=++
=++
=++
zyx
zyx
zyx
 efetuando operações 
sobre as colunas na matriz 
39 3426
1 1 3 
2 3 2 
3 2 1 
 para reduzi-la a 
392499
1 1 36
2 5 0
3 0 0
 
 
 
 
 
 
176
 
 
 A segunda forma representava as equações ,z 9936 = 
245 =+ zy e ,zyx 3923 =++ das quais facilmente são calculados 
sucessivamente os valores de z, y e x. 
 Além das matrizes, dos sistemas de equações lineares, do 
método da soma de progressões aritméticas de n termos, destacam-
se, ainda, os quadrados mágicos. 
 
4º – Natureza 
 Aparecem as raízes quadrada e cúbica, como sendo, 
respectivamente, o lado do quadrado e do cubo, a primeira usada na 
medição de áreas de plantio e a segunda no cálculo de volumes de 
cereais, especificamente o arroz. 
 
5º – Trabalho 
 São receitas de construção de casas, diques, canais, bem como 
de cálculo da quantidade de homens necessários à execução do 
projeto. Verifica-se aqui o uso de tabelas que relacionavam tamanho 
e estilo arquitetônico com horas de trabalho. 
 
6º – Impostos 
 Certamente o capítulo mais importante para o imperador, pois 
contém cálculos de proporcionalidade acompanhados de regra de 
três composta: “aquele que tem 10 áreas de plantio, 2 filhos e colheu 
20 sacos de arroz pagará um de imposto, enquanto aquele que tem 
20 áreas de plantio, 4 filhos e colheu 30 sacos de arroz, pagará?” 
 
7º – Ligas Metálicas 
 Dos problemas aqui apresentados conclui-se, mais uma vez, que 
sabiam resolver sistemas de equações: “duas barras de ouro mais 
três de prata pesam 18 unidades. Quanto pesará cada uma se duas, 
uma de ouro e outra de prata, pesam 7?” 
 Apesar da imprecisão do enunciado, o texto acima reflete uma 
matemática bastante evoluída. 
 
 
 
 
 
 
177
 
 
8º – Tabelas 
 Um capítulo destinado a registrar tabelas de números que 
aparentemente expressavam as unidades de medida daquele tempo, 
bem como dados sobre meteorologia e astrologia. 
 
9º – Problemas de quadrados 
 Um capítulo inteiro sobre o teorema de Pitágoras. 
 Aplica-se 222 zyx =+ a problemas relacionados com 
profundidade de lagos, bambus quebrados, sombra de árvores, 
enfim, exercícios de triângulos e retângulos. 
“Um bambu de comprimento 10 é 
colocado em pé e quebrado a 6 
unidades de altura. Sua ponta 
tocará o chão a que distância?” 
O capítulo 9 é concluído com 
soluções de equações do segundo 
grau, através de uma receita 
conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara, deduzida 
empiricamente. 
 Depois do Chuí Chang Suan Shu, duas outras obras destacariam 
o desenvolvimento da matemática chinesa: Suan hsüeh ch’i meng 
(Estudos iniciais sobre matemática) e Ssu Yüan Yüchien (Magnífico 
espelho de quatro imagens) escritos pelo lendário Chu Shih Chieh 
de Pequim e publicados por volta de 1300 da nossa era. 
 No Suan Meng, a novidade seria a descoberta da soma dos n 
primeiros números naturais quadrados, 222 21 n...+++ : 
“multiplique o último número (n) por dois e some um (2n + 1); esse 
resultado deverá ser multiplicado por n(n + 1). Divida tudo por 
seis”. Essa receita de Chu Shih Chieh, se escreve 
 
( )( )
6
121
21 222++
=+++
nnn
n... 
 A obra de Chu Chieh tornou-se um clássico da matemática 
oriental e pela primeira vez misturam-se filosofia, religião, 
matemática e física. O autor relaciona as raízes de uma equação do 
quarto grau com terra, céu, homem e tempo, buscando, a seu modo, 
interpretar a natureza. 
 
6 
10 
? 
 
 
178
 
 
 Destaca-se nessa obra o triângulo atribuído a Pascal, conhecido 
dos chineses muitos anos antes, pois Chu Chieh o descreve com 
naturalidade, mostrando-o como mecanismo de construção dos 
coeficientes dos polinômios formados por ( )nx 1+ em que 
,...,,,n 3210= 
 Encontra-se também uma pesquisa extremamente curiosa sobre 
a descoberta de raízes positivas em equações que vão do grau dois 
ao quatorze. À técnica, embora semi-empírica, assemelha-se muito 
aos processos de Ruffini, descobertos no século XIX. 
Exemplo: 0322 =−− xx 
 Arbitra-se um valor qualquer como solução; x = 2, por exemplo. 
Verifica-se, porém, que esse número não é solução, ou seja, 
dx += 2 . Então ( ) ( ) 03222 2 =−+−+ dd ou 322 =+ dd e Chu 
Chieh conclui que a solução é 3
21
3
2 =
+
+=x . 
 
 
ÍNDIAÍNDIAÍNDIAÍNDIA 
 
 
 As extensas conquistas de Alexandre, o Grande, estimularam 
imensamente o intercâmbio de idéias entre o mundo mediterrâneo e 
a Ásia. O Oriente pôde, assim, fazer contribuições para a 
matemática, e isso no ponto em que os gregos eram relativamente 
mais fracos, ou seja, na aritmética (sistema de numeração), álgebra 
(resolução de equações) e trigonometria (tabelas de semi-cordas 
bem próximas das dos senos atuais). 
 Alguns séculos antes da nossa era, o teorema de Pitágoras e o 
cálculo de raízes quadradas com ótimas aproximações eram 
conhecidos na Índia em conexão com Sülvasütras, ou seja, as regras 
para construção de altares ou regras de cordas. 
 A mais importante contribuição da matemática hindu é, 
provavelmente, o nosso moderno sistema decimal de posição para os 
números, o qual implica na introdução de um sinal para o zero. Já 
séculos antes da era cristã, estavam os autores hindus acostumados a 
fazer cálculos com grandes números na notação decimal. Para cada 
 
 
179
 
 
potência de dez usava-se um nome diferente, mas, uma vez 
conhecida a série completa, o valor de cada unidade era dado pela 
sua posição na ordem. 
 Um sinal especial para os lugares vagos foi ocasionalmente 
usado na Grécia e na Mesopotâmia, mas foram os hindus que deram 
pleno desenvolvimento lógico a essa idéia e suas formas numéricas 
já adquiriam, então, grande semelhança com os algarismos atuais. 
 A primeira menção positiva feita fora da Índia aos numerais 
hindus acha-se no livro de um bispo da Síria Ocidental de 662. No 
início do século IX os algarismos tornaram-se conhecidos pelos 
intelectuais árabes. 
 A matemática hindu produziu, até o renascimento, grandes 
personagens, que muito a enriqueceram. Dentre os quais se 
destacaram Aryabhata, Brahamagupta, Sridhara e Bhaskara. 
 
ARYABHATA ARYABHATA ARYABHATA ARYABHATA (século VI d.C.) 
 
 Aryabhata escreveu, em 499 d.C., um livro em quatro partes, 
tratando de astronomia, dos elementos da trigonometria esférica e 
enunciando várias regras de aritmética, álgebra e trigonometria 
plana. 
 Alguns resultados dessa obra merecem destaque: Calculou a 
soma de cada uma das séries ,n...,n... 222 21 21 ++++++ 
,n... 333 21 +++ resolveu equações do segundo grau, apresentou 
uma tábua de semi-cordas (senos) dos múltiplos sucessivos de 
4
3
3 
graus (isto é, dos vinte e quatro avos do ângulo reto) e usou para π , 
o bom resultado 14163
1250
177
3 ,= . 
 O livro de Aryabhata, composto de 123 estrofes metrificadas, 
era uma obra descritiva, sem nenhum espírito lógico ou de 
metodologia dedutiva. O que tinha de original e o que era apenas 
compilação é difícil decidir. 
 Original, sem dúvida alguma, é a presença pela primeira vez em 
livro do sistema decimal posicional. Não se sabe exatamente como 
Aryabhata efetuava seus cálculos, mas sua frase de lugar para lugar 
 
 
180
 
 
cada um vale dez vezes o precedente é uma indicação de que tinha 
em mente o princípio posicional. Com a introdução, na notação 
hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o moderno 
sistema de numeração (chamado hindu) para os inteiros positivos 
estava completo. 
 Essa numeração, na verdade, combinou três princípios básicos 
de origem bem antiga: base decimal; uma notação posicional e uma 
forma cifrada para cada um dos dez numerais. Nenhum desses 
princípios se deveu originalmente aos hindus, mas foi devido a eles 
que os três foram ligados, pela primeira vez, para formar o moderno 
sistema de numeração. 
 
BRBRBRBRAHMAGUPTAAHMAGUPTAAHMAGUPTAAHMAGUPTA (século VII d.C.) 
 
 A matemática hindu ressentiu mais do que a grega a escassez de 
fontes históricas, pois os matemáticos raramente se referiam a seus 
predecessores e exibiam surpreendente independência em seus 
trabalhos. Assim é que Brahmagupta que viveu por volta de 628 
d.C. na Índia Central, um pouco mais de cem anos depois de 
Aryabhata, tem pouco em comum com seu predecessor, que tinha 
vivido no leste da Índia. 
 Brahmagupta mencionou dois valores para π – o “valor 
prático” 3 e o “valor bom” 16310 ,= – mas não o valor mais 
preciso de Aryabhata. 
 Talvez o resultado mais significante na obra de Brahmagupta 
seja a generalização da “fórmula de Heron”, dada por 
( )( )( )( )dscsb.sasK −−−−= , para encontrar a área de um 
quadrilátero, sendo a, b, c, d os lados e s o semi-perímetro. Há uma 
restrição, não observada por Brahmagupta, de que a fórmula só é 
correta no caso de um quadrilátero inscrito num círculo. 
A fórmula correta para um quadrilátero arbitrário é 
( )( )( ) ,cosabcdcsbsasK α−−−−= 2 sendo que α é a metade da 
soma de dois ângulos opostos. 
 As contribuições de Brahmagupta à álgebra são superiores às 
suas regras de mensuração, pois são encontradas soluções gerais de 
 
 
 
181
 
 
equações quadráticas, inclusive duas raízes, mesmo quando uma 
delas era negativa. 
 A aritmética sistematizada dos números negativos e do zero, na 
verdade, apareceria pela primeira vez em sua obra. Regras sobre 
grandezas negativas já eram conhecidas através dos teoremas 
geométricos dos gregos, como por exemplo 
( )( ) bcadbdacdcba −−+=−− , mas os hindus as converteram em 
regras numéricas sobre números negativos e positivos. 
Analogamente, foram os hindus os primeiros a interpretar o zero 
como número, assim como, as raízes irracionais como números e 
não como grandezas incomensuráveis. 
 Brahmagupta afirmou que positivo dividido por positivo, ou 
negativo por negativo, é afirmativo; cifra dividida por cifra é nada 
(0 : 0 = 0); positivo dividido por negativo é negativo; negativo 
dividido por afirmativo é negativo e positivo ou negativo dividido 
por cifra é uma fração com esse denominador (a : 0 para 0≠a ele 
não se comprometeu). 
 Como muitos de seus conterrâneos, Brahmagupta, também se 
dedicava à matemática por ela mesma. Esse fato seria confirmado 
quando se soube que foi o primeiro a encontrar uma solução geral da 
equação linear diofantina cbyax =+ , em que a, b, c são inteiros. 
Para que essa equação tenha soluções inteiras, o máximo divisor 
comum de a e b deve dividir c; e Brahmagupta sabia que se a e b 
são primos entre si, todas as soluções da equação são dadas por 
maqy,mbpx −=+= , sendo m um inteiro arbitrário. Deve-se 
lembrar que Diofanto só encontrou uma solução particular desse tipo 
de equação indeterminada. 
 Brahmagupta sugeriu também uma equação diofantina 
quadrática 22 1 pyx += que erradamente recebe o nome de John 
Pell (1611 – 1685) e que apareceu pela primeira vez no problema do 
gado de Arquimedes. 
 Os exemplos a seguir ilustram as notações hindus para as 
equações: 
 
 
 
 
 
 
182
 
 
Exemplo 1: 
 .
.
ru
yavya
9
101
significa que 9102 −=− xx 
 Passos da solução de Brahamagupta, em notação atual: 
• 9− 
• ( ) 3649 −=− . 
• ( ) 641036 2 =−+− 
• 864 = 
• ( ) 18108 =−− 
• ( )91218 =×: 
• A raiz é 9. 
Exemplo 2: 
103
8127
yavya
ru)a(kbhakaya
.
 significa que 
xx
xy
103
8127
2 +=
−+
 
 
Nomenclatura: 
• ya (abreviação de yavattavat) é a primeira incógnita; 
• ka representa kalaka (“negro”) é a segunda incógnita; 
• v representa varga, que significa “quadrado”; 
• O ponto sobre um número indica que ele é negativo; 
• bha representa bhavita (“produto”); 
• k(a) representa karana (“irracional” ou “raiz”); 
• ru representa rupa (número “puro” ou “comum”). 
• O primeiro membro da equação é escrito em uma linha 
e o segundo membro abaixo; 
• Incógnitas adicionais seriam expressas mediante o uso 
de abreviações para cores adicionais, assim: ni para 
nilaca (“azul”), pi para pitaca (“amarelo”), pa para 
pandu (“branco”) e lo para lohita (“vermelho”). 
 
 
 
 
 
 
183
 
BHASKARA BHASKARA BHASKARA BHASKARA (1114 – 1185) 
 
 Cinco séculos depois de Brahmagupta floresceu Bhaskara, 
conhecido como “o sábio”. Foi matemático, professor, astrólogo e 
astrônomo que preencheria lacunas deixadas por seus antecessores, 
inclusive, dando a solução geral da equação 22 1 pyx += e de 
muitas outras equações diofantinas. 
 Dos seus seis trabalhos conhecidos os mais importantes são 
Lilavati (nome de sua filha e que contém 278 versos) e Vija-Ganita, 
ambos com muitos problemas sobre os tópicos favoritos dos hindus: 
equações lineares e quadráticas (determinadas ou indeterminadas), 
mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, ternas 
pitagóricas, regra de três, etc. 
 Bhaskara fez notáveis progressos na notação algébrica 
abreviada, isso pode ser confirmado na solução do problema 2, a 
seguir. Segundo suas próprias palavras, ao resolver uma equação 
quadrática, aplicava o método de um conterrâneo, Sridhara, que 
viveu uns dois séculos antes. Isso vem contrariar o hábito, parece 
que só do Brasil, de chamar de “Bhaskara” a fórmula clássica de 
resolver equações de grau dois. 
 
Exemplos de problemas do Lilavati: 
Problema 1: O quadrado da quinta parte do número de macacos de 
um bando, subtraída de 3 macacos, entra numa caverna; e um 
macaco fica fora pendurado numa árvore. Diga quantos são os 
macacos. 
Em notação atual tem-se: x)x( =+− 13
5
1 2 ou 250552 −=− xx . 
Problema 2: A raiz quadrada do número de abelhas de um enxame 
voou rumo a um jasmineiro, enquanto 8/9 do enxame permaneceu 
atrás; e uma abelha fêmea ficou voando em torno de um macho que 
se encontrava preso numa flor de lótus para a qual foi atraído à noite 
por seu doce odor. Diga-me adorável mulher, qual é o número de 
abelhas. 
Na coluna da esquerda a solução de Bhaskara e na da direita a 
tradução atual. 
 
 
 
 
184
 
 
Seja 2vya o número de 
abelhas do enxame 
Seja 2 2 x o número de abelhas do 
enxame 
A raiz quadrada da metade 
desse número é 1ya x
x
=
2
2 2
 
Oito nonos de todo o enxame 
é 
9
16
vya 
Oito nonos de todo o enxame é 
2
9
16
 x)( 
A soma da raiz quadrada com 
a fração e o casal de abelhas é 
igual à quantidade de abelhas 
do enxame, isto é 2vya 
 
22 22
9
16
 xx)(x =++ 
Reduzindo-se ao mesmo 
denominador os dois 
membros da equação e 
eliminado o denominador, a 
equação transforma-se em 
18916
0018
ruyavya
ruyavya
 
 
1891618
9
18
9
18169
22
22
++=
⇔=
++
xxx
xxx
 
Após a subtração a equação 
torna-se 
1800
09 2
ruyavya
ruyavya
 1892
91618916
91618
2
22
22
=−
−−++
=−−
xx
xxxx
xxx
 
Portanto yaé 6 Portanto 6=x 
Donde 2vya é 72 Donde 72622 22 == .x . 
 
Bhaskara apresentou uma demonstração do teorema de 
Pitágoras de um modo curioso: desenhou a figura abaixo e escreveu 
simplesmente “Veja”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
185
 
 
 A matemática hindu, em comparação grega, ganhou em força e 
liberdade, à custa de certo sacrifício do rigor lógico. Entre os gregos, 
somente os maiores avaliaram a possibilidade e a importância de 
uma série infinita de números. Um feito notável dos hindus foi a 
introdução da idéia dos números negativos e a exemplificação das 
quantidades positivas e negativas por meio de débito e crédito, etc. 
 Em conjunto, os hindus, que haviam recebido originalmente dos 
gregos uma parte da sua matemática, fizeram grandes contribuições 
nos campos da aritmética e da álgebra e sua influência na ciência 
européia, com a qual tiveram pouco ou nenhum contato direto, 
exerceu-se principalmente por intermédio dos árabes. 
 
 
ARÁBIAARÁBIAARÁBIAARÁBIA 
 
 
 Do outro lado do Mediterrâneo, um povo nômade e 
aparentemente inculto, que até meados do século VII vivera 
praticamente afastado da civilização, surgiu subitamente na história 
e, qual um cometa, quase em seguida desapareceu deixando, 
todavia, atrás de si, um rastro luminoso que iria resplandecer ainda 
durante muitos séculos. 
 Fenômeno ainda inexplicável, até hoje, de um pequeno povo de 
pastores e comerciantes, os árabes transformaram-se, a despeito das 
lutas internas, numa nação organizada e forte que em cem anos 
apenas, conquistaria metade do mundo conhecido, estendendo seu 
domínio pela Síria, Mesopotâmia, Pérsia e toda a Ásia Menor e, de 
outro lado, pelo Egito, toda a costa africana do Mediterrâneo, 
atravessando Gibraltar e atingindo a Espanha. 
 E, fenômeno ainda mais surpreendente e contraditório, um povo 
dominado por uma idéia mística, que enveredou através da ciência e 
da filosofia, pelo caminho do materialismo, influindo 
poderosamente no desenvolvimento da cultura de toda a Europa com 
um formidável quadro de filósofos e pesquisadores. Não se 
consegue, facilmente, explicar um predomínio tão rápido e 
avassalador. A história dos árabes dá-nos a idéia de um homem que 
passasse longos anos dormindo e que, de repente, como que 
despertado por um sonho, se levantasse de um salto, largando a 
 
 
186
 
correr pelo mundo até que, exausto, se deixasse cair novamente 
em seu antigo canto para prosseguir o seu sono tranqüilo. 
 Os desertos da Arábia, secos e áridos, nunca foram muito 
propícios para o desenvolvimento de grandes civilizações e culturas. 
O espírito, ao mesmo tempo místico e combativo, de que se viram 
subitamente possuídos pelas revelações de Maomé, atiraram-nos a 
uma luta de conquista não só de almas e crentes, mas também de 
novos mundos e novos mercados. 
 As cidades da Arábia, por si mesmas improdutivas, só poderiam 
florescer como entrepostos, mercados, pontos de passagem de 
viajantes. Foi nesse sentido que se desenvolveu sua luta: os árabes 
transformaram cada nova região conquistada num novo mercado, 
num novo entreposto. 
 Hábeis comerciantes, traquejados no ambiente do deserto, 
capazes de vencer longas caminhadas para colocar sua mercadoria, 
de que, a princípio, eram apenas intermediários, não tardaram em 
enriquecer. Os califas tornaram-se poderosos e ricos, dominando um 
povo possuído de fé cega e sem limites. 
 As riquezas, as viagens, o contato com outros povos, outras 
línguas e outros costumes, permitiram aos árabes novos 
conhecimentos. A necessidade de desenvolver o comércio e, 
ulteriormente, a agricultura e a indústria, que haviam criado nos 
países conquistados, exigiram a penetração da ciência, da 
matemática. 
 Foram os árabes os verdadeiros continuadores da cultura grega, 
embora não tivessem caracteres helenísticos e sim atributos 
particulares, derivados da grande diferença existente entre os dois 
povos e as duas épocas. 
 Os árabes limitavam-se, a principio, a traduzir e reeditar as 
obras dos grandes pensadores e matemáticos gregos. Ao período de 
traduções seguiu-se a idade áurea da ciência árabe, 
aproximadamente de 900 a 1100. Era, todavia, “árabe” sobretudo na 
língua, pois relativamente poucos cientistas dessa época foram 
árabes, ou mesmo maometanos. Eram, na maior parte, sírios, persas 
e judeus com nomes árabes. Excetuando-se alguns notáveis 
progressos na matemática e na física, suas contribuições positivas 
para a ciência não foram grandes, mas prestaram enorme serviço 
conservando e coordenando a antiga cultura da Grécia, Pérsia e 
Índiae mantendo vivo o espírito das ciências e das artes civilizadas, 
 
 
187
 
 
enquanto a Europa cristã se empenhava numa desesperada luta conta 
a barbárie. 
 
A Matemática Árabe A Matemática Árabe A Matemática Árabe A Matemática Árabe 
 
 Pode-se aceitar como característica da primeira fase do Islã as 
palavras atribuídas, pela tradição, ao califa Omar (634-644), 
segundo o qual tudo aquilo que, na biblioteca de Alexandria 
concordava com o Alcorão, era supérfluo e, o que dele discordava 
era inferior, e por conseguinte devia se destruir tudo. 
 Se, por um lado, os árabes foram responsáveis pelo 
desaparecimento de parte do conhecimento ocidental, por outro lado 
contribuíram para sua preservação. O extermínio se deu, segundo 
consta, em 641 d.C. ao se cumprir as ordens de Omar. E a 
preservação foi devida à atuação de três califas, considerados os 
grandes patronos da cultura: al-Mansur, Harum al-Rachid e al-
Mamum, que durante seus reinados foram responsáveis pela 
tradução, do grego para o árabe, dos mais importantes escritos 
científicos e filosóficos conhecidos. Al-Rachid, a propósito, foi o 
célebre califa imortalizado na literatura pelos “contos das mil e uma 
noites”. 
 
ALALALAL,,,,KHOWARIZMIKHOWARIZMIKHOWARIZMIKHOWARIZMI ( século IX d. C.) 
 
 Foi durante o califado de al-Mamum (809 – 833) que os árabes 
se entregaram totalmente à sua paixão por tradução. Diz-se que o 
califa teve um sonho em que apareceu Aristóteles, e em 
conseqüência decidiu que deveria fazer versões árabes de todas as 
obras gregas em que conseguisse ter às mãos. Não poderiam faltar, 
evidentemente, o Almajesto de Ptolomeu e uma versão completa de 
Os Elementos de Euclides. 
 Al-Mamum estabeleceu em Bagdá uma “Casa da Sabedoria” 
comparável ao antigo Museu de Alexandria. Entre os mestres havia 
um matemático e astrônomo persa, Mohammed ibn-Musa al-
khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizmi), que, como 
Euclides, iria se tornar muito conhecido na Europa Ocidental. 
 Esse sábio, que morreu algum tempo antes de 850, escreveu 
mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática, das quais 
 
 
188
 
 
as mais antigas provavelmente se baseavam em trabalhos da Índia. 
Além de tabelas astronômicas e tratados sobre o astrolábio e relógio 
de sol, al-Khowarizmi escreveu dois livros sobre aritmética e 
álgebra que tiveram papéis decisivos no desenvolvimento da 
matemática. 
 A monumental Hisab al-jabr w’al muqãbalah (ciência da 
restauração e de redução ou ciência das equações) escrita por volta 
de 825, baseava-se em fontes muito mais antigas, talvez hindus ou 
mesopotâmias. Essa obra tornou-se básica para muitos tratados 
posteriores, sendo que do seu título derivou-se a palavra álgebra, e 
do nome do autor os vocábulos algoritmo e algarismo. 
 A obra era composta de 79 páginas sobre casos de herança; 16 
páginas de problemas de medidas e 70 páginas de álgebra. No início 
o autor faz uma breve recapitulação de valor relativo na base 10. 
 A seguir um exemplo do procedimento de al-Khowarizmi para 
os casos al-jabr e muqãbalah. Dada a equação 
42545 32 +−=++ xxxx , por al-jabr tem-se 4547 32 +=++ xxx 
e por muqãbalah tem-se 32 57 xxx =+ . 
 A álgebra de al-Khowarizmi, era retórica e, na verdade, uma 
espécie de cálculo aplicado, em que os conceitos eram seguidos de 
numerosos exemplos. O primeiro livro contém uma discussão de 
cinco tipos de equações do 2º grau: ,cax,bxax == 22 
cbxax,bxcax,cbxax +==+=+ 222 . Somente as raízes 
positivas foram consideradas, apesar de ter admitido a existência de 
duas raízes. Apresentou também para essas equações uma 
comprovação geométrica denominada “método de completar 
quadrados”. 
Exemplo: Resolver a equação: 
64122 =+ xx . 
Solução geométrica de al-
Khowarizmi: na figura acima 
considera-se que xBCAB == e 
que 6== CFAH . Logo a área do 
quadrado ABCD é dada por: Aq = x2 
e a área dos retângulos HKBA e 
BGFC é dada por: Ar = 6x. A soma 
 
 
189
 
dessas áreas é x2 + 12x. Completando-se o quadrado HEFD, 
pelo acréscimo aos dois retângulos anteriores do quadrado KEGB, 
cuja área é 36, tem-se que a área do quadrado HEFD é dada por: 
( ) 100366436126 22 =+=++=+ xxx , ou seja, 106 =+x ,o que 
resulta x = 4. 
 A aritmética de al-Khowarizmi teve uma tradução latina De 
número hindorum, no século XII, muito importante para a 
introdução na Europa do sistema hindu de numeração. 
 
ABU’LABU’LABU’LABU’L,,,,WEFAWEFAWEFAWEFA (940 – 988) 
 
 Abu’l-Wefa foi um competente algebrista, no entanto, suas 
contribuições mais importantes foram na trigonometria. Comentou a 
álgebra de al-Khowarizmi e traduziu do grego um dos últimos 
grandes clássicos – a Arithmética de Diofanto. 
 Nos cálculos astronômicos houve, a princípio, entre os árabes 
dois tipos de trigonometria – a geométrica grega das cordas, como é 
encontrada no Almajesto, e as tabelas hindus de semi-cordas (senos). 
Talvez pela praticidade do sistema hindu não demorou muito para 
que quase toda a trigonometria árabe se baseasse na função seno. Na 
verdade, foi também através dos árabes, e não diretamente dos 
hindus, que essa trigonometria chegou à Europa. 
 Abu’l-Wefa produziu tabelas de senos para arcos, variando de 
dez em dez minutos, introduziu o conceito de tangente de um ângulo 
e, provavelmente, os de secante e co-secante. 
 Essas novas funções, ao contrário da função seno hindu, em 
geral, eram consideradas em círculos unitários. Com Abu’l-Wefa a 
trigonometria assumiu uma forma mais sistemática em que são 
provados teoremas tais como as fórmulas para ângulos duplo e 
metade. 
 
OMAR KHAYYAMOMAR KHAYYAMOMAR KHAYYAMOMAR KHAYYAM (1043 – 1131) 
 
 O persa Omar Khayyam, de Naishapur, conhecido no Ocidente 
como o grande poeta, autor dos Rubáiyát, foi o mais ousado dos 
matemáticos “árabes”, por se dedicar a problemas fundamentais para 
no desenvolvimento da matemática. 
 
 
 
190
 
 
 Considerado o descobridor do teorema do binômio, resolveu 
equações cúbicas de forma geométrica e também tentou, em vão, 
provar o postulado das paralelas de Euclides. Acreditava na 
possibilidade de se aplicar a razão ao mundo real para refazê-lo mais 
de acordo com os desejos do coração. 
 Em sua álgebra, Omar Khayyam escreveu que, em outra obra, 
tinha descoberto uma regra, para encontrar as potências quarta, 
quinta, sexta e mais altas de um binômio. Essa obra se perdeu, mas 
presume-se que ele se referia ao arranjo do triângulo de Pascal, que 
teria surgido, ao mesmo tempo, também na China. Não é fácil 
explicar tal coincidência, mas enquanto não for encontrada nova 
evidência, deve-se presumir a independência das descobertas. 
 É nessa obra sobre álgebra, que se encontra uma discussão das 
equações cúbicas, resolvidas mediante construções geométricas. 
Khayyam obteve uma raiz fazendo a intersecção de duas secções 
cônicas. Rejeitava as raízes negativas e não encontrava todas as 
positivas. Essa obra, no entanto, foi uma notável realização, pois foi 
o primeiro a propor a si mesmo o seguinte problema: como pode ser 
resolvida uma equação cúbica com coeficientes numéricos? 
 Os árabes claramente se sentiam mais atraídos pela álgebra e 
pela trigonometria do que pela geometria, mas um aspecto da 
geometria tinha um fascínio especial para eles – a prova do quinto 
postulado de Euclides. Mesmo entre os gregos a tentativa de provar 
o postulado tinha-se transformado virtualmente num “quarto 
problema de geometria” e vários matemáticos muçulmanos 
continuaram o esforço. 
 Omar Khayyam partiu de um quadrilátero com dois lados 
iguais, ambos perpendiculares à base (usualmente chamado de 
quadrilátero de Saccheri) e perguntou como seriam os outros 
ângulos (os superiores) do quadrilátero, que são necessariamente 
iguais um ao outro. Novamente chegou a um enunciado equivalente 
ao postulado das paralelas de Euclides. 
 Finalmente, confirmando a ousadia, Khayyam afirmou a 
impossibilidade de se encontrarem dois cubos cuja soma fosse um 
cubo. Esse problema foi generalizado muitosanos depois por 
Fermat, tornou-se famoso como “o último teorema” e a sua prova, 
que desafiou a mente humana, só foi conseguida em 1993, após 358 
anos, pelo matemático inglês Andrew Willes. 
 
 
191
 
ALALALAL,,,,TUSITUSITUSITUSI (1201 – 1274) 
 
 Astrônomo de Hulagu Khan, neto do conquistador Gengis Khan 
continuou os esforços para provar o postulado das paralelas, 
partindo das hipóteses usuais sobre um quadrilátero de Saccheri. Os 
escritos de Nasir Eddin Al-Tusi foram traduzidos e publicados por 
Wallis no século XVII e pode ter sido essa obra o ponto de partida 
para os estudos de Saccheri no início de século XVIII. 
 Nasir Eddin tinha os interesses característicos dos árabes; por 
isso fez contribuições também à trigonometria e à astronomia. 
Dando continuidade à obra de Abu’l-Wefa, foi responsável pelo 
primeiro tratado sistemático sobre trigonometria plana e esférica, 
tornando o assunto independente da astronomia. 
 Já operando, normalmente, com as seis funções trigonométricas 
usadas atualmente, Nasir Eddin desenvolveu regras para resolver os 
vários casos de triângulos planos e esféricos. Trata-se de uma obra 
rica com influência limitada, talvez, por não ter sido bem conhecida 
na Europa. Em astronomia, no entanto, suas contribuições foram 
importantes para o trabalho de Copérnico. 
 
ALALALAL,,,,KASHIKASHIKASHIKASHI (1369 -1436) 
 
 Com numerosas obras, escritas em persa e em árabe, al-Kashi 
contribuiu para a matemática e a astronomia. Talvez na China tenha 
aprendido a usar frações decimais e, sentindo a importância de sua 
contribuição ao assunto, passou a se considerar o inventor das 
frações decimais. 
 Al-Kashi era aficionado por cálculos longos e se orgulhava, 
com razão, de sua aproximação para π , que era a melhor de 
quaisquer das aproximações fornecidas por seus predecessores; 2π 
era dado por 6,2831853071795865. 
 Nenhum outro matemático, até o final do século XVI, se 
aproximou da precisão dessa “garra” computacional. Com al-Kashi 
o teorema binomial sob a forma do triângulo de Pascal, apareceria 
novamente, quase um século depois de sua publicação na China e 
cerca de um século antes de ser impresso em livros europeus. 
 
 
 
 
192
 
 
 Com a morte de al-Kashi encerrou-se a contribuição da 
matemática árabe na Idade Média, pois o colapso cultural do mundo 
muçulmano acompanhou a desintegração política do Império. 
 
Sistema de numeração indo-arábico 
 
 
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. Que contribuição matemática teve maior influência no 
pensamento moderno, a chinesa ou a hindu? 
 
2. Há alguma evidência de influência grega na matemática hindu? E 
a recíproca, é verdadeira? 
 
3. Descreva alguns pontos em que a álgebra hindu diferia 
marcadamente da grega. 
 
4. Escreva o número 7.384.679 em numerais chineses em barra. 
 
5. Use um esquema em gelosia para achar o produto de 345 por 256. 
 
 
193
 
 
6. Divida 56.789 por 273 usando o método do “galeão”. 
 
7. Da fórmula de Brahmagupta para a área deduza a de Heron como 
caso especial. 
 
8. Mostre que 21x +14y = 3 não tem solução em inteiros. 
 
9. Comparar, quanto ao seu efeito sobre a cultura, a conquista árabe 
nas terras vizinhas com as conquistas anteriores de Alexandre, O 
Grande, e com as conquistas dos romanos. 
 
10. Mencione algumas partes da matemática grega que se teriam 
perdido sem a ajuda árabe. 
 
11. Compare a matemática árabe e a hindu quanto a forma, 
conteúdo, nível e influência. 
 
12. Usando um diagrama geométrico como o de al-Khowarizmi, 
resolva a equação 39102 =+ xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
194
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
195
 
 
AURORA DO RENASCIMENTOAURORA DO RENASCIMENTOAURORA DO RENASCIMENTOAURORA DO RENASCIMENTO 
 
 
“O homem não passa de um caniço, o mais fraco da natureza, mas é um 
caniço pensante.” (Pascal) 
 
 
 Depois de algumas páginas pelo Oriente (China, Índia e 
Arábia), volta-se o foco para a Europa, que viveu uma época 
sombria, onde a vida se resumia aos feudos e a cultura aos claustros 
e conventos. 
 Houve um oásis incrível nas escolas de Carlos Magno, mas o 
predomínio foi da escuridão e do silêncio. Apesar disso, o mundo 
não se acabou no ano 1000, contrariando a previsão e, o saber que 
passou por uma certa agonia, não morreu. Prova disso foi que na 
Europa dos séculos XII e XIII pairaram algumas novidades: 
 1. Foram fundadas as primeiras universidades – Bolonha 
(1088), Paris (1200), Oxford (1214) e Cambridge (1231) – pela 
evolução gradual das escolas dos mosteiros e catedrais. E não há 
dúvidas de que as universidades sempre desempenharam um papel 
primordial no desenvolvimento da cultura e da ciência; 
 2. O pequeno regato da ciência clássica derivada diretamente 
das fontes gregas e romanas misturou-se às águas da torrente que 
abriu caminho através do norte da África e da Espanha, sob os 
mouros. A obra rudimentar de Boécio foi superada e antes de 1400 
os primeiros cinco livros de Euclides já eram ensinados em muitas 
universidades. A linguagem corrente da ciência ainda era o árabe, 
mas as principais obras gregas como o Almagesto de Ptolomeu, por 
exemplo, foram traduzidas para o latim na segunda metade do 
século XII, provavelmente com o uso dos algarismos indo-arábicos; 
 3. Com a formação e crescimento das cidades – inexistentes na 
Idade Média – o poder dos nobres feudais viu-se terrivelmente 
ameaçado, com o fortalecimento acentuado do poder dos reis. 
Nessas cidades, intensificou-se o comércio, foram fundadas algumas 
indústrias e uma nova classe começou a germinar: a burguesia. Uma 
classe em ascensão é sempre progressista, quer se beneficiar dos 
bens materiais, explorar os bens naturais e se interessa pelo 
 
 
196
 
 
progresso da ciência. Enfim, faz tudo que for possível para criar 
condições de assumir o poder. 
 
A matemática nos séculos XII, XIII e XIVA matemática nos séculos XII, XIII e XIVA matemática nos séculos XII, XIII e XIVA matemática nos séculos XII, XIII e XIV 
 
 Nesse período a crescente atividade no campo da ciência, 
deveu-se em grande parte a Fibonacci na Itália, a Jordanus 
Nemorarius na Saxônia, a Roger Bacon na Inglaterra e a Nicole 
Oresme na França. 
 
 
FIBONACCI FIBONACCI FIBONACCI FIBONACCI (1175 – 1250) 
Leonardo de Pisa, ou Fibonacci foi educado no 
norte da África, onde seu pai era agente 
comercial, e desse modo se familiarizou com a 
álgebra de al-Khowarizmi e com o sistema 
numérico dos árabes (que era hindu). Soube 
avaliar as vantagens de ambos e, ao voltar para 
a Itália, publicou o seu Líber Abaci em 1202 
(revisto em 1228), o qual se propunha divulgá-
los na Europa “a fim de que a raça latina já não 
se mostre deficiente desse gênero de conhecimentos”. Como obra-
prima da matemática medieval, esse livro foi considerado um 
modelo durante mais de dois séculos. A álgebra de Fibonacci era 
retórica, mas empregava muitos métodos geométricos. 
 Tratava das operações fundamentais com números inteiros e 
frações, usando o traço de divisão tal como o empregamos 
atualmente. As frações são decompostas em somas de frações 
unitárias, como no antigo Egito. Por intermédio dos árabes, 
Leonardo recebeu em herança as tradições egípcias não menos que 
as gregas, como por exemplo esse tipo de frações, as raízes 
quadradas e cúbicas, as progressões e o método de falsa posição. O 
livro compreendia também as regras de três e de sociedade, as 
potências e raízes e solução de equações. 
 As palavras iniciais do Líber Abaci indicavam muito do 
conteúdo de uma obra que, aparentemente, se propunha abordar a 
prática do ábaco: Estes são os nove símbolos dos hindus 9, 8, 7, 6, 5, 
4, 3, 2, 1. Com esses símbolos e com o sinal 0, que os árabes 
 
 
197
 
 
chamam de zéfiro, qualquer número pode ser escrito. Importante 
registrar que a palavra zero vem de hindu sunya que significa vazio 
ou vácuo. Em árabe se transformou em sifr que Fibonacci latinizoupara zéfiro. 
 No Líber Abaci encontramos também a chamada sequência de 
Fibonacdi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ...nu em que cada termo é a 
soma dos dois precedentes (isto é 21 −− += nnn uuu ). Essa seqüência 
pode ter sido inspirada na observação da ramificação de certas 
árvores (filotaxia) ou mais provavelmente como resposta ao 
problema: quantos casais de coelhos se originarão de um único 
casal, supondo-se que cada casal procria um novo casal todos os 
meses, que cada novo casal começa a multiplicar-se a partir do 
segundo mês e que nenhum dos animais morre? 
 Verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades 
significativas. Por exemplo, pode-se provar que dois termos 
consecutivos quaisquer são primos entre si e que 
n
n
n u
u
lim 1−
∞→
 é o 
número áureo =φ
2
15 −
. 
 Leonardo escreveu ainda dois outros livros, um Liber 
Quadratorum (1220) e uma Practica Geométrica (1225). O 
primeiro era uma obra original sobre análise indeterminada que lhe 
conferiu um lugar entre Diofanto, Brahmagupta, Bhaskara e Fermat. 
O segundo livro contém vasto material de trigonometria e 
geometria, talvez derivado, em parte, de fontes gregas atualmente 
perdidas. 
 Em 1225, o imperador da Sicília Frederico II, impressionado 
pelo que se contava dos talentos de Leonardo, organizou um torneio 
de matemática cujas questões foram conservadas, e que em 
linguagem atual são: 
1. Encontrar um número cujo quadrado, quer acrescido, quer 
diminuído de 5, permanece um quadrado; 
2. Encontrar, pelos métodos empregados no décimo livro de 
Euclides, uma linha cujo comprimento satisfaça a equação 
20102 23 =++ xxx ; 3. Três homens, A, B e C possuem uma 
 
 
 
198
 
 
quantia u, guardando suas partes entre si as relações de 3:2:1. A tira 
x, guarda metade e deposita o restante com D; B tira y, guarda dois 
terços e deposita o restante com D; C tira tudo que resta, a saber z, 
guarda cinco sextos e deposita o restante com D. Comparados os 
três depósitos, verifica-se que são iguais. Encontrar u, x, y e z. 
 Leonardo deu a solução correta do primeiro e do terceiro 
problemas, bem como uma raiz da equação cúbica, 
36880810751,x = , com a aproximação de nove casas decimais. 
 
 NEMORARIUSNEMORARIUSNEMORARIUSNEMORARIUS (1178 – 1237) 
 
 Jordanus Nemorarius escreveu importantes obras em latim 
sobre a aritmética, geometria e astronomia. De Triangulis, a mais 
importante de todas, consta de quatro livros que não só tratam dos 
triângulos, mas também dos polígonos e dos círculos. Em geral faz 
uso dos algarismos arábicos, indicando por meio de letras, as 
quantidades conhecidas e desconhecidas. 
 Resolveu o problema de encontrar dois números cuja soma e 
produtos são dados, recorrendo a um método equivalente ao da 
álgebra atual. Foi essa, praticamente, a primeira álgebra de notação 
sincopada que se publicou na Europa, mas parece ter sido tão pouco 
conhecida que não lhe seria possível alcançar grandes resultados, 
numa época ainda não preparada para tais invenções. 
 Há também de Nemorarius o livro Dos Pesos, contendo 
elementos de mecânica. 
 
SACROBOSCOSACROBOSCOSACROBOSCOSACROBOSCO (1200 – 1256) 
 
 John de Halifax também conhecido por Sacrobosco lecionava 
aritmética e álgebra em Oxford, tendo ensinado também em Paris. 
 Sua obra algorismus vulgaris era uma exposição prática de 
cálculo, em que dava as regras mas não as provas, contribuiu muito 
para divulgar os numerais indo-arábicos, sendo inclusive, a mais 
popular fonte de informações no assunto. 
 O seu Sphaera, uma obra sobre astronomia, foi usado para o 
ensino durante todo o final da Idade Média. Sua apresentação fez 
 
 
 
199
 
 
desse tratado da esfera uma obra que, posteriormente, mereceu mais 
de sessenta edições. 
 
BACONBACONBACONBACON (1214 – 1294) 
 
 Roger Bacon, membro da ordem franciscana, nascido em 
Ilchester, na Inglaterra, foi seguramente o mais importante homem 
de ciência de sua época. Foi aluno de Robert Grosseteste, que se 
dedicava especialmente à matemática e à ciência experimental, 
tendo estudado as obras dos autores árabes. 
 Bacon estudou também na Universidade de Paris, centro da 
cultura européia, onde se doutorou em teologia e também, 
provavelmente, se fez frade franciscano. 
 Lecionou em Oxford, onde tinha uma espécie de laboratório 
para experimentos de alquimia. Foi, sem dúvida, por isso que ele se 
tornou célebre como cultor da “magia” e das “artes negras”, pois em 
1257 foi proibido de ensinar pelo superior da sua ordem e mandado 
para Paris, onde passou grandes privações. 
 Em 1266 o Papa Clemente IV convidou-o a preparar e enviar-
lhe um tratado sobre as ciências. No espaço de dezoito meses, Bacon 
escreveu e enviou três importantes obras – o Opus Majus, o Opus 
Minus e o Opus Tertium. Em 1268 voltou para Oxford, onde 
compôs vários outros livros, mas suas obras foram condenadas por 
um papa posterior e o autor lançado à prisão, onde permaneceu até 
um ano antes de sua morte. 
 Em Paris, Bacon dedicou-se em particular à física e à 
matemática. O Opus Majus (1267) nada mais é que uma súmula da 
física e uma filosofia das ciências baseada nos autores gregos, 
romanos e árabes. Acentuava que as ciências naturais, necessitavam 
de um fundamento experimental e que a astronomia e as ciências 
físicas deviam basear-se na matemática, “o abecê de toda filosofia”. 
 No que diz respeito à mágica, Bacon observou que o ímã, por 
exemplo, deve parecer mágico ao ignorante: Como se explica o 
maravilhoso poder das palavras? Desde o começo do mundo, por 
assim dizer, todos os milagres têm sido realizados por palavras... A 
questão das ciências mágicas devia ser profundamente investigada 
por homens competentes, providos de uma licença especial do 
Papa.... 
 
 
200
 
 
 Bacon enunciou os princípios essenciais da reforma do 
calendário, reconhecendo que o ano adotado de 365 dias e um 
quarto criava um erro de um dia em 130 anos. Submeteu a uma 
crítica penetrante as hipóteses arbitrárias e a complexidade artificial 
da astronomia ptolomaica; discutiu a reflexão e a refração, a 
aberração esférica, o arco-íris, os vidros de aumento e as estrelas 
cadentes. Atribuiu às marés a ação dos raios lunares. Num capítulo 
sobre geografia, pressupondo a forma redonda da Terra, chegou à 
conclusão de que o oceano situado entre a Europa e a costa oriental 
da Ásia não era muito largo. Isso foi citado por Colombo em 1498: 
É grato notar que o perseguido monge inglês, morto havia já dois 
séculos, pode prestar um poderoso auxílio na ampliação dos 
horizontes humanos. 
 A maior parte dessa notável obra – que só foi impressa quase 
500 anos mais tarde – levava tal adiantamento sobre a sua época 
que, além de não ser compreendida, expôs o autor a acusações de 
magia e até à prisão. A despeito de suas numerosas conquistas 
intelectuais acreditava na astrologia, na doutrina das “signaturas”, 
segundo o qual a forma e a cor das folhas e flores correspondiam à 
finalidade especial a que cada uma delas era destinada pelo Criador. 
Acreditava também na pedra filosofal e que a quadratura do círculo 
já fora conseguida. Profetizou a invenção de navios movidos por 
meios mecânicos e de carruagens sem cavalos. 
 Segundo Roger Bacon, nenhum conhecimento poderia ser 
adquirido fora da experiência e havia quatro grandes obstáculos para 
se conhecer a verdade: a autoridade frágil e indigna; o costume; a 
opinião do vulgo não instruído e o ocultamento da própria 
ignorância, com uma vã ostentação da sabedoria aparente. Roger 
Bacon pode ser considerado o fundador do método experimental. 
 
DANTE DANTE DANTE DANTE (1265 – 1321) 
 
 Dante Alighieri, o maior gênio poético da Idade Média, merece 
atenção não só por causa da sua influência, despertando e 
estimulando as inteligências da sua época e de tempos posteriores, 
mas também como autor de um trabalho Da Água e da Terra (De 
Aqua Et Terra) que, como ele próprio o diz, foi apresentado em 
Mântua no ano de 1320, como contribuiçãoao problema, então 
 
 
201
 
 
muito discutido, de “se em alguma parte da superfície da Terra a 
água é mais alta do que o solo”. 
 Em a Divina Comédia, o maior dos poemas medievais, Dante 
incorpora a astronomia geocêntrica e a astrologia do seu tempo. Em 
todo o mundo físico ou espiritual quase não há assunto importante 
que ele não tenha aprofundado e em que suas opiniões não sejam as 
mais autorizadas da época. 
 
ORESMEORESMEORESMEORESME (1323 – 1382) 
 
As séries infinitas eram 
conhecidas desde a antigüidade, 
e a primeira a ocorrer, como já 
vimos, foi uma série 
geométrica de razão ¼, que 
apareceu em a quadratura da 
parábola de Arquimedes. 
Depois dessa ocorrência as 
séries infinitas só apareceriam, 
cerca de 1500 anos mais tarde, 
no estudo de cinemática 
realizado por um grupo de 
matemáticos da universidade de Oxford e de outros centros. 
Na universidade de Paris, em particular, havia o professor Nicole 
Oresme, um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento 
tais como filosofia, matemática, astronomia, ciências físicas e 
naturais. Além de professor, Oresme era conselheiro do rei, 
principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelou-
se um homem de larga visão, recomendando medidas monetárias 
que tiveram grande sucesso na prática. 
 Foi ainda, deão da Catedral de Rouen e mais tarde, bispo de 
Lisieux, na Normandia. Traduziu Aristóteles, denunciou a astrologia 
como pseudo-ciência e seu ardente discurso sobre a reforma da 
Igreja foi útil aos protestantes 200 anos depois. 
 
 
 
 
 
 
202
 
 
 Oresme mantinha contato com o grupo de pesquisadores de 
Oxford e contribuiu no estudo de várias séries infinitas estudadas 
nessa época. Uma dessas, ∑
∞
=
=
1 2n
n
n
S , foi considerada, por volta de 
1350, por Richard Suiseth, mais conhecido em Oxford como 
Calculator. 
 A série surge a propósito de um movimento que se desenvolve 
durante o intervalo de tempo [0,1], da seguinte maneira: a 
velocidade permanece constante e igual a 1 durante a primeira 
metade do intervalo; dobra de valor no segundo subintervalo (de 
duração 1/4); triplica no terceiro subintervalo (de duração 1/8); 
quadruplica no quarto subintervalo (de duração 1/16), etc. Como se 
vê, a soma da série assim construída é a soma dos produtos da 
velocidade pelo tempo em cada um dos sucessivos subintervalos de 
tempo e representa o espaço total percorrido pelo móvel. 
 
v 
 
4 4 
 
3 3 
 
2 2 
 
1 1 
 
 
 ½ ¾ 1 t 1 
 
 
 Calculator encontrou o valor 2 para a soma através de um longo 
e complicado argumento verbal. Oresme, por outro lado, deu uma 
explicação geométrica bastante interessante ao observar que essa 
soma é igual a área formada com uma infinidade de retângulos 
verticais (ver figuras acima). 
 O raciocínio de Calculator combinado com a interpretação 
geométrica de Oresme, traduz-se no seguinte: a soma das áreas dos 
 
 
203
 
retângulos verticais é igual a soma das áreas dos retângulos 
horizontais. Isso é o mesmo que substituir o movimento original por 
uma sucessão infinita de movimentos, todos com velocidade igual a 
1: o primeiro no intervalo de tempo [0,1]; o segundo em [1/2,1]; o 
terceiro em [3/4,1], etc. Vê-se assim que o espaço percorrido (soma 
das áreas dos retângulos) é dado pela série geométrica ∑
∞
=
=
0 2
1
n
n
S , 
cuja soma é 2. 
A seguir alguns resultados inéditos de Oresme: 
 
• expoente racional 
 Em De proportionibus proportionum, escrito por volta de 1360, 
Oresme generalizou as notações de Bradwardine incluindo qualquer 
potência de expoente racional e regras para combinar proporções 
que são equivalentes às leis sobre expoentes, atualmente expressas 
como ( ) xx e mnnm == +nmnm xx.x . Sugeriu, ainda, a 
possibilidade de proporções irracionais e 2x (que ele se esforçou 
para definir) pode ser a primeira sugestão de uma função 
transcendente. 
 
• gráfico de funções 
 Um pouco antes de 1361, ocorre a Oresme a seguinte questão: 
por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual 
variam as coisas? Trata-se de uma sugestão antiga do que viria ser 
representação gráfica de funções. Tudo que é mensurável, escreveu 
ele, é imaginável na forma de quantidade contínua; por isso traçou 
um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com 
aceleração constante. Chamou o eixo horizontal (do tempo) de 
longitude e o vertical (das velocidades) de latitude. 
 C 
 
 
 
 
 
 
 A M B 
 
 
204
 
 
 Como a área do triângulo ABC representa a distância percorrida 
por um móvel, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica 
para a regra: velocidade média é a média aritmética entre as 
velocidades inicial e final. Do diagrama resulta, claramente, que a 
área na primeira metade do intervalo de tempo está para a área na 
segunda metade na razão de 1 para 3. Se subdividirmos o tempo em 
três partes iguais as distâncias cobertas (dadas pelas áreas) estão na 
razão 1:3:5. De modo geral, como Galileu mais tarde observou, as 
distâncias estão entre si como os números ímpares; e como a soma 
dos n primeiros números ímpares consecutivos é o quadrado de lado 
n, a distância total percorrida varia como o quadrado do tempo e 
essa é a lei de Galileu para os corpos que caem. 
 
• geometria analítica 
 Os termos latitude e longitude que Oresme usou, são equivalentes, 
num sentido amplo, às atuais ordenada e abscissa, e sua 
representação gráfica assemelha-se à geometria analítica, tendo se 
antecipado, portanto, a Descartes e Fermat na criação dessa 
disciplina. Parece que ele percebeu o princípio fundamental de se 
representar uma função de uma variável como uma curva, mas não 
soube usar, eficazmente, essa observação, a não ser no caso de 
função linear. 
 
• teorema fundamental do cálculo 
Oresme se interessava pelos seguintes aspectos do cálculo: 
o modo pelo qual a função varia (isto é, a equação diferencial da 
curva) e o modo pelo qual varia a área sob a curva (isto é, a integral 
da função). 
Desse modo antecipa-se também ao famoso teorema fundamental do 
cálculo, atribuído a Newton e Leibniz. 
 •••• A série harmônica 
Entre outras contribuições de Oresme às séries infinitas encontra-se 
a sua prova de que a série harmônica é divergente. Tratava-se de um 
feito inédito e definitivo. Atualmente ainda é usado exatamente o 
seu método. Em síntese, Oresme observou que: 
 
 
205
 
 
∑
∞
=
+++>++++=
==++>+++
==+++>+++
==+>+
1n 2
1
2
1
1
4
1
3
1
2
1
1
n
1
 modo, Desse
2
1
16
8
16
1
16
1
16
1
10
1
9
1
2
1
8
4
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
7
1
6
1
5
1
2
1
4
2
4
1
4
1
4
1
3
1
......
......
 
 Como a soma de um número infinito de parcelas iguais a 
2
1
cresce indefinidamente, a série harmônica diverge. 
 Essa prova mostrou como é decisivo o papel do raciocínio 
lógico para se estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta 
de outra maneira. 
 Na obra Tractatus de figuratione potentiarum et mensuararum, 
Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua 
“latitude de formas” em que uma função de duas variáveis 
independentes era representada como um volume formado de todas 
as ordenadas erigidas segundo uma regra, dada em pontos numa 
parte do plano de referência. Encontra-se até uma insinuação de uma 
geometria de quatro dimensões. 
 Os matemáticos durante o século XIV tinham imaginação e 
precisão de pensamento, porém, faltava-lhes técnicas algébrica e 
geométrica. Ao contrário dos gregos que tinham horror infiniti , os 
filósofos escolásticos do fim da Idade Média se referiam 
freqüentemente ao infinito, tanto como potencialidade, quanto como 
uma realidade. 
Situação da matemática no final do século XIVSituação da matemática no final do século XIVSituação da matemática no final do século XIVSituação da matemática no finaldo século XIV 
 As expectativas de progresso no século XIV foram frustradas 
por duas calamidades: a guerra dos cem anos (1337 – 1453), entre 
França e Inglaterra, e a peste negra, que começou em 1334 e, em 20 
anos, ceifou quase a metade da população da Europa. Assim, a 
produção matemática foi pequena e só se salvou devido à produção 
de alguns sábios, dentre os quais o grande destaque ficou com 
Nicole Oresme, como foi visto anteriormente. 
 
 
206
 
 
 Durante o século XIV verificou-se uma disseminação gradual e 
ininterrupta da erudição árabe, em grande parte por meio de 
almanaques e calendários, de maneira que se tornaram amplamente 
conhecidos o cômputo árabe, a geometria euclidiana e a astronomia 
ptolomaica. Alguns desses calendários tinham caráter 
predominantemente religioso, dando a incidência das festas da Igreja 
para uma série de anos; outros se especializavam em astrologia, 
medicina ou astronomia. 
 As principais aplicações da matemática relacionavam-se, 
portanto, com as necessidades bastante simples do comércio, da 
contabilidade e do calendário e para isso eram comuns as 
construções gráficas do arquiteto e do engenheiro militar ou, ainda, 
os senos e tangentes do astrônomo e do navegador. 
 Para fins eclesiásticos os numerais romanos eram preferidos, 
mas, em geral, essas publicações incluíam pelo menos uma 
explicação dos novos algarismos árabes e do seu uso. A aritmética 
árabe, ou algoritmo, baseada no Liber Abaci de Fibonacci, 
empregando a escala decimal e incluindo os elementos da álgebra, 
entrou em uso generalizado entre os mercadores italianos nos 
séculos XIII e XIV, embora encontrasse séria oposição. 
 Fora da Itália, entretanto, a contabilidade continuou ainda por 
muito tempo – até o século XVI – a ser feita em números romanos, e 
nas instituições religiosas e educacionais mais conservadoras, por 
mais cem anos depois disso. Em tais casos o cálculo propriamente 
dito era feito com o ábaco e o resultado expresso em numerais 
romanos. Os numerais indo-arábicos permitiam dispensar o ábaco. 
 O estagio da matemática nas universidades nessa época pode 
ser deduzido nos estudos que se exigiam para o grau de bacharel em 
Praga (1384) e Viena (1389), por exemplo. Com poucas diferenças, 
em ambas eram estudados a Esfera de Sacrobosco, os livros de I a 
VI de os Elementos de Euclides, aritmética, óptica, hidrostática, 
teoria de alavancas, perspectiva, divisão em partes proporcionais, 
astrologia, medições e uma versão atualizada do Almajesto.de 
Ptolomeu. 
 
 
 
 
 
 
207
 
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 
 
1. De que maneiras é provável que as cruzadas tenham ajudado 
ou prejudicado a transmissão da matemática do Islã para o 
mundo cristão? 
 
2. A Europa Ocidental em 1150 tinha contatos mais fortes com 
o mundo árabe ou grego? Qual tinha relativamente mais a 
oferecer em matemática? Dê razões para suas respostas. 
 
3. Considere os matemáticos: Euclides, Arquimedes, 
Apolônio, Diofanto, Boécio e al-Khowarizmi. Quais os três 
mais influentes na Europa de 1250? Dê razões. 
 
4. Prove que a cúbica de Fibonacci 20102 23 =++ xxx não 
tem raiz racional. 
 
5. Prove que a equação do exercício 4 não tem raiz da forma 
ba + em que ba e são racionais. 
 
6. Prove para uma subdivisão do intervalo de tempo em três 
partes iguais que a razão 1:3:5 de Oresme, para as distâncias 
percorridas está correta. 
 
7. Verifique os processos de Calculator e Oresme para 
encontrar a soma de cada uma das séries: ∑∑
∞
=
∞
= 1n
n
1 4
3n
 e 
2n
n
n
. 
 
8. Prove, usando o método de Oresme, que a série 
⋅⋅⋅+
−
+⋅⋅⋅++++
12
1
7
1
5
1
3
1
1
n
 é divergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
208
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
209
 
O RENASCIMENTOO RENASCIMENTOO RENASCIMENTOO RENASCIMENTO 
 
 
“Foi uma época que exigia gigantes e forjou gigantes pela força do 
pensamento, pela paixão e caráter, pela universalidade e erudição.” 
(Engels) 
 
 
 O renascimento foi caracterizado por profundas transformações 
ocorridas na vida e na visão de mundo do homem europeu. Os 
horizontes geográficos alargaram-se com o desenvolvimento da arte 
da navegação e as conseqüentes descobertas do caminho marítimo 
para as Índias, do continente americano e do circuito para uma volta 
completa pelo mundo. 
 A burguesia floresceu, as cidades dedicadas ao comércio 
internacional enriqueceram e a economia européia deixou de 
gravitar dentro das limitações dos feudos medievais. A 
personalidade individual despertou e os artistas encontraram novos 
meios de expressão. Os pintores não mais representavam as 
principais personagens do drama humano, descarnadas e inseridas 
dentro de um mesmo pano de fundo dourado como no estilo 
bizantino da Idade Média. Os grandes da época passaram a ser 
retratados com feições de homens de carne e osso e integrados em 
paisagens naturais, cheias de montanhas, rios, árvores e flores. 
 A natureza, revalorizada, era mostrada como fonte de vida e 
beleza e não mais como o perigoso mundo material, ocasião de 
pecado. Os músicos substituíam os sons monocórdicos do cantochão 
religioso pelas novas tonalidades do madrigal amoroso e cortesão, 
prenunciando a polifonia barroca 
 Paralelamente, as regas da vida cristã estavam enfraquecidas e 
os rigores da moral agostiniana não eram mais obedecidos com tanta 
severidade. A verdade é que os homens estavam se relacionando 
dentro de novas coordenadas e a visão do mundo não mais poderia 
seguir a orientação teocêntrica, que prevalecera durante séculos na 
Idade Média. Como conseqüência, engendraram-se transformações 
significativas no pensamento científico e filosófico. Maquiavel 
(1469 – 1527) fundou uma nova ciência dos assuntos políticos, 
desvinculando-a de preocupações morais e religiosas. Erasmo 
(1465 – 1536), Thomas More (1478 – 1535) e outros humanistas 
 
 
210
 
 
renovaram o estudo dos textos antigos e defenderam o homem como 
ser capaz de criar seu próprio projeto de vida. 
 Montaigne (1533 – 1592) expressou o advento do 
individualismo do homem moderno e desenvolveu uma atitude 
cética diante do mundo. O retorno à antiguidade faz ressurgir 
filosofias esquecidas, quando não condenadas, como o estoicismo, o 
materialismo e o neoplatonismo. Uma nova orientação foi dada ao 
estudo de Aristóteles. 
 A religião sofreu abalos profundos e cada vez mais se 
questionava a possibilidade de fundamentá-la racionalmente através 
da estrutura conceitual aristotélica. Surgiram as filosofias místico-
religiosas de Agrippa Von Nettesheim (1468 – 1535), Paracelso 
(1493 – 1541) e Jakob Bohme (1575 – 1624) e eclodiu a reforma de 
Lutero (1483 – 1546) e Calvino (1509 – 1564). 
 A revalorização do humano e da vida natural e presente incluía 
o interesse pela natureza: o que antes era visto como mero local de 
tentações para uma alma que aspirasse a recompensas noutro 
mundo, torna-se objeto de conhecimento científico. Em 
conseqüência, desenvolveram-se tentativas de estudo experimental 
dos fenômenos – esboçadas desde o século XIII nas Universidades 
de Paris e Oxford (ver Roger Bacon). Esse tipo de investigação 
ganharia contornos definidos com os trabalhos científicos de 
Leonardo da Vinci e de outros pensadores, a prenunciar a física de 
Galileu e Newton, desenvolvidas no século XVII. Copérnico 
formulou a célebre teoria heliocêntrica, Tycho Brahe fez 
observações precisas sobre o movimento dos astros e Kepler 
preparou o caminho para a descoberta da lei da gravitação universal 
de Newton. 
 Todas essas transformações não se fizeram sem conflitos 
profundos, pois significavam, de maneiras diversas, a derrocada de 
uma ordem espiritual, social e econômica, que há séculos constituía 
o cerne da vida européia. Os setores tradicionais ameaçados, a Igreja 
por exemplo, reagiram e enfrentaram as inovações, às vezes com 
violência, condenando e levando até à morte alguns representantes 
da nova mentalidade. Foi o que aconteceu, só paracitar os mais 
famosos, com Roger Bacon, Giordano Bruno e Galileu. 
 
 
 
 
211
 
O renascimento científicoO renascimento científicoO renascimento científicoO renascimento científico 
 
 Como já foi visto anteriormente o desenvolvimento de uma 
classe social em ascensão – no caso a burguesia – gera necessidades 
materiais e espirituais, que somente podem ser satisfeitos pela 
atividade prática e não apenas pela especulação abstrata ou pelas 
divagações epistemológicas. O prodigioso desenvolvimento das 
ciências foi a característica dos séculos do renascimento. 
 Essa atividade prática manifestou-se em particular, no domínio 
das invenções e descobertas científicas, na física, na química, na 
astronomia e no estudo da anatomia e fisiologia humanas. No 
terreno das invenções da época, tem-se o astrolábio, a bússola, os 
relógios, o aperfeiçoamento das cartas geográficas, a pólvora e, 
finalmente, o microscópio. 
 Na astronomia, não encontramos apenas um progresso, mas 
uma verdadeira revolução de extraordinário alcance científico e 
filosófico. 
 
NICOLAU DE CUSANICOLAU DE CUSANICOLAU DE CUSANICOLAU DE CUSA (1401 – 1464) 
 
 Nicolau de Cusa, bispo de Brixen, escreveu De docta 
ignorantia, em que afirmava que sendo o Universo, infinito em 
extensão, não poderia possuir centro e que a Terra seria animada de 
um movimento de rotação diurna: É hoje evidente que a Terra na 
verdade se move, embora não o notemos imediatamente, pois só 
podemos perceber o movimento pela comparação com algo que 
permanece imóvel. 
 Na matemática seguia a orientação de Euclides e Arquimedes, 
colaborando na tradução desse último do grego para o latim e 
tratando da quadratura do círculo. Tentou construir com régua e 
compasso um círculo de área igual a um quadrado dado, 
encontrando para π diversos valores pouco exatos. 
 Nicolau organizou um mapa do mundo então conhecido, 
empregando a projeção central. Diz-se que ele determinava áreas de 
perímetro irregular pelo método, então novo, de recortá-las num 
mapa de cartão para depois pesá-las. 
 Foi um dos primeiros a salientar a importância da 
experimentação em todas as investigações. Revelava um 
 
 
 
212
 
pensamento independente, mas suas teorias astronômicas eram 
tão pouco desenvolvidas – e tão especulativas – que não podiam 
constituir verdadeiro progresso numa época ainda não preparada 
para recebê-las. 
 
 PEURBACH PEURBACH PEURBACH PEURBACH (1423 – 1461) 
 
 George Von Peurbach ou Purbach, que em sua mocidade 
conhecera Nicolau de Cusa em Roma, tornou-se professor de 
astronomia e matemática em Viena e tem sido chamado “o 
fundador, no Ocidente, da astronomia matemática baseada na 
observação”. 
 Reconhecendo a imperfeição das “tabelas” em uso, publicou 
uma nova edição do Almajesto com tábuas de senos naturais ao 
invés de corda, calculados com diferenças de dez minutos. Suas 
principais fontes eram, no entanto, imperfeitas traduções árabes. 
 
REGIOMONTANUS REGIOMONTANUS REGIOMONTANUS REGIOMONTANUS (1436 – 1476) 
 
 O mais eminente discípulo e sucessor de Purbach, Johann 
Müller de Königsberg, na Baviera, conhecido como Regiomontanus, 
foi o mais ilustre homem de ciência da sua época. Quanto ao seu 
nome, basta observar que a tradução latina de Königsberg é 
Regiomontanus, ou seja, montanha do rei. 
 Após a queda de Constantinopla, foi o primeiro a valer-se da 
oportunidade para buscar conhecimento, mais diretamente, nas obras 
de Arquimedes, Apolônio e Diofanto. Suas tábuas, publicadas em 
1475, revestiram-se de importância não só para a astronomia, mas 
para as viagens de descobrimentos de Vasco da Gama, Vespúcio e 
Colombo. 
 Essas tábuas abrangiam o período de 1473 a 1560, dando os 
senos de cada minuto de arco, as longitudes do sol e da lua, as 
latitudes da lua e uma lista de eclipses previstos para o período 1475 
– 1530. Uma outra obra, que tratava de astrologia, possuía uma 
tábua de tangentes naturais para cada grau. 
 O seu De Triangulis foi o primeiro tratado moderno de 
trigonometria. Dos cinco livros que o constituíam, quatro são 
consagrados à trigonometria plana e o restante à esférica. Resolveu 
 
 
 
213
 
triângulos mediante três dados, fazendo uso de senos e cossenos 
e empregando com êxito as equações do segundo grau e algumas de 
suas soluções. Um dos problemas colocados por Regiomontanus foi 
o seguinte: determinar um triângulo sendo dadas a diferença entre 
dois lados, a perpendicular à base e a diferença dos dois segmentos 
em que essa é dividida; isto é: sendo conhecidos 
AcosbBcosaasenB,ba −− e encontrar a, b, c, A, B, C. Outro 
problema pede para construir, partindo de quatro retas dadas, um 
quadrilátero que possa ser inscrito num círculo. Sua notação, 
todavia, deixava um pouco a desejar. 
 Um rico mercador de Nuremberg construiu para 
Regiomontanus, um observatório muito bem aparelhado e com o 
prelo que ali se fundara há pouco tempo, tornou-se o mais 
importante da Alemanha. No entanto, tendo aceito um convite para 
ir a Roma, tratar da reforma do calendário, acabou morrendo na 
cidade eterna aos quarenta anos. 
 
Condições necessárias ao progressoCondições necessárias ao progressoCondições necessárias ao progressoCondições necessárias ao progresso 
 
 Os gênios de Hiparco e de Ptolomeu levaram ao apogeu a 
astronomia grega. Embora aqui e além, a hipótese heliocêntrica 
tenha sido adotada, não havia mais condições de progresso enquanto 
não se cumprissem três importantes requisitos. 
 Em primeiro lugar, dependia-se de melhores instrumentos 
astronômicos e de observações mais exatas, abrangendo longos 
períodos. Segundo, necessitava-se aperfeiçoar os métodos de cálculo 
para corrigir e interpretar essas observações. Terceiro, cumpria que 
as idéias sobre os fatos fundamentais e as leis do movimento se 
tornassem muito mais claras. 
 Essas condições foram preenchidas uma após outra durante os 
séculos XVI e XVII, por uma extraordinária plêiade de homens de 
gênio, entre os quais sobressaíram Copérnico,Tycho Brahe, Kepler, 
Galileu e Newton. 
 Copérnico e Kepler interessaram-se mais pelo aspecto 
matemático e teórico, Tycho Brahe foi um grande observador e 
Galileu uniu a habilidade de observador e experimentador e fez uma 
nova apreciação das leis físicas. 
 
 
 
 
214
 
 Newton, edificando sobre os alicerces lançados pelos 
outros, realizou uma síntese magnífica dos resultados por eles 
alcançados, criando uma teoria matemática racional e coerente do 
sistema solar. 
 
COPÉRNICO COPÉRNICO COPÉRNICO COPÉRNICO (1473 – 1543) 
 
Nicolau Copérnico nasceu em Thorn na 
Polônia, às margens do Vístula, e, como 
tivesse parentes na Igreja, preparou-se para 
seguir a carreira eclesiástica. Isso o 
conduziu, após estudos de medicina feitos 
em Cracóvia, à universidade de Viena e 
posteriormente às principais universidades 
italianas, Bolonha, Pádua, Ferrara e Roma, 
onde teve ocasião de cultivar o seu talento 
para a matemática e de assimilar tudo o que 
então se sabia de astronomia Em 1497 
tornou-se cônego em Frauenburg, no seu país natal e de 1512 até a 
sua morte, ali viveu desempenhando vários cargos públicos e 
exercendo gratuitamente, quando necessário, a arte médica que 
também aprendera. 
Apesar disso tudo, ainda encontrava tempo para se dedicar aos 
estudos astronômicos. 
 Estudando os autores clássicos, soube que certos filósofos 
pitagóricos explicavam o fenômeno do dia e da noite, bem como os 
movimentos anuais dos corpos celestes, supondo que a Terra girava 
em torno do seu eixo ao mesmo tempo que possuía um movimento 
de translação. 
 Na apresentação de sua grande obra, De Revolutionibus Orbium 
Coelestium (As revoluções dos corpos celestes), dedicada ao Papa, 
diz ele: empreendi a tarefa de reler todos os livros de grandes 
filósofos a que pudesse deitar a mão para ver se alguém sustentara 
a opinião de que os movimentos dos corpos celestes fossem outros 
que não os postulados por aqueles que ensinavam matemática nas 
escolas. E, comefeito, descobri primeiro, em Cícero, que Hicetas 
acreditara no movimento da Terra; e mais tarde, em Plutarco, 
verifiquei que alguns outros eram dessa mesma opinião... 
 
 
 
215
 
 
 Partindo daí, comecei a considerar a mobilidade da Terra; e, 
embora a idéia parecesse absurda, como eu soubesse que antes de 
mim fora concedida a liberdade de imaginarem toda sorte de 
pequenos círculos para explicar os fenômenos das estrelas, 
pareceu-me que talvez me fosse permitido, pela suposição de que a 
Terra fosse dotada de algum movimento, tentar alcançar conclusões 
mais fundamentadas que as de meus antecessores com respeito às 
revoluções dos corpos celestes. 
 Copérnico não foi um grande observador astronômico. Seus 
instrumentos eram medíocres, não tinha bons olhos e na região onde 
trabalhava não eram comuns as noites de céu claro. Foram poucas as 
observações que registrou, dizendo respeito, sobretudo, a eclipses e 
oposições de planetas, sem acusarem um grau elevado de exatidão. 
 Seus interesses e seu gênio dirigiam-se antes à análise profunda 
e à cuidadosa revisão matemática da teoria geocêntrica corrente, que 
permanecera praticamente inalterada desde a sua formulação por 
Ptolomeu, treze séculos antes. 
 As condições da época não permitiam que se desse publicidade 
a uma inovação tão radical como a teoria heliocêntrica do sistema 
planetário; nem estava Copérnico muito interessado em publicar os 
resultados a que chegara, pois era ao mesmo tempo indiferente à 
fama e inimigo de controvérsias. Na mesma dedicatória diz ele: o 
desdém que eu tinha a recear, devido à novidade e a aparente 
absurdidade das minhas idéias, quase me levou a abandonar de 
todo a obra iniciada. 
 Sentia, além disso, a inutilidade de publicar as suas teorias 
revolucionárias enquanto não tivesse um modelo de sistema 
planetário, tão perfeitamente organizado, que se tornasse evidente 
sua superioridade em relação ao sistema ptolomaico, entrincheirado 
na tradição milenar. 
 Um trabalho hercúleo, conquanto agradável, e foi assim que 
elaborou, pouco a pouco, o sistema em manuscrito, e em 1529 
publicou um Commentariolus em que dava um esboço da sua teoria, 
que assim foi gradualmente tornando-se conhecida pelos homens de 
ciência, embora de forma bastante vaga. 
Dez anos depois, George Joachim Rheticus (1514 – 1573), jovem 
professor de matemática da universidade luterana de Wittenberg, 
visitou Copérnico, ávido de conhecer melhor a nova doutrina. A 
 
 
216
 
 
igreja luterana não era mais tolerante do que a católica para com as 
novidades científicas, e o próprio Lutero qualificava Copérnico de 
imbecil. 
De Revolutionibus foi publicada em 1543, sendo que antes, em 
1540, apareceu a Narratio Prima de Rheticus, com muita mistura de 
astrologia. Segundo se diz, um exemplar foi ter às mãos de 
Copérnico quando se achava em seu leito de morte. 
 Copérnico iniciou o livro com alguns postulados; primeiro que 
o Universo era esférico; segundo que a Terra também era esférica; 
terceiro, que os movimentos dos corpos celestes são movimentos 
circulares uniformes ou compostos de tais movimentos. Deu 
fundamental importância ao caráter relativo dos movimentos 
implicados. 
 Assim, a revolução diária do Sol, da Lua e das estrelas em torno 
de uma Terra fixa, teria o mesmo efeito aparente que a rotação da 
Terra no sentido oposto, em volta do seu eixo, e o movimento anual 
 
 
217
 
 
aparente do Sol em redor da Terra equivale a um movimento de 
translação dessa, segundo uma órbita determinada. 
 Não teve receio, pois, de afirmar que a Terra, com a Lua a 
rodeá-la, percorria um grande círculo em seu movimento anual entre 
os planetas, em torno do Sol. O Universo, contudo, seria tão vasto 
que as distâncias dos planetas ao Sol se tornariam insignificantes 
quando comparadas à esfera das estrelas. Copérnico afirmou ser isso 
muito mais fácil de compreender do que da outra forma, com a Terra 
no centro do Universo. 
 Sua adesão à hipótese grega do movimento circular uniforme o 
fez conservar um complexo sistema de epiciclos, chegando a 34, 
contra os 79 de Ptolomeu, que foi suficiente para explicar toda a 
arquitetura do Universo e a dança dos planetas. 
 Copérnico fez da trigonometria todo o uso que sua obra requer, 
procedendo também a uma revisão do catálogo estelar de Ptolomeu. 
Fez um cálculo bastante exato da precessão dos equinócios e a 
interpretou corretamente, como devida a um lento movimento 
cônico do eixo da Terra, como o de um pião quando começa a parar. 
 Estimou, ainda, os tamanhos relativos da Lua, da Terra e do Sol 
como de 1 : 43 : 6937, e a distância da Terra ao Sol (segundo o 
método de Aristarco) em 1200 raios terrestres, isto é, mais ou menos 
1/20 da verdadeira distância. 
 Por mais revolucionárias que fossem as teorias de Copérnico, 
não surgiam revestidas de uma forma suficientemente popular, para 
provocarem controvérsias imediatas ou generalizadas. Dedicando 
sua obra ao Papa, diz Copérnico: a matemática é escrita para os 
matemáticos, a quem, se minha opinião não me ilude, nossos 
trabalhos parecerão contribuir de certo modo para o ministério 
eclesiástico, cujo posto supremo Vossa Santidade ocupa 
atualmente; pois não há muito, sob Leão X, a questão de rever o 
calendário eclesiástico foi discutida e continuou sem solução, 
simplesmente porque se considerava que a duração dos anos e dos 
meses e os movimentos do Sol e da Lua ainda não se achavam 
suficientemente determinados... Mas, quanto ao que eu possa ter 
realizado aqui, deixo-o ao julgamento de Vossa Santidade em 
particular, assim como ao de todos os outros sábios matemáticos... 
 
 
 
 
218
 
 
 
Influência de Copérnico 
 
 A publicação da De Revolutionibus era, naturalmente, um 
poderoso estímulo para os estudos matemáticos e astronômicos. 
Assim Rheticus, cujas relações com Copérnico tinha sido tão 
fecundas, organizou uma nova e rica coleção de tábuas matemáticas, 
enquanto Erasmo Reinhold (1511 – 1553), que saudara Copérnico 
como um novo Ptolomeu, publicou em 1551, baseando-se na obra 
de Copérnico, algumas tábuas astronômicas – as chamadas 
“prutênicas” ou “prussianas” – superiores às que estavam em vigor. 
 Antes que a nova doutrina pudesse ser completamente 
demonstrada ou refutada seria necessário esclarecer certos conceitos 
de mecânica e reunir sistematicamente dados de observação mais 
exatos. 
 
GIORDANO BRUNOGIORDANO BRUNOGIORDANO BRUNOGIORDANO BRUNO (1548 – 1600) 
 
Giordano Bruno, nascido em Nola perto de 
Nápoles, não foi certamente um astrônomo, 
nem tampouco um físico ou um matemático. 
Mas, nessa época, a astronomia apresentava-
se solidária com a física e ambas vinculavam-
se estreitamente à cosmologia. Por uma 
intuição genial, antecipando-se às descobertas 
telescópicas de Galileu, Bruno apreende o 
infinitismo essencial da nova astronomia e 
opõe-se à visão medieval de um cosmo 
ordenado e finito, visão essa que, embora 
modificada, domina ainda o pensamento de um Copérnico e mesmo 
de um Kepler. Em suas obras De l’infinito universo e mondi 
(universo infinito) de 1584 e De innumerabili, immenso e 
infigurabili (imenso e não inumerável) de 1591, expõe as famosas 
teses de que o cosmo estaria povoado de uma infinidade de 
“mundos” semelhantes ao nosso. 
 Foi essa visão, acompanhada de uma violenta critica ao 
aristotelismo, que ele pregou através da Europa com o ardor de um 
apóstolo e foi por ela que pagou com a própria vida. 
 
 
219
 
 
 
 Em 1584, Bruno já apresentou uma exposição e uma defesa da 
astronomia copernicana, onde enriqueceu e transformou as idéias de 
seu mestre, aplicando de forma notavelmente inteligente as noções 
elaboradas pela nova física. 
 No mundo de Bruno ou, mais exatamente, no seu universo, não 
podem existir lugares privilegiados nem direção determinada em si 
própria. O alto e o baixo são apenas noções relativas; e quanto ao 
“centro do mundo”, esse carecia de algum sentido: o centro está em 
toda parte, e não está em parte alguma. Por isso oshabitantes dos 
outros astros têm tanto direito quanto nós de se considerarem no 
centro. 
 O próprio Sol perdeu seu lugar e seu papel privilegiado, não 
passando, o centro de nossa “máquina”, de uma estrela entre outras 
inumeráveis estrelas que são sóis análogos ao nosso. Bruno via o 
universo como um sistema em permanente transformação, no qual, 
como já afirmava Heráclito de Éfeso, todas as coisas são e não são 
ao mesmo tempo. 
 O mundo não era, como pretendia o aristotelismo, uma estrutura 
hierarquizada na qual o movimento seria comandado, em última 
instância, pelo estático. Ao contrário, o universo seria um todo no 
qual nada é imóvel, nem mesmo a Terra e Copérnico confirmara 
com o seu heliocentrismo. 
 O movimento de todas as coisas, contudo, não seria de natureza 
puramente mecânica, como se o mundo fosse um jogo de partículas 
móveis, cujo deslocamento e cujos entrechoques resultariam de um 
movimento inicial comunicado por um ser superior. O movimento, 
para Bruno, seria da natureza dos seres vivos e todas as coisas 
possuiriam um princípio anímico, que as colocariam em permanente 
transformação. 
 Giordano Bruno, doutor em teologia, clérigo dominicano, 
passou por várias universidades européias – Oxford, Sorbone, etc – 
divulgando suas várias obras e ensinando astronomia, técnicas de 
memorização, filosofia, magia e metafísica. Nunca permanecia 
muito tempo num lugar, devido à grande disputa que travava com os 
doutores dessas instituições. 
 A perseguição de Bruno pela Igreja começou muito cedo, já no 
convento de Nápoles. Viveu um longo exílio até que regressou à 
 
 
220
 
 
 
Itália com esperança de reintegrar-se à igreja, mas em maio de 1592, 
foi preso e entregue ao tribunal do santo ofício em Veneza. 
 Iniciado o processo, em 03 de julho de 1592, Bruno declarou 
estar arrependido de todos os erros que porventura tivesse cometido 
e pronto para reorientar toda sua vida. Nesse ponto o processo 
poderia ter-se encerrado com a absolvição, mas o papa não o 
permitiu e fez com que o processo passasse ao tribunal do santo 
ofício em Roma. 
 Em janeiro de 1593, Bruno foi entregue às autoridades romanas 
e encarcerado durante sete anos, ao fim dos quais foi condenado à 
morte na fogueira, juntamente com suas obras consideradas 
heréticas. No dia 17 de fevereiro de 1600, Giordano Bruno foi 
executado no campo das flores. Desse modo, o final do século XVI 
foi iluminado pelas chamas do martírio. 
 Ainda hoje fica-se perplexo em face da ousadia e do 
radicalismo do pensamento de Bruno que, em toda a parte, opõe o 
infinitismo do intelecto ao finitismo da razão aristotélica e que 
operou uma transformação revolucionária na imagem tradicional do 
mundo e da realidade física. 
 Infinidade do universo, unidade da natureza, geometrização do 
espaço, levariam em seu séquito à relatividade do movimento; o 
cosmo medieval não mais existia, explodiu e sumiu no vazio, 
arrastando consigo a física de Aristóteles e deixando o lugar livre 
para a nova ciência de Galileu, Descartes e Newton. 
 
TYCHO BRAHETYCHO BRAHETYCHO BRAHETYCHO BRAHE (1546 – 1601) 
 
Tycho Brahe, de uma família de nobres 
dinamarqueses, dedicou-se à primeira grande 
necessidade da nova astronomia copernicana, 
ou seja, obter dados adequados e exatos. 
Enquanto estudava na universidade de 
Copenhague o interesse pela astronomia foi-
lhe despertado por um eclipse e mais tarde, 
em Leipzig, deu continuidade à sua nova 
vocação o tempo que, segundo as idéias da 
época, deveria consagrar a outros assuntos 
 
 
221
 
mais dignos de um homem rico e bem-nascido. 
 Ali também iniciou o trabalho de toda a sua vida, que consistiu 
em obter e aperfeiçoar os melhores instrumentos para observações 
astronômicas, ao mesmo tempo que lhes verificava e corrigia os 
erros. 
 Regressando à Dinamarca de suas viagens pela Alemanha, a 
predileção que nutria pela astronomia, foi poderosamente estimulada 
pelo aparecimento, na constelação de Cassiopéia, em novembro de 
1572, de uma brilhante estrela nova que se manteve visível durante 
16 meses. A grande importância atribuída a esse fenômeno por 
Tycho e seus contemporâneos deveu-se ao fato de construir ele uma 
prova contra a doutrina aristotélica da imutabilidade dos céus, pois 
suas meticulosas observações demonstravam de maneira cabal que a 
estrela estava mais distante do que a Lua e não participava dos 
movimentos planetários. 
 Em 1575, durante uma viagem, Tycho obteve um exemplar do 
Commentariolus de Copérnico e no ano seguinte recebeu do rei 
Frederico II a ilha de Hveen, com recursos para a manutenção de um 
observatório. Quanto àquele pequeno livro, sua opinião era que o 
sistema de Ptolomeu é complicado demais e o novo sistema 
proposto por Copérnico, seguindo as pegadas de Aristarco de 
Samos, embora nada houvesse de contrário aos princípios 
matemáticos, achava-se em oposição aos físicos, pois a Terra pesada 
e lenta seria incapaz de mover-se e o sistema desmentia até a 
autoridade da Escritura”. 
 
Uraniborg 
 
 O observatório de Uraniborg em Hveen – o castelo dos céus – 
era um estabelecimento extraordinário. Num amplo recinto de forma 
quadrada, orientado segundo os pontos cardeais, foram reunidos 
vários observatórios, uma biblioteca, um laboratório, salas de 
repouso e, mais tarde, oficinas, uma fábrica de papel, um prelo e até 
observatórios subterrâneos. Tudo isso era administrado com pródiga 
extravagância, não sendo Tycho nem muito zeloso das suas 
obrigações nem isento de certa arrogância arbitrária em suas 
relações pessoais ou de serviço. 
 A despeito dessas dificuldades, durante nada menos de 21 anos 
levou avante uma série magnífica de observações, que muito 
 
 
222
 
 
transcendia em extensão e exatidão tudo quanto fora realizado pelos 
seus antecessores. 
 Empenhado como estava em alcançar a maior exatidão possível, 
Tycho construiu instrumentos de grandes dimensões como, por 
exemplo, um quadrante de madeira para uso ao ar livre com uma 
escala de bronze de cerca de três metros de raios, permitindo a 
leitura de frações de minuto. 
 Um quadrante azimutal de bronze, menor, porém mais 
prestimoso, dava os ângulos com aproximação de um minuto. 
Possuía também um globo de cobre, construído com grande 
dispêndio, que tinha cuidadosamente marcadas na sua superfície as 
posições de cerca de um milhar de estrelas. 
 Em 1577, Tycho Brahe pode observar um brilhante cometa, 
fazendo importantes deduções teóricas, isto é, que ao invés de ser 
um fenômeno atmosférico, o cometa se encontrava pelo menos três 
vezes mais afastado que a Lua e girava em torno do Sol. Foi até 
levado, na discussão das aparentes irregularidades do seu 
movimento, a insinuar que ele poderia mover-se numa órbita oval – 
prenunciando assim um dos grandes descobrimentos de Kepler. 
 De acordo com a opinião corrente da época, os cometas eram 
formados pelos pecados e pela maldade humana que subiam da 
Terra, se condensavam sob a forma de uma espécie de gás que a 
cólera divina inflamava. Essa matéria venenosa torna a cair sobre as 
cabeças dos homens, causando toda a sorte de malefícios, como a 
peste, os franceses (!?), a morte súbita, o mau tempo, etc. 
 Onze anos depois, Tycho publicou um volume sobre o cometa, 
como parte de um extenso tratado astronômico que, entretanto, 
jamais se completou. Em 1599 aceitou o convite do Imperador 
Rodolfo para que se estabelecesse em Praga. Ali tornou a organizar 
um corpo de auxiliares, incluindo, com grande vantagem para ele e 
para a sua ciência, o jovem Kepler – mas o progresso dos trabalhos 
foi prematuramente cerceado pela sua morte aos 55 anos. 
 Os principais serviços prestados por Tycho ao avanço da 
astronomia consistiram, em primeiro lugar, na superior exatidão dos 
seus instrumentos e observações, repetidas várias vezes, acrescida 
da correção sistemática dos erros; segundo, pelo prolongamento 
dessas observações durante muitos anos. 
 
 
 
223
 
KEPLER KEPLER KEPLER KEPLER (1571 – 1630) 
 
JohannesKepler nasceu em Weilderstadt de 
pais protestantes cuja situação econômica era 
aflitiva, aliás, toda a sua existência foi uma 
luta com a pobreza, a má saúde e a 
adversidade. Em 1594, abandonou o estudo 
de teologia, embora com certa hesitação, 
pois sua aceitação da nova hipótese de 
Copérnico o desqualificava para isso, e foi 
nomeado livre-docente de matemática em 
Gratz. Eram poucos os alunos e entre seus 
deveres estava incluída a confecção de um 
almanaque que deveria conter, além da matéria comum dos 
almanaques, previsão do tempo e informações astrológicas. A mãe 
astronomia, dizia ele, passaria fome fatalmente se a filha astrologia 
não ganhasse o sustento de ambas. 
 Tendo tomado grande interesse pela astronomia, houve três 
coisas em particular que submeteu a diligentes pesquisas, a saber, o 
número, o tamanho e o movimento dos corpos celestes, procurando 
as razões de serem elas como eram e não de outro modo. 
 O primeiro resultado que lhe pareceu importante, foi uma 
espécie de tosca correspondência entre as órbitas planetárias e os 
cinco sólidos regulares, publicada em 1596 sob um título que pode 
ser abreviado em Mistério Cosmográfico. 
 Kepler, devido à sua difícil situação como protestante em Gratz, 
aceitou o cargo de assistente de Tycho Brahe, em Praga, e quando 
esse morreu, em 1601, herdou a grande massa de dados brutos, por 
eles obtidos, sobre as posições dos planetas em vários intervalos de 
tempo. Kepler trabalhou incessantemente sobre esse material por 20 
anos, e finalmente conseguiu com brilho ímpar tirar deles suas três 
leis do movimento planetário. Essas leis constituem o clímax de 
milhares de anos de astronomia puramente empírica: 
• A órbita de cada planeta é uma elipse, sendo que o Sol está num 
dos focos. 
 
• A linha que une um planeta ao Sol 
varre áreas iguais em tempos iguais. 
 
Sol 
 
 
224
 
 
• O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional 
ao cubo do semi-eixo maior da órbita elíptica do planeta. Isto é, se T 
é o tempo que um planeta gasta para completar uma revolução ao 
redor do Sol, a é o semi-eixo maior mostrado na figura, a razão 
3
2
a
T
 é a mesma para todos os planetas do sistema solar. 
 Esses resultados foram publicados em 1609, como parte dos 
Comentários sobre os movimentos de Marte. O que deve ser 
observado é que essas leis são conseqüências dos estudos de Kepler 
referentes à Terra e Marte e que depois generalizou para os outros 
planetas. 
 As leis de Kepler eram empíricas que se ajustavam aos dados de 
observações reais; porém ele não tinha idéia se eram 
matematicamente verdadeiras e se poderiam estar relacionadas entre 
si. Em poucas palavras, não havia uma teoria, a priori, para fornecer 
um contexto em que essas leis pudessem ser compreendidas. 
 O grande passo que restava dar seria mostrar que as três leis não 
são independentes e empíricas, e sim, conseqüências matemáticas de 
uma só lei mecânica, mas esse passo estava reservado ao gênio de 
Newton. 
 As idéias de Kepler com respeito à força e ao movimento eram 
ainda bastante simples. Reconhecia a necessidade de uma força 
exercida pelo Sol, mas supunha-a inversamente proporcional, não ao 
quadrado, mas à própria distância do Sol ao outro astro considerado. 
 Retomando mais tarde a orientação do seu Mistério 
Cosmográfico, publicou em 1619 a harmonia do mundo, em que se 
encontrava a terceira lei vista anteriormente. 
 A última obra importante publicada por Kepler em 1627, as 
suas Tábuas Rodolfinas, trazia as suas próprias conclusões e as 
alcançadas, um pouco antes, por Tycho Brahe. Esse livro foi um 
clássico por mais de cem anos. É digno de nota que durante os seus 
trabalhos, na confecção dessas tábuas, estava ocorrendo uma 
revolução nos métodos de cálculo graças à introdução dos 
logaritmos por Napier e Bürgi. 
 Foi um dos mais diligentes incentivadores da novel arte de 
calcular por meio de logaritmos. Causou-lhe profunda impressão a 
obra de Napier, que veio a ter às suas mãos em 1619. Outra 
 
 
225
 
 
contribuição para a matemática foram os seus trabalhos sobre as 
grandezas harmônicas consideradas em relação com a geometria 
plana e espacial, o que conduziu ao estudo de polígonos e poliedros 
estrelados. 
 Kepler deve ser lembrado também, por seu Dioptrice (1611), 
contendo um estudo matemático da refração e das diferentes formas 
do recém-inventado telescópio. Em seu conjunto, esse livro formou 
a base da óptica moderna. Desenvolveu o autor a primeira teoria 
correta da visão: ver significa sentir a estimulação da retina, que é 
tingida com raios coloridos do mundo visível. O quadro deve ser, 
pois transmitido ao cérebro por uma corrente mental e deposto na 
sede da faculdade visual. Supôs que a cor dependia da densidade e 
da transparência e que a refração se devia à maior resistência dos 
meios densos. Admitiu também que a velocidade da luz era infinita. 
 Procurando resolver as dificuldades com a hipótese das órbitas 
elípticas, Kepler viu-se logo às voltas com o problema de determinar 
o comprimento de uma elipse. Deu a aproximação )ba( +π , em 
que a e b são os semi-eixos. Isso é certo para o círculo, em que 
a = b, e bastante aproximado quando a e b são quase iguais, o que 
sucedia com a maioria das órbitas planetárias. 
 Interessando-se pelos métodos em uso para medir a capacidade 
dos tonéis de vinho, publicou em 1615 a sua nova Stereometria 
Doliorum Vinariorum (medidas de volumes de barris de vinho) em 
que determinava o volume de muitos sólidos limitados por 
superfícies de revolução. Distinguiu 93 diferentes sólidos de 
revolução, dando nomes de frutas a alguns deles: maçã, pera, limão, 
etc. 
 Kepler, rompeu com o rigor arquimediano, não utilizando o 
método de exaustão. Dividia a sua figura plana ou o seu sólido em 
secções indivisíveis, determinava a área de cada secção e depois 
encontrava a soma. O círculo, por exemplo, compunha-se de uma 
infinidade de triângulos com um vértice no centro e os outros dois 
sobre a circunferência; analogamente, a esfera consistia numa 
infinidade de pirâmides. 
 Foram encontrados nos seus livros vários exemplos de 
integração e somas de séries infinitas, no entanto carecia de um 
sistema adequado de coordenadas, de um conceito bem definido de 
limite e de um método eficaz de somar os termos de uma série. Em 
 
 
226
 
 
face, porém, das dificuldades intrínsecas dos problemas que tentou 
resolver foi notável o êxito por ele alcançado. 
 Em 1628, após várias tentativas de receber seus honorários 
atrasados de matemático imperial, chegou a ponto de unir-se a 
Wallestein na qualidade de astrólogo, mas veio a morrer um pouco 
depois em Regensburg. 
 
GALILEU GALILEU GALILEU GALILEU (1564 – 1642) 
 
Galileu Galilei nasceu em Pisa três dias 
após a morte de Miguel Ângelo e no 
mesmo ano em que Shakespeare veio ao 
mundo. Exerceu poderosa influência 
sobre o desenvolvimento científico em 
muitos campos, em especial assentou as 
bases da dinâmica moderna. É um fato 
notável que a astronomia tenha sido 
cultivada, ao mesmo tempo, por três 
homens tão ilustres quanto Tycho, Kepler 
e Galileu. Enquanto Tycho, com 54 anos, 
observava o céu em Praga, Kepler, com apenas 30 anos, aplicava o 
seu gênio impulsivo à determinação da órbita de Marte, e Galileu, 
com 36, dispunha-se a assentar o telescópio para as regiões 
inexploradas do espaço. 
 Tendo nascido numa Europa ainda dominada pela tradição 
aristotélica, Galileu sente-se perplexo diante do conflito entre as 
suas próprias observações e as teorias aceitas, mas, firme e 
destemido nas suas convicções, investe ardentemente contra as 
velhas idéias, ganhando com isso inimigos e também mais 
discípulos. 
 Em todas as suas atitudes e hábitos mentais, Galileu encarnava 
o espírito da ciência moderna. Era vivo e arguto no observar, no 
analisar e no raciocinar sobre os fenômenos naturais. Ardoroso e 
convincente nas suas exposições (principalmente nas suas aulas da 
universidade), céptico e intoleranteem face da mera autoridade, 
quer na ciência, quer na filosofia ou na teologia. 
 Ainda jovem, descobriu a regularidade dos movimentos 
pendulares ao observar lentas oscilações da lâmpada da catedral 
 
 
227
 
 
de Pisa em. Não atingira ainda os 25 anos quando publicou, em 
1586, um trabalho sobre a balança hidrostática e sobre o centro de 
gravidade dos sólidos. 
 Muitos anos depois em 1638 mostrou que a hipótese da 
aceleração uniforme explicava devidamente as relações observadas 
entre o espaço, o tempo e a velocidade, e que a trajetória descrita 
pelos projéteis era uma parábola. 
 Comportando-se como um sábio típico de renascimento, Galileu 
aliou à teoria a solução de vários problemas técnicos. Inventou uma 
bomba para fazer subir água, um compasso geométrico militar que 
produziu em larga escala, escreveu um tratado sobre fortificações de 
cidades além de manter uma oficina para a construção de aparelhos 
especiais (bússolas, compassos simples, quadrantes, etc.). 
 Sabendo da invenção do telescópio na Holanda, procurou saber 
detalhes e logo pode construir para si um desses instrumentos, 
graças ao qual descobriu manchas no Sol, montanhas na Lua, os 
satélites de Júpiter, os anéis de Saturno e as fases de Vênus. As 
descobertas de Galileu no tocante à superfície da Lua, foram 
naturalmente desagradáveis aos aristotélicos da época, para quem 
esse astro possuía uma forma perfeitamente esférica e lisa, com 
adornos que a tornavam tão variada e tão bela. 
 Era inevitável que um homem como Galileu aceitasse a 
hipótese de Copérnico. Em 1597 escreveu a Kepler: considero-me 
feliz por ter encontrado tão grande aliado na busca da verdade. É 
realmente lamentável que haja tão poucos que pugnem pela verdade 
e estejam prontos a abandonar as falsas filosofias. Mas esse não é o 
lugar para lamentar as misérias do nosso tempo, ao invés de 
desejar-vos êxito em vossas esplêndidas investigações. Faço-o de 
tanto melhor grado por ser, desde muitos anos, um adepto da teoria 
de Copérnico. Ela me aponta a causa de muitos fenômenos que são 
completamente ininteligíveis sob a teoria geralmente aceita. Reuni 
muitos argumentos para refutar essa última, mas não me atrevo a 
publicá-los...” 
 Conquanto nenhum dos descobrimentos astronômicos de 
Galileu fosse necessário ou suficiente para confirmar a teoria 
copernicana, o apoio que a essa prestavam, era de extrema 
importância. 
 
 
 
228
 
 
 Em 1632 publicou o famoso Diálogo sobre os dois principais 
sistemas do mundo, o de Ptolomeu e o de Copérnico, obra 
comparável em grandeza e importância às Revoluções de Copérnico. 
Na primeira das quatro conversações em que se divide a obra, a 
teoria aristotélica do caráter especial dos corpos celestes é submetida 
a uma crítica demolidora, dando-se relevo a fenômenos tais como o 
aparecimento de estrelas novas, os cometas, as manchas solares, as 
irregularidades da superfície da Lua, as fases de Vênus, os satélites 
de Júpiter, etc. 
 Argumentando não só com as próprias manchas solares, mas 
com a própria variação. Insiste ele que o universo não é rígido e 
imutável, mas se modifica constantemente, ou então, passa por fases 
consecutivas e relacionadas entre si, isto é, evoluciona. É com maior 
repugnância que me resigno a escutar quando o atributo da 
imutabilidade é defendido como algo de preeminente importância e 
em completo contraste com a variabilidade. Considero a Terra 
sobretudo notável justamente pelas transformações que nela 
ocorrem. 
 Repentinamente, em agosto de 1632, cinco meses após a 
publicação do Diálogo, chegou uma ordem da inquisição romana 
para suspender todas as vendas do livro e, Galileu foi intimado a 
comparecer diante do tribunal em Roma. Doente, quase cego, com 
70 anos, em pleno inverno, Galileu foi conduzido de Florença a 
Roma por estradas difíceis e regiões inteiras isoladas por 
quarentenas de peste. Foi a Roma para ser humilhado. 
 O julgamento do tribunal, em quatro sessões, era em síntese o 
seguinte: a proposição de que o Sol se acha no centro do mundo e 
não pode ser movido do seu lugar é absurda, filosoficamente falsa e 
formalmente herética, pois é extremamente contrária às santas 
escrituras... 
 No dia 22 de junho de 1633 foi pronunciada a sentença e 
Galileu obrigado a recitar publicamente e assinar a abjuração, com 
vestes de penitente, no convento de Santa Maria sobre Minerva: Eu, 
Galileu Galilei, abjuro, maldigo e renuncio a todos os erros e 
heresias mencionados (...) contra a santa igreja. 
 A lenda Eppur si muove!...(no entanto a Terra se move!) foi 
uma dedução dos estudiosos com base na postura e personalidade de 
Galileu. Ele pode ter pensado, mas não disse. Um pouco antes do 
 
 
229
 
 
julgamento, teria também confidenciado a alguns amigos: Se é uma 
confissão o que eles querem, confessarei até que sou uma lagartixa. 
 Mesmo após ter sido condenado pela inquisição, enfermo e 
cego como estava, não esmoreceu o ardor científico de Galileu. Em 
1638, publicou em Leyden uma obra sobre mecânica com o título 
Conversações e Demonstrações Matemáticas sobre dois novos 
ramos da ciência. Esse livro representava o mais notável progresso 
realizado na mecânica desde os tempos de Arquimedes. 
 Em toda a extensão da obra, Galileu baseia-se mais em 
resultados de experimentos do que na simples especulação, e em 
medidas tão exatas quanto lho permitiam os seus instrumentos. 
Galileu fez contribuições notáveis a quase todos os ramos da física: 
dinâmica, estática, hidrostática, termometria, acústica, etc. Presume 
que a luz possua uma velocidade finita, mas não consegue medi-la. 
 Embora o principal objeto do seu interesse não fosse a 
matemática, acentua Galileu a dependência das outras ciências em 
relação a essa. Fez um estudo sutil das quantidades infinitas, 
infinitesimais e contínuas. 
 Foi o primeiro a propor uma correspondência biunívoca entre 
quantidades infinitas e para ele tratava-se de um paradoxo, 
considerando o axioma euclidiano: o todo é sempre maior que 
qualquer de suas partes. Galileu afirmou categoricamente que o 
conjunto dos números inteiros positivos e o conjunto dos números 
quadrados perfeitos estão em correspondência um a um. Desse 
modo enfrentou a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, 
ou seja, uma parte poderia ser equivalente ao conjunto todo. 
 Pode-se garantir, sem dúvida, que a grande contribuição de 
Galileu para a revolução científica que viria após os seus trabalhos 
foi o seu moderno método: observação, experimentação e 
formalização matemática. 
 A filosofia está escrita neste livro enorme que continuamente se 
acha aberto diante dos nossos olhos (eu digo o universo); mas não 
se pode entendê-lo se, antes, não se aprender a língua e conhecer os 
caracteres com os quais ele está escrito. O universo está escrito em 
linguagem matemática; seus caracteres são triângulos, círculos e 
outras figuras geométricas; sem estes meios, é impossível entender 
sequer uma palavra, sem eles, equivale a vagar inutilmente, por um 
escuro labirinto. 
 
 
230
 
 
A A A A matemática no Renascimentomatemática no Renascimentomatemática no Renascimentomatemática no Renascimento 
 
 O período compreendido entre a invenção da imprensa, por 
volta de 1450, e o início do século XVII foi de grande importância 
para a matemática e a mecânica, bem como para a astronomia. No 
seu começo, embora os números “arábicos” já fossem conhecidos, a 
matemática das universidades quase não ia além dos primeiros livros 
de Euclides e da solução de equações simples do segundo grau sob a 
forma retórica. No fim do período, os fundamentos da matemática e 
da mecânica modernas tinham sido solidamente lançados. 
 Nesse período os matemáticos se tornaram uma classe de sábios 
especializada, os compêndios tomaram forma e a matemática ia 
sendo cada vez mais cultivada por si mesma. 
 As maiores realizações e tendências foram as seguintes: na 
aritmética, foram introduzidas as frações decimais e os logaritmos, 
simplificando imensamenteos cálculos e desenvolveu-se uma teoria 
geral dos números; na álgebra, criou-se um sistema compacto e 
adequado de símbolos, incluindo o uso de sinais + , ,÷ × , -, =, ( ), 
 e dos expoentes; equações do terceiro e do quarto graus foram 
resolvidas, aceitando-se as raízes negativas e imaginárias, e muitos 
teoremas da nossa moderna teoria das equações foram descobertos. 
 Na geometria, o cálculo do π foi feito com aproximação de 
muitas decimais, deu-se início à geometria descritiva e desenvolveu-
se o chamado método dos indivisíveis. Na trigonometria plana e 
esférica deduziram-se teoremas e processos atualmente em uso além 
de extensas tábuas. 
 Na mecânica, pouco a pouco foram adquirindo clareza os 
conceitos de força e movimento, de equilíbrio e centro de gravidade. 
 Na base de alguns desses novos desenvolvimentos encontram-
se os conceitos fundamentais que começam a se formar: função, 
continuidade, limite, derivada, quantidade infinitesimal, sobre os 
quais se construiu a matemática moderna. 
 
PACPACPACPACIOLI IOLI IOLI IOLI (1445 – 1514 ) 
 
 Luca Pacioli, monge franciscano natural de Toscana, foi o 
primeiro matemático a ter um livro impresso sobre a aritmética, 
 
 
231
 
 
publicado em Veneza em 1494. Nele são dadas regras para as quatro 
operações fundamentais e para a extração de raízes quadradas. A 
aritmética comercial é tratada com bastante detalhe pelos novos 
métodos algorítmicos ou arábicos. O método das suposições 
arbitrárias corrigidas pela proporção (da falsa posição), era usado 
com bons resultados, por exemplo: “Achar o primitivo capital de um 
negociante que gastou a quarta parte do mesmo em Pisa e um quinto 
em Veneza, havendo recebido nessas transações 180 ducados e 
tendo atualmente em mão 224 ducados. Supondo-se que o capital 
primitivo fosse de 100 ducados, o restante seria 100 – 25 – 20 = 55. 
Isso, porém, são os 5/4 do verdadeiro resto (224 – 180); logo, o 
capital primitivo equivale aos 4/5 de 100 = 80 ducados”. 
 Alguns desses problemas comerciais de Pacioli eram 
extremamente complicados. Resolvia equações numéricas do 
primeiro e do segundo graus, mas só admitia raízes positivas e 
considerava impossível a solução das equações do terceiro grau, 
bem como a quadratura do círculo. A adição era indicada por p ou 
p , abreviação do latim plus, a igualdade algumas vezes por ae. 
Iniciava-se a álgebra sincopada que teria também a introdução dos 
radicais com índices, 2 , 3 , bem como dos sinais + e -. 
 Pacioli em 1509 fez duas tentativas no campo da geometria, 
publicando uma edição de Euclides e a De Divina Proportione. Essa 
diz respeito a polígonos regulares, a sólidos e à razão mais tarde 
chamada de “secção áurea”. O trabalho é destacado pela excelência 
das figuras que por isso têm sido atribuídas a Leonardo da Vinci. 
 
A geometria da arteA geometria da arteA geometria da arteA geometria da arte 
 
 Considerado o mais notável movimento artístico e literário da 
cultura ocidental, o renascimento produziu verdadeiros gênios na 
pintura, na Itália por exemplo, pode-se citar: Leonardo da Vinci, 
Michelangelo Buonarroti (1475 – 1564) e Rafael Sanzio. 
 Leonardo rompeu com as limitações da arte tradicional e 
introduziu o conceito de claro-escuro no espaço pictórico. 
Michelangelo reviveu admiravelmente a concepção helênica de luta 
do homem com o universo. Rafael, por sua vez, promoveu uma doce 
 
 
232
 
 
revolução, muito mais compatível com seu caráter sereno: 
introduziu na arte a tendência à beleza ideal, inspirada nos conceitos 
artísticos da Antiguidade clássica. 
 Os três artistas citados além de outros da mesma época, 
notadamente Albrecht Dürer (1471–1528), de Nuremberg, 
desenvolveram a teoria geométrica da perspectiva. A fim de 
representar exatamente a cabeça humana, Dürer fazia uso tanto dos 
planos como da projeção vertical. 
 
LEONARDO DA VINCI LEONARDO DA VINCI LEONARDO DA VINCI LEONARDO DA VINCI (1452 – 1519) 
 
Leonardo da Vinci, um dos gigantes 
intelectuais do renascimento, igualmente 
grande na arte, na ciência e na engenharia, 
foi o primeiro a dar explicação correta da 
iluminação parcial da parte escura do disco 
lunar, como sendo devida à luz da Terra. 
Seus cadernos de notas revelavam 
observações muito exatas sobre fenômenos 
ópticos causados por um estreito feixe de luz 
numa câmara escura. Chamou a mecânica de 
paraíso das ciências matemáticas, porque 
nela se colhem pela primeira vez os frutos dessas ciências. Negou a 
possibilidade do movimento perpétuo, dizendo: a força é a causa do 
movimento e o movimento é a causa da força. Discutiu a alavanca, a 
roda e o eixo, os corpos que caem livremente ou sobre planos 
inclinados. Antecipou-se assim a Galileu. 
 Todo aquele que apela para a autoridade, dizia ele, não aplica 
o intelecto e sim a memória. Ao passo que a natureza começa pela 
causa e termina pela experiência, nós devemos seguir o plano 
contrário, começando pelo experimento e por meio deste investigar 
a causa. Nenhuma pesquisa humana pode aspirar ao nome de 
verdadeira ciência se não passar pela demonstração matemática e 
aquele que desdenha a certeza da matemática não conseguirá impor 
silêncio a teorias sofísticas que só podem terminar em guerras de 
palavras. 
 Dizia, ainda, Leonardo que A felicidade está na atividade e, 
convenhamos, ele foi muito feliz. Artista, físico, geômetra, músico, 
 
 
233
 
 
engenheiro, biólogo, atleta e filósofo. Certa vez, ao passar diante de 
um açougue, Leonardo apontou, desgostoso, a carcaças de vitelas, 
carneiros, bois e suínos, e disse a um dos seus discípulos: - Sim, não 
há dúvida, o homem é o rei dos animais, ou para dizê-lo de outra 
maneira, é o rei das feras, pois a sua ferocidade é, positivamente, 
das maiores. E, após breve silêncio, acrescentou, com tristeza: - 
Criamos a nossa vida da morte dos outros seres. Os homens e as 
feras não são mais do que eternos cemitérios ambulantes, túmulos 
uns para os outros... 
 Leonardo da Vinci é um caso que segundo suas próprias 
palavras quanto mais se conhece, mais se aprecia. 
 
RAFAEL RAFAEL RAFAEL RAFAEL (1483 – 1520) 
 
 Rafael Sanzio nasceu em Urbino num ambiente artisticamente 
receptivo e estimulante. Seu pai era um pintor muito estimado pela 
corte local. Não era, efetivamente, um pintor dotado de qualidades 
incomuns; mas foi suficiente para incentivar na escolha da profissão 
do filho. 
Depois de viver algum tempo em Florença e em outras cidades, 
foi em Roma que Rafael, juntamente com outros artistas, teve 
oportunidade de participar da decoração da nova residência do papa 
Júlio II. Em 1509 foi nomeado pintor oficial da corte papal. Chegou 
a ser arquiteto-chefe na decoração do Vaticano, especialmente da 
Basílica de São Pedro. Tornou-se, então, a principal figura da 
arquitetura romana. 
 Aceitou também o desafio de pintar um enorme afresco para a 
Stanza della Segnatura (sala utilizada pela Igreja para a assinatura de 
documentos importantes). E realizou a Disputa do Sacramento, A 
Escola de Atenas e O Parnaso. Tal empreendimento, que constituiu 
um marco em sua carreira, colocou-o como rival direto de 
Michelangelo, que havia pintado os maravilhosos afrescos da Capela 
Sistina.A Escola de Atenas constitui-se um sumário da história da 
matemática grega além de ser um precioso documento para se saber 
como os italianos da renascença concebiam a vida intelectual da 
Grécia Antiga. 
 Os filósofos e matemáticos, cada um com as características que 
marcaram suas vidas e obras, estão espalhados, com muita simetria, 
 
 
234
 
 
pela sala. Platão e Aristóteles, por exemplo, são as figuras centrais, 
com Platão indicando o céu para expressar que sua filosofia situava 
a verdadeira realidade num plano supra-sensível: o mundo das 
idéias, modelos eternos e imutáveis das coisas concretas e 
perecíveis. Aristóteles, por sua vez, aponta para baixo, exprimindo 
seu pensamento realista, que afirma ser real o mundo concreto e 
sensível, a partir do qualo intelecto humano realiza abstrações. 
 Rafael colocou nos integrantes da obra rostos de pessoas 
conhecidas do seu tempo. Por exemplo, Platão aparece com o rosto 
de Leonardo da Vinci, Euclides com o de Bramonte, outro grande 
arquiteto do Vaticano. O próprio autor se inclui, talvez, como uma 
espécie de assinatura. 
 
Sem ser tão inovador como Leonardo ou revolucionário como 
Michelangelo, pode-se dizer que Rafael superou a ambos no que se 
refere à perfeição das linhas, beleza do colorido e harmonia das 
composições. 
 
STIFELSTIFELSTIFELSTIFEL (1487 – 1567) 
 
 Michael Stifel, ministro luterano alemão, ex-monge 
agostiniano, publicou em 1544, importante tratado com o título de 
Arithmetica Integra. Esse livro, que apareceu com um prefácio de 
Melanchton, contém muitos acréscimos originais. Apresentou Stifel 
um amplo estudo dos coeficientes binomiais (já sem o caráter 
 
 
235
 
 
místico dos números triangulares neopitagóricos, etc.), trazendo 
também o chamado “triângulo de Pascal”. Está muito próximo de 
conceber a idéia de logaritmo e foi um dos primeiros a introduzir os 
números negativos em seus trabalhos. Também introduziu alguns 
melhoramentos na notação em uso. 
 
RECORDE RECORDE RECORDE RECORDE (1510 – 1558) 
 
 Robert Recorde, “a estrela matutina da literatura matemática 
inglesa”, estudou em Oxford e graduou-se em medicina por 
Cambridge em 1545, tornando-se mais tarde “físico régio”. 
 Sua obra The Grounde of Artes, ou Aritmética, de 1540, foi um 
dos primeiros livros sobre matemática publicados em inglês e que 
teve mais de 27 edições exercendo grande influência sobre a 
educação na Inglaterra. 
 Recorde empregou o símbolo +, que indica demasiado, assim 
como essa linha -, simples e sem ser cruzada por outra, indica 
demasiado pouco. 
 Em 1557 publicou uma álgebra sob o título sedutor de 
Whetstone of Witte (pedra de afiar o espírito), usando para a 
igualdade o sinal =, que diz ter escolhido porque não pode haver 
duas coisas mais iguais do que duas retas paralelas. 
 
Equações algébricas de grau superiorEquações algébricas de grau superiorEquações algébricas de grau superiorEquações algébricas de grau superior 
 
 O maior feito dos matemáticos italianos do século XVI foi 
resolver equações do terceiro e, mais tarde, do quarto grau. Grande 
parte dos trabalhos iniciais foi realizada na Universidade de Bolonha 
onde Scipione del Ferro resolveu, por volta de 1515, a equação 
nmxx =+3 , sem publicar o resultado. Por volta de 1535, Tartaglia 
descobriu a solução de Ferro, bem como a da equação npxx =+ 23 . 
Havia grande interesse por essas especulações matemáticas e foram 
realizados até concursos em público para a solução das equações do 
terceiro grau. 
 
 
 
 
 
236
 
 
TARTAGLIATARTAGLIATARTAGLIATARTAGLIA (1500 – 1557) 
 
 Niccolò Fontana (Tartaglia), cuja origem era das mais humildes, 
lecionou em Verona e Veneza e começou a ganhar fama por ter 
respondido com êxito ao desafio de resolver certos problemas 
matemáticos que envolviam equações cúbicas. 
 Na sua obra Nova Scienza, de1537, Tartaglia discutiu a queda 
dos corpos e muitos problemas de engenharia militar e fortificação 
tais com o alcance dos projéteis, os meios de pôr a nado galeras 
afundadas, etc.. A página de rosto era ocupada por uma grande 
estampa que representava a corte da filosofia. Euclides era o porteiro 
e Aristóteles e Platão os mestres de uma corte interna, na qual está 
entronizada a filosofia, sendo que Platão declara, por meio de um 
dístico, que não permitirá a entrada de ninguém que não compreenda 
geometria... 
 A sua solução da equação cúbica encontrava-se no livro 
Invenzioni enquanto que no Tratado dos Números e das Medidas, de 
1556, aparecia um método para encontrar os coeficientes no 
desenvolvimento de ( )nx+1 , para n de 2 até 6. 
 Apresentava, também, grande variedade de problemas de 
aritmética comercial e uma coleção de enigmas matemáticos. Um 
exemplo de tais enigmas tornou-se famoso: “Três belas jovens são 
casadas com três moços simpáticos e galantes, mas ciumentos. 
Andam os seis em viagem e vão ter à margem de um rio. Para 
atravessar o qual só dispõem de um botezinho com lugar para duas 
pessoas no máximo. Como passarão o rio, ficando entendido que, a 
fim de evitar um escândalo, nenhuma das mulheres poderá 
permanecer em companhia de um homem a não ser que o seu 
marido esteja também presente?”. 
 Não há outro tratado que contenha tantas informações sobre a 
aritmética do século XVI, tanto no que diz respeito à teoria como às 
aplicações práticas. A vida do povo, os costumes dos mercadores, as 
lutas pelo aperfeiçoamento da aritmética, tudo isso foi exposto por 
Tartaglia de maneira prolixa, mas interessante. 
 Antecipando-se a Galileu, ensinou Tartaglia que os corpos de 
pesos diferentes percorrem, ao cair, distâncias iguais em intervalos 
 
 
 
237
 
 
de tempos iguais e que um corpo a que se imprime um movimento 
circular, uma vez solto tomará a direção da tangente. 
 
CARDANO CARDANO CARDANO CARDANO (1501 – 1576) 
 
 Girolamo Cardano teve uma vida de aventuras, mais ou menos 
indecorosas, em estranha combinação com várias formas de 
atividades científicas ou semi-científicas, em especial o exercício da 
medicina e da astrologia. Estudou em Pavia e Pádua, viajou pela 
França, pela Inglaterra e foi professor em Milão e Pavia. 
 Sua obra prima Ars Magna, publicada em 1545, contém a 
solução da equação cúbica, fraudulentamente obtida do seu rival 
Tartaglia. Após a publicação do livro, o afrontado Tartaglia desafiou 
Cardano para um duelo matemático que acabou se realizando em 
Milão a 10 de agosto de 1548. Cardano, entretanto, não compareceu 
tendo enviado seu discípulo Ludovico Ferrari (1522–1565) para 
substituí-lo. 
 Nesse confronto tumultuado Tartaglia não se saiu bem e Ferrari, 
demonstrando superioridade conseguiu apresentar, inclusive, uma 
fórmula geral para resolver a equação do quarto grau. 
 Duelos à parte, o importante foi o avanço do estudo das 
equações algébricas. Para as de quinto grau ou maiores, somente no 
século XIX se demonstrou que a solução, em geral, não pode ser 
expressa do modo que se faz para os graus de 1 a 4. 
 Como jogador inveterado Cardano forjou, talvez com o baralho, 
uma das contribuições mais importantes para as ciências ao dar 
início ao estudo da teoria das probabilidades. 
 
Equações de 3º e 4º grausEquações de 3º e 4º grausEquações de 3º e 4º grausEquações de 3º e 4º graus 
 
 Cardano procedia como um verdadeiro discípulo de al-
Khowarizmi, e pensava em suas equações, com coeficientes 
numéricos específicos, como sendo representantes de categorias 
gerais. Por exemplo, quando escrevia, cubus p 6 rebus aequalis 20 
(seja o cubo e seis vezes o lado igual a 20), ou seja, 2063 =+ xx , 
ele pensava nessa equação como típica de todas as que têm um cubo 
e coisa igual a um número, isto é, da forma qpxx =+3 . 
 
 
238
 
 
 A solução dessa equação ocupava algumas páginas de retórica 
que em notação atual se traduz por: substitua-se x por vu− e 
suponha-se u e v relacionados de modo que seu produto (pensado 
como área) seja um terço do coeficiente de x , isto é, 2=uv . 
Substituindo na equação dada, chega-se a 2033 =− vu ; e eliminado 
v , tem-se 820 36 += uu , uma equação quadrática em 3u . Logo 3u , 
como é sabido, vale 10108+ . Da relação 2033 =− vu tem-se que 
101083 −=v ; e assim, de vux −= , conclui-se que 
33 1010810108 −−+=x . 
 Tendo efetuado todos os cálculos para esse caso específico, 
Cardano, de forma verbal, dava uma regra equivalente à atual 
solução de qpxx =+3 , ou seja, a fórmula 
3
23
3
23
22272427
qqpqqp
x −+−++= , que é chamada de 
Cardano-Tartaglia. 
 A seguir, Cardano passava então a outros casos, tais como cubo 
igual a coisa e número. Nesse caso usa-se a substituição vux += 
em vez de vux −= , e procede-se de modo análogo ao anterior. 
Nesse caso, porém, há uma dificuldade. Quando se aplicava a regra 
a 4153 += xx , por exemplo,o resultado seria 
33 12121212 −−+−+=x . 
 Cardano, acreditando não existir raiz quadrada de número 
negativo, e, no entanto, sabendo que 4=x era uma raiz da equação 
proposta, não conseguiu entender como sua regra faria sentido em 
tal situação. Noutra ocasião já ocorrera situação semelhante ao 
resolver o problema de dividir 10 em duas partes tais que o produto 
fosse 40. As regras usuais levaram às respostas 155 −+ e 
155 −− para as partes ou, em sua notação, 5p:Rm:15 e 
5m:Rm:15). Cardano se referia a essas raízes quadradas de números 
negativos como “sofísticas” e concluía que o resultado nesse caso 
era “tão sutil quanto inútil”. 
 
 
 
 
239
 
 
 Estudiosos posteriores mostrariam que tais manipulações eram 
de fato sutis mas nada inúteis. Foi um mérito de Cardano que, ao 
menos, refletiu quanto a essa intrigante situação. 
 Sobre a regra para resolver equações de grau 4, Cardano 
escreveu na Ars Magna que era devida a Ferrari, que a inventou a 
seu pedido. Novamente, as equações foram resolvidas em casos 
separados, num total de vinte. 
 Como ilustração tem-se o caso: Seja quadrado-quadrado e 
quadrado e número igual ao lado, ou seja, xxx 60366 24 =++ . 
 Cardano (ou Ferrari) sabia eliminar o termo cúbico de uma 
equação do quarto grau, somando ou subtraindo das raízes um 
quarto do coeficiente do termo cúbico. Então os passos para a 
resolução desse exemplo são descritos como segue: 
1. Somar suficientes quadrados e números a ambos os membros da 
equação para que o primeiro fique um quadrado perfeito, nesse caso 
( ) .xx
2224 6xou 3612 +++ 
2. Somar a ambos os membros termos envolvendo uma nova 
incógnita y de modo que o primeiro membro permaneça quadrado 
perfeito, como ( ) =++++=++ 22222 2126066 yxyyxxyx 
( ) ( )yyxxy 126062 22 ++++= . 
3. Escolher y de modo que o trinômio no segundo membro fique um 
quadrado perfeito. Isso se faz igualando a zero o discriminante – 
uma regra antiga e bem conhecida que nesse caso leva a 
( )( ) .yyy 01262460 22 =++− 
4. Do passo 3 resulta uma equação cúbica em y, 
4503615 23 =++ yyy , chamada a “cúbica resolvente” da equação 
quártica dada. Essa é resolvida em relação a y pelas regras 
previamente dadas para resolução de equações cúbicas, sendo o 
resultado 
5
4
1
80449
2
1
287
4
1
80449
2
1
287 33 −−++=y . 
5. Substituir o valor de y obtido em 4 na equação para x do passo 2 e 
extrair a raiz quadrada de ambos os membros. 
 
 
 
240
 
 
6. O resultado do passo 5 é uma equação quadrática, que deve agora 
ser resolvida para se encontrar o valor de x desejado. 
 O mais importante resultado das descobertas publicadas na Ars 
Magna foi o enorme impulso dado à pesquisa em álgebra em várias 
direções. Era natural que o estudo fosse generalizado de modo a 
incluir equações polinomiais de qualquer ordem e que, em 
particular, se procurasse resolver a de quinto grau. Porém, os 
matemáticos dos dois séculos seguintes enfrentariam um problema 
algébrico insolúvel, comparável aos problemas geométricos 
clássicos da antiguidade. Resultou muito boa matemática, mas 
somente uma conclusão negativa. 
 Outro resultado imediato da resolução da cúbica, foi a primeira 
observação significativa dos números negativos. Os números 
irracionais já tinham sido aceitos nessa época, pois eram 
aproximáveis por números racionais. Os números negativos 
causavam dificuldades maiores porque não são aproximáveis por 
números positivos e só se tornaram mais plausíveis com a noção de 
sentido sobre uma reta. 
 Um fato interessante foi que no momento em que os números 
negativos passaram a ser aceitos, houve necessidade, com a solução 
da cúbica, de se considerar os números imaginários ou impossíveis. 
 
BOMBELLIBOMBELLIBOMBELLIBOMBELLI (1526 – 1573) 
 
 Rafael Bombelli teve o que chamou “idéia louca”, pois toda a 
questão dos números imaginários parecia apoiar-se em sofismas. Os 
dois radicandos das raízes cúbicas que resultavam na fórmula de 
Cardano-Tartaglia, diferiam apenas por um sinal. Como já foi visto, 
a solução de 4153 += xx , pela fórmula, leva a 
33 12121212 −−+−+=x , embora se saiba, por substituição 
direta, que x = 4 é a única raiz positiva dessa equação. 
 Bombelli teve a feliz idéia de que os próprios radicais (as duas 
raízes cúbicas) poderiam ser relacionados de modo análogo aos 
radicandos que, como se diz atualmente, seriam complexos 
conjugados cuja soma é 4. 
 Para que a soma das partes reais fosse 4, então, raciocinou 
Bombelli, a parte real de cada uma seria 2; e para que um número da 
 
 
241
 
 
forma 12 −+ b fosse uma raiz cúbica de 1112 −+ , então b teria 
que ser 1. Logo .x 41212 =−−+−+= 
 Com seu engenhoso raciocínio Bombelli mostrou o papel 
importante que os números complexos conjugados viriam 
desempenhar; mas na época, a observação não ajudou na operação 
efetiva de resolver equações cúbicas, pois ele precisava saber 
antecipadamente o valor de uma das raízes. Mas então a equação já 
estaria resolvida, e não haveria necessidade da fórmula. Sem tal 
conhecimento prévio, seu método falhava e o caso era considerado 
irredutível. 
 Bombelli escreveu sua Álgebra por volta de 1560, mas essa só 
foi impressa, em parte, em 1572, cerca de um ano antes de sua 
morte. Um dos aspectos significativos desse livro é que contém um 
interessante simbolismo. Bombelli escrevia às vezes, 1Zp.5Rm.4 – 
isto é, 1 zenus plus 5 res minus 4 – para .xx 452 −+ Mas usava 
também outra forma em que a potência da incógnita é representada 
simplesmente como um número arábico acima de um pequeno arco 
de círculo, de modo que, por exemplo, 32 x,x,x apareciam 
respectivamente como . A álgebra de Bombelli, 
naturalmente, usava os símbolos italianos p e m para adição e 
subtração, mas ele ainda não tinha um símbolo para a igualdade. O 
sinal de igualdade atual, como já foi visto, fora publicado em 1557, 
na Inglaterra, por Robert Recorde. 
 
VIÈVIÈVIÈVIÈTETETETE (1540 – 1603) 
 
François Viète não foi matemático profissional, 
tendo na sua juventude estudado e praticado 
direito, tornando-se membro do parlamento da 
Bretanha. Mais tarde tornou-se membro do 
conselho do rei, servindo primeiro sob Henrique 
III depois sob Henrique IV ou de Navarra. Foi 
na ocasião em que servia a Navarra, que teve 
grande sucesso ao decifrar as mensagens em 
código dos espanhóis que o acusaram de ter um 
pacto com o demônio. 
1 2 3 
 
 
242
 
 
 Só o tempo de lazer de Viète era dedicado à matemática, no 
entanto, fez contribuições à aritmética, álgebra, trigonometria e 
geometria. Na aritmética ele deve ser lembrado por seu apelo em 
favor do uso de frações decimais em vez de sexagesimais. 
 Viète conquistou a simpatia de Henrique IV ao resolver um 
complicado problema proposto e 1593, pelo matemático belga 
Adriaen van Roomen, segundo o costume da época de desafiar o 
mundo científico. Esse problema envolvia a equação de grau 45, 
Axx...xxxx =+−+−+− 4537951230094545 339414345 , cuja 
solução Viète conseguiu encontrar por um método trigonométrico, 
observando que a equação resulta de exprimir θ45senA = em 
termos de θ= senx 2 . Com o uso de tabelas que dispunha, encontrou 
as soluções positivas. 
 A sua obra In Artem Analyticam Isagoge (introdução a arte 
analítica) de 1571, é a mais antiga sobre a álgebra simbólica. Nela, 
as quantidades conhecidas eram indicadas por consoantes e as 
incógnitas por vogais, fazendo clara distinção entre incógnita e 
parâmetro; recomendava-se o uso de equações homogêneas, 
encontrava-se as seis primeiras potências do binômio, além de 
introduzir uma notação exponencial especial. 
 Viète já usava os símbolos + e -, com o sentido atual; as 
potências 32 xe x,x indicava, por A, A quadratum, A cubum, e 
posteriormente por A, Aq, Ac,, respectivamente. Assim, nessa 
notação a identidade 32233 33 babbaa)ba( +++=+ apareceria 
como a cubus+ b in a quadratum 3+ a in b quadratum 3+ b cubus 
aequalis ba+ cubus, em que in era multiplicação e o traço sobre 
a + b tinha o significado