EXERCICIOS_RESOLVIDOS_2014

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS VEGETAIS 
 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA 
PROFESSOR: DR. JANILSON PINHEIRO 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
MOSSORÓ – RN, BRASIL, 2014 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 2
DISTRIBUIÇÃO TEÓRICA (ESPECIAL) DE PROBABILIDADE 
COMBINAÇÃO DE “n” ELEMENTOS TOMADOS “k” a “k” 
 
 
Chamaremos cada seleção de n elementos tomados k a k desprezando a 
ordem como o número total de combinações por nKC ou seja, 
( ) ( )
( )!!
!
!
11
knk
n
k
knnnC nK −
=
−−−
=
L , esta extensa fórmula é normalmente 
abreviada pelo símbolo 





k
n
 . Não existe nenhuma forma padrão para a leitura 
deste símbolo. Uma maneira apropriada seria “n acima de k”, mas utiliza-se em 
geral a seguinte: combinação de n k a k. O símbolo deveria ser cuidadosamente 
diferenciado de “n sobre k”, que significa a fração 
k
n .Vejamos um exemplo de 
combinação: De quantas maneiras três (3) dentre cinco (5) animais suínos da Raça 
Duroc podem ser selecionados? A equação ( ) ( )
!
11
k
knnnC nK
−−−
=
L dá a 
resposta. ( ) ( ) 103.2.1
3.4.5
!35!3
!5
!!
!5
3 ==−
=
−
=





=
knk
n
k
n
C 
 
Se representarmos os cinco animais, arbitrariamente, por a, b, c, d, e, as dez 
combinações serão: 
 
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde 
 
Observemos que dce ou edc não ocorrem nesta listagem já que eles são 
somente arranjos de cde. 
 
Da mesma forma, obtemos. 
 
 
( ) 5!!1
!5
!15!1
!5
1
55
1 ==−
=





=C 
 
( ) 102.1
4.5
!25!2
!5
2
55
2 ==−
=





=C 
 
( ) 52.3.2.1
2.3.4.5
!45!4
!5
4
55
4 ==−
=





=C 
 
Observemos que 1
5
5
=




 , já que podemos selecionar 5 objetos somente de 
uma maneira. Podemos observar também que 





=





4
5
1
5
, 





=





3
5
2
5
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 3
Esta propriedade tem um significado particular. Se selecionarmos um 
objeto dentre cinco, os quatro objetos restantes formam também uma seleção. A 
cada seleção de um objeto corresponde exatamente uma seleção de quatro e vice e 
versa. Portanto, seus números devem ser iguais. O mesmo é verdadeiro para 
seleções de dois e três objetos dentre cinco. Em geral, temos que 





−
=





kn
n
k
n
 
para k = 1, 2, ... , n-1, 
 
Observemos que em 





−
=





kn
n
k
n
 para k = 1, 2, ... , n-1, o símbolo 





n
n
 não 
ter par. Formalmente, ele seria 





0
n
. Entretanto, não existe nada como uma 
combinação de zero objeto dentre n. Introduzimos 





0
n
 somente para a segurança 
da simetria. Para satisfazer 





−
=





kn
n
k
n
 para k = 1, 2, ... , n-1, definimos 
1
0
=





=





n
nn
 . 
 
Aqui, n é qualquer inteiro positivo. Mas, vamos um pouco além e 
permitimos que n seja zero. Então definimos .1
0
0
=





 
 
Os números 





k
n
 são frequentemente dispostos de tal forma que eles 
formam um triângulo de Pascal [Blaise Pascal (1623-1662), matemático, físico e 
filósofo francês]. 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 4
.........................................
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0






























































































































....................................................
15101051
14641
1331
121
11
1
 
 
Existe uma forma fácil de calcularmos os números do triângulo de Pascal. 
Observamos que cada número é a soma dos dois números mais próximos na linha 
imediatamente superior. Então, 5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6 etc. A próxima linha não 
representada aqui, conteria, portanto, os números 1 = 5 =6, 5 + 10 =15, 10 + 10 =20 
etc. 
 
 
Uma aplicação importante do coeficiente 





k
n
 é feita na álgebra. 
Consideramos potências de um binômio com inteiros positivos como expoentes 
dados por: 
( ) ,2 222 bababa ++=+ 
 
( ) ,33 32233 babbaaba +++=+ 
 
( ) ,464 4322344 babbabaaba ++++=+ etc. 
Os coeficientes formam as linhas do triângulo de Pascal. Em geral, pode-se 
escrever o seguinte: 
( ) ,
210
221 nnnnn b
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba 





++





+





+





=+ −− L 
 
Uma forma de demonstrar esta fórmula utiliza combinação, e para explicar 
a idéia, vamos mostrar o caso especial em que n=4. Consideramos o produto. 
 
 
( )( )( )( ).44332211 babababa ++++ 
 
Quando fazemos as multiplicações, obtemos uma soma de muitos termos. 
Cada um dos termos contém exatamente quatro fatores, tais como ( )4321 bbba ou 
ASSIS, J. P. , 2014 5
( )2143 bbaa . Todas as combinações dos a e b aparecem. Existem 





=
3
44
3c 
com três b, 





=
2
44
2c com dois b, etc. Quando finalmente igualamos 
aaaaa ==== 4321 e bbbbb ==== 4321 , o termo 
3ab aparece 





3
4
vezes, o 
termo 22ba aparece 





2
4
vezes etc. Isto explica a fórmula para ( )4ba + . O mesmo 
argumento pode ser usado para qualquer outro expoente inteiro n (n > 0). 
 
A fórmula ( ) ,
210
221 nnnnn b
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba 





++





+





+





=+ −− L é chamada 
o Teorema do Binômio. Os coeficientes 





k
n
 são conhecidos como coeficientes 
binomiais. Quando transformamos ( )nba + em uma soma de termos kkn ba
k
n −





 , 
também dizemos que expandimos ( )nba + . 
 
A probabilidade de se verificarem ao longo das n experiências, x realizações 
de um evento Sucesso A e n – x realizações de um evento fracasso B, numa ordem 
dada, é xnxqp − , mas, na realidade, é possível verificar x realizações de A ao longo 
de n experiências em nxC ordens diferentes, pois as diferentes ordens possíveis 
excluem-se mutuamente. 
 
Daí resulta que a probabilidade de se verificarem x realizações de A e n – x 
realizações de B, numa ordem qualquer, é, para x = 0,1,2,3,4,..., n; 
 
( ) xnxnxx qPCPxXP −=== 
 
Essa lei chama-se lei binomial de probabilidade e a variável x é uma 
variável aleatória discreta que possui uma distribuição binomial, ou, mais 
simplesmente, uma variável binomial. A expressão xnxnx qPC
− , é, com efeito, o 
termo geral do desenvolvimento do binômio ( )nqp + , também conhecido como 
binômio de Newton ou binômio de Tartáglia. 
 
Uma vez que p + q = 1, deduzimos imediatamente que a relação 
1
00
∑∑
=
∞
=
==
n
x
x
x
x PP se verifica facilmente. 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 6
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL: X ~ Bin (n; p) 
( ) ( ) qpxnx
n
qpCxXP xnxxnxnxi
-- ..
!-!
!.. === , onde 
x = {0,1,2,...,n} e ( ) !-!
!
xnx
nC nx = , sendo p + q = 1, q = 1 - 
p, 
0,1qP
x)!-(nX!
n q) (p
0 x 
x - nxn ==+ ∑
=
n
 
P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) + ... + P(X= n) = ( ) 1
1
==
=
∑
n
i
ixP X 
( ) ( )[ ]0xP-1 1xP ==≥ 
( ) ( ) ( ) ( )2xP1xP0 2xP =+=+==≤ xP 
 
Tabela 1; Forma generalizada da distribuição Binomial. 
 
X = Número de Sucessos P(X=xi) 
0 n0qP(n)!0!
n! 
1 1 - n1qP1)!-(n1!
n!
 
2 2 - n2qP2)!-(n2!
n!
 
3 3 - n3qPx)!-(n3!
n!
 
M M 
x x - nxqPx)!-(nx!
n!
 
M M 
n 0nqP(0)!n!
n!
 
Total = 1qP
x)!-(nX!
n! 
0 x 
x - nx =∑
=
n
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 8
 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
P(X = x) = px. (1 – p)1-x para x = 0 ou x = 1 
 
-EXERCÍCIO 1. 
Exemplo 1: Seja x = 1 a ocorrência de uma fêmea em um nascimento 
de um bovino e x = 0 a ocorrência de macho. Determine a distribuição 
deprobabilidade de x. 
 
Gametas ♀ Gametas ♂ 1/2 X 1/2 y 
X 
2
1 XX (♀) 
2
1 XY (♂) 
- As fêmeas (XX) ocorrerão em 50% das vezes. Logo, a variável “X” é 
uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro 
2
1 P = . 
A distribuição de probabilidade da variável X é dada por. 
 
 
 
 
 
E(x) = p = 1/2; Var(X) = 2Xσ = P. q = 1/2 . 1/2 = 1/4 = 0,25; D.P. = σX = 25,0 = 0,50 
 
O Gráfico da distribuição teórica de probabilidade é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Xi P(Xi) 
0 1/2 
1 1/2 
Soma 2/2 = 1,0 
ASSIS, J. P. , 2014 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 10
-EXERCÍCIO 2. 
Considere o jogo que consiste no lançamento de um dado (hexaedro) 
honesto e em que se ganha se sair a face 6 voltada para cima. Seja “X” a 
variável aleatória que representa o número de vitórias obtidas num 
lançamento. Indique qual é a distribuição de probabilidade da variável X. 
 O resultado do lançamento pode ser Sucesso (sair face 6 voltada para 
cima) ou insucesso (não sair a face 6). No primeiro caso X = 1, enquanto no 
segundo X = 0. Além disso, a probabilidade de sucesso é 
6
1
=P . Conclusão: 
X ~ Bernoulli 




 =
6
1P , ou seja, X tem distribuição de probabilidade de 
Bernoulli com Parâmetro “P” igual a 
6
1 . 
Xi P(Xi) 
0 
6
5
6
111 =−=−= Pq 
1 
6
1
=P 
SOMA 0,1
6
6
= 
E(x) = p = 1/6; Var(X) = 2Xσ = P. q = 1/6 .(1-1/6) = 5/36 = 0,139; D.P. = σX = 139,0 = 0,373 
ASSIS, J. P. , 2014 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 12
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
( ) ( ) qpxnx
nqpCxXP xnxxnxnxi
-- ..
!-!
!.. === , onde 
 
x = {0,1,2,...,n} e ( ) !-!
!
xnx
nC nx = , sendo p + q = 1, q = 1 - p, 
P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) + ... + P(X= n) = ( ) 1
1
==
=
∑
n
i
ixP X 
- EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO. 
 É sabido de experimentos anteriores que a probabilidade de 
nascer bezerros natimortos em partos de um rebanho bovino da raça 
nelore no RN é P = 10%. Se um médico veterinário realiza 5 partos 
nesse rebanho, então responda: 
P = 0,10 
q = 0,90 
n = 5 
k = X = 3 
X = número de natimortos 
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
X ∩ B (5; 0,10) 
 
-Gráfico em Hastes ou Bastão da distribuição de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 13
 
a) Qual a probabilidade de ocorrerem, por acaso, 3 bezerros 
natimortos em 5 partos observados ? 
 
5 3 5-3
3P (x 3) C .(0,10) .(0,90)= = 
3 25!P (x 3) . (0,10) . (0,90)
3! (5 - 3)!
= = 
P (x = 3) = 10 x 0,001 x 0,81 = 0,0081 = 0,81% 
 
 
b) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um natimorto nos 5 
partos observados ? 
 
P(x ≥ 1) = 1- [P(x = 0)] = 1 - 40,95% 0,40951 0,59049 - 1 (0,90) . (0,10) C 0-5050 ≅== 
 
c) Em n = 50 partos observados, qual o número médio esperado de 
natimortos ? 
E(x) = µx = 50 x 0,10 = 5 natimortos 
 
d) E em n = 2000 partos observados, qual o número médio esperado de 
natimortos ? 
E(x) = 2000 x 0,10 = 200 natimortos 
 
e) Qual o desvio padrão em (c) ? 
 



=
=
0,90 q
0,10 P 
natimortos 12,20,90x 0,10x 50 σ x == 
 
f) Qual o número médio de partos com natimortos? 
E(x) = 5 x 0,10 = 0,5 parto 
 
g)Qual é o desvio padrão do número de partos com bezerros 
natimortos? 
 
( ) ( ) ( )( )( ) 67,06708,045,090,010,05.. ===== XxPD σ partos com natimortos 
 
ASSIS, J. P. , 2014 14
h) Qual é a probabilidade de ocorrer nenhum parto com bezerro natimorto? 
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 59,05% 59049,0 0,900,90 110,90. .10!-50!
5! (0,90) . (0,10) C0XP 5550-5050 ≅====== 
 i) Qual é a probabilidade de que nasçam em todos os partos bezerros natimortos? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) %001,0 00001,010,0 10,1010,90. 0,10.5!-55!
5!
 (0,90) . (0,10) C5XP 55055-5555 ≅====== 
 j) Qual é a probabilidade de que nasçam bezerros natimortos em apenas um parto? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) %81,32 32805,0 0,65610,1050,90. 0,10.1!-51!
5!
 (0,90) . (0,10) C1XP 41-5151 ≅===== 
k) Qual é a probabilidade de que se observem menos de nenhum parto com bezerros 
natimortos? 
( ) ( ) 0%00XP ===< φP 
L) Qual é a probabilidade de que se observem mais de cinco partos com bezerros 
natimortos? 
( ) ( ) 0%05XP ===> φP 
 
m) Inverso da função de probabilidade acumulativa - Um exemplo contrário 
ao anterior é quando você fornece um valor de probabilidade e pretende 
calcular o valor de X associado a ele. Para isso usa-se o seguinte 
procedimento. Por exemplo, Qual o valor de X obtido (número de partos com 
bezerros natimortos) associado à probabilidade de 0,74 ? 
 
 
 
natimortos bezerro com Parto1X 
)90,0()10,0(
X!-(nX!
5!0,74
0,10)-(1 . (0,10) C0,74
5
X-5X5
X
=
=
=
− XX 
ASSIS, J. P. , 2014 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 16
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
[ ]
( )
( )λ
λλλ −=
−
==






Exp
x
x
x
exxXP .
!!
. , 
P(X= 0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + ... + P(X=10) +...+ ... = ( ) 1
1
==
∞
=
∑
i
ixP X 
Onde; It .. λλµ == ; e = 2,71828 sendo x = {0,1,2,...,∞}, 
3.3.8. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
O número de árvores da espécie enterolobium glaziovii benth 
(nome vulgar timbaúba), se distribui aleatoriamente em certa reserva 
florestal de mata atlântica localizada no litoral da região do Nordeste 
Brasileiro com uma média de duas (2) árvores por hectare. Foi testada 
em 2010 e comprovada que esta variável aleatória discreta X possui 
distribuição de Poisson. 
 
X = NÚMERO DE ÁRVORES DE TIMBAÚBA, X = {0, 1, 2,...,}. 
 
 E(X) = μ, = λ = 2 ÁRVORES POR HECTARE. 
[ ]
( )
( )λ
λλλ −=
−
==






Exp
x
x
x
exxXP .
!!
. , 
P(X= 0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + ... + P(X=10)+...+ = ( ) 1
1
==
∞
=
∑
i
ixP X 
a) Qual é a probabilidade de se encontrar por acaso cinco (5) árvores 
de Timbaúba por hectare? 
 
b) Qual é a probabilidade de se contarem no máximo duas (2) árvores 
de Timbaúba por hectare? 
 
c) Qual é a probabilidade de se localizar uma (1) árvore de Timbaúba 
em dois hectares? λ = 2 sendo que µ = 2.2 = 4 árvores 
 
d) Qual é o valor da média? 
 
e) Qual é o valor da variância? 
 
f) Qual é o valor do desvio padrão? 
 
g) Calcule P(2 ≤ X ≤ 4); 
 
h) Calcule P(2 < X < 4); 
ASSIS, J. P. , 2014 17
 
i)Determine P(X ≥ 1); 
 
j) Calcule P(1 ≤ X < 5); 
 
k) Inverso da função de probabilidade acumulativa - Um exemplo 
contrário ao anterior é quando você fornece um valor de probabilidade 
e pretende calcular o valor de X associado a ele. Para isso usa-se o 
seguinte procedimento. Por exemplo, Qual o valor de X (número de 
árvores de Timbaúba) associado à probabilidade de 0,99? 
 
 
[ ] !
.
x
exxXP
λλ −== , λ = ? e X = ? 
 
-Gráfico em Hastes ou Bastão da distribuição de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 18
a) 
( ) %61,3036089408,0
120
135335283,0.32
!5
2.525 ≅==
−
== eXP 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( )2102 =+=+==≤ XPXPXPXP 
 
[ ] !2
2.22
!1
2.12
!0
2.022
−
+
−
+
−
=≤ eeeXP 
 
[ ]2≤XP 270670566,0270670566,0135335283,0 ++= 
 
[ ] %67,67676676415,02 ≅=≤XP 
 
c) λ = 4; 1 ha ---------2 àrvores 
 2 ha-------- λ 
 λ = 4 Árvores 
ou ainda: [ ] 42.2.' ==== IXE µλ Árvores 
 
 
( ) %33,7073262555,01
018315638,0.4
!1
4.141 ===
−
== eXP 
 
d) [ ] 2==== λµµ XXE Árvores de Timbaúba/Hectare 
 
e) [ ] ( ) 222 === XXXVar σσ [Árvores de Timbaúba/Hectare]2 
 
f) ( ) 414,12.. ===== σσσ XXPD Árvores de Timbaúba/Hectare 
 
g) ( ) ( ) ( ) ( )43242 =+=+==≤≤ XPXPXPXP 
 
( ) !4
2.42
!3
2.32
!2
2.2242
−
+
−
+
−
=≤≤ eeeXP 
 
 
( ) 24
135335283,0.16
6
135335283,0.8
2
135335283,0.442 ++=≤≤ XP
 
 
( ) 090223522,0180447044,0270670566,042 ++=≤≤ XP 
 
( ) %13,54541341132,042 ==≤≤ XP 
ASSIS, J. P. , 2014 19
h) ( )( ) %04,18180447044,0!3
2.32342 ==
−
===<< eXPXP 
i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )432151 =+=+=+==<≤ XPXPXPXPXP 
j) ( ) ( )[ ] 135335283,01
!0
2.021011 −=
−
−==−=≥









 eXPXP 
( ) %47,86864664717,01 ≅=≥XP 
K) [ ] !
.
x
exxXP =
−
==
λλ , λ = ? e X = ?, =∴
−
= x
x
ex
!
2.299,0 6 
árvores de Timbaúba 
 
APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ATRAVÉS DA 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON. 
-EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 A probabilidade de uma determinada marca de arado de disco 
agrícola apresentar defeitos nos seus discos é 0,012. Ao se examinar ao 
acaso um lote de 80 arados: a) Qual é a probabilidade de não haver 
nenhum defeito; b) Qual é a probabilidade de haver pelo menos um 
defeituoso? 
 
n = 80; P = 0,012; q = q – P = 1 – 0,012 = 0,988 
X = {0,1,2,3, ... ,80} 
 
a) A probabilidade procurada é 
 
P (x = 0) = 38% 0,380676 (0,988) (0,988) . (0,012) . 
0
80 800-800 ≅==




 
Como n é grande e P é pequeno neste caso, a aproximação de 
Poisson dá os seguintes resultados, 
 
µ = λ = n.P = 80. 0,012 = 0,96 
P(x = 0) = %383828928,0
0!
e . (0,96) -0,960
≅= 
Resultado este muito próximo da resposta exata. 
 
b) P(x ≥ 1) = 1 – [P (x = 0)] = 1 – 0,380676 = 0,619324 ≅ 62% 
 P (x ≥ 1) = 1 – 0,3828928 = 0,617107114 ≅ 61,71% ≅ 62% 
 
ASSIS, J. P. , 2014 20
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL, GAUSSIANA, SIMÉTRICA, EM 
FORMA DE SINO, EM FORMA DE CAMPÂNULA 
(CAMPANULAR), EM FORMA DE CHAPÉU DE NAPOLEÃO. 
 
O PESO VIVO AO NASCER EM QUILOGRAMAS DE BEZERROS 
DA RAÇA GUZERÁ DE UM REBANHO EXPLORADO NO 
MUNICÍPIO DE MOSSORÓ-RN, EM 2012, DISTRIBUI-SE 
NORMALMENTE COM UMA MÉDIA µ = 27,0 KG E UM DESVIO 
PADRÃO σ = 1,2 KG. SE UM ANIMAL É ESCOLHIDO AO ACASO, 
RESPONDA O SEGUINTE. 
 
i) Determinar a probabilidade (área) ou a porcentagem de bezerros 
que pesam. 
a) Mais que 28 kg 
Ou ainda se for escolhido através de um sorteio ou ao acaso, um 
bezerro dessa raça, qual é a probabilidade dele nascer pesando pelo 
menos ou no mínimo 28 quilogramas? E qual é a probabilidade de dois 
bezerros selecionados ao acaso nascerem pesando pelo menos 28 
quilogramas de peso vivo? 
b) Entre 26,0 e 27,5 kg 
c) Menos que 26,0 kg 
d) Acima da média µ = 27,00 kg, ou acima do peso médio do rebanho 
ou da raça. 
 
ii) Qual deve ser o peso médio dessa raça para que apenas 10% dos 
animais tenham menos de 25 kg de peso? (Isto é, sabe-se que 10% dos 
pesos são inferiores a 25 kg). 
 
iii) Num exame de um rebanho com n = 200 animais dessa raça, 
quantos são esperados (n’) com peso acima de 28 kg? Isto é n’ = (n) . 
[P(X ≥ 28 kg). 
 
iv) Quais as abscissas dos pontos de inflexão? O que significam? 
v) Qual é a probabilidade de um peso diferir da média de mais da 
metade do desvio padrão? Ou seja, ser maior (está acima) de meio 
desvio padrão da média? 
 
vi) Qual é o peso (X) que delimita os 5% mais pesados? 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 21
vii) Quais os valores dos pesos vivos em quilogramas (X1 e X2) dos 
bezerros da raça Guzerá, que delimitam 95% dos pesos do rebanho, 
isto, é, quais os limites do intervalo que comporta 95% dos pesos do 
rebanho dessa raça bovina? Ou seja, pede-se a P(X1 ≤ X≤ X2) = 95%. 
 
-RESPOSTAS: 
i) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83,0
20,1
0,270,28
=
−
=
−
=
σ
µXZ 
( ) ( ) ( ) 29673,05000,083,005000,083,028 −=≤≤−=≥=≥ ZPZPXP 
( ) ( ) %327,2020327,083,028 ==≥=≥ ZPXP 
( ) ( ) %327,2020327,083,028 ==≥=≥ ZPXP 
 
 
 
 
-Para dois bezerros temos que: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %13,40413318692,020327,0.20327,083,0.83,02/28 ≅==≥≥=≥ ZPZPbezerrosXP
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 22
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ?5,270,26 =≤≤ XP 
 
 
 
 
 
42,0
20,1
0,275,27
2 +=
−
=Z 
 
( ) ( ) ( ) ( )42,000,000,083,042,083,05,270,26 ≤≤+≤≤−=≤≤−=≤≤ ZPZPZPXP
 
( ) %949,4545949,016276,029673,05,270,26 ==+=≤≤ XP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83,0
20,1
0,270,26
1 −=
−
=
−
=
σ
µXZ
ASSIS, J. P. , 2014 23
C) ( ) ?0,26 =≤ kgXP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83,0
20,1
0,270,26
−=
−
=Z 
 
( ) ( ) ( )00,083,05000,083,00,26 ≤≤−−=−≤=≤ ZPZPXP 
 
( ) ( ) %327,2020327,029673,05000,083,00,26 ==−=−≤=≤ ZPXP 
 
d) ( ) ( ) %505000,000,00,27 ==≥=≥ ZPXP 
 
 
00,0
20,1
0,270,27
=
−
=Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 24
II) ?=µ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
00027,0
_______
39973,0
40000,0
 
00147,0
_______
40000,0
40147,0
 
 
σµ ZX −= , ( ) 20,1.28,10,25 −−=µ ; kg536,26=µ 
 
III) 200=n ; ?' =n 
 
( )kgXPnn 0,28.' ≥= ; 41654,4020327,0.200' ≈==n Bezerros 
 
IV) kgP 8,2520,10,271 =−=−= σµ 
 kgP 2,2820,10,272 =+=+= σµ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Interpretação: 68,27% dos pesos vivos ao nascer em quilogramas dos 
bezerros da raça Guzerá explorados nesta região, estão compreendidos 
ou variam de 25,8 kg a 28,2 kg. 
( )1−−=−∴−=∴−= XZXZXZ σµµσ
σ
µ
ASSIS, J. P. , 2014 25
 
V) ( ) ?5,0 =≥ZP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20,1.
2
10,27
2
1
+=+= σµ XX 
 
6,276,00,27 =+=X 
 
5,0
20,1
0,275,27
=
−
=Z 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 30854,019146,05000,0)5,00(5000,05,0
2
1
6,270,275000,05,06,00,27
2
1
=−=+≤≤−=≥=


 ≥−
≤≤−=≥=≥−=


 ≥−
ZPZPXP
XPZPXPXP
X
X
σµ
σµ
 
( ) ( ) %85,3030854,05,0
2
1
≅=≥=


 ≥− ZPXP X σµ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 26
 
VI) 
σ
µ−
=
XZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σµ ZX =− ; σµ ZX += ; 
00053,0
_______
45000,0
45053,0
; 
00050,0
_______
44950,0
45000,0
 
 
20,1.64,10,27 +=X 
 
968,10,27 +=X ; kgX 968,28= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 27
 
VII) ( ) %9521 =≤≤ XXXP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]
σ
µ−
=
XZ ; σµ ZX =− ; σµ ZX += ; σµ ZX i += 
 
( )( )20,196,1271 −+=X ; KgX 648,24352,2271 =−= ; 
( )( )20,196,1272 ++=X ; KgX 352,29352,2272 =+= 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 28
 
-DISTRIBUIÇÃO QUI – QUADRADO ( 2χ ). 
 
1) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 1 grau 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 5 %? 
 
( ) ( ) ( )∫∫
∞∞
====≥
84,3
222222 %505,0
2
χχχχχχ
χ
dfdfP
CAL
TABELADOCALCULADO 
 
( ) 84,3
2
05,0;1 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 7 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 5 %? 
 
( ) 067,14
2
05,0;7 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 29
3) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 5 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 1 %? 
 
( ) 086,15
2
01,0;5 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 12 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 99,5% ? 
 
( ) 074,3
2
995,0;12 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 30
5) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 12 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 90 %? 
 
( ) 304,6
2
90,0;12 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 15 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 95 %? 
 
( ) 261,7
2
95,0;15 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 31
7) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v = 1 grau 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 5 %? 
 
( ) 84,3
2
05,0;1 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 32
8) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade de Qui – Quadrado ( 2χ ) que com v =4 graus 
de liberdade deixa uma área à direita dele de 1 %? 
 
( ) 277,13
2
01,0;4 =χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 33
-DISTRIBUIÇÃO “t” DE “STUDENT”. 
 
1) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 8 graus de liberdade 
que deixa uma área à direita dele positivo de 5 %? (valor unilateral à 
direita ou positivo). Ou de outra forma, 
( ) %505,0 ==≥ TABELADOCALCULADO ttP , 
[ ]( ) ( ) ( ) %505,0860,1
860,1
05,0;8 ===+≥=≥ ∫
∞
dttftPttP CALCULADOCALCULADO 
 
 
[ ] 860,105,0;8 +=+ t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 10 graus de liberdade 
que deixa uma área à direita dele positivo de dois e meio por cento, isto 
é, 2,5 %? (valor unilateral à direita ou positivo). 
 
[ ] 228,2025,0;10 +=+ t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 34
 
 
 
3) Qual é a área ou probabilidade sob a curva da distribuição teórica 
de probabilidade t de “Student” com v = 12 graus de liberdade entre os 
valores críticos ou tabelados -3,055 e +1,782? 94,5%. De outra forma, 
podemos perguntar o seguinte: quais são os valores críticos ou 
tabelados sob a curva da distribuição teórica de probabilidade t de 
“Student” com v = 12 graus de liberdade que deixam uma área de 
0,005 à esquerda dele negativo e de 0,05 à direita dele positivo. 
 
[ ] [ ][ ] %5,94945,005,0;12005,0;12 ==+≤≤− tttP 
 
[ ] ( ) ( )[ ] 945,0005,095,0055,3782,1782,1055,3 =−=−≤−+≤=+≤≤− tPtPtP 
 
[ ] %5,94945,0005,0950,0782,1055,3 ==−=+≤≤− tP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 10 graus de liberdade 
que deixa uma área à esquerda dele negativo de meio por cento (0,5 %) 
? (valor unilateral à esquerda ou negativo). 
 
[ ] 169,3005,0;10 −=− t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 35
 
5) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 12 graus de liberdade 
que deixa uma área à direita dele positivo de 0,05 ou 5%? (valor 
unilateral à direita ou positivo). 
 
[ ] 782,105,0;12 +=+ t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 12 graus de liberdade 
que deixa uma área à esquerda dele negativo e à direita dele positivo 
de 0,005 ou meio por cento (0,5%) ? (valor bilateral). 
 
055,3
2
01,0;12
±=



t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 36
 
 
 
7) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 25 graus de liberdade 
que deixa uma área à esquerda dele negativo e à direita dele positivo 
de 0,05 ou cinco por cento (5%) ? (valor bilateral). 
 
708,1
2
10,0;25
±=



t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 37
 
8) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = 10 graus de liberdade 
que deixa uma área à direita dele positivo de 0,005 ou meio por cento 
(0,5%)? (valor unilateral à direita ou positivo). É o mesmo valor que 
deixa uma área à esquerda dele negativo de 0,005 ou meio por cento 
(0,5%), ou então que deixa uma área de 99,5 % à direita dele negativo, 
ou seja, 
 
[ ] [ ]αα −−=+ 1;; VV tt 
 
[ ] [ ] 169,3995,0;10005,0;10 =−=+ tt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
[ ] 169,3005,0;10 −=− t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 38
 
10) Qual é o valor Crítico ou Tabelado sob a curva da distribuição 
teórica de probabilidade t de “Student” com v = ∞ (valor infinito) 
graus de liberdade que deixa uma área à direita dele positivo de 0,025, 
ou dois e meio por cento (2,5%), e também, à esquerda dele negativo 
de 0,025, ou dois e meio por cento (2,5%) ? (valor bilaterial). 
O qual equivale a um Valor Crítico ou Tabelado sob a Curva da 
Distribuição Normal Padrão que deixa uma área de 0,025, ou dois e 
meio por cento (2,5%) à direita deste Valor Tabelado de Z. Ou seja, 
 
 
 
96,1
2
05,0
2
05,0;
±==
∞=



















 Zt
v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O qual equivale a um valor crítico sob a curva normal de Z que 
deixa uma área de 2,5 % à direita dele positivo (+Z[0,025]), ou à 
esquerda dele negativo (-Z[0,025]),. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 39
 
 
ESTIMAÇÃO POR INTERVALO 
 (INTERVALO DE CONFIANÇA) 
 
6. ESTIMAÇÃO POR INTERVALO: TIPOS DE INTERVALOS DE 
CONFIANÇA PARA A MÉDIA (µ), PARA DIFERENÇA ENTRE 
MÉDIAS (µ1 – µ2), PARA VARIÂNCIA (σ2), PARA O DESVIO 
PADRÃO (σ), PARA A RAZÃO ENTRE VARIÂNCIAS 
2
1
2
2
σ
σ
 
 
  
, PARA 
A PROPORÇÃO (P) E DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES (P1 - 
P2) 
 
6.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA 
POPULACIONAL (µ) DE UMA POPULAÇÃO INFINITA, 
NORMAL COM VARIÂNCIA (σ2) CONHECIDA OU NÃO, E COM 
A UTILIZAÇÃO DE AMOSTRA GRANDE [n ≥ 30] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 40
n
Ze σα .
2





=
 
 
6.1.1. O INTERVALO DE CONFIANÇA 
Figura: Gráfico representativo da distribuição amostral da média X 
utilizado na construção do intervalo de confiança para a média 
populacional µ, quando se utiliza grandes amostras (n > 30). 
 
 
 
 Xe ≤−µ e eX +≤ µ 
 
eX +≤μ e µ≤− eX 
 
Ou seja, temos que: eXeX +≤≤− μ , e assim o intervalo é dado por: 
 
 αμ −=+≤≤− 


 1eXeXP
 
 
n
XZ σ
μ
α
−=






2
 ∴ ( )
n
eZ σ
μμ
α
−+=






2
 ∴ 
n
eZ σα
+=






2
 ∴ 
 
 
eXeX +≤≤− μ 
 
 
n
ZX
n
ZX σαμ
σ
α .
2
.
2 









 +≤≤− 
 ασαμ
σ
α −=+≤≤−





















 1.
2
.
2 n
ZX
n
ZXP 
 
ASSIS, J. P. , 2014 41
 
 I. C.: eX ± ∴ .
2
X Z
n
σ
α 
 
 
± OU .
2
SX Z
nα  
 
±
 
 
 Sendo assim o intervalo de confiança é determinado conforme a 
expressão abaixo. 
 
 
 
Onde “ X ” e “σ“ são, respectivamente a media da amostra e o desvio 
padrão da população com distribuição normal e variância conhecida, e 
assim o intervalo de confiança de 100(1-α) % para a media 
populacional µ é dada pela equação acima, onde 




2
αZ é o valor critico 
ou tabelado sob a curva da distribuição normal padrão. 
6.1.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Sabe-se de experimentos anteriores que a variância da produção 
leiteira de um rebanho bovino da raça holandês preto e branco criado 
na região de Natal, Rn, durante o período de 1970 a 2012, é de 4,0 
(Kg)2.Para avaliar a produção leiteira média atual, um 
criador(comprador) retirou uma amostra aleatória simples de n = 36 
vacas, obtendo uma estimativa por ponto 5,4X = . 
a) Determine estimativas por intervalos para a produção leiteira média 
populacional atual (μ), aos níveis de confiança de 
(a.1) 0,95 e 
(a.2) 0,99. 
 
 
 
 
2 2
P X X 1
n n
z zα α
σ σµ α   
      
 
 − ≤ ≤ + = −  
 
ASSIS, J. P. , 2014 42
 
-Resolução do item a.1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ2 = 4,0 Kg2, ou seja, a variância populacional σ2 é conhecida, sendo 
assim a população é normal. n = 36, 5,4X = e 4 2σ = = Kg, 1 – α = 
0,95, α = 0,05. , Pela tabela da normal temos que o valor crítico ou 
tabelado sob a curva normal padrão é dado por: 0,05
2
1,96Z 
 
 
= ± .Sendo 
assim o intervalo de confiança é obtido como mostrado abaixo. 
I.C.[ μ]0,95 → 
[ ]
2
2 2. 5,4 1,96 5,4 1,96 5,4 0,6533
636
4,7467 6,0533 4,75 6,05 0,95
X Z
n
P
α
σ
µ µ
 
 
 
± ∴ ± ∴ ± ∴ ±
≤≤ ∴ ≤ ≤ =
 
 
 
-Interpretação: O intervalo de confiança de limites 4,75 e 6,05, deve 
conter a verdadeira produção leiteira média populacional (μ) atual 
expressa em quilogramas, do rebanho bovino de vacas leiteiras da raça 
holandês preto e branco, com 95 % de probabilidade de confiança. 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 43
 
-Resolução do item a.2: 
Neste caso agora o nível de confiança é 99% de probabilidade 
assim temos que: 
1 – α = 0,99, α = 0,01. , Pela tabela da normal temos que o valor crítico 
ou tabelado sob a curva normal padrão é dado por: 0,01
2
2,58Z 
 
 
= ± . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim o intervalo de confiança é obtido como mostrado abaixo. 
I.C. [μ]0,95: 
[ ]
2
2 2. 5,4 2,58 5,4 2,58. 5,4 0,86
636
4,54 6, 26 4,54 6,26 0,99
X Z
n
P
α
σ
µ µ
 
 
 
± ∴ ± ∴ ± ∴ ±
≤ ≤ ∴ ≤ ≤ =
 
 
-Interpretação: O intervalo de confiança de limites 4,54 e 6,26, deve 
conter a verdadeira produção leiteira média populacional (μ) atual 
expressa em quilogramas, do rebanho bovino de vacas leiteiras da raça 
holandês preto e branco, com 99 % de probabilidade de confiança.Em 
outras palavras, se adotarmos a mesma metodologia, e construirmos 
100 intervalos deste tipo para a variável produção leiteira média 
populacional (μ) atual expressa em quilogramas, do rebanho bovino de 
vacas leiteiras da raça holandês preto e branco, em Média 99 
intervalos conterão o valor desta produção média populacional (μ), e 
apenas 1 deles não conterão este valor desconhecido do parâmetro μ. 
ASSIS, J. P. , 2014 44
b) Dimensionamento amostral: Qual é o tamanho da amostra 
necessária para que se obtenha um intervalo de confiança com 
precisão e = 0,5 Kg, ao nível α = 0,05? 
n = ?; e = 0,5; 1 – α = 0,95; α = 0,05 e assim o valor tabelado de Z é 
dado por: 0,05
2
1,96Z 
 
 
= ± . 
 I.C.[ μ ] 
2
.X Z X e
nα
σ
 
 
 
± ∴ ± 
( ) 2
2
2 2 2
2
2 2
2 22 2
.. . . .
.
e
Z
n ee Z n e Z n n e Z
e en n
ZZ Z
n n n
e e
α
α α α
αα α
σ
σ σ σ
σσ σ
 
 
 
     
     
     
    
         
= ∴ = ∴ = ∴ =
 
         = ∴ = ∴ =
 
 
 
 
 
[ ]
[ ] Vacasn 6247,6125,0
3664,15
5,0
2.96,1
2
22
≅=== 
 
 
Portanto o tamanho da amostra “n” deve ser de 
aproximadamente 62 animais. Ou seja, esse é o menor tamanho “n” 
que deve ter a amostra de vacas para ser usada na estimação da 
produção leiteira média populacional atual “μ“ em quilogramas, em 
uma população infinita, normal, com variância ( 2σ ) conhecida de 4 
Kg2), com um erro de estimação ou de amostragem “e” de no máximo 
0,5 kg, e uma confiança de 95 % de probabilidade. 
ASSIS, J. P. , 2014 45
6.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA (µ) DE 
UMA POPULAÇÃO INFINITA, APROXIMADAMENTE 
NORMAL COM VARIÂNCIA (σ2) DESCONHECIDA E 
AMOSTRA PEQUENA (n < 30) 
 
6.2.1. O INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
Lembrado que a variável “t” possui v = n -1 graus de liberdade. 
Onde X e S são, respectivamente a média e o desvio padrão de 
uma amostra aleatória de uma população com distribuição normal e 
variância desconhecida, e assim o intervalo de confiança de 100(1-α) % 
para a media populacional µ é dada pela equação acima, onde 
;
2
V
t α 
  
é o 
valor critico ou tabelado sob a curva da distribuição t de Student, com 
“v” graus de liberdade. 
6.2.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Seja “X” a variável aleatória que representa a taxa normal de 
colesterol no plasma sangüíneo de coelhos da raça Norfolk, criados em 
uma granja no município de Mossoró – RN, durante o ano de 2012. 
Suponhamos que com base em uma amostra casual simples de 25 
animais normais, um pesquisador obteve a média 198 / 100X mg ml= de 
plasma e o desvio padrão S = 30mg / 100 ml de plasma. 
 
a) Obtenha com base nessa amostra, o intervalo de confiança com 
90% de probabilidade para μ, isto é para a taxa média 
populacional de colesterol dos coelhos da raça Norfolk. 
; ;
2 2
S SP X t X t 1
n nv vα α
µ α   
   
   
 
 − ≤ ≤ + = −  
 
ASSIS, J. P. , 2014 46
 
-Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
241251 =−=−= nV G.L.; 10,0%10 ==α 
%505,0
2
%10
2
===
α 
 
711,1
2
10,0;24
±=



t 
25
30.711,1198
25
30.711,1198 +≤≤− µ ;
%90
25
30.711,1198
25
30.711,1198 =



+≤≤− µP 
26,10198 ± 
[ ] %9026,20874,187 =≤≤ µP 
-INTERPRETAÇÃO: Este é o intervalo de 90% de confiança para 
a média populacional “µ”, obtido com base na amostra. Então, 
90% dos intervalos calculados dessa forma, para amostras casuais 
simples de 25 indivíduos, conterão o parâmetro que é a taxa normal 
média populacional (µ) de colesterol em mg/100ml de plasma no 
plasma sanguíneo de coelhos da raça Norfolk. Ou de outra forma: 
O Intervalo de Confiança de Limites 187,74 e 208,26, contém a 
verdadeira taxa média populacional (µ) de colesterol em mg/100 ml 
de plasma dos Coelhos da Raça Norfolk com 90 % de 
Probabilidade de Confiança. 
ASSIS, J. P. , 2014 47
b) Dimensionamento amostral: Para um erro de amostragem e = 
9,00, a amostra satisfaz? 
. 
 [ ] :µIC eXn
SX
v
t ±∴±



 .
2
;α
 
711,1
2
10,0;24
±=



t 
 
∴=



 n
Ste
V
2
;α
∴=



 ...
2
;
n
n
Sten
V α
∴=






e
St
e
en V
.
. 2;
α
 
( ) 2
222
2
;22
;
2
;
..
e
St
n
e
St
n
e
St
n
VVV 





=∴










=∴=∴











 ααα
 
 indivíduosn 3350,3249,32
9
30.711,1
2
22
≅≅== 
 
 
Conclusão: Para um erro de amostragem de 9,00 mg/100ml de plasma 
será necessário uma amostra de 33 indivíduos, portanto a amostra com 
25 indivíduos não satisfaz, ou seja, são necessários mais 8 elementos. 
 
Portanto o tamanho da amostra “n” deve ser de 
aproximadamente 33 coelhos. Ou seja, esse é o menor tamanho “n” 
que deve ter a amostra de coelhos para ser usada na estimação da taxa 
normal média populacional “μ“ em mg/100 ml de plasma, de colesterol 
em uma população infinita, com 90% de confiança e um erro de 
amostragem ou de estimação de no máximo 9,00 mg/100 ml de plasma. 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 48
6.10. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO (P) DE 
UMA POPULAÇÃO INFINITA, NORMAL, E COM AMOSTRA 
GRANDE (n > 30) 
 
6.10.1. O INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
 
 
 
Onde: ,
n
x p̂ f == p̂ f = = proporção (freqüência relativa) de 
eventos sucesso na amostra; x = número (freqüência absoluta) de 
eventos sucesso na amostra; e n = número de elementos da 
amostra (tamanho da amostra). 
 
6.10.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Para testar uma vacina contra a febre aftosa, um médico 
veterinário da UFERZAM em Mossoró, Rn, selecionou ao acaso 
em 2012, uma amostra aleatória (ou casual) simples de 80 
bovinos da raça Gir, e, observou após um determinado período 
de 20 dias, que 60 desses animais foram imunizados. 
a) Calcular a estimativa intervalar para a verdadeira proporção 
populacional “P” de Bovinos da Raça Gir imunizados com a 
vacina. Use um coeficiente de confiança de 95% de 
probabilidade. 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2 2
1 1
P p 1
n n
f f f f
f z f zα α α   
   
   
 
− − − ≤ ≤ + = −  
 
ASSIS, J. P. , 2014 49
 
- Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n = 80; X = 60, onde, 
 %7575,0
80
60ˆ =====
n
XPf e %2525,075,01ˆ1ˆ ==−=−= Pq 
%505,0 ==α ; 95,005,011 =−=− α e 96,1
2
05,0 ±=



Z 
 
( )
80
75,0175,0.96,175,0: −±P 
 
095,075,0: ±P 
( ) %95845,0655,0 =≤≤ PP 
( ) %955,845,65 =≤≤ PP 
-Interpretação: O intervalo de confiança de limites 65,5% e 84,5% 
contém a verdadeira proporção populacional de bovinos da Raça 
GIR, imunizados através da vacina contra a febre aftosa, com 95% 
de confiança. Isto é se forem construídos 100 intervalos deste tipo 
usando o mesmo tamanho amostral (n = 80) para a mesma variável 
resposta e adotando a mesma metodologia, espera-se que em média 
95 destes intervalos contenham a verdadeira proporçãopopulacional (parâmetro) de bovinos da raça Gir imunizados 
contra a febre aftosa. 
ASSIS, J. P. , 2014 50
b) Dimensionamento amostral: Se a precisão for aumentada em 
5%, qual é o número de animais da raça Gir que deve ser 
selecionado? 
O erro amostral ou de estimação é dado por: 
e = 0,095; 
O novo erro amostral ou de estimação passa a ser: 
 e’ =0,095 - (0,05).(0,095) = 0,09025 
 
( )
n
PPZe
ˆ1ˆ.
2
−
=



α ∴ 
( )
n
PP
Ze
ˆ1ˆ
.
2
−
=



α ∴
( )
n
n
PP
Zen .
ˆ1ˆ
..
2
−
=



α ∴ 
 
( )∴−= PPZen ˆ1ˆ.. ( ) ∴−=
e
PPZ
e
en ˆ1ˆ.. ( )
∴
−
=
e
PPZ
n
ˆ1ˆ.
 
 
( )
( ) ( )
( )
∴




 −
= 2
2
2
2
ˆ1ˆ
e
PPZ
n
( ) ( )
( )2
2 ˆ1ˆ
e
PPZn −= 
 
 
( ) ( )
( )
8943,88
09025,0
75,0175,096,1
2
2
≅≅
−
=n animais 
 
Portanto se a precisão for aumentada em 5% serão necessários 
89 Bovinos para a pesquisa, ou seja , este é o menor tamanho que 
deve ter a amostra de animais, para se estimar a verdadeira 
proporção populacional de bovinos imunizados contra a febre 
aftosa, com 95 % de confiança ou de probabilidade, e um erro de 
amostragem ou de estimação de no máximo 0,09025, ou 9 % 
aproximadamente. 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 51
-TESTES DE HIPÓTESES OU DE SIGNIFICÂNCIA 
Na estatística experimental alguns termos de uso próprio ou corrente devem ser 
conhecidos pelo pesquisador, tais como: 
1- Delineamento experimental: É o plano, desenho ou formato utilizado na 
experimentação de como se distribui ou se aplicam os tratamentos ou 
fatores experimentais, nas unidades experimentais ou parcelas, em um 
amplo entendimento das análises a serem feitas quando todos os dados 
estiverem disponíveis.. 
2- Tratamento ou Fator experimental: É o método ou processo, em que se 
comparam seus efeitos sobre as unidades experimentais. 
3- Unidade experimental ou Parcela experimental: É a menor porção física do 
material experimental sobre as quais se aplicam os tratamentos. 
4- Repetição: É o número de vezes em que se repete os tratamentos nas 
unidades experimentais. 
5- Casualização, aleatorização ou Sorteio dos Tratamentos: É processo de 
distribuição casual dos tratamentos nas unidades experimentais, mediante 
um dispositivo de sorteio, como pedaços de papeis numerados, ou dígitos em 
uma tabela de números aleatórios ou através de uma calculadora ou 
computador usando a função RANDOM, de tal forma que cada tratamento 
tenha a mesma probabilidade de ser aplicado nas unidades experimentais. 
6- Controle Local ou Bloqueamento: É o processo de formação de estratos 
homogêneos de unidades experimentais, restringindo a casualização, com o 
objetivo de se conseguir minimizar o grau de variabilidade de unidades 
experimentais mais próximas. 
7- Variável Resposta: È o valor da medida, mensuração ou contagem das 
respostas dos efeitos dos tratamentos ensaiados ou comparados nas 
unidades experimentais, como por exemplo, temos a produção leiteira de 
uma vaca em quilogramas por dia (Kg/dia) após receber tratamento com 
ração enriquecida com proteínas à base de soja. 
8- Tratamento Controle, ou Testemunha ou placebo: É o tratamento ou fator 
padrão ou de referência, antigo ou quando as parcelas não recebem 
tratamento novo. 
 
Simbologia ou nomenclatura usada nos testes de hipóteses: 
 
De modo geral as hipóteses são testadas em três níveis de significância, 
quais sejam 1, 5 e 10 % e raramente 0,1 %. Escolhe-se para apresentar a conclusão 
o menor valor de alfa (α) capaz de rejeitar a hipótese H0. Se nenhum dos níveis 
conseguirem rejeitar a hipótese H0, diz-se que o teste é não significativo. Se o 
menor valor de alfa que rejeita a hipótese H0 é, por exemplo, 5%, diz-se que o teste 
é significativo ao nível de probabilidade de 5%. As decisões associadas a esses 
níveis de significância costumam ser assim classificadas conforme a Tabela abaixo: 
Por exemplo, se rejeitarmos a hipótese H0 a 5% de probabilidade (o valor da 
estatística teste cai dentro da região de rejeição da hipótese H0) coloca-se 1 (um) 
asterisco(*) no canto superior direito do valor da estatística teste, por outro se 
aceitar a hipótese H0(o valor da estatística teste cai dentro da região de aceitação 
ASSIS, J. P. , 2014 52
da hipótese H0) coloca-se o símbolo n.s.(não significativo) no canto superior direito 
do valor da estatística teste. Por exemplo, *58,3+=TESTEZ , ou ainda 
..32,1 snTESTEt += . 
 
 
 
Tabela: Classificação dos níveis de significância alfa (α) ou p. 
 
Nível de significância alfa (α) Conclusão Simbologia 
Valor de alfa menor ou igual a 0,1% 
( )%1,0≤α 
Diferença 
muito 
altamente 
significante ou 
significativa 
Três asteriscos (***) 
Valor de alfa menor ou igual a 1% 
( )%1≤α 
Diferença 
altamente 
significante ou 
significativa 
Dois asteriscos (**) 
 
Valor de alfa entre 1% e 5% 
( )%5%1 << α 
Diferença 
significante ou 
significativa 
Um asterisco (*) 
Valor de alfa entre 5 e 10% 
( )%10%5 ≤≤ α 
Diferença 
provavelmente 
significante ou 
significativa 
Um asterisco (*) 
Valor de alfa maior que 10% ( )%10>α Diferença não 
significante ou 
não 
significativa 
n.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 53
11. TIPOS DE TESTES PARAMÉTRICOS: TESTES DE HIPÓTESES 
ESTATÍSTICAS PARAMÉTRICOS: TESTES REFERENTES A MÉDIAS, 
VARIÂNCIAS E PROPORÇÃO. 
11.1.TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA OU DE CONFORMIDADE DE 
UMA MÉDIA ( µ ) DE UMA POPULAÇÃO INFINITA, NORMAL, COM 
VARIÂNCIA ( 2σ ) CONHECIDA [AMOSTRA GRANDE (n>30) OU PEQUENA 
(n<30)], OU VARIÂNCIA ( 2σ ) DESCONHECIDA [AMOSTRA GRANDE(n > 
30)] 
11.1.1. O TESTE DE HIPÓTESE 
HIPÓTESE 
DE 
NULIDADE 
Ho 
ESTATÍSTICA 
TESTE 
HIPÓTESE 
ALTERNATIVA 
H1 
REGIÃO CRÍTICA 
OU REGIÃO DE 
REJEIÇÃO DA 
HIPÓTESE H0 
[RRHO] 
0µ µ= 0
TESTE
XZ
n
µ
σ
−
= =
n
S
X 0µ− 
Com σ conhecido ou 
não 
0
0
0
µ µ
µ µ
µ µ
<
>
≠
 
( )
( )
2 2
Z Z
Z Z
Z Z e Z Z
α
α
α α   
   
   
≤ −
≥
≤ − ≥
 
 
 O teste de conformidade de uma média tem por objetivo 
verificar se a média µ de uma população é ou não igual a um valor 
dado µ0, a hipótese nula é, portanto: 00 : µµ =H , e rejeitamos, 
evidentemente, esta hipótese quando a média observada é muito 
diferente do valor teórico 0µ . 
11.1.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Sabe-se que certa linhagem de camundongo da linhagem 
C57BL6J, alimentados com uma ração padrão, tem um aumento 
médio de peso igual a 64 gramas durante os três primeiros meses de 
vida. Um lote (amostra) de 81 camundongos dessa linhagem foi 
alimentado com uma nova ração, mantendo-se as condições ambientais 
padronizadas. O aumento médio de peso observados nos camundongos 
foi de 60,75X = g, e um desvio padrão de S = 3,84 g. A nova ração tem a 
mesma eficiência alimentar que a padrão? Use α = 0,05. 
 n = 81, 60,75X = , S = 3,84, 0 64µ µ= = 
ASSIS, J. P. , 2014 54
i) 0
1
: 64
: 64
H
H
µ
µ
=
 ≠
` 
 
ii) α = 0,05; 0,05
2
1,96Z 
  
= ± 
 
 
iii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Curva do teste de hipótese Z Bilateral mostrando as regiões críticas ou 
de rejeição da hipótese Ho. 
 
 
iv) *60,75 64,00 3, 25 7,563,84 0,43
81
TesteZ
− −
= = = − 
 
0,05
2
TesteZ Z 
 
 
> → , 7,56 1,96− > → Então rejeita-se a hipótese H0 
Um Asterisco (*) significa que se forem conduzidos 100 
experimentos desse tipo, utilizando a mesma metodologia, amostra, 
variável resposta, etc. e assumindo que a hipótese de nulidade H0 é 
verdadeira, assume-se um risco de 5% de probabilidade de rejeita-la 
em média. 
v) Conclusões: De acordo com o teste Z, para a média “µ” ao nível de 
5% de significância, pode-se concluir que a nova ração tem menor 
eficiência alimentar que a ração padrão, sendo assim a ração padrão é 
a melhor entre as duas ensaiadas. 
ASSIS, J. P. , 2014 55
11.2. TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA OU DE CONFORMIDADE DE 
UMA MÉDIA ( µ ) DE UMA POPULAÇÃO INFINITA, APROXIMADAMENTE 
NORMAL COM VARIÂNCIA ( 2σ ) DESCONHECIDA E AMOSTRA 
PEQUENA (n < 30) 
11.2.1. O TESTE DE HIPÓTESEHIPÓTESE 
DE 
NULIDADE 
Ho 
ESTATÍSTICA TESTE HIPÓTESE 
ALTERNATIVA 
H1 
REGIÃO CRÍTICA 
OU REGIÃO DE 
REJEIÇÃO DA 
HIPÓTESE H0 [RRHO] 
0µ µ= 0 , 1 . .,TESTE
Xt com V n G LS
n
µ−
= = − 
e Com σ desconhecido 
0
0
0
µ µ
µ µ
µ µ
<
>
≠
 
( )
( )
;
;
; ;
2 2
V
V
V V
t t
t t
t t e t t
α
α
α α   
   
   
≤ −
≥
≤ − ≥
 
 
O teste de conformidade de uma média tem por objetivo 
verificar se a média µ de uma população é ou não igual a um valor 
dado µ0. a hipótese nula é, portanto: 00 : µµ =H , e rejeitamos, 
evidentemente, esta hipótese quando a média observada é muito 
diferente do valor teórico 0µ . 
 
11.2.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 
 Em um seringal, localizado no estado do Acre, no qual se utiliza 
o processo convencional de sangria em 2012, a produção média de 
borracha seca é de 26 g / árvore/ corte. Tomou-se uma amostra ao 
acaso composta de 25 seringueiras, as quais foram sangradas usando-
se um novo processo, tendo produzido 28 g em média, com desvio 
padrão de 4g. O novo processo é mais eficiente que o convencional? 
Use α = 5%. 
Sendo que µ = µ0 = 26. 
n=25; 4;28 == SX 
V= n -1= 25 -1=24 
[ ] 711,105,0;24 +=t 
ASSIS, J. P. , 2014 56
 
1) 
Ho: µ = µ0 = 26 
H1: µ > µ0 > 26 
2) α = 0,05 = 5%; [ ] 711,105,0;24 +=t 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) *5,2
8,0
2
25
4
2628
==
−
=== CALCULADOOBSERVADOTESTE ttt 
Como o valor do t teste é maior que o valor do t tabelado ou crítico, 
isto, é: 2,5 > [ ] 711,105,0;24 +=t , então rejeita-se a hipótese Ho. 
 
5) Conclusões: Baseado no teste “t” de “Student” para a média, com 24 
graus de liberdade e ao nível de 5% de significância, pode – se concluir 
que o novo processo de sangria das seringueiras é mais eficiente que o 
processo convencional, no que se refere a induzir uma maior produção 
média de borracha seca das seringueiras em g/árvore/corte. 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 57
11.4. TESTE DE HIPÓTESE PARA A DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS 
( )1 2µ µ− DE DUAS POPULAÇÕES INFINITAS, COM VARIÂNCIAS ( )2 21 2eσ σ 
CONHECIDAS [AMOSTRAS GRANDES E INDEPENDENTES (n1 > 30 E n2 > 
30) OU PEQUENAS (n1 < 30 E n2 < 30)] OU COM VARIÂNCIAS 
DESCONHECIDAS [AMOSTRAS GRANDES (n1 > 30 E n2 > 30)] 
11.4.1. O TESTE DE HIPÓTESE 
 
HIPÓTESE 
DE 
NULIDADE 
Ho 
ESTATÍSTICA TESTE HIPÓTESE 
ALTERNATIVA 
H1 
REGIÃO CRÍTICA 
OU REGIÃO DE 
REJEIÇÃO DA 
HIPÓTESE H0 [RRHO] 
1 2µ µ= 
021 =− µµ 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
,
.
TESTE
TESTE
X X
Z
n n
X X
Z
S S
n n
e conhecidos
µ µ
σ σ
µ µ
σ σ
− − −
=
+
− − −
=
+
 
Ou não conhecidos. 
1 2
1 2
1 2
µ µ
µ µ
µ µ
<
>
≠
 
( )
( )
2 2
Z Z
Z Z
Z Z e Z Z
α
α
α α   
   
   
≤ −
≥
≤ − ≥
 
 
11.4.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Um experimento aleatório conduzido No Estado de São Paulo em 
2012, consistiu em comparar os pesos vivos ao nascer em quilogramas 
de animais bovinos (bezerros) machos das raças Gir e Guzerá da 
estação experimental de zootecnia de Sertãozinho, do instituto de 
Zootecnia da secretária da Agricultura de São Paulo. Ao nível de 5% 
de Probabilidade. 
 
-Pesos vivos ao nascer (Kg) de Bezerros Machos Zebu. Onde: 
2 2
11 1 1
2 2
22 2 2
40; 28,3 ; 108,37 ; 10,41
50; 23,5 ; 49,70 ; 7,05
n X Kg S Kg S Kg
n X Kg S Kg S Kg
= = = =
= = = =
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 58
1) Ho: 21 µµ = ∴ 021 =− µµ 
 H1: 21 µµ ≠ 
 
2) α = 0,05 = 5%; 
 
3) 96,1
2
05,0 ±=




Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
( )
( ) ( )
*5,2
9244,1
8,4
70325,3
8,4
99405,07092,2
08,4
50
05,7
40
41,10
05,233,28
22
===
+
−
=
+
−−
== CALCULADOTESTE ZZ
 
Como o valor do Z teste é maior que o valor do Z tabelado ou crítico, 
isto, é, 2,5 > [ ] 96,105,0 ±=Z , então rejeita-se a hipótese Ho. 
5) Conclusões: De acordo com o teste Z para a diferença entre médias, 
ao nível de 5% de significância, conclui-se que os pesos vivos médios ao 
nascer em quilogramas dos bezerros machos ZEBÚ, foram 
estatisticamente ou significativamente diferentes. Sendo que os animais 
da raça GIR os de maior peso, portanto são animais com maior 
aptidão para formação de Plantel ou rebanho para abate, corte ou 
engorda. 
ASSIS, J. P. , 2014 59
11.5. TESTE DE HIPÓTESE PARA A DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS 
( )1 2µ µ− DE DUAS POPULAÇÕES INFINITAS, APROXIMADAMENTE 
NORMAIS, COM VARIÂNCIAS ( )2 21 2eσ σ DESCONHECIDAS E 
ESTATISTICAMENTE IGUAIS ( )2 2 21 2σ σ σ= = OU SEJA, POPULAÇÕES 
HOMOCEDÁSTICAS E AMOSTRAS PEQUENAS E INDEPENDENTES 
(n1 < 30 e n2 < 30) 
11.5.1. O TESTE DE HIPÓTESE 
 
HIPÓTESE 
DE 
NULIDADE 
Ho 
ESTATÍSTICA TESTE HIPÓTESE 
ALTERNATIVA 
H1 
REGIÃO CRÍTICA 
OU REGIÃO DE 
REJEIÇÃO DA 
HIPÓTESE H0 [RRHO] 
1 2µ µ= 
021 =− µµ 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1 2 22 2
1 2
, 2,
1 1.
,
1 1
,
2
TESTE
P
P P P
X X
t com V n n e
S
n n
mas desconhecidos sendo
n S n S
S e S S
n n
µ µ
σ σ
− − −
= = + −
+
=
− + −
= =
+ −
 
42
2
<
MENOR
MAIOR
S
S , e 
 V= v1 + v2 = (n1 -1) + (n2 -1) = n1 + n2 - 2 
1 2
1 2
1 2
µ µ
µ µ
µ µ
<
>
≠
 
( )
( )
;
;
; ;
2 2
V
V
V V
t t
t t
t t e t t
α
α
α α   
   
   
≤ −
≥
≤ − ≥
 
 
11.5.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Realizou-se um experimento aleatório em uma granja localizada 
em Mossoró, Rn, em 2012, com 340 aves de pintos machos de um dia 
de idade, da linhagem “Ross”, com o objetivo de estudar o efeito da 
fonte de fósforo no ganho de peso das aves em gramas. Foram 
utilizados 10 repetições por tratamento e 17 pintos por parcela e os 
resultados para ganho de peso médio por parcela em gramas, estão 
mostrados na tabela abaixo. 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 60
Tabela 4: Dados de ganhos de peso de pintos machos de um dia de 
idade submetidos a tratamentos diferentes. 
Termofosfato Magnesiano (X1) Fosfato Bicálcico (X2) 
63,0 60,9 90,0 91,8 
62,5 62,5 90,6 92,0 
61,9 63,8 91,7 92,3 
60,7 62,0 90,9 90,6 
63,2 61,8 90,3 91,2 
 
Sendo que, gxxxxxX 0,63
17
174321
11 =
+++++
=
L 
Onde temos os seguintes dados: 
2 2
11 1 1
2 2
22 2 2
10; 62,23 ; 0,96 ; 0,98
10; 91,14 ; 0,61 ; 0,78
n X g S g S g
n X g S g S g
= = = =
= = = =
 
 
a) Verificar se existe efeito significativo da fonte de fosfato, isto, é, se os 
ganhos médios de pesos em gramas são estatisticamente iguais, ou 
ainda se existe igualdade entre os tratamentos ensaiados, 
considerando, α = 0,05. 
,46,1
61,0
96,0
2
2
<==
MENOR
MAIOR
S
S Portanto as variâncias são iguais, 22221 σσσ == , 
populações homoscedásticas. 
 
V = 10+10-2=18; 101,2
2
05,0;18
±=




t 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,785,0
18
13,14
21010
61,0996,09
21010
61,011096,0110
2
11
21
2
22
2
112 ==
−+
+
=
−+
−+−
=
−+
−+−
=
nn
SnSn
SC
 
886,0;785,0 == CC SS 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 61
1) Ho: 21 µµ = ∴ 021 =− µµ 
 H1: 21 µµ ≠ 
 
2) α = 0,05 = 5%; 
 
3) 101,2
2
05,0;18
±=




t 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
( )
( )
*99,72
396042,0
91,28
447,0886,0
091,28
10
1
10
1.886,0
014,9123,62
−=
−
=
−−
=
+
−−
=== CALCULADOOBSERVADOTESTE ttt
 Como o valor do “t” teste ou t observado é maior que o valor do 
“t” tabelado ou crítico, isto, é, -72,99 < -2,101, ou então, 
101,299,72 −>− , quer dizer 72,99 > 2,101, então rejeita-se a hipótese 
Ho. Ou seja, o “t” observado, é significativo a 5% de probabilidade, por 
isso rejeita-se a hipótese Ho. 
5) Conclusões: Baseado no teste “t” de “Student” para a diferença 
entre médias, com 18 graus de liberdade e ao nível de 5% de 
probabilidade, pode-se concluir que houve efeito significativo da fonte 
de fosfato, isto, é, houve diferença estatística (significativa), entre os 
ganhos de peso vivo médio dos pintos machos de um dia de idade da 
Linhagem “ROSS”, ou seja, a melhor fonte de fosfato é o fosfato 
bicálcico. 
ASSIS, J. P. , 2014 62
11.9. TESTE DE HIPÓTESE PARA A PROPORÇÃO (P) DE UMA 
POPULAÇÃO INFINITA, NORMAL, E COM AMOSTRA GRANDE ( )30n ≥ 
11.9.1. O TESTE DE HIPÓTESEHIPÓTESE 
DE 
NULIDADE 
Ho 
ESTATÍSTICA 
TESTE 
HIPÓTESE 
ALTERNATIVA 
H1 
REGIÃO CRÍTICA 
OU REGIÃO DE 
REJEIÇÃO DA 
HIPÓTESE H0 [RRHO] 
0P P= 0
0 0
ˆ
TESTE
P PZ
P q
n
−
= 
Com população 
infinita, e ˆ 5nP > , 
ˆ 5nq > , 30n ≥ , 
ˆ XP
n
= e 0 01q P= − 
0
0
0
P P
P P
P P
<
>
≠
 
( )
( )
2 2
Z Z
Z Z
Z Z e Z Z
α
α
α α   
   
   
≤ −
≥
≤ − ≥
 
 
11.9.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 Em uma granja localizada no município de Mossoró, Rn, 
selecionou-se em 2012, uma amostra aleatória de 800 coelhos da raça 
NOLFOX, a qual apresentou 480 machos. Ao nível de 1% de 
significância, pode-se concluir que há prevalência (predominância) de 
coelhos machos nessa granja? 
P(Sucesso) = Número de coelhos machos 
40,060,01ˆ;60,0
800
480ˆ =−===== q
n
XfP 
 
P0 = 0,50 = 50% e q0 = 1 – 0,50 = 0,50 = 50% 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 63
1) Ho: 0PP = , 50,0%50 ==P 
 H1: %50>P 
 
2) α = 0,01 = 1%; [ ] 33,201,0 +=Z 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
( )
**7,5
0176776,0
1000000,0
800
50,0150,0
50,060,0
≅=
−
−
=== CALCULADOOBSERVADOTESTE ZZZ 
Como o valor do “Z” teste ou “Z” observado é maior que o valor 
do “Z” tabelado ou “Z” crítico, isto, é, 5,7 > + 2,33, então, rejeita-se a 
hipótese Ho. 
 
5) Conclusões: De acordo com o teste “Z” para a proporção, ao nível de 
1% de probabilidade, pode-se concluir que há prevalência de coelhos 
machos nessa granja, ou melhor, nessa população de coelhos da Raça 
NOLFOX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 64
1) REGRESSÃO LINEAR SIMPLES. 
 
-Considere os pesos vivos ao nascer (x) e ao desmame (y), ambos em quilogramas (kg), 
medidos em 10 bezerros (n = 10) machos da Raça Bovina GUZERÁ, os quais foram 
obtidos em 2010, na cidade de Mossoró, RN. 
Tabela 1 - Dados Referentes aos pesos ao nascer (x), e ao desmame (y) expressos em quilogramas de 
dez bezerros machos da raça guzerá. 
 
 PESO AO 
NASCER (KG) 
X 
PESO AO 
DESMAME (KG) 
Y 
 
XY 
 
X2 
 
Y2 
 25,6 
26,9 
27,1 
28,6 
26,4 
25,8 
26,7 
28,7 
27,9 
26,9 
48,6 
49,8 
50,3 
52,4 
49,6 
49,0 
49,4 
53,0 
52,0 
49,7 
1244,16 
1339,62 
1363,13 
1498,64 
1309,44 
1264,20 
1318,98 
1521,10 
1450,80 
1336,93 
655,36 
723,61 
734,41 
817,96 
696,96 
665,64 
712,89 
823,69 
778,41 
723,61 
2361,96 
2480,04 
2530,09 
2745,76 
2460,16 
2401,00 
2440,36 
2809,00 
2704,00 
2470,09 
SOMA 270,60 503,80 13647,00 7332,54 25402,46 
n = 10 SQX = ( )
10
60,27054,7332
2
− = 10,10 
X = kg06,27
10
60,270
= SQY = ( ) 02,21
10
80,50346,25402
2
=− 
Y = kg38,50
10
80,503
= SPXY = ( )( ) 17,14
10
80,50360,27000,13647 =−
 
 
 De acordo com os dados mostrados na tabela acima, responda de forma 
detalhada os seguinte itens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 65
a) Construir o diagrama de dispersão de y em função de x; 
 
 
Figura 1 - Diagrama de dispersão de Y (Peso ao desmame em kg) em função de X (Peso ao nascer 
em kg). 
 
O diagrama de dispersão da Figura acima mostra uma forte associação 
linear positiva ou direta. Bezerros que nascem com o peso ao nascer maiores 
significam bezerros com os pesos elevados ao desmame. A forma da relação é 
linear, isto é, os pontos se dispõem segundo um padrão retilíneo. Trata-se de uma 
relação forte porque os pontos estão próximos de uma reta, com pequena 
dispersão. Se soubermos o peso ao nascer, poderemos predizer o peso ao desmame 
com bastante precisão, a partir do diagrama de dispersão. 
b) Determinar a equação de regressão linear simples através do método dos 
mínimos quadrados, do peso ao desmame (y) sobre o peso ao nascer (x) e 
interprete o coeficiente linear ( â ) e de regressão ( b̂ ); ii XbaY ˆˆˆ += . 
14,172ˆ 1,40
10,104
b = ≅ ; ˆ 50,38 (1,40)(27,06) 12,50a = − ≅ . Ou seja, a equação ou função 
ajustada aos dados do peso ao desmame em quilogramas, em função do peso ao 
nascer também em quilogramas, dos bezerros machos da raça Guzerá, é dada pela 
seguinte equação: ˆ 12,50 1,40.i iY X= + .Sendo assim a interpretação é feita 
conforme mostramos, ˆ 12,50a = , significa que a reta de regressão linear simples 
ajustada ˆ 12,50 1,40.i iY X= + , intercepta ou corta o eixo das ordenadas (peso ao 
desmame), no ponto de coordenadas ( )0,00;12,50 , ou a uma altura a partir da 
ASSIS, J. P. , 2014 66
origem deste eixo igual a 12,50. ˆ 1,40b = , Significa que para cada 1 quilograma 
de variação no peso vivo ao nascer (X), têm-se um acréscimo médio de 1,40 
quilogramas no peso vivo ao desmame (Y) dos animais . 
c) Testar usando o teste “t” de “Student” a 5% de probabilidade, a significância 
da regressão linear simples obtida no item anterior “b”; 
Procedimentos para a condução do teste de hipótese 
(i) Elaborar as hipóteses; H0: β = 0β , β = 0 
 H1: β ≠ 0β , β ≠ 0 
(ii) Especificar o nível de significância do teste; %5=α 
(iii) Traçar a curva do teste [Distribuição amostral do estimador, ]b̂ 
 
Figura 11 - Curva da distribuição amostral do coeficiente de regressão linear simples b̂ . 
 
V = n – p -1 = 10 -1-1; V= 10 - 2 = 8, 306,2
2
05,0;8
±=





t 
(iv) Calculo da Estatística Teste 
Cálculos necessários para se obter a variância (S2) e o desvio padrão da 
regressão (S) além do erro padrão ( )[ ]bS ˆ do coeficiente de regressão linear simples 
( b̂ ). 
( )2
Re
2
Re
ˆ( )
14,172
21,016 1,138171 1,140
10,104
1,14ˆ 0,1425 0,143
10 2
0,1425 0, 3774717 0, 377
0, 377 0, 377 0,11876 0,119
3,178678910,104
gressão
gressão
b
SQ
Var S
S
S
= − = ≅
= = = ≅
−
= = ≅
= = = ≅
 
( )
( )
;
ˆ
ˆ
0
bS
b
testet
β−
=
 
( )
*79,11
11876,0
04,1
≅
−
=testet 
ASSIS, J. P. , 2014 67
Como o tteste foi maior que o ttabelado, ou seja, (11,79) > 306,2
2
05,0;8
±=





t , então 
rejeita-se a hipótese H0. 
(v) Conclusões: De acordo com o teste t de “Student”, para a regressão linear 
simples, com 8 graus de liberdade, e ao nível de significância de 5% de 
probabilidade, pode-se concluir que o coeficiente de regressão linear simples 
amostral ( 4,1ˆ =b ), do peso vivo ao desmame sobre o peso vivo ao nascer, ambos 
em quilogramas, dos bezerros machos da raça bovina guzerá é estatisticamente 
significativo, ou significativamente diferente de zero (0). 
d) Determinar e interpretar o coeficiente de determinação ou explicação (r2) e o 
coeficiente de não determinação ( 2 21K r= − ); 
2
2 ˆ ˆ. . .100(%)b SQX b SPXYr
SQY SQY
= = 
( ) ( ) our
016,21
104,1040,1 22 =
 
( )( ) 94,0
016,21
172,14400,12 ==r %942 =r 
 Sendo assim a interpretação é feita conforme mostramos a seguir: 
Isso significa que 94% das variações no peso ao desmame (Y) em 
quilogramas dos bezerros machos da raça Guzerá, são explicadas estatisticamente 
pelas variações no peso ao nascer (X) em quilogramas, através da função (equação) 
ajustada ˆ 12,50 1,40.i iY X= + , e %606,094,011
22 ==−=−= rK ; ou seja 6% 
dessas variações são atribuídas a causas ou fatores aleatórios, casuais ou 
estocásticos, ou devido a erros amostrais ou seja, fatores alheios a vontade do 
pesquisador, pois ele não os isolou no modelo para estudar os seus efeitos nessa 
pesquisa. 
e) Estimar o peso no desmame (y) para um peso ao nascer (x) de 26,5 kg; 
26,5ˆ 12,50 1,40.(26,5) 49,6Y Kg= + = 
Significa que um bezerro que nascer pesando ou tendo um peso vivo de 26,5 
quilogramas, terá em média ao desmame 49,6 quilogramas de peso vivo. 
 
 
 
 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 68
2) CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES. 
a) Construir o diagrama de dispersão 
 
 
Figura 29 - Diagrama de dispersão do peso ao desmame e do peso ao nascer ambos em 
quilogramas. 
 
 b) Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear simples de 
“Pearson” (r) entre x e y, e teste sua significância a 5% de probabilidade através 
do teste “t” de “Student”.Resolução: 
b.1) 
( ) ( )
14,17 14,17 0,97
14,5710,10 21,02
r = = = + 
 Sendo assim a interpretação do valor obtido para o coeficiente de 
correlação linear simples de Pearson igual a + 0,97, é feito assim: De acordo com o 
valor obtido do coeficiente de correlação linear simples de Pearson (r) r = +0,97, 
conclui-se que existe uma forte correlação linear simples positiva ou direta, entre o 
peso ao desmame (Y) e o peso ao nascer (X) dos bezerros machos da raça Guzerá, 
ambos expressos em quilogramas. 
 
 
 
ASSIS, J. P. , 2014 69
b.2) Aplicação do teste t de “Student”. 
 
i) Elaborar as hipóteses; 
0;:
0;:
01
00
≠≠
==
ρρρ
ρρρ
H
H
 
ii) Especificar o nível de significância, 
05,0=α 
iii) Traçar a curva do teste [Distribuição amostral do estimador r] 
 Distribuição amostral do estimador , r 
 ↓ 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 - Curva do teste ou curva da distribuição amostral do coeficiente de correlação linear 
simples de Pearson r. 
 
V = n – 2 ; V= 10 - 2 = 8, 306,2
2
05,0;8
±=





t 
iv) Calculo da Estatística Teste; ( ) ( )
*
22
0 3,11
08595,0
97,0
210
97,01
097,0
2
1
≅=
−
−
−
=
−
−
−
=
n
r
r
t Teste
ρ
 
Como o tteste foi maior que o tcrítico ou ttabelado, ou seja, ( )







>
2
05,0;8
tt Teste , ou ainda 
11,30 > 2,306, então rejeita-se a hipótese H0 
 
v) Conclusão: De acordo com o teste t de “Student”, para a correlação linear 
simples, com 8 graus de liberdade e 5% de significância, pode-se concluir que, o 
coeficiente de correlação linear simples amostral (r = 0,97), entre os pesos vivos ao 
nascer e os pesos vivos ao desmame ambos em quilogramas dos bezerros machos 
da raça Bovina Guzerá, é estatisticamente diferente de zero ou significativamente 
diferente de zero.