Gabarito - UNIVESP - 2021 - Atividade para Avaliação - Semana 4 - Fundamentos Matemáticos da Computação

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Os gabaritos serão publicados na segunda-feira seguinte após o fechamento de cada atividade.
 
SEMANA 3
SEMANA 4
SEMANA 5
SEMANA 6
 
GABARITOS
Lista de Gabaritos da Disciplina
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Questão 1 - (1 ponto)
A partir de qual a expressão torna-se válida?
Justificativa
O problema exposto compreende a verificação dos “casos-base” (ou base da indução), que devem ser
analisados inicialmente no processo de prova por indução finita.
Para , a desigualdade não é verdadeira, pois . A desigualdade 
 continua inválida para . No entanto, para temos 
, assim como para ou 15, é observada a validade na desigualdade em questão. Sendo assim, verifica-
se que tal desigualdade continua válida para .
a.
b.
c.
d.
e.
 
 
Questão 2 - (1 ponto)
É incorreto afirmar que 3 divide , , pois:
Justificativa
Uma forma de verificar que uma expressão é inválida consiste na apresentação de ao menos um
contraexemplo. Nesse contexto, para temos , o que de fato é um contraexemplo, pois
3 não divide 13, assim, a expressão “3 divide ” não é válida para qualquer .
Apenas para fins de verificação, é simples observar que tornam a expressão 
 equivalente a 3, 21, 57 e 111, sendo todos estes divisíveis por 3, ou seja, são apenas exemplos específicos de
n que tornam a expressão verdadeira.
 
 
Questão 3 - (1 ponto)
A figura ilustrada exibe o padrão geométrico associado aos números triangulares.
 
 
 
 
 
A respeito da quantidade de unidades necessárias para a formação do n-ésimo número triangular, para 
 e percebendo que , podemos concluir que:
 é um contraexemplo.a.
 é um contraexemplo.b.
 é um contraexemplo.c.
 é um contraexemplo.d.
 é um contraexemplo.e.
 
 
 
a.
Justificativa
 
Primeiramente, a alternativa correta deve proporcionar equivalente à quantidade de unidades necessárias
para formar um triângulo quando , ou seja, deve mostrar validade sobre os “casos-base”
(base da indução). Enquanto a alternativa (a) garante a validade para tais casos, o que não é assegurado pelas
alternativas (b), (c) e (d).
Além disso, a fim de verificar que é verdadeiro para qualquer , vamos conduzir sua
prova segundo o princípio da indução finita, ou seja, admitindo que “sendo válido, mostramos que 
 é válido também”.
Diante dos padrões ilustrados e segundo a informação que , podemos afirmar que 
, logo:
levando à conclusão de que a expressão é válida para qualquer .
 
 
Questão 4 - (1 ponto)
Na tentativa de provar que , para , é correto afirmar que:
Justificativa
Sendo válidos os casos-base da indução (basta verificar que n=1, 2 e 3 geram , e 
), podemos usar o princípio da indução finita para provar que , para .
Assim, ao admitir que , temos:
 
 
b.
 
 
c.
 
 
d.
e.
a.
sabendo que , temos b.
c.
a expressão é inválida, uma vez que não respeita algum caso-base.d.
e.
Ou seja:
Por consequência, a expressão alcançada implica a incoerência nas demais alternativas.
 
 
Questão 5 - (1 ponto)
Seja é divisível por:
Justificativa
A verificação dos casos-base da indução, n=1, 2, e 3 mostram que é divisível por 7, pois:
sendo estes múltiplos de 7.
A fim de completar a verificação, suponhamos que , para ; ou seja, dado um n qualquer a
expressão resulta em um múltiplo de 7. Ainda, cabe notar que .
Posteriormente, para , temos:
para algum , que equivale a , mostrando, assim, a divisibilidade da expressão por 7.
Com isso, fica provado que é divisível por 7 para .
 
 
Questão 6 - (1 ponto)
Dado , determine o conjunto de pares que representa a relação 
.
2a.
3b.
5c.
7d.
11e.
a.
b.
c.
d.
Justificativa
A relação refere-se à propriedade de máximo divisor comum entre dois números ser igual a 2. Ao
verificar de forma exaustiva, temos que os pares possuem 2 como
máximo divisor comum.
Uma propriedade que cabe destacar, e que reforça a veracidade da alternativa escolhida, refere-se à simetria do
máximo divisor comum, ou seja, . Com isso, qualquer par apontado como
constituinte da resposta induzirá a presença do par também como parte da resposta.
 
 
Questão 7 - (1 ponto)
Seja R uma relação de A para B e S uma relação de B para C, em que , e 
. As relações R e S são definidas de acordo com as matrizes boolenas M e N representadas
abaixo, respectivamente.
 
 
 
Diante destas relações, é correto afirmar que a cardinalidade de é:
Justificativa
Assim como as relações R e S, composição também pode ser representada através de uma matriz
booleana P cujo elemento equivale a 1 quando existe k tal que , caso contrário, . De
acordo com a condição exposta, é válido afirmar que , o que resulta em:
Sabendo que os elementos de P iguais a 1 referem-se aos pares dessa relação, concluímos que a cardinalidade
de é igual a 6.
 
e.
16a.
10b.
6c.
3d.
2e.
 
Questão 8 - (1 ponto)
Dados os conjuntos , e ; e as relações 
 e , é correto concluir que a composição 
 corresponde a:
Justificativa
A composição refere-se aos pares para os quais existe tal que e .
Ao verificar quais pares atendem às relações R e S, temos e .
Por sua vez, conforme definido acima, a composição é determinada pelos pares com e 
, ou seja, que coincidem a segunda componente dos pares de R com a primeira componente dos
pares de S, ambas denotadas por b. Nesse caso, o único valor de b que permite verificar esta propriedade é 3,
consequentemente, os pares implicam em , pois é o único elemento
que garante a propriedade apontada inicialmente.
 
 
Questão 9 - (1 ponto)
Seja , e R uma relação tal que . A
quantidade de pares tais que (isto é, não estão relacionados por R) equivale a:
Justificativa
Uma vez que a questão compreende determinar a quantidade de pares que não estão relacionados por
R, podemos verificar a quantidade de pares possíveis de serem obtidos via A e B, em seguida, excluir a
quantidade de pares que estão relacionados por R.
Uma vez que a quantidade de pares possíveis é igual a e que ,
então, a quantidade de pares que não estão relacionados por R é igual a 21.
 
 
Questão 10 - (1 ponto)
a.
b.
c.
d.
e.
24a.
23b.
22c.
21d.
20e.
A respeito da matriz booleana da relação , sendo e 
, podemos afirmar que:
Justificativa
Como ponto de partida, a propriedade , para algum , revela que os pares de R são aqueles
cuja soma é um múltiplo de 3. Ainda, dado que possui N como matriz booleana, cujos elementos
são , sendo M a matriz booleana de R, temos:
 
Perante a configuração dos elementos de N verifica-se que:
I) não é simétrica;
II) não possui diagonal nula;
III) não corresponde à matriz identidade;
IV) possui determinante nulo, pois existem duas ou mais filas iguais. 
Segundo as características apontadas, especialmente em relação a (iv), podemos afirmar que a matriz booleana
de não possui inversa, já que seu determinante é nulo, justificando, assim, a alternativa correta.
 
sua diagonal é nula.a.
corresponde à matriz identidade.b.
é simétrica.c.
possui determinante não nulo.d.
não possui inversa.e.