Matematica_Financeirapdf-1160720112845

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ESCOLA TÉCNICA
CURSO TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Curso Técnico em Transações Imobiliárias
Escola Técnica Mônaco
Estrada da Portela, nº 107 
Madureira – Rio de Janeiro – RJ – Brasil – 21.351-050
Diagramação e Edição
Carolina Vitaliano Gurgel 
Jansen Pereira
Coordenadora Pedagógica
Tamires da Silva Santos Pereira
Direção Pedagógica
Suellen Ewald Torres de Oliveira
Copyright © 2020 Escola Técnica Mônaco Ltda.
1ª Edição
Todos os direitos reservados.
Proibida a reprodução e edição, mesmo parcial, por qualquer pessoa, sem 
autorização da instituição.
índice
Introdução ......................................................................................................................................4
Grandeza .......................................................................................................................................4
Grandeza Diretamente Proporcional .......................................................................................5
Grandeza Inversamente Proporcional ......................................................................................5
Razão e Proporção ......................................................................................................................5
Propriedade Fundamental ..........................................................................................................6
Composição....................................................................................................................................6
Decomposição ...............................................................................................................................7
Divisão Proporcional ....................................................................................................................9
Divisão em Várias Partes Diretamente Proporcionais ........................................................ 10
Divisão em Duas Partes Inversamente Proporcionais .......................................................... 11
Divisão em Várias Partes Inversamente Proporcionais ....................................................... 11
Divisão em Duas Partes Direta e Inversamente Proporcionais .......................................... 12
Divisão em N Partes, Direta e Inversamente Proporcionais ............................................... 13
Regra de Sociedade ................................................................................................................. 14
Regra de Três ............................................................................................................................. 15
Regra de Três Simples Direta .................................................................................................. 15
Regra de Três Simples Inversa ................................................................................................ 16
Regra de Três Composta .......................................................................................................... 17
Porcentagem ............................................................................................................................... 19
Preços de Custo e de Venda, Lucros e Prejuízos ................................................................. 20
Custos ........................................................................................................................................... 21
Lucros e Prejuízos ....................................................................................................................... 22
Juros ............................................................................................................................................. 23
Juros Simples ............................................................................................................................... 26
Juros Comerciais e Juros Exatos .............................................................................................. 27
Desconto ...................................................................................................................................... 27
Desconto Simples Racional (Por Dentro) ................................................................................ 28
Diferença Entre os Descontos Comercial e Racional ........................................................... 29
Desconto Comercial Composto ................................................................................................ 29
Desconto Racional Composto ................................................................................................... 30
Capitalização ............................................................................................................................. 30
Histórico ....................................................................................................................................... 31
Comparação Entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta ......................... 33
Inflação ........................................................................................................................................ 34
Títulos de Crédito....................................................................................................................... 35
Amortização ............................................................................................................................... 40
Conceitos Relacionados ............................................................................................................ 40
Sistemas de Amortização ......................................................................................................... 40
Leasing ......................................................................................................................................... 41
 4
Introdução
A Matemática contribui para estruturar o pensamento e o raciocínio, ajudando a resolução de 
situações das mais variadas atividades humanas, preparando o estudante para sua atuação 
no mercado de trabalho em diferentes carreiras. No caso do profissional de transações 
imobiliárias são-lhe indispensáveis de diferentes habilidades e conhecimentos específicos para 
que possa informar, orientar e oferecer segurança ao seu cliente. Dentre esses conhecimentos 
e habilidades, inclui-se, com destaque, a linguagem da Matemática Financeira.
Nesse sentido, o presente trabalho foi elaborado com ênfase na matemática financeira 
básica e fundamental necessária à realização da compra, venda e locação de imóveis, 
incluindo operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação e regimes de capitalização.
O estudo do regime de Capitalização Simples é o cenário principal desta seção. Nela é 
abordada a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de 
taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos.
Todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização. A 
matemática foi, gradativamente, aplicada ao comércio e às finanças devido à necessidade 
de melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas 
em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de movimentação de capital no 
mercado, para cálculo de juros, montante, descontos.
A despeito da enorme disponibilidade de ferramentas produzidas pela alta tecnologia, 
a Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois o conhecimento e a informação 
representam um grande poder para a execução de serviços, especialmente, em um mercado 
que não é estático.
O estudo das questões de natureza econômica não é recente. Os antigos gregos já se 
preocupavam com esse assunto e fizeram importantes contribuições. No entanto, o nascimento 
da economia como corpo teórico de estudo, independentemente da política e da filosofia, 
ocorreu em 1776, quando Adam Smith publicou “Uma investigação sobre a natureza e as 
causas da riqueza das nações”.
Desde então,muita água passou sob a ponte, como o povo diz. A tecnologia massificou o 
uso das calculadoras eletrônicas, e já quase não se recorre aos cálculos na ponta do lápis.
Grandeza
É todo valor que, ao ser relacionado a outro de certa forma, quando há a variação de 
um, o outro, como consequência, varia também. Em nosso dia-a-dia, quase tudo se associa a 
duas ou mais grandezas. Assim, quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., 
estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.
Ex.: 
Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo 
da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.
A relação de dependência entre duas grandezas, conforme a condição apresentada, pode 
ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.
 5
Grandeza Diretamente Proporcional
Definem-se como Grandezas Diretamente Proporcionais aquelas nas quais a variação de 
uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e 
sentido.
Ex.: 
a) 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kg de carne então ela pagará “02 
y”.
b) Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 
borrachas, o custo total será de R$ 2,00, calculado o preço unitário de R$ 0,10.
c) 
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica 
necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção 
contrários.
Ex.: 
Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 
metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 
segundos para percorrer os mesmos 10 metros.
Razão e Proporção
A razão entre dois números, dados em certa ordem, sendo o segundo número sempre 
diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.
Ex.: 
a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12 
a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10 
a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18
1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1º número é o antecedente e 2º número é o 
consequente.
Então:
Cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o consequente. 
Seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o consequente.
2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao consequente de outra, ou vice-versa, 
dizemos que formam duas razões inversas. 
Ex.: 
c/d e d/c
Proporção é a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
 6
2 = 4
5 3
Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º 
termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos consequentes 
e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os 
extremos.
Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.
2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20
Aplicação:
7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos
Temos então: 
8x = 280, logo X = 280/8 = 35.
Composição
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação: 
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor 
desses números. 
a = menor; b= menor
Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
 7
Decomposição
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou 
para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto 
termo.
Aplicação: 
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença 
é 48. 
a = maior ; b=menor
Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim 
como qualquer antecedente está para seu consequente.
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63. 5 
 8
Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos 
consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.
Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, 
assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu consequente.
Aplicação: 
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. 
Encontrar essas medidas. 
a = largura b = comprimento
Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova 
proporção. 
Aplicação: 
A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. 
Determinar esses números.
Logo, a² = 144, a = 12. 
 9
O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de 
“a”.
Divisão Proporcional
Divisão em duas partes diretamente proporcionais: Para decompor um número M em duas 
partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e 
duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas A/p=B/q
A solução segue das propriedades das proporções:
A = B = A+B = M = K
p q p+q p+q
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B = K q
Ex.: 
Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, 
montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
A = B = A +B = 100 = 20 
2 3 5 5
Segue que A=40 e B=60.
Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença 
entre eles é 60. Para resolver este problema, basta tomar A-B=60 e escrever:
A = B = A -B = 60 = 12 
8 3 5 5
Segue que A=96 e B=36. 
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 
p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas 
X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P
X1 X2 Xn
 10
p1 = p2 = ... = pn
 
A solução segue das propriedades das proporções:
Ex.: 
Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, 
deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. 
Assim:
logo A=20, B=40 e C=60. 
Ex.: 
Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-
4C=120.
A solução segue as propriedades das proporções:
logo A=-30, B=-60 e C= -90 .
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, 
deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 
1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q .
Assim, basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas, tal que A+B=M. 
Desse modo:
 11
 
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q. 
Ex.: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 
3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
Assim A=72 e B=48. 
Ex.: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a 
diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos AB=10. 
Assim:
Assim A=40 e B=30. 
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, 
p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais 
a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e 
além disso 
cuja solução segue das propriedades das proporções:
 12
Ex.: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 
4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. 
Desse modo:
A solução é A=120, B=60 e C=40. 
Ex.: Para obter números A, B e Cinversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 
2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
Logo, A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e 
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B 
diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas 
incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q
Ex.: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, 
e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30
 13
Ex.: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais 
a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema, basta 
escrever que A-B=21 e resolver as proporções:
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes, direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, 
p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em 
n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além 
disso
A solução segue das propriedades das proporções:
Ex.: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C, diretamente proporcionais a 1, 
2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 
3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Ex.: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente 
proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10. 
 14
A montagem do problema fica na forma:
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de 
um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar 
com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes 
são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da 
sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk,
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor 
M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn. 
Ex.: 
Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com 
um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de 
R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 
e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuízo) 
da empresa após certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou 
pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas 
expressões dos pesos. 
Desse modo: 
p1=50x40=2000; 
p2=60x30=1800; 
p 3=30x40=1200
 15
Regra de Três
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá- las 
na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a “Regra de 
Três”. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu 
Liber Abaci (o Livro do Ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.
Regra de Três Simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente 
proporcionais. Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais 
X e Y, e outras duas grandezas W e Z, também diretamente proporcionais, de forma que 
tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X/Y = K e W/Z = K então X/Y = Y/Z
Ex.: 
Na extremidade de uma mola (teórica) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo 
com a massa de 10 Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola 
de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 Kg de massa na extremidade dessa mola, qual 
será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg = quilograma e cm = centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, 
temos:
Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)
10 54
15 X
 16
As grandezas envolvidas - massa e deslocamento - são diretamente proporcionais. 
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor, X, e, pelos dados 
da tabela, podemos montar a proporção:
10/15 = 54/X
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na 
tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na 
tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento 
da mola será de 81cm.
Regra de Três Simples Inversa
A regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente 
proporcionais para obter uma proporção. 
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e 
B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham 
a mesma constante de proporcionalidade K. 
A X B = K e C X D= K, donde A X B = C X D, logo A/C = D/B
Ex.:
 Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 
180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual 
seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). 
Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, 
temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s)
180 20
200 T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo 
espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T. Ou seja, 
180/200 = T/20
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto 
que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela 
acima.
Assim, 180x20=200.X, donde 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do 
corredor for de 200 Km/h, ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
 17
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais, ou uma mistura dessas situações. O método 
funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, 
sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que 
a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação 
e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, 
montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico 
para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e 
todas as medidas das outras grandezas.
1 2 3 4 5 ... ?
A1 B1 C1 D1 E1 ... Z1
A2 B2 C2 D2 E2 ... Z2
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a 
proporção:
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda 
grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, 
resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma 
ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente 
proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na 
tabela. 
Ex.: se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceiraC 
diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais 
à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
 18
Observação: Problema difícil é analisar, de um ponto de vista lógico, quais grandezas 
são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar 
esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o 
funcionamento da situação. 
Ex.:
Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas 
peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se 
essas máquinas funcionarem durante 9 dias? 
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, 
vamos organizar a tabela:
 
A grandeza Número de Peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. 
Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o 
Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de 
grandezas.
Quando consideramos as grandezas Número de peças e Número de máquinas, devemos 
fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos 
mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos 
que estas duas grandezas são diretamente proporcionais
Vamos agora considerar as grandezas Número de Peças e Número de Dias. Novamente 
devemos usar a lógica para constatar que, se tivermos maior número de dias, produziremos 
maior número de peças; e se tivermos menor número de dias, produziremos menor número de 
peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta 
resolver a proporção: 400/x = (5x6)/(7x9), que pode ser posta na forma 400/x = 30/63.
Resolvendo a proporção, obtemos X=840. Assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 
dias serão produzidas 840 peças.
 19
Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos 
dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro). 
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do 
problema, vamos organizar a tabela do seguinte modo:
Quilômetros (A) Horas por dia 
(B)
N° de dias (C)
200 4 2
500 5 X
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. 
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de 
dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. 
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para 
constatar que, se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem; e 
se rodarmos menor número de dias, percorreremos menor quilometragem. Assim, temos que 
estas duas grandezas são diretamente proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de Dias e Horas por dia. 
Verificar que, para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos 
menor número de horas por dia; e se tivermos menor número de dias, necessitaremos maior 
número de horas para o mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente 
proporcionais e, desse modo: 2/5 = (200x5)/(500x4), que pode ser posta como 2/X = 
1000/2000.
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que, para percorrer 500 Km, 
rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.
Porcentagem
Observamos nos meios de comunicação, praticamente todos os dias, expressões matemáticas 
relacionadas com porcentagem. O termo “por cento” é proveniente do Latim “per centum” e 
quer dizer “por cem”. Toda razão da forma a/b, na qual o denominador b=100, é chamada 
taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de 
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento, 
utilizada nas operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10%. Isto significa que, em cada 100 
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 podem ser obtidos como o produto 
de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e, para calcular M% de 
 20
um número N, realizamos o produto: 
Produto = M%.N = M.N / 100
Preços de custo e de venda, lucros e prejuízos
Em economia, contabilidade, finanças e negócios, preço é o valor monetário expresso 
numericamente associado a uma mercadoria, serviço ou patrimônio. O conceito de preço 
é central para a microeconomia, onde é uma das variáveis mais importantes na teoria de 
alocação de recursos (também chamada de teoria dos preços).
Preço é a medida do valor de troca de um bem ou serviço, em termos monetários ou em 
termos de outro bem que tenha grande aceitação. Esse termo é também empregado no 
sentido de prêmio ou compensação, como na expressão “o preço do esforço”, ou num sentido 
mais vago, quase figurado, como em “as mercadorias a que se renuncia são o preço da 
poupança, já que o indivíduo deixa de despender toda a sua renda”.
O preço é fundamentalmente um quociente que indica os termos da troca de bens e 
serviços. Assim, numa sociedade primitiva, duas facas podem ser trocadas por um bezerro. 
Frequentemente se escolhe uma mercadoria para servir como numerário ou padrão em relação 
às outras mercadorias. Os metais preciosos servem tanto como uma mercadoria desejada 
para fins particulares, quanto como uma unidade de valor e de troca. Quando mercadorias 
uniformes, como ouro, prata, ferro são adotadas como numerário, estabelece-se um sistema 
de preços monetário. Nas economias avançadas, o dinheiro (que implica a existência de 
crédito) não é desejado pelo seu valor intrínseco, mas porque pode ser trocado por bens e 
serviços.
Em Marketing, preço é uma das quatro variáveis no Composto Mercadológico, ou “marketing 
mix”, que os mercadólogos usam para desenvolver um plano de marketing. Segundo Jay 
Conrad Levinson, 14% dos consumidores decidem suas compras baseando-se exclusivamente 
no preço. Computa-se no preço não apenas o valor monetário de um produto, mas tudo 
aquilo que o consumidor tem que sacrificar ao adquirir um bem.
A palavra apreçamento, com o sentido de estabelecimento de um preço, refere-se por 
vezes a preços administrados, ou seja, preços que não são completamente determinados pela 
relação existente no mercado entre oferta e procura, mas podem ser determinados, dentro 
de certos limites, pela firma comercial vendedora. O limite dentro do qual uma firma poderá 
administrar os preços é determinado pela situação da procura e pelos objetivos da própria 
firma: maximização dos lucros, ampliação do mercado etc. 
O verdadeiro preço de alguma coisa é o trabalho e a dificuldade para adquiri-la. Por 
isso, os mercadólogos incluem em suas considerações os custos indiretos, custos de manutenção, 
a necessidade de recompra, e mesmo a energia física, o tempo e o custo emocional de se 
adquirir uma oferta.
O preço de venda é o valor que deverá cobrir o custo direto da mercadoria/produto/
serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., As despesas fixas proporcionais, 
ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários, pró- labore, etc., e ainda, sobrar um lucro 
 21
líquido adequado. 
Preço de custo: Trata-se do valor de aquisição dos produtos ou mercadorias mais os custos 
necessários para disponibilizá-los à produção ou venda, podendo ser mão-deobra, fretes, 
energia, estocagem etc.
Custos
Custos são medidas monetárias dos sacrifícios financeiros com os quais uma organização, 
uma pessoa ou um governo, têm de arcar a fim de atingirseus objetivos, sendo considerados 
esses ditos objetivos, a utilização de um produto ou serviço qualquer, utilizados na obtenção 
de outros bens ou serviços. A Contabilidade Gerencial incorpora esses e outros conceitos 
econômicos para fins de elaborar Relatórios de Custos de uso da Gestão Empresarial.
No Brasil, o Decreto-Lei 1.598/77, em seu artigo 14, determina que: “o contribuinte que 
mantiver sistema de contabilidade de custo integrado e coordenado com o restante da 
escrituração poderá utilizar os custos apurados para avaliação dos estoques de produtos, 
principalmente para fins fiscais”.
Sob a ótica contábil, custos os são gastos que a entidade realiza com o objetivo de por 
o seu produto pronto para ser comercializado, fabricando-o ou apenas revendendo-o, ou 
o de cumprir com o seu serviço contratado. Uma diferença básica para a despesa é que 
“custo” traz um retorno financeiro e pertence à atividade-fim, pela qual a entidade foi 
criada (determinada no seu Contrato Social, na cláusula Do Objeto). Já despesa é um gasto 
com a atividade-meio e não gera retorno financeiro, apenas propicia certo “conforto” ou 
funcionalidade ao ambiente empresarial.
A razão para se classificar os gastos correntes de uma entidade em despesas e custos é 
que o primeiro vai direto para o resultado do período. Já “custos” irão formar um estoque (na 
produção de um bem) e, na sua realização (venda), serão finalmente levados ao resultado, o 
que poderá levar meses ou até anos.
Custos industriais geralmente são: matéria prima, energia consumida (eletricidade e/ou 
combustíveis), água consumida, materiais industriais diversos, mão de obra, depreciação dos 
itens imobilizados de produção, entre outros.
Custeio Direto (ou Variável): É um método de custeio usado para alocação apenas dos custos 
variáveis ao produto. Segundo Leoni “o sistema de custeio variável ou direto é um método 
que considera apenas os custos variáveis de apropriação direta como custo do produto ou 
serviço”. Segundo Lopes de Sá, o custeio variável é “o processo de apuração de custo que 
exclui os custos fixos”. Segundo Meglioni “enquanto no custeio por absorção eles são rateados 
aos produtos, no custeio variável, são tratados como custos do período, indo diretamente 
para o resultado igualmente as despesas”. A diminuição da necessidade de rateio deve-
se ao fato de que no sistema de custeio variável, são alocados aos produtos e/ou serviços, 
somente os custos variáveis e, como na maioria dos casos, os custos variáveis também são 
diretos, não alocando os rateios dos custos indiretos. Ele é usado para eliminar qualquer 
distorção na apuração dos custos oriundos de problemas com rateios pois os custos fixos são 
tratados como despesas.
 22
Custeio por absorção (ou integral): O sistema de custeio por absorção é o sistema que 
apura o valor dos custos dos bens ou serviços, tomando como base todos os custos da 
produção incluindo os custos diretos, indiretos, fixos e variáveis. Segundo Meglioni, “o custeio 
por absorção é o método que consiste em atribuir aos produtos fabricados todos os custos 
de produção, quer de forma direta ou indireta. Assim todos os custos, sejam eles fixos ou 
variáveis, são absorvidos pelos produtos.”
Custo-padrão: são custos predeterminados, porém, diferentemente dos custos estimados, 
são calculados com base em parâmetros operacionais, e utilizados em operações repetitivas 
de produção, onde não compensaria calcular o custo individual de cada repetição.
Custeio ABC: A alocação dos custos indiretos é baseada nas atividades relacionadas.
GECON (Modelo Gestão Econômica) é um modelo de mensuração de custos baseado em 
gestão por resultados econômicos. Também conhecido por “Grid Economics and Business 
Models Work”.
Custo-meta: O custo-meta, também conhecido como “Target Costing”, é uma estratégia de 
gestão de custos que, a partir do preço de mercado e de uma margem de lucro desejada, 
estabelece um teto de custo para os produtos ou serviços. 
Custos Fixos: são os custos que, embora tenham um valor total que não se altera com 
a variação da quantidade de bens ou serviços produzidos, seu valor unitário se 
altera de forma inversamente proporcional à alteração da quantidade produzida. 
Ex.: O pagamento de aluguel.
Custos Variáveis: são os custos que, em bases unitárias possuem um valor que 
não se altera com alterações nas quantidades produzidas, porém, cujos valores 
totais variam em relação direta com a variação das quantidades produzidas. 
Ex.: Matéria prima. 
Custos Totais: são a soma de Custos Variáveis mais Custos Fixos, representado pela formula 
CT=CF+CV.
Custos Diretos: são os custos suscetíveis de serem identificados com os bens ou serviços 
resultantes, ou seja, têm parcelas definidas apropriadas a cada unidade ou lote produzidos. 
Geralmente são representados por mão-de-obra direta e pelas matérias primas. 
Custos indiretos: todos os outros custos que dependem da adoção de algum critério de rateio 
para sua atribuição à produção. No jargão da contabilidade brasileira, eles são chamados 
de CIF, de Custos Indiretos de Fabricação.
Lucros e Prejuízos
Lucro é o retorno positivo de um investimento feito por um indivíduo ou uma pessoa nos 
negócios. Já o prejuízo financeiro ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais do 
que arrecada. Em contabilidade, o prejuízo é o oposto do lucro. Ambos são saldos na conta 
denominada “resultados” ou “lucros e perdas”, que podem ocorrer ao final do exercício (em 
geral, um período de doze meses). Para fins de informação dos usuários da contabilidade, 
as grandes corporações são obrigadas a publicar periodicamente uma “demonstração de 
resultados” (uma das “demonstrações financeiras”), também conhecida como “balanço de 
resultado econômico” ou “demonstrativo de lucros e perdas”, nas quais são decompostas 
 23
analiticamente as partes componentes que resultaram no lucro ou prejuízo do exercício.
Outro demonstrativo, o de lucros ou prejuízos acumulados, informa o saldo acumulado 
resultante da soma algébrica dos resultados dos exercícios passados.
Segundo os princípios da Economia Aziendal, o lucro pode ser originário do funcionamento 
(lucro operacional) e do crédito (lucro da gestão econômica). De acordo com a estrutura 
das Demonstrações Contábeis de Resultados utilizados no Brasil, o lucro é desdobrado nas 
seguintes categorias:
Lucro Bruto: diferença positiva de Receitas menos Custo e despesas; 
Lucro Operacional: diferença positiva do lucro bruto e das despesas operacionais; 
Lucro não operacional: resultado positivo das receitas e despesas não operacionais; 
Lucro Líquido: diferença positiva do lucro bruto menos o lucro operacional e o não operacional; 
Lucro a ser distribuído: lucro líquido menos a quantia destinada a Reservas de Lucros ou 
compensada com os Prejuízos Acumulados;
A legislação tributária criou outras categorias de Lucro, a saber (vide Contabilidade 
tributária):
Lucro Real: Base de Cálculo do Imposto de Renda das pessoas jurídicas. (Contabilmente, 
seria o Lucro Líquido menos as adições e exclusões de despesas feitas para fins de apuração 
do tributo citado). 
Lucro Inflacionário: parcela do Lucro Real, composta do saldo credor da correção monetária 
de balanços ajustado pelas variações monetárias e cambiais (e que podia ser diferido, ou 
seja, devido em exercícios futuros). 
Lucro de Exploração: parte do Lucro Real formado pelas Receitas oriundas de incentivos 
fiscais do Imposto de Renda (isenção ou redução). 
Lucro Presumido: outra base de cálculo do imposto de renda, basicamente sobre Receitas, 
e com escrituração simplificada no Livro Caixa.
Juros
Quando você vê em uma propaganda: “Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou 
a prazo em 5 parcelas de $ 260” é provável que pensasse assim: “É melhor comprar a 
prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar.” Mas você 
se esqueceu de um “detalhe”: 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $ 1.300 – que 
é 30% a mais do que a ofertaà vista ($ 1.000). São em situações como essas que levam 
a perceber como a Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas 
alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar 
procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.
Juro é o preço ou a remuneração paga, em moeda, pela utilização de uma quantia, “o 
ágio obtido em dinheiro vivo sobre liquidez futura”. Com muita frequência os economistas não 
se satisfizeram com essa definição banal, indagando o porquê da existência do juro. 
Em vista da atualíssima discussão, no Brasil, acerca dos juros impostos ao consumidor, é 
 24
oportuno aprofundar nosso conhecimento a partir da lembrança de que economistas clássicos 
entendiam que ele deve ser pago a fim de possibilitar uma poupança suficiente para permitir 
progresso pelo acúmulo de capital. Conquanto se admita geralmente que alguma poupança 
seria possível sem a cobrança de juro, o montante seria insignificante.
O juro tem sido considerado um “suborno” necessário para obrigar os que dispõem de 
renda a consumir menos do que poderiam consumir. Sénior, um dos primeiros economistas a 
oferecer uma explicação sem ambiguidades para esse termo, afirma que “o juro compensa 
os sacrifícios da abstinência” . 
Os socialistas, entretanto, desprezaram essa ideia, entendendo que, se a abstinência traz 
sacrifício, então os Rothschilds e outros milionários devem ter sofrido atrozmente. Sénior poderia 
naturalmente ter admitido que a prática de poupança pelos ricos não envolvia qualquer 
sacrifício óbvio, ou não, acrescentando, porém que, sem o juro, haveria um volume insuficiente 
de abstenção de consumo. K. Marx afirmou que os capitalistas desejariam consumir e, ao 
mesmo tempo, adquirir poder através da acumulação de propriedade. Ë claro que a análise 
marginal resolve a dificuldade, ao ver o juro meramente como o custo de oportunidade 
da unidade marginal de poupança. Quando pequenas poupanças representam suprimento 
marginal, então ocorre “sacrifício” real.
Não obstante, a crítica socialista deixou os economistas numa posição embaraçosa. O 
socorro veio através de uma mudança de ênfase que transformou abstinência em preferência 
pelo tempo. 
A explicação do juro através do conceito da preferência pelo tempo foi desenvolvida 
inicialmente no trabalho de W. S. Jevons e da escola austríaca, sobretudo E. Bohm-Bawerk, 
que atribuiu ao homem uma “subestimação perspectiva das necessidades futuras”.
Para muitos, essa subestimação explica a preferência por bens presentes em relação a 
bens disponíveis no futuro; a presença desse elemento não constitui, entretanto, ingrediente 
necessário da teoria de preferência pelo tempo, exceto numa sociedade estacionária. 
“Tudo o que se faz necessário para existência do juro numa sociedade progressista é que 
seus membros sintam alguma relutância em adiar o consumo da renda presente, a fim de 
elevar a renda futura a um nível superior ao presente, a uma taxa mais que limitada”. Poucos 
economistas negam hoje a importância da preferência pelo tempo, porém muitos julgam que 
a curva de poupança, na qual o volume de poupança é apresentado como função da taxa 
de juro, tem pouca elasticidade em grande parte de sua extensão.
Em 1936, J. M. Keynes enfatizou a preferência pela liquidez como uma compulsão para 
o pagamento de juros. O juro deve ser pago porque as pessoas e as instituições têm a 
alternativa de entesourar suas poupanças monetárias.
Julgava Keynes que um declínio do juro criava expectativa de uma volta em nível mais alto. 
Quanto mais baixa a taxa de juros, mais forte o estímulo ao entesouramento, pois toda queda 
na taxa de juros “reduz os ganhos decorrentes da iliquidez, disponíveis como uma espécie de 
prêmio de seguro para compensar o risco da perda em conta de capital, num montante igual 
à diferença entre os quadrados da velha e da nova taxa de juros”.
Como D. H. Robertson sempre se dispunha a observar, Keynes quase dizia que o juro 
existe porque se espera que ele difira em grandeza do que é. Um melhor enunciado da 
teoria de preferência pela liquidez diria que o juro não pode cair abaixo de um mínimo 
 25
devido à alternativa de entesouramento, mas que qualquer taxa acima desse mínimo é 
adequada para induzir o desentesouramento (se não forem previstas taxas futuras mais altas 
e se outras circunstâncias forem favoráveis). Com justiça, Robertson censurava Keynes por 
deixar de acentuar que, numa situação de equilíbrio, a taxa de juros deve satisfazer tanto à 
“conveniência marginal de guardar dinheiro” como à “inconveniência marginal da abstenção 
de consumo”. Observou R. Harrod que o tomador de empréstimo “terá de pagar o preço 
necessário para satisfazer o prestamista por esperar ou o preço necessário a satisfazê-lo por 
preterir a liquidez, seja qual for o maior. Keynes parece supor que o maior será o segundo.
Apesar da ênfase que dão à sua teoria favorita do juro, todos os economistas reconhecem 
que a produtividade ou o rendimento do capital são um determinante do juro. Entretanto, muita 
confusão é suscitada pela mistura de análises estáticas e dinâmicas. Tanto J. A. Schumpeter 
como E. Bohm-Bawerk observaram que o importante era a produtividade de valor e não a 
produtividade física.
Schumpeter observou que, se não houvesse quaisquer novas mudanças técnicas ou 
perturbações, e se o processo de acumulação de capital não fosse interrompido, desapareceria 
a perspectiva de um produto-valor marginal. Negou que houvesse qualquer razão para 
preferência pelo tempo ou consequente equilíbrio isento de risco ou estado estacionário.
Também F. H. Knight sustentou que, sem crescimento e mudança contínuos, não haveria 
razão para a preferência pelo tempo de Bohm-Bawerk. Assim, afirmou que, apesar de suas 
negativas categóricas, Bohm-Bawerk defendia uma teoria da produtividade.
O estado estacionário de Schumpeter, para Knight, era uma impossibilidade, pelo menos 
em teoria, uma vez que não existem “limites para o uso do capital”. Qualquer sociedade 
estacionária verdadeira seria o resultado de forças “não-econômicas” ou sociológicas. As 
teorias do juro com base na produtividade refletem, assim, o fato de que numa economia de 
livre iniciativa o motivo para a tomada de empréstimo está na previsão de rendimento do 
investimento. 
Embora um Estado socialista pudesse calcular os custos de maneira diferente, e ter 
diferentes escalas de valores, precisaria também considerar os rendimentos para efetuar 
um planejamento racional. Todavia, aqueles que defenderam a preferência pelo tempo e a 
preferência pela liquidez prestaram uma contribuição importante, pois mostraram que uma 
única teoria da produtividade jamais era completa em si mesma.
Atualmente um número cada vez menor de economistas subscreve qualquer uma das 
posições extremas representadas por E. Bõhm-Bawerk, J. M. Keynes ou J. A. Schumpeter. Num 
nível empírico, se reconhece a influência de pelo menos três dimensões: perspectivas de lucro 
devidas a mudanças técnicas etc., preferência pela liquidez, e poupança planejada. A esta 
última pode-se acrescentar a preferência pelo tempo. Num artigo aprovado por Keynes, D.C. 
McCord Wright demonstrou que “a eficiência marginal do capital” afetava a taxa de juro 
através de variações induzidas em L, procura de liquidez. 
Assim, é provável que a conclusão da maioria seja substancialmente a de que o juro exerce 
sua influência em todos os mercados e que, em particular, opera simultaneamente sobre a 
‘margem tríplice’ da preferência pelo tempo (decisões de consumo), sobre a produtividade 
marginal do capital (decisões de investimento) e sobre a preferência pela liquidez.”
 26
Juros Simples
Vimos que juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em 
dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando 
falamos em juros, devemos considerar: 
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamadode capital. 
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada 
taxa de juros. 
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e 
em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de 
tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. 
4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é 
denominado montante. 
Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de 1% ao 
período, basta usar a fórmula:
Ex.: 
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para 
pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. 
Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros 
cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50 
A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 = 40,50 
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte 
forma:
X% de 450,00 = 40,50
X/100.450,00 = 40,50
450 X / 100 = 40,50
450 X = 4050
X = 4050 / 450
X = 9
Resposta: A taxa de juros é de 9% ao mês.
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 
de juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicação rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o 
capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960,00
 27
3/100 C = 960,00
3 C /100 = 960,00
3 C = 96.000
C = 96.000/3 = 32.000,00
Resposta: O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
Juros Comerciais e Juros Exatos
Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias, enquanto a 
taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, trimestre, 
semestre, ano).
A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de acordo 
com uma das convenções abaixo: Prazo Comercial: Consideram-se todos os meses com 30 
dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais frequente nos 
problemas de juros simples e os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados 
de juros comerciais ou juros ordinários.
Prazo Exato: Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. 
Cada mês poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 28 dias (para 
fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (para os demais meses do ano). O ano 
terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros calculados de acordo com 
esta convenção são chamados juros exatos.
Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios 
valores de capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que, 
substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzira o mesmo total de juros 
das aplicações originais.
O prazo médio é sempre a media dos prazos ponderados pelos valores correspondentes 
das taxas e dos capitais a eles associados.
Desconto
Em finanças, chama-se Desconto à diferença entre o Valor Nominal de um título (Valor 
Futuro) “VF” e o Valor Presente ou Atual “VP” deste mesmo título [D = VF – VP]. Há dois tipos 
básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Define-se desconto 
como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um 
título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu vencimento, ou ainda, como sendo o juro 
cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento de um título, que representa um 
direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no comércio em 
geral. Notações comuns na área de descontos:
D - Desconto realizado sobre o título
A - VP Valor Atual ou Valor Presente de um título
N - VF Valor Nominal ou Valor Futuro de um título
 28
I - Taxa de desconto
n - Número de períodos para o desconto
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, e os descontos compostos são obtidos 
com cálculos exponenciais.
Desconto Simples: É aquele obtido em função de cálculos lineares (capitalização simples). 
Distinguem-se dois tipos de descontos simples, o racional e o comercial ou bancário. Desconto 
simples comercial ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor 
nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em 
geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada 
nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção 
especial, pois por essa convenção altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da 
acumulação de juro, implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo 
financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro simples.
O valor atual ou valor presente (VP) no desconto por fora, é calculado por:
VP = VF-D = VP = VF - VF.i.n = VP = VF (1-i.n) D = VF – VP
No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, o valor do
desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual,
logo:
dc = VF - VPc VPc = VF - dc VPc = VF . (1 – i . n)
Algumas observações importantes devem ser levadas em consideração na operação de 
desconto comercial ou por fora. 
Observe que, quando a taxa for igual ao inverso do prazo ou maior que este inverso, a 
adoção do desconto comercial simples nos conduz a um absurdo financeiro. 
No caso do desconto comercial ou bancário, deverá ser considerado IOF de 0,0041% ao 
dia, correspondendo a 0,123% a.m.
Existindo despesas administrativas, expressa em moeda corrente, essas devem ser subtraídas 
do Valor Atual ou Valor Presente (VP), para se achar o Valor Líquido (VL) da operação. Mas 
caso estejam na forma percentual (%), a fórmula para o cálculo do desconto passa a ser: 
d = VF x ( i x n + h ), onde: h = refere-se a taxa (%) de despesas administrativas na sua forma unitária.
Desconto Simples Racional (Por Dentro)
Também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, o Desconto Simples 
Racional é aquele aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se para o cálculo a taxa 
 29
efetiva (no conceito do valor inicial tomado como base do cálculo). O cálculo deste desconto 
funciona análogo ao cálculo dos juros simples. O cálculo do desconto racional é feito sobre o 
Valor Atual ou Presente do título.
D - Desconto realizado sobre o título
A - VP Valor Atual ou Valor Presente de um título
N -VF Valor Nominal ou Valor Futuro de um título
i - Taxa de desconto
N - Número de períodos para o desconto
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:
VP = VF / (1 + i n)
Cálculo do valor atual de um título pelo desconto racional
Sabemos que:
 dr = VF – VP, portanto VP = VF – dr
Mas 
dr = VF . i . n / 1 + i . n
logo 
VPr = VF – VF . i . n / 1 + i . n
Evidenciando VF, temos:
VPr = VF. (1 – i . n / 1 + i . n) VPr = VF. (1 + i . n – i . n / 1 + i . n) VF. 1 / 1 + i . n
VPr = VF / 1 +i . n
Diferença entre os descontos comercial e racional
Sendo dc = VF . i . n e dr = VF . i . n / 1 + i . n dc – dr = (VF . i . n - VF . i . n) / 1 + i . n dc 
– dr = (VF . i . n (1 + i . n) – VF . i . n) / 1 + i . n dc – dr = VF . i . n (1 + i . n – 1) / 1 + i . n 
dc – dr = VF . i . n . i . n / 1 + i . n = dc – dr = dr . i . n dc = dr . i . n + dr dc = dr (1 + i . n)
Desconto Comercial Composto
O Desconto Comercial Composto (por fora) não é usado costumeiramente no Brasil e é 
análogo ao cálculo do Juro composto. O que se faz é calcular a diferença entre o valor 
 30
nominal (valor futuro) e o valor atual (valor presente) do compromisso na data em que se 
propõe seja feito o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor 
nominal e, o valor descontado é a diferençaentre o valor nominal e o desconto.
Desconto Racional Composto
Desconto Racional Composto (por dentro) ou Desconto Composto Real é aquele obtido pela 
diferença entre o Valor Nominal ou Valor Futuro (VF) e o Valor Atual ou Valor Presente (VP) 
de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu vencimento. Para uma melhor 
compreensão, podemos dizer que o desconto racional composto passa a ser sinônimo de juro 
composto. Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.
Como D = VF - VP e como VF = VP (1 + i)n , 
então: D = VF – VF (1+i)-n D = VF.[1-(1+i)-n]
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor 
Atual ou presente (VP) como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal ou Futuro 
(VF) como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos 
funcionam de forma similar nos dois casos. Deste modo, a fórmula para cálculo do Valor Atual 
ou Valor Presente, com base nos juros compostos, ficará:
Capitalização
Até este ponto estudamos o juro durante uma unidade de tempo e desenvolvemos uma 
fórmula para este Juro (lembre-se que J = C.i). Na prática, porém, os problemas envolvem 
vários períodos de aplicação e, portanto, precisaremos estudar a geração dos juros durante 
mais de uma unidade de tempo; para isso, devemos conhecer o conceito de regime de 
capitalização. 
Do ponto de vista das finanças, capitalização é o processo de aplicação de uma importância 
a uma determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da incorporação desses 
mesmos juros à quantia inicialmente aplicada. No sentido particular do termo, capitalização é 
uma combinação de economia programada e sorteio, sendo que o conceito financeiro acima 
exposto aplica-se apenas ao componente “economia programada”, cabendo ao componente 
lotérico o papel de poder antecipar, a qualquer tempo, o recebimento da quantia que se 
pretende economizar ou de um múltiplo dela de conformidade com o plano.
No final de cada período de Capitalização que é previamente estipulado, os juros 
produzidos são adicionados ao capital, passando a fazer parte do mesmo para efeito de 
 31
cálculo dos próximos juros. Assim, estamos diante de uma aplicação de juros compostos. O 
título é livremente negociável, podendo ser vendido, trocado ou doado, desde que seja 
formalizada junto a Sociedade de Capitalização a transferência conjunta do cedente e 
cessionário. Assim, o cessionário sucede o cedente em todos os seus direitos e obrigações. 
Para a venda de um título de
Para a venda de um título de capitalização é necessário uma série de formalidades que 
visam à garantia do consumidor. A sociedade de capitalização deve submeter o seu plano 
ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de Capitalização – SUSEP.
Histórico
Em 1850, Paul Viget, diretor de uma cooperativa de minérios da França, idealizou a 
Capitalização, objetivando proporcionar auxílio financeiro aos sócios através de suas próprias 
poupanças. O sistema era baseado em contribuições mensais, visando à constituição de um 
capital garantido, pago no final de prazo previamente estipulado ou, antecipadamente, 
através de sorteio.
No início do século XX, a capitalização tomou um grande impulso na França e de lá se difundiu 
através dos países de origem latina. No Brasil, as atividades no setor de Capitalização surgiram 
em 1929, tomando grande impulso na década de 30. Em 1947, o número de companhias 
de capitalização operando no país já ascendia a dezesseis, sediadas no Rio de Janeiro, 
São Paulo, Porto Alegre e Salvador. Na década de 50, entretanto, o processo inflacionário 
acelerou-se de tal forma, que o sistema de capitalização se tornou desinteressante para a 
clientela, pois o capital inicialmente contratado era corroído pela incessante desvalorização 
da moeda. Com a instituição da correção monetária em 1964, criaram-se as premissas 
básicas para o ressurgimento da capitalização, embora esse processo só tenha deslanchado 
mesmo dez anos depois, quando surgiram no Brasil muitas novas empresas.
Chamaremos de regime de capitalização a maneira como os juros, e por que não, o 
montante, evolui através de vários períodos de aplicação, aos quais a taxa se refere. Existem 
dois tipos de regime de capitalização:
Regime de Capitalização Simples: É o regime de capitalização em que a taxa de juro 
incide somente e sempre sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicação, 
os juros serão sempre calculados através do produto do capital inicial pela taxa de juro (J 
= C.i).
Ex. 
Seja a aplicação de um capital de $1.000,00 à taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de 
capitalização simples. Calcule os juros totais e o montante? 
Solução: 
Sabemos que o regime é de capitalização simples e que C = $1.000,00 e i = 10% a.m. 
Então no fim do primeiro mês teremos:
 32
J1 = C.i logo J1 = 1.000. 10%
J1 = $100,00
No fim do segundo mês teremos:
J2 = C.i logo J2 = 1.000. 10%
J2 = $100,00
No fim do terceiro mês teremos:
J3 = C.i logo J3 = 1.000. 10%
J3 = $100,00
Logo, os juros totais poderão ser calculados através da soma dos juros em cada período 
(mês):
J = J1+ J2+ J3
J = 100 + 100 + 100
J = $300,00
O montante (M) será o capital acrescido dos juros totais, isto é:
M = C + J
M = 1000 + 300
M = $1.300,00
Regime de Capitalização Composta: É o regime de capitalização em que a taxa de juro incide 
sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juro no período atual. Portanto, em 
cada período de aplicação, os juros serão calculados através do produto do montante do 
período anterior pela taxa de juro. (J = M.i)
Um exemplo simples de capitalização composta é o da caderneta de poupança, onde 
você deposita seu dinheiro em um mês esperando que no final do primeiro mês a mesma 
já apresente um montante igual ao capital inicial mais os juros, que foram gerados sobre 
o capital inicial (este era o único montante anterior), observe que a partir do primeiro mês, 
mesmo que você não deposite nada na caderneta de poupança, o dinheiro lá existente 
vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que já estão na conta, sendo este 
processo conhecido como juros sobre juros ou capitalização composta.
Ex.: 
Seja a aplicação de um capital de $1.000 a taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, no regime de 
capitalização composta. Calcule os juros totais e o montante?
Solução: 
A situação é análoga a do exemplo anterior, sendo que o regime agora é de capitalização 
composta, C = $1.000,00 e i = 10% a.m. 
 33
Até o fim do primeiro mês temos uma unidade de tempo, logo, o juro em um mês será:
J1 = C.i logo J1 = 1.000 . 10%
J1= $100,00
M1 = C + J = 1.000 + 100
M1 = $ 1.100,00
Para formar o juro do segundo mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante do fim do 
primeiro mês. 
Logo:
 J2 = M1.i logo J2 = 1.100 . 10%
J2 = $ 110,00
E o montante do segundo mês será:
M2 = C + J1 + J2
M2 = 1.000 + 100 + 110
M2 = $ 1.210,00
Para formar o juro do terceiro mês, a taxa de juro incidirá sobre o montante no fim do 
Segundo mês. 
Então:
J3 = M2.i
J3 = 1.210 . 10%
J3 = $121,00
E o montante ao final do terceiro mês será:
M3 = C + J1 + J2 + J3
M3 = 1.000 + 100 +110 +121
M3 = $1.331,00
A soma dos juros totais será de:
J = J1+ J2+ J3
J = 100 + 110 + 121
J = $ 331,00
Comparação entre os Regimes de Capitalização Simples e Composta
De acordo com os exemplos anteriores, referentes à capitalização simples e composta, os 
resultados obtidos foram dispostos na tabela seguinte de forma a permitirem uma melhor 
comparação:
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Período de 
tempo Juros Juros
1° Ano 100 1.100 100 1.100
2° Ano 100 1.200 110 1.210
3° Ano 100 1.300 120 1.330
4° Ano 100 1.400 130 1.460
Observações: Independentemente do regime de capitalização, o aluno pode reparar que o 
juro e o montante obtidos ao final do primeiro mês de capitalização serão sempre os mesmos. 
Daí se pode concluir que ao considerarmos um período único de tempo, não há diferença 
entre os regimesde capitalização, não havendo sentido em se distinguir, para apenas um 
período, a capitalização simples da capitalização composta. Isto se dá por que ao final do 
primeiro período os juros compostos são calculados sobre o montante do período anterior, 
que neste momento é o capital inicial, ficando igual ao cálculo dos juros simples. 
Veja:
J = M.i = C.i (para o primeiro período).
Observe ainda que, no regime de capitalização simples, o montante aumenta de acordo 
com uma progressão aritmética, onde o montante sofre uma variação linear em relação aos 
juros (no exemplo, a razão é 100, ou seja, a cada período o montante sobe de um valor 
constante e igual a 100). Já no regime de capitalização composta, o montante varia de 
acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo uma variação 
exponencial em relação aos juros (a razão da progressão geométrica é dada por (1 + i) 
= (1,1). Desse modo, em se tratando de juros ou rendimentos lineares estamos falando do 
regime de capitalização simples e em se tratando de juros ou rendimentos exponenciais 
estamos falando do regime de capitalização composta.
Observação: Será adotada a convenção de que os juros serão devidos ao final de cada 
período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Esta forma de se capitalizar 
os juros é também conhecida como juros postecipados.
Inflação
Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro. 
Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é o oposto de deflação. 
Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços.
Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um aumento no suprimento 
de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes visto como a causa do aumento de 
preços; alguns economistas (como os da Escola austríaca) preferem o primeiro significado, 
em vez de definir inflação pelo aumento de preços. Assim, por exemplo, alguns estudiosos 
da década de 1920 nos Estados Unidos referem-se à inflação, ainda que os preços não 
estivessem aumentando naquele período. Mas, de um modo geral, a palavra inflação é 
 35
usada como aumento de preços, a menos que um significado alternativo seja expressamente 
especificado. Outra distinção também se faz quando se analisam os efeitos internos e externos 
da inflação: externamente, a inflação se traduz mais por uma desvalorização da moeda local 
frente a outras, e internamente ela se exprime mais no aumento do volume de dinheiro e 
aumento dos preços.
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império Romano, causado 
pela desvalorização dos dinares que, antes confeccionados em ouro puro, passaram a ser 
fabricados com todo tipo de impurezas. O imperador Diocleciano, ao invés de perceber essa 
causa, já que a ciência econômica ainda não existia, culpou a avareza dos mercadores pela 
alta dos preços, promulgando em 301 um edito que punia com a morte qualquer um que 
praticasse preços acima dos fixados.
A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de preços de 
um estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa de deflação (ou seja, 
situações em que o nível geral de preços está caindo em uma taxa decrescente). Um termo 
relacionado é desinflação, que é uma redução na taxa de inflação, mas não o suficiente para 
causar deflação.
A inflação será estudada mais detalhadamente na seção de Economia e Mercados. Vale, 
entretanto, observar como a economia brasileira sofreu com inflação alta até 1994, entrando 
num processo de hiperinflação na década de 80. Esse processo só foi interrompido em 1994, 
com a criação do Plano Real e a mudança da moeda para o real (R$).
Observe o quadro:
Década de 
1930 média anual de 6%;
Década de 
1940 média anual de 12%;
Década de 
1950 19%
Década de 
1960 40%
Década de 
1970 330%
Década de 
1980 média anual de 764%
Década de 
1990 média anual de 8,6%
Ano de 2005 5,69% (IPCA): limite máximo na meta oficial = 7%; objetivo do governo = 
5,1%;
A moeda nacional do Brasil mudou de nome várias vezes, principalmente nos períodos 
de altos índices de inflação. Na maioria das renomeações monetárias, foram cortados três 
dígitos de zero, estratégia esta que impediu que um quilo de carne custasse cerca de quatro 
 36
milhões de unidades da moeda vigente, por exemplo.
Títulos de Crédito
Crédito é uma palavra de origem latina, que significa crer ou confiar. Crédito, no sentido 
econômico ou comercial, significa confiança de que a pessoa que pediu emprestado devolva 
ao emprestador o objeto do empréstimo ou, em outras palavras, que o devedor satisfaça o 
compromisso assumido, ou pague a dívida contraída.
O crédito é, portanto, a faculdade de usar de um capital alheio, mediante o compromisso 
de devolvê-lo a seu dono no prazo estipulado. O juro é a remuneração a que tem direito o 
dono do capital pelo empréstimo. 
A apreciação, o juízo favorável, enfim, que o possuidor do capital fizer de outra pessoa ou 
de um grupo de pessoas é o que determinará a efetivação ou não da concessão de crédito.
Crédito é, assim o elemento subjetivo; a base de tudo é a confiança, mas ela tem um 
fundamento positivo estabelecido pela garantia material que o devedor possa oferecer para 
o resgate da dívida ou pelo conceito moral de que ele goze. Nas relações de negócio está 
excluída a generosidade ou magnanimidade. O comercio é feito à base 
da segurança e ninguém que possua capital consente em privar-se dele senão com a 
garantia da sua restituição na época determinada.
O capital em dinheiro está muitas vezes ocioso em mão de quem não tem aptidões para 
empregá-lo. Passando para outras mãos mais hábeis e indo constituir um fator de utilidades, 
desempenhará o papel que lhe compete na produção. 
O elemento principal no crédito e o cronológico. Sem o fator tempo, que se denomina 
prazo, não haverá crédito.
“É costume definir o crédito como sendo a troca de uma riqueza presente por uma riqueza futura”.
O crédito pode ser também definido como um direito presente a um futuro pagamento. 
O fator confiança, no crédito, assume importância vital, porque nas operações de crédito 
há entrega de moeda em troca de uma promessa de reembolso se a operação for dinheiro, 
como há também transferência das utilidades, das mercadorias, dos serviços, em troca de 
promessas de seu pagamento, em ou no próprio gênero da recebida.
O crédito não deixa de ser uma transferência de capital que tem como objetivo o auxilio 
eficaz ao aumento da produção. 
Convém, no entanto, acentuar que o crédito transfere mas não cria riquezas.
O crédito estimula, incentiva, facilita a produção de riquezas, mas, em si mesmo, é apenas 
um meio, um instrumento. Assim, os papéis representativos de uma obrigação e emitidos de 
conformidade com a legislação específica denominam-se títulos de crédito. A definição mais 
corrente para título de crédito, elaborado por Vivante, é “documento necessário para o 
exercício do direito, literal e autônomo, nele mencionado”. Os elementos fundamentais para 
se configurar o crédito decorrem da noção de confiança e tempo. A confiança é necessária, 
pois o crédito se assegura numa promessa de pagamento, e o tempo também, pois o sentido 
 37
do crédito é, justamente, o pagamento futuro combinado, pois se fosse à vista, perderia a 
ideia de utilização para devolução posterior. 
A classificação mais importante dos títulos de crédito é feita quanto a sua circulação, da seguinte 
maneira:
* Títulos ao portador, que são aqueles que não expressam o nome da pessoa beneficiada. 
Tem como característica a facilidade de circulação, pois se processa com a simples tradição. 
* Títulos nominativos, que são os que possuem o nome do beneficiário. Portanto, tem por 
característica o endosso em preto 
* Títulos à ordem, que são emitidos em favor de pessoa determinada, transferindo–se pelo 
endosso.
Os tipos de títulos de crédito utilizados nos Brasil são: 
* A letra de câmbio: títuloque representa uma obrigação pecuniária, sendo o mais usado 
em operações de crédito entre financiadoras e comerciantes. A emissão da letra de câmbio é 
denominada saque; por meio dele, o sacador (devedor), expede uma ordem de pagamento 
ao sacado (normalmente uma instituição financeira), que fica obrigado, havendo aceite, a 
pagar ao tomador (um credor específico), o valor determinado no título.
Apesar de atribuir ao sacado a obrigação de pagar o tomador, o sacador permanece 
subsidiariamente responsável pelo pagamento da letra. Não sendo pago o título no seu 
vencimento, poderá ser efetuado o protesto e a cobrança judicial do crédito, que se dá 
por meio da ação cambial. Porém, para que o credor possa agir em juízo, é necessário que 
esteja representado por um advogado. Quanto à possibilidade de transferência, diz-se que 
a letra de câmbio é um título de crédito nominativo, ou seja, em favor de um credor específico, 
suscetível de circulação mediante endosso. Assim, o endossante (tomador original), transfere 
a letra para um endossatário (novo tomador). 
No Brasil, a letra de câmbio é regulada principalmente pela Convenção de Genebra, 
também conhecida como Lei Uniforme (Decreto 57.663/66), e também pelo Decreto Lei n.º 
2.044 de 31 de Dezembro de 1908. O Código Civil de 2002 tem valor supletivo (art. 903).
* A Nota Promissória: título cambiário em que seu criador assume a obrigação direta 
e principal de pagar a soma constante no título. A nota promissória nada mais é do que 
uma promessa de pagamento. A nota promissória é uma promessa de pagamento, para 
seu nascimento são necessárias duas partes, o emitente ou subscritor (devedor), criador da 
promissória no mundo jurídico, e o beneficiário ou tomador que é o credor do título. Para 
exemplificar a constituição de uma nota 
promissória, tome-se a seguinte hipótese: Pedro empresta R$ 1.000,00 (mil reais) ao seu 
amigo André, que por sua vez se compromete a efetuar o pagamento do empréstimo em trinta 
dias, assim sendo, emite uma nota promissória no valor do empréstimo onde o beneficiário é 
o Pedro, com vencimento para trinta dias da data. Como nos demais títulos de crédito, a nota 
promissória pode ser transferida a terceiro por endosso, bem como nela é possível a garantia 
do aval. Caso a nota promissória não seja paga em seu vencimento, poderá ser protestada, 
como ainda será possível ao beneficiário efetuar a cobrança judicial, a qual ocorre por 
meio da ação cambial que é executiva, no entanto a parte só pode agir em juízo se estiver 
representada por advogado legalmente habilitado.
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A nota promissória é prevista no decreto 2044 de 31 de dezembro de 1908 e na Lei 
Uniforme de Genebra. Suas características são as seguintes: 
1. A denominação “nota promissória” lançada no texto do título. 
2. A promessa de pagar uma quantia determinada. 
3. A época do pagamento, caso não seja determinada, o vencimento será considerado à 
vista. 
4. A indicação do lugar do pagamento, em sua falta será considerado o domicílio do 
subscritor (emitente). 
5. O nome da pessoa a quem, ou a ordem de quem deve ser paga a promissória. 
6. A indicação da data em que, e do lugar onde a promissória é passada, em caso de 
omissão do lugar será considerado o designado ao lado do nome do subscritor. 
7. A assinatura de quem passa a nota promissória (subscritor). 
8. Assinatura de duas testemunhas identidade e (ou) CPF e endereço das mesmas.
9. Sem rasuras, pois perde o valor a nota promissória. Legislação sobre a Nota Promissória: 
Decreto n. 57.663, de 24-1-1966, artigo 75 em diante. A nota promissória também é 
conhecida no Brasil como “papagaio”, sendo esta palavra empregada originalmente para 
promissórias de valor duvidoso.
A provável origem deste apelido está na figura do personagem Zé Carioca da Disney 
representando a figura do típico malandro carioca.
* A Duplicata Mercantil ou simplesmente duplicata: é uma espécie de título de crédito 
que constitui o instrumento de prova do contrato de compra e venda. Foi criada pelo direito 
brasileiro: já o Código Comercial de 1850 previa, em seu art. 219, que nas vendas por 
atacado o vendedor era obrigado a extrair, em duas vias, uma relação de mercadorias 
vendidas, as quais eram assinadas pelo comprador, ficando cada via com uma das partes 
contratantes. Humberto Piragibe Magalhães e Christóvão Piragibe Tostes Malta (Dicionário 
Jurídico, 1º:371), definem a duplicata como o título 
de crédito constituído por um saque vinculado a um crédito decorrente de contrato de 
compra e venda mercantil ou de prestação de serviços igualado aos títulos cambiários 
por determinação legal. É título casual, formal, circulável por meio de endosso e negociável. 
Geralmente é título de crédito assinado pelo comprador em que há promessa de pagamento 
da quantia correspondente à fatura de mercadorias vendidas a prazo.
A duplicata tem origem em uma só fatura, porém de uma só fatura podem ser extraídas 
diversas duplicatas. 
A duplicata deve ser apresentada ao devedor dentro de 30 dias de sua emissão, e ele 
deverá devolvê-la dentro de 10 dias, com a sua assinatura de aceite ou declaração escrita 
esclarecendo por que não a aceita. A duplicata paga, para segurança do devedor, deve ser 
retirada de circulação, com quitação no próprio título, para que ele não possa ser cobrado 
por algum endossario de má-fé. 
A duplicata de prestação de serviços é título emitido por profissionais ou por empresas, 
para cobrança de serviços prestados. É obrigatória nas vendas mercantis a prazo e pode ser 
protestada por falta de pagamento, quando vencida
*A debênture: é um título de crédito representativo de empréstimo que uma companhia faz 
 39
junto a terceiros e que assegura a seus detentores direito contra a emissora, nas condições 
constantes da escritura de emissão. Para emitir uma debênture uma empresa tem que ter 
uma escritura de emissão, onde estão descritos todos os direitos conferidos pelos títulos, suas 
garantias e demais cláusulas e condições da emissão e suas características. A expressão 
inglesa derivada — debênture — é geralmente mais empregada no Brasil do que a sua 
correspondente francesa “obligation”, também adotada na legislação brasileira (como 
obrigações). As debêntures são valores mobiliários emitidos pelas sociedades anônimas, 
representativas de empréstimos contraídos pelas mesmas, cada título dando, ao debenturista, 
idênticos direitos de crédito contra as sociedades, estabelecidos na escritura de emissão. 
A captação de recursos pela sociedade através de debêntures gera um lançamento 
contábil em seu ativo (caixa) e outro em seu passivo (circulante e/ou exigível a longo prazo). 
A finalidade desse tipo de financiamento é a de satisfazer, de maneira mais econômica, as 
necessidades financeiras das sociedades por ações, evitando, com isso, os contratempos das 
constantes e caras operações de curto prazo, junto ao mercado financeiro. Dessa forma, as 
sociedades por ações têm à sua disposição as facilidades necessárias para captação de 
recursos junto ao público, a prazos longos e juros mais baixos, com atualização monetária e 
resgates a prazo fixo ou mediante sorteio, conforme suas necessidades para melhor adequar 
o seu fluxo de caixa.
Assim, uma vez identificada a necessidade de captação de recursos financeiros de terceiros, 
para concretização de investimentos e para o cumprimento de obrigações assumidas 
anteriormente, a administração da empresa levará ao Conselho de Administração ou à 
Assembleia Geral proposta para que seja contraído empréstimo público, normalmente a 
longo prazo, mediante a emissão de debêntures.
O Conselho ou a Assembleia, obedecendo ao que dispuserem os estatutos, estabelecerá 
as características do empréstimo, fixando as condições de emissão, tais como: montante, 
número de debêntures, prazo, data de emissão, juros, deságio, amortizações ou resgates 
programados, conversibilidade ou não em ações, atualização monetária, e tudo o mais que 
se fizer necessário, deliberando