Aula_Pratica_04

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1
Prof. Felipe Neves Souza
Eletricidade
Aula Prática 4
45
2
Conversa Inicial
45
3
Circuitos diferenciais 
Primeira ordem (RC e RL)
Segunda ordem (RLC)
Circuitos no domínio fasorial
Tópicos abordados
45
4
Exercício 1
45
5
Dado o circuito abaixo, determine, a tensão do 
capacitor (𝑣𝑐), a constante de tempo 𝝉 e a energia 
armazenada no capacitor (𝝎). Considere o capacitor 
inicialmente descarregado.
Exercício 1
6 𝜂𝐹
2 MΩ
15 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
𝒗𝒄 𝒊𝒄
𝑡 = 0− 0 0
𝑡 = 0+ 0 𝐼𝑀á𝑥
𝑡 = ∞ 𝑉𝑀á𝑥 0
→ Curto circuito
→ Circuito aberto
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
45
6
6 𝜂𝐹
2 MΩ
15 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
𝑣𝑐 0
− = 𝑣𝑐 0
+ = 0
𝑣 𝑡 = 𝑣 ∞ + )𝑣 0+ − 𝑣(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
𝑣𝑐 ∞ = 15 𝑉
𝑣𝑐 𝑡 = 15 + 0 − 15 . 𝑒
− Τ𝑡 𝜏
𝜏 = 𝑅. 𝐶 = 2. 106 . 6. 10−9
𝜏 = 12 . 10−3 = 12 𝑚𝑠
𝜔 =
1
2
. 𝐶. (𝑣𝑐)²
𝜔 0 =
1
2
. 6. 10−9. 0 2 = 0
𝜔 ∞ =
1
2
. 6. 10−9. 15 2 = 675 𝜂𝐽
𝑣𝑐 𝑡 = 15 − 15. 𝑒
− Τ𝑡 12.10−3 𝑉
45
7
𝑣𝑐 𝑡 = 15 − 15. 𝑒
− Τ𝑡 12.10−3 𝑉
𝑣𝑐 𝑡 = 15 − 15. 𝑒
−∞ 𝑉 = 15 𝑉
𝑣𝑐 𝑡 = 15 − 15. 𝑒
−0 𝑉 = 0 V 0,632. 15
𝑣𝐶 (V)
15
12 𝑚𝑠 60 𝑚𝑠
(𝑠)
45
8
Exercício 2
45
9
Dado o circuito abaixo, determine, a corrente do 
indutor (𝒊𝐿), a constante de tempo 𝝉 e a energia 
armazenada no indutor (𝝎). Considere o indutor 
inicialmente descarregado.
Exercício 2
20 𝑚H
100 Ω
10 V
𝑖𝐿t = 0 s
𝒗𝑳 𝒊𝑳
𝑡 = 0− 0 0
𝑡 = 0+ 𝑉𝑀á𝑥 0
𝑡 = ∞ 0 𝐼𝑀á𝑥 → Curto circuito
→ Circuito aberto
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
45
10
𝑖𝐿 0
− = 𝑖𝐿 0
+ = 0
𝑖 𝑡 = 𝑖 ∞ + )𝑖 0+ − i(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
𝑖𝐿 ∞ =
10
100
= 0,1 𝑉
𝑖𝐿 𝑡 = 0,1 + 0 − 0,1 . 𝑒
− Τ𝑡 𝜏
𝜏 =
𝐿
𝑅
=
20.10−3
100
= 0,2 𝑚𝑠
𝜔 =
1
2
. L. (𝑖𝐿)²
𝜔 0 =
1
2
. 20.10−3. 0 2 = 0
𝜔 ∞ =
1
2
. 20.10−3. 0,1 2 = 0,1 𝑚𝐽
20 𝑚H
100 Ω
10 V
𝑖𝐿t = 0 s
𝑖𝐿 𝑡 = 0,1 − 0,1. 𝑒
− Τ𝑡 0,2.10−3
45
11
𝑖𝐿 𝑡 = 0,1 − 0,1. 𝑒
− Τ𝑡 0,2.10−3
𝑖𝐿 𝑡 = 0,1 − 0,1. 𝑒
0= 0 𝐴
𝑖𝐿 𝑡 = 0,1 − 0,1. 𝑒
−∞= 0,1𝐴
0,632. 0,1
𝑖𝐿 (𝐴)
0,1
2 𝑚𝑠 10 𝑚𝑠
(𝑠)
45
12
Exercício 3
45
13
Dado o circuito abaixo, determine, a tensão do 
capacitor (𝑣𝑐) e a constante de tempo 𝝉 . Considere o 
capacitor inicialmente descarregado.
Exercício 3
30 𝜂𝐹
12 Ω
24 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
𝒗𝒄 𝒊𝒄
𝑡 = 0− 0 0
𝑡 = 0+ 0 𝐼𝑀á𝑥
𝑡 = ∞ 𝑉𝑀á𝑥 0
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
12 Ω
6 Ω
45
14
30 𝜂𝐹
12 Ω
24 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
12 Ω
6 Ω
𝑣𝑐 0
− = 24 .
6
12 + 6
𝑣 𝑡 = 𝑣 ∞ + )𝑣 0+ − 𝑣(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
𝑣𝑐 0
− = 8 𝑉
45
15
30 𝜂𝐹
12 Ω
24 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
12 Ω
6 Ω
𝑣𝑐 0
− = 𝑣𝑐 0
+ = 8 𝑉
𝑣𝑐 ∞ = 24 .
4
12 + 4
𝑣𝑐 ∞ = 6 𝑉
4 Ω
45
16
30 𝜂𝐹
12 Ω
24 V 𝑣𝑐
+
−
t = 0 s
12 Ω
6 Ω
𝜏 = 𝑅𝑇ℎ. 𝐶
𝜏 = 3. 30 . 10−9 = 90 𝜂𝑠
Para calcular 𝜏 deve-se considerar t > 0 s
A
B
𝑅𝑇ℎ =
1
12
+
1
12
+
1
6
−1
= 3 Ω
45
17
𝑣 𝑡 = 𝑣 ∞ + )𝑣 0+ − 𝑣(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
𝑣𝑐 0
+ = 8 𝑉
𝑣𝑐 ∞ = 6 𝑉
𝜏 = 90 𝜂𝑠
𝑣𝑐 𝑡 = 6 + 8 − 6 . 𝑒
− Τ𝑡 90.10−9
𝑣𝑐 𝑡 = 6 + 2 . 𝑒
− Τ𝑡 90.10−9
𝜏 2𝜏 3𝜏 4𝜏 5𝜏
8
(36,8 %)
6,74
6
𝑣𝐶 (𝑉)
𝑡 (𝑠)
90 𝜂𝑠 450 𝜂𝑠
45
18
Exercício 4
45
19
Dado o circuito abaixo, determine, a corrente do 
indutor (𝒊𝐿) e a constante de tempo 𝝉 . Considere o 
indutor inicialmente descarregado.
Exercício 4
15 𝑚H
2 Ω
20 V
𝑖𝐿
t = 0 s
𝒗𝑳 𝒊𝑳
𝑡 = 0− 0 0
𝑡 = 0+ 𝑉𝑀á𝑥 0
𝑡 = ∞ 0 𝐼𝑀á𝑥
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
10 Ω 4 Ω
5 Ω
10 V
45
20
2 Ω
20 V
𝑖𝐿
t = 0 s
10 Ω 4 Ω
5 Ω
10 V
15 𝑚H
𝑖𝐿 0
− =
20
2
= 10 𝐴
𝑖 𝑡 = 𝑖 ∞ + )𝑖 0+ − i(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
45
21
2 Ω
20 V
𝑖𝐿
t = 0 s
10 Ω 4 Ω
5 Ω
10 V
15 𝑚H
𝑖𝐿 ∞ =
10
5
= 2 𝑉
45
22
4 Ω
5 Ω
10 V
15 𝑚H
𝜏 =
𝐿
𝑅𝑇ℎ
Para calcular 𝜏 deve-se considerar t > 0 s
A
B
𝑅𝑇ℎ =
4 . 5
4 + 5
= 2,222 Ω
𝜏 =
15.10−3
2,222
= 6,75 𝑚𝑠
45
23
𝑖𝐿 0
+ = 10 𝐴
𝑖 𝑡 = 𝑖 ∞ + )𝑖 0+ − i(∞ . 𝑒− Τ𝑡 𝜏
𝑖𝐿 ∞ = 2 𝑉
𝜏 = 6,75 𝑚𝑠
𝑖 𝑡 = 2 + (10 − 2). 𝑒− Τ𝑡 6,75.10
−3
𝑖 𝑡 = 2 + 8. 𝑒− Τ𝑡 6,75.10
−3 𝜏 2𝜏 3𝜏 4𝜏 5𝜏
10
(36,8 %)
4,94
2
𝑣𝐶 (𝑉)
𝑡 (𝑠)
6,75 𝑚𝑠 33,75 𝑚𝑠
45
24
Exercício 5
45
25
A. Dado o circuito RLC série abaixo, determine 
a característica da resposta:
Exercício 5
500 𝑚H
500 𝜂𝐹2 kΩ
45
26
𝛼 =
𝑅
2. 𝐿
=
2. 103
2.500.10−3
𝜔0 =
1
𝐿. 𝐶
=
1
500.10−9 . 500.10−3
Frequência de ressonância 
Frequência neperiana ou fator de amortecimento 
𝛼 =
𝑅
2. 𝐿
= 2000 𝑁𝑝/𝑠
𝜔0 = 2000 𝑟𝑎𝑑/𝑠
45
27
Como α = ω0, a resposta será criticamente amortecido.
𝑖 𝑡 = 𝐴1. 𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛼𝑡
45
28
B. Dado o circuito RLC paralelo abaixo, determine o 
valor da indutância para que comportamento da 
resposta seja superamortecido.
15 𝜂𝐹2 kΩ 𝐿
45
29
Para que seja superamortecido:
α > ω0
Sendo: 𝛼 =
1
2.𝑅.𝐶
e 𝜔0 =
1
𝐿.𝐶
1
2. 𝑅. 𝐶
>
1
𝐿. 𝐶
1
2. 𝑅. 𝐶
2
>
1
𝐿. 𝐶
2
1
4. 𝑅2. 𝐶2
>
1
𝐿. 𝐶
𝐿 >
4. 𝑅2. 𝐶2
𝐶
45
30
𝐿 > 4. 𝑅2. C
𝐿 > 4. 2.103 2. 15.10−9
𝐿 > 0,24 𝐻
𝐿 > 240 𝑚𝐻 ⟹ Superamortecido
𝐿 = 240 𝑚𝐻 ⟹ Criticamente Amortecido
𝐿 < 240 𝑚𝐻 ⟹ Subamortecido
45
31
Exercício 6
45
32
Dado o circuito abaixo, transforme do domínio do tempo 
para o domínio fasorial e determine as tensões dos nós 
utilizando o método de análise nodal.
Exercício 6
𝑣(t) = 10.cos(200.t) V
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A
250 𝜇𝐹
8 Ω
5 Ω
100 𝜇𝐹
200 𝑚H150 𝑚H
45
33
𝑣(t) = 10.cos(200.t) V
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A
250 𝜇𝐹
8 Ω
5 Ω
100 𝜇𝐹
200 𝑚H150 𝑚H
Das fontes:
𝑣(t) = 10.cos(200.t + 0°) V ⟹ ሶ𝑉 = 10∡0° = 10 + 𝑗. 0
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A ⟹ ሶ𝐼 = 2∡90° = 0 + 𝑗. 2
𝜔 = 200 𝑟𝑎𝑑/𝑠
45
34
𝑍𝑅1 = 8 Ω
Para Resistor: 𝑍𝑅 = 𝑅
𝑍𝑅2 = 5 Ω
𝑣(t) = 10.cos(200.t) V
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A
250 𝜇𝐹
8 Ω
5 Ω
100 𝜇𝐹
200 𝑚H150 𝑚H
45
35
𝑣(t) = 10.cos(200.t) V
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A
250 𝜇𝐹
8 Ω
5 Ω
100 𝜇𝐹
200 𝑚H150 𝑚H
Para capacitor: 𝑍𝐶 = −
𝑗
𝜔.𝐶
𝑍𝐶1 = −
𝑗
200.250. 10−6
= −𝑗. 20 Ω
𝑍𝐶1 = −
𝑗
200.100. 10−6
= −𝑗. 50 Ω
45
36
𝑣(t) = 10.cos(200.t) V
𝑖(t) = 2.cos(200.t+90°) A
250 𝜇𝐹
8 Ω
5 Ω
100 𝜇𝐹
200 𝑚H150 𝑚H
Para indutor: 𝑍𝐿 = j. 𝜔. 𝐿
𝑍𝐿1 = j. 200.150. 10
−3 = 𝑗. 30 Ω
𝑍𝐿1 = j. 200.200. 10
−3 = 𝑗. 40 Ω
45
37
+
−10 𝑉
𝑗. 2 𝐴
8 Ω
5 Ω
j.30 Ω j.40 Ω
-j.20 Ω -j.50 Ω
45
38
+
−
10 𝑉
𝑗. 2 𝐴
8 Ω
5 Ω
j.10 Ω -j.10 Ω
ሶ𝑉1 ሶ𝑉2
ሶ𝐼1 ሶ𝐼2
ሶ𝐼3
ሶ𝐼4
Para o nó V1, temos que:
ሶ𝑉1 = 10 𝑉
Aplicando a LCK no nó 2:
𝐼2 + 𝐼3 = 𝐼4
𝑉1 − ሶ𝑉2
5
+ 𝑗. 2 =
ሶ𝑉2 − 0
−𝑗. 10
0,2. ሶ𝑉1 − 0,2. ሶ𝑉2 + 𝑗. 2 = 𝑗. 0,1. ሶ𝑉2
45
39
ሶ𝑉1 − ሶ𝑉2
5
+ 𝑗. 2 =
ሶ𝑉2 − 0
−𝑗. 10
0,2. ሶ𝑉1 − 0,2. ሶ𝑉2 + 𝑗. 2 = 𝑗. 0,1. ሶ𝑉2
0,2. (10) − 0,2. ሶ𝑉2 + 𝑗. 2 = 𝑗. 0,1. ሶ𝑉2
2 + 𝑗. 2 = 𝑗. 0,1. ሶ𝑉2 + 0,2. ሶ𝑉2
(0,2 + 𝑗. 0,1). ሶ𝑉2 = 2 + 𝑗. 2
ሶ𝑉2 =
2 + 𝑗. 2
0,2 + 𝑗. 0,1
=
2,828∡45°
0,223∡26,565°
ሶ𝑉2 = 12,649∡18,435 = 12 + 𝑗. 4 𝑉
ERRATA
45
40
+
−
10 𝑉
𝑗. 2 𝐴
8 Ω
5 Ω
j.10 Ω -j.10 Ω
ሶ𝑉1 ሶ𝑉2
ሶ𝐼1 ሶ𝐼2
ሶ𝐼3
ሶ𝐼4
ሶ𝑉1 = 10 𝑉
ሶ𝐼4 =
ሶ𝑉2
−𝑗. 10
= −0,4 + j. 1,2 A
ሶ𝑉2 = 12 + 𝑗. 4 𝑉
ሶ𝐼1 =
ሶ𝑉1
𝑗. 10
= −𝑗1 𝐴
ሶ𝐼2 =
𝑉1 − ሶ𝑉2
5
= −0,4 − 𝑗. 0,8 𝐴
ሶ𝐼3 = 𝑗. 2 𝐴