GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - A5

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05/04/2021 Fazer teste: 20211 - PROVA N2 (A5) – GRA1594 CÁLCULO ...
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PERGUNTA 1
Toda raiz de índice  pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário, isto
é, . Assim, para derivar uma função raiz, primeiramente, é preciso escrever
a raiz como uma potência fracionária. A partir do exposto, assinale a alternativa que
apresenta a derivada da função .
.
.
.
.
.
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PERGUNTA 2
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual
pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo  que
indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica. Para uma
mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de
25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com
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 Estado de Conclusão da Pergunta:
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10
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velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da
massa após  segundos? 
  
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
  
.
.
.
. 
  
  
  
  
 
.
PERGUNTA 3
Analise a figura a seguir: 
  
 
Figura: Região plana  sobre a qual o sólido se encontra 
Fonte: Elaborada pela autora. 
  
Um tetraedro é uma figura geométrica formada por quatro faces triangulares. Ao
localizarmos essa figura em um sistema de coordenadas tridimensionais, temos que
cada face pode ser descrita por um plano diferente. Com isso, podemos usar o estudo
de integrais duplas para determinar seu volume. Considere um tetraedro limitado pelos
planos ,  e pelos planos coordenados  e .
Assinale a alternativa que corresponde ao seu volume:
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PERGUNTA 4
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que
o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de
duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que 
 e  podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a
seguir. 
  
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
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III. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir. 
 
  
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
  
  
IV, apenas.
I, II, IV, apenas.
I, apenas.
II, III, apenas.
  
  
  
 
I, IV, apenas.
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PERGUNTA 5
Uma função racional , em que  e  são polinômios, é denominada
função racional própria se o grau de é menor que o grau de . Por outro lado,  é
chamada de função racional imprópria quando o grau de  é maior que o grau de .
Referente ao exposto, assinale a alternativa correta.
A função  é uma função racional imprópria.
A função  é uma função racional própria.
A função  é uma função racional imprópria.
A função  é uma função racional própria.
A função  é uma função racional própria.
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PERGUNTA 6
Leia o trecho a seguir: 
“[...] a tentativa de resolvermos o problema de determinar áreas nos levou à definição
de integral definida”. 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 884. 
  
Assim, aplicando um procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido,
chegaremos à definição de integral dupla. 
  
Utilizando a ideia da integral dupla, assinale a alternativa que representa o volume do
sólido que está acima da região  e abaixo do
paraboloide :
44 u.v.
41,5 u.v.
48 u.v.
43,8 u.v.
46 u.v.
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PERGUNTA 7
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Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região  do plano ,
suponha, também, que a medida da densidade de área dessa distribuição no ponto
  seja  medida em , onde  é contínua em . O momento de inércia
em torno do eixo , denotado por , dessa distribuição de massa será determinado
por . Assinale a alternativa que corresponde ao momento de
inércia  da região limitada pelas curvas ,  e  no primeiro quadrante
e com densidade :
PERGUNTA 8
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se
desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita
mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode
ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a
quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma
substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15
anos. 
  
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e IV, apenas.
I e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
I e II, apenas.
II III e IV apenas
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 Estado de Conclusão da Pergunta:
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II, III e IV, apenas.
PERGUNTA 9
Analise a figura a seguir: 
  
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
  
As coordenadas retangulares e as coordenadas polares se relacionam por meio das
seguintes equações: ,  e . Assim, a integral dupla
com coordenadas retangulares , onde
 , é equivalente à integral dupla com coordenadas
polares , onde .
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido no interior da esfera
  e exterior ao cilindro  limitado ao primeiro octante.
Assinale a alternativa correta:
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PERGUNTA 10
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de
segunda ordem,consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições
iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível
determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas
a seguir: 
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
IV, apenas.
I e IV, apenas.
II, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
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