Estatística - Aula 8

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
AXIOMAS DA PROBABILIDADE
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Olá!
Nesta aula, você irá: 1. Entender os Axiomas da Probabilidade; 2. Conhecer os Axiomas de Kolmogorov; 3.
Entender o Conceito de Partição; 4. Entender o significado de Evento complementar; 5. Conhecer as
Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis.
1 Requisitos Lógicos
Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como os axiomas
da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante não apenas para o entendimento dessa definição mas
também para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação.
2 Axiomas de Kolmogorov
Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1982) lançou as bases axiomáticas da
probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanço na área, estabelecendo um
marco histórico. Não obstante o nível avançado de matemática necessário para uma compreensão aprofundada
do assunto, os seus princípios básicos são relativamente simples e intuitivos, permitindo que se tenha uma boa
compreensão dos conceitos e suas aplicações práticas.
1°) Associados aos possíveis resultados de um experimento aleatório, existe sempre um espaço amostral e uma
álgebra de eventos;
2°) Para todo evento da álgebra, existe um número
não-negativo (maior ou igual a zero), chamado de probabilidade, que se atribui a tal evento;
3°) A probabilidade do espaço amostral é igual a 1;
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos (que não compartilham nenhum resultado) a probabilidade da união
deles é igual à soma das suas probabilidades;
5")0 4º Axioma é verdadeiro para infinitas uniões, desde que todos os pares de eventos sejam disjuntos.
A aplicação da lógica matemática aos postulados acima leva às seguintes propriedades fundamentais da
probabilidade:
>A probabilidade de qualquer evento é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou igual a um;
>A probabilidade de um evento impossível é zero;
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>Se a ocorrência de um evento implica na ocorrência de um segundo, então a probabilidade do primeiro é menor
do que a probabilidade do segundo;
>A probabilidade da união de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro mais a probabilidade do segundo
menos a probabilidade da ocorrência simultânea dos dois.
3 A Importância do Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a
interseção de quaisquer dois deles é vazia. Ao se particionar um evento, é possível se calcular a sua
probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor-se das
probabilidades dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°).
Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas se calcular a probabilidade de eventos a partir
de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio
conceito de probabilidade.
4 Evento complementar
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. Chamamos evento complementar de E indicado por
E ao evento que ocorre quando E não ocorre.
Observe o seguinte diagrama:
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Exemplo 1
Uma uma contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre
múltiplo de 3”, então será?
Temos: Ω=(1,2,3,...,10] e E=[3,6,9) logo:
=[1,2,4,5, 7, 8, 10] é o evento “não ocorre múltiplo de 3”.
Notemos que E = Ω.
5 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais (ou eventos elementares):
Ω=(a1, a2, a3,..., ak)
Vamos associar cada um desses pontos amostrais um número real, p(ai), ou simplesmente pi, chamado
probabilidade do evento (ai), ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral aí, tal que:
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma
probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos
amostrais de Ω, temos, em (Il):
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A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = (a1, a2, a3, ..., ar), com r k, é≤
dada por:
p (E) = p1+p2+...+Pr p(E)= + + +... +
Esta definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pala
razão entre o número de casos favoráveis (ou número de casos que nos interessam) e o número de casos
possíveis (ou número total de casos).
Assim:
Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de elementos do evento, e o número de casos
possíveis corresponde ao número de elementos do espaço amostral, podemos escrever:
p(A) = r/k , onde o evento A tem r elementos e k o número possível de elementos. Para ocorrer o evento A, o
resultado deve ser algum desses r elementos, que são os casos favoráveis.
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Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um “5”, o número de casos
favoráveis será 1, pois num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço
amostral é:
Ω = [1,2,3,4,5,6)
Assim, a probabilidade do evento A será: p (A) = 1/6.
Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em
uma delas sairá, com toda a certeza, o número “5”. Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez, ou ele pode
sair mais de uma vez.
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número muito grande de vezes, o
evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas.
Exemplo 1
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser
sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?
Temos: Ω=[1,2,3,...,15]
Seja o evento E: “número da bola sorteada > 11”.
Logo: E = (11, 12, 13, 14, 15).
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser:
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Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a) Exatamente uma cara
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
Solução A:
Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1º, 2º e 3º colunas, respectivamente, representando os
possíveis resultados para o 1º, 2º e 3º lançamentos.
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b) No máximo duas caras?
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
Solução B:
As sequências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma, uma ou duas caras. Assim, o evento
pedido é:
EZ = ((C,C,C),ÍK,C,C),(C,K,C) MC, CR (K, KO, (K,C,K),(C,K,K)
Exemplo 4
Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes
de turma. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos?
Solução
O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma comissão qualquer de cinco
pessoas, a partir dos 45 alunos.
Então, o número de comissões total:
O evento que interessa é aquele em que “todos os alunos da comissão são meninos”. O número de comissões só
de meninos é C20,5.
Assim, a probabilidade pedida é:
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Exemplo 5
Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade da palavra escolhida começar
por XA?
Solução
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ.
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720.
O evento E = “palavra começa por XA”:
Exemplo 6
Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou
que:
25 Pessoas consomem carnes e verduras
83 Pessoas consomem verduras
39 Pessoas consomem carnes
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade dessa pessoa:
a) Consumir exclusivamente carne?
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b) Ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verdura?
Solução
Vamos construir um diagrama representandocarne por C e verdura por V.
1) Há 25 pessoas na interseção de C e V.
2) Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83-25=58
3) Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39-25=14
4) Como 25+58+14=97, há 3 pessoas que não comem carnes nem verduras.
Assim, as probabilidades pedidas são:
Saiba mais
Para esta aula sugiro as seguintes tarefas:
 Leitura o capítulo 6: Probabilidade (pag. 97 a 101), do livro de Estatística Aplicada à Gestão
Empresarial
 Resolução dos exercícios de 14 até 39 do capítulo 6 do livro Estatística Aplicada à Gestão
Empresarial.
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O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você vai estudar sobre os assuntos seguintes:
• União de dois eventos.
• Produto de dois eventos.
• Probabilidade Condicional.
• Independência de Eventos.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Entendeu os Axiomas da Probabilidade;
• Conheceu os Axiomas de Kolmogorov;
• Conheceu Experimento Aleatório;
• Entendeu o Conceito de Partição;
• Entendeu o significado de Evento complementar;
• Conheceu as Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis;
Empresarial.
Autor: Adriano Leal Bruni, editora: Atlas, 2010.
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	Olá!
	1 Requisitos Lógicos
	2 Axiomas de Kolmogorov
	3 A Importância do Conceito de Partição
	4 Evento complementar
	5 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO