Estatística - Distribuições contínuas de probabilidades

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ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Distribuições contínuas 
de probabilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Comparar as principais distribuições contínuas de probabilidade.
 � Identificar as características das distribuições contínuas.
 � Usar a tabela da distribuição normal para encontrar probabilidade 
desejada.
Introdução
Neste capítulo, você identificará quando uma variável em estudo segue um 
modelo de distribuição contínua de probabilidade, conhecerá as principais 
distribuições contínuas de probabilidade e aprenderá a utilizar a mais 
importante de todas as distribuições em estatística: a distribuição normal.
Distribuições contínuas de probabilidade
Existem distribuições discretas e contínuas de probabilidade. No primeiro caso, 
temos variáveis aleatórias discretas, ou seja, valores resultantes de contagens. 
Então, no caso das distribuições discretas de probabilidade, podemos calcular 
probabilidade do valor da variável que se quer investigar. Temos funções 
matemáticas que fornecem essas probabilidades.
Porém, nas distribuições contínuas de probabilidade, estamos lidando com 
variáveis aleatórias contínuas, ou seja, que resultam de uma medição. Nesses 
casos, não temos valores únicos em uma escala, mas, sim, em intervalos, pois, 
na variável aleatória contínua, podemos ter qualquer valor na reta dos reais.
Dessa forma, a função densidade de probabilidade (FDP), que terá uma 
função matemática associada, necessitará uma integral para a resolução do 
cálculo de probabilidade. Nesse caso, estamos calculando intervalos abaixo 
de uma curva, como mostrado na Figura 1.
Figura 1. Curva de distribuição contínua.
Fonte: Freund (2006, p. 215).
Conforme podemos observar na Figura 1, para obtermos a probabilidade, 
no caso da distribuição contínua, não podemos obtê-la em um ponto único, 
mas apenas em intervalos, como em um intervalo entre os pontos e quaisquer 
abaixo de uma curva. Concluímos, então, que, na distribuição contínua de 
probabilidade, não existe probabilidade no ponto.
Matematicamente, a resolução dessas probabilidades se dá com a integração 
da função da distribuição em estudo. Isso nem sempre é simples, pois nem 
todas as integrações de funções de probabilidade são de fácil resolução. Para 
isso, funções comumente utilizadas contêm tabelas para auxiliar no cálculo 
de probabilidade.
Esse é o caso da distribuição normal, a mais importante distribuição de 
probabilidade em estatística. É do pressuposto de normalidade dos dados que 
muitas inferências são possíveis.
Mas, independentemente de estarmos estudando distribuições discretas 
ou distribuições contínuas de probabilidade, alguns axiomas continuam va-
lendo, como: 0 ≤ f(x) ≤ 1 e a área total abaixo da curva sempre somarão 1 na 
distribuição acumulada.
Características das distribuições contínuas
Veremos, aqui, as características de algumas distribuições de probabilidade 
contínuas além da distribuição normal. Mais adiante, trataremos da distri-
buição de Gauss (normal), à qual, por ser a mais importante, daremos um 
maior destaque.
Distribuições contínuas de probabilidade2
Para o caso da distribuição de probabilidade exponencial, segundo Doane 
e Seward (2014), no modelo exponencial, o foco está no tempo de espera até o 
evento subsequente: uma variável contínua. A função densidade de probabi-
lidade exponencial aproxima-se de zero à medida que o valor de x aumenta. 
Isso é útil para calcular tempo de vida de alguns componentes.
f(x) = λe
–λx se x ≥ 0
0 se x < 0
onde:
λ é a taxa média pelo tempo ou espaço;
x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade.
Representamos a distribuição exponencial por x~Exp(λ), ou seja, a variável 
x aproxima-se de uma distribuição exponencial de parâmetro λ, conforme 
gráfico da Figura 2.
Figura 2. Distribuição exponencial.
Fonte: Portal Action (2017, documento on-line).
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.02.5 3.5 4.5 5.5
x
Fu
nç
ão
 d
en
sid
ad
e 
de
 P
ro
ba
bi
lid
ad
e
λ = 1/2
λ = 1
λ = 3/2
3Distribuições contínuas de probabilidade
Temos, também, a distribuição de probabilidade de Laplace, também cha-
mada de exponencial dupla, pois, algumas vezes, é como se tivéssemos uma 
exponencial positiva junto a uma exponencial negativa. Pode ser utilizada para 
dados de modelagem em biologia e finanças. Tem por função a distribuição 
de probabilidade:
f(x) = 12σ e , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞
|x – µ|
σ( )
onde:
𝜎 é o desvio-padrão;
μ é a média;
x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade.
Representamos a distribuição Laplace por x~Laplace(μ, 𝜎), ou seja, a 
variável x aproxima-se de uma distribuição Laplace de parâmetros μ e 𝜎. A 
forma da distribuição de Laplace é semelhante à normal, porém com um pico 
bem mais fino e acentuado, como na Figura 3.
Figura 3. Distribuição Laplace comparada à distribuição 
normal.
Fonte: Suporte ao Minitab (c2017a, documento on-line).
Outra distribuição de probabilidade contínua de grande utilização é a 
distribuição logística, utilizada mais largamente para dados demográficos e 
de vendas, quando se investiga o crescimento. A função é definida por:
Distribuições contínuas de probabilidade4
f(x) = , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞
e
(x – µ)
σ–
( )(x – µ)σ–σ 1 + e 
2
𝜎 é o desvio-padrão;
μ é a média;
x é o valor da variável aleatória que se quer obter a probabilidade.
Representamos a distribuição logística por x~Logist(μ, 𝜎), ou seja, a variável 
x aproxima-se de uma distribuição logística de parâmetros μ e 𝜎. A forma da 
distribuição logística é semelhante à normal, porém com caudas mais longas, 
como na Figura 4.
Figura 4. Distribuição logística.
Fonte: Suporte ao Minitab (c2017b, documento on-line).
Grá�co de distribuição
logística; Loc = 1
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
D
en
sid
ad
e
–50 50 75–25 250
x
Escala
1
5
10
Ainda temos a distribuição de pareto, utilizada para modelar fenômenos 
sociais, físicos e econômicos. O princípio de pareto diz que aproximadamente 
80% dos efeitos provêm de 20% das causas. 
Além dessas distribuições citadas, ainda há outras tantas, como a distri-
buição beta, de Cauchy, de Maxwell, etc.
5Distribuições contínuas de probabilidade
Distribuição normal 
Como já mencionado, esta é a distribuição de probabilidade contínua mais 
importante e utilizada dentro da estatística. Muito da inferência estatística 
parte do pressuposto da normalidade dos dados, além, é claro, de grande parte 
das variáveis encontradas seguir esse modelo de distribuição.
Essa distribuição tem como parâmetros a média que é uma medida de 
posição e o desvio-padrão que é a medida de variabilidade. Então, o formato 
dessa distribuição depende da variabilidade — quanto mais achatada for a 
distribuição, maior será a variabilidade dos dados e, ao contrário, quanto mais 
estreita for a distribuição, menor será a variabilidade. Já a média situa no eixo 
em que os dados se concentram.
É com base na teoria da distribuição de probabilidade normal que podemos 
estruturar testes de hipótese, estabelecer intervalos de confiança e calcular 
tamanhos de amostra.
A função matemática que descreve a distribuição de probabilidade normal 
é dada por:
f(x) = , –∞ < x < ∞, –∞ < μ < ∞, –∞ < σ < ∞
(x – µ)2
2σ2–1
√2�σ
e
Representamos a distribuição normal por x~N(μ, 𝜎), ou seja, a variável 
x aproxima-se de uma distribuição normal de parâmetros μ (média) e 𝜎 
(desvio-padrão).
O formato da distribuição normal é parecido com um sino. Por esse motivo, 
alguns a chamam de distribuição em forma de sino, ou distribuição de Gauss 
(Figura 5).
Veja, a seguir, as propriedades da distribuição normal.
 � A distribuição normal é simétrica em torno da média (μ).
 � A média, a moda e a mediana são iguais e localizam-se no pico mais 
alto da distribuição.
 � Quanto maiorfor o desvio-padrão, mais achatado será o gráfico da 
distribuição normal.
 � A área total abaixo da curva soma 1 (1 corresponde a 100%).
 � Os parâmetros são a média (μ) e o desvio-padrão (𝜎).
 � Não existe probabilidade menor do que zero, nem maior do que 1.
Distribuições contínuas de probabilidade6
Figura 5. Distribuição normal.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 254).
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
f(x
)
60 70 80 9065 75 85
FDP normal
Velocidade (milhas por hora)
Como se pode perceber, a resolução de uma integral para a FDP da normal 
é bastante elaborada. Por esse motivo, fazemos uso de uma tabela para nos 
auxiliar no cálculo de probabilidade.
Como a média e o desvio-padrão variam de variável para variável e só 
temos uma tabela, estabeleceu-se, para fins de cálculo da tabela, que a média 
seria igual a zero, e o desvio-padrão igual a 1. Claramente, na vida real, as 
médias das variáveis não são iguais a 1, e o desvio-padrão também não é igual 
a 0. Precisamos, então, antes de usarmos a tabela, padronizar a nossa variável 
com a seguinte fórmula:
Z = 
x – µ
σ
Padronizamos a variável x com sua média e seu desvio-padrão específicos 
e transformamos na variável z com média 1 e desvio-padrão 0, para podemos 
fazer uso da tabela da normal padrão.
Existe apenas uma tabela, porém existem apresentações distintas dela. 
Em uma delas, é apresentada a área total abaixo da curva, sendo acumulada 
de – ∞ até + ∞. A outra forma de apresentação é apenas com metade da curva 
normal de 0 até + ∞. Veja o Quadro 1, a seguir.
7Distribuições contínuas de probabilidade
Quadro 1. Distribuição normal
Vamos utilizar um exemplo para aprendermos como encontrar as pro-
babilidades nessa tabela. Suponha uma financeira que empresta, em média, 
R$ 2.000,00 para seus clientes com um desvio-padrão de R$ 900,00. Calcu-
laremos a probabilidade de a financeira emprestar menos de R$ 2.200,00 a 
um cliente.
P(X < 2200) = P z < = P(z < 0,22)2200 – 2000900( )
Observem que, até aqui, apenas fizemos a padronização da variável com 
média de 2000 e desvio-padrão de 900 em uma variável z com média 1 e 
Distribuições contínuas de probabilidade8
desvio-padrão 0. Depois da padronização, precisamos observar a tabela para 
encontrarmos a probabilidade.
Procuramos, na tabela, o cruzamento da linha com o 0,2 até a coluna do 
0,02, que é a nossa segunda casa decimal. Nesse cruzamento, encontramos o 
valor de 0,08706. Estamos trabalhando em uma tabela que tem apenas metade 
da distribuição. Nesse caso, precisamos adicionar a outra metade que não 
está na tabela a esse valor de probabilidade encontrado. A área de cálculo é 
mostrada na Figura 6. 
Figura 6. Área de cálculo da tabela apresentada.
Fonte: Freund (2006, p. 492).
0 z
P(X < 2200) = 0,08706 + 0,5 = 0,58706 = 58,71%
Agora queremos calcular a probabilidade de a financeira emprestar mais 
de R$ 2100,00.
( )P(X > 2100) = P z < = P(z < 0,11)2100 – 2000900
Olhamos na linha do 0,1 até a coluna do 0,01 da tabela e encontramos o 
valor de 0,04380. A esse valor, novamente somamos a outra metade da curva, 
devido à apresentação da tabela.
P(X > 2100) = 0,04380 + 0,5 = 0,54380
Se quisermos calcular a probabilidade de a financeira emprestar entre 
R$ 2.100,00 e R$ 2.200,00, este seria o cálculo:
9Distribuições contínuas de probabilidade
P(2100 < X < 2200) =
P z < = 0,222200 – 2000
900( )
( )P z < = 0,112100 – 2000900
Olhamos, na tabela, os valores referentes a essas duas padronizações e 
encontramos, respectivamente, 0,08706 e 0,04380.
P(2000 < X < 2200) = 0,08706 – 0,0438 = 0,04326 = 4,33%
Vale ressaltar que, com a tabela normal com a área total abaixo da curva, 
a utilização é diferente para encontrarmos a probabilidade.
Ainda como exemplo de distribuições contínuas de probabilidade, temos a 
distribuição t-student (Figura 7). Ela tem uma curva muito semelhante à nor-
mal, também tem parâmetros de média e desvio-padrão, porém é influenciada 
pelo tamanho da amostra. Quando n tende a infinito, a distribuição normal 
e a distribuição t são equivalentes. A distribuição t-student é utilizada nos 
casos em que temos amostras de tamanho inferior a 30 ou não conhecemos 
o desvio-padrão populacional, quando a população tem distribuição aproxi-
madamente normal.
Figura 7. Distribuição t com 2 graus de liberdade.
Fonte: Suporte ao Minitab (c2017c, documento on-line).
Grá�co de distribuição
T; gl–2
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
–5,0 5,0 7,5–2,5 2,50,0
x
D
en
sid
ad
e
Distribuições contínuas de probabilidade10
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2014.
FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
PORTAL ACTION. Distribuição exponencial. 2017. Disponível em: <http://www.portalac-
tion.com.br/probabilidades/612-distribuicao-exponencial>. Acesso em: 03 jan. 2018.
SUPORTE AO MINITAB. Distribuição de Laplace. c2017a. Disponível em: <https://sup-
port.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and- 
random-data/supporting-topics/distributions/laplace-distribution/>. Acesso em: 03 
jan. 2019.
SUPORTE AO MINITAB. Distribuição logística. c2017b. Disponível em: <https://support.mi-
nitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random- 
data/supporting-topics/distributions/logistic-distribution/>. Acesso em: 03 jan. 2019.
SUPORTE AO MINITAB. Selecione a distribuição e os parâmetros. c2017c. Disponível em: 
<https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/graphs/how-to/pro-
bability-distribution-plot/create-the-graph/select-the-distribution-and-parameters/#t>. 
Acesso em: 03 jan. 2019.
11Distribuições contínuas de probabilidade
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