8 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRALDAS MEDIAS

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ESTATÍSTICA
Juliane Silveira 
Freire da Silva
Distribuição amostral das 
médias e das proporções
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer a utilidade das distribuições amostrais.
 � Calcular as distribuições amostrais das médias.
 � Calcular as distribuições amostrais das proporções.
Introdução
Neste capítulo, você vai aprender o que é uma distribuição amostral e 
verificar que ela se aproxima de uma distribuição de probabilidades já 
existente. Vai ver as distribuições para a média e para a proporção.
Além disso, você vai conhecer, entre as existentes, as distribuições 
amostrais das médias e das proporções, e saber calcular os intervalos de 
confiança dos valores amostrais de médias e de proporções.
Distribuições amostrais
Quando lidamos com dados, na maioria das vezes, não podemos utilizar os 
dados da população inteira, por isso utilizamos amostras para representar 
essas populações.
Segundo Spiegel (2009), a teoria da amostragem é um estudo das rela-
ções existentes entre uma população e as amostras obtidas delas. É útil para 
estimação de grandezas desconhecidas da população (tais como a média e a 
variância), com frequência denominados parâmetros da população, por meio 
do conhecimento das grandezas correspondentes denominadas estatísticas 
amostrais.
Quando extraímos dados numéricos da população, chamamos esses dados 
de parâmetros. Quando extraímos dados numéricos de uma amostra, cha-
mamos esses dados de estatísticas ou estimadores. Uma estimativa é um 
resultado particular de uma amostra com relação ao parâmetro (Figura 1).
Figura 1. Estimadores amostrais de parâmetros populacionais.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 293).
Amostra
Inferência
Estimadores
amostrais
x–
s
p
Parâmetros
populacionais
μ
σ
π
Optamos por utilizar amostras em vez de dados de toda a população, pois 
são mais baratas, demoram menos tempo para a obtenção dos dados e, algumas 
vezes, são a única opção com ensaios destrutivos.
O que configura uma população é que todos os elementos tenham pelo 
menos uma característica comum e que uma amostra seja um subconjunto 
dessa população, com as mesmas características comuns que foram definidas 
na população.
Precisamos ter em mente que não é qualquer amostra que pode representar es-
tatisticamente os dados da população. E como saber quando temos uma amostra 
representativa? As amostras representativas precisam ser amostras probabilísticas, ou 
seja, precisam ser amostras aleatórias da população. As técnicas de seleção dessas 
amostras precisam ser obrigatoriamente aleatórias.
Distribuição amostral das médias e das proporções2
Amostras aleatórias são assim definidas, pois todas as unidades da popu-
lação possuem uma probabilidade diferente de zero de compor a amostra. Ou 
seja, todos os elementos da população têm igual chance de serem sorteados 
para a amostragem.
Toda vez que coletamos uma amostra, ela será uma das possíveis combi-
nações de resultado da nossa verdadeira população. Será um dos possíveis 
resultados para a média, para a variância, para o desvio padrão, para a pro-
porção, entre outros parâmetros a serem estimados.
Imaginem quantas combinações possíveis teríamos para uma amostra se 
tivéssemos uma população de mil pessoas e quiséssemos uma amostra de 
200 pessoas. Se, para realizar essa amostragem, 10 pesquisadores diferentes 
fizessem um sorteio, provavelmente obteriam amostras diferentes ou, em 
grande parte, distintas. E mesmo assim com a aleatoriedade dos dados todas 
as 10 amostras seriam representativas da população.
Segundo Doane e Seward (2014), estatística amostral é uma variável 
aleatória cujo valor depende de quais unidades amostrais da população foram 
incluídas em uma amostra aleatória. Algumas amostras podem representar 
bem a população, enquanto outras podem diferir muito dela (em particular, 
se o tamanho da amostra for pequeno). É por esse motivo que podemos nos 
utilizar apenas das amostras aleatórias para gerar as distribuições para a 
média e para a proporção. As amostragens aleatórias podem nos fornecer a 
confiança da amostra, isso significa que sabemos de antemão a probabilidade 
de estarmos coletando os verdadeiros resultados da população, considerando 
a margem de erro fixada. Mesmo assim, apresentarão uma variabilidade em 
relação ao verdadeiro resultado populacional.
Para o cálculo de tamanho de amostra fixamos um erro máximo para 
mais ou para menos que desejamos cometer e fixamos também o nível de 
confiança, ou seja, a probabilidade de acertamos o verdadeiro resultado da 
população considerando a margem de erro.
Podemos ter amostras com e sem reposição. Uma amostra com reposição 
é quando, a cada seleção da unidade amostral, essa unidade retorna à popu-
lação e pode ser novamente sorteada. Uma amostra sem reposição é quando 
sorteamos uma unidade amostral e ela é retirada da população e não tem mais 
chances de ser selecionada novamente.
3Distribuição amostral das médias e das proporções
Podemos ter populações finitas ou infinitas. Se temos uma com bolas brancas, amarelas 
e azuis e selecionamos uma amostra com reposição, essa população será infinita, pois, 
por mais que façamos amostragens, ela não se esgotará. Por outro lado, se tivermos 
uma amostragem sem reposição, ao realizamos a amostragem, a nossa população 
será finita.
Distribuição amostral das médias
É pelo fato de existir uma variabilidade nas amostras coletadas de forma 
aleatória com relação ao verdadeiro resultado da população que existem as 
distribuições amostrais. Uma distribuição amostral é uma distribuição de 
probabilidades que reúne todos os resultados possíveis da estimativa com 
uma amostra aleatória.
Segundo Spiegel (2009), considerando todas as amostras possíveis de tama-
nho n que podem ser retiradas de uma população dada (com ou sem reposição). 
Para cada amostra podemos calcular uma grandeza estatística, como a média 
e o desvio padrão, que varia de amostra para amostra; desse modo, obtemos 
uma distribuição da grandeza que é denominada distribuição amostral.
Como estamos lidando com dados de uma amostra, sempre teremos um erro 
amostral presente nos estimadores em relação ao seu respectivo parâmetro.
Considere “x” uma variável aleatória de uma população com média (μ) 
e variância (𝜎²). Dessa população se extrai uma amostra aleatória com n 
elementos (x1, x2, x3, ..., xn). Temos:
μx = μ– — média
σx = –
σ
√n
 — erro padrão para populações infinitas, desvio padrão
σx = –
σ
√n
∙ N – nN – 1 — erro padrão para populações finitas, desvio padrão
Por exemplo, considere a população de celulares no Brasil. É um número 
muito grande e podemos interpretá-lo como infinito, então temos uma popula-
ção infinita. A média de preço dessa população de celulares é de R$ 1.242,00 
Distribuição amostral das médias e das proporções4
e seu respectivo desvio padrão é de R$ 700,00. Suponha uma distribuição de 
amostragem das médias em uma amostra de tamanho n = 49. O valor esperado 
e o erro padrão da distribuição seriam:
μx = μ = 1242,00–
–σx = 
σ
√n
∙ 700
√49
= 10
Se as amostras variarem quando tivermos uma estimativa, estaremos cometendo um 
erro amostral. Erro amostral é a diferença entre a estimativa da amostra específica 
e o parâmetro da população da qual ela foi extraída. O erro amostral é um risco que 
corremos nas estimativas. Como é difícil de calcular esse erro amostral, pois não 
conhecemos o verdadeiro parâmetro populacional, devemos coletar amostras grandes 
o suficiente para diminuir esse erro.
Também temos o conceito de vício. Um estimador viciado é aquele em que o valor 
esperado (o valor médio) é diferente do verdadeiro parâmetro populacional.
Para a distribuição amostral da média desejamos sempre que nossas amos-
tras sejam grandes para que possamos aproximar essa distribuição amostral 
da distribuição normal de probabilidades. A distribuição normal tem como 
parâmetros a média e o desvio padrão, N(μ, 𝜎); no entanto, nem sempresabemos 
de antemão qual distribuição os dados populacionais seguem. Caso esses dados 
sigam uma distribuição normal, como consequência os dados da distribuição 
amostral também seguirão uma distribuição de probabilidade normal. 
Quando não conhecemos a distribuição dos dados populacionais ou os 
dados não seguem uma distribuição normal, utilizamos o teorema do limite 
central para a distribuição amostral da média.
Teorema do limite central
Considerando x como sendo uma variável aleatória de uma população com 
média (μ) e variância (𝜎²) e tomando uma amostra aleatória de tamanho n dessa 
população, a distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição 
normal com média μ e variância 𝜎²/n quanto maior for o tamanho da amostra.
5Distribuição amostral das médias e das proporções
O teorema do limite central assegura que conforme a amostra aumenta a 
distribuição da média se aproxima de uma distribuição normal, independen-
temente da forma da distribuição da população da qual foi retirada (Figura 2).
Segundo Kazmier (2008), para propósitos práticos, a distribuição de amos-
tragem da média pode ser assumida como seguindo, de maneira aproximada, 
a distribuição normal, mesmo para as populações ou processos de não nor-
malidade mais acentuada, sempre que o tamanho da amostra for maior do 
que n > 30.
Figura 2. Ilustração do teorema do limite central.
Fonte: Doane e Seward (2014, p. 297).
População uniforme População assimétrica
n = 1
n = 2
n = 4
n = 8
n = 1
n = 2
n = 4
n = 8
Distribuição amostral das médias e das proporções6
Segundo Doane e Seward (2014), o teorema do limite central nos permite 
definir um intervalo no qual se espera que as médias amostrais estejam. 
Contanto que o tamanho da amostra seja grande o suficiente, podemos usar 
a distribuição normal independentemente da forma da população (ou para 
qualquer n, se a população for normal).
μ ± z ∙ σ
√n
Conhecidos os valores de μ e σ, o Teorema permite que seja calculado o 
intervalo da distribuição das médias amostrais, ou seja, o intervalo que poderia 
abranger os valores das médias amostrais de uma determinada população da 
qual possam ser retiradas as combinações de amostras.
Para a obtenção do valor de z na fórmula, utilizamos a tabela da distribuição 
normal. Nessa tabela, temos as probabilidades associadas à área abaixo da 
curva normal padrão. Falar em curva normal padrão significa falar em uma 
distribuição de probabilidades normal com média igual a 0 e desvio-padrão 
igual ao apresentado na Figura 3.
Figura 3. Tabela de distribuição normal. Valores totais abaixo da curva normal padrão.
7Distribuição amostral das médias e das proporções
No exemplo da população de celulares no Brasil, a média de preço dessa população 
de celulares é de R$ 1.242,00 e seu respectivo desvio padrão é de R$ 700,00. O intervalo 
de variação com 95% de confiança seria o seguinte:
Inicialmente, precisamos procurar na tabela de distribuição normal (Figura 3) o valor 
de z. Observamos que, dentro da tabela, existem valores que vão de 0,0000 a 1,0000. 
Essas são as probabilidades acumuladas abaixo da curva, então procuramos um 
valor de 0,9750, já que queremos uma confiança de 95%. O valor se encontra quando 
cruzamos a linha do 1,9 com a coluna do 0,06, então o valor de z para 95% é de 1,96.
Voltando ao cálculo:
μ ± z ∙ = 1242 ± 1,96 ∙σ
√n
700
√49
1242 ± 1,96 . 100
[1046,00 ; 1438,00]
Usamos o valor de 97,5% porque a tabela nos fornece as probabilidades acumuladas 
até o 1,96. Se tenho a confiança de 95%, falta 5% para os 100%, então dividimos esse 
valor pela metade para cada um dos lados da cauda da distribuição normal, assim 
0,95 + 0,025 = 0,975. 
Os valores mais utilizados para os intervalos de confiança, são:
 � 90% de confiança → z = 1,645;
 � 95% de confiança → z = 1,960;
 � 99% de confiança → z = 2,576.
De acordo com o teorema do limite central, também podemos calcular as 
probabilidades de encontrarmos determinado valor de média amostral, dentro 
da população da qual a retiramos, considerando a sua μ e 𝜎.
Desse Teorema também podemos calcular os tamanhos de amostra, consi-
derando a confiança e o erro amostral, quando queremos estimar uma média 
da população.
Distribuição amostral das proporções
Podemos querer estimar outros parâmetros da nossa população, por exemplo, 
descobrir a proporção de eleitores de determinado candidato nas eleições. Para 
isso precisaremos da distribuição amostral da proporção.
Distribuição amostral das médias e das proporções8
Suponhamos uma população, em que a probabilidade de ocorrência de 
um determinado evento seja igual a e a não ocorrência desse de terminado 
evento seja igual a q = 1 – p. No exemplo do candidato às eleições, p seria 
probabilidade de votar no candidato e q a probabilidade de não votar nele. 
No caso da distribuição amostral das proporções, utilizamos a distribuição 
de probabilidades binomial, que tem como parâmetros o n e o p; B(n, p). 
Assim sendo, X uma variável aleatória de uma população com proporção π, 
a distribuição amostral das proporções terá:
μp = p — média
σp = 
p · (1 – p)
n — desvio padrão
Quando temos amostras grandes, n ≥ 30, podemos aproximar a distribuição 
binomial da distribuição normal, assim podemos também utilizar o Teorema 
do limite central no caso da distribuição amostral das proporções.
Se podemos utilizar o Teorema também poderemos criar intervalos de 
confiança para a proporção amostral, bem como calcular o tamanho de amostra 
para quando queremos estimar a proporção de uma variável aleatória dentro 
de uma população.
O intervalo de confiança para a proporção é dado por:
p ± z · 
p · (1 – p)
n
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: AMGH; Bookman, 2014. 840 p.
KAZMIER, L. J. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2008. 392 p. (Coleção Schaum).
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 600 p. 
(Coleção Schaum).
Leitura recomendada
FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006. 536 p.
9Distribuição amostral das médias e das proporções
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