Aula 7 - Fundamentos da Matemática

Prévia do material em texto

AULA 7 
1. Conjuntos Numéricos 
A noção de conjunto numérico é fundamental na 
Matemática e, a partir dos conceitos sobre 
conjuntos, podemos expressar todos os conceitos 
matemáticos. 
Um conjunto nada mais é do que uma coleção 
qualquer de objetos, como já vimos na aula 
anterior. No caso dos conjuntos numéricos, seus 
elementos são obviamente números. 
 
1. Conjuntos Numéricos 
A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem, 
de acordo com a história da Matemática. Ou seja, à 
medida que a matemática avançou, foi necessária 
a criação de novos conceitos e, com isso, foram 
surgindo vários conjuntos de números. São eles: 
Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e 
Complexos. Nesta aula vamos abordar os Naturais, 
os Inteiros e os Racionais. 
 
1. Números Naturais 
Estes números foram criados pela necessidade 
prática de contar as coisas da natureza, por 
isso são chamados de números naturais. Este 
universo é abordado de duas formas distintas: 
abordagem ordinal, em que os números 
indicam posições, e a abordagem cardinal, em 
que os números designam quantidades. 
 
2. Números Naturais 
A formalização mais bem sucedida para o 
conjunto dos números naturais foi proposta pelo 
matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele 
relacionou os conceitos ordinais e cardinais 
estabelecendo o conjunto N, cuja representação 
matemática é: 
N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} 
•  Zero não é sucessor de nenhum número natural. 
• Todo número natural possui um único sucessor. 
 
2. Números Naturais 
A adição é a primeira operação aritmética que 
devemos compreender neste universo. Ela se 
aplica a dois ou mais números naturais (parcelas) e 
produz um único resultado, o qual chamamos de 
soma ou total. 
• O zero é elemento neutro da adição. 
• São válidas as propriedades: 
Comutativas da adição: A + B = B + A 
Associativas da adição: (A + B) + C = A + (B + C) 
. 
 
2. Números Naturais 
A multiplicação é a próxima operação aritmética que 
devemos compreender no universo natural. Ela se 
aplica a dois ou mais números naturais, agora 
chamados fatores, e também produz um único 
resultado, o qual chamamos de produto. 
• O produto do número zero com qualquer outro 
número natural é igual ao número zero. 
• O número um (1) é elemento neutro da multiplicação. 
2. Números Naturais 
Aplica-se ainda a lei da multiplicação 
distributiva. 
À direita: 
(m + n) . p = mp + np 
À esquerda: 
p . (m + n) = pm + pn 
 
2. Números Naturais 
São válidas as propriedades: 
Comutativas da multiplicação: A . B = B . A 
Associativas da multiplicação: (A . B) . C = A . (B . C) 
No universo dos naturais, a potenciação pode ser 
definida por sucessivas multiplicações de fatores 
iguais e se aplica a dois números apenas: a base, 
que indica o valor destes fatores, e o expoente, que 
indica a quantidade de vezes que devemos 
multiplicar o número da base. 
 
2. Números Naturais 
A potenciação não possui propriedade comutativa 
nem associativa. 
As potências de expoentes dois e três costumam 
s e r c h a m a d a s d e q u a d r a d o e c u b o , 
respectivamente, por estarem presentes nas 
expressões que calculam área e volume de figuras 
geométricas. 
 
2. Números Naturais 
A divisão no universo natural é uma operação 
aplicada apenas a dois números (dividendo e 
divisor) e produz dois resultados chamados de 
quociente e resto. 
Sendo N e d dois números naturais, tais que N 
dividido por d produz um quociente q e um resto r, 
obedece às seguintes condições: 
N = q.d + r e 0 ≤ r < d 
 
2. Números Naturais 
*Fica comprovado aqui que não existe divisão em que o 
divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r que 
satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d. 
Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da 
divisão de N por d será o maior número natural q, tal 
que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o 
resto dessa divisão é igual à diferença entre o 
dividendo N e o produto q.d. Por exemplo: 
17: 5 = 3. 5 + 2 
Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 = 17 - 15 
 
2. Números Naturais 
*Numa expressão aritmética, as operações devem 
ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem: 
1) Potenciações; 
2) Multiplicações e divisões; 
3) Adições e subtrações. 
 
 
3. Números Inteiros 
A subtração, ou a operação inversa da adição, 
é a primeira operação aritmética que devemos 
compreender neste universo e se aplica a dois 
ou mais números naturais produzindo um único 
resultado, que chamamos de diferença ou 
total. 
3. Números Inteiros 
O cálculo 3 – 4, no conjunto dos números naturais, 
era impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o 
minuendo), pois neste conjunto numérico, para que 
a subtração tenha sentido, é necessário que o 
minuendo seja maior que o subtraendo. 
A idéia do número negativo veio da necessidade 
de expandir o universo dos naturais e aparece na 
Índia, associada a problemas comerciais que 
envolviam dívidas. Neste sentido, surge o conjunto 
dos números inteiros. 
 
 
 
 
3. Números Inteiros 
A abordagem cardinal e ordinal dos números 
naturais ganha orientação e o número zero se 
torna origem para contagem de posições feita no 
sentido definido arbitrariamente como positivo (+) e 
negativo (-). 
 
A representação matemática deste conjunto é: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
3. Números Inteiros 
 
São válidas as seguintes propriedades: 
A – B = – B + A 
(a ordem das parcelas não altera o resultado) 
A – B – C = A – (B + C) 
A – (B – C) = A – B + C 
3. Números Inteiros 
A multiplicação no universo dos inteiros deve 
obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre 
dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o 
produto entre dois números inteiros de sinais 
opostos é negativo. 
 
( + ) . ( + ) = ( + ) 
( + ) . ( – ) = ( – ) 
( – ) . ( + ) = ( – ) 
( – ) . ( – ) = ( + ) 
 
3. Números Inteiros 
O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a 
potenciação de um número negativo (cuja base 
representa um número menor que zero), apresenta a 
seguinte propriedade: 
• Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+) 
• Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-) 
 
3. Números Inteiros 
O resto da divisão no universo inteiro não pode ser 
negativo e o sinal do quociente obedece à mesma 
regra de sinais da multiplicação. 
Como o divisor d não pode ser negativo: 
N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ 
Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou 
seja, o número d sem seu sinal ou a distância do 
mesmo até a origem. 
Obs.: ǀ d ǀ, lê-se “módulo de d”. 
 
 
3. Números Inteiros 
Por exemplo: 
Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e 
resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ. 
 
Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e 
resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5. 
 
Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e 
resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ. 
 
 
 
 
3. Números Inteiros 
Se na divisão de um número inteiro N por um 
número inteiro d o resto obtido for igual a zero, 
então dizemos que o número N é divisível pelo 
número d ou que N é múltiplo de d, e tmabém que o 
número d é divisor do número N. 
3. Números Inteiros 
Há duas operações básicas no universo dos 
números inteiros que não são indicadas por 
operadores simbólicos como ( + ), ( - ), ( . ) ou ( : ), 
mas sim por siglas que designam seu significado. 
Essas operações são chamadas mínimo múltiplo 
comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc). 
Podem ser aplicadas a dois ou mais inteiros e têm 
propriedade associativa e multiplicativa. 
 
3. Números Inteiros 
O máximo divisor comum de dois ou mais números 
inteiros positivos é o maior número inteiro que 
divide todos esses números. 
Uma maneira prática de se determinar o mdc é 
dividindo sucessivamente e simultaneamente os 
números por números primos até que não seja 
mais possível a divisão simultânea. 
Dessa forma, o mdc é dado pelo produto dessesnúmeros primos. O mdc de dois ou mais números, 
quando fatorados, é o produto dos fatores comuns 
a eles, cada um elevado ao menor expoente. 
 
3. Números Inteiros 
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números 
inteiros positivos é o menor número inteiro positivo 
que é divisível por todos esses números. 
Assim como o mdc, é possível calcular o mmc 
fazendo divisões sucessivas por números primos e 
depois multiplicando-se tais números primos. A 
diferença é que as divisões não param quando não 
existe mais um divisor primo que seja comum a 
todos. 
Observação: Dados dois números primos entre si, o 
mmc deles é o produto desses números. 
 
3. Números Inteiros 
Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos 
M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do 
número n, respectivamente. Assim, temos por 
exemplo: 
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, ...} 
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, ...} 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
mmc(6, 8) = 24 
mdc(6, 8) = 2 
 
3. Números Inteiros 
Exemplo: 
Sejam os números 24 e 36. 
D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} 
D(36)={1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36} 
 
O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36 é 12. 
 
mdc(24, 36)=12 
3. Números Inteiros 
Exemplo 
M(24) = {24; 48; 72; 96; 120; 144; 160; 192; 216; ...} 
M(36) = {36; 72; 108; 144; 180; 216; ...} 
Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são: {72; 
144; 216;...} 
 
O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e 36 é o 
72. 
 
mmc(24, 36)=72 
3. Números Inteiros 
Fatorando: 
 
24 = 2³ . 3 mdc(24, 36) = 12 = 3.2² 
36 = 2² . 3² mmc(24, 36) = 72 = 3².2³ 
 
mdc: Separadamente, note que o máximo divisor comum 
(mdc) é o produto de todas as bases comuns a ambas as 
decomposições, com menor expoente. 
 
mmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo comum 
(mmc) é o produto de todas os fatores de ambas 
decomposições (uma de vez cada), e, quando há repetição, 
usa-se o de maior expoente. 
 
3. Números Inteiros 
 
Relação entre máximo divisor comum e mínimo 
múltiplo comum: 
 
mdc(a, b) . mmc(a, b) = a . b 
 
 
 
3. Números Inteiros 
Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre 
dois números inteiros a e b, diferentes de zero, 
como sendo o menor elemento da interseção dos 
conjuntos M(a) e M(b), e o máximo divisor comum 
desses números como sendo o maior elemento da 
interseção dos conjuntos D(a) e D(b). A única 
exceção a essa regra é para mmc entre zero e um 
número qualquer, isto é, mmc (0, n) = 0. 
 
 
 
4. Números Racionais 
Há muito tempo transmitimos a ideia de 
quantidades concretas através de palavras como 
“metade”, “percentual”, “centavos” ou “dízimo”. 
É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são 
legítimas representações de quantidade, embora 
não comparti lhem do mesmo sistema de 
representação. 
Frases como: “um terço da população”, “quatro de 
cada dez pessoas”, “um em um milhão” e outras se 
fazem constantes em nosso cotidiano. 
4. Números Racionais 
Entretanto... com o tempo surgiram outras questões 
que no conjunto dos números inteiros não tinham 
sentido. 
“Como dividir 3 terrenos para 2 herdeiros?” 
Para resolver problemas desse tipo, foram criados os 
números fracionários e decimais. 
Estes números, juntamente com os números inteiros, 
formam o conjunto dos números racionais. 
A representação matemática deste conjunto é: 
Q = Z ∪ {números fracionários e decimais} 
 
4. Números Racionais 
Número Racional é todo o número que pode 
ser representado por uma razão (ou fração) 
entre dois números inteiros (com denominador 
diferente de zero), podendo apresentar ainda a 
forma decimal (casos em que não há resto). 
 
1/4 = 0,25 
4. Números Racionais 
Noções intuitivas de fração: 
 
Quando o numerador é menor que o denominador, a 
fração representa um número menor que 1, isto é, uma 
fração própria. Caso contrário, ela é dita imprópria, e se 
o numerador é igual ao denominador, essa fração 
representa o número 1.