Estimação de Parâmetros 2

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ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
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Estimação Intervalar 1/16
Estimação Intervalar
Intervalo de Confiança
Em muitas situações, gostarı́amos de construir uma estimativa mais
informativa para o parâmetro de interesse que inclua uma medida de
precisão do valor obtido. Esse método de estimação, denominado in-
tervalo de confiança, incorpora à estimativa pontual do parâmetro
informações a respeito de sua variabilidade. Intervalos de confiança
são obtidos através da distribuição amostral de seus estimadores.
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
Considere uma amostra aleatóriaX1, X2, ..., Xn de uma populaçãoX ,
que tem média µ desconhecida e variância σ2 conhecida. Daqui por
diante faremos as seguintes considerações:
(i) P (0 < Z < zγ/2) = γ/2, em que Z ∼ N(0, 1) e 0 < γ < 1;
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
(ii) Pelo Teorema Central do Limite, a média amostral
X ≈ N(µ, σ2/n).
Assim, temos que
Z =
X − µ
σ/
√
n
≈ N(0, 1).
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
Portanto, podemos escrever:
P
(
−zγ/2 < Z < zγ/2
)
= γ,
ou seja,
P
(
−zγ/2 <
X − µ
σ/
√
n
< zγ/2
)
= γ,
e assim,
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
P
(
−zγ/2
σ√
n
< X − µ < zγ/2
σ√
n
)
= γ,
de onde obtemos
P
(
X − zγ/2
σ√
n
< µ < X + zγ/2
σ√
n
)
= γ.
Portanto, o intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança
γ, é dado por
IC(µ, γ) =
(
X − zγ/2
σ√
n
;X + zγ/2
σ√
n
)
,
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
Atenção!
A amplitude do intervalo de confiança é dada pela diferença entre o ex-
tremo superior e o extremo inferior, isto é, 2zγ/2
σ√
n
. O erro envolvido
na estimação é dado pela semi-amplitude, ou seja, zγ/2
σ√
n
.
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Estimação Intervalar 7/16
Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
Exemplo 1
Suponha que os comprimentos de jacarés adultos de uma certa raça
siga o modelo normal com média µ desconhecida e variância igual a
0,01 m2. Uma amostra de dez animais foi sorteada e forneceu média
1,69 m. Encontre um intervalo com 95% de confiança para o parâmetro
desconhecido µ.
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Intervalo de Confiança para a Média de uma População com
Variância Conhecida
Exemplo 2
A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está sendo
estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possı́vel
admitir que a vida útil dessas baterias segue uma distribuição normal
com desvio padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amos-
tra, para que a amplitude do intervalo de 90% de confiança para a vida
média seja de 3 meses?
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Estimação Intervalar 9/16
Estimação Intervalar
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
De maneira análoga ao caso da média, podemos construir um intervalo
de confiança para a proporção populacional.
Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que
p̂ ≈ N
(
p,
p(1− p)
n
)
.
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Estimação Intervalar 10/16
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
Assim, um intervalo de confiança para p com nı́vel de confiança γ é
dado por
IC(p, γ) =
(
p̂− zγ/2
√
p(1− p)
n
; p̂+ zγ/2
√
p(1− p)
n
)
.
Como p é desconhecido, o intervalo ainda não pode ser calculado dire-
tamente. Uma possı́vel solução é substituirmos p(1− p) por p̂(1− p̂).
Portanto, o intervalo será:
IC1(p, γ) =
(
p̂− zγ/2
√
p̂(1− p̂)
n
; p̂+ zγ/2
√
p̂(1− p̂)
n
)
.
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Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
Outra solução possı́vel, é baseada no fato que a expressão p(1−p) tem
valor máximo igual a 1/4, quando 0 ≤ p ≤ 1. Nesse caso, podemos
obter um intervalo de confiança substituindo p(1− p) por 1/4:
IC2(p, γ) =
(
p̂− zγ/2
√
1
4n
; p̂+ zγ/2
√
1
4n
)
.
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Estimação Intervalar 12/16
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
Atenção!
Ao aceitarmos IC1, estamos levando em consideração que a variância
de p é bem aproximada por
p̂(1− p̂)
n
. Se preferirmos IC2, estaremos
substituindo a variância por um valor seguramente maior do que o real.
Assim, estamos nos assegurando que o coeficiente de confiança será
de, no mı́nimo, γ. Ao utilizarmos IC2, estamos aceitando uma menor
precisão para p̂, o que se reflete numa maior amplitude do intervalo de
confiança, quando comparado ao intervalo IC1.
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Estimação Intervalar 13/16
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
Exemplo 1
Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre
determinado produto, e 60% delas preferiram a marca A. Construa um
intervalo de confiança para p com nı́vel de confiança γ = 0, 95.
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Estimação Intervalar 14/16
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional
Exemplo 2
Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma
amostra de 100 itens, constatando-se que 4 peças eram defeituosas.
Construir um IC para a proporção de itens defeituosos na população
com nı́vel confiança de 90%
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Estimação Intervalar 15/16
Questões sugeridas do capı́tulo 11
15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 28, 29, 30 e 44.
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