02 Raciocinio Logico

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NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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Noções Básicas De Lógica 
Conectivo Lógico 
Para a lógica, um conectivo lógico (também chamado de operador lógico) é um símbolo ou palavra 
usado para conectar duas ou mais sentenças (tanto na linguagem formal quanto na linguagem 
natural) de uma maneira gramaticalmente válida, de modo que o sentido da sentença composta 
produzida dependa apenas das sentenças originais. 
Os conectivos lógicos mais comuns são os conectivos binários, que juntam duas sentenças, que 
podem ser consideradas os operandos da função. É também comum considerar negação como um 
conectivo unário. 
Conectivos lógicos e quantificadores são os dois principais tipos de constantes lógicas usadas em 
sistemas formais como a lógica proposicional e a lógica de predicados. A semântica de um conectivo 
lógico é, muitas vezes, mas não sempre, apresentada como uma função de verdade. 
Um conectivo lógico é similar, mas não equivalente, a um operador condicional. 
Operação Conectivo Estrutura Lógica Exemplos 
Negação ¬ Não p A bicicleta não é azul 
Conjunção ^ P e q Thiago é 
médico e João é 
Engenheiro 
Disjunção Inclusiva v P ou q Thiago é 
médico ou João é 
Engenheiro 
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é 
Médico ou João é 
Engenheiro 
Condicional → Se p então q Se Thiago é 
Médico entãoJoão é 
Engenheiro 
Bicondicional ↔ P se e somente se q Thiago é médico se e 
somente seJoão é 
Médico 
Tautologia 
Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro. 
Exemplo 
A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-
verdade. 
 
Exemplo 
A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui 
V. 
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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Contradição 
Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso. 
Exemplo 
A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a 
tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, 
isto é, o principio da não contradição. 
 
Implicações E Equivalências 
Implicação: Sejam P e Q Proposições¹. Dizemos que P implica em Q (P=>Q) se e somente se P -> Q 
for Tautologia². 
Exemplo: p^q => p 
Sejam: P: p^q e Q: p 
Para que P => q então P -> Q deve ser tautologia, ou seja: 
p^q -> p deve ser tautologia. 
Equivalência: Sejam P e Q proposições. Dizemos que P é equivalente a Q (P<=>Q) se e somente se 
P<->Q for Tautologia. Dizemos tambem que se P<=>Q então P é igual a Q. 
Exemplo: p^q <=> p 
Sejam: P: p^q e Q: p 
para que p <=> q então P<->Q deve ser tautologia, ou seja: 
p^q <-> p deve ser tautologia. 
Para não precisarmos fazer tabela-verdade toda vez que quisermos provar uma equivalência, temos 
a seguinte lista de equivalências com 19 equivalências que já foram testadas e afirmadas como 
sendo todas verdadeiras: 
Lista de Equivalências básicas: 
1- p^p <=> p 
2- p^q <=> q^p 
3- p^(q^r) <=> (p^q)^r 
4- p^(q v r) <=> (p^q) v (p^r) 
5- p^tautologia <=> p 
6- p^contradição³ <=> contradição 
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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7- p^~p <=> contradição 
8- p v p <=> p 
9- p v q <=> q v p 
10- p v (q v r) <=> (p vq) v r 
11- p v (q^r) <=> (p v q) ^ (p v r) 
12- p v tautologia <=> tautologia 
13- p v contradição <=> p 
14- p v ~p <=> tautologia 
15- p -> q <=> ~p v q 
16- p<->q <=> (p->q)^(q->p) 
17- ~(~p) <=> p 
18- ~(p^q) <=> ~p v ~q 
19- ~(p v q) <=> ~p^~q 
A Lógica Da Argumentação, Afirmação E Negação 
Afirmação E Negação 
Olá pessoal iremos entrar agora num assunto que exige bastante atenção, pois é cobrado com 
bastante freqüência em concursos. Explicarei passo a passo e faremos alguns exercícios para fixar o 
aprendizado. 
Para vocês entenderem lógica argumentativa, precisam aprender algumas regrinhas. 
1° Humberto é cruzeirense 
2° Renato é atleticano 
Fiz duas afirmações, que também podem ser chamadas de proposições. A primeira iremos chamar 
de proposição P e a segunda de Q. 
Posso também fazer a negação delas, ou seja uma afirmação negativa, representado por este 
símbolo (~ ). 
3° (~ ) P. Humberto não é cruzeirense. 
4° (~ ) Q. Renato é não é atleticano. 
As quatro afirmações acima podem ter valor lógico verdadeiro ou falso, vejamos: 
Se Humberto for cruzeirense, então a negação é falsa. 
P ═ V então (~ ) P ═ F 
Se Renato for atleticano, então a negação é falsa. 
Q ═ V então (~ ) Q ═ F 
Agora se: 
Humberto não for cruzeirense, então a afirmação é falsa. 
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P ═ F então (~ ) P ═ V 
Renato não for atleticano, então a afirmação é falsa. 
Q ═ F então. (~ ) Q ═ V 
Uma argumentação não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Argumentos 
Argumentos são ideias lógicas relacionadas entre si e com o propósito de esclarecer e resolver 
determinada situação ou dúvida, por exemplo. 
Os argumentos são normalmente baseados em premissas que ajudam a construir uma conclusão. No 
entanto, todas as premissas deve ter como alicerce um sentido lógico, caso contrário o resultado final 
pode não ser verdadeiro ou válido. 
Por norma, os argumentos servem principalmente para provar alguma coisa, como um ponto de vista, 
uma decisão ou ideia. Seu objetivo, neste caso, consiste em justificar determinado objeto que é causa 
de um debate. 
Por exemplo, no âmbito jurídico e ético, uma intensa discussão permanece no Brasil sobre a 
Maioridade Penal e a Pena de Morte para alguns tipos de crimes. 
Estes debates são permeados por argumentos que tentam convencer a população sobre os pontos 
positivos da aprovação destas leis, enquanto grupos opostos utilizam de argumentações contrárias 
para vetar e impedir o avanço desta discussão (contra argumentos). 
Como dito, os pontos principais de ambos os argumentos devem estar focados na lógica e realidade, 
baseando-se sempre em algum princípio, seja jurídico (as leis), ético (códigos de ética e os direitos 
humanos) ou, em alguns casos, religioso (a bíblia) para justificar a conclusão final. 
A conclusão é a opinião criada a partir de todos os argumentos apresentados em conjunto, que 
podem ser informações históricas, dados estatísticos e demais conteúdos de natureza racional. 
A maioria dos textos acadêmicos e redações devem ser apresentados como argumentativos, ou seja, 
recheados de fatos, estudos, problemáticas e soluções lógicas sobre a temática que está sendo 
abordada. 
Silogismo 
Silogismo é um modelo de raciocínio baseado na ideia da dedução, composto por duas premissas 
que geram uma conclusão. 
O precursor desta linha de pensamento lógico foi o filósofo grego Aristóteles, conhecido por ser um 
dos primeiros pensadores e filósofos de todos os tempos. 
O chamado silogismo aristotélico é formado por três principais características: mediado, dedutivo e 
necessário. 
O silogismo seria mediado devido a necessidade de se usar o raciocínio para se chegar à conclusão 
real. Seria dedutivo pelo fato de se partir de preposições universais para se chegar a uma conclusão 
específica. E, por fim, seria necessário por estabelecer uma conexão entre todas as premissas. 
Existem diversas formas diferentes de silogismos: os regulares, os irregulares e os hipotéticos. 
Os silogismos irregulares são versões abreviadas ou ampliadas dos silogismos regulares, e são 
subdivididos em quatro categorias: entima, epiquerema, polissilogismo e sorites. 
Entima: silogismo incompleto, quando existe uma premissa subentendida. 
Epiquerema: silogismo estendido, quando as premissas são acompanhadasde provas. 
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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Polissilogismo: dois ou mais silogismos em que a conclusão das primeiras premissas seja a 
preposição do próximo silogismo. 
Sorites: uma argumentação composta por quatro preposições que são encadeadas até se chegar à 
conclusão. 
Existem também os silogismos hipotéticos, que podem ser: condicionais, disjuntivos e os dilemas. 
Condicionais: silogismo que não afirma e nem nega as premissas. 
Disjuntivos: silogismo formado por uma premissa que se apresenta como alternativa. 
Dilema: silogismo argumentativo onde são apresentadas duas possíveis hipóteses, em que nenhuma 
é desejável. 
Exemplos de silogismos 
“Todos os homens são mortais. Antônio é homem. Logo, Antônio é mortal”. 
De acordo com o pensamento aristotélico, as duas primeiras premissas deveriam se unir para formar 
a terceira ideia, que seria a conclusão: 
“Todo homem é mortal” (primeira premissa – maior) 
“Antônio é homem” (segunda premissa – menor) 
“Logo, Antônio é mortal” (conclusão). 
 “O vertebrado tem sangue vermelho. O mamífero é vertebrado. O carnívoro é mamífero. O leão é 
carnívoro. Logo, o leão tem sangue vermelho” (silogismo irregular - sorites). 
“Tudo o que robustece a saúde é útil. O esporte robustece a saúde, Logo, o esporte é útil. O esporte 
é útil. O atletismo é um esporte. Logo, o atletismo é útil…” (silogismo irregular – polissilogismo). 
“É legítimo matar um agressor injusto à face da lei natural, do direito positivo e do costume. Marcos 
agrediu injustamente Joana: provam-no os antecedentes de Marcos e as circunstâncias do crime. 
Logo, Joana podia ter matado Marcos. (silogismo irregular – epiquerema) 
“Eu penso, logo existo” (silogismo irregular – entima) 
“Se chover não vamos ao cinema. Chove. Logo, não iremos ao cinema” (silogismo hipotético – 
condicional). 
“Este triângulo ou é isósceles ou escaleno. Ora este triângulo é escaleno. Logo, este triângulo não é 
isósceles” (silogismo hipotético – disjuntivo). 
“O aluno ou estudava ou não estava. Se estudava merece ser castigado porque não aprendeu a 
matéria como era seu dever; se não estudava merece igualmente ser castigado porque não cumpriu 
o seu dever” (silogismo hipotético – dilema). 
Silogismo E Sofismo 
O sofismo ou sofisma é uma linha de pensamento ou retórica que procura induzir o erro, a partir de 
uma falsa lógica ou sentido. 
O discurso sofista tem a intenção de enganar e, em determinadas situações, o silogismo pode 
apresentar uma relação intrínseca com o sofismo. 
O silogismo, mesmo sendo um pensamento lógico, pode gerar conclusões equivocadas, 
caracterizando-se como um silogismo sofístico. 
Exemplo: “Deus é amor. O amor é cego. Stevie Wonder é cego. Logo, Steve Wonder é Deus”. 
Silogismo Jurídico 
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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O silogismo jurídico é um modelo de pensamento lógico que os profissionais do direito (advogados, 
juízes, promotores de justiça e etc) executam, principalmente, durante a apresentação de pareceres 
criminais, por exemplo. 
A estrutura de um silogismo jurídico seria dividida em três etapas: a apresentação de uma premissa 
maior, baseada na lei; o caso concreto, ou seja, a apresentação dos fatos como ocorreram; e, por fim, 
a conclusão que consiste na aplicação da lei ao fato. 
Por exemplo: “Matar uma pessoa é crime e assassino deve ser punido. Ora, João matou uma pessoa. 
Logo, João deve ser punido”. 
Validade Dos Argumentos 
Quando um argumento é relatado para provar que a sua conclusão é verdadeira (em oposição a 
provavelmente verdadeira), então o argumento é destinado a ser dedutível. Um argumento declarado 
para mostrar que sua conclusão é provavelmente verdadeira pode ser considerado como indutivo. 
Para dizer que um argumento é válido basta dizer que a conclusão realmente segue das premissas, 
isto é, um argumento é válido precisamente quando ele não pode seguir de premissas verdadeiras 
para uma conclusão falsa. A seguinte definição é mais utilizada: 
Um argumento é válido dedutivamente se, quando todas as premissas são verdadeiras, a conclusão 
também é necessariamente verdadeira. 
Um exemplo de argumento válido é dado pelo bem conhecido silogismo: 
(a) Todos os homens são mortais. 
(b) Sócrates é um homem. 
(c) Logo, Sócrates é mortal. 
O que torna (c) um argumento válido não é o mero facto deste possuir conclusão e premissas 
verdadeiras, mas o fato da necessidade lógica da conclusão, dadas as duas premissas (a) e (b). Não 
importa como o universo poderia ser construído, nunca poderia ser o caso que este argumento 
deveria ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. O argumento abaixo contraria: 
(d) Todos os homens são mortais. 
(e) Sócrates é mortal. 
(f) Logo, Sócrates é um homem. 
Neste caso, a conclusão (f) inescapavelmente não segue da premissa: um universo é facilmente 
imaginado no qual 'Sócrates' não é um homem mas uma mulher, de fato que as premissas (d) e (e) 
devem ser verdadeiras mas a conclusão falsa. Esta possibilidade torna o argumento inválido. 
Uma visão padrão é que se um argumento é válido, então ele é um papel da fórmula lógica dos 
argumentos. Algumas técnicas são empregadas por lógicos para representar uma fórmula lógica de 
argumento. Um simples exemplo, aplicado às duas ilustruções acima, é o seguinte: Sejam as letras 
'P','Q' e 's' simbolos, respectivamente, para o conjunto de homens, o conjunto de mortais, e Sócrates. 
Usando estes símbolos, o primeiro argumento pode ser abreviado para: 
Todos os P são Q. 
s é um P. 
Logo, s é um Q. 
Similarmente, o segundo argumento se torna: 
Todos os P são Q. 
s é um Q. 
NOÇÕES BÁSICAS DE LÓGICA 
 
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Logo, s é um P. 
Estas abreviações deixam evidentes a forma lógica de cada argumento respectivo. Neste nível, note 
que nós podemos falar sobre qualquer argumento que pode tomar uma ou outra das duas 
configurações acima, substituindo as letras P, Q e s por expressões apropriadas. De interesse 
particular é o fato de que podemos explorar uma forma do argumento que nos ajude a descobrir se as 
premissas de uma dada conclusão são válidas ou não. Para isso, definimos uma estrutura de 
interpretação do argumento como uma atribuição de conjunto de objetos para as letras maiúsculas, e 
a atribuição de membros individuais de um conjunto para letras minúsculas no argumento do texto. 
Desse modo, seja P o conjunto dos homens, Q o conjunto dos mortais, e s Sócrates, é uma 
interpretação de cada um dos argumentos acima. Usando esta terminologia, nós podemos dar a 
definição de validade dedutiva: 
Um argumento é formalmente válido se sua forma é a única de tal modo que todas as interpretações 
sobre as premissas são verdadeiras e a conclusão também é verdadeira. 
Como foi visto, a interpretação dada acima faz com que o segundo argumento tenha premissas 
verdadeiras e conclusão falsa. Logo, este segundo argumento não é formalmente válido. 
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RACIOCIONIO DEDUTIVO 
 
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Raciocínio Dedutivo 
Raciocínio dedutivo ou método dedutivo é um tipo de raciocínio lógico que faz uso da dedução para 
obter uma conclusão a respeito de determinada premissa. O termo “dedução” está registrado no 
dicionário como o ato de deduzir, concluir, ou a enumeração minuciosa de fatos e argumentos. A 
origem do método dedutivo é atribuída aos antigos gregos, com o silogismo do filósofo Aristóteles, 
sendo mais tarde desenvolvido por Descartes, Spinoza e Leibniz. 
Nesta modalidade de raciocínio lógico, dada uma generalização, inferimos as particularidades. As 
generalizações são sempre atingidas pelo processo indutivo, e as particularidades pelo dedutivo. O 
raciocínio dedutivo apresenta conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas 
as premissas sejam verdadeiras. Sua base é racionalista e pressupõe que apenas a razão pode 
conduzir ao conhecimento verdadeiro. Assim, a ideia por trás do método dedutivo é ter um princípio 
reconhecido como verdadeiro e inquestionável, ou seja, uma premissa maior, a partir da qual o 
pesquisador estabelece relações com uma proposição particular, a premissa menor. Ambas são 
comparadas para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe, ou conclusão. 
É importante deixar claro que a dedução não oferece conhecimento novo, uma vez que sempre 
conduz à particularidade de uma lei geral previamente conhecida. O método dedutivo apenas 
organiza e especifica o conhecimento que já se possui, partindo de um ponto inteligível, ou seja, da 
verdade geral, já estabelecida, indo a outro ponto interior deste plano. O raciocínio dedutivo parte de 
uma hipótese geral sem referência com o mundo real, mas com o que o cientista, filósofo ou 
pensador imagina sobre o mundo. A fonte de verdade para um dedutivista é a lógica, para um 
indutivista é a experiência. 
Talvez o veículo que mais tenha contribuído para tornar famoso o método dedutivo foi a literatura 
popular, com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle, no qual o seu personagem, o 
detetive Sherlock Holmes conseguia resolver casos mirabolantes através do método da dedução 
lógica. Doyle demonstrou que toda dedução lógica, uma vez explicada, torna-se “infantil”, pois a 
conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento 
investigativo ainda são desconhecidos. No campo da criminalística forense é imprescindível o uso de 
processos similares, porém amparados pela metodologia da abdução e da indução, que são outras 
modalidades de raciocínio lógico. 
Exemplos do método dedutivo: 
Todo vertebrado possui vértebras. Todos os cães são vertebrados. Logo, todos os cães têm 
vértebras. 
Todo metal conduz eletricidade. O mercúrio é um metal. Logo, o mercúrio conduz eletricidade. 
Nos exemplos apresentados, as duas premissas são verdadeiras, portanto a conclusão é verdadeira. 
Curiosamente, o raciocínio dedutivo pode levar ao sofismo, um raciocínio falso, mas que possui 
aparência lógica. Exemplo: 
As galinhas tem dois pés, homens tem dois pés, logo homens são galinhas. 
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COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO 
 
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Compreensão Do Processo Lógico 
Silogismo 
Para entender os silogismos, você deve se familiarizar com vários termos usados na discussão da 
lógica formal. No nível mais básico, o silogismo representa a sequência mais simples de uma 
combinação de premissas lógicas capazes de levar a uma conclusão. A premissa é uma afirmação 
que pode ser usada como evidência na argumentação. A conclusão, desse modo, é determinada pelo 
resultado lógico de uma discussão baseada na relação entre as afirmações feitas. 
Considere a conclusão de um silogismo como a “tese” de um argumento. Em outras palavras, a 
conclusão é o ponto provado pelas premissas. 
O Silogismo Categórico 
Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio lógico na qual há duas premissas e uma conclusão 
distinta destas premissas, sendo todas proposições categóricas ou singulares. 
Termo Médio é o termo que se repete nas duas premissas, mas não aparece na conclusão. Por 
exemplo: 
Todo cachorro é mamífero. 
Todo mamífero é vertebrado. 
Logo todo cachorro é vertebrado. 
Neste caso, o termo médio é “mamífero” 
Regras Do Silogismo 
A validade de um silogismo depende do respeito às regras de estruturação. Tais regras, em número 
de oito, permitem verificar a correção ou incorreção do silogismo. As quatro primeiras regras são 
referentes aos termos e as quatro últimas são referentes às premissas. São elas: 
1) Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio e menor; 
2) Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas; 
3) O termo médio não pode entrar na conclusão; 
4) O termo médio deve ser universal ao menos uma vez; 
5) De duas premissas negativas, nada se conclui; 
6) De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa; 
7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca; 
8) De duas premissas particulares, nada se conclui. 
Silogismos derivados 
Silogismos derivados são estruturas argumentativas que não seguem a forma rigorosa do silogismo 
típico mas que, mesmo assim são formas válidas. 
Entimema 
Trata-se de um argumento no qual uma ou mais proposições estão subentendidas. Por exemplo : 
Todo metal é corpo, logo o chumbo é corpo. 
Mais um exemplo : 
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO 
 
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Todo quadrúpede tem 4 patas. 
Logo, um cavalo tem 4 patas. 
Epiquerema 
O epiquerema é um argumento onde uma ou ambas as premissas apresentam a prova ou razão de 
ser do sujeito. Geralmente é acompanhada do termo porque ou algum equivalente. Por exemplo: 
Todo demente é irresponsável, porque não é livre. 
Pedro é demente, porque o exame médico constatou positivo. 
Logo, Pedro é irresponsável. 
No epiquerema sempre existe, pelo menos, uma proposição composta, sendo que uma das 
proposições simples é razão ou explicação da outra. 
Polissilogismo 
O polissilogismo é uma espécie de argumento que contempla vários silogismos, onde a conclusão de 
um serve de premissa maior para o próximo. Como por exemplo: 
Quem age de acordo com sua vontade é livre. 
O racional age de acordo com sua vontade. 
Logo, o racional é livre. 
Quem é livre é responsável. 
Logo,o racional é responsável. 
Quem é responsável é capaz de direitos. 
Logo, o racional é capaz de direitos. 
Silogismo Expositório 
O silogismo expositório não é propriamente um silogismo, mas um esclarecimento ou exposição da 
ligação entre dois termos, caracteriza-se por apresentar, como termo médio, um termo singular. Por 
exemplo: 
Aristóteles é discípulo de Platão. 
Ora, Aristóteles é filósofo. 
Logo, algum filósofo é discípulo de Platão. 
Silogismo Informe 
O silogismo informe caracteriza-se pela possibilidade de sua estrutura expositiva poder ser 
transformada na forma silogística típica. Por exemplo: 
 “a defesa pretende provar que o réu não é responsável do crime por ele cometido. Esta alegação é 
gratuita. Acabamos de provar, por testemunhos irrecusáveis, que, ao perpetrar o crime, o réu tinha o 
uso perfeito da razão e nem podia fugir às graves responsabilidades deste ato”. 
Este argumento pode ser formalizado assim: 
Todo aquele que perpetra um crime quando no uso da razão é responsável por seus atos. 
Ora, o réu perpetrou um crime no uso da razão. 
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO 
 
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Logo, o réu é responsável por seus atos. 
Sorites 
O sorites é semelhante ao polissilogismo, mas neste caso ocorre que o predicado da primeira 
proposição se torna sujeito na proposição seguinte, seguindo assim até que na conclusão se unem o 
sujeito da primeira proposição com o predicado da última. Por exemplo: 
A Grécia é governada por Atenas. 
Atenas é governada por mim. 
Eu sou governado por minha mulher. 
Minha mulher é governada por meu filho, criança de 10 anos. 
Logo, a Grécia é governada por esta criança de 10 anos 
Silogismo Hipotético 
Um silogismo hipotético contém proposições hipotéticas ou compostas, isto é, apresentam duas ou 
mais proposições simples unidas entre si por uma cópula não verbal, isto é, por partículas. As 
proposições compostas podem ser divididas em: 
A) Claramente compostas: são aquelas proposições em que a composição entre duas ou mais 
proposições simples são indicadas pelas partículas: e, ou, se … então. 
– Copulativa ou conjuntiva: “a lua se move e a terra não se move”. Nesse exemplo, duas proposições 
simples são unidas pela partícula e ou qualquer elemento equivalente a essa conjunção. Dentro do 
cálculo proposicional será considerada verdadeira a proposição que tiver as duas proposições 
simples verdadeiras e será simbolizada como: p ∧ q (ou p.q, ou pq). 
-Disjuntivas: “a sociedade tem um chefe ou tem desordem”. Caracteriza-se por duas proposições 
simples unidas pela partícula ou ou equivalente. Dentro do cálculo proposicional, a proposição 
composta será considerada verdadeira se uma ou as duas proposições simples forem verdadeiras e 
será simbolizada como: p ∨ q. 
 – Condicional: “se vinte é número ímpar, então vinte não é divisível por dois”. Aqui, duas proposições 
simples são unidas pela partícula se … então. Dentro do cálculo proposicional, essa proposição, será 
considerada verdadeira se sua consequência for boa ou verdadeira, simbolicamente: p ⇒ q (ou p ⊃ 
q). 
B) Ocultamente compostas: são duas ou mais proposições simples que formam uma proposição 
composta com as partículas de ligação: salvo, enquanto, só. 
– Exceptiva: “todos corpos, salvo o éter, são ponderáveis”. A proposição composta é formada por três 
proposições simples, sendo que a partícula salvo oculta as suas composições. As três proposições 
simples componentes são: “todos os corpos são ponderáveis”, “o éter é um corpo” e “o éter não é 
ponderável”. Também são exceptivos termos como fora, exceto, etc. Essa proposição composta será 
verdadeira se todas as proposições simples forem verdadeiras. 
– Reduplicativa: “a arte, enquanto arte, é infalível”. Nessa proposição temos duas proposições 
simples ocultas pela partícula enquanto. As duas proposições simples componentes da composta 
são: “a arte possui uma indeterminação X” e “tudo aquilo que cai sobre essa indeterminação X é 
infalível”. O termo realmente também é considerado reduplicativo. A proposição composta será 
considerada verdadeira se as duas proposições simples forem verdadeiras. 
– Exclusiva: “só a espécie humana é racional”. A partícula só oculta as duas proposições simples que 
compõem a composta, são elas: “a espécie humana é racional” e “nenhuma outra espécie é racional”. 
O termo apenas também é considerado exclusivo. A proposição será considerada verdadeira se as 
duas proposições simples forem verdadeiras. 
O silogismo hipotético apresenta três variações, conforme o conectivo utilizado na premissa maior: 
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO 
 
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– Condicional: a partícula de ligação das proposições simples é se … então. 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
A temperatura da água é de 100°C. 
Logo, a água ferve. 
Esse silogismo apresenta duas figuras legítimas: 
a) PONENDO PONENS (do latim afirmando o afirmado): ao afirmar a condição (antecedente), prova-
se o condicionado (consequência). 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
A temperatura da água é de 100°C. 
Logo, a água ferve. 
b) TOLLENDO TOLLENS (do latim negando o negado): ao destruir o condicionado (consequência), 
destrói-se a condição (antecedente). 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
Ora, a água não ferve. 
Logo, a água não atingiu a temperatura de 100°C. 
– Disjuntivo: a premissa maior, do silogismo hipotético, possui a partícula de ligação ou. 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade não tem chefe. 
Logo, a sociedade tem desordem. 
Esse silogismo também apresenta duas figuras legítimas: 
a) PONENDO TOLLENS: afirmando uma das proposições simples da premissa maior na premissa 
menor, nega-se a conclusão. 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade tem um chefe. 
Logo, a sociedade não tem desordem. 
b) TOLLENDO PONENS: negando uma das proposições simples da premissa maior na premissa 
menor, afirma a conclusão. 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade não tem um chefe. 
Logo, a sociedade tem desordem. 
– Conjuntivo: a partícula de ligação das proposições simples, na proposição composta, é e. Nesse 
silogismo, a premissa maior deve ser composta por duas proposições simples que possuem o mesmo 
sujeito e não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, ou seja, os predicados devem ser 
contraditórios. Possui somente uma figura legítima, o PONENDO TOLLENS, afirmando uma das 
proposições simples da premissa maior na premissa menor, nega-se a outra proposição na 
conclusão. 
Ninguém pode ser, simultaneamente, mestre e discípulo. 
COMPREENSÃO DO PROCESSO LÓGICO 
 
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Ora, Pedro é mestre. 
Logo, Pedro não é discípulo. 
Dilema 
O dilema é um conjunto de proposições hipotéticas e contraditórias entre si, tal que, afirmando 
qualquer uma das proposições, resulta uma mesma conclusão insatisfatória. Por exemplo: 
Se dizes o que é justo, os homens te odiarão. 
Se dizes o que é injusto, os deuses te odiarão. 
Portanto, de qualquer modo, serás odiado. 
Outro exemplo de dilema, na cultura popular, é: 
Se correr, o bicho pega. Se ficar, o bicho come. 
Tem um segundo método que alguns usam também que é: 
RELAÇÃO ENTRE TODO, ALGUM E NENHUM 
 Considere que A é uma sentença e B outra sentença. 
Equivalência: 
TODO A é B é equivalente a dizer NENHUM A não é B. 
Vemos aqui que: Troca-se TODO por NENHUM, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda. 
NENHUM A é B é equivalente a dizer TODO A não é B. (vice-versa) 
Vemos aqui que: Troca-se NENHUM por TODO, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda. 
ALGUM A é B é equivalente a dizer PELO MENOS um A é B ou EXISTE um A que é B. 
Vemos aqui que:Troca-se ALGUM por PELO MENOS ou EXISTE e mantém o resto. 
Negação: 
A negação da sentença “TODO A é B” é “ALGUM A não é B”. (Vemos aqui que: Troca-se TODO por 
ALGUM, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda.) 
A negação da sentença “ALGUM A não é B” é “TODO A é B”. (Vemos aqui que: Troca-se ALGUM por 
TODO, mantém a primeira sentença e nega-se a segunda.) 
A negação da sentença “ALGUM A é B” é “NENHUM A é B” (vice-versa) 
Vemos aqui que: Basta trocar ALGUM por NENHUM (ou NENHUM por ALGUM), mantém a primeira 
e a segunda sentença. 
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CONJUNTO NUMERICOS RACIONAIS E REAIS 
 
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Conjuntos Numéricos Racionais E Reais 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são 
formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Conjunto Dos Números Naturais (N) 
Os números naturais são representados por N. Eles reúnem os números inteiros (incluindo o zero) e 
são infinitos. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem 
o zero. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto Dos Números Inteiros (Z) 
Os números inteiros são representados por Z. Reúnem todos os elementos dos números naturais (N) 
e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou 
seja, sem o zero. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+= N. 
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
Conjunto Dos Números Racionais (Q) 
Os números racionais são representados por Q. Reúnem os números fracionários representados pelo 
conjunto das frações p/q sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos 
e o zero. 
• Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem 
o zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos 
e o zero. 
CONJUNTO NUMERICOS RACIONAIS E REAIS 
 
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• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o 
zero. 
Conjunto Dos Números Irracionais (I) 
Os números irracionais são representados por I. Reúnem os números decimais não exatos com uma 
representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592 ou 1,203040. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são 
números decimais e que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333. 
Conjunto Dos Números Reais (R) 
Os números reais são representados por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (R) e 
irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma 
maneira, se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos. 
Intervalos Numéricos 
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. 
Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais: 
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b} 
 
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b} 
 
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b} 
 
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CONJUNTO NUMERICOS RACIONAIS E REAIS 
 
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Propriedades dos Conjuntos Numéricos 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades: 
• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q). 
• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R). 
• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos 
dos números reais (R). 
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OPERAÇÕES COM FRAÇÃO E DECIMAL 
 
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Operação Fracionaria E Decimal 
Frações 
Na matemática, as frações correspondem a uma representação das partes de um todo. Ela determina 
a divisão de partes iguais sendo que cada parte é uma fração do inteiro. 
Como exemplo podemos pensar numa pizza dividida em8 partes iguais, sendo que cada fatia 
corresponde a 1/8 (um oitavo) de seu total. Se eu como 3 fatias, posso dizer que comi 3/8 (três 
oitavos) da pizza. 
Importante lembrar que nas frações, o termo superior é chamado de numerador enquanto o termo 
inferior é chamado de denominador. 
 
Tipos De Frações 
Fração Própria 
São frações em que o numerador é menor que o denominador, ou seja, representa um número menor 
que um inteiro. Ex: 2/7 
Fração Imprópria 
São frações em que o numerador é maior, ou seja, representa um número maior que o inteiro. Ex: 5/3 
Fração Aparente 
São frações em que o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja, representa um número inteiro 
escrito em forma de fração. Ex: 6/3= 2 
Fração Mista 
É constituída por uma parte inteira e uma fracionária representada por números mistos. Ex: 1 2/6. (um 
inteiro e dois sextos) 
Obs: Há outros tipos de frações, são elas: equivalente, irredutível, unitária, egípcia, decimal, 
composta, contínua, algébrica. 
Operações Com Frações 
Adição 
Nas adições fracionárias, utiliza-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) realizado a partir de seus 
denominadores, ou seja, o menor número múltiplo dos dois. 
Subtração 
Tanto na adição quanto na subtração é necessário encontrar o Mínimo Múltiplo Comum, (MMC), isto 
é, os números múltiplos comuns aos denominadores. 
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NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
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Números e Grandezas Proporcionais 
1) Grandezas 
Definição: chamamos de grandezas a todos os valores que estão relacionados a algum outro valor. 
Ou seja, se há variação em um valor, o outro também irá variar. 
1.1) Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento em uma acarreta um 
aumento na outra, ou ainda, quando uma diminuição em uma gera uma diminuição na outra. 
Exemplo: considere X a quantidade de pães (em unidades) comprados em uma padaria, e Y o preço 
de todos os pães comprados. Temos que as grandezas X e Y são diretamente proporcionais, pois um 
aumento em X gera um aumento em Y, e uma diminuição em X gera uma diminuição em Y. 
1.2) Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando a diminuição em uma 
acarreta um aumento na outra, e vice-versa. 
Exemplo: considere Y o preço de venda de um computador e X a quantidade vendida do mesmo. 
Podemos dizer que se o preço Y aumentar, a quantidade X irá diminuir. 
2) Razão 
Definição: a razão entre dois números X e Y é dada por X/Y, sendo que Y, nesse caso, deve ser 
diferente de zero. 
Exemplo: a razão de 5 para 10 é 5/ 0 ou 5:10 
3) Proporção 
Definição: mostra igualdade entre duas razões. 
Exemplo: 2/5 = 4/10 
Observe a diferença entre razão e proporção. Essa definição pode ser útil na resolução de exercícios 
de números e grandezas proporcionais. 
3.1) Propriedades Das Proporções 
Abaixo apresentaremos algumas propriedades que são extremamente úteis nos exercícios de 
números e grandezas proporcionais. Leia com atenção. 
3.1.1) Propriedade Fundamental 
Definição: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Exemplo: 2.10 = 5.4, ou seja, 20 = 20 
3.1.2) Composição 
Essa propriedade diz que: 
Sendo a/b = c/d, temos que 
(a+b) / a = (c+d) / c 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
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ou 
(a+b) / b = (c+d) / d 
3.1.3) Decomposição 
Essa propriedade diz que: 
Sendo a/b = c/d, temos que 
(a-b) / a = (c-d) / c 
ou 
(a-b) / b = (c-d) / d 
Observação: as três propriedades acima são as mais importantes e usadas nos exercícios de 
números e grandezas proporcionais. 
3.1.4) Essa Propriedade Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: 
Sendo a/b = c/d, temos que 
(a+c) / (b+d) = a/b 
ou 
(a+c) / (b+d) = c/d 
3.1.5) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: 
Sendo a/b = c/d, temos que 
(a-c) / (b-d) = a/b 
ou 
(a-c) / (b-d) = c/d 
3.1.6) Essa propriedade também não possui um nome específico, mas diz que: 
Sendo a/b = c/d, temos que 
(a.c) / (b.d) = a²/b² 
ou 
(a.c) / (b.d) = c²/d² 
Exemplo: A área de um retângulo é de 600 m² e a razão do comprimento pela largura é de 3/2. Quais 
são as medidas dos lados? 
x = largura do retângulo 
y = comprimento do retângulo 
Área do retângulo = x.y = 600 
x/y = 3/2 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
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x/3 = y/2 
(x.y)/(2.3) = y²/2² 
Como sabemos que x.y = 600, temos que 
600/6 = y²/4 
100 = y²/4 
y² = 400 
y = 20 
Logo, x = 30. 
3.1.7) Essa Propriedade Também Não Possui Um Nome Específico, Mas Diz Que: 
Caso elevemos os quatro termos de uma proporção ao quadrado, teremos uma nova proporção. 
Exemplo: A soma do quadrado de dois números é 52 e a razão do menor para o maior é 2/3. Quais 
são esses números? 
a² +`b² = 52 
a/b = 2/3, ou a²/b² = 4/9 
Pela propriedade da composição temos que 
(a²+b²)/b² = (4+9)/9 
52/b² = 13/9 
Pela propriedade fundamental temos que 
52.9 = b².13 
13.b²= 468 
b² = 36 
b = 6 
Logo, a = 4. 
Exercício de números e grandezas proporcionais: 
1) Os números x,y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40,72 e 128. Determine x e y. 
x/40 = y/72 = 32/128 
Determinando x: 
x/40 = 32/128 
128.x = 40.32 
x = 10 
Determinando y: 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
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10/40 = y/72 
1/4 = y/72 
4.y = 1.72 
y = 18 
De acordo com a teoria exposta e os exemplos fornecidos, você será capaz de resolver a grande 
maioria dos exercícios de números e grandezas proporcionais. 
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RAZÃO DE PROPORÇÃO 
 
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Razão E Proporção 
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente 
entre dois números. 
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões 
possuem o mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que grandezas são 
proporcionais quando existe duas razões entre elas. 
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e 
proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os 
ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B donde b≠0 
Proporção: donde todos os coeficientes são ≠0 
Exemplo 1: Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão 
centesimal. 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), 
enquanto o de baixo é chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2: Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
RAZÃO DE PROPORÇÃO 
 
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Para encontrar o valor da proporção, utilizamos a regra de três: 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de 
“quarta proporcional”. 
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos 
primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D) . 
Propriedades Da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo: 
 é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
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DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
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Divisão Proporcional 
Divisão Em Duas Partes Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um 
sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas 
A 
 
p 
= 
B 
 
q 
A solução segue das propriedades das proporções: 
A 
 
p 
= 
B 
 
q 
= 
A+B 
 
p+q 
= 
M 
 
p+q 
= K 
O valor de K é que proporciona a solução pois: 
A = K p e B = K q 
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, 
montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de: 
A 
 
2 
= 
B 
 
3 
= 
A+B 
 
5 
= 
100 
 
5 
= 20 
Segue que A=40 e B=60. 
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença 
entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever: 
A 
 
8 
= 
B 
 
3 
= 
A-B 
 
5 
= 
60 
 
5 
=12 
Segue que A=96 e B=36. 
Divisão Em Várias Partes Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-
se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e 
p1+p2+...+pn=P. 
X1 
 
p1 
= 
X2 
 
p2 
= ... = 
Xn 
 
pn 
A solução segue das propriedades das proporções: 
X1 = X2 =...= Xn = X1+X2+...+Xn = M = K 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
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p1 
 
p2 
 
pn 
 
p1+p2+...+pn 
 
P 
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, 
deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim: 
A 
 
2 
= 
B 
 
4 
= 
C 
 
6 
= 
A+B+C 
 
P 
= 
120 
 
12 
=10 
logo A=20, B=40 e C=60. 
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-
4C=120. 
A solução segue das propriedades das proporções: 
A 
 
2 
= 
B 
 
4 
= 
C 
 
6 
= 
2A+3B-4C 
 
2×2+3×4-4×6 
= 
120 
 
-8 
= – 15 
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-) 
Divisão Em Duas Partes Inversamente Proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se 
decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, 
respectivamente, os inversos de p e q. 
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo: 
A 
 
1/p 
= 
B 
 
1/q 
= 
A+B 
 
1/p+1/q 
= 
M 
 
1/p+1/q 
= 
M.p.q 
 
p+q 
= K 
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q. 
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, 
deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que: 
A 
 
1/2 
= 
B 
 
1/3 
= 
A+B 
 
1/2+1/3 
= 
120 
 
5/6 
= 
120.2.3 
 
5 
= 144 
Assim A=72 e B=48. 
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença 
entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim: 
A 
 
1/6 
= 
B 
 
1/8 
= 
A-B 
 
1/6-1/8 
= 
10 
 
1/24 
= 240 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
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Assim A=40 e B=30. 
Divisão Em Várias Partes Inversamente Proporcionais 
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, 
basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 
1/pn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso 
X1 
 
1/p1 
= 
X2 
 
1/p2 
= ... = 
Xn 
 
1/pn 
cuja solução segue das propriedades das proporções: 
X1 
 
1/p1 
= 
X2 
 
1/p2 
=...= 
Xn 
 
1/pn 
= 
X1+X2+...+Xn 
 
1/p1+1/p2+...+1/pn 
= 
M 
 
1/p1+1/p2+...+1/pn 
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e Cinversamente proporcionais a 2, 4 e 
6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse 
modo: 
A 
 
1/2 
= 
B 
 
1/4 
= 
C 
 
1/6 
= 
A+B+C 
 
1/2+1/4+1/6 
= 
220 
 
11/12 
= 240 
A solução é A=120, B=60 e C=40. 
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-
4C=10, devemos montar as proporções: 
A 
 
1/2 
= 
B 
 
1/4 
= 
C 
 
1/6 
= 
2A+3B-4C 
 
2/2+3/4-4/6 
= 
10 
 
13/12 
= 
120 
 
13 
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13. 
Existem proporções com números fracionários! :-) 
Divisão Em Duas Partes Direta E Inversamente Proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e 
inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B 
diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas 
incógnitas de forma que A+B=M e além disso: 
A 
 
c/p 
= 
B 
 
d/q 
= 
A+B 
 
c/p+d/q 
= 
M 
 
c/p+d/q 
= 
M.p.q 
 
c.q+p.d 
=K 
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q. 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
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Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, 
inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: 
A 
 
2/5 
= 
B 
 
3/7 
= 
A+B 
 
2/5+3/7 
= 
58 
 
29/35 
= 70 
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30. 
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais 
a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que 
A-B=21 resolver as proporções: 
A 
 
4/6 
= 
B 
 
3/8 
= 
A-B 
 
4/6-3/8 
= 
21 
 
7/24 
= 72 
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27. 
Divisão Em N Partes Direta E Inversamente Proporcionais 
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e 
inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., 
Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso 
X1 
 
p1/q1 
= 
X2 
 
p2/q2 
=...= 
Xn 
 
pn/qn 
A solução segue das propriedades das proporções: 
X1 
 
p1/q1 
= 
X2 
 
p2/q2 
=...= 
Xn 
 
pn/qn 
= 
X1+X2+...+Xn 
 
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn 
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 
e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas 
de forma de A+B+C=115 e tal que: 
A 
 
1/4 
= 
B 
 
2/5 
= 
C 
 
3/6 
= 
A+B+C 
 
1/4+2/5+3/6 
= 
115 
 
23/20 
= 100 
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50. 
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente 
proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10. 
A montagem do problema fica na forma: 
A = B = C = 2A+3B-4C = 10 = 100 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
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1/2 
 
10/4 
 
2/5 
 
2/2+30/4-8/5 
 
69/10 
 
69 
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69. 
Regra De Sociedade 
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um 
resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com 
capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são 
indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por 
t1, t2, ..., tn. 
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: 
pk = Ck tk 
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: 
C = C1 + C2 + ... + Cn 
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M 
diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn. 
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com 
um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de 
R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela 
permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após 
um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio? 
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões 
dos pesos. Desse modo: 
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200 
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso: 
A 
 
2000 
= 
B 
 
1800 
= 
C 
 
1200 
A solução segue das propriedades das proporções: 
A 
 
2000 
= 
B 
 
1800 
= 
C 
 
1200 
= 
A+B+C 
 
5000 
= 
25000 
 
5000 
= 5 
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000. 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
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Regra De Três Simples E Composta 
Regra De Três Simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores 
dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já 
conhecidos. 
 Passos Utilizados Numa Regra De Três Simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia 
solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual 
será a energia produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para 
baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
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480 x 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar queas grandezas 
são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário 
(para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do 
mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo 
trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
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5 x 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em 
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto 
a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação 
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
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Logo, serão necessários 25 caminhões. 
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação 
é diretamente proporcional(não precisamos inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também 
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se 
flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita 
e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
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Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
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PORCENTAGEM 
 
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Porcentagem 
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é 
uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação 
entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 
100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). 
Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são setenta por cento 
de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 
100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão: 
 
Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, "loja". 
Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual 
ocorre na umidaderelativa doar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como 
quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x). 
Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática 
Porém, alguns documentos altamente antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da 
expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. 
Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é 
atribuída aos gregos. 
• 
Símbolo no século XV 
• 
Símbolo no século XVII 
• 
Símbolo a partir do século XVIII 
PORCENTAGEM 
 
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Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria originalmente escrito "per 100" ou "per c". 
Smith estudou um manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". Com o tempo a 
palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria evoluído para um segundo círculo. 
Ponto percentual (pp) é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença 
entre quaisquer pares de porcentagens. 
Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer 
que houve redução de 50% 
(valor inicial-valor final):valor inicial, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma 
redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a 
taxa final seria 21,12% ao invés de 12%. 
O ponto percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença; voltando ao nosso exemplo, é 
correto dizer que houve redução de 12 pp na tal taxa de juros. 
Existem muitas formas de se calcular porcentagem. Podemos utilizar Regra de 3 ou multiplicando. 
Por exemplo: 
Qual é o valor de 25% de 50? 
100% representa o total, ou seja, 50. E 25% representa X. Fazendo a regra de três, temos: 
X/25 = 50/100 
100X = 50 . 25 
100X = 1250 
X = 1250/100 
X = 12,5 
Portanto, 25% de 50 é 12,5. 
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FUNÇÕES 
 
 
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Funções 
O conceito de função está relacionado à idéia de associação de um elemento a outro, segundo uma 
regra específica. Assim, por exemplo, podemos considerar o tamanho de uma população relacionado 
apenas ao tempo (ou variando em função da variação do tempo), ou associado ao tempo e ao 
espaço, ou a qualquer outro fator que interfira na população em estudo; o preço de um produto pode 
estar associado apenas ao seu custo de produção, ou ao seu custo e à margem de lucro do 
fabricante, ou ainda, ao seu custo, à margem de lucro do fabricante e à demanda; o volume de uma 
esfera pode estar associado apenas ao tamanho de seu raio, porém o raio pode variar com o tempo e 
assim, o volume estará variando também com a variação do tempo; e assim por diante. 
Como podemos observar, o conceito de função envolve uma relação de dependência, onde um 
elemento depende de outro ou de vários outros, os quais podem variar livremente. Como a variação 
de um deles acarreta na variação do que depende dele, chamamo-nos de elementos variáveis ou 
simplesmente variáveis. Deste modo, para cada associação, temos uma variável dependente e uma 
ou mais, independentes. Chamaremos de função à variável dependente e simplesmente de variáveis, 
às variáveis independentes, o que é bem intuitivo, uma vez que um elemento varia em função da 
variação daquele do qual depende. 
O tratamento matemático destas relações facilita muito a análise e compreensão das mesmas, e por 
isso o estudo das funções matemáticas é tão importante em todas as áreas do conhecimento. Assim, 
trataremos nesta seção do estudo das funções elementares e mais utilizadas, considerando neste 
momento, apenas as funções que dependem de uma única variável e fazendo uma abordagem mais 
compreensiva, sem preocupação com as demonstrações e o rigor matemático. 
Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que associa, a 
cada elemento de partida, denominado domínio, um único elemento de um conjunto de chegada, 
denominado contra-domínio. Os elementos do conjunto contra-domínio que são imagem de algum 
elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função. 
Da definição acima podemos observar que uma função matemática é uma relação particular entre 
dois conjuntos, onde a premissa básica é a de que cada elemento do domínio possui uma única 
imagem, segundo aquela regra ou função. Do ponto de vista prático, podemos considerar, por 
exemplo, que se uma função descreve a posição de um objeto em movimento, a qual varia com o 
tempo, é sabido que em um dado instante o objeto não poderá ocupar duas posições 
diferentes, embora em dois instantes diferentes ele possa ocupar a mesma posição. Isso significa que 
dois ou mais elementos do domínio podem ter a mesma imagem, porém um elemento não pode ter 
várias imagens diferentes. O esquema abaixo ilustra tal situação, onde o diagrama da esquerda 
representa o gráfico de uma função, enquanto que o da direita não. 
 
Uma função pode ser representada por vários meios, como por exemplo, o diagrama acima, ou uma 
expressão matemática, um gráfico, uma expressão verbal, dentre outros. A expressão matemática e o 
gráfico são as formas mais utilizadas no estudo matemático. 
A expressão matemática de uma função f que a cada ponto t de um conjunto A associa um ponto 
f(t) de um conjunto B é dada por: Neste caso, A é o domínio e B é o contra- domínio de f. 
p2 
 
 
p1 t1 
t2 
 
FUNÇÕES 
 
 
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O gráfico de uma função f é o subconjunto do plano xy dado por: 
G x, y R 
2 
: y f (x) , 
o qual é posicionado num sistema de eixos cartesianos, onde o eixo horizontal contém a variável 
independente x (domínio), o eixo vertical contém a variável dependente y = f(x) (imagem), os eixos se 
cruzam na origem e o sentido de crescimento se dá da esquerda para a direita e de baixo para cima. 
Assim, o gráfico de uma função real descreve uma curva no plano, a qual representa o seu 
comportamento e facilita muito o seu entendimento. É, portanto, uma ferramenta básica no estudo de 
cálculo. 
Na figura seguinte observamos dois gráficos, sendo que o da esquerda representa o gráfico de uma 
função, enquanto que o da direita não, uma vez que existem valores de x com dois y 
correspondentes. 
 
Como podemos ver, a representação gráfica nos permite saber se um gráfico representa ou não uma 
função. Para isso basta traçarmos retas paralelas ao eixo y e ver quantas vezes estas retas 
interceptam a curva; se interceptar mais de um a vez,