Equação Geral da Reta no Plano

Prévia do material em texto

Equação Geral da Reta no Plano 
As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano. Os 
coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de 
zero. A essa representação matemática damos o nome de equação geral da reta. 
Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras: 
 
1ª – através da determinação do coeficiente angular da reta e utilização de uma forma geral 
dada por: y – y1 = m (x – x1). 
 
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à reta fornecida. 
 
 
1ª forma 
 
Vamos determinar a equação da reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3). 
 
Coeficiente angular da reta 
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) 
m = –3 – 6 / 2 – (–1) 
m = –9 / 3 
m = –3 
 
y – y1 = m (x – x1). 
y – 6 = –3 (x + 1) 
y – 6 = –3x – 3 
y – 6 + 3x + 3 = 0 
y + 3x – 3 = 0 
3x + y – 3 = 0 
 
2ª forma 
 
Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1, 
6) e B(2, –3). Observe a matriz construída com as coordenadas oferecidas: 
 
 
 
 
Diagonal principal 
x * (–6) * 1 = 6x 
y * 1 * 2 = 2y 
1 * (–1) * (–3) = 3 
 
 
Diagonal secundária 
1* 6 * 2 = 12 
x * 1 * (–3) = –3x 
y * (–1) * 1 = –y 
 
s: 6x + 2y + 3 – (12 – 3x – y) = 0 
s: 6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0 
s: 9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3) 
 
s: 3x + y – 3 = 0 
 
 
Os métodos apresentados podem ser utilizados de acordo com os dados fornecidos pela 
situação. Os dois fornecem com exatidão a equação geral de uma reta. 
 
Reta no plano 
 
 
 
 
 
Equação geral da reta 
Vamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo P(x, y) um 
ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma reta, 
podemos afirmar que eles estão alinhados. Dessa forma, o determinante das coordenadas 
desses pontos deve ser igual a zero. Ou seja, 
 
Desenvolvendo o determinante obtemos: 
 
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0 
 
ou 
 
xy1 – xy2 + x2y – x1y + x1y2 – x2y1 = 0 
 
Colocando x e y em evidência, ficamos com: 
 
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0 
 
Lembrando que x1, x2, y1 e y2 são coordenadas de pontos conhecidos da reta, podemos fazer: 
 
y1 – y2 = a 
x2 – x1 = b 
x1y2 – x2y1 = c 
 
Dessa forma, teremos: 
 
ax + by + c =0 → que é a equação geral da reta. 
 
Exemplo: Determine a equação geral da reta t que passa pelos pontos A(2, 2) e B(3, 5). 
Solução: Vamos considerar P(x, y) como sendo um ponto qualquer da reta t. Assim, 
 
Desenvolvendo o determinante, obtemos: 
 
2x + 3y + 10 – 2y – 5x – 6 = 0 
 
Ou 
 
– 3x + y + 4 = 0 
 
Podemos multiplicar a equação por -1, obtendo: 
 
3x – y – 4 = 0 → que é a equação geral da reta t. 
 
Exemplo 2. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A( -1, 0) e B(0, 5). 
Solução: Vamos considerar P(x, y) um ponto qualquer da reta procurada. Assim, teremos: 
 
 
Desenvolvendo o determinante, obtemos: 
 
0x + 0y + (– 5) – ( – y + 5x + 0) = 0 
 
Ou 
 
– 5x + y – 5 = 0 
 
Multiplicando a equação por – 1, obtemos: 
 
5x – y + 5 = 0 → que é a equação geral da reta. 
Exemplo 3. Verifique se o ponto A(5 , 10) pertence à reta s de equação 2x – y =0. 
Solução: Para verificar se o ponto A pertence à reta s, devemos substituir as coordenadas do 
ponto na equação da reta e verificar se satisfaz a igualdade, ou seja, se resultará zero. 
Vejamos: 
 
A(5, 10) → x = 5 e y = 10. Substituindo na equação da reta teremos: 
2x – y = 0 
2*5 – 10 = 10 – 10 = 0 
 
Portanto, o ponto A(5, 10) pertence à reta s. 
 
Exemplo 4. Determine o valor de c para que o ponto B(– 4, c) pertença à reta r de equação 
x – 3y + 16 = 0. 
Solução: Se o ponto B(4, c) pertence à reta r, então, ao substituir as coordenadas de B na 
equação da reta, a igualdade deverá ser satisfeita. Assim, teremos: 
 
– 4 – 3c + 16 = 0 
– 3c + 12 = 0 
– 3c = – 12 
c = 4