Preparação ENA 2021 - Lista 5

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Preparação para o ENA 2021
Lista 5
Paulo Rodrigues
www.cadernosdematematica.com.br
09 de Outubro de 2020
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Conteúdo
Neste arquivo:
▶ Soluções completas da Lista 3
▶ Respostas e dicas para a Lista 4
▶ Problemas da Lista 5
Lista 03
Seguem as respostas e soluções dos problemas da lista 03.
Respostas das Questões da Lista 03
16 17 18 19 20 Desafio
D B B A D 521
Soma dos quadrados das raízes
(16) A soma dos quadrados das raízes da equação x2 + 2hx = 3 é 10. O valor absoluto
de h é igual a
(a) −1 (b) 1/2 (c) 3/2 (d) 1 (e) 2
Sugestões e Fatos que ajudam:
A soma e o produto das raízes da equação quadrática ax2 + bx + c = 0
são dados por −b/a e c/a.
Use a identidade r2 + s2 = (r+ s)2 − 2rs.
Solução – Soma dos quadrados das raízes
Solução: A equação dada é x2 + 2hx− 3 = 0. A soma das raízes é r+ s = −2h e o produto das
raízes é rs = −3. Usando a identidade r2 + s2 = (r+ s)2 − 2rs, obtemos
r2 + s2 = (−2h)2 − 2(−3) = 4h2 + 6 = 10.
Portanto h2 = 4, donde |h| = 1.
Perímetro do Retângulo
(17) Se o perímetro de um retângulo ABCD é 20 cm, o menor valor para a diagonal AC,
em cm, é
(a) 0 (b)
√
50 (c) 10 (d)
√
200 (e) NDA
Sugestões e Fatos que ajudam:
Lembre que se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx + c admite valor
mínimo e este valor ocorre para x = −b/2a.
Expresse o quadrado da diagonal em função de um dos lados
Solução – Perímetro do Retângulo
Solução: Seja x e m as medidas dos lados do retângulo. Como o perímetro é 20, temos que
x+m = 10. A medida da diagonal pode ser encontrada como
d2 = x2 + a2 = x2 + (10− x)2 = x2 + 102 − 20x+ x2 = 2x2 − 20x+ 100.
Como d > 0, o valor mínimo de d corresponde ao valor mínimo de d2 e então é suficiente encontrar
o valor mínimo da função y = 2x2 − 20x+ 100. O valor mínimo acontece para x = −(−20)/4 = 5,
abcissa correspondente ao vértice da parábola. Neste caso, m = 10 − x = 5 e o valor mínimo da
diagonal correponde ao quadrado de lado 5, cuja diagonal mede 5
√
2 =
√
50.
Inequação
(18) Se x2 − 5x+ 6 < 0 e P = x2 + 5x+ 6 então
(a) P pode assumir qualquer valor real (b) 20 < P < 30 (c) 0 < P < 20
(d) P < 0 (e) P > 30
Sugestões e Fatos que ajudam:
Lembre que se a > 0, a inequação ax2 + bx+ c < 0 é satisfeita para todos
os valores de x entre as raízes da equação.
Solução – Inequação
Solução: Para resolver a inequação encontramos inicialmente as raízes de x2 − 5x + 6 = 0.
Resolvendo esta equação encontramos x1 = 2 e x2 = 3. Portanto, x2 − 5x + 6 < 0 é satisfeita se
2 < x < 3.
2 3
Então, como x > 2, temos
P = x2 + 5x+ 6 > 22 + 5 · 2+ 6 = 20
e, como x < 3, temos
P = x2 + 5x+ 6 < 32 + 5 · 3+ 6 = 30.
Portanto, 20 < P < 30.
Sistema do Segundo Grau
(19) Para quais valores reais de y o sistema
x2 + y2 − 16 = 0 e x2 − 3y+ 12 = 0
tem uma solução real comum?
(a) Somente 4 (b) −7 e 4 (c) 0 e 4 (d) nenhum y (e) qualquer valor de y
Sugestões e Fatos que ajudam:
(1) Substitua o valor de x2 na primeira equação a partir do valor encon-
trado na segunda OU (2) Mostre que, da primeira equação temos y ⩽ 4
e na segunda temos y ⩾ 4 OU (3) Interprete as curvas descritas pelas
equações.
Solução – Sistema do Segundo Grau
Solução: A partir da segunda equação temos x2 = 3y− 12. Substituindo na primeira equação
obtemos
(3y− 12) + y2 − 16 = 0
donde y2 + 3y− 28 = 0. Resolvendo a equação, encontramos ∆ = (−3)2 − 4(−28) = 121, donde
y =
−3± 11
2
=
{
y1 = 4
y2 = −7
.
Para y = 4, encontramos x2 = 3y − 12 = 0, donde x = 0. Para y = −7, encontramos x2 =
3y− 12 = −33, que não possui solução real.
Portanto, o único valor de y que gera uma solução real é 4.
Segunda Solução (Analítica)
Interpretando as equações dadas, temos uma circunferência centrada na origem e raio 4
e uma parábola voltada para cima cujo vértice é o ponto (0, 4). Portanto as duas curvas
só possuem um ponto de interseção, em x = 0 e y = 4.
x2 + y2 − 16 = 0
y = x2/3 + 4
(0, 4)
Terceira Solução
Da primeira equação temos y2 = 16− x2 ⩽ 16(∗) e da segunda temos y = x2/3+ 4 ⩾ 4
e, portanto y2 ⩾ 42(∗∗). Assim, 16 ⩽ y2 ⩽ 16, donde a única possibilidade é y2 = 16 e
y = 4 ou y = −4. Como y ⩾ 4, devemos ter y = 4 e, neste caso, x = 0.
Correnteza
(20) A correnteza de um rio está fluindo continuamente a 3 quilômetros por hora. Um
barco amotor que viaja a uma velocidade constante em águas paradas desce 4 quilômetros
rio abaixo e então retorna ao seu ponto de partida. A viagem dura uma hora, excluindo
o tempo gasto para fazer a volta do barco. A relação entre a velocidade de descida e de
subida do rio é
(a) 4 : 3 (b) 3 : 2 (c) 5 : 3 (d) 2 : 1 (e) 5 : 2
Sugestões e Fatos que ajudam:
Seja v a velocidade que o barco viaja em águas paradas. Expresse o tempo
de descida em função de v. Faça omesmo para o tempo de subida e lembre
que a soma destes é igual a 1 hora.
Solução – Correnteza
Solução: Seja v a velocidade do barco em águas paradas, registradas em quilômetros por hora.
Na descida do rio a correnteza aumenta em velocidade em 3 km/h, de modo que, sendo t1 o tempo
de descida, temos
v+ 3 =
4
t1
, ∴ t1 =
4
v+ 3
.
Analogamente, sendo t2 o tempo para volta, temos
v− 3 =
4
t2
, ∴ t2 =
4
v− 3
.
Como t1 + t2 = 1, obtemos
4
v+ 3
+
4
v− 3
= 1. Resolvendo esta equação encontramos 4(v− 3) +
4(v + 3) = (v + 3)(v − 3), donde v2 − 8v − 9 = 0 cujas raízes são v = 9 e v = −1 (não convém).
Logo, a velocidade de descida é v+ 3 = 12 e a de subida do rio é v− 3 = 6. Portanto, a velocidade
de descida e a de subida estão na proporção 2 : 1.
Desafio 4
Sejam a e b as raízes da equação x2 = x+ 1. Mostre que a13 + b13 é um inteiro e
determine seu valor.
Sugestão:
Seja cn = an + bn. A partir de a2 = a+ 1 e b2 = b+ 1, mostre que cn+2 = cn+1 + cn.
Primeira Solução
Calculemos sucessivamente as potências a3, a4, a5, …, sempre substituindo a2 por a+ 1 e
utilizando a expressão utilizada para calcular an para calcular an+1.
a3 = a2 · a = (a+ 1)a = a2 + a = (a+ 1) + a = 2a+ 1
a4 = a3 · a = (2a+ 1)a = 2a2 + a = 2(a+ 1) + a = 3a+ 2
a5 = a4 · a = (3a+ 2)a = 3a2 + 2a = 3(a+ 1) + 2a = 5a+ 3
a6 = a5 · a = (5a+ 3)a = 5a2 + 3a = 5(a+ 1) + 3a = 8a+ 5
a7 = a6 · a = (8a+ 5)a = 8a2 + 5a = 8(a+ 1) + 5a = 13a+ 8
a8 = a7 · a = (13a+ 8)a = 13a2 + 8a = 13(a+ 1) + 8a = 21a+ 13
a9 = a8 · a = (21a+ 13)a = 21a2 + 13a = 21(a+ 1) + 13a = 34a+ 21
a10 = a9 · a = (34a+ 21)a = 34a2 + 21a = 34(a+ 1) + 21a = 55a+ 34
… Primeira Solução
a11 = a10 · a = (55a+ 34)a = 55a2 + 34a = 55(a+ 1) + 34a = 89a+ 55
a12 = a11 · a = (89a+ 55)a = 89a2 + 55a = 89(a+ 1) + 55a = 144a+ 89
a13 = a12 · a = (144a+ 89)a = 144a2 + 89a = 144(a+ 1) + 89a = 233a+ 144
Portanto, temos a13 = 233a+ 144 e, analogamente temos b13 = 233b+ 144, donde
a13 + b13 = 233(a+ b) + 288 = 233 · 1+ 288 = 521.
Segunda Solução
Seja cn = an + bn. Observe que
cn+2 = an+2 + bn+2 =
= an · a2 + bn · b2 =
= an(a+ 1) + bn(b+ 1) =
= an+1 + an + bn+1 + bn =
= (an+1 + bn+1) + (an + bn) =
= cn+1 + cn
Portanto, na sequência, c1, c2, c3, …, cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores.
Como c0 = a0 + b0 = 2 e c1 = a + b = 1, podemos calcular os demais termos recursiva-
mente
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
cn 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521
Você observou um padrão nos coeficientes que aparecem na primeira solução?
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Respostas das Questões da Lista 04
21 22 23 24 25
B B A B C
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Produto das Raízes
(21) Qual o produto das raízes reais da equação
x2 + 18x+ 30 = 2
√
x2 + 18x+ 45?
(a) 10 (b) 20 (c) 30 (d) 40 (e) 50
Sugestões e Fatos que ajudam:
Faça y = x2 + 18x+ 30.
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Produto de Consecutivos
(22) Calcule
√
(31)(30)(29)(28) + 1
(a) 859 (b) 869 (c) 879 (d) 889 (e) 899
Sugestões e Fatos que ajudam:
Faça x = 28. Tente trabalhar com produtos notáveis e obter uma expres-
são para
√
x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) + 1.
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmatEquacão Fracionária
(23) As raízes da equação
1
x2 − 10x− 29
+
1
x2 − 10x− 45
−
2
x2 − 10x− 69
= 0
são
(a) 13 e −3 (b) −13 e 3 (c) 13 e 3 (d) −13 e −3 (e) −13 e 13
Sugestões e Fatos que ajudam:
Faça x2 − 10x− 29 = y.
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Quinta Potência
(24) Seja r uma raiz da equação x2 + x = 1. Determine o valor de
r5 − 5r.
(a) −5 (b) −3 (c) 1 (d) 3 (e) 5
Sugestões e Fatos que ajudam:
Utilize a mesma ideia da primeira solução do desafio 4.
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Frações e Radicais
(25) Se
x+
√
x2 − 1+
1
x−
√
x2 − 1
= 20
então
x2 +
√
x4 − 1+
1
x2 +
√
x4 − 1
=
(a) 5, 05 (b) 20 (c) 51, 005 (d) 61, 25 (e) 400
Sugestões e Fatos que ajudam:
Determine inicialmente o valor de y = x +
√
x2 − 1. “Racionalize”
1
x2+
√
x4−1
.
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Desafio 5
Mostre que, para todos a, b, c ∈ R com a ̸= 0 que a equação abaixo possui duas raízes
reais distintas.
1
x− b
+
1
x− c
=
1
a2
.
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Sugestão
Transforme a expressão dada em uma equação quadrática. A ideia principal é provar
que ∆ > 0. No expressão do ∆ calculado faça t = a2 e pense no ∆ como uma função
quadrática. Qual condição essa função deve satisfazer para termos ∆ > 0, independente
dos valores de t?
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Lista 05
Seguem os problemas da lista 05.
Para os problemas 26 e 29, a fórmula do radical duplo pode ser útil.
Fiz um vídeo explicando (clique aqui!)
https://youtu.be/v1NVmvRe5pg
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Raízes 1
(26) Determine o valor da expressão√
51+ 14
√
2+
√
11− 6
√
2.
(a) 6
√
2 (b) 10 (c) 14− 3
√
2 (d) 11 (e) 81− 50
√
2
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Números Primos
(27) As duas raízes da equação quadrática x2 − 63x + k = 0 são números primos. A
quantidade de possíveis valores de k é
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 (e) mais que 4
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Dobro
(28) A equação quadrática x2 + mx + n = 0 tem raízes que são o dobro das raízes de
x2 + px+m = 0, e nenhum dos números m, n, e p é igual a zero. Qual é o valor de n/p?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) 16
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Raízes 2
(29) Determine o valor de (52+ 6
√
43)3/2 − (52− 6
√
43)3/2
(a) 808 (b) 818 (c) 828 (d) 838 (e) 848
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Equação Quadrática
(30) As raízes de x2 − ax + 2a = 0 são inteiras. Qual é a soma de todos os valores
possíveis de a?
(a) 7 (b) 8 (c) 16 (d) 17 (e) 18
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Desafio 6
Calcule ax5 + by5 se os números reais a, b, x, e y satisfazem as equações
ax+ by = 3,
ax2 + by2 = 7,
ax3 + by3 = 16,
ax4 + by4 = 42.