Preparação ENA 2021: Lista 7 de Matemática

Prévia do material em texto

Preparação para o ENA 2021
Lista 7
Paulo Rodrigues
www.cadernosdematematica.com.br
16 de outubro de 2020
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Conteúdo
Neste arquivo:
▶ Soluções completas da Lista 5
▶ Respostas e dicas para a Lista 6
▶ Problemas da Lista 7
Lista 05
Seguem as respostas e soluções dos problemas da lista 05.
Lista 05
Seguem os problemas da lista 05.
Para os problemas 26 e 29, a fórmula do radical duplo pode ser útil.
Fiz um vídeo explicando (clique aqui!)
https://youtu.be/v1NVmvRe5pg
Respostas das Questões da Lista 05
26 27 28 29 30 Desafio
B B D C C 20
Fórmula do Radical Duplo
√
a+
√
b =
√
a+ c
2
+
√
a− c
2
,
sendo c =
√
a2 − b.
De forma análoga, se o sinal antes da segunda raiz for negativo, temos uma mudança no
sinal do segundo membro: √
a−
√
b =
√
a+ c
2
−
√
a− c
2
,
sendo c =
√
a2 − b.
Radical Duplo
Demonstração.
Sejam r =
√
a +
√
b e s =
√
a −
√
b. Então
{
rs =
√
a2 − b = c
r2 + s2 = 2a
. Deste modo, (r + s)2 = r2 + s2 + 2rs =
2a+2c e como r, s > 0, temos r+s =
√
2a + 2c. Portanto, r e s são as raízes da equação x2−x
√
2a + 2c+c = 0.
Resolvendo esta equação encontramos
x =
√
2a + 2c±
√
(2a + 2c − 4c)
2
=
√
a + c
2
±
√
a − c
2
.
Como r ⩾ s, temos r =
√
a +
√
b =
√
a+c
2 +
√
a−c
2 e s =
√
a −
√
b =
√
a+c
2 −
√
a−c
2 , como queríamos
provar.
Raízes 1
(26) Determine o valor da expressão√
51+ 14
√
2+
√
11− 6
√
2.
(a) 6
√
2 (b) 10 (c) 14− 3
√
2 (d) 11 (e) 81− 50
√
2
Sugestões e Fatos que ajudam:
Utilize a fórmula do radical duplo. Veja o vídeo explicando (clique aqui!)
https://youtu.be/v1NVmvRe5pg
Solução – Raízes 1
Solução: Calculemos separadamente usando a fórmula do radical duplo. Para
√
51+ 14
√
2 =√
51+
√
142 · 2, temos c =
√
a2 − b =
√
512 − 196 · 2 = 47. Portanto,√
51+ 14
√
2 =
√
51+ 47
2
+
√
51− 47
2
= 7+
√
2.
Para
√
11− 6
√
2 =
√
11−
√
62 · 2 temos c =
√
a2 − b =
√
112 − 72 = 7. Assim,√
11− 6
√
2 =
√
11+ 7
2
−
√
11− 7
2
= 3−
√
2.
Deste modo, √
51+ 14
√
2+
√
11− 6
√
2 = 7+
√
2+ 3−
√
2 = 10.
Números Primos
(27) As duas raízes da equação quadrática x2 − 63x + k = 0 são números primos. A
quantidade de possíveis valores de k é
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 (e) mais que 4
Sugestões e Fatos que ajudam:
Quanto é a soma das raízes? Quando a soma de dois números primos
pode ser ímpar?
Solução – Números Primos
Solução: A soma das raízes é igual a −b/a = 63. Se as duas raízes fossem números ímpares,
a soma seria um número par.
Então, pelo menos uma das raízes deve ser par e, como o único primo par é 2, uma deve ser igual
a 2 e a outra igual 63− 2 = 61. Portanto, k = 2 · 61 = 122 só admite um valor possível.
Dobro
(28) A equação quadrática x2 + mx + n = 0 tem raízes que são o dobro das raízes de
x2 + px+m = 0, e nenhum dos números m, n, e p é igual a zero. Qual é o valor de n/p?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) 16
Sugestões e Fatos que ajudam:
Utilize as relações de soma e produto das raízes de uma equação do se-
gundo grau.
Solução – Dobro
Solução: Sejam r e s as raízes de x2 + px+m = 0. As raízes de x2 +mx+ n = 0 são então 2r e
2s. Temos então {
r+ s = −p
rs = m
{
2r+ 2s = −m
(2r) · (2s) = n
Portanto, m = 2p e n = 4m
n
p
=
4m
m
2
= 8.
Raízes 2
(29) Determine o valor de (52+ 6
√
43)3/2 − (52− 6
√
43)3/2
(a) 808 (b) 818 (c) 828 (d) 838 (e) 848
Sugestões e Fatos que ajudam:
Utilize a fórmula do radical duplo. Veja o vídeo explicando (clique aqui!)
https://youtu.be/v1NVmvRe5pg
Solução – Raízes 2
Solução: Calculemos inicialmente a =
√
52+ 6
√
43 =
√
52+
√
62 · 43. Determinamos o
valor de c =
√
522 − 62 · 43 =
√
1156 = 34. Portanto,√
52+ 6
√
43 =
√
52+ 34
2
+
√
52− 34
2
=
√
43+ 3.
Analogamente obtemos b =
√
52+ 6
√
43 =
√
43 − 3. Queremos calcular a3 − b3. Sabemos que
a− b = 6 e ab = c = 34. Escrevendo
a3 − b3 = (a− b)3 + 3ab(a− b) = 63 + 3 · 34 · 6 = 216+ 3 · 34 · 6 = 828.
Equação Quadrática
(30) As raízes de x2 − ax + 2a = 0 são inteiras. Qual é a soma de todos os valores
possíveis de a?
(a) 7 (b) 8 (c) 16 (d) 17 (e) 18
Sugestões e Fatos que ajudam:
Escreva ∆ = a2 − 8a = (a − 4)2 − 16 = n2 e daí obtenha a equação
(a − 4)2 − n2 = 16. Utilize a fatoração x2 − y2 = (x − y)(x + y) para
analisar todos os casos.
Solução – Equação Quadrática
Solução: Para que as raízes sejam inteiras, o∆ = (−a)2−4·2a = a2−8a deve ser um quadrado
perfeito. Assim devemos ter a2 − 8a = n2, para algum inteiro não negativo n. Completando o
trinômio quadrado perfeito obtemos a2 − 8a+ 16 = n2 + 16, donde (a− 4)2 − n2 = 16. Podemos
fatorar essa expressão como diferença de dois quadrados, obtemos
(a− 4− n)(a− 4+ n) = 16.
a−4−n e a−4+n são, portanto, divisores de 16 cujo produto é 16 e, como (a−4−n)+a−4+n =
2a − 8, resulta num número par, a soma dos divisores deve ser par. Temos então as seguintes
possibilidades 2 · 8, 4 · 4, (−8) · (−2) e (−4) · (−4).
… Solução
Para cada uma destas possibilidades, montamos um sistema e encontramos o valor de a:
+
{
a − 4 − n = 2
a − 4 + n = 8
→ 2a − 8 = 10 → a = 9
+
{
a − 4 − n = 4
a − 4 + n = 4
→ 2a − 8 = 8 → a = 8
+
{
a − 4 − n = −8
a − 4 + n = −2
→ 2a − 8 = −10 → a = −1
+
{
a − 4 − n = −4
a − 4 + n = −4
→ 2a − 8 = −8 → a = 0
É fácil ver que para cada um destes valores as equações consideradas resultam em raízes inteiras. Portanto,
a soma dos possíveis valores de a é 9 + 8 − 1 + 0 = 16.
Desafio 6
Calcule ax5 + by5 se os números reais a, b, x, e y satisfazem as equações
ax+ by = 3,
ax2 + by2 = 7,
ax3 + by3 = 16,
ax4 + by4 = 42.
Sugestão
Vamos utilizar a identidade
axn+2 + byn+2 = (x+ y)(axn+1 + byn+1) − xy(axn + byn).
Para verificar a validade, vamos fazer as contas a partir do segundo membro:
(x+ y)(axn+1 + byn+1) − xy(axn + byn) =
axn+2 + bxyn+1 + ayxn+1 + byn+2 − axn+1y− bxyn+1 =
axn+2 +��
��bxyn+1 +��
��ayxn+1 + byn+2 −��
��axn+1y−��
��bxyn+1 = axn+2 + byn+2.
Solução
Sejam Kn = axn + byn, s = x + y e p = xy. O enunciado do problema diz que K1 = 3, K2 = 7,
K3 = 16, K4 = 42 e pede o valor de K5. A identidade dada na sugestão pode ser facilmente
verificada e, com esta notação, pode ser escrita como
Kn+2 = sKn+1 − pKn.
Substituindo para n = 1 e n = 2, temos K3 = sK2 − pK1 =⇒ 16 = 7s − 3p e K4 = sK3 − pK2 =⇒
42 = 16s− 7p. Resolvendo o sistema {
7s− 3p = 16
16s− 7p = 42
,
encontramos s = −14 e p = −38. Deste modo, Kn+2 = −14Kn+1+38Kn, para todo inteiro positivo
n. Portanto, K5 = −14 · 42+ 38 · 16 = 20.
Respostas das Questões da Lista 06
31 32 33 34 35 Desafio
B B C C A 3367/5050
Raízes
(31) Sejam d e e as raízes da equação 2x2 + 3x− 5 = 0. Qual o valor de (d− 1)(e− 1)?
(a) −5/2 (b) 0 (c) 3 (d) 5 (e) 6
Sugestões e Fatos que ajudam:
Quanto é d+ e? E de?
Jujubas
(32) No último dia de aula, a professora Karla deu jujubas para sua turma. Ela deu a
cada menino tantas jujubas quantos meninos havia na classe. Ela deu a cada menina tan-
tas jujubas quantas meninas tinha na turma. Ela trouxe 400 jujubas e, quando terminou,
restaram seis jujubas. Havia dois meninos a mais do que meninas em sua classe. Quantos
alunos havia em sua classe?
(a) 26 (b) 28 (c) 30 (d) 32 (e) 34
Sugestões e Fatos que ajudam:
Seja x a quantidade de meninas na classe. Quantas jujubas ela deu para
as meninas? E para os meninos.
Divisor Potência de 2
(33) Qual é a maior potência de 2 que é um divisor de 134 − 114?
(a) 8 (b) 16 (c) 32 (d) 64 (e) 128
Sugestões e Fatos que ajudam:
Utilize duas vezes a fatoração x2 − y2 = (x− y)(x+ y).
Fatoriais
(34) Existe um inteiro positivo n tal que (n + 1)! + (n + 2)! = 440n!. Qual a soma dos
algarismos de n?
(a) 3 (b) 8 (c) 10 (d) 11 (e) 12
Sugestões e Fatos que ajudam:
Lembre que (n+ 1)! = (n+ 1)n! e (n+ 2)! = (n+ 2)(n+ 1)n!.
Mediana e Bissetriz
(35) Seja ABC um triângulo e M o ponto médio de AC, e CN a bissetriz de ∠ACB com
N sobre AB. Seja X a interseção da mediana BM e da bissetriz CN. Sabendo que △BXN é
equilátero e AC = 2, quanto é BN2?
(a) 10−6
√
2
7 (b)
2
9 (c)
5
√
2−3
√
3
8 (d)
√
2
6 (e)
3
√
3−4
5
Sugestõese Fatos que ajudam:
Mostre que os triângulos BMC e ABC são semelhantes.
Desafio 7
Calcule
23 − 1
23 + 1
· 3
3 − 1
33 + 1
· 4
3 − 1
43 + 1
· · · · · 99
3 − 1
993 + 1
· 100
3 − 1
1003 + 1
Sugestão
Fatore os números dos numeradores e dos denominadores.
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Marcando Pássaros
(36) Para marcar seus pássaros, um criador dispõe de fitas de 10 diferentes cores. Um
pássaro marcado deve ter fita na pata esquerda, na pata direita ou em ambas. Se, no má-
ximo, se pode colocar uma fita em cada pata, e se dois pássaros não podem ser marcados
de modo idêntico, então o maior número de pássaros que podem ser marcados é
(a) 99 (b) 100 (c) 120 (d) 200 (e) 1024
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Figura Bem Preenchida
(37)
Os círculos da figura ao lado foram preenchidos com
os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas
apontam de um número menor para um maior. Neste
caso, dizemos que a figura foi bem preenchida.
De quantasmaneiras a figura pode ser bem preenchida
com os números de 1 a 5?
7
4
3
1
6
2 5
7
4 6
2 5
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 (e) 24
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Estacionamento
(38) Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da outra, inicialmente todas livres.
Um carro preto e um carro rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras
diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma que haja pelo menos uma
vaga livre entre eles?
(a) 56 (b) 70 (c) 71 (d) 72 (e) 80
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Permutações
(39) As 120 permutações de OBMEP são organizadas em ordem alfabética. A última
letra da 86a palavra é
(a) O (b) B (c) M (d) E (e) P
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Dados Malucos
(40) Dois dados cúbicos, cada um, têm números removíveis de 1 a 6. Os doze números
dos dois dados são removidos, colocados em um saco e, em seguida, sorteados um de
cada vez e reconectados aleatoriamente às faces dos cubos, um número para cada face.
Os dados são lançados e os números nas duas faces superiores são adicionados. Qual é a
probabilidade de que a soma seja 7?
(a) 19 (b)
1
8 (c)
1
6 (d)
2
11 (e)
2
5
Prof. Paulo Rodrigues – www.cadernosdematematica.com.br/profmat
Desafio 8
Para {1, 2, 3, . . . , n} e cada um de seus subconjuntos não vazios, uma única soma alternante
é definida como segue: Arranje os números do subconjunto em ordemdecrescente e então,
iniciando com o maior, some e subtraia sucessivamente os números.(Por exemplo, a soma
alternante para {1, 2, 4, 6, 9} é 9− 6+ 4− 2+ 1 = 6 e para {5} é simplesmente 5.) Calcule
a soma de todas as somas alternantes para n = 7.